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张宇例题9.8柱壳法为了理解这种方法，考虑图1左边所示的区域，也就是，第一象限数轴和所示示曲线y=f(x)y=f(x)围成的区域。
如果这个区域绕xx 轴旋转，那么图中的垂直窄带生成一个圆盘，我们能够从x=0x=0到x=bx=b区间上积分这些圆盘的体积得到总体积。
当然，这是上篇文章中描述的圆盘法。
然而，如果区域绕yy轴旋转，就像图中间的那样，那么我们获得完全不同的物体，垂直窄带产生了很薄的圆柱壳。
这个壳可以看做一个罐头，只是其顶部和底部已被去掉，或者很薄的纸板。
其体积dVdV本质上是内圆柱表面积(2πxy)(2πxy)乘以厚度(dx)(dx)，所以dV=2πxydx(1)(1)dV=2πxydx这个壳的半径xx从x=0x=0增长到x=bx=b，从图1可以看出，圆柱壳序列填充沿着轴向外充满了整个物体。
因此总体积就是dVdV 体积元的和-或积分V=∫dV=∫2πxydx=∫b02πxf(x)dx(2)(2)V=∫dV=∫2πxydx=∫0b2πxf(x)dx其中y=f(x)y=f(x)，原则上，体积VV也可以用水平窄带得到的水平圆盘来计算；然而我们会发现这非常困难，因为给定的方程y=f(x)y=f(x)无法用yy来表示xx。
图1和其他积分的应用一样，等式(1)(2)将涉及到和极限的复杂过程变成简洁的表达式，为了清楚起见，我们忽略这个过程的细节。
还跟之前一样，我们建议大家不要死记公式(2)。
这个公式类似于对应的圆盘法公式，如果只是死记而不加思考的话，很容易将他们用混并打字自信。
更好地方式是画图，直接从图中可见的信息来构建(1)，然后对形式(2)进行积分。
此外，这种方法更大的优势，我们不用依赖于任何特定的符号，可以很容易将基本思想应用到各种轴旋转得到的物体上。
例1：上篇文章中我们用圆盘法计算了球体的体积。
现在我们用圆柱壳法在此解决这问题(图2)。
图中所示壳的体积为dV=2πx(2y)dx=4πxa2−x2−−−−−−√dxdV=2πx(2y)dx=4πxa2−x2dx因此球体的体积是V=4π∫a0xa2−x2−−−−−−√dx=4π(−13)(a2−x2)3/2∣∣a0=−4π3(a2−x2)3/2∣∣a0=43πa3V=4π∫0axa2−x2dx=4π(−13)(a2−x2)3/2|0a=−4π3(a2−x2)3/2|0a=43πa3图2另外，我们考虑一个相关问题：如果一个直径为aa的垂直洞通过了球中，那么如何找到剩余的体积。
一、函数、极限、连续主要内容：极限的定义与性质，求极限（函数极限、数列极限），无穷小的比较，间断点及其类型.1.函数极限（洛必达法则、等价无穷小代换、泰勒公式）加减运算中等价原则：111111111111,,lim1,,,lim 1,αααββαβαββαααββαβαββ≠-≠-++ 则-则常用的等价代换:()(33332201111sin ,arcsin ,tan ,arctan ,sin arcsin (6633)1ln 1,ln ,1cos .22x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x αα→--------+-时1,l n 1x x x →- 时 例1 求极限sin lim xx x x x I +→-= 1()6（改1000题数一1.32（17），数二1.65，数三1.43（22））例2 （类1000题数一1.58，数二1.108，数三1.75）()()()()()()2ln 1(),0(),01,0,0,0.1,02x xf x x x f x g x g f f f x +-⎧≠⎪⎪''''==⎨⎪=⎪⎩设具有二阶连续导若求数，()()()401,01,03f f f ⎛⎫'''==-=- ⎪⎝⎭例3设()22lim 1x x x bx e -→+∞⎤+=⎥⎦，试确定,a b 的值 ()2,1a b =-=例4 ()()()1tan sin 20,0lim ,0+x xx xx e x f x f t dtx x --∞→⎧≤=⎨>⎩⎰设，求极限 23e ⎛⎫⎪⎝⎭2.数列极限（夹逼准则、定积分定义、单调有界准则）例5 22212lim 111n n n n n →∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12()e例6 求极限2sin sin sin lim 1112n n n n n n n πππ→∞⎛⎫ ⎪+++ ⎪+ ⎪++⎝⎭ 2π⎛⎫ ⎪⎝⎭ （1000题数一1.55，数二1.105，数三1.72）例7 设()()()ln 2,,2f x x x x =+-∈-∞，()1求()f x 在(),2-∞上的最大值，()2若()11ln2,,1,2,n n x x f x n +=== ，求lim n n x →∞()()()111,2lim1n n f x →∞==最大值二、一元函数微分学主要内容：导数的定义，求各类函数的导数（复合函数、隐函数、参数方程、分段函数、高阶导数），性态（单调性、极值与最值、凹凸性与拐点），方程的根，不等式的证明，微分中值定理的证明题.例 设()()()limx af x f x x a x a x a→==-在处连续且存在,则在处()()()()()()()()()()()()()0,00.A f x f xB f x f xC f x f aD f x f x f a '='不可导，但可导不可导，且也不可导可导，且可导，但对不同的可以为也可以不为 1.方程的根例1 证明方程221x x =+有且仅有三个根例2 试求方程()20xe axa =>为常数的根的个数（1000题数二2.122，数三2.110）2.不等式的证明例3()()224201tan 2tanlim nn nn k x x x x x x →∞=≤-≤=∑证明:充分小时，不等式0设求例4 《18讲例题5.11》3.微分中值定理证明例5()[]()[]()()100,1010,12 2.=f x f f f x dx ξξ'∃∈=-⎰设在上有连续的导数，且，证明：使得例6 （1000题数一2.96，数二2.117，数三2.105）()[]()()()()()()222,2100 4.2,20.f x f x f f f f ξξξ'-≤+=⎡⎤⎣⎦''∃-+=设函数在上二阶可导，且，又试证：使得例7（18讲例题4.10的推广）()[]()()()()()()0,10,100,11,,00,1.f x f f m M m Mm M f f ξηξη==>∃∈+=+''设在上连续，在上可导，对任意的，证明：不同的,使得三、一元函数积分学主要内容：不定积分、定积分与反常积分（基本方法、特色方法、判敛），变限积分函数性质（连续性、可导性、奇偶性），定积分的应用，定积分等式与不等式的证明.1.不定积分、定积分、反常积分 例120xe dx ⎡⎤=⎣⎦⎰例2 22202cos sin xt x e dt xdx ππ--⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰例3 3111arccos dx x x+∞⎰例4 ()()()20011dxx x αα+∞≥++⎰2.变限积分函数（略）3.定积分有关的等式、不等式的证明题例5()()[][]()()()()()()()()()20,,,0,1,sin 210.bba a f x g x ab a b g x a b f x g x dx f g x dx xdx xπξξ≥∈=>⎰⎰⎰设在上连续，又在区间上证明至少存在一点使利用的结论证明（18讲例8.2）例6.（1000题数一3.137，数二3.175，数三3.153）利用柯西积分不等式()()()()222b b ba a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰，证明：()()()2222bbaab a fx dx f x dx -'≤⎡⎤⎣⎦⎰⎰，其中()[](),0.f x a b f a =在上有一阶连续导数，例6’.()[]()()()()()()22,0,1,cos sin 1,.babbaaf x a b f x f x dx f x kxdx f x kxdxk ≥=+≤⎰⎰⎰若在上连续，且证明：这里是任意实数例7《18讲例题8.12》。
张宇强化十八讲例题【原创版】目录1.张宇强化十八讲例题简介2.张宇强化十八讲例题的内容3.张宇强化十八讲例题的价值4.如何充分利用张宇强化十八讲例题正文【张宇强化十八讲例题简介】张宇强化十八讲例题是一套针对中国学生学习数学而设计的辅导教材。
它是由著名数学教育专家张宇教授结合多年的教学经验，针对数学学习中的重点、难点和考试要点精心编写而成的。
这套教材内容丰富，涵盖了中学数学的各个方面，旨在帮助学生巩固知识，提高解题能力，最终实现数学成绩的提升。
【张宇强化十八讲例题的内容】张宇强化十八讲例题共分为十八讲，每讲都围绕一个主题展开，内容包括：1.有理数与整式：有理数的概念、性质、运算，整式的概念、运算等；2.一元一次方程与不等式：一元一次方程的解法，一元一次不等式的解法等；3.几何图形：平面直角坐标系，直线与圆的方程，多边形、三角形、矩形、菱形等；4.函数与导数：函数的概念、性质、图像，导数的概念、计算、应用等；5.数列与极限：数列的概念、性质、求和，极限的概念、性质、计算等；6.微积分：微积分的概念、性质、应用，微分方程的概念、解法等；7.概率与统计：概率的概念、性质、计算，统计的概念、方法、应用等。
【张宇强化十八讲例题的价值】张宇强化十八讲例题具有很高的实用价值，它不仅可以作为学生的自学辅导教材，也可以作为教师的教学参考书。
通过学习这套教材，学生可以：1.系统地掌握中学数学的知识体系和解题方法；2.提高自己的逻辑思维能力和数学运算能力；3.增强自己的应试能力，提高数学考试成绩。
【如何充分利用张宇强化十八讲例题】要想充分利用张宇强化十八讲例题，建议学生采取以下方法：1.结合教材学习：在学习数学课程时，可以参考这套教材中的例题，加深对知识点的理解；2.系统地进行复习：在学期末或考试前，可以利用这套教材对自己的数学知识进行系统地复习；3.多做例题和习题：通过不断地做例题和习题，提高自己的解题能力和应试能力；4.及时总结和归纳：在学习过程中，要及时总结和归纳自己的学习心得和经验，形成自己的知识体系。
张宇考研数学真题精讲张宇考研数学真题精讲考研数学一直是考生们最为头疼的科目之一。
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在张宇考研数学辅导班的课程中，考生们最为关注的就是真题精讲环节。
张宇老师会挑选一些经典的考研数学真题，对其进行详细的解析和讲解。
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除了真题精讲，张宇考研数学辅导班还会组织一些模拟考试和练习题讲解。
模拟考试可以帮助考生们熟悉考试的环境和流程，提高他们的应试能力和心理素质。
而练习题讲解则可以帮助考生们巩固和应用所学的知识，提高他们的解题能力和水平。
总的来说，张宇考研数学辅导班的真题精讲环节是备考过程中非常重要的一部分。
通过听课和学习，考生们能够更好地理解和掌握考研数学的知识点和解题方法。
同时，他们也能够通过真题精讲环节，了解考研数学的考点和难点，提高他们的备考效果和应试能力。
张宇基础30讲的闭区域上的最值例题在数学学习中，最值问题一直是一个比较基础但又十分重要的内容。
张宇老师的基础30讲中有提到闭区域上的最值例题，这也是一个非常经典的数学问题。
闭区域上的最值问题涉及到函数的极值、导数以及闭区间的概念，是学习高等数学的基础知识。
接下来，我们将从深度和广度两个方面来探讨闭区域上的最值例题。
闭区域上的最值问题涉及到函数的极值。
对于一个闭区间上的函数，我们需要找到这个函数在这个闭区间上的最大值和最小值。
这涉及到函数的增减性、导数以及驻点、端点等概念。
在解决这类问题时，我们需要运用一些基本的极值定理，比如费马定理、罗尔定理等，来证明函数在闭区间上的最值存在。
在平时的学习中，我们也需要多做一些相关的练习题，以加强对极值定理的理解和应用能力。
闭区域上的最值问题也涉及到导数的概念。
在数学学习中，导数是一个非常重要的概念，它可以帮助我们求出函数的增减性、凹凸性以及极值点等信息。
对于闭区域上的函数，我们可以通过求导数的方法，找到函数在闭区间上的极值点。
在这一过程中，我们需要熟练掌握求导的方法，比如常数法则、幂函数的导数、指数函数的导数等。
只有熟练掌握了这些方法，我们才能更好地解决闭区域上的最值问题。
在解决闭区域上的最值问题时，我们还需要注意闭区间的特性。
闭区间上的函数可能在端点处取得极值，而这一点需要我们特别留意。
比如在一些例题中，闭区间的端点可能是函数的极值点，这就需要我们在解题过程中特别考虑端点的情况。
另外，我们还需要掌握一些判断闭区域上函数最值存在的方法，比如强化最大最小值定理、魏尔斯特拉斯定理等，这些定理对于我们判断闭区域上函数最值的存在性十分重要。
闭区域上的最值例题涉及到函数的极值、导数以及闭区间的概念。
在解决这类问题时，我们需要掌握一些基本的极值定理，熟练运用求导的方法，同时也需要注意闭区间的特性。
通过不断地练习和思考，我们可以更好地理解闭区域上的最值问题，并且提高解决这类问题的能力。
张宇18讲质心公式详细讲解质心公式是中国古代数学大师张宇创立的一种精妙而简洁的计算工具，张宇将其比喻为“神奇的硬币”，可以用它完成复杂的算术题。
质心公式可以帮助学生快速解决高等数学几何中的各种问题，给广大学生带来福音。
张宇的质心公式被评定为“中国数学精华”，并被收录到教科书中。
首先，让我们来梳理一下张宇质心公式的精髓：质心公式有三个参数，分别是多边形中心点的横（X）坐标、纵（Y）坐标，以及多边形的边数。
每个参数的取值方式如下：1. X = (a1+a2+…+an) / n，其中ai是每一条边的终点的横坐标。
2. Y = (b1+b2+…+bn) / n，其中bi是每一条边的终点的纵坐标。
3. n多边形的边数。
通过上面的公式，可以求出多边形的中心点的坐标，也就是质心的位置。
接下来，让我们来看一些实例，来详细解释张宇质心公式的使用方法：例1：求三角形的质心假设三角形ABC的三个顶点的坐标分别为：A(2,4)，B(6,2)，C(4,0)按照张宇质心公式，求三角形质心的坐标1.X坐标：X = (2+6+4) / 3 = 42.Y坐标：Y = (4+2+0) / 3 = 2因此，三角形ABC的质心的坐标就是：(4,2)例2：求五边形的质心假设五边形ABCDE的五个顶点的坐标分别为：A(5,5), B(5,10), C(12,14), D(20,10), E(15,5)按照张宇质心公式，求五边形质心的坐标1.X坐标：X = (5+5+12+20+15) / 5 = 11.42.Y坐标：Y = (5+10+14+10+5) / 5 = 9.2因此，五边形ABCDE的质心的坐标就是：(11.4,9.2)到此，我们就详细解释了张宇质心公式的使用方法，该公式可以方便地解决多边形中心点坐标的计算问题，因此它在中国数学史上占据着重要的地位。
另外，张宇质心公式的推广大大改善了数学课的教学环境，不仅改善了学生的学习体验，而且提高了学习效率。
