专题：整式的化简求值.ppt

第1章4章 习习 题题 课课 整整 式式 的的 化化 简简 求求 值值 人-教20版20（秋广人东教）版八（级广数东学）上八册年课级件数 学上册 课件
(2)设三个连续的整数中间的一个为 n，计算最大数与最小数的平方差， 并说明它是 4 的倍数； 延伸：任意三个连续的奇数中，最大数与最小数的平方差是 8 的倍数， 请说明理由．
B组 3．计算： (1)(x－1)(x2＋x＋1)； 解：原式＝x3＋x2＋x－x2－x－1 ＝x3－1.
第章习题课 整式的化简求值人教版（广东）八级 数学上 册课件
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(2)(x＋2y)(x2－4y2)(x－2y)； 解：原式＝[(x＋2y)(x－2y)](x2－4y2) ＝(x2－4y2)(x2－4y2) ＝x4－8x2y2＋16y4.
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(2)(2x＋5y)2； 解：原式＝4x2＋20xy＋25y2. (3)(3m－n)(－3m－n)； 解：原式＝n2－9m2. (4)(3x2y－6xy)÷6xy. 解：原式＝3x2y÷6xy－6xy÷6xy ＝12x－1.
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类型 2 整式的化简与求值 【例 2】 先化简，再求值：(x－4y)(x＋4y)＋(3x＋4y)2，其中 x＝2，y ＝－1. 解：原式＝x2－16y2＋9x2＋24xy＋16y2 ＝10x2＋24xy. 当 x＝2，y＝－1 时，原式＝10×4－24×2＝－8.
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【思想方法】(1)进行分式混合运算时，一定要注意运算顺序， 并结合题目的具体情况及时化简，以简化运算过程； (2)适当地注意利用运算律，寻求合理运算途径； (3)分子分母能因式分解的应进行分解，并注意符号的处理，以 便寻求组建公分母和约分化简； (4)要注意分式的通分与解分式方程去分母的区别．
专题提升(二) 代数式的化简与求值
类型之一 整式的化简与求值 【教材原型】
已知x＋y＝3，xy＝1，你能求出x2＋y2的值吗？(x－y)2呢？ (浙教版七下P81第7题) 解：x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝32－2＝7； (x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝32－4×1＝5.
【思想方法】 利用完全平方公式求两数平方和或两数积等问 题，在化简求值、一元二次方程根与系数的关系中有广泛应 用，体现了整体思想、对称思想，是中考热点考题． 完全平方公式的一些主要变形有：(a＋b)2＋(a－b)2＝ 2(a2＋b2)，(a＋b)2－(a－b)2＝4ab，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab ＝(a－b)2＋2ab，在四个量a＋b，a－b，ab和a2＋b2中， 知道其中任意的两个量，能求出(整体代换)其余的两个量．
【中考变形】
1．已知(m－n)2＝8，(m＋n)2＝2，则m2＋n2的值为
(C)
A．10
B．6
C．5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D．3
11
3．[2015·通州区一模]已知x2＋4x－5＝0，求代数式2(x＋1)(x －1)－(x－2)2的值． 解：∵x2＋4x－5＝0，即x2＋4x＝5， ∴原式＝2x2－2－x2＋4x－4＝x2＋4x－6＝5－6＝－1.
【思想方法】 在进行二次根式化简求值时，常常用整体 思想，把a＋b，a－b，ab当作整体进行代入．整体思想是 很重要的数学思想，利用其解题能够使复杂问题变简单． 整体思想在化简，解方程，解不等式中有广泛的应用，是 中考的重点考查的数学思想方法之一．

1．(2分)(2015·江西模拟)计算a－2(1－3a)的结果为( A ) A．7a－2 B．－2－5a C．4a－2 D．2a－2 2．(2分)计算6a2－5a＋3与5a2＋2a－1的差，结果正确的是( D ) A．a2－3a＋4 B．a2－3a＋2 C．a2－7a＋2 D．a2－7a＋4 3．(2分)若A－(－3x)＝2x2－3x－3，则A等于( C ) A．2x2－3 B．2x2－3x－3 C．2x2－6x－3 D．2x2－9x－3
(2)(a－b)2＋9(a－b)＋15(a－b)2－(a－b)，其中 a－b＝14. 解：原式＝16(a－b)2＋8(a－b)，当 a－b＝14时，原式＝16×(14)2＋8×41 ＝3
10．(5 分)已知 A＝2a2－a，B＝－5a＋1. (1)化简：3A－2B＋2； (2)当 a＝－21时，求 3A－2B＋2 的值．
4．(2 分)当 x＝2 时，多项式－(9x3－4x2＋5)－(－3－8x3＋3x2)的值 为( C ) A．－4 B．4 C．－6 D．6 5．(2 分)当 a＝5，b＝3 时，a－[b－2a－(a－b)]等于( B ) A．10 B．14 C．－10 D．4 6．(2 分)多项式_－__m__＋__2_与 m2－m－2 的和是 m2－2m.
Байду номын сангаас
13．(2 分)(2014·乐山)如图，正方形 ABCD 的边长为 3，以 A 为圆
心，2 为半径作圆弧，以 D 为圆心，3 为半径作圆弧，若图中阴影 部分的面积分别为 S1，S2，则 S1－S2＝___14_3_π__－__9_______．
14．(7分)便民超市原有(5x2－10x)桶食用油，上午卖出了(7x－5) 桶，中午休息时又购进同样的食用油(x2－x)桶，下午清仓时发 现该食用油只剩下5桶，请问： (1)便民超市中午过后一共卖出多少桶食用油？(用含x的代数式 表示)； (2)当x＝5时，便民超市中午过后一共卖出多少桶食用油？ 解：依题意，得(1)5x2－10x－(7x－5)＋(x2－x)－5＝(6x2－18x) 桶；(2)当x＝5时，6x2－18x＝60，故便民超市中午过后一共卖 出60桶食用油

整式的化简求值1．先化简，再求值：3（4a 2+2a ）﹣（2a 2+3a ﹣5），其中a ＝﹣2．2．先化简，再求值：4xy ﹣（2x 2+5xy ﹣y 2）+2（x 2+3xy ），其中x ＝1，y ＝﹣2．3．先化简后求值：，其中x ＝﹣2，y ＝﹣32．4．先化简，再求值：2（x 2﹣xy ）﹣3（x 2﹣2xy ），其中x ＝1，y ＝﹣1．5．先化简，再求值：2（x 2y +xy ）﹣3（x 2y ﹣xy ）﹣5xy ，其中x ＝﹣1，y ＝1．6．先化简，再求值：﹣3（x 2y ﹣xy 2）﹣（﹣3x 2y +2xy 2）+xy ，其中x ＝2，y ＝﹣21．7．先化简，再求值：4xy ﹣（2x 2+5xy ﹣y 2）+2（x 2+3xy ），其中x ＝1，y ＝﹣2．8．先化简，再求值：5x 2﹣2（3y 2+6xy ）+（2y 2﹣5x 2），其中x ＝，y ＝21-．9．先化简再求值：21xy ﹣2（xy +41y 2）+（xy ﹣21y 2），其中x ＝﹣3，y ＝．10．先化简，再求值：（﹣x 2+3xy ﹣2y ）﹣2（﹣21x 2+4xy ﹣23y 2），其中x ＝3，y ＝﹣211．先化简，再求值：2（ab ﹣3a 2）+[5a 2﹣（3ab ﹣a 2）]，其中a ＝，b ＝1．12．先化简，再求值：3（a 2+ab ）﹣2（a 2+2ab ），其中a ＝﹣2，b ＝3．13．先化简，再求值：3（x 2﹣2xy ）﹣[3x 2﹣2y +2（xy +y ）]，其中x ＝﹣4，y ＝2．14．先化简，再求值：6（x 2y +32xy 2﹣x ）﹣23(4x 2y +2xy 2+8x ），其中x ＝，y ＝1．15．先化简，再求值：2（x ﹣31y 2）﹣（﹣23x +31y 2）﹣x ，其中x ＝﹣1，y ＝23．16．先化简再求值：，其中x ＝﹣2，y ＝32．17．化简求值：3（x 2y ﹣31xy 2）﹣（xy 2﹣x 2y ）﹣2x 2y ，其中，x ＝21，y ＝﹣2．18．化简求值：5（3x 2y ﹣xy 2）﹣（xy 2+3x 2y ），其中x ＝1，y ＝﹣2119．化简下式，求值：4a 2b ﹣2（a 2b ﹣3ab 2）+（﹣4ab 2﹣2a 2b ）．其中a ＝﹣3．b ＝﹣2．20．先化简，再求值：4x 2﹣2xy +y 2﹣2（x 2﹣xy +5y 2），其中x ＝3，y ＝﹣1．21．先化简，再求值：，其中x ＝﹣1，y ＝2．22．先化简下式，再求值：5（3ba 2﹣b 2a ）﹣（ab 2+3a 2b ），其中a ＝，b ＝．23．先化简，再求值3（x 2y ﹣xy 2）﹣2（﹣23xy 2﹣2+x 2y ）﹣3其中x ＝﹣，y ＝﹣2．24．先化简，再求值：3（2a 2b ﹣ab 2）﹣3（﹣ab 2+3a 2b ），其中a ＝﹣1，b ＝2．25．先化简，再求值：3x 2+（2xy ﹣3y 2）﹣2（x 2+xy ﹣y 2），其中x ＝﹣1，y ＝2．26．先化简，再求值：2x 2﹣（4x 2﹣3xy +y 2）+2（x 2﹣3xy +2y 2），其中x ＝31，y ＝﹣2．27．先化简，再求值：2（3x 2y +xy 2）﹣3（2x 2y ﹣xy ）﹣2xy 2+1，其中x ＝31，y ＝1．28．先化简，再求值：2（4x 2﹣3xy ﹣6y 2）﹣3（2x 2﹣3xy ﹣4y 2），其中x ＝﹣2，y ＝1．29．先化简，再求值﹣3（2x 2y ﹣xy 2）﹣（xy 2+x 2y ），其中x ＝2，y ＝﹣21．30．先化简后求值：2（x 2y +xy ）﹣3（x 2y ﹣xy ）﹣5xy ，其中(x +2)2+|y-1＝031．先化简再求值：3x 2y ﹣[2x 2y ﹣3（2xy ﹣x 2y ）﹣xy ]，其中x ＝21，y ＝2．32．先化简，再求值：（7x 2﹣6xy ﹣1）﹣2（﹣3x 3﹣4xy ）﹣5，其中x ＝﹣2，y ＝﹣21．33．化简求值：2（x 2y ﹣xy 2﹣1）﹣3（2x 2y ﹣3xy 2﹣3），其中x ＝﹣21，y ＝1．34．先化简，再求值：2（x 2+3xy ）﹣（x 2﹣xy ），其中x ＝2，y ＝3．35．先化简，再求值：（3a 2b ﹣ab 2）﹣2（ab 2+3a 2b ），其中a ＝﹣21，b ＝2．36．先化简，再求值：4（3a 2b ﹣ab 2）﹣3（﹣ab 2+3a 2b ）．其中a ＝﹣1，b ＝﹣2．37．先化简，再求值：2（2xy 2﹣x 2y ）﹣（x 2y +6xy 2）+3x 2y ，其中x ＝2，y ＝﹣1．38．已知：A ＝﹣4x 2+2x ﹣8，B ＝121 x ，求41A ﹣B 的值，其中x ＝21；39．先化简，再求值：3（xy ﹣35x 3）﹣2（1﹣3x 3）﹣2xy ，其中，x ＝y ＝﹣2．40．先化简，再求值：，其中x ＝5，y ＝﹣3．41．先化简，再求值：x 2+（2xy ﹣y 2）﹣2（x 2+xy ﹣2y 2），其中x ＝﹣1，y ＝2．42．先化简，再求值：（2x 2y ﹣4xy 2）﹣2（﹣xy 2+x 2y ）；其中x ＝﹣1，y ＝2．43．先化简，再求值：3（x ﹣）﹣（6x ﹣2y 2），其中x ＝2，y ＝﹣32．44．先化简，再求值：6y 3+4（x 3﹣2xy ）﹣2（3y 3﹣xy ），其中x ＝﹣2，y ＝3．45．先化简，再求值：2（x 3﹣2y ）﹣（x ﹣2y ）﹣（x ﹣3y +2x 3），其中x ＝﹣3，y ＝﹣2．46．已知代数式A ＝x 2+3xy +x ﹣12，B ＝2x 2﹣xy +4y ﹣1（1）当x ＝y ＝﹣2时，求2A ﹣B 的值；（2）若2A ﹣B 的值与y 的取值无关，求x 的值．47．已知A ＝4x 2y ﹣5xy 2，B ＝3x 2y ﹣4y 2，当x ＝﹣2，y ＝1时，求2A ﹣B 的值．48．已知A ＝4x 2y ﹣5xy 2，B ＝3x 2y ﹣4xy 2，当x ＝﹣2，y ＝1时，求2A ﹣B 的值．49．已知A ＝x 2﹣3xy +y 2，B ＝2x 2﹣2y 2（1）求2A ﹣B ；（2）当x ＝3，y ＝﹣1时，求2A ﹣B 的值．50．已知：A ＝2x 2+3xy ﹣5x +1，B ＝x 2-xy +2．求A -2B ．。

2
－a3b；④m2n和nm2；⑤－1和0；⑥a2与52；⑦ ab 与 2ab ，
3
5
其中是同类项的有（ B）
A. 3组
B. 4组
C. 5组
D. 6组
【巩固】 2. 如果单项式－xyb＋1与 1 xa-2y3 是同类项，那么(a－b)2021＝ 1 .
2
知识点二：合并同类项
合并同类项的定义： 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.
【例4】计算：
（4） 5x2 y [2x2 y (3xy xy2 ) 3x2 ] 2xy2 y2 .
方法 2：原式 5x2 y 2x2 y (3xy xy2 ) 3x2 2xy2 y2 5x2 y 2x2 y 3xy xy2 3x2 2xy2 y2 (5x2 y 2x2 y) (xy2 2xy2 ) 3xy 3x2 y2 3x2 y 3x2 3xy2 3xy y2
11a2 8ab 17b2
当a＝－1，b＝1时， 原式＝－11×(－1)2＋8×(－1)×1－17×12＝－36.
【巩固】
1. 先化简，再求值：
（2）已知 (a 3)2 b 2 0 ，求 2(a2 ab) 3( 2 a2 ab) 的值.
3
（2）因为(a 3)2 0 , b 2 0
4
2
解：原式 1 x 4 y 3 x y
2
2
( 1 x 3 x) (4 y y) 22
x 5y
【例4】计算：
（4） 5x2 y [2x2 y (3xy xy2 ) 3x2 ] 2xy2 y2 .
解：方法 1：原式 5x2 y [2x2 y 3xy xy2 3x2 ] 2xy2 y2 5x2 y 2x2 y 3xy xy2 3x2 2xy2 y2 (5x2 y 2x2 y) (xy2 2xy2 ) 3xy 3x2 y2 3x2 y 3x2 3xy2 3xy y2

得 m＋1＋1＝6，解得 m＝4. 由单项式 2x7－my3n 与该多项式的次数相同，得 7－4＋3n＝6， 解得 n＝1. 所以 m2＋n2＝42＋12＝16＋1＝17.
5 已知|x＋2|＋y－122＝0，求代数式13x3－2x2y＋23x3＋ 3x2y＋5xy2＋7－5xy2 的值．
解：由题意知，x＋2＝0，且 y－12＝0， 解得 x＝－2，y＝12. 所以原式＝x3＋x2y＋7＝(－2)3＋(－2)2×12＋7＝－8 ＋2＋7＝1.
7
已知 a2－a－4＝0，求 4a2－2(a2－a＋5)－12(a2－a
－4)－4a 的值．
解：原式＝(4a2－4a)－2(a2－a－4＋9)－12(a2－a－4)
＝4(a2－a－4＋4)－2(a2－a－4＋9)－12(a2－a－4) ＝4×4－2×9－0 ＝－2.
8 当 x＝1 时多项式 ax3＋bx＋1 的值为 5，则当 x＝－1 时多项式12ax3＋12bx＋1 的值为多少．
4 已知多项式 a3＋12ab4－am＋1b－6 是六次四项式，单项式 2x7－my3n 与该多项式的次数相同．求 m2＋n2 的值．
【点拨】根据多项式的次数是多项式中次数 最高的单项式的次数，可得m的值，根据单 项式的次数是所有字母的指数的和，可得n 的值，根据乘方的意义，可得答案．
解：由多项式 a3＋12ab4－am＋1b－6 是六次四项式，
第3章
代数式
阶段核心技巧 整式化简求值的常见类型——七法 四技巧
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5
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8
答案呈现
9 10 11
1 如图，某长方形广场的四个角都有一块半径相同的四分 之一圆形的草地，若圆形的半径为r米，长方形长为a米 、宽为b米． (1)分别用代数式表示草地和空地的面积；

变形后整体代入求值 例：已知当x=2时，多项式ax3-bx+1的值是-17，那么当x=-1时，多项式12ax-3bx3-5的值 是多少？
解： 当x=2时， ax3-bx+1
=8a-2b+1 =-17
8a-2b =2(4a-b)=-18 得4a-b=-9
当x=-1时， 12ax-3bx3-5 = -12a+3b-5 =-3(4a-b)-5 =-3×(-9)-5 =27-5 =22
例：若a2＋2b2＝5，求多项式(3a2－2ab＋b2)－(a2－2ab－3b2)的 值．
解：
原式 =3a2－2ab＋b2－a2＋2ab＋
注意符号变化
3b2 =（3-1）a2+（-2+2）ab+（1+3）b² =2a2＋4b2.
当a2＋2b2＝5 原时式，＝2(a2＋2b2)＝10
总结： 1.去括号注意括号里的各项符号变化， 合并同类项注意系数的符号 2.本题需要有整体思想，将（a2＋
当a=-1，b=
1 2
时，
4（A-B）+3（B-A）
总结：
= -4a2+2ab-5b2
= 4 12 2 1 1 5 ( 1)2
= 25
2
2
4
1.根据代数式的值与字母x的取值无关求出a，b的值
2.对原式进行化简，然后代入计算
总结
整式的化简求值
直接代入求 值
整体代入求 值
直接代入 化简后直接代入
2b2）看做一个整体
化简后整体代入求值
例：已知 m n 2 mn 32 0 ，求2(m＋n)－2[mn＋(m＋n)]－3[2(m＋n)－3mn]的
值 分析：

3．(邵阳县期末)先化简，再求值：(3x2－xy＋7)－(5xy－4x2＋ 7)，其中 x，y 满足(x－2)2＋|3y－1|＝0.
解：原式＝3x2－xy＋7－5xy＋4x2－7＝7x2－6xy. 由题意知 x－2＝0，3y－1＝0，所以 x＝2，y＝13. 则原式＝28－4＝24.
4．已知：x－2y－2＝0. (1)x－2y＝2 ； (2)求＋(5＋4x－6y)＋2(y－x＋1)的值． 解：因为 x－2y＝2， 所以原式＝5＋4x－6y＋2y－2x＋2 ＝7＋2x－4y ＝7＋2(x－2y) ＝7＋2×2 ＝11.
(2)14(－4x2＋2x－8)－(12x－1)，其中 x＝12； 解：原式＝－x2＋12x－2－12x＋1 ＝－x2－1. 当 x＝12时，原式＝－14－1＝－54.

(3)(张家界慈利县期中)先化简，再求值：2(x2y＋3xy)－3(x2y－ 1)－2xy－2，其中 x＝－2，y＝2；
解：原式＝2x2y＋6xy－3x2y＋3－2xy－2 ＝－x2y＋4xy＋1. 当 x＝－2，y＝2 时， 原式＝－(－2)2×2＋4×(－2)×2＋1 ＝－23.
(4)2(a2b＋ab2)－2(a2b－1)－2ab2－2，其中 a＝－2，b＝2.
解：原式＝2a2b＋2ab2－2a2b＋2－2ab2－2 ＝0. 当 a＝－2，b＝2 时，原式＝0.
2．已知 a2＋2b2＝5，求(3a2－2ab＋b2)－(a2－2ab－3b2)的值；
解：原式＝3a2－2ab＋b2－a2＋2ab＋3b2 ＝2a2＋4b2. 当 a2＋2b2＝5 时， 原式＝2(a2＋2b2)＝10.
5．已知代数式(2x2＋ax－y＋6)－(2bx2－3x＋5y－1)的值与字 母 x 的取值无关，求代数式12a2－2b＋4ab 的值．

专题04 整式化简求值一、整式的概念1．单项式和多项式（1）单项式的概念：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，单独一个数或字母也叫做单项式，如0，−1，a…（2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；（3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数；【注】①单个字母的系数是1，如a的系数是1；②只含字母因数的代数式的系数是1或−1，如−ab 的系数是−1，a3b的系数是1．（4）多项式的概念：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式；（5）多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项；（6）多项式的次数：次数最高的项的次数就是这个多项式的次数；（7）常数项：代数式中不含字母的项叫做常数项，如6x2−2x−7中的常数项是−7．2.同类项多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项所有常数项也看做同类项．3．合并同类项（1）定义：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．（2）理论依据：逆用乘法分配律．（3）法则：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．【注】①如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后结果为0；②不是同类项的不能合并，不能合并的项，在每步运算中都要写上；③只要不再有同类项，就是最后结果，结果还是代数式．（4）合并同类项的步骤：第一步：观察多项式中各项，准确找出同类项，项数比较多时，不同的同类项可以给出不同的标记；第二步：利用乘法的分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变；第三步：写出合并后的结果．4．去括号法则去括号规律要准确理解，去括号应对括号的每一项的符号都予以考虑，做到要变都变；要不变，则谁也不变；法则顺口溜：去括号，看符号，是“+”号，不变号；是“-”号，全变号．另外，括号内原有几项去掉括号后仍有几项．【注】 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．二、整式的计算1．整式的加减法整式的加减实质上就是合并同类项，若有括号，要先用“去括号法则”去掉括号，然后合并同类项．【注】（1）两个整式相减时，减数一定要先用括号括起来；（2）整式加减的最后结果中：①不能含有同类项；②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数．2．幂的运算（1）同底数幂的乘法同底数幂运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即()m n m n a a a m n +⋅=、为正整数（m 、n 均为正整数）．推导公式：同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即()m n p m n p a a a a m n p ++⋅⋅=、、为正整数．底数互换关系 22()()n n a b b a -=- ，2121()()n n b a a b ++-=--【注】同底数幂的乘法中，首先要找出相同的底数，运算时，底数不变，直接把指数相加，所得的和作为积的指数．在进行同底数幂的乘法运算时，如果底数不同，先设法将其转化为相同的底数，再按法则进行计算．（2）幂的乘方的运算性质运算性质： 幂的乘方，底数不变，指数相乘，即()m n mn a a =（m 、n 均为正整数）．【注】幂的乘方的底数是指幂的底数，而不是指乘方的底数.指数相乘是指幂的指数与乘方的指数相乘，一定要注意与同底数幂相乘中“指数相加”区分开．（3）积的乘方的运算性质运算性质：积的乘方，把积中各个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即：()n n n ab a b =（n 为正整数）．补充：()p m n mp np a b a b = (m 、n 、p 是正整数)．【注】运用积的乘方法则时，数字系数的乘方，应根据乘方的意义计算出结果．运用积的乘方法则时，应把每一个因式都分别乘方，不要遗漏其中任何一个因式．3．整式的乘除（1） 单项式乘单项式法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式 里的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.【注】计算时要运用乘法交换律，乘法结合律（2）单项式乘多项式法则：单项式与多项式相乘，因单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加【注】运用乘法分配律转化成单项式乘单项式（3）多项式乘多项式法则：多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘里一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 4．乘法公式（1）完全平方公式：(a +b )2=a 2+2ab +b 2， (a −b )2=a 2−2ab +b 2解读：()2222+=+⨯⨯+首尾首首尾尾，公式中的a 、b 可以是单独的数字,字母，单项式或多项式（2）平方差公式：(a +b )(a −b )=a 2−b 2核心考点 整式的化简求值 1．整式化简求值在广东省中考中，在解答题部分，大多以先化简再求值的题型出现，要求熟悉乘法公式的特点，看清项数及公式形式中的a 、b ，准确进行计算；2．要准确认识平方差和完全平方公式，可以结合面积法证明这两个公式，这种证明方法在初中数学中体现了数形结合的思想；3．在化简求值时要注意：当字母是负数时，代入后应加上括号；当字母是分数时，遇到乘方也要加括号．【经典示例】先化简，再求值：2()()2a b a b a +-+，其中1a =，b =答题模板第一步，计算：利用整式乘法和除法法则或乘法公式进行展开．第二步，化简：利用整式的加减法法则合并同类项化简．第三步，求值：把字母的值代入化简结果计算．第四步，反思：反思回顾，查看关键点、易错点，对结果进行估算，检查规范性．【满分答案】原式=2222223a b a a b -+=-，当1a =，b ==22311⨯-=．【解题技巧】在进行整式化简时，根据整式的乘除法法则进行展开计算，符合平方差和完全平方公式的可以利用公式运算，然后再根据整式的加减法法则进行合并同类项，将原式化简，最后再代入求值.模拟训练1．计算：(3)(1)(2)a a a a +-+-．【答案】2a 2﹣3【解析】原式=22332a a a a a -+-+-=2a 2﹣3．2．先化简，再求值．()()223234(1)(2)x x x x x +---+-，其中x = 【答案】x 2﹣5，﹣2．【解析】原式=4x 2﹣9﹣4x 2+4x +x 2﹣4x +4=x 2﹣5，当x ==2﹣5=3﹣5=﹣2．3．先化简，再求值：()()()()2212112a a a a a --+---，其中1a .【答案】4．【解析】原式=4a 2﹣4a +1﹣2a 2+2﹣a 2+2a =a 2﹣2a +3，当1a 时，原式﹣﹣2+3=4．1．（2018•大庆）已知：x 2–y 2＝12，x +y ＝3，求2x 2–2xy 的值．【答案】28【解析】∵x 2–y 2＝12，∴（x +y ）（x –y ）＝12，∵x +y ＝3①，∴x –y ＝4②，①+②得，2x ＝7，∴2x 2–2xy ＝2x （x –y ）＝7×4＝28．2．（2018•济宁）化简：（y +2）（y –2）–（y –1）（y +5）．【答案】–4y +1【解析】原式＝y 2–4–y 2–5y +y +5＝–4y +1．3．（2017•贵阳）下面是小颖化简整式的过程，仔细阅读后解答所提出的问题．解：x （x +2y ）–（x +1）2+2x＝x 2+2xy –x 2+2x +1+2x …第一步＝2xy +4x +1 …第二步（1）小颖的化简过程从第_______ 步开始出现错误；（2）对此整式进行化简．【答案】（1）一；（2）2xy –1．【解析】（1）括号前面是负号，去掉括号应变号，故第一步出错，故答案为：一；（2）x （x +2y ）–（x +1）2+2x ＝x 2+2xy –x 2–2x –1+2x ＝2xy –1．4．（2017•江苏无锡）计算：（a +b ）（a ﹣b ）﹣a （a ﹣b ）【答案】ab ﹣b 2【解析】原式=a 2﹣b 2﹣a 2+ab =ab ﹣b 2．5．（2017•浙江嘉兴）化简：(2)(2)33m m m m +--⨯． 【答案】－4.【解析】原式=m 2－4－m 2=－4．6．(2017•河南)先化简，再求值：2(2)()()5()x y x y x y x x y ++-+--，其中1x =，1y =．【答案】原式=9xy ，当1x =，1y =时，原式=9．【解析】原式=2222244559x xy y x y x xy xy +++--+=．当1x =，1y =时，原式=9xy =1)9+=．。

2
【解析】原式=(x2-9y2+4y2-4xy+x2+5y2-5xy2-2x2+x2y)
÷ ( 1 xy) =(-4xy-5xy2+x2y)÷ ( 1 xy) =8+10y-2x,当
2
2
x=95,y=220时,原式=8+10×220-2×95=2 018.
【题型二】 分式的化简求值
3.(202X·河南二模)先化简,再求值: ( 1 1 )
ab ab
b ， 其中实数a,b满足(a-2)2+|b-2a|=0.
a2 2ab b2
【解析】
(
a
1
b
a
1
) b
a2
b 2ab
b2
a b (a b) (a b)2 (a b)(a b) b
2b
(a b)2
(a b)(a b) b
2a 2b， ab
∵(a-2)2+|b-2a|=0,
1，其中a＝
12 （ 4）0 (1)1 tan 30． 3
【解析】原式=
a2
a
a 1
2a（a 1)(a 1) (a 1）2
a（a 1）（a 1)(a 1) a 1 （a 1）2
＝a，
a＝2 3 1 3 3 5 3 2． 33
【题型三】二次根式的化简求值
7.(202X·松江区期中)先化简,再求值:已知x= 1 ，
a b
2 0，解得 2a 0，
a b
2， 4，
原式 2 2 2 4 4 2 .
24
63
4.(202X·重庆沙坪坝月考)先化简,再求值: 3m
3m
(m 2 5 ) 9 6m m2 ，其中m是方程x2=6-2x的解.

第三章 整式及其加减
专题训练 整式的化简求值
1．表示数与字母或字母与字母的____的式子叫做单项式．
单独的
或
也是单项式．
练习 1：在式子－x2，1x，x－2，－10a2，0.8 中，
单项式有
．
2．一个单项式中的 一个单项式中，所有
叫做这个单项式的系数． 叫做这个单项式的次数．
练习 2：－3m52n的系数是____，次数是____．
7．下列各多项式中，是二次三项式的是( ) A．a2＋b2 B．x＋y＋7 C．5－x－y2 D．x2－y2＋x－3x2
8．下列说法错误的是( ) A.2a＋b 是一次二项式 B．x6－1 是六次二项式 C．3x4－5x2y2－6y3＋2 是四次四项式 D.x12＋2x＋1 不是多项式
二、先化简，再代入求值 1．化简求值：3x2y－[2x2y－3(2xy－x2y)－xy]，其中x＝－1，y＝－2. 解：原式＝3x2y－2x2y＋6xy－3x2y＋xy＝－2x2y＋7xy，当x＝－1， y＝－2时，原式＝－2×(－1)2×(－2)＋7×(－1)×(－2)＝4＋14＝18 2．当a＝2，b＝－2时，求(2a2b＋2ab2)－[2(a2b－1)＋3ab2＋2]的值． 解：原式＝2a2b＋2ab2－(2a2b－2＋3ab2＋2)＝2a2b＋2ab2－2a2b－3ab2＝ －ab2.当a＝2，b＝－2时，原式＝－2×(－2)2＝－8
8．当 x＝1 时，多项式 ax3＋bx＋1 的值为 5，则当 x＝－1 时， 多项式12ax3＋12bx＋1 的值为多少？ 解：当 x＝1 时，ax3＋bx＋1＝a＋b＋1＝5，得 a＋b＝4， 当 x＝－1 时，12ax3＋12bx＋1＝－12a－12b＋1＝ －12(a＋b)＋1＝－12×4＋1＝－1

第十四章 整式的乘法与因式分解
小专题(十四) 整式的化简与求值
类型 1 整式的化简 1．计算： (1)(－2a2)(3ab2－5ab3)． 解：原式＝－2a2·3ab2－2a2·(－5ab3) ＝－6a3b2＋10a3b3.
(2)(3m－n)(－3m－n)． 解：原式＝n2－9m2.
(3)(2021·温州节选)(a－5)2＋12a(2a＋8)． 解：原式＝a2－10a＋25＋a2＋4a ＝2a2－6a＋25.
(2)先化简，再求值：m(m－3n)＋(m＋2n)2－4n2. 解：原式＝m2－3mn＋m2＋4mn＋4n2－4n2 ＝2m2＋mn. 当 m＝1，n＝－2 时，原式＝2×1＋1×(－2)＝0.
类型 3 利用整式的运算进行推理说明 6．试说明：式子(a＋1)(a－1)＋a(1－a)－a 的值与 a 的取值无关． 解：∵原式＝a2－1＋a－a2－a＝－1， ∴该式子的值与 a 的取值无关．
(2)(a＋b)(a－2b)－(a＋2b)(a－b)，其中 a＝－2，b＝23. 解：原式＝a2－ab－2b2－(a2＋ab－2b2) ＝a2－ab－2b2－a2－ab＋2b2
＝－2ab. 当 a＝－2，b＝23时， 原式＝(－2)×(－2)×23＝83.
(3)(2m＋1)(2m－1)－(m－1)2＋(2m)3÷(－8m)，其中 m 满足 m2 ＋m－2＝0.
解：设三个连续的整数中间的一个数为 n，则最大的数为 n＋1， 最小的数为 n－1，
(n＋1)2－(n－1)2＝n2＋2n＋1－n2＋2n－1＝4n.
∵n 是整数， ∴任意三个连续的整数中，最大数与最小数的平方差是 4 的 倍数．
延伸：任意三个连续的奇数中，最大数与最小数的平方差是 8 的倍数，请说明理由．