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第9讲 二次函数与一元二次方程、不等式1. 一元二次不等式的概念一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次是2的不等式称为一元二次不等式. 其一般形式为20ax bx c ++>或20ax bx c ++<，其中,,a b c 均为常数，且0a ≠.2. 一元二次函数的零点一般地，对于二次函数()20y ax bx c a =++≠，我们把使20ax bx c ++=的实数x 叫做二次函数的()20y ax bx c a =++≠的零点.例如：二次函数223y x x =--的两个零点是121,3x x =-=.3. 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系有两个相等的实数4. 解一元二次不等式的步骤：①求对应一元二次方程的根；②根据二次函数图像与x 轴的相对位置确定一元二次不等式的解集.示意图如下：5.分式不等式的解法：将分式不等式转化为整式不等式，然后再求解！例1.解下列二次不等式（1）2650x x-++≥-+->；（3）210 -+>；（2）2230x xx x例2. x例3. 若0a >，解关于x 的不等式()21220ax a x -++≤.例4.解下列分式不等式（1）2103x x ->+； （2）2312x x -+≥-； （3）2221501x x x x --<++ 例5.已知二次函数()28y ax b x a ab =+---，令0y >，解得32x -<<.（1）求二次函数的解析式；（2）当关于x 的不等式20ax bx c ++≤恒成立时，求实数c 的范围. 例6.(1) 方程2330kx kx k ++-=有一个正根和一个负根，求实数k 的取值范围； (2) 方程2210x kx ++=有一个根大于1，一个根小于1，求实数k 的取值范围；(3) k 取何实数值时，关于x 的方程()2250x k x k +-+-=的两个不相等的实根都大于2？(4) 若关于x 的方程()22210x k x k +-+-=有两实根12,x x ，且101x <<，212x <<，求实数k 的取值范围.例7.(1) 若关于x 的不等式2220ax x ++>对任意的实数x 恒成立,求实数a 的取值范围； (2) 若不等式22233x x a a -++≤-对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围； (3) 当12x <<时，不等式240x mx ++<恒成立，求实数m 的取值范围； (4) 已知函数222y x kx =-+，当1x ≥-时恒有y k ≥，求实数k 的取值范围；(5) 已知函数26y mx mx m =--+，若对于13,0m y ≤≤<恒成立，求实数x 的取值范围．跟踪训练1. 解下列不等式：（1）2430x x +-≤； （2）241290x x ++≤；（3）22350x x --≥ ； （4）()22210x m x m m -+++<；（5）102x x -≥+； （6）1221x x -+>-；（7）()()2244430x x x x -+-+≥； （8）2221023x x x x --<+-2. 二次方程20ax bx c ++=的两根为2,3-，若0a <，则不等式20ax bx c ++>的解为 .3. 已知210a +<，则关于x 的不等式22450x ax a -->的解是( )A.5x a <或x a >-B.x a <-或5x a >C.5a x a -<<D.5a x a <<-4. 若关于x 的不等式()210x a x a -++<的解中，恰有3个整数，则实数a 应满足( )A.45a <<B.32a -<<-或45a <<C.45a <≤D.32a -≤<-或45a <≤5. 在R 上定义运算⊗：2a b ab a b ⊗=++，则满足()20x x ⊗-<的实数x 的取值范围是( )A.02x <<B.21x -<<C.2x <-或1x >D.12x -<<6. 若不等式24223x mx x +<-+恒成立，则实数m 的取值范围是 .7. 若不等式222424mx mx x x +-<+恒成立，则实数m 的取值范围是 .8. 若不等式2430y mx mx =-+≠对任意的实数x 均成立，则实数m 的取值范围是 .9. 当11x -≤≤时，方程223230x x m -+-=有两个不相等的实根，求实数m 的取值范围.。
