利用导数证明不等式的常见题型
1. (2017·课标全国III 卷理）已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =（ ） A ．1
-２
B ．13
C ．
12
D ．1
2.（2016•天津卷文） 已知函数2(43)3,0
()(01)log (1)1,0
a x a x a x f x a a x x ⎧+-+<⎪=>≠⎨++≥⎪⎩且在R 上单调递
减，且关于x 的方程|()|23
x
f x =-
恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是_________. 3.（2015·北京理）(本题满分13分) 已知函数x
x
x f -+=11ln )(． (I)求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程； (II)求证：当)1,0(∈x 时，3
23
（）（）x f x x >+；
(III)设实数k 使得)3
()(3
x x k x f +>对)1,0(∈x 恒成立，求k 的最大值．
4. (2017·课标全国II 卷文)(本题满分12分）设函数f(x)=(1－x 2)e x . （1）讨论f(x)的单调性；
（2）当x ≥0时，f(x)≤ax +1，求a 的取值范围.
5. （2015·课标全国II 卷理）(本题满分12分) 设函数mx x e x f mx -+=2
)(.
(I)证明：)(x f 在)0,(-∞单调递减，在),0(+∞单调递增；
(II)若对于任意1x ，]1,1[2-∈x ，都有1|)()(|21-≤-e x f x f ，求m 的取值范围.
6.（2015•山东卷文）(本题满分13分)设函数x a x x f ln )()(+=，x e
x x g 2
)(=，已知曲线
)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与直线02=-y x 平行.
(I)求a 的值；
(II)是否存在自然数k ，使方程)()(x g x f =在)1,(+k k 内存在唯一的根？如果存在，求出
k ；如果不存在，请说明理由；
(III)设函数),)}(min((),(min{)(q p x g x f x m =表示p ，q 中的较小值)，求)(x m 的最大值.
7.（2015·课标全国Ⅰ卷理）(本题满分12分) 已知函数4
1
)(3++=ax x x f ，x x g ln )(-=. (I)当a 为何值时，x 轴为曲线)(x f y =的切线；
(II)用},min{n m 表示m ，n 中的最小值，设函数)0)}((),(min{)(>=x x g x f x h ，讨论)
(x h 零点的个数.
8.（2016·天津理）（本题满分14分）
设函数b ax x x f ---=3
)1()(，∈x R ，其中a ，∈b R .
（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：3201=+x x ； （Ⅲ）设0＞a ，函数)()(x f x g =，求证：)(x g 在区间]2,0[上的最大值不小于．．．4
1
.
9.（2017·课标全国III 卷理）（本题满分12分）
已知函数()1ln f x x a x =--． （1）若()0f x ≥，求的值；
（2）设m 为整数，且对于任意正整数，211
1
(1)(1)(1)222n
m ++鬃?<，求m 的最小值．
10.（2017·课标全国II 卷理）（本题满分12分）
已知函数3
()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥.
（1）求a ；
（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且2
30()2e f x --<<.
利用导数证明不等式的常见题型答案
1. (2017·课标全国III 卷理）已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =（ ） A ．1
-２
B ．13
C ．
12
D ．1
【答案】C
【解析】由条件，211()2()x x f x x x a e e --+=-++，得： 221(2)1(2)(2)2(2)(e e )x x f x x x a ----+-=---++ 2114442(e e )x x x x x a --=-+-+++ 2112(e e )x x x x a --+=-++
∴(2)()f x f x -=，即1x =为()f x 的对称轴， 由题意，()f x 有唯一零点， ∴()f x 的零点只能为1x =，
即21111(1)121()0f a e e --+=-⋅++=，解得12
a =．
2.（2016•天津卷文） 已知函数2(43)3,0()(01)log (1)1,0a x a x a x f x a a x x ⎧+-+<⎪
=>≠⎨++≥⎪⎩
且在R 上单调递
减，且关于x 的方程|()|23
x
f x =-恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是_________. 【答案】⎣⎡⎭⎫
13，23
【解析】由函数f (x )在R 上单调递减可得⎩⎪⎨⎪⎧3
2－2a ≥0，0解得13≤a ≤34.关于x 的方程|f (x )|＝2－x
3恰
有两个不相等的实数根，即曲线y ＝|f (x )|与函数y ＝2－x 3的图像恰有两个交点，则3a <2，a <2
3.
综上可得a 的取值范围是13≤a <2
3
.
【点评】关键点拨：注意数形结合思想在解题中的应用，将方程的零点个数转化为两个函数
图像的交点个数问题，通过观察图像，进而确定不等式，求得参数的取值范围．
测训诊断：(1)本题难度较大，主要考查函数与方程，考查学生数形结合思想的应用、运算
