2020-2021学年广东省佛山市高二(上)期末数学试卷 (解析版)
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2020-2021学年广东省佛山市高二（上）期末数学试卷
一、选择题（共8小题）.
1．命题“∃m∈N，∈N”的否定是（ ）
A．∀m∉N，∈N B．∀m∈N，∉N
C．∃m∈N，∉N D．∃m∉N，∈N
2．直线x+y﹣2＝0的倾斜角是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
3．两平行直线l1：ax+y﹣2＝0，l2：2x﹣y+3＝0之间的距离是（ ）
A． B． C．1 D．5
4．已知l，m为两条不同直线，α，β为两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若l∥α，m⊂α，则l∥m
B．若l∥α，m∥α，则l∥m
C．若l⊂α，m∥β，则1∥m
D．若l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m
5．月球绕地球公转的轨道近似于一个以地心为焦点的椭圆．已知近地点距离（月心到地心的最小距离）约为36.4万公里，远地点距离（月心到地心的最大距离）约为40.6万公里，据此可估算月球轨道的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．“k＝1”是“两点A（1，3），B（7，5）到直线l：y＝kx的距离相等”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．若A，B是抛物线C：y2＝4x上的两个动点，满足|AB|＝8，则线段AB的中点M到抛物线C的准线l的距离的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动．若D1O⊥OP，则△D1C1P面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题（共4小题）.
9．已知M是椭圆C：＝1上一点，F1，F2是其左、右焦点，则下列选项中正确的是（ ）
A．椭圆的焦距为2
B．椭圆的离心率e＝
C．|MF1|+|MF2|＝2
D．△MF1F2的面积的最大值是4
10．平面α与平面β平行的条件可以是（ ）
A．α内有无数条直线都与β平行
B．α内的任何直线都与β平行
C．两条相交直线同时与α，β平行
D．两条异面直线同时与α，β平行
11．设有一组圆∁k：（x﹣k）2+（y﹣k）2＝4（k∈R），下列命题正确的是（ ）
A．不论k如何变化，圆心∁k始终在一条直线上
B．存在圆∁k经过点（3，0）
C．存在定直线始终与圆∁k相切
D．若圆∁k上总存在两点到原点的距离为1，则k∈（）
12．佩香囊是端午节传统习俗之一．香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫开窍的功效．因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目．图1的平行四边形ABCD由六个边长为1的正三角形构成．将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊．那么在图2这个六面体中（ ）
A．AB与CD是异面直线
B．AB与CD是相交直线
C．存在内切球，其表面积为π
D．存在外接球，其体积为π
三、填空题（共4小题）.
13．双曲线9y2﹣16x2＝144的渐近线方程为
．
14．抛物线y2＝mx（m为常数）过点（﹣1，1），则抛物线的焦点坐标为 ．
15．空间四边形两对角线的长分别为6和8，所成的角为60°，连接各边中点所得四边形的面积是 ．
16．2020年11月，我国用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，探测器在进入近圆形的环月轨道后，将实施着陆器和上升器组合体与轨道器和返回器组合体分离．我们模拟以下情景：如图，假设月心位于坐标原点O，探测器在A（4000，0）处以12km/s的速度匀速直线飞向距月心2000km的圆形轨道上的某一点P，在点P处分离出着陆器和上升器组合体后，轨道器和返回器组合体立即以18km/s的速度匀速直线飞至B（0，3000），这一过程最少用时 s．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD且AB＝AD＝1，CD＝2．现选择梯形的某一边为轴旋转一周，请说明所得到的几何体的构成并计算该几何体的体积．
18．如图，四面体ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝90°，AD⊥平面BCD．M为AD中点，P为BM中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC．
（1）求证：PQ∥平面BCD；
（2）若AD＝DC，N是CD的中点，求证：NQ⊥平面ABC．
19．在平面直角坐标系xOy中，已知四点A（0，1），B（3，0），C（1，4），D（0，3）．
（1）这四点是否在同一个圆上？如果是，求出这个圆的方程；如果不是，请说明理由．
（2）求出到点A，B，C，D的距离之和最小的点P的坐标．
20．在平面直角坐标系xOy中，动圆P过点F（1，0），且与直线l：x＝﹣1相切，设圆心P的轨迹是曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）已知M（2，0），N（﹣2，1），过点M的直线交曲线C于点A，B（A位于x轴下方），AB中点为Q，若直线QN与x轴平行，求证：直线NA与曲线C相切．
21．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF．
（1）求证：A1F⊥C1E；
（2）当EF取得最大值时，求二面角E﹣A1C1﹣F的余弦值．
22．已知椭圆Γ：＝1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点（1，）．
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）已知O为坐标原点，若平行四边形OACB的三个顶点A，B，C均在椭圆Γ上，求证：平行四边形OACB的面积为定值．
参考答案
一、选择题（共8小题）.
1．命题“∃m∈N，∈N”的否定是（ ）
A．∀m∉N，∈N B．∀m∈N，∉N
C．∃m∈N，∉N D．∃m∉N，∈N
解：命题“∃m∈N，∈N”的否定是“∀m∈N，∉N”．
故选：B．
2．直线x+y﹣2＝0的倾斜角是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
解：的斜率为，设倾斜角为α，
则．
所以倾斜角．
故选：D．
3．两平行直线l1：ax+y﹣2＝0，l2：2x﹣y+3＝0之间的距离是（ ）
A． B． C．1 D．5
解：两平行直线l1：ax+y﹣2＝0，l2：2x﹣y+3＝0，则a＝﹣2，
即直线l1：﹣2x+y﹣2＝0可化为2x﹣y+2＝0，
所以两平行直线l1：2x﹣y+2＝0，l2：2x﹣y+3＝0之间的距离是．
故选：A．
4．已知l，m为两条不同直线，α，β为两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若l∥α，m⊂α，则l∥m
B．若l∥α，m∥α，则l∥m
C．若l⊂α，m∥β，则1∥m
D．若l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m 解：若l∥α，m⊂α，则l∥m或l与m异面，故A错误；
若l∥α，m∥α，则l∥m，则l∥m或l与m相交或l与m异面，故B错误；
若l⊂α，m∥β，则1∥m，则l∥m或l与m相交或l与m异面，故C错误；
若l∥α，过l的平面与α相交于a，则l∥a，若l∥β，过l的平面与β相交于b，则l∥b，则a∥b，
又α∩β＝m，可得al∥m，则l∥m，故D正确．
故选：D．
5．月球绕地球公转的轨道近似于一个以地心为焦点的椭圆．已知近地点距离（月心到地心的最小距离）约为36.4万公里，远地点距离（月心到地心的最大距离）约为40.6万公里，据此可估算月球轨道的离心率为（ ）
A． B． C． D．
解：因为月球绕地球公转的轨道近似于一个以地心为焦点的椭圆，
所以近地点的坐标可设为（﹣a，0），远地点的坐标设为（a，0），
则由题意可得a﹣c＝36.4，
又2a＝36.4+40.6＝77，所以a＝38.5，则c＝2.1，
故月球轨道的离心率为e＝，
故选：C．
6．“k＝1”是“两点A（1，3），B（7，5）到直线l：y＝kx的距离相等”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解：当k＝1时，直线l：x﹣y＝0，点A（1，3），B（7，5）到直线分别为，，
故k＝1”是“两点A（1，3），B（7，5）到直线l：y＝kx的距离相等”的充分条件；
直线l：kx﹣y＝0，根据两点A（1，3），B（7，5）到直线l：y＝kx的距离相等得， 解得：k＝1或k＝，
所以“k＝1”是“两点A（1，3），B（7，5）到直线l：y＝kx的距离相等”的不必要条件，
所以“k＝1”是“两点A（1，3），B（7，5）到直线l：y＝kx的距离相等”的充分不必要条件，
故选：A．
7．若A，B是抛物线C：y2＝4x上的两个动点，满足|AB|＝8，则线段AB的中点M到抛物线C的准线l的距离的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
解：由抛物线的方程可得准线的方程为x＝﹣1，
由题意可得直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为：x＝my+t，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，整理可得：y2﹣4my﹣4t＝0，
所以△＝16m2+16t＞0，所以t＞﹣m2，
且y1+y2＝4m，x1+x2＝m（y1+y2）+4t＝4m2+4t，
所以中点M的横坐标xM＝2m2+t，
所以M到准线的距离d＝xM+1＝2m2+t+1，
弦长|AB|＝＝，
由题意|AB|＝8，
8＝，可得：t＝﹣m2，
所以d＝2m2+t+1＝m2+1+＝4，
当且仅当1+m2＝2，
所以m＝±1时，d的最小值为4．
故选：B．
8．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动．若D1O⊥OP，则△D1C1P面积的最大值为（ ）
