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锐角三角函数值的求解策略知识解读：求锐角三角函数值的方法较多，常用的方法有：定义法、参数法、等角代换法、等比代换法、构造法。
培优学案典例示范：1.定义法：当已知直角三角形的两边时，可以直接应用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值。
例1 如图，在中，,AB=13,BC=5,则sinA的值为。
【跟踪训练1】在中，,BC=3,AC=4,则cosA的值为。
二、参数法锐角三角函数值实质上是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需要将三角函数转化为线段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题。
例2 在Rt△ABC中,∠C=90,tanA=，则sinB的值为___.【跟踪训练2】1.已知在Rt△ABC中,∠C=90,，则tanB的值为( )2. 在Rt△ABC中，已知∠A为锐角，tanA=2，求的值3.求tan15的值三、等角代换法当一个锐角的三角函数不能直接求解或者锐角不在直角三角形中时，可将该角通过等角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“若两锐角相等，则此两角的三角函数值也相等”来求解。
例3如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH，则sinB的值为。
【跟踪训练3】如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8.若∠BPC=∠BAC,则tan∠BPC=四、等比代换法当一个锐角的三角函数不能直接求解或者锐角不在直角三角形中，可以通过相似三角形的对应边成比例，将直角三角形中的两边的比转换到两条已知线段的比来求解。
例4 如图，AB的直径，延长AB至P，使BP=OB,BD垂直于弦BC，垂足为点B，点D在PC上，设【跟踪训练4】如图，AB的直径，弦AC,BD外一点P，若AB=2CD，求的度数。
五、构造法直角三角形是求解或应用三角函数的前提条件，故当题目中已知条件并非直角三角形时，需通过添加辅助线构造直角三角形，然后求解。
运用锐角三角函数的定义解题锐角三角形函数是初中几何的重要内容，是解直角三角形的基础，利用锐角三角函数定义解题，往往使计算方便简洁．一、求锐角三角函数值例1 已知∠A 为锐角，sin A =513，求其他三角函数值． 解析：设∠A 为某直角三角形的锐角，其对边a 为5k ，斜边c 为13k (k ＞0)，则∠A 的邻边b 为12k ．根据定义，得c os A = b c = 12k 13k = 1213， t a n A = a b = 5k 12k = 512，c ot A = 125． 二、求条件代数式的值例2 已知∠A 为锐角，t a n A =2．求sinA+2cosA 3sinA-cosA的值． 解析：设∠A 为Rt△ABC 的一锐角，其对边为a ，斜边为c ，邻边为b ．∵t a n A = a b=2，∴a =2b ． ∴c = 5 b ∴sin A = a c ，c os A = b c. ∴代入原式中可得结果为．三、证明三角函数值例3 在ABC △中，A B C ∠，∠，∠的对边为a b c ，，，且::3:4:5a b c =．试说明7sin sin 5A B +=． 错解：设345a k b k c k ===，，， 则3344sin sin 5555a kb k A Bc k c k ======，． 所以347sin sin 555A B +=+=． 分析：本题中没有说明90C =∠，而直接应用正弦、余弦函数的定义是错误的，应先说明ABC △为直角三角形，且90C =∠后才能用定义．正解：设345(0)a k b k c k k ===>，，，因为222222(3)(4)25a b k k k c +=+==，所以ABC △是以c 为斜边的直角三角形． 所以3344sin sin 5555a kb k A Bc k c k ======， ． 所以347sin sin 555A B +=+=． 四、比较三角函数值的大小例4 已知α为锐角，比较sinα与t a nα的大小解析：设α为Rt△ABC 的一锐角，其对边为a ，邻边为b ，斜边为c ．∵sinα= a c ，t a nα= a b， 又∵c ＞b ＞0，∴a c ＜ a b， 即sinα＜t a nα．五、证明相关关系式例5 在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，求证：b 3sin A +a 3sin B =abc ．证明：在Rt△ABC 中，∵∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，∴sin A = a c ，sin B = b c，a 2+b 2=c 2， ∴b 3sin A +a 3sin B = b 3·a c + a 3 b c =ab 3+a 3b c = ab(b 2+a 2)c = ab ·c 3c =abc ． 六、求非特殊角的三角函数值例6 求tan15°的值．解：如右图，作Rt△ABC ，使∠C =90°，∠B =30°，延长CB 到D ，使B D=BA ，则∠D=15°，设AC =k ，则AB =2k ，BC = 3 k ．∴C D=(2+ 3 )k ．∴tan∠D = AC CD∴tan15°=2- 3A。
锐角三角函数的题型及解题技巧锐角三角函数是三角函数的基础，它应用广泛，解题技巧性强，下面归纳出锐角三角函数的常见题型，并结合例题介绍一些解题技巧。
一、 化简或求值例1 （1）已知tan 2cot 1αα-=，且α的值。
（2）化简()()22sin cos cos sin a b a b αααα++-。
分析 （1）由已知可以求出tan α可用1tan cot αα=⋅；（2）先把平方展开，再利用22sin cos 1αα+=化简。
解 （1）由tan 2cot 1αα-=得2tan 2tan αα-=，解关于tan α的方程得tan 2α=或tan 1α=-。
又α是锐角，∴tan 2α=。
＝＝tan cot αα-。
由tan 2α=，得1cot 2α=＝tan cot αα-＝13222-=。
（2）()()22sin cos cos sin a b a b αααα++-＝2222sin 2sin cos cos a ab b αααα+⋅⋅+＋2222cos 2cos sin sin a ab b αααα-⋅⋅+＝()()222222sin cos sin cos a b αααα+++＝22a b +。
说明 在化简或求值问题中，经常用到“1”的代换，即22sin cos 1αα+=，tan cot 1αα⋅=等。
二、已知三角函数值，求角例2 在△ABC 中，若223cos sin 022A B ⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭(),A B ∠∠均为锐角，求C ∠的度数。
分析 几个非负数的和为0，则这几个数均为0。
由此可得cos A 和sin B 的值，进而求出,A B ∠∠的值，然后就可求出C ∠的值。
解 由题意得2cos 0,23sin 0.2A B ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得2cos ,23sin .3A B ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又∵,A B ∠∠均为锐角，∴45A ∠=,60B ∠=。
∴18075C A B ∠=-∠-∠=.说明 解这类问题首先要熟记特殊角的三角函数值，还要掌握一些化简的技巧。
锐角三角函数应用题解题思路的实际应用情况1. 应用背景锐角三角函数是三角学的重要分支，它研究的是以锐角为基础的三角函数，包括正弦、余弦和正切。
这些函数可以用来描述直角三角形和一般三角形中的角度关系。
在实际应用中，锐角三角函数可以被广泛地应用于物理、工程、地理、天文、航空等领域。
2. 应用过程考虑到篇幅限制，接下来我们将选取几个典型的应用案例，来具体阐述锐角三角函数的应用过程，并给出详细解题思路。
2.1 三角测量三角测量是指利用三角形的边长和角度信息来测量其他距离或高度的方法。
在实际测量中，我们常常需要利用已知边长和角度来求解未知边长和角度。
这时，可以利用正弦、余弦和正切等锐角三角函数来解决问题。
以求解未知边长为例，假设我们需要测量一个高耸的塔楼的高度。
首先，我们可以通过一定的测量手段获得塔顶处与地面的夹角α。
然后，我们可以选择一个合适的位置，在该位置与塔顶连线处测量出与地面的夹角β。
此时，我们可以利用正切函数来计算塔楼的高度h。
具体的解题思路如下所示：步骤1：根据测量手段，得到α的数值。
步骤2：选择合适的测量位置，测量得到β的数值。
步骤3：利用正切函数的定义，根据α和β的数值求解出α和β的弧度值。
步骤4：根据正切函数的性质，可以得到塔楼的高度h与β的正切值tan(β)的关系，即h = d * tan(β)，其中d为已知的水平距离。
通过上述步骤，我们可以得到塔楼的高度h的数值。
2.2 航空导航在航空领域，飞行器的导航是一项重要的任务。
为了准确地确定飞行器的位置和方向，我们需要利用锐角三角函数来计算飞机的航向角、仰角等信息。
以计算航向角为例，假设我们需要确定某个飞机相对于正北方向的航向角。
首先，我们需要测量飞机相对于正东方向的角度α。
然后，利用余弦函数可以计算出航向角θ。
具体的解题思路如下所示：步骤1：根据测量手段，得到α的数值。
步骤2：利用余弦函数的定义，根据α的数值求解出α的弧度值。
步骤3：根据余弦函数的性质，可以得到航向角θ与α的余弦值cos(α)的关系，即cos(θ) = cos(α)。
用锐角三角函数概念解题的常见方法知识要点1．锐角三角函数（1）锐角三角函数的定义我们规定：sinA=ac，cosA=bc，tanA=ab，cotA=ba．锐角的正弦、余弦、正切、余切统称为锐角的三角函数．（2）用计算器由已知角求三角函数值或由已知三角函数值求角度对于特殊角的三角函数值我们很容易计算，甚至可以背诵下来，但是对于一般的锐角又怎样求它的三角函数值呢？用计算器可以帮我们解决大问题．①已知角求三角函数值；②已知三角函数值求锐角．2αsinαcosαtanαcotα30º123233345º22221 160º3212333直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半． 3．锐角三角函数的性质（1）0<sinα<1，o<cosα<1（0°<α<90°）（2）tan α·cot α=1或tan α=1cot α； （3）tan α=sin cos αα，cot α=cos sin αα． （4）sin α=cos （90°-α），tan α=cot （90°-α）．方法点拨有关锐角三角函数的问题，常用下面几种方法： 一、设参数例1. 在ABC ∆中，︒=∠90C ，如果125tan =A ，那么sinB 的值等于（ ） 512.125.1312.135.D C B A 解析：如图1，要求sinB 的值，就是求AB AC 的值，而已知的125tan =A ，也就是125=AC BC 可设k AC k BC 125==， 则k k k AB 13)12()5(22=+=13121312sin ==∴k k B ，选B 二、巧代换例2. 已知3tan =α，求ααααcos sin 5cos 2sin +-的值。
解析：已知是正切值，而所求的是有关正弦、余弦的值，我们可以利用关系式3cos sin tan ==ααα，作代换ααcos 3sin =，代入即可达到约分的目的，也可以把所求的分式的分子、分母都除以αcos 。
中考《锐角三角函数》解题策略《锐角三角函数》是中考的必考点，与相似三角形等知识点结合，极具灵活性.这要求我们在理解直角三角形中五个元素的关系、运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形的基础上，会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决.我们可以从以下几方面找到《锐角三角函数》解题策略，达到以“不变”应“万变”的功效。
一、基础知识（一）锐角三角函数的定义如下图，在Rt△ABC中，∠C＝900，AB＝c，AC＝b，BC＝a，则∠A的：1 .正弦：2.余弦：3 .正切：（二）特殊角的三角函数值注：我们很多学生在考试时因为紧张等原因，常常出现竟然把特殊锐角的有三角函数值记错了现象，因此我们只要要求学生记住右边的两个特殊直角三角形，就记住了特殊角的三角函数值了，就不会出错了。
（三）规律探索1.（1）；（2）tanA＝2.（1）sinA＝cos（90°一 A）＝cosB；（2）cosA＝sin（90°一A）＝sinB3.（1）0＜sinA＜1；0＜cosA＜14.三角函数值的变化规律（1）当角度在0°— 90°间变化时，正弦值随着角度的增大而增大；（2）当角度在0°—90°间变化时，余弦值随着角度的增大而减小。
（3）450的正弦值等于其余弦值。
（四）应用中的常识1 .仰角、俯角：在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫；视线在水平线下方的角叫。
（如图1示）2.坡度（坡比）、坡角：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度（坡比），用字母i表示；坡面与水平线的夹角a叫坡角，i=tana=。
（如图2示）3.方向角：一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）××度。
如图，A点位于O点的北偏东300方向，B点位于O点的南偏东600方向，C点位于O点的北偏西450方向（或西北方向）。
锐角三角函数应用题的方法与技巧
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《锐角三角函数应用题的方法与技巧》
一、总体思路
1、识别出三角形所涉及的三角函数，并确定三角函数的参数：根据题干里面提供的线段、角度等长度或角度来初步判断三角形的形状，并由此来计算出三个角度和三条边。
2、判断题目的性质：根据题目要求，判断出是求边长还是求角度。
3、解答：
（1）求边长：利用相应的三角函数关系（正弦定理、余弦定理、正切定理等），求出答案;
（2）求角度：利用相应的三角函数关系，求出角度的三角函数值，再用反三角函数求出角度。
二、技巧总结
1、画图法：根据题干中提供的信息，画出准确的三角形图形，便于计算和判断。
2、直角三角形快速求角度：根据对边比斜边的特点，找出角度所对应的三角函数值，再用反三角函数计算出角度。
3、正弦定理、余弦定理：正弦定理可用于计算夹角的一边的长度，余弦定理可用于求另一边的长度。
4、正切定理：正切定理可以用于求夹角的角度大小。
5、各种三角函数的关系：在计算三个角度的大小时，可以利用三个角度的和为180°；在计算三条边的长度时，可以利用三条边之和的性质。
(1)∠A 的对边与斜边的比值是∠A 的正弦，记作 sinA ＝ ∠A 的对边(4)∠A 的邻边与对边的比值是∠A 的余切，记作 cota ＝ ∠A 的邻边热点 17 锐角三角函数【命题趋势】锐角三函数是中考数学中必考内容之一，所占比例 8—15 分，题目数量 2-3 题。
一般小题会有一个，一般为填空或计算，考查学生对几个特殊角的三角函数值的记忆情况。
大题一般也会有一题，主要是考查锐角三角函数的实际应用，往往会结合仰角和俯角，坡度等概念进行设计问题，当然在其他解答题中也可能会用到三角函数，比如在计算一些线段长度，会与解直角三角形，或者与圆、四边形结合而形成难度中等的解答题。
【满分技巧】一、 整体把握知识结构二．重点知识1.Rt △ABC 中斜边(2)∠A 的邻边与斜边的比值是∠A 的余弦，记作 cosA ＝(3)∠A 的对边与邻边的比值是∠A 的正切，记作 tanA ＝∠A的邻边 斜边∠A 的对边∠A 的邻边∠A 的对边30°322160°3∴sin∠BAC＝＝2.特殊值的三角函数：a sina cosa tana cota13322345°122312233【限时检测】（建议用时：30分钟）一、选择题1.(2019湖北省宜昌市)如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1△，ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC＝90°，∴AC＝AD2+CD2＝5．CD4AC5故选：D．【解析】∵∠C ＝90°，cos ∠BDC ＝ ，2. (2019 湖南省湘西市)如图，在△ ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，AB 的垂直平分线 EF 交 AC 于点 D ，连接 BD ，若 cos ∠BDC ＝ ，则 BC 的长是（）A ．10B ．8C ．4D ．2【答案】D57设 CD ＝5x ，BD ＝7x ，∴BC ＝2 6 x ，∵AB 的垂直平分线 EF 交 AC 于点 D ，∴AD ＝BD ＝7x ，∴AC ＝12x ，∵AC ＝12，∴x ＝1，∴BC ＝2 6 ；故选：D ．3. (2019 湖南省长沙市)如图，△ ABC 中，AB ＝AC ＝10，tanA ＝2，BE ⊥AC 于点 E ，D 是线段 BE上的一个动点，则 CD + BD 的最小值是（ ）∵tanA ＝ =2，设 AE ＝a ，BE ＝2a ，A ．2B ．4C ．5D ．10【答案】B【解析】如图，作 DH ⊥AB 于 H ，CM ⊥AB 于 M ．∵BE ⊥AC ，∴∠ABE ＝90°，BEAE则有：100＝a 2+4a 2，∴a 2＝20，∴a ＝2 5 或﹣2 5 （舍弃），∴BE ＝2a ＝4 5 ，∵AB ＝AC ，BE ⊥AC ，CM ⊥AC ，∴CM ＝BE ＝4 5 （等腰三角形两腰上的高相等））∵∠DBH ＝∠ABE ，∠BHD ＝∠BEA ，∴sin ∠DBH ＝ ＝ ＝ ，∴DH＝BD，∴CD+BD＝CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+BD≥45，∴CD+BD的最小值为45．故选：B．4.(2019山东省泰安市)如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（）km．A．30+30【答案】BB．30+10C．10+30D．30【解析】根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30过B作BE⊥AC于E，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，，在△Rt ABE中，∵∠ABE＝45°，AB＝30∴AE＝BE＝AB＝30km，在△Rt CBE中，∵∠ACB＝60°，，∴CE＝BE＝10km，∴AC＝AE+CE＝30+10，∴A，C两港之间的距离为（30+10）km，故选：B．5.(2019陕西省)如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E。
初三锐角三角函数题型及解题方法初三数学中，锐角三角函数是一个非常重要的内容。
学习锐角三角函数，不仅需要掌握其概念和公式，还需要掌握一些常见的题型及解题方法。
本文将介绍一些常见的锐角三角函数题型及解题方法，帮助初三学生更好地掌握这一内容。
一、求三角函数值求三角函数值是锐角三角函数中最基本的题型。
一般来说，题目都会给出三角函数的角度，要求求出其对应的正弦、余弦、正切等函数值。
解题方法：对于这类题目，我们需要掌握三角函数的定义和公式。
例如，正弦函数的定义是：在直角三角形中，对于一个锐角角度A，其对边长度与斜边长度的比值称为正弦值sinA。
因此，我们只需要根据这个定义和公式进行计算即可。
举个例子，题目给出角度A=30度，要求求出其正弦值sinA。
根据正弦函数的定义和公式，我们得到：sinA=对边长度/斜边长度=sqrt(3)/2因此，sinA=√3/2。
二、三角函数的基本关系式三角函数的基本关系式指的是三角函数之间的基本等式。
例如，正切函数的基本关系式是tanA=sinA/cosA。
这类题目一般要求将一个三角函数用另外一个三角函数表示出来，或者将两个三角函数相互表示。
解题方法：对于这类题目，我们需要掌握三角函数之间的基本关系式。
例如，正切函数的基本关系式是：tanA=sinA/cosA因此，如果题目给出sinA的值，要求求出tanA的值，我们只需要将sinA/cosA代入上式，即可得到：tanA=sinA/cosA=√3/3三、三角函数值的范围三角函数值的范围是指，每个三角函数的取值范围。
例如，正弦函数的取值范围是[-1,1]，余弦函数的取值范围也是[-1,1]。
解题方法：对于这类题目，我们需要掌握每个三角函数的取值范围。
例如，正弦函数的取值范围是[-1,1]，因此，如果题目给出sinA=-0.5，我们就可以知道sinA的值在[-1,1]范围之内。
四、三角函数的性质三角函数的性质指的是，它们在不同象限中的正负性和大小关系。
求锐角三角函数值的常用方法一、利用定义，求三角函数值例1 如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则sin A的值是( )(A)(B)(C) (D)分析本题可以利用锐角三角函数的定义求解，sin A为∠A的对边比上斜边，求出即可．解在△ABC中，故选A．二、巧设参数，求三角函数值例2 已知a，b，c是△ABC的三边，且满足等式(2b)2＝4(c＋a)(c－a)及5a－3c＝0，则sin A＋sin B＝________．分析先对等式化简，得到a，b，c的关系后，再求解锐角三角函数的值．三、构造直角三角形，求三角函数值例3 如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝∠D＝90°，AB＝1，∠ABC是锐角，点E在CD上，且AE上EB，设∠ABE＝x，∠EBC＝y．求sin(x＋y)的值．（用x、y的三角函数表示）分析构造直角三角形，使x＋y这个角放在某一个直角三角形中，再利用三角函数的定义求解，过点A作AH⊥BC交BC于点H，则可求出sin(x＋y)＝DC，由已知条件再依次表示出sin x，c os x，sin y，c os y．因为∠AEB＝90°，∠C＝∠D＝90°，所以可判定△ADE∽△ECB，于是，从而可得问题答案．四、坐标系中求三角函数值例4 在平面直角坐标系中，已知点A(2，1)和点B(3，0)，则sin∠AOB的值等于( )(A)(B)(C)(D)分析过点A作AC⊥x轴于点C，利用A点坐标为(2，1)可得到OC＝2，AC＝1，利用勾股定理可计算出OA，然后根据正弦的定义即可得到sin∠AOB的值．五、网格中求三角函数值例5 如图5所示，则t a n∠BDC值等于_______．分析根据同弧所对的圆周角相等，可以把求三角函数的问题，转化为直角三角形的边的比的问题．解根据圆周角的性质，得故答案为．六、利用折叠中的不变量，求三角函数值例6 如图5，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE 对折，使点D正好落在AB边上，求t a n∠AFE．分析结合折叠的性质，易得∠AFE＝∠BCF，在Rt△BFC中，BC＝8，CF＝10，由勾股定理易得BF的长，根据三角函数的定义，易得t a n∠BCF的值，借助∠AFE＝∠BCF，可得t a n∠AFE的值．解由题意，得∠AFE＋∠EFC＋∠BFC＝180°．根据折叠的性质，∠EFC＝∠EDC＝90°，即有∠AFE＋∠BFC＝90°，在Rt△BCF中，七、利用增减性，求解三角函数例7 三角函数sin 50°，c os 50°，t a n 50°的大小关系是( )(A)sin50°>c os50°>t a n50°(B)t a n50°>c os50°>sin50°(C)t a n50°>sin50°>c os50°(D)c os50°>t a n50°>sin50°分析首先，根据锐角三角函数的定义可知sin 50°<1，c os 50°<1，再由锐角三角函数的增减性可知，t a n 50°> t a n 45°＝1，从而得出t a n 50°的值最大；然后，由互余两角的三角函数的关系，得出c os 50°＝sin 40°，又sin 50°>sin 40°，从而得出结果．八、利用二次方程的判别式以及根与系数的关系，求三角函数值例8 设α为锐角，x1.x2是关于x的方程8x2－4x－2c os α＋1＝0的两个实数根，且，求c osα的值．分析根据一元二次方程根的判别式，得到c osα的范围，然后利用根与系数的关系求出c osα的值．九、利用几何图形的性质求三角函数值例9 如图6，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为，AC＝2，则sin B的值是( )(A)(B)(C)(D)分析求角的三角函数值，可以转化为求直角三角形边的比，连结DC．根据同弧所对的圆周角相等，就可以转化为求直角三角形的锐角的三角函数值的问题．解连结DC，如图7．根据直径所对的圆周角是直角，得∠ACD＝90°．根据同弧所对的圆周角相等，得∠B＝∠D．∴sin B＝sin D＝．故选A．。
用锐角三角函数概念解题的常见方法(含答案11页)用锐角三角函数概念解题的常见方法1．锐角三角函数（1）锐角三角函数的定义我们规定：sinA=abab，cosA=，tanA=，cotA=．ccba锐角的正弦、余弦、正切、余切统称为锐角的三角函数．（2）用计算器由已知角求三角函数值或由已知三角函数值求角度对于特殊角的三角函数值我们很容易计算，甚至可以背诵下来，但是对于一般的锐角又怎样求它的三角函数值呢？用计算器可以帮我们解决大问题．①已知角求三角函数值；②已知三角函数值求锐角．2直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半．3．锐角三角函数的性质（1）0<sinα<1，o<cosα<1（0°<α<90°）1（2）tanα·cotα=1或tanα=（3）tanα=1；cot?sin?cos?，cotα=．cos?sin?（4）sinα=cos（90°-α），tanα=cot（90°-α）．有关锐角三角函数的问题，常用下面几种方法：一、设参数例1. 在?ABC中，?C?90?，如果tanA?5，那么sinB的值等于（）12D.12 5A.513B.1213C.512解析：如图1，要求sinB的值，就是求AC5的值，而已知的tanA?，也就是AB12BC5? AC12可设BC?5k，AC?12k则AB?(5k)2?(12k)2?13k?sinB?12k12?，选B 13k13二、巧代换例2. 已知tan??3，求sin??2cos?的值。
5sin??cos?解析：已知是正切值，而所求的是有关正弦、余弦的值，我们可以利用关系式sin??3，作代换sin??3cos?，代入即可达到约分的目的，也可以把所求的cos?分式的分子、分母都除以cos?。
tan??2sin??2sin??2cos? ?cos?sin5sin??cos?5?1cos?再把sin?1?3代入，得：原式? cos?16三、妙估计例3. 若太阳光与地面成37?角，一棵树的影长为10m，则树高h的范围是（取?1.7）A. 3?h?5B. 5?h?10C. 10?h?15D. h?15 解析：如图2，树高h?10tan37?，要确定h的范围，可根据正切函数是增函数，估计tan30??tan37??tan45?即10tan30??10tan37??10tan45??10??h?10 3?5?h?10，故选B四、善转化例4. 在?ABC中，1?A?30?，tanB?BC?，求AB的长。
求锐角三角函数常用方法锐角三角函数是三角函数中的一部分，它们是正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域在锐角范围内的部分。
在数学中，常用的锐角三角函数常见方法有：单位圆法、加法公式、倍角公式和倒数关系等。
1.单位圆法：单位圆法是研究锐角三角函数最基本的方法之一、单位圆法的基本思想是，把一个角落在标准位置的角看做单位圆上的一条弧，角的顶点作为圆心，角的边所在的直线成为弧的切线。
这样可以通过单位圆上的坐标来表示角的边上的函数值。
以正弦函数为例，假设角为A，边所在的线段与单位圆交于点P(x,y)。
可以得到如下关系：sin(A) = y2.加法公式：加法公式是指锐角三角函数在角度A和角度B的和角度(A+B)时，对应的函数值之间的关系。
常用的加法公式如下：sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)tan(A + B) = (tan(A) + tan(B))/(1 - tan(A)tan(B))3.倍角公式：倍角公式是指锐角三角函数在角度A的两倍角度2A时，对应的函数值之间的关系。
常用的倍角公式如下：sin(2A) = 2sin(A)cos(A)cos(2A) = cos^2(A) - sin^2(A)tan(2A) = 2tan(A)/(1 - tan^2(A))4.倒数关系：倒数关系是指锐角三角函数之间的倒数关系。
常用的倒数关系如下：cosec(A) = 1/sin(A)sec(A) = 1/cos(A)cot(A) = 1/tan(A)5.三角函数的特殊值：在锐角三角函数中，特殊的角度对应的函数值是常用的。
常见的特殊角度包括：- sin(0) = 0- cos(0) = 1- tan(0) = 0- sin(30°) = 1/2- cos(30°) = √3/2- tan(30°) = √3/3- sin(45°) = √2/2- cos(45°) = √2/2- tan(45°) = 1除了以上常见的方法外，还有其他一些方法也能在特定的问题中应用。
锐角三角函数的题型及解题技巧锐角三角函数是三角函数的基础，它应用广泛，解题技巧性强，下面归纳出锐角三角函数的常见题型，并结合例题介绍一些解题技巧。
一、 化简或求值例1 （1）已知tan 2cot 1αα-=，且α是锐角，的值。
（2）化简()()22sin cos cos sin a b a b αααα++-。
分析 （1）由已知可以求出tan α1tan cot αα=⋅；（2）先把平方展开，再利用22sin cos 1αα+=化简。
解 （1）由tan 2cot 1αα-=得2tan 2tan αα-=，解关于tan α的方程得tan 2α=或tan 1α=-。
又α是锐角，∴tan 2α=＝tan cot αα-。
由tan 2α=，得1cot 2α=＝tan cot αα-＝13222-=。
（2）()()22sin cos cos sin a b a b αααα++-＝2222sin 2sin cos cos a ab b αααα+⋅⋅+＋2222cos 2cos sin sin a ab b αααα-⋅⋅+＝()()222222sin cos sin cos a b αααα+++＝22a b +。
说明 在化简或求值问题中，经常用到“1”的代换，即22sin cos 1αα+=，tan cot 1αα⋅=等。
二、已知三角函数值，求角例2 在△ABC 中，若2cos sin 02A B ⎛--= ⎝⎭(),A B ∠∠均为锐角，求C ∠的度数。
分析 几个非负数的和为0，则这几个数均为0。
由此可得cos A 和sin B 的值，进而求出,A B ∠∠的值，然后就可求出C ∠的值。
解由题意得cos 0,2sin 0.A B ⎧-=⎪⎪-=解得cos 2sin 3A B ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又∵,A B ∠∠均为锐角，∴45A ∠=,60B ∠=。
∴18075C A B ∠=-∠-∠=.说明 解这类问题首先要熟记特殊角的三角函数值，还要掌握一些化简的技巧。
三法教你求锐角三角函数值要求锐角的三角函数值，我们需要使用三角函数的定义和性质。
以下是三个法则，可以帮助我们求解锐角的三角函数值。
对于特殊的角度，我们可以通过直接代入角度值来求解三角函数值。
下面是一些常见的特殊角度及其对应的正弦、余弦和正切值：角度正弦值余弦值正切值0°01030°1/2√3/2√3/345°1/√21/√2160°√3/21/2√390°10无穷大法则二：半角公式通过半角公式，我们可以将求解锐角的三角函数值问题转化为求解特殊角的问题。
半角公式如下：sin(x/2) = ±√[(1 - cos(x)) / 2]cos(x/2) = ±√[(1 + cos(x)) / 2]tan(x/2) = sin(x) / (1 + cos(x))通过半角公式，我们可以将一个锐角x转化为一个特殊角度x/2，然后使用法则一中的特殊角度的三角函数值来求解。
法则三：倍角公式倍角公式可以将求解锐角的三角函数值问题转化为两倍角度或半角度的问题。
倍角公式如下：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)tan(2x) = 2tan(x) / (1 - tan^2(x))通过倍角公式，我们可以将一个锐角x转化为两倍角度2x或者半角度x/2的问题，然后使用法则一中的特殊角度的三角函数值来求解。
举例：现在我们来求解一个锐角的三角函数值，假设锐角为45°。
根据法则一，我们知道sin(45°) = 1/√2，cos(45°) = 1/√2，tan(45°) = 1根据法则二，将角度45° 转化为半角度22.5°。
根据半角公式，我们可以得到sin(22.5°) = ±√[(1 - cos(45°))/2] = ±√[(1 - 1/√2)/2] ≈ ±0.382，cos(22.5°) = ±√[(1 + cos(45°))/2] =±√[(1 + 1/√2)/2] ≈ ±0.924，tan(22.5°) = sin(45°) / (1 + cos(45°)) = (1/√2) / (1 + 1/√2) ≈ 0.414根据倍角公式，将角度45° 转化为两倍角度90° 或者半角度22.5°。
求锐角三角函数值常用方法求锐角三角函数值，是“锐角三角函数”一节中重要内容，也是中考中常见的题型.现将求锐角三角函数值的常用方法总结如下，供同学们在学习时参考.一、直接用锐角三角函数的定义例1 在△ABC 中，∠C = 900，AC =6，BC =8.则sinA = （ ）. A 、54 B 、53C 、43 D 、34分析 由定义知锐角A 的正弦等于角A 的对边比斜边，只要求出斜边AB 即可. 解：由勾股定理知，AB =22BC AC + = 10, ∴sinA =54 故选A.二、用同角三角函数间的关系 例2 若∠A 为锐角，且sinA = 23，则cosA = ( ) A 、1 B 、23 C 、22D 、21分析 本题可由sin 2A + cos 2A = 1直接求得.cosA = A 2sin 1- = 2)23(1-= 21故选D.(注：本题也可用三角函数的定义求解) 例3 已知 tanA =32, 则cotA = 析解：由tanA ×cotA = 1.得 cotA =即cotA = 32.三、用等角来替换例4如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB = 900,CD ⊥AB 于D,BC=3,AC = 4,设∠BCD = a,求sina.析解 ：由题意可知，∠BCD = ∠A ，sin a =sinA = ABBC,只要求出AB 即可.在Rt △ABC 中，BC = 3,AC = 4,∴AB = 5.∴sinA =53 ∴sina = 53四、构造直角三角形例5 如图2，已知 △ABC 中，D 是AB 的中点，DC ⊥AC,且cotA = 23,求∠BCD 的四个三角函数值.分析 为了求出∠BCD 的三角函数值，必须构造一个以∠BCD 为锐角的直角三角形，可作DE ⊥CD,接下来的关键是求出Rt △CDE 的三边长或三边之比.在Rt △CDE 中，由cotA =23，可设AC = 3a, CD = 2a,而DE= 21AC = 23a .在Rt △CDE 中，利用勾股定理可求出CE,故∠BCD 的四个三角函数值可求出.解：过D 点作DE ⊥CD 交BC 于点E. ∵∠ACD = ∠CDE = 900 ∴AC ∥DE 又∵D 为AB 的中点，∴DE 为△ABC 的中位线. 在Rt △ACD 中，由cotA =23，可设AC = 3a ,CD = 2a , ∴ DE = 23a. 在Rt △CDE 中，由勾股定理CE =22DE CD +=22)23()2(a a +=25a , ∴sin ∠BCD =CE DE = 53,cos ∠BCD =CE CD =54tan ∠BCD =CD DE =43, cot ∠BCD =DE CD =34锐角三角函数走进中考一、利用概念进行判断在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，则sinA=c a ,cosA=c b ,tanA=ab 。
求锐角三角函数值的几种常用方法锐角三角函数是初中数学的重要内容，也是中考的热点之一．求锐角的三角函数值 方法较多，下面举例介绍求锐角三角函数值的几种常用方法，供参考．一、定义法当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值． 例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( )(A )513 (B )1213 (C )512 (D )135分析 题目中已知乞A 的对边BC 和斜边AB 的长，可直接运用锐角三角函数的定义求解．解 ∵在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，∴sin A 513BC AB =故选A 二、参数法锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题．例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A =512，那么sin B 的值是 ． 分析 由已知条件∠A 的正切，可知直角三角形中两边的比值，据此可用参数法将第三边表示出来，进而求出sin B 的值．解如图2 ∵tan A =512BC AC =， ∴设BC =5k ，AC =12k (k >O )．由勾股定理，得AB =13k ，∴1212sin 1313AC k B AB k === 三、等角代换法当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决．例3 如图3，在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则cos ∠ACD 的值为 ．分析 由已知条件，不难知道∠ACD 与∠A 相等，所以欲求cos ∠ACD ，只要求cos A 即可．解 在Rt △ABC 中，∵CD 是AB 边上的中线，∴CD =AD =BD ，∴∠ACD =∠A ．又∵CD =4，∴AB =2 CD =8，由勾股定理，得AC =∴cos A =AC AB =∴cos ∠ACD =cos A =8 四、构造法直角三角形是求解或运用三角函数的前提条件，故当题目中已知条件并非直角三角 形时，需通过添加辅助线构造直角三角形，然后求解．例4 在△ABC 中，∠A =120°，AB =4，AC =2，则sinB 的值是( )(A (B (C (D 分析 由于∠B 不在直角三角形中，因此需添加辅助线构造直角三角形，从而求解． 解 如图4，过点C 作CD ⊥BA ，交BA 的延长线于点D ．∵∠BAC =120°，∴∠DA C =180°一∠BAC=180°一120°=60°．在Rt △ABC 中，∵A C =2，∠DAC =60°，∴CD =AC ·sin ∠DAC =2=∴AD =1．又∵AB =4 ∴BD =AB +AD =5， 在Rt △ABC 中，由勾股定理，得BC =∴sin CD B BC === 故选D ．。
专题 求锐角三角函数值的常用方法题型一 定义法直接根据定义求三角函数值,首先求出相应边的长度﹐然后代入三角函数公式计算即可. 类型1 直接定义法例1、如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =12,BC =5 (1)求AB 的长.(2)求sinA ,cosA ,tanA ,sinB , cosB , tanB 的值.巩固练习1、如图,在△ABC 中,AB =15,AC =13,AD 上BC 于点D .CD =5时,求tan C 的值;2、如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AB =4,AC =3,则cos B 的值为 。
类型2、网格中的三角函数例2、如图,在4×8的矩形网格中,每个小正方形的边长都是1,若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB 的值为巩固练习1、正方形网格中，∠AOB 如图放置,则cos ∠AOB 的值为2、如图所示，∠AOB 是放置在正方形网格中的一个角，则cos ∠AOB ＝3、如图,在5×5的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,点A 、B 、C 都在格点上,则 cos ∠BAC 的值为 。
类型3、构造直角三角形例3、如图,在△ABC 中,AB =AC =13,BC =10, 则tan ∠BDE 的值等于巩固练习1、如图,在四边形ABCD 中,E ,F 分别是AB ,AD 的中点,若EF =2,BC =5,CD =3,则sinC 等于2、如图,在 Rt △ABC 中,∠C =90°,∠ABC =45° ,D 是AC 的中点,则sin ∠DBA =3、如图,在 Rt △BAD 中,延长斜边BD 到点C ,使DC =13BD ,连接AC ,若tanB =74,则tan ∠CAD 的值为 。
题型二 参数法若已知两边的比值或一个三角函数值,而不能直接求出三角函数相应边的长,则可采用设参数的方法﹐先用参数表示出三角函数相应边的长,再根据三角函数公式计算它们的比值,即可得出三角函数值.例3、在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =6，cosA =23 求 BC 的长，sinA ,tanA巩固练习1、在△ABC 中,∠C =90 , BC :CA =8:15,那么 sinA 等于 。
