广东省佛山市2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题及答案

2019～2020学年佛山市普通高中高二教学质量检测数 学 本试卷共4页,22小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项:1.答卷前,考生务必填写清楚答题卷上的姓名、班级、学号,并按要求粘贴好条形码.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答案涂在答题卷的相应位置上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回.参考公式:ABC ∆的顶点坐标分别为()11,x y ,()22,x y ,()33,x y ,则其重心坐标为123123,33x x x y y y ++++⎛⎫⎪⎝⎭.一、单项选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知直线l 经过点()1,2P -,且倾斜角为135︒,则直线l 的方程为( )A ．30x y +-=B ．10x y +-=C ．10x y -+=D ．30x y -+= 2．命题p :∀0x ≥,sin x x ≥,则p ⌝:( )A ．∀0x <,sin x x <B ．∀0x ≥,sin x x <C ．∃0x <,sin x x <D ．∃0x ≥,sin x x < 3．已知抛物线2y x =上的点M 到其焦点的距离为2,则M 的横坐标是( )A ．32 B ．52 C ．74 D ．944．圆22460x y x +--=与圆22460x y y +--=的位置关系为( )A ．外离B ．相切C ．相交D ．内含 5．过点()3,2的双曲线C 的渐近线方程为0x y ±=,则C 的方程为( )A ．221x y -= B ．225x y -= C ．221y x -= D ．225y x -=6. 函数()f x a =,则“0a ≥”是“∃[]01,1x ∈-,使()00f x ≥”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知m 是平面α的一条斜线,直线l 过平面α内一点A ,那么下列选项中能成立的是( )A ．l α⊥,且//l mB ．l α⊥,且l m ⊥C ．l α⊂,且l m ⊥D ．l α⊂,且//l m2020年1月8. 正四棱柱1111ABCD A B C D -中,12AA AB =,则异面直线1AD 与1B D 所成角的余弦值为( )A ．110-B ．110C． D9．如图,长方体1111ABCD A B C D -中,4AB BC ==,1BB =点E ,F ,M 分别为11A B ,11A D ,11B C 的中点,过点M 的平面α与平面AEF 平行, 且与长方体的面相交,则交线围成的几何图形的面积为( ) A．B．C ．12 D ．2410.已知()0,F c 为双曲线Γ:22221y x a b-=(0a >,0b >)的上焦点,若圆F :()222x y c a +-=上恰有三个点到Γ的一条渐近线的距离为23a,则Γ的离心率为( ) A．3 B．3 C．2 D．2二、多项选择题:本大题共2小题,每小题5分,共10分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分.11.瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler )1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出:任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上,后人称这条直线为欧拉线.已知ABC ∆的顶点()4,0A -,()0,4B ,其欧拉线方程为20x y -+=,则顶点C 的坐标可以是( )A ．()2,0B ．()0,2C ．()2,0-D ．()0,2- 12.在平面直角坐标系中,曲线C 上任意点P 与两个定点()2,0A -和点()2,0B 连线的斜率之和等于2,则关于曲线C 的结论正确的有( )A ．曲线C 是轴对称图形B ．曲线C 上所有的点都在圆222x y +=外C ．曲线C 是中心对称图形D ．曲线C 上所有点的横坐标x 满足2x > 三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分．其中第16题第一空2分,第二空3分. 13.将边长为1的正三角形绕其一边所在直线旋转一周,所得几何体的体积为______. 14.直线0x ay a +-=与直线()2310ax a y ---=互相垂直,则a 的值为_______. 15.表面积为16π的球面上有A 、B 、C 三点,且AB AC ==2BC =,则球心到平面ABC 的距离为_______.16.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,点P 是正方体棱上一点,1PB PC λ+=.① 若4λ=,则满足条件的点P 的个数为________；② 若满足1PB PC λ+=的点P 的个数为6,则λ的取值范围是________.1A四、解答题:本大题共6小题,满分70分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分10分)已知点()0,4A -,()2,0B ,()4,4C ,()5,1D -.(Ⅰ) 判断A 、B 、C 、D 四点能否围成四边形,并说明理由； (Ⅱ) 求ACD ∆的面积．18.(本小题满分12分)如图,四棱锥P ABCD -的底面为平行四边形,点E 、F 分别在CD 、BC 上,G 为PA 中点,且PE ⊥平面ABCD .(Ⅰ) 若PF BC ⊥,求证:平面PBC ⊥平面PEF ； (Ⅱ) 求证://PC 平面BDG ．19.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,直线l :210x y --=,圆C 的圆心在直线l 上,半径为2. (Ⅰ) 若圆C 被x轴截得的弦长为求圆C 的方程；(Ⅱ) 已知()2,0P ,圆C 上存在点Q ,使得PQ OQ =,求圆心C 横坐标的取值范围．G FEPABCD20.(本小题满分12分)已知抛物线C :24y x =,过定点()0,1P 的直线为l .(Ⅰ) 若l 与C 仅有一个公共点,求直线l 的方程；(Ⅱ) 若l 与C 交于A 、B 两点,直线OA 、OB 的斜率分别为1k 、2k ,试探究1k 与2k 的数量关系.21.(本小题满分12分)如图,梯形ABCD 中,//AB DC ,4AB =,2AD DC CB ===,将BCD ∆沿BD 折到BC D '∆的位置,使得平面BC D '⊥平面ABCD . (Ⅰ) 求证:AD BC '⊥；(Ⅱ) 求二面角B AC D '--的余弦值．22.(本小题满分12分)某高速公路隧道设计为单向三车道,每条车道宽4米,要求通行车辆限高5米,隧道全长1.5千米，隧道的断面轮廓线近似地看成半个椭圆形状(如图所示).(Ⅰ) 若最大拱高h 为6米,则隧道设计的拱宽l 至少是多少米？(结果取整数)(Ⅱ) 如何设计拱高h 和拱宽l ,才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小?(结果取整数) 参考数据3.3≈,椭圆的面积公式为S ab π=,其中,a b 分别为椭圆的长半轴和短半轴长.C'A BCD。

2019-2020学年广东省佛山市南海区七年级（下）期末数学试卷一．选择题（共10小题）1．计算a3•a3的结果等于（）A．a9B．a6C．a27D．a02．在下列“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．下列事件中，随机事件是（）A．水中捞月B．明天太阳从西方升起C．抛一枚硬币，落地后硬币的正面朝上D．三角形的内角和是180°4．如图，小华同学的家在点P处，他想尽快到达公路边去接从外地回来的外婆，他选择沿线段PC去公路边，他的这一选择用到的数学知识是（）A．两点确定一条直线B．两点之间直线最短C．两点之间线段最短D．垂线段最短5．如图，已知MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列哪个条件不能判定△ABM≌△CDN（）A．AM＝CN B．AB＝CD C．AM∥CN D．∠M＝∠N6．某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如下表）：温度/℃﹣20﹣100102030声速/m/s318324330336342348下列说法错误的是（）A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速B．温度越高，声速越快C．当空气温度为20℃时，声音5s可以传播1740mD．当温度每升高10℃，声速增加6m/s7．若一个等腰三角形的两边长分别为4和10，则这个三角形的周长为（）A．18B．22C．24D．18或248．已知AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，若△ABC的面积为18，则△ABE的面积为（）A．5B．4.5C．4D．99．若3x＝5，3y＝2，则3x﹣y的值为（）A．B．C．3D．﹣310．如图，把一张长方形纸片ABCD折叠后，点C、点D的对应点分别为点C′和点D′，若∠1＝48°，则∠2的度数为（）A．138°B．132°C．121°D．111°二．填空题（共7小题）11．将0.000705用科学记数法表示为．12．如图，直线AB、CD交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC＝35°，则∠AOD＝度．13．在一个不透明的盒子中装有n个小球，他们只有颜色上的区别，其中有3个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复实验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n大约是．14．若x2+y2＝8，xy＝2，则（x﹣y）2＝．15．如图，△ABC中，AB边上的垂直平分线DE交AB于D，交AC于E，AC＝9cm，△BCE 的周长为15cm，则BC的长为cm．16．用七巧板摆成如图所示图形，一只蚂蚁在此图形上任意爬行，已知它停在这副七巧板上的任何一点的可能性都相同，那么它停在阴影部分的概率是．17．如图，△ABC中，∠BDC＝90°，BE、CE分别平分∠ABD和∠ACD，BF、CF分别平分∠ABE和∠ACE，若∠A＝40°，则∠F＝°．三．解答题18.计算：（π﹣3）0﹣|﹣2|+（）﹣2．19.尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）：如图，已知△ABC，请根据“SAS”基本事实作出△DEF，使△DEF≌△ABC．20.如图所示转盘平均分成10份，分别标有1，2，…，10这10个数字，转盘上有固定的指针，转动转盘，当转盘停止转动时，指针指向的区域对应的数字即为转出的数字（若指针指向分界处要重新转动，直至指到非分界处）．（1）转出的数字为奇数的概率是多少？（2）转出的数字是3的倍数的概率是多少？21.先化简，再求值：[（x+2y）（x﹣2y）+（x﹣y）2﹣2x2]÷4y，其中x＝﹣1，y＝2．22.已知AD∥BC，AB∥CD，E在线段BC延长线上，AE平分∠BAD．（1）试证明∠ABC＝∠ADC；（2）若∠ADC＝58°，求∠AEC的度数．23.通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式．现有如图1所示边长为a的正方形纸片，边长为b的正方形纸片，长宽分别为a、b的长方形纸片若干，取部分纸片摆成如图2所示的一个长方形，根据这个长方形的面积可以得到的等式是：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2；（1）请利用若干图1所示纸片，摆出图形来说明：当a，b都不为0时，（a+b）2≠a2+b2（画图并写出过程）．（2）小明同学用图1中边长为a的正方形纸片x张，边长为b的正方形纸片y张，长宽分别为a、b的长方形纸片z张，拼出一个面积为（2a+b）（a+3b）的长方形，则x＝，y＝，z＝．24.△ABC和△DBC中，∠BAC＝∠BDC＝90°，延长CD、BA交于点E．（1）如图1，若AB＝AC，试说明BO＝EC；（2）如图2，∠MON为直角，它的两边OM、ON分别与AB、EC所在直线交于点M、N，如果OM＝ON，那么BM与CO是否相等？请说明理由．25.在抗击新冠肺炎疫情期间，司机小张开车免费将志愿者从A市送到B市，到达B市放下志愿者后立即按原路原速返回A市（志愿者下车时间忽略不计），而快递员小李则骑摩托车从B市向A市运送快递，他们出发时间相同，均沿两市间同一条公路匀速行驶，设两人行驶的时间为x（h），两人相距y（km），如图表示y随x变化而变化的情况，根据图象解决以下问题：（1）A、B两市之间的路程为km；点M表示的实际意义是；（2）小张开车的速度是km/h；小李骑摩托车的速度是km/h．（3）试求出发多长时间后，两人相距60km．2019-2020学年广东省佛山市南海区七年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．计算a3•a3的结果等于（）A．a9B．a6C．a27D．a0【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝a6，故选：B．2．在下列“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A、不是轴对称图形，故选项错误；B、是轴对称图形，故选项正确；C、不是轴对称图形，故选项错误；D、不是轴对称图形，故选项错误．故选：B．3．下列事件中，随机事件是（）A．水中捞月B．明天太阳从西方升起C．抛一枚硬币，落地后硬币的正面朝上D．三角形的内角和是180°【分析】直接利用随机事件的定义结合三角形内角和定理分别分析得出答案．【解答】解：A、水中捞月，是不可能事件，不合题意；B、明天太阳从西方升起，是不可能事件，不合题意；C、抛一枚硬币，落地后硬币的正面朝上，是随机事件，符合题意；D、三角形的内角和是180°，是必然事件，不合题意．故选：C．4．如图，小华同学的家在点P处，他想尽快到达公路边去接从外地回来的外婆，他选择沿线段PC去公路边，他的这一选择用到的数学知识是（）A．两点确定一条直线B．两点之间直线最短C．两点之间线段最短D．垂线段最短【分析】根据垂线段的性质解答即可．【解答】解：某同学的家在P处，他想尽快到达公路边去接从外地回来的外婆，他选择P→C路线，是因为垂直线段最短，故选：D．5．如图，已知MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列哪个条件不能判定△ABM≌△CDN（）A．AM＝CN B．AB＝CD C．AM∥CN D．∠M＝∠N【分析】利用三角形全等的条件分别进行分析即可．【解答】解：A、加上AM＝CN不能证明△ABM≌△CDN，故此选项符合题意；B、加上AB＝CD可利用SAS定理证明△ABM≌△CDN，故此选项不合题意；C、加上AM∥CN可证明∠A＝∠NCB，可利用ASA定理证明△ABM≌△CDN，故此选项不合题意；D、加上∠M＝∠N可利用ASA定理证明△ABM≌△CDN，故此选项不合题意；故选：A．6．某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如下表）：温度/℃﹣20﹣100102030声速/m/s318324330336342348下列说法错误的是（）A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速B．温度越高，声速越快C．当空气温度为20℃时，声音5s可以传播1740mD．当温度每升高10℃，声速增加6m/s【分析】根据自变量、因变量的含义，以及声音在空气中传播的速度与空气温度关系逐一判断即可．【解答】解：∵在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速，∴选项A正确；∵根据数据表，可得温度越高，声速越快，∴选项B正确；∵342×5＝1710（m），∴当空气温度为20℃时，声音5s可以传播1710m，∴选项C错误；∵324﹣318＝6（m/s），330﹣324＝6（m/s），336﹣330＝6（m/s），342﹣336＝6（m/s），348﹣342＝6（m/s），∴当温度每升高10℃，声速增加6m/s，∴选项D正确．故选：C．7．若一个等腰三角形的两边长分别为4和10，则这个三角形的周长为（）A．18B．22C．24D．18或24【分析】根据等腰三角形的两边长分别为4和10，分两种情况讨论：4为腰时；10为腰时；再由三角形的三边关系定理得出结论．【解答】解：∵一个等腰三角形的两边长分别为4和10，∴当4为腰时，三边长分别为4，4，10，∵4+4＝8＜10，∴不成立；当10为腰时，三边长分别为4，10，10，∴三角形的周长为24cm．故选：C．8．已知AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，若△ABC的面积为18，则△ABE的面积为（）A．5B．4.5C．4D．9【分析】根据等底等高的三角形的面积相等可知三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．【解答】解：∵AD是△ABC的中线，∴S△ABD＝S△ABC＝×18＝9，∵BE是△ABD的中线，∴S△ABE＝S△ABD＝×9＝4.5．故选：B．9．若3x＝5，3y＝2，则3x﹣y的值为（）A．B．C．3D．﹣3【分析】根据同底数幂的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝3x÷3y＝5÷2＝，故选：A．10．如图，把一张长方形纸片ABCD折叠后，点C、点D的对应点分别为点C′和点D′，若∠1＝48°，则∠2的度数为（）A．138°B．132°C．121°D．111°【分析】直接利用长方形的性质结合平行线的性质得出∠3＝∠6＝∠4，再利用四边形内角和定理得出答案．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠3＝∠6，∵把一张长方形纸片ABCD折叠后，点C、点D的对应点分别为点C′和点D′，∴∠3＝∠4＝∠6，∵∠1＝48°，∴∠5＝132°，∴∠6＝∠4＝＝69°，∴∠2＝180°﹣69°＝111°．故选：D．二．填空题（共7小题）11．将0.000705用科学记数法表示为7.05×10﹣4．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：将0.000705用科学记数法表示为7.05×10﹣4．故答案为：7.05×10﹣4．12．如图，直线AB、CD交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC＝35°，则∠AOD＝125度．【分析】根据图形求得∠COB＝∠COE+∠BOE＝125°；然后由对顶角相等的性质来求∠AOD的度数．【解答】解：∵EO⊥AB，∴∠EOB＝90°．又∵∠COE＝35°，∴∠COB＝∠COE+∠BOE＝125°．∵∠AOD＝∠COB（对顶角相等），∴∠AOD＝125°，故答案为：125．13．在一个不透明的盒子中装有n个小球，他们只有颜色上的区别，其中有3个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复实验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n大约是15．【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．【解答】解：由题意可得，＝0.2，解得，n＝15．故估计n大约有15个．故答案为：15．14．若x2+y2＝8，xy＝2，则（x﹣y）2＝4．【分析】直接利用完全平方公式去括号，再将已知代入求出答案．【解答】解：∵x2+y2＝8，xy＝2，∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝8﹣4＝4．故答案为：4．15．如图，△ABC中，AB边上的垂直平分线DE交AB于D，交AC于E，AC＝9cm，△BCE 的周长为15cm，则BC的长为6cm．【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AE＝BE，求出AC+BC＝15cm，再代入求出即可．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∵△BCE的周长为15cm，∴BC+CE+BE＝15cm，∴BC+CE+BE＝BC+CE+AE＝BC+AC＝15cm，∵AC＝9cm，∴BC＝6cm，故答案为：6．16．用七巧板摆成如图所示图形，一只蚂蚁在此图形上任意爬行，已知它停在这副七巧板上的任何一点的可能性都相同，那么它停在阴影部分的概率是．【分析】根据七巧板对应图形的面积，结合概率公式即可得到结论．【解答】解：设正方形的边长为a，则阴影部分的为×a×a++a2＝a2，∴它停在阴影部分的概率＝＝，故答案为：．17．如图，△ABC中，∠BDC＝90°，BE、CE分别平分∠ABD和∠ACD，BF、CF分别平分∠ABE和∠ACE，若∠A＝40°，则∠F＝52.5°．【分析】想办法求出∠FBC+∠FCB即可解决问题．【解答】解：∵∠A＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，∵∠BDC＝90°，∴∠DBC+∠DCB＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝140°﹣90°＝50°，∵BE、CE分别平分∠ABD和∠ACD，BF、CF分别平分∠ABE和∠ACE，∴∠FBD+∠FCD＝×50°＝37.5°，∴∠FBC+∠FCB＝37.5°+90°＝127.5°，∴∠F＝180°﹣127.5°＝52.5°，故答案为52.5．三．解答题18.计算：（π﹣3）0﹣|﹣2|+（）﹣2．【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．【专题】511：实数；66：运算能力．【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．【解答】解：原式＝1﹣2+9＝8．19.尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）：如图，已知△ABC，请根据“SAS”基本事实作出△DEF，使△DEF≌△ABC．【考点】KB：全等三角形的判定；N3：作图—复杂作图．【专题】13：作图题．【分析】先作一个∠D＝∠A，然后在∠D的两边分别截取ED＝BA，DF＝AC，连接EF 即可得到△DEF；【解答】解：如图，△DEF即为所求．20.如图所示转盘平均分成10份，分别标有1，2，…，10这10个数字，转盘上有固定的指针，转动转盘，当转盘停止转动时，指针指向的区域对应的数字即为转出的数字（若指针指向分界处要重新转动，直至指到非分界处）．（1）转出的数字为奇数的概率是多少？（2）转出的数字是3的倍数的概率是多少？【考点】X4：概率公式．【分析】（1）由转盘平均分成10份，分别标有1，2，…，10这10个数字，且转出的数字为奇数的有5种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）由转出的数字是3的倍数的有3种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：（1）∵转盘平均分成10份，分别标有1，2，…，10这10个数字，转出的数字为奇数的有5种情况，∴转出的数字为奇数的概率是：＝；（2）∵转出的数字是3的倍数的有3种情况，∴转出的数字是3的倍数的概率是：．21.先化简，再求值：[（x+2y）（x﹣2y）+（x﹣y）2﹣2x2]÷4y，其中x＝﹣1，y＝2．【考点】4J：整式的混合运算—化简求值．【专题】512：整式；66：运算能力．【分析】原式中括号中利用平方差公式，完全平方公式化简，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝（x2﹣4y2+x2﹣2xy+y2﹣2x2）÷4y＝（﹣3y2﹣2xy）÷4y＝﹣y﹣x，当x＝﹣1，y＝2时，原式＝﹣+＝﹣1．22.已知AD∥BC，AB∥CD，E在线段BC延长线上，AE平分∠BAD．（1）试证明∠ABC＝∠ADC；（2）若∠ADC＝58°，求∠AEC的度数．【考点】JA：平行线的性质．【专题】551：线段、角、相交线与平行线；67：推理能力．【分析】（1）根据平行线的性质即可得到答案（2）根据平行线的性质定理和角平分线的性质定理解答即可．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠DCE，∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCE，∴∠ABC＝∠ADC，（2）解：∵AB∥CD，∴∠BAD＝180°﹣∠ADC＝180°﹣58°＝122°，∵AE平分∠BAD，∴，∵AD∥BC，∴∠AEC＝∠DAE＝61°．23.通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式．现有如图1所示边长为a的正方形纸片，边长为b的正方形纸片，长宽分别为a、b的长方形纸片若干，取部分纸片摆成如图2所示的一个长方形，根据这个长方形的面积可以得到的等式是：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2；（1）请利用若干图1所示纸片，摆出图形来说明：当a，b都不为0时，（a+b）2≠a2+b2（画图并写出过程）．（2）小明同学用图1中边长为a的正方形纸片x张，边长为b的正方形纸片y张，长宽分别为a、b的长方形纸片z张，拼出一个面积为（2a+b）（a+3b）的长方形，则x＝2，y＝3，z＝7．【考点】4B：多项式乘多项式；4D：完全平方公式的几何背景．【专题】511：实数；512：整式；64：几何直观；68：模型思想；69：应用意识．【分析】（1）画出面积拼图，说明（a+b）2＝a2+2ab+b2，进而得出（a+b）2≠a2+b2；（2）利用多项式乘以多项式，根据结果得出答案．【解答】解：（1）如图，根据面积可得（a+b）2＝a2+2ab+b2；因此有（a+b）2≠a2+b2；（2）∵（2a+b）（a+3b）＝2a2+7ab+3b2，∴x＝2，y＝3，z＝7．故答案为：2，3，7．24.△ABC和△DBC中，∠BAC＝∠BDC＝90°，延长CD、BA交于点E．（1）如图1，若AB＝AC，试说明BO＝EC；（2）如图2，∠MON为直角，它的两边OM、ON分别与AB、EC所在直线交于点M、N，如果OM＝ON，那么BM与CO是否相等？请说明理由．【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形．【专题】553：图形的全等；554：等腰三角形与直角三角形；67：推理能力．【分析】（1）证明△BAO≌△CAE便可得结论；（2）证明△BOM≌△CNO便可得BM＝CO．【解答】解：（1）∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∴∠ABO+∠AOB＝∠DCO+∠DOC＝90°，∵∠AOB＝∠DOC，∴∠ABO＝∠DCO，∵∠EAC＝180°﹣∠BAC＝90°，∴∠BAO＝∠EAC，在△BAO和△CAE中，，∴△BAO≌△CAE（ASA），∴BO＝CE；（2）相等．理由如下：∵∠MON＝∠BAC＝90°，∴∠AMO+∠AOM＝∠AOM+∠AON＝90°，∴∠AMO＝∠AON，∴∠BMO＝∠NOC，由（1）知∠ABO＝∠DCO，在△BOM和△CNO中，，∴△BOM≌△CNO（AAS），∴BM＝CO．25.在抗击新冠肺炎疫情期间，司机小张开车免费将志愿者从A市送到B市，到达B市放下志愿者后立即按原路原速返回A市（志愿者下车时间忽略不计），而快递员小李则骑摩托车从B市向A市运送快递，他们出发时间相同，均沿两市间同一条公路匀速行驶，设两人行驶的时间为x（h），两人相距y（km），如图表示y随x变化而变化的情况，根据图象解决以下问题：（1）A、B两市之间的路程为240km；点M表示的实际意义是出发2小时小张与小李相遇；（2）小张开车的速度是80km/h；小李骑摩托车的速度是40km/h．（3）试求出发多长时间后，两人相距60km．【考点】FH：一次函数的应用．【专题】533：一次函数及其应用；68：模型思想；69：应用意识．【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据解答即可；（2）根据题意和函数图象中的数据可以求得小张开车的速度和小李骑摩托车的速度；（3）由（2）的结论分情况列方程解答即可．【解答】解：（1）根据函数图象中的数据可得A、B两市之间的路程为240km，M表示的实际意义是出发2小时小张与小李相遇；故答案为：240；出发2小时小张与小李相遇；（2）小张开车的速度为：240÷3＝80（km/h），小李骑摩托车的速度为：240÷2﹣80＝40（km/h）．故答案为：80；40；（3）设出发x小时两人相距60km．由三种情况：相遇前：80x+40x+60＝240，解得x＝1.5；相遇后小张未到达B市前：80x+40x﹣60＝240，解得x＝2.5；小张返回途中：40x﹣80（x﹣3）＝60，解得x＝4.5；答：出发1.5，2.5，4.5小时，两人相距60km．。

2022-2023学年广东省珠海市高二上册期末数学质量检测试题一、单选题1．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23a =，525S =，则7a =（）A ．16B ．15C ．14D ．13【正确答案】D【分析】先求得等差数列{}n a 的公差，从而求得7a .【详解】15353325552225,5a S a aa a +=⨯=⨯===，设等差数列{}n a 的公差为d ，则322d a a =-=，所以72535213a a d =+=+⨯=.故选：D2．已知空间向量()()1,2,,,2,3n a m a == ，且n m ⊥，则n m -= （）A ．B C ．20D ．【正确答案】D【分析】根据向量垂直列方程，求得a ，进而求得n m -.【详解】由于n m ⊥，所以43440,1n m a a a a ⋅=++=+==- ，所以()()()1,2,11,2,32,0,4n m -=---=-== 故选：D3．古代《九章算术》记载：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何”其意思为：“今有5人分5钱，各人所得钱数依次成等差数列，其中前2人所得之和与后3人所得之和相等，问各得多少钱”.由此可知第一人分得的钱数是（）A ．43B ．1C ．23D ．13【正确答案】A【分析】设第()15,N n n n *≤≤∈分到n a 钱，由题意可得出关于1a 、d 的方程组，解出1a 的值即可.【详解】设第()15,N n n n *≤≤∈分到n a 钱，设数列{}()15,N n a n n *≤≤∈的公差为d ，由题意可得1234512345++++=5+=++a a a a a a a a a a ⎧⎨⎩，所以，121315+=2+=2=+2=1a a a d a a d ⎧⎪⎨⎪⎩，解得143a =.故选：A.4．已知圆1C ：22(5)(3)9x y -+-=，圆2C ：224290x y x y +-+-=，则两圆的位置关系为（）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切【正确答案】C【分析】求出两圆的圆心和半径，根据圆心距与半径和与差的关系，判断圆与圆的位置关系．【详解】圆1C ：22(5)(3)9x y -+-=的圆心为1(5,3)C ，半径13r =，圆2C ：224290x y x y +-+-=，即22(2)(1)14x y -++=，圆心1(2,1)C -，半径2r =，两圆的圆心距125C C =，353-<<+，即211221r r C C r r -<<+，所以圆1C 与圆2C 相交.故选：C5．设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A ．12B ．24C ．30D ．32【正确答案】D【分析】根据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a q a a a ++=++可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q ++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==.故选：D.本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．6．过点()21P ，作圆221：+=O x y 的切线l ，则切线l 的方程为（）A ．3450x y --=B ．4350x y --=C ．1y =或4350x y --=D ．1y =或3450x y --=【正确答案】C【分析】设切线l 为1(2)y k x -=-，即120kx y k -+-=，由l 与圆221：+=O x y 相切，得1d =，即可解决.【详解】由题知，圆221：+=O x y ，圆心为(0,0)，半径为1，因为()21P ，在圆外，所以设切线l 为1(2)y k x -=-，即120kx y k -+-=，因为l 与圆221：+=O x y 相切，所以1d ==，解得0k =或43k =，所以切线l 的方程为1y =，或4350x y --=，故选：C7．已知直线1l ：20x ay -+=与直线2l ：()()240a x a y a ++-+=平行，则a 的值是（）A ．4-B ．1C ．4-或1D ．4或1-【正确答案】B【分析】根据给定条件列出关于a 的等式，求解并验证即可作答.【详解】因直线1l ：20x ay -+=与直线2l ：()()240a x a y a ++-+=平行，则有(2)40a a a ++-=，解得1a =或4a =-，当1a =时，直线1l ：20x y -+=与直线2l ：3310x y -+=平行，当4a =-时，直线1l ：420x y ++=与直线2l ：2840x y ---=，即420x y ++=重合，所以a 的值是1.故选：B8．已知2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点，点P 在椭圆上，()220OP OF PF +⋅= ，且22OP OF b +=，则椭圆的离心率为（）A B C D ．5【正确答案】A【分析】设2PF 的中点为Q ，根据向量的线性运算法则及数量积的定义可得2OQ PF ⊥，从而得到12PF PF ⊥，根据22OP OF b +=得到1||2PF b =，再根据椭圆的定义得到2||PF ，在直角三角形中利用勾股定理得到23b a =，最后根据离心率公式计算可得；【详解】解：设2PF 的中点为Q ，则22OP OF OQ +=由22()0OP OF PF +⋅= ，即220OQ PF ⋅= 所以2OQ PF ⊥，连接1PF 可得1//OQ PF ，所以12PF PF ⊥，因为22OP OF b += ，即22OQ b = ，即1||2PF b =所以21||2||22PF a PF a b =-=-，在12R t PF F 中，2221212||||||PF PF F F +=，即()()2222224c b a b -+=，又222c a b =-，所以222222b a b ab a b +=+--，所以232b ab =，即23b a =解得c e a =故选：A 二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．过点()1,2P 且在x ､y 轴截距相等的直线方程为30x y +-=B ．直线32y x =-在y 轴上的截距为2-C 10y ++=的倾斜角为60︒D ．过点()1,2-且垂直于直线230x y -+=的直线方程为20x y +=【正确答案】BD【分析】A 选项忽略了过原点的情况，错误，B 选项计算截距得到正确，直线斜率为k =倾斜角为120︒，C 错误，根据垂直关系计算直线方程得到D 正确，得到答案.【详解】过点()1,2P 且在x ､y 轴截距相等的直线方程为30x y +-=和2y x =，A 错误；取0x =，=2y -，则直线32y x =-在y 轴上的截距为2-，B 正确；10y ++=的斜率为k =120︒，C 错误；垂直于直线230x y -+=的直线方程斜率为2k =-，过点()1,2-的直线方程为()2122y x x =-++=-，即20x y +=，D 正确.故选：BD.10．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，20182019S S <且20192020S S >，则（）A ．在数列{}n a 中，1a 最大；B ．在数列{}n a 中，2019a 最大C ．20200a >D ．当2020n ≥时，0n a <【正确答案】AD【分析】由题得201920200,0a a ><，即可解决.【详解】由题知，无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，20182019S S <且20192020S S >，所以201920200,0a a ><，所以等差数列{}n a 为递减数列，所以在数列{}n a 中，1a 最大；当2020n ≥时，0n a <；故选：AD11．已知空间中三点()0,1,0A ，()2,2,0B ，()1,3,1C -，则下列命题正确的是（）A ．AB方向的单位向量是55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ．AB 与BC 夹角的余弦值是C ．ABC的面积为2D ．若3AP AB AC =+ ，则点P 到直线AC【正确答案】BCD【分析】根据单位向量、向量夹角、三角形面积、点线距等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，()2,1,0AB = ，所以AB方向的单位向量是2,1,0,055AB AB ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，A 选项错误.B 选项，()3,1,1BC =- ，设AB与BC 夹角为θ，则cos AB BC AB BCθ⋅==-⋅，B选项正确.C 选项，由于cos 11θ=-，所以cos 11B =，则B 是锐角，所以sin B =所以12ABC S =C 选项正确.D 选项，()1,2,1AC =-，()111,3,1,,31,33AP AB AC AP ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭，所以点P 到直线ACD 选项正确.故选：BCD12．如图，P 是椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与双曲线22222:1(0,0)x y C m n m n -=>>在第一象限的交点，且12,C C 共焦点121212,,,,F F F PF C C ∠θ=的离心率分别为12,e e ，则下列结论正确的是（）A ．12,PF a m PF a m=+=-B ．若60θ=︒，则2221314e e +=C ．若90θ=︒，则2212e e +的最小值为2D ．tan2n bθ=【正确答案】ABD【分析】根据给定条件结合椭圆、双曲线定义计算判断A ；借助余弦定理、离心率公式、均值不等式计算判断B ，C ，D 作答.【详解】由椭圆和双曲线的定义得：121222PF PF aPF PF m ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得1PF a m =+，2PF a m =-，A 正确；在12F PF △中，由余弦定理得：()()()()()2222cos 2a m a m a m a m c θ-++--+=，整理得()()2221cos 1cos 2a m c θθ-++=，()()22221cos 1cos 2a m c c θθ-++=，即22121cos 1cos 2e e θθ-++=，当60θ=︒时，222132122e e +=，即2221314e e +=，B 正确；当90θ=︒时，2212112e e +=，2222222112122222121211)11()()1(22e e e e e e e e e e ++++==+2221221212e e e e ≥+⋅，当且仅当121e e ==时取“=”，而1201,1e e <<>，C 不正确；在椭圆中，22222121212122||||cos ||||||442||||PF PF PF PF F F a c PF PF θ=+-=--，即2122||||1cos b PF PF θ=+，在双曲线中，22222121212122||||cos ||||||442||||PF PF PF PF F F m c PF PF θ=+-=-+，即2122||||1cos n PF PF θ=-，于是得22222222sin 221cos 2tan 1cos 1cos 1cos 22cos 2n b n b θθθθθθθ-=⇔===-++，而022θπ<<，则tan 2n b θ=，D 正确.故选：ABD方法点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、双曲线定义，得到a ，c 的关系.三、填空题13．双曲线221916x y -=的渐近线方程是___________.【正确答案】43y x=±【分析】直接由双曲线的方程求解即可【详解】因为双曲线方程为221916x y -=，所以双曲线的渐近线方程为220916x y -=，即43y x =±，故43y x=±14．以点(1,1),(3,3)A B -为直径的圆的一般式方程为______________．【正确答案】22240x y x y +--=【分析】根据AB 为直径，得到直径和圆心坐标，然后写方程即可.【详解】因为()1,1A -，()3,3，所以AB =AB 中点坐标为()1,2，所以以AB 为直径的圆的标准方程为()()22125x y -+-=，展开得一般式方程为22240x y x y +--=.故答案为.22240x y x y +--=15C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．【正确答案】163【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y 并整理得到关于x 的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.【详解】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点F AB 的方程为：1)y x -代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=，解法一：解得121,33x x ==所以212116||1||13|3|33AB k x x =+-=+⋅-=解法二：10036640∆=-=>设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=,过,A B 分别作准线=1x -的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故163本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.16．如图，二面角AB αβ--的大小为60 ，线段PM 与NQ 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB .若2,3,4PM MN NQ ===，则PQ =__________.21【分析】利用空间向量的线性运算可得PQ PM MN NQ =++，再根据向量所成角，结合数量积公式平方即可得解.【详解】根据题意，PQ PM MN NQ =++，由二面角l αβ--大小为120︒，可得,120PM NQ =，22()PQ PM MN NQ =++ 222222PM MN NQ PM MN NQ MN PM NQ=+++⋅+⋅+⋅ 14916224212⎛⎫=+++⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以PQ =四、解答题17．已知公差不为0的等差数列{an }满足a 3＝9，a 2是a 1，a 7的等比中项．（1）求{an }的通项公式；（2）设数列{bn }满足()17n n b n a =+，求{bn }的前n 项和Sn ．【正确答案】（1）an ＝4n ﹣3．（2）Sn 44nn =+．（1）设等差数列{an }的公差为d （d ≠0），根据a 3＝9，a 2是a 1，a 7的等比中项．利用“1,a q ”法求解.（2）由（1）知()1111741n n b n a n n ⎛⎫==⎪++⎝⎭，再用裂项相消法求解.【详解】（1）设等差数列{an }的公差为d （d ≠0），则()()12111296a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=⋅+⎪⎩解得d ＝4或d ＝0（舍去），a 1＝1，∴an ＝1+4（n ﹣1）＝4n ﹣3．（2）∵()1111741n n b n a n n ⎛⎫==⎪++⎝⎭，∴1231111111412231n n S b b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-++- ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1114144nn n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭．本题主要考查等差数列的基本运算和裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．已知圆22:240C x y y +--=，直线:10l mx y m -+-=.(1)判断直线l 与圆C 的位置关系；(2)若直线l 与圆C 交于不同的两点,A B，且AB =.【正确答案】(1)直线l 与圆C 相交；(2)直线的方程为0x y -=或20x y +-=【分析】（1）先求出直线l 过的定点坐标，判断定点在圆内，则直线l 必与圆相交；（2）由圆的半径和弦长求得圆心到直线l 的距离，以此列方程求解m 的值，即可求出直线l 的方程.【详解】（1）直线:10l mx y m -+-=，整理得(1)1m x y -=-，令1010x y -=⎧⎨-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩即直线l 过定点(1,1)P .将P 点坐标代入圆C 方程得112440+--=-<，故P 点在圆C 内，直线l 与圆C 相交.（2）圆22:240C x y y +--=，整理得22(1)5x y +-=即(0,1)C ，r =.因为AB =，所以圆心C 到直线l 的距离为2d ==.又2d =，所以1m =±故直线的方程为0x y -=或20x y +-=.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，M 是PA 的中点，PD ⊥平面ABCD ，且4PD CD ==，2AD =．（1）求证：PA CD ⊥；（2）求AP 与平面CMB 所成角的正弦值；（3）求二面角M CB P --的余弦值．【正确答案】（1）证明见解析；（2）45；（331010（1）根据线面垂直的判定定理证明CD ⊥平面PAD ，即证PA CD ⊥；（2）以D 为原点，分别以,,DA DC DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，求平面CMB的法向量，用向量的方法求直线AP 与平面CMB 所成角的正弦值；（3）求平面CBP 的法向量，用向量的方法求二面角M CB P --的余弦值．【详解】（1）PD ⊥ 平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，PD CD ∴⊥.底面ABCD 是矩形，AD CD ∴⊥，又AD PD D =I ，CD \^平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，CD PA ∴⊥.（2）以D 为原点，分别以,,DA DC DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示则()()()()()()0,0,0,2,0,0,0,4,0,0,0,4,1,0,2,2,4,0D A C P M B ，()()()2,0,4,2,0,0,1,4,2,25AP CB BM AP ∴=-==--= 设平面CMB 的法向量(),,n x y z = ，则·0·0n CB n BM ⎧=⎨=⎩，即0420x x y z =⎧⎨--+=⎩，令1y =，则2z =，()0,1,2,5n n ∴== .设直线AP 与平面CMB 所成的角为θ，则4sin cos ,5255AP n AP n AP n θ=〈〉==⨯ .所以AP 与平面CMB 所成角的正弦值为45.（3）()()2,0,0,2,4,4CB BP ==-- .设平面CBP 的法向量(),,m x y z = ，则·0·0m CB m BP ⎧=⎨=⎩，即02440x x y z =⎧⎨--+=⎩，令1y =，则1z =.()0,1,1,2m m == 又平面CMB 的法向量()0,1,2,5n n == 设二面角M CB P --的大小为α，则α为锐角，310cos cos ,1025m n m n m nα∴=〈〉===⨯ ，所以二面角M CB P --的余弦值为31010．本题考查线线垂直，考查用向量的方法求线面角和面面角，考查学生的运算能力，属于较难的题目.20．如图，焦点为F 的抛物线2y 2px(p 0)=>过点()Q 1,m (m 0)>，且QF 2=．(Ⅰ)求p 的值；(Ⅱ)过点Q 作两条直线1l ，2l 分别交抛物线于()11A x ,y ，()22B x ,y 两点，直线1l ，2l 分别交x 轴于C ，D 两点，若QCD QDC ∠∠=，证明：12y y +为定值．【正确答案】（Ⅰ）p 2=；（Ⅱ）见解析.【分析】（Ⅰ）由抛物线的定义可得出p 的值；（Ⅱ）先写出抛物线的方程，由条件∠QCD ＝∠QDC ，得出直线AQ 和直线BQ 的斜率之和为零，利用两点的斜率公式以及等式2114y x =，2224y x =可计算出y 1+y 2＝-4，进而证明结论成立．【详解】(Ⅰ)抛物线的准线方程为p x 2=-，由抛物线的定义得p QF 122=+=，得p 2=；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，抛物线的方程为2y 4x =，将点Q 的坐标代入抛物线的方程得2m 414=⨯=，m 0> ，得m 2=，所以，点Q 的坐标为()1,2．QCD QDC ∠∠= ，所以，直线AQ 和BQ 的斜率互为相反数．则()()121212AQ BQ 2222121212124y 24y 2y 2y 2y 2y 244k k 0y y x 1x 1y 4y 4y 2y 21144------+=+=+=+=+=----++--．所以，12y 2y 20+++=，因此，12y y 4(+=-定值)．本题考查直线与抛物线的综合，考查抛物线的定义，同时考查抛物线性质的应用，考查计算能力，属于中等题．21．已知数列{}n a 中，12a =且*122(2,)n n a a n n n N -=-+≥∈.（1）求2a ，3a ，并证明{}n a n -是等比数列；（2）设12n n n a b -=，求数列{}n b 的前n 项和n S .【正确答案】（1）24a =，37a =，证明见解析；（2）1242n n n S n -+=+-.（1）在已知的数列递推公式中分别取2,3n =，结合已知的首项即可求得23,a a 的值，再把递推式两边同时减n 即可证明{}n a n -是等比数列；（2）由{}n a n -是等比数列求出数列{}n a 的通项公式，代入12n n n a b -=，分组后利用错位相减法求数列{}n b 的前n 项和n S .【详解】（1）由已知()*1222,n n a a n n n N -=-+≥∈+24a =，37a =，1222n n a n a n --=-+，即()121n n a n a n -⎡⎤-=--⎣⎦，因为()()*122,1n n a n n n N a n --=≥∈--，所以{}n a n -是以2为公比的等比数列.（2）由（1）得()1112n n a n a --=-⋅，即12n n a n -=+，所以11122n n n n a n b --==+，设12n n n C -=，且前n 项和为n T ，所以01231123422222n n n T -=+++++ ，①123112322222n n n T =++++ ，②①－②得231111111222222-⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭ n n n n T ，11112212122212--+=+-=--n n nn n ，所以1242n n n T -+=-，1242n n n S n -+=+-.该题主要考查的是等比数列的定义，数列的递推公式，错位相减法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22．已知定点()1,0M -，圆N ：()22116x y -+=，点Q 为圆N 上动点，线段MQ 的垂直平分线交NQ 于点P ，记P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过点M 与N 作平行直线1l 和2l ，分别交曲线C 于点A ，B 和点D ，E ，求四边形ABDE 面积的最大值．【正确答案】(1)22143x y +=(2)6【分析】（1）由椭圆的定义求解（2）设直线方程后与椭圆方程联立，由韦达定理表示弦长，将面积转化为函数后求求解【详解】（1）由题意可得42MP NP PQ NP MN +=+=>=，所以动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，长轴长为4的椭圆，即曲线C 的方程为：22143x y +=；（2）由题意可设2l 的方程为1x ty =+，联立方程得()2222134690431x y t y ty x ty ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩，设()11,D x y ，()22,E x y ，则由根与系数关系有122122634934t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩，所以DE =()2212134t t +=+，根据椭圆的对称性可得()2212134t DE AB t +==+，1l 与2l 的距离即为点M 到直线2l的距离，为d所以四边形ABDE 面积为24S =()1u u =≥得224241313u S u u u==++，由对勾函数性质可知：当且仅当1u =，即0=t 时，四边形ABDE 面积取得最大值为6．。

广东省佛山市2019-2020学年数学高二第二学期期末学业水平测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知点P 为双曲线2221x y a-=上一点，则它的离心率为（）A B C D ．【答案】B 【解析】 【分析】将点P 带入求出a 的值，再利用公式c e a ==计算离心率。

【详解】 将点P 带入得21231a-=，解得23a =所以c e a ==【点睛】本题考查双曲线的离心率，属于基础题。

2．设ABC ∆是边长为2的正三角形，E 是BC 的中点，F 是AE 的中点，则()AB FB FC ⋅+u u u v u u u v u u u v的值为（ ） A ．1- B ．0C ．2D ．3【答案】D 【解析】 【分析】将,AB AC u u u r u u u r作为基向量，其他向量用其表示，再计算得到答案. 【详解】设ABC ∆是边长为2的正三角形，E 是BC 的中点，F 是AE 的中点，()()()AB FB FC AB FA AB FA AC AB AB AC AE ⋅+=⋅+++=⋅+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r1(())2AB AB AC AB AC =⋅+-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 21111()1232222AB AC AB AB AC AB =⋅+=⋅+=+=u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r故答案选D【点睛】本题考查了向量的乘法，将,AB AC u u u r u u u r作为基向量是解题的关键.3．《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳（约公元2世纪）所著，该书主要记述了：积算（即筹算）太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算计数14种计算器械的使用方法某研究性学习小组3人分工搜集整理14种计算器械的相关资料，其中一人4种、另两人每人5种计算器械，则不同的分配方法有（ ）A ．455314105322C C C A A B ．455214105233C C C A A C ．4551410522C C C AD ．45514105C C C【答案】A 【解析】 【分析】本题涉及平均分组问题，先计算出分组的方法，然后乘以33A 得出总的方法数. 【详解】先将14种计算器械分为三组，方法数有4551410522C C C A 种，再排给3个人，方法数有455314105322C C C A A 种，故选A. 【点睛】本小题主要考查简单的排列组合问题，考查平均分组要注意的地方，属于基础题.4．从混有4张假钞的10张一百元纸币中任意抽取3张，若其中一张是假币的条件下，另外两张都是真币的概率为（ ） A ．512B ．58C ．35D ．12【答案】A 【解析】分析:直接利用条件概率公式求解.详解：由条件概率公式得26291553612C P C ===.故答案为A 点睛：（1）本题主要考查条件概率，意在考查学生对条件概率的掌握水平.(2) 条件概率一般有“在A 已发生的条件下”这样的关键词，表明这个条件已经发生， 发生了才能称为条件概率.但是有时也没有，要靠自己利用条件概率的定义识别.5．分配4名工人去3个不同的居民家里检查管道，要求4名工人都分配出去，并且每名工人只去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有（ ） A ．34A 种 B ．3134A A 种C ．2343C A 种D ．113433C C A 种【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分析可得，必有2名水暖工去同一居民家检查；分两步进行，①先从4名水暖工中抽取2人，②再将这2人当做一个元素，与其他2人，共3个元素，分别分配到3个不同的居民家里，由分步计数原理，计算可得答案. 【详解】解：根据题意，分配4名水暖工去3个不同的居民家里，要求4名水暖工都分配出去，且每个居民家都要有人去检查；则必有2名水暖工去同一居民家检查，即要先从4名水暖工中抽取2人，有24C 种方法，再将这2人当做一个元素，与其他2人，共3个元素，分别分配到3个不同的居民家里，有33A 种情况， 由分步计数原理，可得共2343C A 种不同分配方案， 故选：C. 【点睛】本题考查排列、组合的综合应用，注意一般顺序是先分组（组合），再排列，属于中档题. 6．设命题2:,10p x R x ∀∈+>，则p ⌝为（ ）A ．200,10x R x ∃∈+> B ．2,10x R x ∀∈+≤ C ．200,10x R x ∃∈+<D ．200,10x R x ∃∈+≤【答案】D 【解析】分析：根据全称命题的否定解答.详解：由全称命题的否定得p ⌝为：200,10x R x ∃∈+≤，故答案为D.点睛：（1）本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 全称命题p ：,()x M p x ∀∈,全称命题p 的否定（p ⌝）：,()x M p x ∃∈⌝.7．设()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()(),f x g x ''分别是()(),f x g x 的导数，当0x <时，()()()()0f x g x f x g x ''+>且()60g =，则不等式()()0f x g x <的解集是（ ）A ．(6,0)(6,)-+∞UB ．(6,0)(0,6)-UC ．(,6)(0,6)-∞-UD ．(,6)(6,)-∞-+∞U【答案】C 【解析】 【分析】构造函数()()()h x f x g x =，判断函数的单调性和奇偶性，脱离f 即可求得相关解集. 【详解】根据题意，可设()()()h x f x g x =，则()h x 为奇函数，又当0x <时()()()()0f x g x f x g x ''+>，所以()h x 在R 上为增函数，且()60h -=，()()0f x g x <转化为()0h x <,当0x <时，则6x <-，当0x >，则()(6)h x h <，则06x <<，故解集是(,6)(0,6)-∞-U ，故选C. 【点睛】本题主要考查利用抽象函数的相关性质解不等式，意在考查学生的分析能力和转化能力，难度中等. 8．已知随机变量ξ~B （n ，p ），且E ξ=2.4，D ξ=1.44，则n ，p 值为（ ） A ．8，0.3 B ．6，0.4C ．12，0.2D ．5，0.6【答案】B 【解析】2.40.4(1) 1.446np p np p n ==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩，选B. 9．设函数()()21,04,0x log x x f x x ⎧-<=⎨≥⎩，则()()233f f log -+=（ ）A ．9B ．11C ．13D ．15【答案】B 【解析】 【分析】根据自变量所在的范围代入相应的解析式计算即可得到答案. 【详解】∵函数2log (1),0()4,0xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩， ∴()2l 23og 2(3)log 3log 44f f -+=+=2+9=1．故选B ． 【点睛】本题考查函数值的求法，考查指对函数的运算性质，是基础题．10．已知点()()()()1,1,1,2,2,1,3,4A B C D ---，则向量AB u u u v 在CD uuu v方向上的投影为（ ）A ．2B ．2C ．2-D ．2-【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】(2,1)AB =u u u r ，(5,5)CD =u u u r ，向量AB u u u v 在CD uuu v 方向上的投影为2AB CD CD⋅==u u u r u u u ru u u r ，故选A ． 11．有一段“三段论”，其推理是这样的：对于可导函数()f x ，若()0'0f x =，则0x x =是函数()f x 的极值点,因为函数()3f x x =满足()'00f =，所以0x =是函数()3f x x =的极值点”，结论以上推理()A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．没有错误【答案】A 【解析】 【分析】在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析其大前提的形式：“对于可导函数f （x ），如果f'（x 0）＝0，那么x ＝x 0是函数f （x ）的极值点”，不难得到结论． 【详解】对于可导函数f （x ），如果f'（x 0）＝0，且满足当x ＞x 0时和当x ＜x 0时的导函数值异号时，那么x ＝x 0是函数f （x ）的极值点，而大前提是：“对于可导函数f （x ），如果f'（x 0）＝0，那么x ＝x 0是函数f （x ）的极值点”，不是真命题，∴大前提错误， 故选A ．本题考查的知识点是演绎推理的基本方法，演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．12．某研究机构在对具有线性相关的两个变量x 和y 进行统计分析时，得到的数据如下表所示．由表中数据求得y 关于x 的回归方程为0.6ˆ5ˆyx a =+，则在这些样本点中任取一点，该点落在回归直线上方的概率为（ ）A ．5 B ．5 C ．5D ．无法确定【答案】B 【解析】 【分析】求出样本的中心点，计算出$a，从而求出回归直线方程，5个点中落在回归直线上方的有三个，算出概率即可。