导数在不等式中的应用

浅析导数在不等式证明中的应用
导数是数学中一个重要的概念，它可以证明许多数学定理，也是很多学科研究的基础。

比如，在做不等式证明时，导数会保证证明的连贯性和有效性。

误差分析和最优化问题是数学研究中常常遇到的问题，解决这些问题的关键在于找到较好的函数，以便评估结果的可靠性。

一个函数对于给定的变量可以描述为一个函数模型，那么我们可以利用导数来推测变量之间的关系，其中，导数也可以证明不等式定理。

在不等式领域，可以借助导数分析函数的变化情况，找出函数拐点或者极值，以证明不等式定理。

此外，导数也可以用来证明概率采样的中心极限定理，以及熵的最小值定理。

更重要的是，导数还有助于优化不等式的解，例如证明梯度下降优化算法最优解是全局最优解，以此来满足最优性原理要求。

总之，导数是研究数学问题中一个不可缺少的重要概念，它在不等式证明中的作用是非常重要的。

特别是，根据导数的微分性质，可以衡量函数变化的快慢，从而有效解决不等式证明问题。

3.数形结合法
（二）数学思想方法
转化化归、分类讨论、数形结合
四、作业布置
1.已知不等式 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围.
2.已知函数 ，若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围.
3.已知函数 ，若函数在区间 上是减函数，求实数 的取值范围.
备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加。
教学设计
课程基本信息
学科
数学
年级
高二
学期
春季
课题
《导数在不等式恒成立问题中的应用》
教科书
书 名：《普通高中教科书·数学》(人教A版2017课标版)选择性必修第二册
出版社：人民教育出版社
教学目标
1.掌握不等式恒成立问题的转化方法。
2.利用导数研究函数的最值问题、曲线的切线问题。
3.培养学生的转化与化归、分类讨论、数形结合等数学思想。
综上所述：实数 的取值范围 .
方法总结：
函数最值法：将不等式恒成立问题转化为某含参函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，然后构建不等式，进而求出参数的取值范围.
一般地， 恒成立 ；
恒成立 .
探究二
例 若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围？
思考：能否将参数 与变量 分离开呢？
分析： ，记 ，问题转化 .
对任意 恒成立
函数 的图象在 图象的下方或在 图象上
解法三： ，记 ， ， ，问题转化为 对任意 恒成立，即函数 的图象在 图象的下方或在 图象上.
在 单调递增； 表示恒过定点 的一条直线。
是该直线的斜率.只需过点 求出函数 的切线斜率.
设切点为 ，切线斜率 ，切线方程为 ，将点 代入得： ，解得 .则切线斜率 ，所以实数 的取值范围 .

以及 正 数 ｃｃ ３都 有 （ ）
． 一 Ｃ ）
＜２恒成 立 ， ｃ 求 的取值
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范围 ．
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防范策 略 ：这是一类极易 出现 的错误 ，教 学中 应尽量从直观出发 ，列举具体实例 ，让 学生感知错
１ 误 用逻辑 关 系 ０
（）当ｋ ２ ２ ＝ 时， 应有０ ｃ 姜； ＜＜
（） 当 ｋ＝３时 ，应 有 ｃ 或 ｃ ； ３ ＜ ＞ ／
学 生解 题 时误 用 逻 辑 关 系导 致 谬 误 的现 象 也 很 常 见 ，而且 这种 错误 不 易被 发现 ．
例１ ｏ各项均为正数的等比数列 ｛ ｝ ａ ，其前 项
福建中学数 学
（） １若对任 意 ｘ∈＿，３ ， ［３ ］ 都有 ｆ（） ｇｘ 成立 ， ｘ （）
求 ｋ的取 值 范 围 ；
２ １ 年第 ４期 ０２
Ｉ （ ＝ （ ＝ａ １ ｆ １ 一， ） ）
ｌｍ （） （） ｅ ＋ ｅ ｆａ Ｘ ＝ｆ ｅ＝ａ 一 ａ． ｘ
１ 命题 引入 命题 ｌ①定义在 区间 ［ 】 ａ 上的函数 ｆ ｘ 满足 ，ｂ （ ）
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∈［，ｂ ； ａ ］
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２典例剖析 例 １ 已 知 函 数 ／ ｘ ＝ ｘ ＋ ６ — ， （） ８。 １ｘ ｋ
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导数 在高考不等式 中应用 的新视 角

导数在不等式证明中的应用齐雨萱高中数学学习中，不等式是研究各项数学问题的基础工具，不等式证明是一种常见数学题型，也是同学们较为头疼的数学题型之一，要想提高自身的不等式证明准确率和效率，就必须充分掌握运用导数理论展开科学解题，导数理论证明不等式是最为高效和基本的一种解题方法，合理利用导数工具进行不等式实践证明，能够有效将不等式证明过程从困难转化为简单，帮助自身建立起更好的数学自信心，并提高数学解题综合能力。

本文将对导数在不等式证明中的应用展开分析与探讨，为不等式证明过程提供一定借鉴与参考。

1 合理运用导数单调性证明不等式在实践计算函数某个区间导数最大值或者小于0时，可以通过合理运用导数单调性展开科学高效证明。

首先，必须准确计算出该函数在此区间中表现出来的递减或者递增过程，这样才能够顺利证明不等式问题。

在日常证明数学不等式过程中，要学会结合不等式的不同特点，合理运用不同形式构造出对应的函数，同时科学采用导数工具去证明出实际构造出函数的单调性，这样一来就能够根据函数单调性特征去完成对该不等式的有效证明，提高整个证明解题过程的效率。

通过去科学准确判断出函数单调性，就可以比较出区间大小，同时在该区间中融入不等式，有效将不等式与函数结合在一起，除此之外，要正确认识到利用导数单调性进行证明不等式能够为自身提供极为实用的解题思路，无论是多复杂的曲线，往往只需要经过两个步骤就可以实现对不等式题目的高效准确证明。

这两个解题步骤是先将不等式与函数有机结合起来，接着准确判断出该函数在对应区间的单调性。

比如，当遇到这个问题时，已知X〉0,证明X-X2/2-1N （1+X）〈0，我们在证明这个不等式的时候，可以合理利用导数单调性去进行有效证明。

在相应单调区间内，通过判断函数是递减还是递增去得出该不等式是否成立。

证明解题步骤如下所示：假设函数f(X)=X-X2/2-1N（1+X）(X〉0),则f （X）=X-X2/2，当X〉0时，f（X）〈0，这样我们就能够准确判定出f（X）在X〉0区间中该函数是一种递减的发展趋势，X=0可以去除函数的最大值，通过f（X）〈f(0)有效证明出f（X）〈0成立，并且也能够准确证明出X-X2/2-1N（1+X）〈0是成立的。

究 学 生． 们应 有包 容 之 心 ， 为 自主 学 习 、 我 冈 自主 质 疑 ， 生 学 生成 的 知识 并 不 一定 有效 ， 们 的 问 题 、 他 他们 的 解 决 可 能 是
“ ” 同 中求 “ ” 这 是 一种 教 学 智 慧 ． 手 拈 来 的 智 慧 ， 同 异 ， 信 让
（ 上接 ６ ４页 ）
正如 佘 承 智 老 师在 讲 座 中所 说 ： 教 学 策 略 没 有 好 坏 之 “ 分 ， 没有 妙 差 之 异 ， 的 只 是 合适 与 否． 于是 在 清 白如 布 也 有 ” 的课 堂上 就 色 彩 斑 斓 ， 放 异 彩． 不 同 的 领 悟 中 ， 现 大 在 体
了 不 同 的 教 学 理 解 、 学 风 格 和 教 学 智 慧 ． 以 ， 何 在 教 所 如
３ ．同 题异 构 促 进 了 对 教 师 角 色 的思 考 ． 同题 异 构 ， 我 让
从 中 看 到 了 自身 的很 多 问题 ． 比如 ： 价 与 激 励 方 面言 语 单 评
一； 问题 与 认 知方 面无 所 谓 探 与 究 ； 体 与 合 作 方 面 流 于 形 个 式 ， 等． 且 更 加 深刻 地 认 识 到 一 个 优 秀 的 教 师 不 仅 应 是 等 而 投 入 的精 细 、 熟 的 知 识 、 新 的意 识 、 理 的 设 计 、 容 的 娴 创 合 从 心态 ， 而且 应 有 情 感 的 激 荡 、 和 的 力 量 、 法 的 引 领 、 料 亲 学 材 的取 舍 、 问题 巧 设 计 的 能 力． 教 学 是 一 门艺 术 ， 们 的教 学 应 以学 生 为 主 体 ． 断 的 我 不 实 践 和思 索 使 我 渐 渐 明 ， 使 教 学 真 正成 为 艺 术 ， 得 研 要 还

导数在证明不等式中的有关应用1.最值的判定导数可以帮助我们判断一个函数在其中一区间的最值。

具体来说，如果在一个区间内，函数的导数恒为零或者导数的正负性在其中一点发生变化，那么在该区间内函数的最值就会出现。

例如，考虑函数$f(x)=x^2-4x+3$。

我们可以通过求取导数$f'(x)=2x-4$，并令其等于零，得到$x=2$。

通过检查导数的符号，可以确认在$x<2$时导数为负，$x>2$时导数为正。

因此，在$x<2$时，函数的导数为负，说明函数在这个区间上是递减的；而在$x>2$时，函数的导数为正，说明函数在这个区间上是递增的。

因此，根据导数的正负性和最值判定原则，我们可以得出结论：函数$f(x)$在区间$(-\infty,2)$上单调递减，在区间$(2,+\infty)$上单调递增。

进一步，我们可以求得函数的最值，即当$x=2$时，函数取得最小值。

因此，我们得到了函数$f(x)$的最值以及最值的取值点。

2.利用导数证明不等式的成立导数可以被用来证明各种类型的不等式。

其中一个常见的方法是使用导数的定义和可微函数的局部性质。

考虑函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上有定义且在开区间$(a,b)$内可微。

如果在$(a,b)$内存在一个点$c$，使得$f'(c)>0$，那么基于导数的定义，我们可以得出结论：对于任意的$x \in (a,b)$，都有$f'(x)>0$。

这意味着$f(x)$在$(a,b)$内是单调递增的。

我们可以进一步得出结论：对于任意的$x \in [a,b]$，都有$f'(x) \geq f'(a)$。

因此，我们可以断定$f(x)$在闭区间$[a,b]$上是凸函数。

根据凸函数的性质，我们可以利用函数的凸性证明各种类型的不等式。

例如，我们可以证明对于任意的$x>0$和$y>0$，成立如下的不等式：$\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y}$。

浅谈导数在证明不等式中的应用发布时间：2022-01-12T02:41:21.984Z 来源：《中小学教育》2021年第30期作者：阮丽霞[导读] 相等关系与不等关系是数学中最基本的数量关系，在学习高中数学的过程中，不等式证明是数学常见题型中的一种，熟练借助不等式来进行各项数学问题的研究，与导数结合，可以有效提高学生在完成不等式证明题型的准确率。

阮丽霞钟祥市第三中学摘要：相等关系与不等关系是数学中最基本的数量关系，在学习高中数学的过程中，不等式证明是数学常见题型中的一种，熟练借助不等式来进行各项数学问题的研究，与导数结合，可以有效提高学生在完成不等式证明题型的准确率。

利用导数打开解决数学问题的解题思路，是解决不等式证明最高效且快捷的途径，可以有效降低不等式证明的难度，帮助学生寻求到简易的解题技巧，打消学生学习数学的畏难情绪，重拾对数学的信心。

本文将通过研究导数在证明不等式具体应用，深挖应对不等式证明相关题型的解题方法。

关键词：导数；不等式证明；应用；解题技巧；引言：在高中数学的学习中，导数是高中数学学习非常重要的内容。

在导数的学习过程中，熟练掌握并运用导数的知识点，将其渗透到整个高中数学的各个板块中，其中在学习不等式证明时，通过有效利用导数的知识，使不等式证明解题效率得到显著的提升。

高考中，不等式证明是常考题型，也是大多数学生较为头痛的题型，其原因是可采用的方法较多，学生们在选择时无从下手，导致难度较大。

导数作为分析数学问题较广泛的应用方法之一，在解决不等式证明的问题时，运用导数是最便捷、直接的办法。

一、通过导数的定义来解决证明不等式的问题在数学高考的课题中，每年的热门题型都大致相同，在众多的题型中几乎都存在一道“如何利用导数证明不等式”，在高中数学的学习中，通过对导数定义的学习，掌握利用导数的定义来证明不等式的方法，其具体步骤为：构造一个函数，将其一边设置为y=f（x），在点x0的某个邻近区域上，可以有效的定义出在这个区域中f（x）可导，则需要正确找出在x0的区域中f（x）有极值，即y=f（x），就可以根据导数的定义，来解决这一类通过导数定义证明不等式的问题了，灵活运用导数的定义，展开不等式证明的详细过程。

利用导数证明不等式
导数与不等式证明的 关系
通过构造函数并利用导数的性质， 可以证明某些不等式成立。
证明步骤
首先根据不等式构造一个适当的 函数，然后利用导数的性质分析 该函数的性质，从而证明原不等 式。
示例
证明不等式$e^xgeq x+1$对任 意实数$x$成立。构造函数 $f(x)=e^x-(x+1)$，求导得到 $f'(x)=e^x-1$。当$x<0$时， $f'(x)<0$，函数单调递减；当 $x>0$时，$f'(x)>0$，函数单调 递增。因此，函数在$x=0$处取 得最小值0，即$f(x)geq 0$恒成 立，从而证明了原不等式。
利用导数求最值
导数与函数最值的关系
求解步骤
示例
当函数在某点处取得极值时，该点处 的导数为0或不存在。通过求解导数 等于0的点，可以找到函数的潜在极 值点。
首先求出函数的导数，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ后令导数等 于0解出潜在极值点，最后通过比较 这些点的函数值来确定最值。
求函数$f(x)=x^3-3x^2+4$在区间$[-2,3]$内 的最大值和最小值。通过求导得到 $f'(x)=3x^2-6x$，令$f'(x)=0$解得$x=0$或 $x=2$。比较这两点及区间端点的函数值，得 到最大值为$f(3)=4$，最小值为$f(0)=4$。
03
函数不等式类型及解法
一元函数不等式解法
确定函数单调性
通过求导判断函数的单调性，从而确定不等式的解集 范围。
寻找临界点
令导数等于零，找到函数的临界点，判断函数在这些 点的变化情况。
判断函数值
根据临界点将函数分成若干区间，判断每个区间上函 数的正负，从而得到不等式的解集。

１ 导数 的相 关性 质
性质 １
（，） 调递 减 ． ｏ６单 性质 ２ 引 理
） ａ６ 在 ，） 上可导若任 给 ∈ａ６有 ）０ ，） ＞ 则 ） 口６ 在（，） 单调递增 ， 若厂∽＜ ０时， 则 ） 在
） 在 处 二 阶导 数 存在 ， 若 ｆ（ｏ ｏ且 Ｄ ， 且 ￣） － － ） 则 。 函数 的极 值点 ， ≠０ 是 若 ㈨ ＞ 则 ａ ０， ｆ ｏ 在 ａ６上连续 可导且存 在 ｎ个极 点 ， ，】 分别为 戈，： 又有 ｍａ｛ ） ２・ ｘ ＪａＪｂ｝０ ， … 】触１ ） ・ ３ （ （） 【 ，￣ ｉ ｆ ） ＜ ， 一 ） ０则 有 ）０ 或 ｌ ） ＞ ＜（ ） ．
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宁德师专学报（ 自然 科 学 版 ）
２１ ０ ０年 ５月
证明 先 刷 ：眦 ， 知 在０ 上 续 导 ＝， ∈ ， 时 ＝ １ ， 首 令 ｓ 易 ［ ｉ ， 连 可 且 ０当 【詈） ｃ 一 ） ０ ｏ ｏ
（ 或 ）Ｏ 矛 盾 ， 题成 立 ． ＞） 命
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龙源期刊网 导数在不等式中的应用作者：马迪来源：《考试周刊》2013年第54期摘要：不等式是中学数学最重要的内容之一，有关不等式在历年高考中考得最频繁.由于不等式的综合性强，思维量大，重难点不容易把握，因而给解题带来了诸多困难，为此有必要探究如何更好地解决不等式问题的策略和方法.关键词：单调性最大值最小值构造函数不等式的解证问题是中学数学教学的一个难点，传统证明不等式的方法技巧性强，多数同学不易想到，并且各类不等式的证明没有通性通法.新教材中引入了导数，这为我们解决不等式的证明问题提供了一条新的途径，并且在近几年的高考题中使用导数证明不等式时有出现，但现行教科书对这一问题没有展开详细的研究，使得学生对这一简单的方法并不太了解.利用导数解证不等式思路清晰，方法简便，操作性强，易被学生掌握.下面介绍利用单调性，极值，最值解证不等式的基本思路，并通过构造辅助函数证明一些简单的不等式.一、利用导数解决不等式恒成立问题四、总结不等式是中学数学的重要内容之一，因而有关不等式在历年高考中考得最频繁，特别是不等式的证明问题已成为高考的难点.由于不等式的综合性强，重难点不容易把握，因而给解题带来了诸多困难，以上列举了三种有关导数在不等式中应用的例题，通过对例题的分析总结，进一步了解怎样解决不等式问题.同时不等式的综合性强，涉及知识面广，而且题目千变万化，所以不可以一概而论，应具体问题具体分析.总之，无论是证明不等式，还是解不等式，只要在解题过程中需要用到函数的单调性或最值，我们就可以用导数作为工具解决，这种解题方法也是转化与化归思想在中学数学中的重要体现.参考文献：[1]普通高中课程标准试验教科书（数学选修2-2）.江苏教育出版社.[2]步步高一轮复习资料.黑龙江教育出版社.。

浅谈导数在不等式问题中的应用不等式是高中数学中的基本问题，它也是高考必考查的一类问题，通常是不等式的解法、含有参数的不等式、不等式的证明等。

它可以和函数、数列等知识进行综合考查，考查函数思想、分类讨论思想、可以很好的考查考生的综合分析和解决问题的能力。

本文就高考中和平时练习中出现的一些题型，兹举几例进行说明。

一、含参数不等式的问题（一）分离参数法处理含参数不等式例1. 已知函数图像上点处的切线与直线平行（其中），（1）求函数的解析式；（2）对一切恒成立，求实数的取值范围.分析：（1），解得，于是（2）不等式等价变形为对任意的都成立，构造函数，即解：在上单调递减；在和上单调递增或，又，于是，实数的取值范围【点评】含参数不等式的恒成立问题，通常用分离参数法，然后构造函数化归为该函数的最值问题。

一般地；；（二）分离参数后所构造的函数不易求最值例2. 设函数（1），求的单调区间；（2）若当时求的取值范围分析：（1），在上单调递减；在上单调递增（2）当时，分离参数得，令，尝试求导数后，不易求在最小值，此时应立即转而直接求在最值。

解：（2），由（1）知当且仅当取等号故当时，恒成立，在上单调递增，于是符合题意。

当时，时，从而故，于是在上单调递减，而，不合题意综上所述，若当时，的取值范围为【点评】含参数不等式的恒成立问题通常分离参数优先，但有些问题分离后所构造的函数很难求最值，在这样的情形下就直接求最值。

此例中非常巧妙的利用了第（1）问中的这一结论，找到了分类讨论的标准。

此例还可以二次求导得，易得时，有恒成立，后面处理的过程一样，读者可以尝试。

（三）利用必要条件，缩小参数范围例3.设函数（1）求的单调区间；（2）求所有实数，使对恒成立.分析：（1）利用导数易求得在在上单调递增，上单调递减；（2）即是求在上最值，可以分成三种情况进行讨论，但是运算的量比较大。

而当，有恒成立，，即，此时即发现由（1）知在单调递增，于是有解得【点评】此例本是考查利用导数求函数在闭区间上的最值，若是用分离参数法或直接求最值运算起来都比较烦，但若巧妙利用恒成立的必要条件，把参数的取值范围缩小到，使得函数在单调函数，从而避免了分类讨论和繁琐的运算，这样的题型是值得积累的。

由于 函 数 在 ［ ， ］ 连 续 ， 此 函 数 在 ［ ， ］ 存 在 最 大 ０ １上 因 ０ １上
故 函数 ｆｘ 在 ［ ，ａ） 严格 增 加 ， （ ） ０ 从 而ｆｘ ≥ （） ０ ＋ 。上 且ｆｏ ＝ ， （）
ｆ０ ＝ ． （ ） ０
１、 ，
值与最小 Ｒ；￣５１土 ； ２ ≤ｐ（ ｘ ≤１ 值， （ ｌ ， 于是 Ｘ １ ） ． ｆＪ ７ ＋ －
∞） ．
证 ： ｆ ）ｘ＋ １ｘ ｘ ０ １ ，Ⅱ， ）ｐ Ｘ Ｉ（一 ） ］ 设 （ ＝ （－ ）， ∈［ ，］贝 ｆ ｘ＝ ［ｐ＿ １ｘ ｘ （ －
．
令 ｆ ｘ ＝ ， 一 １ ｘ ０ 解 得 ｘ — （ 称 为 驻 点 ） ， ） ０ 即ｘ （ 一 ） （ ， ＝＿ 可 １
．
证 ）（） ｘ０ ： ＝１一 ， 黜ｘｎｘ Ｅ ｌ＋尝，［
例 ５ 证 明 ： ＞ 时 ， ＞ｘ ： 当ｘ ｌ ｅ ｅ ． ＂
现 设
ｆｘ ＝ ｌａ ａｎ （ ＞ ＞ ） （ ） ｘｎ — ｌｘ ｘ ａ ｅ ，
则 ｆ（ ）ｌａ 三 ．・ ｅ ｘ ａ ． ａ ｌ ＜ ．（ ） ０ 因而 ， ＝ｎ 一 ・ ＞ ，＞ １ ＞ ， ｘ ． ａ ｎ １ ｆ ｘ＞ ， ，
的值域为［÷ ， ］ 一 ÷ ． 所以， 。 ［１１时，（ ） 当ｘ， ∈ 一，］ Ｉｘ 『 ｘ ｆ ≤
２
，
、
Ｉｘ ｆ２ （
．
例 ４ 证 明 ： ＞ ， ≤ｘ １ ， 不 等 式 ２ －≤Ｘ＋ １ ｘ ： Ｎｐ ｌ０ ≤ 时 有 Ｉ ｐ （－ ） ｐ
≤ １ ．
１ ，
例 １ 证 明 ： Ｖｘ 有 不 等 式 ｌ １ ｘ ≥ ＾ ， ： 对 ≥０ ｎ（＋ ） ＿ Ｘ∈『 ， ０＋

± ２ 。
’ ．
厂 ） （ ， ） 是 单 调 增加 ． （ 在 一 ＋ 上
又
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‘
一
．
．
同理 设 ｇ（ 一 ）＝
． ．
一ｌ（ ） （ ｎ １＋ ， ＞０） ．
２
上单调增加 （ 少 ） 减 ． 解 题 思 路 运 用 导 数 知 识证 明 不 等 式 ．常 用 的方 法 是 利 用 函 数 的单 调 性 ． 于 一 些 不 易 人 手 的 不 等 式 证 明 ， 对 可
‘ ． ．
三 、 用导 数 求 出 函数 的 凸 凹性 。 证 明 不等 式 运 再
●
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专 题 研 究
颡・
●
例析导数在 不等 式问题 中的应 用
◎唐 玉 霞 （ 川 省 达 州 职 业技 术 学 院 ６ ５ ０ ） 四 ３ ０ ０
【 要 】 导数来解不等式， 摘 用 既加 深 了学 生 对 导 数 和 函
数 知识 的理 解 ， 又培 养 了学 生分 析 问题 和 解决 问题 的 能力 ．
一
证 明 设 ｆｘ ： ＋（ 一 ０≤ ≤ １ （， ， ＝ 一 Ｐ（ 一 ～
令 ） ， 得 ＝ ． ＝ｏ 求
・
．
‘
，）（＝ ）（ ， （＝１ １ ＝ ０ ，） 争
，） （ 的最大值为１最小值为（ ， ｝ ＝ ， ２
证 明 令 函数 厂 ＝２ （ ） ｘ—ｓ —ｔｎ ｉ ｎ ａ ．
．
．
．
ｉ ｎ ≥（＋， 半 ｎ ｌ ＋ Ｙ ）１ ） ｎ
结
．
厂（ ） 一ｃｓ —ｓｃ 不 易 确 定符 号． ＝２ ｏ ｅ ，

立，求实数 a 的范围援
解：疫（f x）=x3-
1 2
x2-2x+5
亦f（忆 x）=3x2-x-2
姨 姨 盂当 a跃1 时，令 f（忆 x）=0，即：3ax2-3=0亦x=依
1 a
（0约
1 a
约1）
又 疫x沂（0，1］
令 f（忆 x）=0，即 3x2-x-2=0
亦x=1
或-
2 3
又 疫x沂［-1，2］
1 c
-
1 2
亦c-
7 2
跃
1 c
-
1 2
解得：3-
姨13 2
约c约0
或
c跃
3+ 姨13 2
分析：例 1 和例 2 两题，都是直接利用所给函数的最值解决问
题的，虽然例
2
函数
（f x）=x3+
3 2
x2-6x+c 中含有参数 c，但 c 并不影
分析：通过上面两种方法的比较发现，第一种比第二种方法麻 烦一些，还需要分类讨论援之所以要分类讨论，就是因为函数 （f x） 当中含有参数，会影响到求函数的最值援而第二种方法由于将参数 分离出来了，再求函数最值的时候就方便很多了援
2013-04
教学实践
导数应用之不等式恒成立问题
文/鄢 琼
函数是高中数学学习的重点，也是学生学习的难点，很多学生 都有 （f x）逸0 恒成立，求实数 a 的范围援
一看到函数头就懵了援但等到学习了导数之后，函数的一些性质就
解：方法一：疫 对任意 x沂（0，1］时，都有 （f x）逸0 恒成立
可以通过导数的运算分析出来援 本文主要通过几个例题介绍如何 利用导数解决不等式恒成立问题援

介绍函数极值点的定义和 求解方法，为利用导数求 解极值点提供基础。
方法总结
总结利用导数求解函数极 值点的常用方法，如求导 、判断导数为零的点等。
案例分析
通过典型案例演示如何利 用导数求解极值点。
04
导数的实际应用举例
利用导数求解利润最大化问题
利润函数
首先明确利润函数，即销售收入减去成本和税金 ，通常表示为x的函数。
举例
以y=x^4为例，求该函数的凹凸性和 拐点。该函数的导数为y'=4x^3，在 区间(-oo,0)上，y'<0；在区间(0,)上 ，y'>0。因此，函数在区间(-oo,0)上 单调递减，在区间(0,)上单调递增， 故函数在x=0处存在极值点，且该极 值点不是函数的极值点，故函数在 x=0处有拐点
利用导数求解函数的单调性和区间
利用导数求不等式的解
利用导数可以求出一些不等式的解。例如，利 用导数可以求出一些函数的极值点和转折点等 。
利用导数解决一些实际问题
利用导数可以解决一些实际问题，例如，利用 导数可以求出一些最优化的方案，以及利用导 数解决一些经济和金融问题等。
02
导数的定义和性质
导数的定义
函数f在点x0处可导
指当自变量x在点x0处有增量△x时，相应的函数值f(x0+△x)和f(x0)之差 △y=f(x0+△x)-f(x0)可表示为△y=A△x+o(△x)，其中A是与△x无关的常数
利用导数求解函数的极值和最值
总结词
导数的值为0的点可能是函数的极值点或最值点。
详细描述
利用导数求解函数的极值和最值
06
总结与回顾
本章主要内容总结
了解了导数的定义和计算方法 学习了不等式的性质和证明方法

…刘玉琏、 沛仁编 ， 学分析讲义》高等教 育 傅 《 数 ，
出版 社 ． ９ ４ １８．
［Ｒ玉琏、 ２０ Ｊ 杨奎元 、 吕风编 ，数学分析讲义 学习 《 指 导书》 ，高等教育 出 版社 ，９７ １８．
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导数在不等式中的应用作者：王进来源：《高中生学习·高二文综版》2013年第05期导数是研究函数性质的一种重要工具，高中数学教材中重点介绍了利用导数求函数的单调性、极植、最值、和切线的方程等基本知识.但在高考中，为了体现以考查能力立意的命题思想，导数的相关综合题目通常都以其它数学分支如数列、不等式等为背景命制，以区分学生“转化与化归”“数形结合”“分类讨论”等数学思想的应用能力.下面具体讨论导数在解决与不等式有关的问题时的应用.题型一利用导数得出函数单调性来证明不等式例1 当[x>0]时，求证：[x-x22证明令[f（x）=x-x22-ln（x+1）][（x>0）]，则[f（x）=-x21+x]，[∵x>0]，[∴f（x）因此[x>0]时，[f（x）即[x-x22-ln（x+1）点拨对于此类题，常先把不等式变形后构造函数，然后用导数证明该函数的单调性，达到证明不等式的目的.题型二利用导数求出函数的值域，再证明不等式例2 [f（x）=13x3-x]，[x1，x2∈[-1，1]]时，求证：[f（x1）-f（x2）43].证明 [f（x）=x2-1]，当[x∈[-1，1]]时，[f（x）0]，[∴f（x）]在[x∈[-1，1]]上递减，故[f（x）]在[[-1，1]]上的最大值为[f（-1）=23]，最小值为[f（1）=-23]，即[f（x）]在[[-1，1]]上值域为[[-23，23]].所以当[x1，x2∈[-1，1]]时，[f（x1）23]，[f（x2）23]；即有[f（x1）-f（x2）f（x1）+f（x2）43.]点拨此类题先用到绝对值不等式[a±ba][+b]的性质，再分别利用导数的方法来求[f（x1），f（x2）]的值域.题型三利用导数解决不等式恒成立问题例3 已知函数[f（x）=（ax+x）9（a∈R）]，对[f（x）]定义域内任意的[x]值，[f（x）27]恒成立，求[a]的取值范围.解析函数[f（x）] 的定义域为[（0，+∞）] ，由[f（x）27]对一切[x∈（0，+∞）]恒成立知，[ax+x279=33]对一切[x∈（0，+∞）]恒成立，即[a33x-xx]对一切[x∈（0，+∞）]恒成立.令[h（x）=33x-xx]，则[h（x）=33-32x]，由[h（x）=0]，解得[x=4939].令[h（x）>0]，解得[0令[h（x）4939]，所以[h（x）]在[（0，4939）]上递增，在[（4939，+∞）]上递减.故[h（x）]的最大值为[h（4939）=49]，所以[a49].点拨不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为[m>f（x）] （或[m题型四利用导数解不等式例4 函数[f（x）=x2+1-ax（a1）]，解不等式[f（x）1].解析由题意知[f（x）=122x1+x2-a=x1+x2-a，]又[-1所以[f（x）故[f（x）]在[R]上单调递减，又[f（0）=1]，所以[x0]时，[f（x）f（0）=1]，即[a1]时，[f（x）1]的解为[0，+∞].点拨在解不等式过程中，也可以利用导数工具先证明函数的单调性，这是转化和化归思想在高中数学中的重要体现.题型五形如“[f（x1）例5 已知函数[f（x）=13x3-x2-3x+2]，[g（x）=-9x+a2]，若对任意[x1，x2∈[-2，2]]，都有[f（x1）解析因为对任意的[x1，x2∈[-2，2]]，都有[f（x1）又[f（x）=x2-2x-3]，令[f（x）>0，]得[x>3]或[x令[f（x）所以[f（x）]在[[-2，-1]]为增函数，在[[-1，2]]为减函数.因为[f（-1）=3]，所以[f（x）max=3]，又易知[g（x）min=-18+a2] ，所以[3点拨此类问题中不等式左右两边的变量变化并无关联，适合构建两个函数分别求最值来达到解题的目的.。