复习题教学设计 (2)

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一、复习目标
1. 理解平行四边形的概念、掌握其性质和判定.
2. 运用平行四边形知识解决相关的证明问题和计算问题.
二、知识点
(一)知识结构图
(二)平行四边形的性质
1. 边:平行四边形的对边平行且相等
2. 角:平行四边形的对角相等、邻角互补
3. 对角线:平行四边形的对角线互相平分
(三)平行四边形的判定
1. 边:
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形
(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
(3)两组对边分别相等的四边形是平行四边形
2. 对角线:
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
三、基础训练
1、如图1:在□ABCD中,已知∠A+∠C=100°,求∠A,∠B,∠C,∠D的度数.
图1
图2
2、如图2,AB=AC,且AB=5,从等腰三角形底边上任一点,分别作两腰的平行线,则所成的平行四边形AEFD的周长是 .
3、如图3,□ABCD和□EAFC的顶点D、E、F、B在同一条直线上,则下列关系中正确的是()
A、DE>BF
B、DE=BF
C、DE<BF
D、DE=FE=BF
图3
图4
4、如图4,□ABCD中,BD=CD,∠C=70 °,AE⊥BD于E,则∠DAE=()
A、20°
B、25°
C、30°
D、35°
四、典型例题
例1 已知如图5,在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,点E、F分别在BC和AD边上,AF=CE,EF和对角线BD相交于点O,求证:点O是BD的中点.
分析:利用全等三角形或构造平行四边形来证明BO=DO.
证法一:通过证明FD=BE,可证得△BOE≌△DOF,于是有BO=DO.
证法二:连结BF、DE
在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC,AD=BC
又∵AF=CE
∴FD∥BE,FD=BE
∴四边形BEDF是平行四边形
图5
∴BO=DO,即点O是BD的中点.
例2 已知如图6,在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点.
图6
求证:四边形EFGH是平行四边形.
分析:欲证四边形EFGH是平行四边形,根据条件需从边上着手分析,由E、F、G、H分别是各边上的中点,可联想到三角形的中位线定理,连结AC后,EF和GH的关系就明确了,此题也便得证.(证明略)
变式1:如图7,若AC=BD,则四边形EFG H为菱形.
图8
图7
图9
如顺次连结矩形四边中点所得的四边形是菱形(如图8).
顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形是菱形(如图9).
变式2:如图10,AC⊥BD,则四边形EFG H为矩形.
如顺次连结菱形四边中点所得的四边形是矩形(如图11).
图11
变式3:如图12,AC=BD,AC⊥BD,则四边形EFGH是正方形.
如顺次连结正方形四边中点所得的四边形是正方形(如图13).
图13
图12
变式4:已知如图14,在四边形ABCD中,若AB=CD,E、F、G、H分别为AD、BC、BD、AC的中点,求证:四边形EGFH是菱形.
图14
图15
变式5:已知如图15,在四边形ABCD中,E为边AB上的一点,△ADE和△BCE都是等边三角形,P、Q、M、N分别是AB、BC、CD、DA边上的中点.
求证:四边形PQMN是菱形.
五、能力训练
(一)、填空题:
1、如图16,□ABCD的对角线AC、BD相交于O,EF过点O,且EF⊥BC于F,∠1=30°,∠2=45 °,OD=2,则AC的长为 .
图16
图17
2、如图17所示,□ABCD的周长为30,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,且AE∶AF=2∶3,∠C=120 °,则平行四边形ABCD的面积为 .
(二)解答题:
3、如图18,在□ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥DC于F,∠ADC=60°,BE=2,CF=1,连结DE交AF于点P,求EP的长.
参考答案:
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠B=∠ADC=60°,∵BE=2,AE⊥BC,∴AB=2BE=4,∴DF=DC-CF=AB-CF=4-1=3,∴AD=2 DF=6,∴EC=BC-BE=AD-BE=6-2=4=DC,又∠BCD=120 °,∴∠EDC=30 °,求得∠APE=∠EAP=60 °,△AEP为等边三角形,EP=AE=2 .
图19
4、如图19,在△ABC中,∠ACB=90°,D、F分别为AC、AB的中点,点E在BC的延长线上,∠CDE=∠A.
(1)求证:四边形DECF是平行四边形;
(2)若sin A=,四边形EBFD的周长为22,求DE的长.
参考答案:
(1)证明:∵∠ACB=90°,F为AB的中点,∴CF=AB=AF,∴∠A=∠ACF,∵∠CDE =∠A,∴∠CDE=∠ACF,∴ED∥CF,∵D、F分别为AC、AB的中点,∴DF∥B C,∴四边形DECF是平行四边形;(2)解:∵DF∥B C,∠ACB=90°,∴∠ADF=90°,∵sin A =,∴设DF=3k,BF=AF=5k,∴DE=CF=AF=5k,∵D、F分别为AC、AB的中点,∴B C=2DF=6k,∴B F+DF+DE+(EC+BC)=22k=22,∴k=1,∴DE=5k=5.
5、(2010年河南)如图20,四边形ABCD是平行四边形,△AB′C和△ABC关于AC所在的直线对称,AD和B′C相交于点O,连结BB′.
图20
(1)请直接写出图中所有的等腰三角形(不添加字母);
(2)求证:△AB′O≌△CDO.
参考答案:
(1)解:△ABB′,△CBB′,△AOC
(2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴A B=CD,∠A BC=∠D,∵△AB′C和△ABC 关于AC所在的直线对称,∴A B=A B′,∠A BC=∠A B′C,∴A B′=CD,∠A B′C=∠D,∵∠A O B′=∠COD,
∴△AB′O≌△CDO.
六、归纳与小结。