基本波动方程的求解方法 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020
关于弦振动的求解方法
李航
一、无界弦振动
1、一维齐次波动方程
达朗贝尔方程解无界的定解问题
⎰+-+-++=at x at
x d a at x at x t x u ξξϕφϕ)(21)]()([21),( <达朗贝尔公式> 在常微分方程的定解问题中，通常是先求方程的通解，然后利用定解条件确定通解所含的任意常数，从而得到定解问题的解。考虑无界的定解问题一般方程为 由达郎贝尔公式，解在点),(t x 的值由初始条件在区间],[at x at x +-内的值决定，称区间
],[at x at x +-为点),(t x 的依赖区域，在t x -平面上，它可看作是过点),(t x ，斜率分别a 1± 为的两条直线在x 轴上截得的区间。
2、一维非齐次波动方程的柯西问题
达朗贝尔方程解非齐次定解问题
令),(),(),(t x V t x U t x u +=，可将此定解分解成下面两个定解问题： (I) ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<∞-∂∂=∂∂== ， )(|),(|0,0022222x t u x u t x x u a t u t x φϕ
(II) ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<∞-+∂∂=∂∂== ， 0|,0|0,),(0022222t x t u u t x t x f x u a t u 其中问题(I)的解可由达朗贝尔公式给出：
⎰+-+-++=at x at
x d a at x at x t x U ξξϕϕϕ)(21)]()([21),(。 对于问题(II)，有下面重要的定理。
定理（齐次化原理）设),,(τωt x 是柯西问题
的解)0(≥τ，则⎰=t d t x t x V 0
),,(),(ττω是问题(II)的解。 二、有界的弦振动方程
1、分离变量法
齐次条件的分离变量法
（1） （2） （3）
设)()(),(t T x X t x u =，代入方程（1）得：
上式右端不含x ，左端不含t ，所以只有当两端均为常数时才能相等。令此常数为λ-，则有：
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====><<∂∂=∂∂==)(|),(|0
),(),0(0,0,010
22222x u x u t l u t u t l x x u a t u t t φϕ
0)()(''=+x X x X λ （4）
0)()(2'=+t T a t T λ （5）
所齐次边界条件可得：
0)()(,0)0('=+=l hX l X X （6）
从而特征值问题:
对λ的取值分三种情况0>λ，,0=λ0<λ进行讨论。
这个定解的特点是：偏微分方程是齐次的，边界条件是齐次的。求解这样的方程可用叠加原理。类似于常微分方程通解的求法先求出其所有线性无关的特解，通过叠加求定解问题的解。
非齐次条件分离变量法
分离变量法要求方程是齐次、边界条件也为齐次,如果上述条件之一破坏，则不能采用分离变量法解。
分离变量法要求定解问题的边界条件是齐次的，这是因为用分离变量法要将特征函数叠加起来，如果边界条件非齐次，则通过叠加后的函数就不可能满足原边界条件。所以当边界条件是非齐次时，必须设法将边界条件化成齐次的。如：
设),(),(),(t x W t x V t x u +=，通过适当选取),(t x W 使新的未知函数满足齐次边界条件，这只须使),(t x W 满足：
)(),0(11t g t W =，)(),(21t g t l W =
即可。
小结：分离变量法的解题步骤
a ，
令)()(),(t T x X t x U += b ， 将试探解带入泛定方程。
c ， 将等式两边同时乘以
xx u a 21，进行分离变量，获得两个常微分方程。 d ， 由边界条件，将）（x X 方程解出需要讨论本征值λ（0>λ，,0=λ0<λ）三种情
况，获得本正值和本征函数。
e ，
写出)t (T 解的形式后与）（x X 一起构成),(t x U 通解形式。 f ， 由初始条件确定待定系数。
三、无界、有界，齐次、非齐次的通解方法
傅里叶级数解法
设),(),(),(t x W t x V t x U +=（4），其中构造）（）（t t ),(B A t x V +=让其满足（2）则：
所以对),(t x W 有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====><<+∂∂=∂∂==）（）（）（ 8)(|),(|70),(),0(60,0,t sin t 0102
22222
x u x u t l W t W t l x A x W a t W t t φϕωω 令）（）（9t kx sin t ),(0k k ∑∞==πT t x W
（9）式带回到（6）式
）（）（9t kx sin t ),(0k 1k ∑∞==πT t x W
解出： 整理出),(t x W 与),(t x V 构成),(t x U 的解，再带回到（3）是求出待定系数。 小结：一般傅里叶级数的求解步骤
1、令∑∞
==0k k k )x (t ),(X T t x U ）（，其中展开基)x (k X 为对应齐次函数本征函数（由边界条件
决定）
2、将∑∞
==0k k k )x (t ),(X T t x U ）（带入泛定方程后，将），（t x f 也按)x (k X 展为傅里叶级数，
比较等式两边，获得）（t k
T 的常微分方程。
3、将∑∞==0k k k )x (t ),(X T t x U ）（带入初始条件，得到关于）（t k
T 方程的定解条件。
4、解关于）（t k
T 的常微分方程。
5、将）（t k T 解的通解形式带回到∑∞==0k k k )x (t ),(X T t x U ）（中即可。（此时即为方程的解）
