导数常见组合函数及常见不等式图像验证

导数中证明不等式技巧——构造、切线放缩、二元变量、凹凸反转,唯手熟尔!导数中的不等式证明导数中的不等式证明是高考中的一个经典考点。

由于不等式证明的灵活性和多样性，该考点备受命题者的青睐。

本文将从五个方面系统地介绍一些常规的不等式证明手段。

命题角度1：构造函数典例1】（赣州市2018届高三摸底考试）已知函数$f(x)=1-\ln x+\frac{e}{x}$，$g(x)=x-\frac{e}{x}$，若曲线$y=f(x)$与曲线$y=g(x)$的一个公共点是$A(1,1)$，且在点$A$处的切线互相垂直。

求$a,b$的值，并证明当$x\geq1$时，$f(x)+g(x)\geq\frac{2}{x}$。

解析】（1）$a=b=-1$；2）$g(x)=-\frac{e}{2\ln x}+\frac{x}{2}-\frac{e}{2x}$，$f(x)+g(x)\geq\frac{2}{x}$ $\Leftrightarrow 1-\frac{1}{x}+\frac{e}{x}-\frac{e}{2\ln x}+\frac{x}{2}-\frac{e}{2x}\geq\frac{2}{x}$ $\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{ e}{2\ln x}-\frac{x}{2}+\frac{e}{2x}\leq1$。

令$h(x)=f(x)+g(x)-\frac{2}{x}$，则$h(x)=1-\frac{1}{x}+\frac{e}{x}-\ln x-\frac{e}{2\ln x}+\frac{x}{2}-\frac{e}{2x}$，$h'(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{e}{x^2}-\frac{1}{x}-\frac{e}{2x^2}+\frac{1}{2}-\frac{e}{2x^2}$，$h''(x)=\frac{2}{x^3}-\frac{3e}{x^3}+\frac{2e}{x^3}$。

导数中有关x与e x，ln x的组合函数问题在函数的综合问题中，常以x与e x，ln x组合的函数为基础来命题，将基本初等函数的概念、图象与性质糅合在一起，发挥导数的工具作用，应用导数研究函数性质、证明相关不等式(或比较大小)、求参数的取值范围(或最值).着眼于知识点的巧妙组合，注重对函数与方程、转化与化归、分类讨论和数形结合等思想的灵活运用，突出对数学思维能力和数学核心素养的考查．六大经典超越函数的图象函数f(x)＝x e x f(x)＝e xxf(x)＝xe x图象函数f(x)＝x ln x f(x)＝ln xxf(x)＝xln x图象考点一x与ln x的组合函数问题(1)熟悉函数f(x)＝h(x)ln x(h(x)＝ax2＋bx＋c(a，b不能同时为0))的图象特征，做到对图(1)(2)中两个特殊函数的图象“有形可寻”．(2)熟悉函数f (x )＝ln xh (x )(h (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b 不能同时为0)，h (x )≠0)的图象特征，做到对图(3)(4)中两个特殊函数的图象“有形可寻”．【例题选讲】[例1]设函数f (x )＝x ln x －ax 22＋a －x (a ∈R )．(1)若函数f (x )有两个不同的极值点，求实数a 的取值范围；(2)若a ＝2，k ∈N ，g (x )＝2－2x －x 2，且当x ＞2时不等式k (x －2)＋g (x )＜f (x )恒成立，试求k 的最大值．分析(1)将原问题转化为两个函数图象的交点问题，利用数形结合思想进行求解；(2)将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题进行求解．解析(1)由题意知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1－ax －1＝ln x －ax ，令f ′(x )＝0，可得a ＝ln xx ，令h (x )＝ln xx(x ＞0)，则由题可知直线y ＝a 与函数h (x )的图象有两个不同的交点，h ′(x )＝1－ln xx 2，令h ′(x )＝0，得x ＝e ，可知h (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，h (x )max ＝h (e)＝1e ，当x →0时，h (x )→－∞，当x →＋∞时，h (x )→0，故实数a (2)当a ＝2时，f (x )＝x ln x －x 2＋2－x ，k (x －2)＋g (x )＜f (x )，即k (x －2)＋2－2x －x 2＜x ln x －x 2＋2－x ，整理得k (x －2)＜x ln x ＋x ，因为x ＞2，所以k ＜x ln x ＋x x －2．设F (x )＝x ln x ＋x x －2(x ＞2)，则F ′(x )＝x －4－2ln x(x －2)2．令m (x )＝x －4－2ln x (x ＞2)，则m ′(x )＝1－2x ＞0，所以m (x )在(2，＋∞)上单调递增，m (8)＝4－2ln 8＜4－2ln e 2＝4－4＝0，m (10)＝6－2ln10＞6－2ln e 3＝6－6＝0，所以函数m (x )在(8，10)上有唯一的零点x 0，即x 0－4－2ln x 0＝0，故当2＜x ＜x 0时，m (x )＜0，即F ′(x )＜0，当x ＞x 0时，F ′(x )＞0，所以F (x )min ＝F (x 0)＝x 0ln x 0＋x 0x 0－2＝0＝x 02，所以k ＜x02，因为x 0∈(8，10)，所以x 02∈(4，5)，故k 的最大值为4．点评1．极值点问题通常可转化为零点问题，且需要检验零点两侧导函数值的符号是否相反，若已知极值点求参数的取值范围，一定要对结果进行验证．解答任意性(恒成立)、存在性(有解)问题时通常有分离参变量、分拆函数等求解方法，可根据式子的结构特征，进行选择和调整，一般可转化为最值问题进行求解．2．对于有关x 与ln x 的组合函数为背景的试题，要求理解导数公式和导数的运算法则等基础知识，能够灵活利用导数研究函数的单调性，能够恰当地构造函数，并根据区间的不同进行分析、讨论，寻求合理的证明和解不等式的策略．【对点训练】1．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 66，则()A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c1．答案C解析设f (x )＝ln xx ，则f ′(x )＝1－ln x x 2，所以f (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，即有f (6)<f (4)<f (3)，所以ln 66<ln 44＝ln 22<ln 33，故c <a <b ．2．已知a >b >0，a b ＝b a ，有如下四个结论：(1)b <e ；(2)b >e ；(3)存在a ，b 满足a ·b <e 2；(4)存在a ，b 满足a ·b >e 2，则正确结论的序号是()A ．(1)(3)B ．(2)(3)C ．(1)(4)D ．(2)(4)2．答案C解析由a b ＝b a 两边取对数得b ln a ＝a ln b ⇒ln a a ＝ln b b ．对于y ＝ln xx，由图象易知当b <e<a 时，才可能满足题意．故(1)正确，(2)错误；另外，由a b ＝b a ，令a ＝4，b ＝2，则a >e ，b <e ，ab ＝8>e 2，故(4)正确，(3)错误．因此，选C ．3．设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则()A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z3．答案D解析令2x ＝3y ＝5z ＝t (t >1)，两边取对数得x ＝log 2t ＝ln t ln 2，y ＝log 3t ＝ln t ln 3，z ＝log 5t ＝ln tln 5，从而2x ＝2ln 2ln t ，3y ＝3ln 3ln t ，5z ＝5ln 5ln t ．由t >1知，要比较三者大小，只需比较2ln 2，3ln 3，5ln 5的大小．又2ln 2＝4ln 4，e<3<4<5，由y ＝ln x x 在(e ，＋∞)上单调递减可知，ln 33>ln 44>ln 55，从而3ln 3<4ln 4<5ln 5，3y <2x <5z ，故选D ．4．下列四个命题：①ln 5<5ln 2；②ln π>πe；③；④3eln 2>42．其中真命题的个数是()A ．1B ．2C ．3D ．44．答案B解析构造函数f (x )＝ln xx ，则f ′(x )＝1－ln x x 2，当x ∈(0，e)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．①ln 5<5ln 2⇒2ln 5<5ln 2⇒ln 55<ln 22，又2<5<e ，故错误．②ln π>πe ⇒2ln π>πe ⇒ln ππ>12e＝ln e e ，又e>π>e ，故正确．③⇒11ln 2<ln 11＝2ln 11⇒ln 22＝ln 44<ln 1111，又4>11>e ，故正确．④3eln 2>42⇒322eln 2>2×322⇒3232ln 22>ln e e ，显然错误．因此选B ．5．已知函数f (x )＝kx 2－ln x ，若f (x )>0在函数定义域内恒成立，则k 的取值范围是()ABC∞D5．答案D解析由题意得f (x )>0在函数定义域内恒成立，即kx 2－ln x >0在函数定义域内恒成立，即k >ln x x 2在函数定义域内恒成立，设g (x )＝ln xx 2，则g ′(x )＝x －2x ln x x 4＝x (1－2ln x )x 4，当x ∈(0，e)时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增；当x ∈(e ，＋∞)时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减，所以当x ＝e 时，函数g (x )取得最大值，此时最大值为g (e)＝12e ，所以实数kD ．6．已知0<x 1<x 2<1，则()A ．ln x 1x 2>ln x 2x 1B ．ln x 1x 2<ln x2x 1C ．x 2ln x 1>x 1ln x 2D ．x 2ln x 1<x 1ln x 26．答案D解析设f (x )＝x ln x ，则f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x )>0，得x >1e，所以函数f (x )调递增；由f ′(x )<0，得0<x <1e f (x )f (x )在(0，1)上不单调，所以f (x 1)与f (x 2)的大小无法确定，从而排除A ，B ；设g (x )＝ln xx ，则g ′(x )＝1－ln x x 2，由g ′(x )>0，得0<x <e，即函数g (x )在(0，e)上单调递增，故函数g (x )在(0，1)上单调递增，所以g (x 1)<g (x 2)，即ln x 1x 1<ln x 2x 2，所以x 2ln x 1<x 1ln x 2．故选D ．7．已知函数f (x )＝ax －ln xx，a ∈R ．(1)若f (x )≥0，求a 的取值范围；(2)若y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 相切，求a 的值．7．解析(1)由题易知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．由f (x )≥0，得ax －ln x x ≥0，所以ax ≥ln x x ，又x >0，所以a ≥ln xx2．令g (x )＝ln xx 2，则g ′(x )＝1－2ln x x 3．令g ′(x )>0，得0<x <e ，令g ′(x )<0，得x >e ．所以当0<x <e 时，g (x )单调递增，当x >e 时，g (x )单调递减．所以当x ＝e 时，g (x )取得最大值g (e)＝12e ，所以a ≥12e，即a 的取值范围是12e ，＋(2)设y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 相切于点(t ，a )t )＝a ，t )＝0.因为f ′(x )＝a －1－ln xx 2，所以－ln tt＝a ，－1－ln t t2＝0，消去a 可得t －1－(2t －1)ln t ＝0．(*)令h (t )＝t －1－(2t －1)ln t ，则h ′(t )＝1t －2ln t －1，易知h ′(t )在(0，＋∞)上单调递减，且h ′(1)＝0，所以当0<t <1时，h ′(t )>0，h (t )单调递增，当t >1时，h ′(t )<0，h (t )单调递减．所以当且仅当t ＝1时，h (t )＝0，即(*)式成立，所以a ＝1－ln 112＝1．点评1．求解有关x 与e x ，x 与ln x 的组合函数问题，要把相关问题转化为熟悉易解的函数模型来处理；若函数最值不易求解时，可重新分拆、组合、构建新函数，然后借助导数研究函数的性质来求解．2．本例中(1)先将不等式f (x )≥0转化为a ≥ln x x 2，再构造函数g (x )＝ln xx 2，求其最大值即可求得a 的取值范围；(2)先由y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 相切，得到方程组，再构造新函数，通过研究新函数的单调性，求出a 的值．8．已知函数f (x )＝x 3－a ln x (a ∈R )．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数y ＝f (x )在区间(1，e]上存在两个不同零点，求实数a 的取值范围．8．解析(1)∵f ′(x )＝3x 2－a x＝3x3－ax(x >0)．①当a ≤0时，f ′(x )>0，此时函数在(0，＋∞)上单调递增；②当a >0时，令f ′(x )＝3x 3－ax ＝0，得x ＝3a 3，当xf ′(x )<0，此时函数f (x )当xf ′(x )>0，此时函数f (x )(2)由题意知：a ＝x 3ln x在区间(1，e]上有两个不同实数解，即直线y ＝a 与函数g (x )＝x 3ln x 的图象在区间(1，e]上有两个不同的交点，因为g ′(x )＝x 2(3ln x －1)(ln x )2，令g ′(x )＝0，得x ＝3e ，所以当x ∈(1，3e)时，g ′(x )<0，函数在(1，3e)上单调递减；当x ∈(3e ，e]时，g ′(x )>0，函数在(3e ，e]上单调递增；则g (x )min ＝g (3e)＝3e ，而g (e 127)＝e 19ln e 127＝27e 19>27，且g (e)＝e 3<27．所以要使直线y ＝a 与函数g (x )＝x 3ln x 的图象在区间(1，e]上有两个不同的交点，则3e<a ≤e 3，所以a 的取值范围为(3e ，e 3]．考点二x 与e x 的组合函数问题(1)熟悉函数f (x )＝h (x )e g (x )(g (x )为一次函数，h (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b 不能同时为0))的图象特征，做到对图(1)(2)中两个特殊函数的图象“有形可寻”．(2)熟悉函数f (x )＝e xh (x )(h (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b 不能同时为0)，h (x )≠0)的图象特征，做到对图(3)(4)中两个特殊函数的图象“有形可寻”．【例题选讲】[例1]已知函数f (x )＝a (x －1)，g (x )＝(ax －1)·e x ，a ∈R ．(1)求证：存在唯一实数a ，使得直线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )相切；(2)若不等式f (x )＞g (x )有且只有两个整数解，求a 的取值范围．分析(1)设切点的坐标为(x 0，y 0)，然后由切点既在直线上又在曲线上得到关于x 0的方程，再构造函数，从而通过求导研究新函数的单调性使问题得证；(2)首先将问题转化为＜1，然后令m (x )＝x －x －1e x ，再通过求导研究函数m (x )的单调性，求得最小值，从而分a ≤0，0＜a ＜1，a ≥1三种情况来讨论，进而求得a 的取值范围．解析(1)f ′(x )＝a ，g ′(x )＝(ax ＋a －1)e x ．设直线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )的切点的坐标为(x 0，y 0)，则y 0＝a (x 0－1)＝(ax 0－1)e x 0，得a (x 0e x 0－x 0＋1)＝e x 0，①又因为直线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )相切，所以a ＝g ′(x 0)＝(ax 0＋a －1)e x 0，整理得a (x 0e x 0＋e x 0－1)＝e x 0，②结合①②得x 0e x 0－x 0＋1＝x 0e x 0＋e x 0－1，即e x 0＋x 0－2＝0，令h (x )＝e x ＋x －2，则h ′(x )＝e x ＋1＞0，所以h (x )在R 上单调递增．又因为h (0)＝－1＜0，h (1)＝e －1＞0，所以存在唯一实数x 0，使得e x 0＋x 0－2＝0，且x 0∈(0，1)，所以存在唯一实数a ，使①②两式成立，故存在唯一实数a ，使得直线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相切．(2)令f (x )＞g (x )，即a (x －1)＞(ax －1)e x ，所以ax e x －ax＋a ＜e x ，所以1，令m (x )＝x －x －1e x ，则m ′(x )＝e x ＋x －2ex ，由(1)可得m (x )在(－∞，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，且x 0∈(0，1)，故当x ≤0时，m (x )≥m (0)＝1，当x ≥1时，m (x )≥m (1)＝1，所以当x ∈Z 时，m (x )≥1恒成立．①当a ≤0时，am (x )＜1恒成立，此时有无数个整数解，舍去；②当0＜a ＜1时，m (x )＜1a ，因为1a＞1，m (0)＝m (1)＝1，所以两个整数解分别为0，1(2)≥1a，(－1)≥1a，解得a ≥e 22e 2－1，即a ∈e22e 2－1，＋③当a ≥1时，m (x )＜1a ，因为1a ≤1，m (x )在x ∈Z 时大于或等于1，所以m (x )＜1a 无整数解，舍去．综上所述，a 的取值范围为e 22e 2－1，＋点评1．涉及函数的零点的个数问题、方程解的个数问题、函数图象的交点个数问题时，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值等，再借助函数的大致图象判断零点、方程的根、函数图象的交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值等．2．在求解有关x 与e x 的组合函数综合题时要把握三点：(1)灵活运用复合函数的求导法则，由外向内，层层求导；(2)把相关问题转化为熟悉易解的函数模型来处理；(3)函数最值不易求解时，可重新组合、分拆，构建新函数，通过分类讨论新函数的单调性求最值．3．以形助数、数形沟通，实现数形结合，形象直观地得出结论，体现了直观想象等数学核心素养．考点三x 与e x ，ln x 的组合函数问题(1)熟悉函数f (x )＝h (x )ln x ±e x (h (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b 不能同时为0))的图形特征，做到对图(1)(2)(3)(4)所示的特殊函数的图象“有形可寻”．(2)熟悉函数f (x )＝e x h (x )±ln x (其中h (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b 不同时为0))的图形特征，做到对图(5)(6)所示的两个特殊函数的图象“有形可寻”．命题点1分离参数，设而不求【例题选讲】[例1]已知函数f (x )＝ln x ＋m x ，g (x )＝e xx(e ＝2．71828……为自然对数的底数)，是否存在整数m ，使得对任意的x 都有y ＝f (x )的图象在y ＝g (x )的图象下方？若存在，请求出整数m 的最大值；若不存在，请说明理由．解析假设存在整数m 满足题意，则不等式ln x ＋m x ＜e xx，对任意的x即m ＜e x －x ln x 对任意的x v (x )＝e x －x ln x ，则v ′(x )＝e x －ln x －1，令φ(x )＝e x －lnx －1，则φ′(x )＝e x －1x，易知φ′(x )因为φe 12－2＜0，φ′(1)＝e －1＞0且φ′(x )所以存在唯一的x 0φ′(x 0)＝0，即e x 0－1x 0＝0，则x 0＝－ln x 0．当x x φ(x )单调递减；当x ∈(x 0，＋∞)时，φ(x )单调递增．则φ(x )在x ＝x 0处取得最小值，且最小值为φ(x 0)＝e x0－ln x 0－1＝1x 0＋x 0－1＞2x 0·1x 0－1＝1＞0，所以v ′(x )＞0，即v (x )m ≤e 12－12ln 12＝e 12＋12ln 2≈1．99529，故存在整数m 满足题意，且m 的最大值为1．点评1．对于恒成立或有解问题分离参数后，导函数的零点不可求，且不能借助图象或观察得到，常采用设而不求，整体代入的方法．2．本例通过虚设零点x 0得到x 0＝－ln x 0，将e x 0－ln x 0－1转化为普通代数式1x 0＋x 0－1，然后使用基本不等式求出最值，同时消掉x 0，即借助φ′(x 0)＝0作整体代换，采取设而不求，达到化简求解的目的．命题点2分离ln x 与e x[例2]已知函数f (x )＝ax 2－x ln x ．(1)若函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若a ＝e ，证明：当x >0时，f (x )<x e x ＋1e ．解析(1)由题意知，f ′(x )＝2ax －ln x －1．因为函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以当x >0时，f ′(x )≥0，即2a ≥ln x ＋1x在x >0时恒成立．令g (x )＝ln x ＋1x(x >0)，则g ′(x )＝－ln xx 2，易知g (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则g (x )max ＝g (1)＝1，所以2a ≥1，即a ≥12．故实数a 的取值范围是12，＋(2)证明若a ＝e ，要证f (x )<x e x ＋1e ，只需证e x －ln x <e x ＋1e x ，即e x －e x <ln x ＋1e x．令h (x )＝ln x ＋1e x (x >0)，则h ′(x )＝e x －1e x2，易知h (x )h (x )min ＝0，所以ln x ＋1e x ≥0．再令φ(x )＝e x －e x ，则φ′(x )＝e －e x ，易知φ(x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则φ(x )max ＝φ(1)＝0，所以e x －e x ≤0．因为h (x )与φ(x )不同时为0，所以e x －e x <ln x ＋1e x ，故原不等式成立．点评1．若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个都便于求导的函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标．2．本题第(2)小题中变形后再隔离分析构造函数，原不等式化为ln x ＋1e x >e x －e x (x >0)(分离ln x 与e x )，便于探求构造的函数h (x )＝ln x ＋1e x 和φ(x )＝e x －e x 的单调性，分别求出h (x )的最小值与φ(x )的最大值，借助“中间媒介”证明不等式．【对点训练】1．已知函数f (x )＝ln x ＋ax(a >0)．(1)若函数f (x )有零点，求实数a 的取值范围；(2)证明：当a ≥2e 时，ln x ＋ax －e －x >0．1．解析(1)由题意可知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．由f (x )＝ln x ＋ax＝0有解，得a ＝－x ln x 有解，令g (x )＝－x ln x ，则g ′(x )＝－(ln x ＋1)．∵当x g ′(x )>0，当x g ′(x )<0，∴函数g (x )g (x )max ＝＝－1e ln 1e ＝1e．11∵a ＝－x ln x 有解，且x >0，a >0，∴0<a ≤1e，∴实数a，1e ．(2)要证当a ≥2e 时，ln x ＋a x －e －x >0，即证ln x ＋a x>e －x ，∵x >0，∴即证x ln x ＋a >x e －x ，即证(x ln x ＋a )min >(x e －x )max ．令h (x )＝x ln x ＋a ，则h ′(x )＝ln x ＋1．当0<x <1e 时，f ′(x )<0；当x >1e时，f ′(x )>0．∴函数h (x )∴h (x )min ＝＝－1e＋a ，故当a ≥2e 时，h (x )≥－1e ＋a ≥1e．①令φ(x )＝x e －x ，则φ′(x )＝e －x －x e －x ＝e －x (1－x )．当0<x <1时，φ′(x )>0；当x >1时，φ′(x )<0．∴函数φ(x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴φ(x )max ＝φ(1)＝1e ．故当x >0时，φ(x )≤1e．②显然，不等式①②中的等号不能同时成立，故当a ≥2e 时，ln x ＋a x－e －x >0．。

导数在证明不等式中的有关应用1.最值的判定导数可以帮助我们判断一个函数在其中一区间的最值。

具体来说，如果在一个区间内，函数的导数恒为零或者导数的正负性在其中一点发生变化，那么在该区间内函数的最值就会出现。

例如，考虑函数$f(x)=x^2-4x+3$。

我们可以通过求取导数$f'(x)=2x-4$，并令其等于零，得到$x=2$。

通过检查导数的符号，可以确认在$x<2$时导数为负，$x>2$时导数为正。

因此，在$x<2$时，函数的导数为负，说明函数在这个区间上是递减的；而在$x>2$时，函数的导数为正，说明函数在这个区间上是递增的。

因此，根据导数的正负性和最值判定原则，我们可以得出结论：函数$f(x)$在区间$(-\infty,2)$上单调递减，在区间$(2,+\infty)$上单调递增。

进一步，我们可以求得函数的最值，即当$x=2$时，函数取得最小值。

因此，我们得到了函数$f(x)$的最值以及最值的取值点。

2.利用导数证明不等式的成立导数可以被用来证明各种类型的不等式。

其中一个常见的方法是使用导数的定义和可微函数的局部性质。

考虑函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上有定义且在开区间$(a,b)$内可微。

如果在$(a,b)$内存在一个点$c$，使得$f'(c)>0$，那么基于导数的定义，我们可以得出结论：对于任意的$x \in (a,b)$，都有$f'(x)>0$。

这意味着$f(x)$在$(a,b)$内是单调递增的。

我们可以进一步得出结论：对于任意的$x \in [a,b]$，都有$f'(x) \geq f'(a)$。

因此，我们可以断定$f(x)$在闭区间$[a,b]$上是凸函数。

根据凸函数的性质，我们可以利用函数的凸性证明各种类型的不等式。

例如，我们可以证明对于任意的$x>0$和$y>0$，成立如下的不等式：$\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y}$。

对于e x和ln x与其他代数式相结合的问题，常把e x 和ln x放缩，然后可以化简或判断导数的正负．两个常见放缩公式：
①e x≥1＋x，(x∈R),当且仅当x＝0时取等号；
②ln x≤x－1，(x＞0)，当且仅当x＝1时取等号角度1构造函数
证明：e x≥1＋x，(x∈R),当且仅当x＝0时取等号
证明：ln x≤x－1，(x＞0)，当且仅当x＝1时取等号
1.曲线x e y =在点（0,1）处的切线方程 .
结论:
2.曲线x e y =过点（0,0）处的切线方程 .
结论:
3.曲线lnx y =在点（1,0）处的切线方程 .
结论:
4.曲线lnx y =过点（0,0）处的切线方程 .
结论:
换成中的把x x e x 1+≥1-x 得 .
换成中的把x x e x 1+≥x ln 得 .
换成中的把x x e x 1+≥x -得 .
得换成中的把n
x x ex e x ≥ .
换成
中的把x x x 1ln -≤x
1 .
得换成中的把11ln +-≤x x x x .
换成
中的把x x x 1ln -≤e
x 得 .
画出下列函数的草图。

注意单调性及函数值的正负。

x xe x f =)(
x e
x x f =
)(
x x x f ln )(=
x x x f ln )(=。

导数与构造函数证明不等式的技巧导数是微积分中的一个重要概念。

它可以描述函数在各个点上的变化率，也可以用来求函数的最大值、最小值以及拐点等重要信息。

而构造函数则是数学中一种非常常见的证明不等式的方法。

本文将介绍一些常用的导数和构造函数证明不等式的技巧。

一、使用导数证明不等式1. 求导数确定函数的单调性对于一个函数$f(x)$，如果它在某个区间上的导数$f'(x)$大于0，说明它在该区间上单调递增；如果导数$f'(x)$小于0，则说明它在该区间上单调递减。

因此，如果要证明一个不等式在某个区间上成立，可以先求出函数在该区间上的导数，确定其单调性，然后再比较函数在两个端点处的取值即可。

例如，对于函数$f(x)=x^2-4x+3$，我们可以求出它的导数为$f'(x)=2x-4$。

由于$f'(x)>0$时$f(x)$单调递增，因此当$x<2$时，$f(x)<f(2)$，当$x>2$时，$f(x)>f(2)$，即$f(x)$在$x<2$和$x>2$的区间上都小于$f(2)$，因此我们可以得到不等式$f(x)<f(2)$，即$x^2-4x+3<1$。

2. 求导数判断函数的最值对于一个函数$f(x)$，如果它在某个点$x_0$处的导数$f'(x_0)=0$，且$f^{''}(x_0)>0$（即$f(x)$的二阶导数大于0）则$f(x)$在$x_0$处取得一个局部最小值；如果$f^{''}(x_0)<0$，则$f(x)$在$x_0$处取得一个局部最大值。

因此，如果要证明一个不等式最值的存在性，可以先求出函数的导数，再找出导数为0的点即可。

3. 构造特殊的函数如果一个不等式的两边都是多项式，可以考虑构造一个较为特殊的函数，来证明不等式的成立性。

例如，对于不等式$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\leq\dfrac{3}{2\sqrt[3]{abc}}$，我们可以考虑构造一个函数$f(x)=\dfrac{1}{a+b+x}+\dfrac{1}{b+c+x}+\dfrac{1}{c+a+x}-\dfrac{3}{2\sqrt[3]{(a+x)(b+x)(c+x)}}$，并证明$f(x)\leq 0$。

导数与不等式证明导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。

而不等式是数学中常用的一种关系，用于比较两个数或表达变量之间的大小关系。

本文将探讨导数与不等式之间的关系，并通过具体的例子来证明与应用。

一、导数的定义与性质首先，我们回顾导数的定义：对于函数f(x)，在点x处的导数可以表示为lim（h->0）（f(x+h)-f(x)）/h。

简单来说，导数就是函数在某一点的斜率。

导数具有以下性质：1. 导数存在性：如果函数在某一点可导，则该点的导数存在。

2. 导数与函数图像：导数可以帮助我们理解函数图像的特性，如切线与曲线的关系、函数的增减性等。

3. 导数的计算：可以通过求导法则，例如常数法则、幂函数法则、链式法则等，来计算导数。

二、不等式的基本性质接下来，我们简要介绍不等式的基本性质。

不等式常见的有大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）、小于等于号（≤）等。

对于不等式的证明，通常有以下方法：1. 同向性：如果a>b，那么对于任意正数c，ac>bc。

这个性质可以用于不等式的乘法性质证明。

2. 等价性：如果两个不等式的左边和右边分别相等，则两个不等式等价。

这个性质可以用于不等式的代换和变形。

三、导数与不等式之间的关系导数在不等式的证明中具有重要作用。

通过对比函数在不同区间的导数值以及函数图像的特征，可以得出不等式的结论。

下面通过两个具体的例子来说明导数与不等式之间的关系。

例1：证明函数f(x)=x²在区间（0，∞）上是递增的。

解：首先计算f(x)=x²的导数：f'(x)=2x。

由于导数描述了函数的变化率，当导数大于0时，函数是递增的。

因此，我们需要证明2x>0在区间（0，∞）上成立。

由于x大于0，所以2x大于0，即导数大于0，因此函数f(x)=x²在区间（0，∞）上是递增的。

例2：证明函数f(x)=eˣ在任意区间上是递增的。