新初中数学锐角三角函数的技巧及练习题含答案

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初三数学锐角三角函数含答案

初三数学锐角三角函数中考要求例题精讲模块一三角函数基础一、锐角三角函数的定义如图所示，在Rt ABC △中，a 、b 、c 分别为A ∠、B ∠、C ∠的对边．（1）正弦：Rt ABC ∆中，锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记作sin A ，即sin aA c=．（2）余弦：Rt ABC ∆中，锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦，记作cos A ，即cos b A c =．（3）正切：Rt ABC ∆中，锐角A 的对边与邻边的比叫做A ∠的正切，记作tan A ，即tan a A b=．注意：① 正弦、余弦、正切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意三角形随便套用定义． ② sin A 、cos A 、tan A 分别是正弦、余弦、正切的数学表达符号，是一个整体，不能理解为sin 与A 、cos 与A 、tan 与A 的乘积．③ 在直角三角形中，正弦、余弦、正切分别是某个锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值，当这个锐角确定后，这些比值都是固定值．二、特殊角三角函数a A这些特殊角的三角函数值一定要牢牢记住！三、锐角三角函数的取值范围在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，000a b c a c b c >>><<，，，，，又sin a A c =，cos b A c =，tan aA b=，所以 0sin 10cos 1tan 0A A A <<<<>，，．四、三角函数关系 1．同角三角函数关系： 22sin cos 1A A +=，sin tan cos AA A= 2．互余角三角函数关系：(1) 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值：()sin cos 90A A =︒-；(2) 任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值：()cos sin 90A A =︒-； (3) 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值：()tan cot 90A A =︒-． 3．锐角三角函数值的变化规律：(1)A 、B 是锐角，若A >B ，则sin A >sin B ；若A <B ，则sin A <sin B(2) A 、B 是锐角，若A >B ，则cos A <cos B ；若A <B ，则cos A >cos B (3) A 、B 是锐角，若A >B ，则tan tan A B >；若A <B ，则tan tan A B < 【例1】已知在ABC △中，A B ∠∠、是锐角，且5sin tan 22913A B AB cm ===，，，则ABC S =△ ．【解析】过C 作CD AB ⊥于D ，这样由三角函数定义得到线段的比：5sin tan 213CD CDA B AC BD====，，设5132CD m AC m CD n BD n ====，，，，解题的关键是求出m n 、值．51222CD BD n m AD m ====，所以529122922AB AD BD m m m =+=+==所以12101452ABC m CD S AB CD ===⋅=，，△ 小结：设ABC △中，a b c 、、为A B C ∠∠∠、、的对边，R 为ABC △外接圆的半径，不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论：（1）111sin sin sin 222ABC S bc A ac B ab C ===△；（2）2sin sin sin a b c R A B C===．【答案】145【巩固】如图，点A 在半径为R 的O 上，以A 为圆心，r 为半径作A ，设O 的弦PQ 与A 相切，求证PA QA ⋅为定值．【答案】证明线段乘积为定值，联想到三角形的面积，可以和三角函数联系起来．∵1sin 2APQ S PA QA A =⋅△，12APQ S r PQ =⋅△， ∴sin PA QA A r PQ ⋅⋅=⋅．在APQ △中，sin 2PQ A R =，∴2PQPA QA r PQ R⋅=⋅÷，∴2PA QA Rr ⋅=为定值．【例2】求tan1tan2tan3tan89︒⋅︒⋅︒⋅⋅︒的值【答案】∵tan cot 1αα=，tan cot(90)αα=︒-∴tan1tan89tan1cot11︒︒=︒︒=，tan2tan88tan2cot 21︒︒=︒︒=， tan44tan46tan44cot 441︒︒=︒︒=，而tan451︒=，∴tan1tan2tan3tan891︒⋅︒⋅︒⋅⋅︒=．【巩固】化简：22sin cos sin 1tan sin cos αααααα++-- 【解析】原式()2222cos sin cos sin cos sin sin cos αααααααα+=+--22cos sin sin cos cos sin αααααα-==--．【答案】sin cos αα-【例3】已知tan α1）221cos sin cos 1sin cos sin a ααααα-+-+（2090α︒<<︒）．【答案】⑴221cos sin cos 1sin cos sin a ααααα-+-+()()222222sin sin sin sin cos sin sin cos sin cos cos 3cos cos cos sin cos cos cos sin cos sin sin αααααααααααααααααααααα⎛⎫+ ⎪++⎝⎭====+⎛⎫++ ⎪⎝⎭，1sin 2cos αα-=OQPA【巩固】已知tan 2α=，求4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+．【答案】4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+4sin 24226cos 3sin 532115cos αααα-⨯-===+⨯+．【例4】已知α为锐角，且22sin 5cos 10αα-+=，求α的度数．【答案】∵22sin cos 1αα+=∴22(1cos )5cos 10αα--+=，即：22cos 5cos 30αα+-=． ∴(2cos 1)(cos 3)0αα-+=．解得：cos 3α=-或1cos 2α=． ∵0cos 1α≤≤，∴1cos 2α=，∴60α=︒．【巩固】若α为锐角，且22cos 7sin 50αα+-=，求α的度数．【答案】由α为锐角，可知0sin 1α<<．又由22cos 7sin 50αα+-=，22sin cos 1αα+=可知22sin 7sin 30αα-+=，解之得1sin 302αα=⇒=︒．【例5】已知sin cos αα+（α为锐角），求作以1sin α和1cos α为两根的一元二次方程．【解析】∵sin cos αα+=，两边平方得：22sin cos 2sin cos 2αααα++=又∵22sin cos 1αα+=，∴1sin cos 2αα⋅=．∴11sin cos sin cos sin cos αααααα++==112sin cos αα⋅= ∴以1sin α和1cos α为两根的一元二次方程为：220x -+=【答案】220x -+=【巩固】若方程222210x ax a -+-=的一个根是sin α，则它的另一个根必是cos α或cos α-．【答案】不妨设方程的另一根为m ，由一元二次方程的根系关系可知sin m a α+=，21sin 2a m α-=，故2(sin )1sin 2m m αα+-=，整理可得22sin (sin )1m m αα=+-，即22sin 1m α+=，又22sin cos 1αα+=，故cos m α=±．【巩固】已知：ABC △中，方程2(sin sin )(sin sin )(sin sin )0B A x A C x C B -+-+-=的两根相等，求证60B <︒．【答案】两根相等则判别式为0，但是观察系数的规律，是否有其他的好办法呢？∵此方程系数之和为0，∴1x =必为此方程的根．又∵此方程两根相等，∴121x x ==，∴12sin sin 1sin sin C Bx x B A-==-．又由正弦定理，有c b b a -=-，∴2c ab +=．再由余弦定理，有22222222()3()26212cos 22882c a a c c a ba c ca ca ca B caca ca ca ++-+-+--====≥．∴60B ︒≤，且等号不会成立，否则方程就不存在了．【巩固】在ABC △中，60A =︒，最大边与最小边的边长分别是方程2327320x x -+=的两个根，求ABC △的外接圆半径和内切圆的面积．【答案】题目中涉及到边长的关系，以及外接圆半径，这为正弦定理提供了便利条件．∵60A =︒，且显然此三角形有两边不等（即以已知方程为根的两边）， ∴ABC △中，A 既不是最大角也不是最小角，不防设b 为最大边，c 为最小边，由韦达定理，有3293b c bc +==，，又由余弦定理，有：2222cos a b c bc A =+-222()3b c bc b c bc =+-=+- 813249=-=．∴7a =（7a =-舍去）又由正弦定理，有2sin aR A===∴7916a b c ++=+=． 1sin 2S bc A P r ==⋅（其中2a b cP ++=，r 为内切圆半径）即132822r =⨯，∴r =∴内切圆面积21ππ3S r ==．【例6】若0°<θ<30°，且1sin 3km θ=+(k 为常数，且k <0)，则m 的取值范是．【答案】∵0°<θ<30°∴sin 0°<sin θ<sin 30°，即0<sin θ<12∴0<13km +<12，所以1136km -<<，又因为0k <∴1163m k k<<-．模块二解直角三角形一、解直角三角形的概念根据直角三角形中已知的量（边、角）来求解未知的量（边、角）的过程就是解直角三角形．二、直角三角形的边角关系如图，直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳：（1）三边之间的关系：222a b c += (勾股定理) （2）锐角之间的关系：90A B ∠+∠=︒（3）边角之间的关系：sin cos ,cos sin ,tan a b aA B A B A c c b=====三、解直角三角形的四种基本类型（1）已知斜边和一直角边(如斜边c ，直角边a )，由sin aA c=求出A ∠，则90B A ∠=︒-∠，b =；（2）已知斜边和一锐角(如斜边c ，锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，sin a c A =，cos b c A =；（3）已知一直角边和一锐角(如a 和锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，tan b a B =，sin ac A=；（4）已知两直角边(如a 和b )，求出c =tan aA b=，得90B A ∠=︒-∠．具体解题时要善于选用公式及其变式，如sin a A c =可写成sin a c A =，sin a c A=等．四、解直角三角形的方法解直角三角形的方法可概括为：“有斜(斜边)用弦(正弦，余弦)，无斜用切(正切，余切)，宁乘毋除，取原避中”．这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求得时，则用原始数据，尽量避免用中间数据．五、解直角三角形的技巧及注意点在Rt ABC ∆中，90A B ∠+∠=︒，故sin cos(90)cos A A B =︒-=，cos sin A B =．利用这些关系式，可在解题时进行等量代换，以方便解题．六、如何解直角三角形的非基本类型的题型对解直角三角形的非基本类型的题型，通常是已知一边长及一锐角三角函数值，可通过解方程(组)来转化为四种基本类型求解；（1）如果有些问题一时难以确定解答方式，可以依据题意画图帮助分析；（2）对有些比较复杂的问题，往往要通过作辅助线构造直角三角形，作辅助线的一般思路是：①作垂线构成直角三角形；②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边等．七、直角三角形中其他重要概念（1）仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图⑴．（2）坡角与坡度：坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为hi l=，坡面与水平面的夹角记作α，叫做坡角，则tan hi lα==．坡度越大，坡面就越陡．如图⑵． cb aC BA（3）方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度．如图⑶．八、解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题：（1）分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；（2）找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；（3）根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；（4）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位．【例7】如图，某高层楼房与上海东方明珠电视塔隔江想望，甲、乙两学生分别在这楼房的A B ，两层，甲在A 层测得电视塔塔顶D 的仰角为α，塔底C 的俯角为β，乙在B 层测得塔顶D 的仰角为θ，由于塔底的视线被挡住，乙无法测得塔底的俯角，已知A B ，之间的高度差为a ，求电视塔高CD （用含a αβθ，，，的代数式表示）【解析】作AE CD ⊥于E ，BF CD ⊥于F ，设DE x = 在Rt ADE ∆中，由tan DE AE α=，得tan tan DE xAE αα==，在Rt DBF ∆中，由tan DFBFθ=，得 tan tan DF x aBF θθ+==，因为AE BF =，所以tan tan x x a αθ+=，解得tan tan tan a x αθα⋅=-，从而tan tan aAE θα=- 在Rt AEC ∆中，由tan EC AE β=，得tan tan tan tan a EC AE ββθα=⋅=- 所以()tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan a a a CD DE EC αβαβθαθαθα+=+=+=--- 【答案】()tan tan tan tan a αβθα+-【例8】一座建于若干年前的水库大坝的横断面如图所示，其中背水面的整个坡面是长为90米、宽为5图(3)图(2)图(1)俯角仰角视线视线水平线铅垂线米的矩形．现需将其整修并进行美化，方案如下：① 将背水坡AB 的坡度由1:0.75改为；② 用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成9块相同的矩形区域，依次相间地种草与栽花．（1）求整修后背水坡面的面积；（2）如果栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元，那么种植花草至少需要多少元？【答案】（1）作AE BC ⊥于E ．∵ 原来的坡度是1:0.75，∴ 140.753AE EB == ．设4AE k =，3BE k =， ∴ 5AB k =，又 ∵ 5AB =米， ∴1k =，则4AE =米．设整修后的斜坡为AB '，由整修后坡度为，有AE EB ='，∴∠AB E '=30°， ∴ 28AB AE '==米． ∴ 整修后背水坡面面积为908720⨯=米2 ．（2）将整修后的背水坡面分为9块相同的矩形，则每一区域的面积为80米2 ．解法一：∵ 要依次相间地种植花草，有两种方案：第一种是种草5块，种花4块，需要20×5×80+25×4×80=16000元；第二种是种花5块，种草4块，需要20×4×80+25×5×80=16400元． ∴ 应选择种草5块、种花4块的方案，需要花费16000元．解法二：∵ 要依次相间地种植花草，则必然有一种是5块，有一种是4块，而栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元，∴ 两种方案中，选择种草5块、种花4块的方案花费较少．即：需要花费20×5×80+25×4×80=16000元．【例9】如图，在某海域内有三个港口A 、D 、C ．港口C 在港口A 北偏东60︒方向上，港口D 在港口A北偏西60︒方向上．一艘船以每小时25海里的速度沿北偏东30︒的方向驶离A 港口3小时后到达B 点位置处，此时发现船舱漏水，海水以每5分钟4吨的速度渗入船内．当船舱渗入的海水总量超过75吨时，船将沉入海中．同时在B 处测得港口C 在B 处的南偏东75︒方向上．若船上的抽水机每小时可将8吨的海水排出船外，问此船在B 处至少应以怎样的航行速度驶向最近的港口停靠，才能保证船在抵达港口前不会沉没（要求计算结果保留根号）？并指出此时船的航行方向．DCBA【解析】连结AC、AD、BC、BD，延长AT，过B作BT AT⊥于T，AC与BT交于点E．过B作BP AC⊥于点P．由已知得90BAD∠=︒，30BAC∠=︒，32575AB=⨯=（海里），在BEP∆和AET∆中，90BPE ATE∠=∠=︒，AET BEP∠=∠，∴30EBP EAT∠=∠=︒．∵60BAT∠=︒，∴30BAP∠=︒，从而17537.52BP=⨯=（海里）．∵港口C在B处的南偏东75︒方向上，∴45CBP∠=︒．在等腰Rt CBP∆中，BC==，∴BC<AB．BAD∆是Rt∆，∴BD AB>．综上，可得港口C离B点位置最近．∴此船应转向南偏东75︒方向上直接驶向港口C．设由B驶向港口C船的速度为每小时x海里，548)5÷⨯-<7，解不等式，得x>．答：此船应转向沿南偏东75︒的方向向港口C航行，且航行速度至少不低于每小时能保证船在抵达港口前不会沉没．【答案】此船应转向沿南偏东75︒的方向向港口C航行，且航行速度至少不低于每小时证船在抵达港口前不会沉没．【巩固】海面上B处有一货轮正在向正南方向航行，其航行路线是当它到达正南方C时，在驶向正西方的目的地A处，且200CA CB==海里，在AB中点O处有一客轮，其速度为货轮的一半，现在客轮要截住货轮取一件货物，于是选择某一航向行驶去截住货轮，那么当客轮截住客轮时至少航行了多少海里，它所选择了怎样的方向角？（路程保留整数海里，角度精确到度）【解析】如图，由题意可知，ABC∆为等腰直角三角形，假设客轮截住货轮的地点在BC边上时，过OD BC⊥于D，OD为客轮到达BC边的最短距离，即客轮航行的路程为OD，由货轮速度为客轮的2倍可知，货轮航行的距离为2OD BC=，即货轮此时到达了C点，∴客轮截住货轮的地点不可能在BC边上．∴客轮截住货轮的地点在AC 边上．设在AC 边上的F 点两船相遇，设客轮航行的距离为x ，即OE x =，则2BC CE x +=， ∴2200CE x =-，过O 作OF AC ⊥于F ，则11002OF BC ==海里，11002FC AC ==海里， ∴3002EF x =-在Rt DEF ∆中，222OF EF OE +=，即222100(3002)x x +-=，解得x =1282x ≈，2118x ≈∴141OE OA ≤=∴1282x ≈不符合题意，∴118x ≈ 即当客轮截住货轮时，航行了118海里．在Rt OEF ∆中，100cos 0.8475118EOF ∠=≈ ∴32EOF ∠=︒∴客轮的航行方向应为南偏东32︒．【答案】客轮的航行方向应为南偏东32︒课堂检测1．（辽宁竞赛）如图，湖心岛上有一凉亭，现欲利用湖岸边的开阔平整地带，测量凉亭顶端到湖面所在平面的高度AB (见示意图)，可供使用的工具有测倾器、皮尺．（1）请你根据现有条件，设计一个测量凉亭顶端到湖面所在平面的高度AB 的方案，画出测量方案的平面示意图，并将测量的数据标注在图形上（所测的距离用m ，n 表示，角用α，β表示，测倾器高度忽略不计）；（2）根据你所测量的数据，计算凉亭到湖面的高度AB (用字母表示)．F EDOC BA【解析】（1）如图所示，在点C 测得ACB α∠=，在点D 测得ADB β∠=，测得DC m =（2）在Rt ABC ∆中，设AB x =，tan x BC α=在Rt ABD ∆中，tan xBD β= BD BC m -=，即tan tan x xm βα-= 解得tan tan tan tan x m αβαβ⋅=-【答案】（1）DC m =；（2）tan tan tan tan m αβαβ⋅-2．化简：222tan1tan 2....tan89sin 1sin 2...sin 89︒⋅︒︒︒+︒++︒【解析】tan1tan2....tan89tan451︒⋅︒︒=︒=()()22222222sin 1sin 2...sin 89sin 1cos 1sin 2cos 2...sin 45︒+︒++︒=︒+︒+︒+︒++︒1894422=+=，故原式289=．【答案】2893．如图1、图2，是一款家用的垃圾桶，踏板AB （与地面平行）或绕定点P （固定在垃圾桶底部的某一位置）上下转动（转动过程中始终保持''AP A P BP B P ==，）．通过向下踩踏点A 到'A （与地面接触点）使点B 上升到点'B ，与此同时传动杆BH 运动到''B H 的位置，点H 绕固定点D 旋转（DH 为旋转半径）至点'H ，从而使桶盖打开一个张角'HDH ∠．如图3，桶盖打开后，传动杆''H B 所在的直线分别与水平直线AB DH 、垂直，垂足为点M C 、，设''H C B M =．测得6cm 12cm '8cm AP PB DH ===，，．要使桶盖张开的角度'HDH ∠不小于60︒，那么踏板AB 离地面的高度至少等于多少cm ？（结果保留两位有效数字）【解析】过点'A 作'A N AB ⊥垂足为N 点，在Rt 'H CD ∆中，若'HDH ∠不小于60︒，则'3sin 60'H C H D ≥︒=，即3''43H C H D ≥=， ∴''43B M H C =≥， ∵Rt 'Rt 'A NP B MP ∆∆∽ ∴''''A N A PB M B P=， ∴''643'23 3.5cm 'A P B M A N B P ⋅⨯=≥=≈，∴踏板AB 离地面的高度至少等于3.5cm ．【答案】踏板AB 离地面的高度至少等于3.5cm课后作业1．化简求值：1sin 1sin 1cos 1cos 1sin 1sin 1cos 1cos αααααααα⎛⎫⎛⎫-+-+-- ⎪⎪ ⎪⎪+-+-⎝⎭⎝⎭（090α︒<<︒）【解析】原式()()()()222222221sin 1sin 1cos 1cos 1sin 1sin 1cos 1cos αααααααα⎡⎤⎡⎤-+-+⎢⎥⎢⎥=-⋅-⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦由090α︒<<︒可知，0cos 1α<<，0sin 1α<<．故原式1sin 1sin 1cos 1cos cos cos sin sin αααααααα-+-+⎛⎫⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2sin 2cos 4cos sin αααα--=⋅=．图3图2C MAA'P BB'HDH'H'DHB'BPA'A（图1）NCMA'PBB'HDH'【答案】42．若045α︒<<︒，且sin cos αα=sin α的值．【解析】方法1：由2263sin cos sin cos 256αααα==，结合22sin cos 1αα+=，可得 2226397sin (1sin )sin 2561616ααα-=⇒=或．由045α︒<<︒可知221sin sin 452α<︒=，故27sin sin 16αα=⇒=．方法2：由sin cos 2sin cos αααα=，结合22sin cos 1αα+=，可得sin cos αα+==cos sin αα-=，故sin α．3．（2011甘肃兰州）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad ）．如图①在ABC △中，AB AC =，顶角A 的正对记作sadA ，这时=BCsadA AB=底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：（1）60sad ︒= ．（2）对于0180A ︒<<︒，∠A 的正对值sadA 的取值范围是．（3）如图②，已知3sin 5A =，其中A ∠为锐角，试求sadA 的值．【解析】（1）1（2）02sadA <<（3）设53AB a BC a ==，，则4AC a =．在AB 上取4AD AC a ==，作DE AC ⊥于点E ．则312416164sin 4cos 44555555DE AD A a a AE AD A a a CE a a =⋅=⋅==⋅=⋅==-=，，，CD =图②图①C BAC B A∴CDsadAAC==EDCBA。

【人教版】九年级下册数学《锐角三角函数》全章知识点复习及同步习题(含答案)

锐角三角函数我们知道，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，则有：sin cos a A B c ==，cos sin b A B c ==，tan aA b=，这就是锐角三角函数的定义．根据锐角三角函数的定义，再结合直角三角形的性质，我们可以探索出锐角三角函数之间的三个特殊关系．一、余角关系由上面的定义我们已得到sin A =cos B ，cos A =sin B ，而在直角三角形中，∠A ＋∠B ＝90°，即∠B ＝90°－∠A ．因此有：sin A =cos （90°-A ），cos A =sin （90°-A ）．应用这些关系式，可以很轻松地进行三角函数之间的转换．例１如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，已知1sin 2A =，BD ＝2，求BC 的长．解：由于∠A ＋∠B ＝90°，所以1cos sin(90)sin 2B B A =-==．在Rt△BCD 中，cos BD B BC =，所以212BC =．所以BC ＝4．二、平方关系由定义知sin a A c =，cos b A c=，所以222222222sin cos a b a b A A c c c++=+=（sin 2A 、cos 2A 分别表示sin A 、cos A 的平方）．又由勾股定理，知a 2+b 2=c 2，所以sin 2A +cos 2A =22c c=1．应用此关系式我们可以进行有关锐角三角函数平方的计算．例2 计算：sin256°+sin245°+sin234°．解：由余角关系知sin56°=cos（90°-56°）=cos34°．所以原式＝sin245°+（sin234°+cos234°）223122⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭．三、相除关系由定义中sin a A c =，cos bA c=，得sin tan cos aA a c ac A b A c b bc==⨯==．利用这个关系式可以使一些化简求值运算过程变得简单．例3 已知α为锐角，tan α=2，求3sin cos 4cos 5sin αααα+-的值．解：因为sin tan 2cos ααα==，所以sin α=2cos α，所以原式6cos cos 6174cos 10cos 4106αααα++===---．求三角函数值的方法较多，且方法灵活．是中考中常见的题型．我们可以根据已知条件结合图形选用灵活的求解方法．四、设参数法例4 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，如果t a n A =125，那么sin B 等于（） (A)135 (B) 1312 (C) 125 (D)512 分析：本题主要考查锐角三角函数的定义及直角三角形的有关性质．因为tan A =125=b a ，所以可设a =5k ，b =12k (k >0)，根据勾股定理得c =13k ，所以sin B =1312=c b ．应选(B)．五、等线段代换法例5 如图2，小明将一张矩形的纸片ABC D 沿C E 折叠，B 点恰好落在A D 边上，设此点为F ，若BA ：BC =4：5，则c os∠DCF 的值是______．分析：根据折叠的性质可知△E BC ≌△EF C ，所以C F=CB ，又C D=AB ，AB ：BC =4：5，所以C D ：C F=4：5，图1 图2在Rt△D C F 中，c os∠D C F=54=CF DC ．六、等角代换法例6 如图3，C D 是平面镜，光线从A 点出发经C D 上点E 反射后照射到B 点，若入射角为α （入射角等于反射角），AC ⊥C D ，B D⊥C D ，垂足分别为C 、D ，且AC ＝3，B D ＝6，C D ＝11，则tan α的值为（）（A ）311 （B ）113 （C ）119 （D ）911分析：根据已知条件可得∠α=∠CA E ，所以只需求出tan∠CA E ．根据条件可知△AC E∽△B DE，所以ED CE BD AC =，即CECE-=1163，所以C E=311，在Rt△A E C 中，tan∠CA E=9113311==AC CE ．所以tan α=911．七、等比代换法例7 如图4，在Rt△ABC 中，ACB =90，C D⊥AB 于点D ，BC =3，AC =4，设BC D=α，tan α的值为（）(A)43 (B)34 (C)53 (D)54分析：由三角形函数的定义知tan α=DCDB，由Rt△C D B ∽Rt△ACB ，所以43==AC BC DC DB ，所以tan α=43，选(A)． ABCDEα 图3图4锐角三角函数测试1．比较大小：sin41°________sin42°．2．比较大小：cot30°_________cot22°．3．比较大小：sin25°___________cos25°．4．比较大小：tan52°___________cot52°．5．比较大小：tan48°____________cot41°．6．比较大小：sin36°____________cos55°．7、下列命题①sinα表示角α与符号sin的乘积；②在△ABC中，若∠C=90°，则c=αsinA成立；③任何锐角的正弦和余弦值都是介于0和1之间实数.其正确的为（）A、②③ B.①②③ C.② D. ③8、若Rt△ABC的各边都扩大4倍得到Rt△A′B′C′,那么锐角A和锐角A′正切值的关系为( )A.tanA′=4tanA B.4tanA′=tanA C.tanA′=tanA D.不确定.9（新疆中考题）（1）如图（1）、（2），锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化．试探索随着锐角度数的增大．它的正弦值和余弦值变化的规律．（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，50°，62°，88°，这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小。

初三锐角三角函数知识点总结、典型例题附带部分答案、练习(精选)

三角函数专项复习锐角三角函数知识点总结1、勾股定理：直角三角形两直角边 a 、 b 的平方和等于斜边 c 的平方。

a 2 b 2c 22、以以下列图，在Rt △ABC 中，∠ C 为直角，则∠ A 的锐角三角函数为 ( ∠A 可换成∠ B)：定义表达式取值范围关系正A 的对边 a 0 sin A 1sin A 斜边sin A(∠A 为锐角 )sin A cosB 弦ccos Asin B余A 的邻边 b 0 cos A 1sin 2 A cos 2 A 1cos A 斜边cos A(∠A 为锐角 )弦c正A 的对边atan A 0tan Atan A(∠A 为锐角 )切A 的邻边b3、随意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；随意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

由 A B 90 B得 B90A斜边c对a 边sin A cosBsin Acos(90A)bcos A sin Bcos A sin(90A)AC邻边4、 0°、 30°、 45°、 60°、 90°特别角的三角函数值 (重要 )三角函数0° 30°45°60°90°sin0 1 2 3 1 222cos13 2 1 02 22tan0 3 13-35 、正弦、余弦的增减性：当 0°≤≤ 90°时， sin 随的增大而增大， cos 随的增大而减小。

6 、正切的增减性：当 0° < <90°时， tan随的增大而增大，7、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，此中必有一边）→全部未知的边和角。

依照：①边的关系：a2b2c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。

( 注意：尽量防范使用中间数据和除法)8、应用举例：(1)仰角：视野在水平线上方的角；俯角：视野在水平线下方的角。

新初中数学锐角三角函数的技巧及练习题附答案

新初中数学锐角三角函数的技巧及练习题附答案一、选择题1．南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此睁开丈量活动．如图，在桥外一点 A 测得大桥主架与水面的交汇点 C 的俯角为α，大桥主架的顶端D 的仰角为β，已知丈量点与大桥主架的水平距离AB＝ a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为()a a A． asin α +asin βB． acos α +acos βC． atan α +atan βD．tan tan【答案】 C【分析】【剖析】在 Rt△ABD 和 Rt△ABC中，由三角函数得出 BC＝ atan α， BD＝ atan β，得出 CD＝BC+BD＝atan α +atan即β可．【详解】在 Rt△ABD 和 Rt△ABC中， AB＝ a， tan α＝BC， tan β＝BD，AB AB∴BC＝ atan α， BD＝ atan β，∴CD＝BC+BD＝ atan α+atan β，应选 C．【点睛】本题考察认识直角三角形﹣仰角俯角问题；由三角函数得出BC 和BD 是解题的重点．2．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在讲解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如下图，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．假如大正方形的面积是 125，小正方形面积是 25，则sincos 2( )A．1B．5C．3 5D．9 5555【答案】 A 【分析】【剖析】依据正方形的面积公式可得大正方形的边长为角形的边角关系列式即可求解．【详解】解：∵大正方形的面积是 125，小正方形面积是∴大正方形的边长为 5 5 ，小正方形的边长为5 5 ，小正方形的边长为5，再依据直角三25，5，∴ 5 5 cos 5 5 sin5 ，∴cos sin 5 ，5∴ sin cos21．5应选： A．【点睛】本题考察认识直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积，难度适中，解题的重点是正确得出cos sin 5 ．53．一个物体的三视图如下图，此中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，依据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（）A B C D．． 2． 3．(31)【答案】 C【分析】【剖析】由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为 3 的正三角形．可计算边长为 2，据此即可得出表面积．【详解】解：由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为 3 的正三角形．∴正三角形的边长32 ．sin 60∴圆锥的底面圆半径是1，母线长是2，∴底面周长为 2∴侧面积为12 2 2 ，∵底面积为 r 2，2∴全面积是 3 ．应选： C ．【点睛】本题考察了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面睁开图与本来的扇形之间的关系是解决本题的重点，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．4．为了方便行人推车过某天桥 ,市政府在 10m 高的天桥一侧修筑了 40m 长的斜道示),我们能够借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数,详细按键次序是 ( )(如图所A ．B ．C ．D ．【答案】 A【分析】【剖析】先利用正弦的定义获得sinA=0.25，而后利用计算器求锐角∠ A ．【详解】解：由于 AC ＝ 40， BC ＝ 10， sin ∠ A ＝ BC，AC 所以 sin ∠ A ＝0.25.所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键次序为应选： A ．点睛：本题考察了计算器 -三角函数：正确使用计算器，一般状况下，三角函数值直接能够求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．5．如图，为了丈量某建筑物30°，向 N 点方向行进 16mMN 的高度，在平川上 A 处测得建筑物顶端 M 的仰角为抵达 B 处，在 B 处测得建筑物顶端M 的仰角为 45°，则建筑物MN的高度等于 ( )A．8(31) m B．8(31)m C．16(31) m D．16(31)m 【答案】 A【分析】设 MN=xm ，在Rt△BMN 中,∵∠MBN=45°，∴BN=MN=x，在 Rt△AMN 中 ,tan ∠MAN=MN，ANx=3√3，∴tan30 °=16x解得： x=8( 3+1)，则建筑物MN 的高度等于8( 3 +1)m；应选 A.点睛：本题是解直角三角形的应用，考察了仰角和俯角的问题，要明确哪个角是仰角，哪个角是俯角，知道仰角是向上看的视野与水平线的夹角，俯角是向下看的视野与水平线的夹角，并与三角函数相联合求边的长.6．如图，在矩形ABCD中E是CD的中点，EA均分BED, PE AE交BC于点P，连结 PA ，以下四个结论：①EB均分AEC ；② PA BE ；③AD3AB；2④ PB 2PC ．此中结论正确的个数是（）A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个【答案】 A【分析】【剖析】依据矩形的性质联合全等三角形的判断与性质得出△ADE≌△ BCE（ SAS），从而求出△ABE 是等边三角形，再求出△AEP≌△ ABP（ SSS），从而得出∠E AP＝∠ PAB＝30°，再分别得出AD 与 AB， PB与 PC的数目关系即可．【详解】解：∵在矩形ABCD中，点 E 是 CD 的中点，∴DE＝CE，又∵ AD＝ BC，∠ D＝∠ C，∴△ ADE≌△ BCE（ SAS），∴AE＝ BE，∠ DEA＝∠ CEB，∵EA 均分∠ BED，∴∠ AED＝∠ AEB，∴∠ AED＝∠ AEB＝∠ CEB＝60°，故：①EB 均分∠ AEC，正确；∴△ ABE 是等边三角形，∴∠ DAE＝∠ EBC＝ 30°，AE＝ AB，∵PE⊥ AE，∴∠ DEA＋∠ CEP＝ 90°，则∠ CEP＝ 30°，故∠ PEB＝∠ EBP＝ 30°，则 EP＝ BP，又∵ AE＝ AB， AP＝ AP，∴△ AEP≌△ ABP（ SSS），∴∠ EAP＝∠ PAB＝ 30°，∴AP⊥BE，故②正确；∵∠ DAE＝ 30°，∴tan ∠ DAE＝DE＝ tan30 °＝ 3 ，AD3∴AD＝3DE 3CD ，，即 AD2∵AB＝ CD，∴③ AD 3AB 正确；2∵∠ CEP＝ 30°，∴CP＝1EP，2∵EP＝ BP，∴CP＝1BP，2∴④ PB＝ 2PC正确．综上所述：正确的共有4 个．应选： A ．【点睛】本题主要考察了四边形综合，全等三角形的判断与性质，等边三角形的判断与性质，含 30度角的直角三角形性质以及三角函数等知识，证明△ABE 是等边三角形是解题重点．7．如图，在 x 轴的上方，直角∠ BOA 绕原点 O 按顺时针方向旋转 .若∠ BOA 的两边分别与1 、 y2 ）函数 y的图象交于 B 、 A 两点，则∠ OAB 大小的变化趋向为（ xxA ．渐渐变小B ．渐渐变大C ．时大时小D ．保持不变【答案】 D 【分析】【剖析】如图，作协助线；第一证明△BEO ∽△ OFA ，，获得BEOE；设 B 为（ a ，1 ），A 为OF AFa（ b ， 2），获得 OE=-a ， EB= 1b a， OF=b ， AF= 2 ，从而获得 a 2 b 2 2 ，此为解决问题的关b键性结论；运用三角函数的定义证明知tan ∠ OAB=2为定值，即可解决问题．2【详解】解：分别过 B 和 A 作 BE ⊥ x 轴于点 E ， AF ⊥x 轴于点 F ，则△BEO ∽△ OFA ，∴BE OE ， OF AF设点 B 为（ a ，1a）， A 为（ b ， 2）， b则 OE=-a ， EB= 1， OF=b ， AF= 2，ab可代入比率式求得2 22 ，即 a22 ，a bb 2OB=22212224依据勾股定理可得： OE EBa2 ，OA=OFAFb2，aba212b2142)∴tan ∠ OAB= OBa2b2 2 =(2b2b4=2OA242422b b2b b2b b2∴∠ OAB 大小是一个定值，所以∠OAB 的大小保持不变 .应选 D【点睛】该题主要考察了反比率函数图象上点的坐标特点、相像三角形的判断等知识点及其应用问题；解题的方法是作协助线，将分别的条件集中；解题的重点是灵巧运用相像三角形的判断等知识点来剖析、判断、推理或解答．8．将直尺、有直尺的交点，60°角的直角三角板和光盘如图摆放，AB=4，则光盘表示的圆的直径是()A 为60°角与直尺的交点，B 为光盘与A．4B．83C．6D．43【答案】 B【分析】【剖析】设三角板与圆的切点为C，连结 OA、 OB，依据切线长定理可得AB=AC=3，∠ OAB=60°，然后依据三角函数，即可得出答案.【详解】设三角板与圆的切点为C，连结 OA、 OB，由切线长定理知，AB=AC=3， AO 均分∠ BAC，∴∠ OAB=60°，在 Rt△ABO 中， OB=ABtan∠ OAB=4 3 ，∴光盘的直径为8 3 ．应选： B．【点睛】本题主要考察了切线的性质，解题的重点是娴熟应用切线长定理和锐角三角函数.9．如图，某地修筑高速公路，要从 A 地向B地修一条地道（点 A ，B在同一水平面上）．为了丈量 A ，B两地之间的距离，一架直升飞机从 A 地腾飞，垂直上涨1000米到达 C处，在C 处察看 B 地的俯角为，则AB 两地之间的距离约为（）A．1000sin米B．1000tan米C．1000 米D． 1000 米tan sin【答案】 C【分析】【剖析】在 Rt△ABC中，∠ CAB=90°，∠ B=α， AC=1000 米，依据tan AC，即可解决问题．AB【详解】解：在 Rt ABC 中，∵CAB 90o，B， AC1000 米，∴ tan AC ，AB∴ ABAC1000米．tantan应选： C．【点睛】本题考察解直角三角形的应用 -仰角俯角问题，解题的重点是娴熟掌握基本知识，属于中考常考题型．10．如下图，Rt AOB中，AOB90 ，极点A, B分别在反比率函数y1x 0x与 y5x 0 的图象器上，则tan BAO 的值为（）xA ．5B ． 5C ．2 5D ． 1055【答案】 B【分析】【剖析】过 A 作 AC ⊥ x 轴，过 B 作 BD ⊥ x 轴于 D ，于是获得∠ BDO=∠ ACO=90°，依据反比率函数的性质获得 S △BDO = 5， S △AOC = 1，依据相像三角形的性质获得=OB5 ，依据三角函数的22 OA定义即可获得结论．【详解】解：过 A 作 AC ⊥ x 轴，过 B 作 BD ⊥x 轴于 D ，则∠ BDO=∠ACO=90°，∵极点 A ， B 分别在反比率函数 y1x 0 与 y5x 0的图象上，xx∴S △BDO = 5， S △AOC = 1，22∵∠ AOB=90°，∴∠ BOD+∠DBO=∠ BOD+∠ AOC=90°，∴∠ DBO=∠AOC ，∴△ BDO ∽△ OCA ，∴ S △BOD2OB 5 1 5 ，S△OACOA2 2∴ OB5 ，OA∴tan ∠ BAO=OB5 .OA应选 B.【点睛】本题考察了反比率函数的性质以及直角三角形的性质，三角形相像的判断和性质．解题时注意掌握数形联合思想的应用，注意掌握协助线的作法．11．如图，在 Rt△ABC 内有边长分别为 a， b， c 的三个正方形．则 a、 b、 c 知足的关系式是（）A． b=a+c B． b=ac C． b2=a2+c2D． b=2a=2c【答案】 A【分析】【剖析】利用解直角三角形知识.在边长为 a 和 b 两正方形上方的两直角三角形中由正切可得a b cb a c【详解】，化简得b＝ a＋ c，应选 A.请在此输入详解！12．如图，VABC中，ACB 90 ， O 为 AB 中点，且 AB 4 ， CD ， AD 分别均分ACB 和CAB ，交于D点，则OD的最小值为（）．A．1B．2D．22 2C．212【答案】 D 【分析】【剖析】依据三角形角均分线的交点是三角形的心里，获得DO 最小时， DO 为三角形 ABC 内切圆的半径，联合切线长定理获得三角形为等腰直角三角形，从而获得答案．【详解】解： Q CD，AD分别均分ACB 和CAB ，交于D点，∴D 为ABC的心里，OD 最小时，OD为ABC 的内切圆的半径，DO AB,过D作DE AC, DF BC , 垂足分别为 E,F ,DE DF DO ,四边形 DFCE 为正方形，QO为 AB的中点，AB 4,AO BO2,由切线长定理得： AO AE 2, BO BF 2, CE CF r ,AC BC AB ?sin 45 2 2,CE AC AE 222,Q 四边形DFCE为正方形，CE DE,OD CE22 2,应选 D．【点睛】本题考察的动向问题中的线段的最小值，三角形的心里的性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的计算，掌握有关知识点是解题重点．13．已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为260π cm，设圆锥的母线与高的夹角为θ，则sin θ的值为（）3 5 5 12 A ．B ．C ．D ．13131213【答案】 C 【分析】【剖析】先求出圆锥底面周长可获得圆锥侧面睁开图扇形的弧长，再利用扇形面积公式1 Slr 可2求出母线的长，最后利用三角函数即可求出答案.【详解】解：∵圆锥底面周长为 2 5 10 ，且圆锥的侧面积为 60π，2 60 ，∴圆锥的母线长为1210∴sin θ=5.12应选 C. 【点睛】本题考察了圆锥和三角函数的有关知识 .利用所学知识求出圆锥母线的长是解题的重点 .14．一艘轮船从港口 O 出发，以15 海里 / 时的速度沿北偏东 60°的方向航行4 小时后抵达 A处，此时观察到其正西方向50 海里处有一座小岛B ．若以港口 O 为坐标原点，正东方向为x 轴的正方向，正北方向为y 轴的正方向，1 海里为 1 个单位长度成立平面直角坐标系（如图），则小岛B 所在地点的坐标是（）A ． (30 3 -50， 30)B ． (30， 30 3 -50)C ． (30 3 ， 30)D ． (30， 30 3 )【答案】 A【分析】【剖析】【详解】解： OA=15×4=60海里，∵∠ AOC=60°，∴∠ CAO=30°，∵s in30°= OC=1，AO 2∴C O=30 海里，∴A C=30 3海里，∴B C=（ 30 3－50）海里，∴B（ 30 3 －50，30）.应选 A【点睛】本题考察掌握锐角三角函数的应用．15．如图，等边V ABC边长为a，点O是V ABC的心里，FOG 120 ，绕点 O 旋转FOG ，分别交线段 AB 、 BC 于D、 E 两点，连结DE，给出以下四个结论：① VODE 形状不变；② VODE 的面积最小不会小于四边形ODBE 的面积的四分之一；③四边形 ODBE 的面积一直不变；④VBDE周长的最小值为 1.5a ．上述结论中正确的个数是（）A．4B．3C．2D．1【答案】 A【分析】【剖析】连结 OB、 OC，利用 SAS证出△ODB≌△ OEC，从而得出△ODE是顶角为 120°的等腰三角形，即可判断①；过点 O 作 OH⊥ DE，则 DH=EH，利用锐角三角函数可得OH= 1OE 和2△ODE 32，从而得出OE 最小时，S△ODE最DE= 3 OE，而后三角形的面积公式可得S =OE4小，依据垂线段最短即可求出S△ODE的最小值，而后证出S四边形 ODBE=S△OBC 3 2即可判断=a12② 和③ ；求出 VBDE 的周长 =a ＋ DE ，求出 DE 的最小值即可判断 ④ ．【详解】解：连结 OB 、OC∵ V ABC 是等边三角形，点 O 是 V ABC 的心里，∴∠ ABC=∠ ACB=60°， BO=CO ， BO 、 CO 均分∠ ABC 和∠ ACB∴∠ OBA=∠ OBC=1 ∠ ABC=30°，∠ OCA=∠ OCB=1∠ ACB=30°22∴∠ OBA=∠ OCB ，∠ BOC=180°－∠ OBC －∠ OCB=120°∵FOG 120∴ FOG ∠ BOC∴∠ FOG －∠ BOE=∠ BOC －∠ BOE∴∠ BOD=∠COE在△ODB 和△OEC 中BOD COE BO CO OBDOCE∴△ ODB ≌△ OEC∴OD=OE∴△ ODE 是顶角为 120°的等腰三角形，∴ VODE 形状不变，故 ① 正确；过点 O 作 OH ⊥DE ，则 DH=EH∵△ ODE 是顶角为 120°的等腰三角形∴∠ ODE=∠ OED=1（ 180°－ 120°） =30°2∴OH=OE ·sin ∠ OED=1 3OE ， EH= OE ·cos ∠ OED=OE22∴DE=2EH=3 OE∴S △ODE = 1 DE ·OH= 3 OE 224∴ OE最小时，S △ODE 最小，过点 O 作 OE ′⊥ BC 于 E ′，依据垂线段最短， OE ′即为 OE 的最小值∴BE ′=1 BC=1a22在 Rt △OBE ′中OE ′ =BE ′·∠ OBEtan ′= 1= 3 aa × 3236S △ 32 3 2 ∴ ODE 的最小值为 4 OE ′= a48 ∵△ ODB ≌△ OEC1 32∴S 四边形 ODBE =S △ODB ＋ S △OBE = S △OEC ＋S △OBE =S △OBC = BC · OE ′=a212∵3 2 1×3248a=a4 121∴S △ODE ≤ S 四边形 ODBE4即 VODE 的面积最小不会小于四边形ODBE 的面积的四分之一，故 ② 正确；∵S 四边形 ODBE = 3 a 212∴四边形 ODBE 的面积一直不变，故 ③ 正确；∵△ ODB ≌△ OEC∴DB=EC∴ VBDE 的周长 =DB ＋BE ＋ DE= EC ＋ BE ＋ DE=BC ＋ DE=a ＋DE∴DE 最小时 VBDE 的周长最小∵ D E= 3 OE∴OE 最小时， DE 最小而 OE 的最小值为 OE ′= 3a6∴DE 的最小值为 3 × 3a = 1 a62∴ VBDE 的周长的最小值为a ＋ 1a =1.5a ，故 ④ 正确；2综上： 4 个结论都正确，应选 A ．【点睛】本题考察的是等边三角形的性质、全等三角形的判断及性质、锐角三角函数、三角形的面积公式和垂线段最短的应用，掌握等边三角形的性质、全等三角形的判断及性质、锐角三角函数、三角形的面积公式和垂线段最短是解决本题的重点．16．如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 、 BD 订交于点 O ， AB ： BC ＝ 2： 1，且 BE ∥ AC ， CE ∥DB，连结 DE，则 tan ∠ EDC＝（）11C．23A．B．6D．4610【答案】 B【分析】【剖析】过点 E 作 EF⊥直线 DC 交线段 DC 延伸线于点 F，连结 OE 交 BC 于点 G．依据邻边相等的平行四边形是菱形即可判断四边形OBEC是菱形，则OE与 BC垂直均分，易得EF=1 x，2CF=x．再由锐角三角函数定义作答即可．【详解】解：∵矩形ABCD的对角线AC、BD 订交于点O， AB： BC＝ 2： 1，∴BC＝ AD，设 AB＝ 2x，则 BC＝ x．如图，过点 E 作 EF⊥直线 DC 交线段 DC延伸线于点F，连结 OE交 BC于点 G．∵BE∥AC， CE∥BD，∴四边形BOCE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝ OC，∴四边形BOCE是菱形．∴OE 与 BC 垂直均分，∴E F＝1AD＝1x， OE∥ AB，22∴四边形AOEB是平行四边形，∴OE＝AB＝ 2x，∴C F＝1OE＝ x．2∴tan ∠ EDC＝EF＝1x＝12．DF2x6x应选： B．【点睛】本题考察矩形的性质、平行四边形的判断与性质、菱形的判断与性质以及解直角三角形，解题的重点是娴熟掌握矩形的性质和菱形的判断与性质，属于中考常考题型．17．如图， AB 是⊙ O 的直径，弦CD⊥AB 于 E 点，若 AD CD 2?3．则BC的长为()A．2C．3D．2 3B．3333【答案】 B 【分析】【剖析】依据垂径定理获得CE DE3， ??OD=2，BC BD，∠ A=30°，再利用三角函数求出即可利用弧长公式计算解答.【详解】如图：连结OD，∵AB 是⊙ O 的直径，弦CD⊥AB于 E 点， AD CD2 3 ，∴CE DE3， ??BC BD，∠ A=30°，∴∠ DOE=60°，∴OD=DE2，sin 60o∴?的长= ?的长 =6022 BC BD180，3应选： B.【点睛】本题考察垂径定理，三角函数，弧长公式，圆周角定理，是一道圆的综合题.18．已知 B 港口位于 A 观察点北偏东45°方向，且其到A 观察点正寒风向的距离BM 的长为102 km，一艘货轮从 B 港口沿如下图的BC 方向航行 47 km抵达C处，测得C处位于 A 观察点北偏东75°方向，则此时货轮与 A 观察点之间的距离AC的长为（）km．A．83B．93C．63D．73【答案】 A【分析】【剖析】【详解】解：∵∠ MAB=45°， BM=102 ，∴AB= BM2MA2 = (10 2)2(10 2) 2=20km，过点 B 作 BD⊥ AC，交 AC 的延伸线于D，在 Rt△ADB 中，∠ BAD=∠ MAC﹣∠ MAB=75° ﹣45°=30°，BD= 3 ，tan∠ BAD=AD3∴AD= 3 BD， BD2 +AD2 =AB2，即 BD2+（3 BD）2=202，∴BD=10，∴ AD=10 3，在 Rt△BCD中， BD2+CD2=BC2，BC=4 3，∴ CD=2 3，∴AC=AD﹣ CD=10 3﹣ 2 3 =8 3 km，答：此时货轮与 A 观察点之间的距离AC 的长为 83 km．应选 A．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．19．在Rt△ABC中，∠C＝ 90°，假如∠A＝α， BC＝a，那么AC 等于（）A． a?tan αB． a?cot α【答案】 B【分析】【剖析】画出图形，依据锐角三角函数的定义求出即可【详解】如图，∠ C＝ 90°，∠ A＝α， BC＝ a，C． a?sin .αD． a?cos α∵cot αAC，BC∴AC＝BC?cotα＝ a?cot α，应选： B．【点睛】本题考察了锐角三角函数的定义的应用，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比；余弦是角的邻边与斜边的比；正切是对边与邻边的比；余切是邻边与对边的比；娴熟掌握三角函数的定义是解题重点 .20．如图，△ABC的外接圆是⊙ O，半径 AO=5， sinB= 2，则线段AC 的长为（）5A．1B．2C．4D．5【答案】 C【分析】【剖析】第一连结CO并延伸交⊙ O 于点 D，连结 AD，由 CD是⊙ O 的直径，可得∠CAD=90°，又由⊙O 的半径是 5， sinB= 2，即可求得答案．5【详解】解：连结CO并延伸交⊙ O 于点 D，连结 AD，由 CD 是⊙ O 的直径，可得∠ CAD=90°，∵∠ B 和∠ D 所对的弧都为弧 AC ，∴∠ B=∠D ，即 sinB=sinD= 2，5∵半径 AO=5， ∴CD=10，AC AC 2 ∴ sin D10，CD5∴AC=4，应选： C.【点睛】本题考察了同弧所对的圆周角相等，以及三角函数的内容，注意到直径所对的圆周角是直角是解题的重点 .。

锐角三角函数(含答案)

一、基础知识1、1、利用计算器求锐角三角三角函数值。

如求sin63゜52′41″的值.（精确到0.0001）先用如下方法将角度单位状态设定为“度”：再按下列顺序依次按键：显示结果为0.897 859 012.所以sin63゜52′41″≈0.89792、利用计算器根据锐角三角函数值求锐角。

如已知tan x=0.7410,求锐角x.（精确到1′）在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示出），按下列顺序依次按键：显示结果为36.538 445 77.再按键：显示结果为36゜32′18.4. 所以，x≈36゜32′注意：利用计算器求锐角三角函数值或已知锐角三角函数值求相应的锐角时，不同的计算器操作步骤有所不同。

二、重难点分析重点：用计算器求任意角的三角函数值。

难点：由锐角三角函数值求锐角:例1：如图，工件上有一个V形槽，测得它的上口宽20mm，深19.2mm，求V形角（∠ACB）的大小（结果精确到1°）三、中考感悟（2014•tan56°≈。

（结果精确到0.01）四、专项训练（一）基础练习1、用计算器计算cos44°的结果（精确到0.01）是（）A. 0.90B. 0.72C. 0.69D. 0.66【答案】B2、按键，使科学记算器显示回后，求sin90°的值，以下按键顺序正确的是（）3、用计算器求下列各式的值：（1）sin47°；（2）sin12°30′；（3）cos25°18′；（4）tan44°59′59″；（5）sin18°+cos55°-tan59°（3）cos25°18′=0.9003；（4）tan44°59′59″=1.0000；（5）sin18°+cos55°-tan59=-0.7817．4、利用计算器求下列各角（精确到1″）（1）sinA=0.75，求A；（2）cosB=0.888 9，求B；（3）tanC=45.43，求C；（4）tanD=0.974 2，求D．6、用计算器验证，下列不等式中成立的是（）A．sin37°24′＞cos37°24′+cos3°10′B．cos45°32′＞sin45°-sin1°12′C．sin63°47′＜cos18°21′-cos87°D．2sin30°12′＜sin60°24′【解析】使用计算器分别对各选项进行计算，只有B正确．【答案】B（二）提升练习7、先用计算器求：sin20°≈，sin40°≈，sin60°≈，sin80°≈，再按从小到大的顺序用“＜”把sin20°，sin40°，sin60°，sin80°连接起来：．归纳：正弦值，角大值。

初中数学锐角三角函数的技巧及练习题附答案解析

【详解】
解：延长PQ交直线AB于点E，设PE=x．
在直角△APE中，∠A=45°，
AE=PE=x；
∵∠PBE=60°
∴∠BPE=30°
在直角△BPE中，BE= PE= x，
∵AB=AE-BE=6米，
则x- x=6，
解得：x=9+3 ．
则BE=3 +3．
在直角△BEQ中，QE= BE= （3 +3）=3+ ．
∴DE=BD•tan30°=1，
故选：A．
【点睛】
此题考查翻折变换的性质、勾股定理的应用，解题关键在于掌握翻折变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
7．如图，AB是垂直于水平面的建筑物．为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角为（点A，B，C，D，E在同一平面内）．斜坡CD的坡度（或坡比），那么建筑物AB的高度约为（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据菱形的性质及已知对各个选项进行分析，从而得到答案
【详解】
∵菱形ABCD的周长为20cm
∴AD=5cm
∵sinA=
∴DE=3cm（①正确）
∴AE=4cm
∵AB=5cm
∴BE=5﹣4=1cm（②正确）
∴菱形的面积=AB×DE=5×3=15cm2（③正确）
【详解】
解：由作法得AE垂直平分CD，
∴∠AED=90°，CE=DE，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=2DE，

初中—锐角三角函数(锐角三角函数的增减性)基础题及答案

初中—锐角三角函数〔锐角三角函数的增减性〕根底〔1〕试题一．选择题〔共30小题〕1．〔2021秋•余姚市期末〕在Rt△ABC中，假设各边的长度同时都扩大2倍，那么锐角A的正弦值与余弦值的情况〔〕A．都扩大2倍B．都缩小2倍C．都不变D．正弦值扩大2倍，余弦值缩小2倍2．〔2021秋•福田区期末〕比较tan20°，tan50°，tan70°的大小，以下不等式正确的选项是〔〕A．tan70°＜tan50°＜tan20°B．tan50°＜tan20°＜tan70°C．tan20°＜tan50°＜tan70°D．tan20°＜tan70°＜tan50°3．〔2021秋•文登市期末〕假设α为锐角，，那么〔〕A．0°＜α＜30°B．30°＜α＜45°C．45°＜α＜60°D．60°＜α＜90°4．〔2021秋•昆明校级期末〕假设0°＜α＜90°，那么以下说法不正确的选项是〔〕A．sinα随α的增大而增大 B．cosα随α的减小而减小C．tanα随α的增大而增大 D．sinα=cos〔90°﹣α〕5．〔2021秋•滨江区期末〕sinα＜0.5，那么锐角α的取值范围是〔〕A．60°＜α＜90°B．30°＜α＜90°C．0°＜α＜60°D．0°＜α＜30°6．〔2021秋•莱州市期中〕随着锐角α的增大，cosα的值〔〕A．增大B．减小C．不变D．增大还是减小不确定7．〔2021秋•锦江区校级期中〕如果角α为锐角，且sinα=，那么α在〔〕A．0°＜α＜30°B．30°＜α＜45°C．45°＜α＜60°D．60°＜α＜90°8．〔2021秋•怀化校级月考〕如果∠A为锐角，sinA=，那么〔〕A．0°＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜45°C．45°＜∠A＜60°D．60°＜∠A＜90°9．〔2021秋•慈溪市校级月考〕当角度在0°到90°之间变化时，函数值随着角度的增大而增大的三角函数是〔〕A．正弦和余弦B．正弦和正切C．余弦和正切D．正弦、余弦和正切10．〔2021秋•江阴市校级月考〕如图，A〔0，8〕，B〔0，2〕，点E 为x轴正半轴上一动点，设tan∠AEB=m，那么m的取值范围是〔〕A．0＜m≤B．0＜m≤C．＜m＜D．0＜m≤11．〔2021•清远校级一模〕在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，那么锐角A的三角函数值〔〕A．也扩大3倍B．缩小为原来的C．都不变D．有的扩大，有的缩小12．〔2021秋•松北区校级期中〕在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，那么角A的三角函数值〔〕A．不变B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定13．〔2021•遂宁模拟〕，那么锐角α的取值范围是〔〕A．0°＜α＜30°B．30°＜α＜45°C．45°＜α＜60°D．60°＜α＜90°14．〔2021春•聊城期中〕以下各式正确的选项是〔〕A．cos60°＜sin45°＜tan45°B．sin45°＜cos60°＜tan45°C．sin45°＜tan45°＜cos60 D．cos60°＜tan45°＜sin45°15．〔2021秋•龙凤区校级期中〕α为锐角，以下不等式中正确的选项是〔〕①tanα＞1；②0＜sinα＜1；③cotα＜1；④0＜cosα＜1．A．②B．①，②，③C．②，④D．①，②，③，④16．〔2021秋•海阳市期中〕在Rt△ABC中，∠C=90°，以下结论：〔1〕sinA＜1；〔2〕假设A＞60°，那么cosA＞；〔3〕假设A＞45°，那么sinA＞cosA．其中正确的有〔〕A．0个B．1个C．2个D．3个17．〔2021秋•平江区校级期中〕假设∠A=41°，那么cosA的大致范围是〔〕A．0＜cosA＜1 B．＜cosA＜ C．＜cosA＜D．＜cosA ＜118．〔2021•常德模拟〕α、β都是锐角，且sinα＜sinβ，那么以下关系中，正确的选项是〔〕A．α＞βB．tanα＞tanβC．cosα＞cosβD．α=β19．〔2021•天山区校级模拟〕当45°＜θ＜90°时，以下各式中正确的选项是〔〕A．tanθ＞cosθ＞sinθB．sinθ＞cosθ＞tanθC．tanθ＞sinθ＞cosθD．cosθ＞sinθ＞tanθ20．〔2021秋•安次区校级期末〕以下式子正确的选项是〔〕A．sin66°＞sin68°B．tan66°＞tan68°C．cos66°＞cos68°D．cot66°＜cot68°21．〔2021秋•大兴区期末〕∠A为锐角，且sinA＜，那么∠A的取值范围是〔〕A．0°＜A＜30°B．30°＜A＜60°C．60°＜A＜90°D．30°＜A＜90°22．〔2021春•冠县校级期中〕假设α是锐角，且cosα=0.7，那么〔〕A．0°＜α＜30°B．30°≤α＜45°C．45°＜α＜60°D．60°≤α＜90°23．〔2021秋•下城区校级月考〕假设α=40°，那么α的正切值h的范围是〔〕A．＜h＜ B．＜h＜C．1＜h＜ D．＜h＜24．〔2021•茂名〕如图，：45°＜∠A＜90°，那么以下各式成立的是〔〕A．sinA=cosA B．sinA＞cosA C．sinA＞tanA D．sinA＜cosA25．〔2021秋•莆田校级期末〕在Rt△ABC中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A的正切值〔〕A．都扩大2倍B．都扩大4倍C．没有变化 D．都缩小一半26．〔2021秋•信州区期末〕90°＜∠A＜180°，90°＜∠B＜180°，甲、乙、丙、丁四个同学计算的结果依次为28°、48°、60°、88°，其中只有一个同学计算结果是正确的，那么计算正确的同学是〔〕A．甲 B．乙 C．丙 D．丁27．〔2021秋•西湖区校级月考〕：∠A为锐角，且cosA≥，那么〔〕A．0°＜∠A≤60°B．60°≤∠A＜90°C．O°＜∠A≤30° D．30°≤∠A ＜90°28．〔2021秋•巴东县校级月考〕以下各式正确的选项是〔〕A．sin46°＜cos46°＜tan46°B．sin46°＜tan46°＜cos46°C．tan46°＜cos46°＜sin46°D．cos46°＜sin46°＜tan46°29．〔2021•山西〕在Rt△ABC中，∠C=90°，假设将各边长度都扩大为原来的2倍，那么∠A的正弦值〔〕A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．不变30．〔2021•黔东南州〕设x为锐角，假设sinx=3K﹣9，那么K的取值范围是〔〕A．K＜3 B．C．D．考点卡片1．坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的根本方法和规律．3、假设坐标系内的四边形是非规那么四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补〞法去解决问题．2．锐角三角函数的增减性〔1〕锐角三角函数值都是正值．〔2〕当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大〔或减小〕而增大〔或减小〕；②余弦值随着角度的增大〔或减小〕而减小〔或增大〕；③正切值随着角度的增大〔或减小〕而增大〔或减小〕．〔3〕当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0．当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0．3．特殊角的三角函数值〔1〕特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．sin30°=；cos30°=；tan30°=；sin45°=；cos45°=；tan45°=1；sin60°=；cos60°=；tan60°=；〔2〕应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．〔3〕特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．28.1.2初中—锐角三角函数〔锐角三角函数的增减性〕根底〔1〕参考答案与试题解析一．选择题〔共30小题〕1．〔2021秋•余姚市期末〕在Rt△ABC中，假设各边的长度同时都扩大2倍，那么锐角A的正弦值与余弦值的情况〔〕A．都扩大2倍B．都缩小2倍C．都不变D．正弦值扩大2倍，余弦值缩小2倍【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】根据相似三角形的性质及锐角三角函数的定义解答即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，假设各边的长度同时都扩大2倍，∴扩大后形成的三角形与原三角形相似，锐角A的正弦与余弦的比值不变．应选C．【点评】此题比较简单，解答此题的关键是熟知三角函数值是一个比值，与角的边长无关．2．〔2021秋•福田区期末〕比较tan20°，tan50°，tan70°的大小，以下不等式正确的选项是〔〕A．tan70°＜tan50°＜tan20°B．tan50°＜tan20°＜tan70°C．tan20°＜tan50°＜tan70°D．tan20°＜tan70°＜tan50°【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】根据正切函数随锐角的增大而增大，可得答案．【解答】解：由正切函数随角增大而增大，得tan20°＜tan50°＜tan70°，故C符合题意，应选：C．【点评】此题考查了锐角三角函数的增减性，利用了正切函数随锐角的增大而增大．3．〔2021秋•文登市期末〕假设α为锐角，，那么〔〕A．0°＜α＜30°B．30°＜α＜45°C．45°＜α＜60°D．60°＜α＜90°【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】先求出sin30°=0.5，sin45°=≈0.707，sin60°=≈0.866，即可得出答案．【解答】解：∵sin30°=0.5，sin45°=≈0.707，sin60°=≈0.866，sinα==0.8，∴45°＜α＜60°，应选C．【点评】此题考查了特殊角的三角函数值和锐角三角函数的增减性的应用，注意：当0°＜α＜90°，sinα随角度的增大而增大．4．〔2021秋•昆明校级期末〕假设0°＜α＜90°，那么以下说法不正确的选项是〔〕A．sinα随α的增大而增大 B．cosα随α的减小而减小C．tanα随α的增大而增大 D．sinα=cos〔90°﹣α〕【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】根据锐角三角函数的增减性及互余两角的三角函数的关系即可作答．【解答】解：假设0°＜α＜90°，那么正弦值随着角度的增大〔或减小〕而增大〔或减小〕；余弦值随着角度的增大〔或减小〕而减小〔或增大〕；正切值随着角度的增大〔或减小〕而增大〔或减小〕；sinα=cos 〔90°﹣α〕；所以A、C、D正确，B错误．应选B．【点评】此题考查了锐角三角函数的增减性：当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大〔或减小〕而增大〔或减小〕；②余弦值随着角度的增大〔或减小〕而减小〔或增大〕；③正切值随着角度的增大〔或减小〕而增大〔或减小〕．也考查了互余两角的三角函数的关系：sinα=cos〔90°﹣α〕，cosα=sin 〔90°﹣α〕．5．〔2021秋•滨江区期末〕sinα＜0.5，那么锐角α的取值范围是〔〕A．60°＜α＜90°B．30°＜α＜90°C．0°＜α＜60°D．0°＜α＜30°【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】根据锐角函数的正弦值随锐角的增大而增大，可得答案．【解答】解：由sinα=0.5，得α=30°，由锐角函数的正弦值随锐角的增大而增大，得0°＜α＜30°，应选：D．【点评】此题考查了锐角三角函数的增减性，利用了锐角函数的正弦值随锐角的增大而增大．6．〔2021秋•莱州市期中〕随着锐角α的增大，cosα的值〔〕A．增大B．减小C．不变D．增大还是减小不确定【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】当角度在0°～90°间变化时，余弦值随着角度的增大而减小，依此求解即可．【解答】解：随着锐角α的增大，cosα的值减小．应选B．【点评】此题考查了锐角三角函数的增减性：当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大〔或减小〕而增大〔或减小〕；②余弦值随着角度的增大〔或减小〕而减小〔或增大〕；③正切值随着角度的增大〔或减小〕而增大〔或减小〕．7．〔2021秋•锦江区校级期中〕如果角α为锐角，且sinα=，那么α在〔〕A．0°＜α＜30°B．30°＜α＜45°C．45°＜α＜60°D．60°＜α＜90°【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】根据特殊角的三角函数值及锐角三角函数的增减性即可求解．【解答】解：∵sin0°=0，sinα=，sin30°=，又0＜＜，∴0°＜α＜30°．应选A．【点评】此题考查了锐角三角函数的增减性：当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大〔或减小〕而增大〔或减小〕；②余弦值随着角度的增大〔或减小〕而减小〔或增大〕；③正切值随着角度的增大〔或减小〕而增大〔或减小〕．同时考查了特殊角的三角函数值．8．〔2021秋•怀化校级月考〕如果∠A为锐角，sinA=，那么〔〕A．0°＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜45°C．45°＜∠A＜60°D．60°＜∠A＜90°【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】首先明确sin30°=，再根据一个锐角的正弦值随着角的增大而增大，进行分析．【解答】解：∵sin30°=，0＜＜，∴0°＜∠A＜30°．应选A．【点评】熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．9．〔2021秋•慈溪市校级月考〕当角度在0°到90°之间变化时，函数值随着角度的增大而增大的三角函数是〔〕A．正弦和余弦B．正弦和正切C．余弦和正切D．正弦、余弦和正切【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】当角度在0°到90°之间变化时，正弦和正切函数值随着角度的增大而增大．【解答】解：当角度在0°到90°之间变化时，函数值随着角度的增大而增大的三角函数是正弦和正切．应选B．【点评】此题考查了锐角三角函数的增减性的应用，主要考查学生的理解能力．10．〔2021秋•江阴市校级月考〕如图，A〔0，8〕，B〔0，2〕，点E 为x轴正半轴上一动点，设tan∠AEB=m，那么m的取值范围是〔〕A．0＜m≤B．0＜m≤C．＜m＜D．0＜m≤【考点】锐角三角函数的增减性；坐标与图形性质．【分析】点E为x轴正半轴上一动点，设tan∠AEB=m，那么m＞0，再求出m的最大值即可．过A、B、E三点的圆O′与x轴相切时，∠AEB 最大，m的值最大．作O′D⊥AB于D，由垂径定理得出AD=DB=AB=3，OD=OA﹣AD=5，那么⊙O′的半径为5．在直角△O′AD中，由勾股定理得出O′D==4，那么AE===4，再作BC⊥AE于C．由S△AOE=OA•OE=S△BOE+S△ABE，求出BC=，CE==，那么m的最大值为==．【解答】解：如图，过A、B、E三点的圆O′与x轴相切时，∠AEB 最大．作O′D⊥AB于D，那么AD=DB=AB=3，∵OA=8，∴OD=OA﹣AD=5，∴O′E=O′A=OD=5，即⊙O′的半径为5．在直角△O′AD中，由勾股定理得O′D==4，∴OE=O′D=4，∴AE===4，作BC⊥AE于C．∵S△AOE=OA•OE=S△BOE+S△ABE，∴×8×4=×2×4+×4×BC，∴BC=，∵BE2=OB2+OE2=22+42=20，∴CE==，∴m的最大值为==，又∵m＞0，∴0＜m≤．应选A．【点评】此题主要考查了三角函数的定义，垂径定理，勾股定理，三角形的面积，有一定难度，理解过A、B、E三点的圆与x轴相切时，m的值最大是解题的关键．11．〔2021•清远校级一模〕在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，那么锐角A的三角函数值〔〕A．也扩大3倍B．缩小为原来的C．都不变D．有的扩大，有的缩小【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】理解锐角三角函数的概念：锐角三角函数值即为直角三角形中边的比值．【解答】解：根据锐角三角函数的概念，可知在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，锐角A的三角函数值不变．应选C．【点评】理解锐角三角函数的概念，明白三角函数值与边的长度无关．12．〔2021秋•松北区校级期中〕在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，那么角A的三角函数值〔〕A．不变B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】易得边长扩大后的三角形与原三角形相似，那么对应角相等，相应的三角函数值不变．【解答】解：∵各边都扩大5倍，∴新三角形与原三角形的对应边的比为5：1，∴两三角形相似，∴∠A的三角函数值不变，应选A．【点评】用到的知识点为：三边对应成比例，两三角形相似；相似三角形的对应角相等．三角函数值只与角的大小有关，与角的边的长短无关．13．〔2021•遂宁模拟〕，那么锐角α的取值范围是〔〕A．0°＜α＜30°B．30°＜α＜45°C．45°＜α＜60°D．60°＜α＜90°【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】分别求出tan30°=≈0.644，tan45°=1，tan60°=≈1.732，tanα==1.2，得出tan45°＜tanα＜tan60°，根据根据正切值随角度的增大而增大即可得出答案．【解答】解：∵tan30°=≈0.644，tan45°=1，tan60°=≈1.732，又∵tanα==1.2，∴tan45°＜tanα＜tan60°，∵锐角的正切值随角度的增大而增大，∴45°＜α＜60°，应选C．【点评】此题考查了特殊角的三角函数值和锐角三角形函数的增减性的应用，主要考查学生的理解能力和判断能力，注意：锐角的正切值随角度的增大而增大．14．〔2021春•聊城期中〕以下各式正确的选项是〔〕A．cos60°＜sin45°＜tan45°B．sin45°＜cos60°＜tan45°C．sin45°＜tan45°＜cos60 D．cos60°＜tan45°＜sin45°【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】先根据特殊角的三角函数值分别得出cos60°=，sin45°=，tan45°=1，再比较大小即可．【解答】解：∵cos60°=，sin45°=，tan45°=1，又∵＜＜1，∴cos60°＜sin45°＜tan45°．应选A．【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，实数的大小比较，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．15．〔2021秋•龙凤区校级期中〕α为锐角，以下不等式中正确的选项是〔〕①tanα＞1；②0＜sinα＜1；③cotα＜1；④0＜cosα＜1．A．②B．①，②，③C．②，④D．①，②，③，④【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】根据锐角三角函数的增减性，可得答案．【解答】解：α为锐角，①tanα＞0，故①错误；②0＜sinα＜1，故②正确；③cotα＞0，故③错误；④0＜cosα＜1，故④正确；应选：C．【点评】此题考查了锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的增减性是解题的关键．16．〔2021秋•海阳市期中〕在Rt△ABC中，∠C=90°，以下结论：〔1〕sinA＜1；〔2〕假设A＞60°，那么cosA＞；〔3〕假设A＞45°，那么sinA＞cosA．其中正确的有〔〕A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】由Rt△ABC中，∠C=90°，根据三角形内角和定理可知∠A 与∠B都是锐角，再根据特殊角的三角函数值及锐角三角函数的增减性即可求解．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴∠A与∠B都是锐角，∴sinA＜1，〔1〕正确；∵cos60°=，锐角余弦值随着角度的增大而减小，∴假设A＞60°，那么cosA＜，〔2〕错误；∵cos〔90°﹣A〕=sinA，锐角正弦值随着角度的增大而增大，∴假设A＞45°，那么sinA＞cosA，〔3〕正确．应选C．【点评】此题主要考查了锐角三角函数的增减性，特殊角的三角函数值，是根底题，比较简单．17．〔2021秋•平江区校级期中〕假设∠A=41°，那么cosA的大致范围是〔〕A．0＜cosA＜1 B．＜cosA＜ C．＜cosA＜D．＜cosA ＜1【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】根据特殊角的三角函数值及余弦函数随角增大而减小解答．【解答】解：∵cos30°=，cos45°=，余弦函数函数值随角度的增大而减小，∴＜cosA＜．应选C．【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，以及三角函数的增减性，熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．18．〔2021•常德模拟〕α、β都是锐角，且sinα＜sinβ，那么以下关系中，正确的选项是〔〕A．α＞βB．tanα＞tanβC．cosα＞cosβD．α=β【考点】锐角三角函数的增减性．【专题】计算题．【分析】先根据锐角三角函数的增减性由sinα＜sinβ得到α＜β，然后再根据锐角三角函数的增减性进行判断即可．【解答】解：∵α、β都是锐角，且sinα＜sinβ，∴α＜β，∴tanα＜tanβ，cosα＞cosβ，所以A、B、D选项都是错误的，C选项是正确的．应选C．【点评】此题考查了锐角三角函数的增减性：当0＜α＜90°，sinα随α的增大而增大；cosα随α的增大而减小；tanα随α的增大而增大．19．〔2021•天山区校级模拟〕当45°＜θ＜90°时，以下各式中正确的选项是〔〕A．tanθ＞cosθ＞sinθB．sinθ＞cosθ＞tanθC．tanθ＞sinθ＞cosθD．cosθ＞sinθ＞tanθ【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】此题可以根据θ的取值范围，从中找到一个特殊值，然后求出其三角函数值比较即可．【解答】解：∵45°＜θ＜90°，∴可令θ=60°，∴tanθ=，sinθ=，cosθ=，∴tanθ＞sinθ＞cosθ．应选C．【点评】此题考查了锐角三角函数的增减性，在解决填空或选择时，特殊值也是一种很好的方法．20．〔2021秋•安次区校级期末〕以下式子正确的选项是〔〕A．sin66°＞sin68°B．tan66°＞tan68°C．cos66°＞cos68°D．cot66°＜cot68°【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】根据锐角三角函数值的变化规律：正弦值和正切值都是随着角的增大而增大，余弦值和余切值都是随着角的增大而减小即可判断．【解答】解：根据锐角三角函数的变化规律，知sin66°＜sin68°，tan66°＜tan68°，cos66°＞cos68°，cot66°＞cot68°．故A、B、D错误，C正确．应选C．【点评】此题考查了锐角三角函数的增减性，当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大〔或减小〕而增大〔或减小〕；②余弦值随着角度的增大〔或减小〕而减小〔或增大〕；③正切值随着角度的增大〔或减小〕而增大〔或减小〕．④余切值随着角度的增大〔或减小〕而减小〔或增大〕．21．〔2021秋•大兴区期末〕∠A为锐角，且sinA＜，那么∠A的取值范围是〔〕A．0°＜A＜30°B．30°＜A＜60°C．60°＜A＜90°D．30°＜A＜90°【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】根据特殊角的三角函数值求出sin30°=，根据当∠A是锐角时，其正弦随角度的增大而增大，【解答】解：∵∠A为锐角，且sin30°=，又∵当∠A是锐角时，其正弦随角度的增大而增大，∴0°＜A＜30°，应选A．【点评】此题考查了特殊角的三角函数值和锐角三角函数的增减性的应用，注意：当角是锐角时，其正弦和正切随角度的增大而增大，余弦和余切随角度的增大而减小．22．〔2021春•冠县校级期中〕假设α是锐角，且cosα=0.7，那么〔〕A．0°＜α＜30°B．30°≤α＜45°C．45°＜α＜60°D．60°≤α＜90°【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】在锐角三角函数中，余切值都是随着角的增大而减小．cos30°=，cos45°=，故知α的范围．【解答】解；：∵在锐角三角函数中，余切值都是随着角的增大而减小，又知cos60°=，cos45°=，故45°＜α＜60°．应选C．【点评】此题主要考查锐角三角形的增减性，在一个单调区间里，正弦函数和正切函数随角度增大而增大，余弦和余切反之．23．〔2021秋•下城区校级月考〕假设α=40°，那么α的正切值h的范围是〔〕A．＜h＜ B．＜h＜C．1＜h＜ D．＜h＜【考点】锐角三角函数的增减性；特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角的三角函数值及余弦函数随角增大而减小解答即可．【解答】解：∵tan30°=，tan60°=，一个角的正切值随角的增大而增大，∴tan30°＜tan40°＜tan60°，即＜h＜，应选D．【点评】此题考查了锐角三角函数的增减性，熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．24．〔2021•茂名〕如图，：45°＜∠A＜90°，那么以下各式成立的是〔〕A．sinA=cosA B．sinA＞cosA C．sinA＞tanA D．sinA＜cosA 【考点】锐角三角函数的增减性．【专题】计算题．【分析】根据锐角三角函数的增减性sinA随角度的增大而增大，cosA 随角度的增大而减小，直接得出答案即可．【解答】解：∵45°＜A＜90°，∴根据sin45°=cos45°，sinA随角度的增大而增大，cosA随角度的增大而减小，当∠A＞45°时，sinA＞cosA．应选：B．【点评】此题主要考查了锐角三角函数的增减性，正确利用锐角三角函数的增减性是解决问题的关键．25．〔2021秋•莆田校级期末〕在Rt△ABC中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A的正切值〔〕A．都扩大2倍B．都扩大4倍C．没有变化 D．都缩小一半【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】明确概念：在Rt△ABC中，锐角A的正切值等于其对边和邻边的比．【解答】解：根据锐角三角函数的定义，知各边的长度都扩大2倍，那么锐角A的大小不变，所以其正切值不变．应选C．【点评】此题考查三角函数的定义与性质：三角函数的大小只与角的大小有关，与角的两边长度无关．26．〔2021秋•信州区期末〕90°＜∠A＜180°，90°＜∠B＜180°，甲、乙、丙、丁四个同学计算的结果依次为28°、48°、60°、88°，其中只有一个同学计算结果是正确的，那么计算正确的同学是〔〕A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】根据90°＜∠A＜180°，90°＜∠B＜180°，得出360°＞∠A+∠B ＞180°，进而得出30°＜＜60°即可得出答案．【解答】解：∵90°＜∠A＜180°，90°＜∠B＜180°，∴360°＞∠A+∠B＞180°，∴30°＜＜60°，∴甲、乙、丙、丁四个同学计算的结果依次为28°、48°、60°、88°，中只有48°符合要求，应选：B．【点评】此题主要考查了不等式的性质，根据得出30°＜＜60°是解题关键．27．〔2021秋•西湖区校级月考〕：∠A为锐角，且cosA≥，那么〔〕A．0°＜∠A≤60°B．60°≤∠A＜90°C．O°＜∠A≤30° D．30°≤∠A ＜90°【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】首先明确cos60°=，再根据余弦函数值随角增大而减小进行分析．【解答】解：∵cos60°=，余弦函数值随角增大而减小，∴当cosA≥时，∠A≤60°．又∠A是锐角，∴0°＜A≤60°．应选A．【点评】熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．28．〔2021秋•巴东县校级月考〕以下各式正确的选项是〔〕A．sin46°＜cos46°＜tan46°B．sin46°＜tan46°＜cos46°C．tan46°＜cos46°＜sin46°D．cos46°＜sin46°＜tan46°【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】根据三角函数的增减性：当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大〔或减小〕而增大〔或减小〕；②余弦值随着角度的增大〔或减小〕而减小〔或增大〕；③正切值随着角度的增大〔或减小〕而增大〔或减小〕；以及互余的两个角之间的关系：sinA=cos 〔90°﹣A〕；当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0，当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0即可作出判断．【解答】解：A、cos46°=sin44°＜sin46°故此选项错误；B、sin46°=cos44°＞cos46°，故此选项错误；C、cos46°=sin44°＜sin46°，∵tan46°＞tan45°＞1，cos44°＜1，∴cos46°＜sin46°＜tan46°，故此选项错误；D、由C选项的分析可知此选项正确；应选；D．【点评】此题主要考查了三角函数的增减性熟记锐角三角函数的增减性是解题的关键．29．〔2021•山西〕在Rt△ABC中，∠C=90°，假设将各边长度都扩大为原来的2倍，那么∠A的正弦值〔〕A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．不变【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】根据三角函数的定义解答即可．.实用文档.【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，将各边长度都扩大为原来的2倍，其比值不变，∴∠A的正弦值不变．应选：D．【点评】此题比较简单，解答此题的关键是熟知三角函数值是一个比值，与角各边长度的变化无关．30．〔2021•黔东南州〕设x为锐角，假设sinx=3K﹣9，那么K的取值范围是〔〕A．K＜3 B ．C ．D ．【考点】锐角三角函数的增减性．【专题】应用题．【分析】根据锐角x正弦的取值范围0＜sinx＜1作答即可．【解答】解：根据三角函数的增减性得：0＜sinx＜1，即0＜3K﹣9＜1，解得：3＜K ＜，应选：B．【点评】此题考查的知识点是锐角三角函数的增减性，关键是明确锐角x有0＜sinx＜1．.。

人教版九年级数学下册第二十八章：锐角三角函数练习(含答案)

第二十八章锐角三角函数一、单选题1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则sinA 的值为（）A ．B ．C ．D ． 2．（2016甘肃省兰州市）在Rt △ABC 中，∠C =90°，sin A =35，BC =6，则AB =（） A ．4 B ．6 C ．8 D ．103．在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinB=513，则tanA 的值为（） A ．513 B ．1213 C ．512 D ．1254．Rt ABC 中，C 90∠=，若BC 2=，AC 3=，下列各式中正确的是 ( ) A ．2sinA 3= B ．2cosA 3= C ．2tanA 3= D ．2cotA 3= 5．如图，过点C （﹣2，5）的直线AB 分别交坐标轴于A （0，2），B 两点，则tan ∠OAB=（）A ．25B ．23C ．52D ．326．如图，某超市自动扶梯的倾斜角为，扶梯长为米，则扶梯高的长为（）A．米B．米C．米D．米7．聊城流传着一首家喻户晓的民谣：“东昌府，有三宝，铁塔、古楼、玉皇皋．”被人们誉为三宝之一的铁塔，初建年代在北宋早期，是本市现存最古老的建筑．如图，测绘师在离铁塔10米处的点C测得塔顶A的仰角为α，他又在离铁塔25米处的点D测得塔顶A的仰角为β，若tanαtanβ＝1，点D，C，B在同一条直线上，那么测绘师测得铁塔的高度约为(参考≈3.162)()A．15.81米B．16.81米C．30.62米D．31.62米8．若某人沿坡角为α的斜坡前进100m，则他上升的最大高度是（）A．100 αm B．100sinαm C．100cosαm D．100 αm9．某水坝的坡度i=1，坡长AB=20米，则坝的高度为（）A．10米B．20米C．40米D．2010．如图，两建筑物的水平距离为32 m，从点A测得点C的俯角为30°，点D的俯角为45°，则建筑物CD的高约为()A．14 m B．17 m C．20 m D．22 m二、填空题11．2sin45°+2sin60°﹣＝_____． 12．在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =5，BC =3，则sin A = ．13．某同学沿坡比为1：的斜坡前进了90米,那么他上升的高度是______米14．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 与CD 相交于点P ，则tan ∠APD 的值为______.三、解答题15．计算：|﹣2|﹣2cos60°+（16）﹣1﹣（π0． 16．如图，为了测得某建筑物的高度AB ，在C 处用高为1米的测角仪CF ，测得该建筑物顶端A 的仰角为45°，再向建筑物方向前进40米，又测得该建筑物顶端A 的仰角为60°．求该建筑物的高度AB ．（结果保留根号）17．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB=13，AD=1．（1）求BC的长；（2）求tan∠DAE的值．18．如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处D（点D与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据： 53°≈0.8， 53°≈0.6， 53°≈43，计算结果用根号表示，不取近似值）．答案1．D2．D3．D4．C5．B6．A7．A8．A9．A10．A1112．3513．4514．215．|﹣2|﹣2cos60°+（16）﹣1﹣（π﹣ ）0 =2﹣2×12+6﹣1 =6．16．解：设AM x =米，在Rt AFM ∆中，45AFM ︒∠=，∴FM AM x ==，在Rt AEM ∆中，AM tan EMAEM ∠=，则tan AM EM x AEM ==∠，由题意得，FM EM EF -=，即40x x -=，解得，60x =+，∴61AB AM MB =+=+答：该建筑物的高度AB为(61+米．17．解：（1）在△ABC 中，∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°。

锐角三角函数的技巧及练习题附答案解析

【解析】
【分析】
根据特殊角的三角函数值计算即可．
【详解】
解：原式．
故选A．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．
8．如图，在中，，，为边上的中线，平分，则的值（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据角平分线定理可得AE：BE＝AC：BC＝3:4，进而求得AE＝ AB，再由点D为AB中点得AD＝ AB，进而可求得的值．
∴BO′=4 ，CO′=4，
∴BC=AB= ，
∵AC=8，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴CP=BC×sin60°=8× =4 ，BP=4，
BN=4x，BM=2x，
，，
∴ ，
又∵∠NBM=∠CBP，
∴△NBM∽△CBP，
∴∠NMB=∠CPB=90°，
∴ ；
∴ ，
即y= ，
当2<x⩽4时，作NE⊥AB，垂足为E，
【详解】
解：∵ 平分，
∴点E到的两边距离相等，
设点E到的两边距离位h，
则S△ACE＝ AC·h，S△BCE＝ BC·h，
∴S△ACE：S△BCE＝ AC·h： BC·h＝AC：BC，
又∵S△ACE：S△BCE＝AE：BE，
∴AE：BE＝AC：BC，
∵在中，，，
∴AC：BC＝3:4，
∴AE：BE＝3:4
∴
在Rt△ADC中，DC2=AC2﹣AD2，
∴
即a2+c2=b2+ac，
∴
故选C．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值、勾股定理的内容．在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．注意作辅助线构造直角三角形是解题的好方法．

初中数学锐角三角函数的技巧及练习题附解析

初中数学锐角三角函数的技巧及练习题附解析一、选择题1．如图，点O 为△ABC 边 AC 的中点，连接BO 并延长到点D,连接AD 、CD ，若BD=12，AC=8，∠AOD ＝120°，则四边形ABCD 的面积为（）A ．23B ．22C ．10D ．243【答案】D 【解析】【分析】分别过点A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为M 、N ，通过题意可求出AM 、CN 的长度，可计算三角形ABD 和三角形CBD 的面积，相加即为四边形ABCD 的面积. 【详解】解：分别过点A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为M 、N ，∵点O 为△ABC 边 AC 的中点，AC=8，∴AO=CO=4，∵∠AOD ＝120°，∴∠AOB=60°，∠COD=60°， ∴342AM AM sin AOB AO ===∠， 342CN CN sin COD CO ===∠， ∴AM=23CN=3 ∴12231232ABD BD AM S ⨯===g △ 12231232BD CN S ⨯===g △BCD ， ∴=123123243ABD BCD ABCD S S S +==△△四边形故选：D.【点睛】本题考查了三角函数的内容，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.2．如图，在ABC ∆中，4AC =，60ABC ∠=︒，45C ∠=︒，AD BC ⊥，垂足为D ，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，则AE 的长为（）A ．22B ．223C ．23D ．322【答案】C【解析】【分析】在Rt △ADC 中，利用等腰直角三角形的性质可求出AD 的长度，在Rt △ADB 中，由AD 的长度及∠ABD 的度数可求出BD 的长度，在Rt △EBD 中，由BD 的长度及∠EBD 的度数可求出DE 的长度，再利用AE=AD−DE 即可求出AE 的长度．【详解】∵AD ⊥BC∴∠ADC=∠ADB=90︒在Rt △ADC 中，AC=4，∠C=45︒∴AD=CD=22在Rt △ADB 中，AD=22ABD=60︒∴326． ∵BE 平分∠ABC ，∴∠EBD=30°．在Rt △EBD 中，BD=263，∠EBD=30° ∴3223 ∴AE=AD −DE=22223=23 故选：C【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，以及利用特殊角三角函数解直角三角形．3．一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（）A．πB．2πC．3πD．(31)π+【答案】C【解析】【分析】由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为3的正三角形．可计算边长为2，据此即可得出表面积．【详解】解：由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为3的正三角形．∴正三角形的边长32 ==．∴圆锥的底面圆半径是1，母线长是2，∴底面周长为2π∴侧面积为12222ππ⨯⨯=，∵底面积为2rππ=，∴全面积是3π．故选：C．【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．4．如图，△ABC内接于半径为5的⊙O，圆心O到弦BC的距离等于3，则∠A的正切值等于（）A．35B．45C．34D．43【答案】C【解析】试题分析：如答图，过点O作OD⊥BC，垂足为D，连接OB，OC，∵OB=5，OD=3，∴根据勾股定理得BD=4.∵∠A=12∠BOC ，∴∠A=∠BOD. ∴tanA=tan ∠BOD=43BD OD =. 故选D ．考点：1.垂径定理；2.圆周角定理；3.勾股定理；4.锐角三角函数定义．5．如图，在等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，D 为BC 的中点，将△ABC 折叠，使点A 与点D 重合，EF 为折痕，则sin ∠BED 的值是（）A 5B ．35C ．22D ．23【答案】B【解析】【分析】先根据翻折变换的性质得到DEF AEF ∆≅∆，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到BED CDF ∠=，设1CD =，CF x =，则2CA CB ==，再根据勾股定理即可求解．【详解】解：∵△DEF 是△AEF 翻折而成，∴△DEF ≌△AEF ，∠A ＝∠EDF ，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠EDF ＝45°，由三角形外角性质得∠CDF +45°＝∠BED +45°，∴∠BED ＝∠CDF ，设CD ＝1，CF ＝x ，则CA ＝CB ＝2，∴DF ＝FA ＝2﹣x ，∴在Rt △CDF 中，由勾股定理得，CF 2+CD 2＝DF 2，即x 2+1＝（2﹣x ）2，解得：34x =， 3sin sin 5CF BED CDF DF ∴∠=∠==．故选：B ．【点睛】本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性质，涉及面较广，但难易适中．6．如图，点E 从点A 出发沿AB 方向运动，点G 从点B 出发沿BC 方向运动，同时出发且速度相同，DE GF AB =<（DE 长度不变，F 在G 上方，D 在E 左边），当点D 到达点B 时，点E 停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是（）A ．一直减小B ．一直不变C ．先减小后增大D ．先增大后减小【答案】B【解析】【分析】连接GE ，过点E 作EM ⊥BC 于M ，过点G 作GN ⊥AB 于N ，设AE=BG=x ，然后利用锐角三角函数求出GN 和EM ，再根据S 阴影=S △GDE ＋S △EGF 即可求出结论．【详解】解：连接GE ，过点E 作EM ⊥BC 于M ，过点G 作GN ⊥AB 于N设AE=BG=x ，则BE=AB －AE=AB －x ∴GN=BG·sinB=x·sinB ，EM=BE·sinB=（AB －x ）·sinB ∴S 阴影=S △GDE ＋S △EGF=12DE·GN ＋12GF·EM =12DE·（x·sinB ）＋12DE·[（AB －x ）·sinB] =12DE·[x·sinB ＋（AB －x ）·sinB] =12DE·AB·sinB∵DE、AB和∠B都为定值∴S阴影也为定值故选B．【点睛】此题考查的是锐角三角函数和求阴影部分的面积，掌握利用锐角三角函数解直角三角形和三角形的面积公式是解决此题的关键．7．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABCV如图那样折叠，使点A与点B 重合，折痕为DE，则tan CBE∠的值是（）A．247B．7C．724D．13【答案】C【解析】试题分析：根据题意，BE=AE．设BE=x，则CE=8-x．在Rt△BCE中，x2=（8-x）2+62，解得x=254，故CE=8-254=74，∴tan∠CBE=724 CECB=.故选C.考点：锐角三角函数.8．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且AB＝BD，则tan D的值为（）A．3B．33C．23D．23【答案】D【解析】【分析】设AC＝m，解直角三角形求出AB，BC，BD即可解决问题．【详解】设AC＝m，在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，∴AB ＝2AC ＝2m ，BC ＝3AC ＝3m ，∴BD ＝AB ＝2m ，DC ＝2m+3m ，∴tan ∠ADC ＝AC CD ＝23m m+＝2﹣3．故选：D ．【点睛】本题考查解直角三角形，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 9．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若∠B=60°，则c a a b c b+++的值为（）A ．12B 2C ．1D 2【答案】C【解析】【分析】先过点A 作AD ⊥BC 于D ，构造直角三角形，结合∠B=60°，利用3sin60︒=cos60°=12,可求13,,22DB c AD c ==把这两个表达式代入到另一个Rt △ADC 的勾股定理表达式中，化简可得即a 2+c 2=b 2+ac ，再把此式代入通分后所求的分式中，可求其值等于1．【详解】解：过A 点作AD ⊥BC 于D ，在Rt △BDA 中，由于∠B=60°，∴13,,2DB c AD == 在Rt △ADC 中，DC 2=AC 2﹣AD 2， ∴2221324a c b c ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即a 2+c 2=b 2+ac ，∴()()2222222 1.c a c cb a ab a c ab bc b ac ab bc a b c b a b c b ac ab bc b ac ab bc b++++++++++====++++++++++ 故选C ．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、勾股定理的内容．在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．注意作辅助线构造直角三角形是解题的好方法．10．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B与灯塔P之间的距离为( )A．60海里B．45海里C．3D．3【答案】D【解析】【分析】根据题意得出：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，再利用勾股定理得出BP的长，求出答案．【详解】解：由题意可得：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，故AB=2AP=60（海里），则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为：22303AB AP-=故选：D．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确应用勾股定理是解题关键．11．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，那么cosA的值是（）A．45B．35C．43D．34【答案】B【解析】【分析】根据勾股定理，可得AB的长，根据锐角的余弦等于邻边比斜边，可得答案．【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理，得AB=22AC BC +=5cosA=AC AB =35故选：B ．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．12．如图，△ABC 的外接圆是⊙O ，半径AO=5，sinB=25，则线段AC 的长为（）A ．1B ．2C ．4D ．5【答案】C【解析】【分析】首先连接CO 并延长交⊙O 于点D ，连接AD ，由CD 是⊙O 的直径，可得∠CAD=90°，又由⊙O 的半径是5，sinB=25，即可求得答案．【详解】解：连接CO 并延长交⊙O 于点D ，连接AD ，由CD 是⊙O 的直径，可得∠CAD=90°，∵∠B 和∠D 所对的弧都为弧AC ，∴∠B=∠D ，即sinB=sinD=25， ∵半径AO=5，∴CD=10，∴2sin 105AC AC D CD ===， ∴AC=4，故选：C.【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，以及三角函数的内容，注意到直径所对的圆周角是直角是解题的关键.13．如图，在矩形ABCD 中，4,AB DE AC =⊥，垂足为E ，设ADE α∠=，且3cos 5α=，则AC 的长为（）A ．3B ．163C ．203D ．165【答案】C【解析】【分析】根据同角的余角相等求出∠ADE=∠ACD ，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠ACD ，然后求出AC ．【详解】解：∵DE ⊥AC ，∴∠ADE+∠CAD=90°，∵∠ACD+∠CAD=90°，∴∠ACD=∠ADE=α，∵矩形ABCD 的对边AB ∥CD ，∴∠BAC=∠ACD ，∵cos α=35，35AB AC ∴=， ∴AC=520433⨯=．故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，同角的余角相等的性质，熟记各性质并求出BC 是解题的关键．14．如图，在正方形ABCD 中，3AB =，点M 在CD 的边上，且1DM =，AEM ∆与ADM ∆关于AM 所在直线对称，将ADM ∆按顺时针方向绕点A 旋转90°得到ABF ∆，连接EF ，则cos EFC ∠的值是（）A 171365B 61365C 71525D ．617【答案】A【解析】【分析】过点E 作//HG AD ，交AB 于H ，交CD 于G ，作EN BC ⊥于N ，首先证明AEH EMG V :V ，则有13EH AE MG EM == ，设MG x =，则3EH x =，1DG AH x ==+，在Rt AEH V 中利用勾股定理求出x 的值，进而可求,,,EH BN CG EN 的长度，进而可求FN ，再利用勾股定理求出EF 的长度，最后利用cos FN EFC EF∠=即可求解．【详解】过点E 作//HG AD ，交AB 于H ，交CD 于G ，作EN BC ⊥于N ，则90AHG MGE ∠=∠=︒，∵四边形ABCD 是正方形，∴3,90AD AB ABC C D ==∠=∠=∠=︒ ，∴四边形AHGD,BHEN,ENCG 都是矩形．由折叠可得，90,3,1AEM D AE AD DM EM ∠=∠=︒====，90AEH MEG EMG MEG ∴∠+∠=∠+∠=︒ ，AEH EMG ∴∠=∠，AEH EMG ∴V :V ，13EH AE MG EM ∴== ．设MG x =，则3EH x =，1DG AH x ==+在Rt AEH V 中，222AH EH AE +=Q ，222(1)(3)3x x ∴++= ，解得45x =或1x =-（舍去）， 125EH BN ∴==，65CG CD DG EN =-== ． 1BF DM ==Q 175FN BF BN ∴=+=．在Rt EFN △ 中，由勾股定理得，2213EF EN FN =+=，17cos 1365FN EFC EF ∴∠==．故选：A ．【点睛】本题主要考查正方形，矩形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，锐角三角函数，能够作出辅助线是解题的关键．15．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=23，BC=2，以AB的中点为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为( )A．5342π-B．5342π+C．23π-D．432π-【答案】A【解析】【分析】连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为 H，则有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，利用∠A的正切值求出∠A=30°，继而可求得OH、AH长，根据圆周角定理可求得∠BOC =60°，然后根据S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD进行计算即可.【详解】连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为 H，则有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=23，BC=2，tan∠A=323BCAB==，∴∠A=30°，∴OH=12OA=3，AH=AO•cos∠A=3332⨯=，∠BOC=2∠A=60°，∴AD=2AH=3，∴S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD=()2603113232322360π⨯⨯⨯-⨯⨯-=5342π-，故选A.【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，扇形面积，解直角三角形等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.16．定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角A 的正对记作sadA ，即sadA =底边:腰.如图，在ABC ∆中，AB AC =，2A B ∠=∠.则sin B sadA ⋅=（）A ．12B ．2C ．1D ．2【答案】C【解析】【分析】证明△ABC 是等腰直角三角形即可解决问题．【详解】解：∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∵∠A=2∠B ，∴∠B=∠C=45°，∠A=90°，∴在Rt △ABC 中，BC=sin AC B ∠=2AC ， ∴sin ∠B •sadA=1AC BC BC AC=g , 故选：C ．【点睛】本题考查解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质三角函数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17．如图，在平面直角坐标系中，AOB ∆的顶点B 在第一象限，点A 在y 轴的正半轴上，2AO AB ==，120OAB ∠=o ，将AOB ∠绕点O 逆时针旋转90o ，点B 的对应点'B 的坐标是（）A ．3(23)2--B ．33(2222---C ．3(3,22--D ．(3)-【解析】【分析】过点'B 作x 轴的垂线，垂足为M ，通过条件求出'B M ，MO 的长即可得到'B 的坐标.【详解】解：过点'B 作x 轴的垂线，垂足为M ，∵2AO AB ==，120OAB ∠=︒，∴'''2A O A B ==，''120OA B ∠=︒，∴'0'6M B A ∠=︒，在直角△''A B M 中，3==22=B'M B'M 'sin B A M B '''A ∠ ， 1==22=A'M A'M 'cos B A M B '''A ∠， ∴'3B M =，'1A M =，∴OM=2+1=3，∴'B 的坐标为(3,3)-.故选：D.【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．18．如图，两根竹竿AB 和AD 斜靠在墙CE 上，量得60BAC ∠=︒，70DAC ∠=︒，则竹竿AB 与AD 的长度之比为（）．A ．2sin70︒B ．2cos70︒C ．2tan70︒D ．2tan 70︒【解析】【分析】直接利用锐角三角函数关系分别表示出AB，AD的长，即可得出答案．【详解】解：∵∠BAC=60°，∠DAC=70°，∴cos60°=1 2ACAB=，则AB=2AC，∴cos70°=ACAD，∴AC=AD•cos70°，AD=cos70AC︒，∴2cos70ACACABAD=︒=2cos70°．故选：B．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确表示出各边长是解题关键．19．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC＝2：1，且BE∥AC，CE∥DB，连接DE，则tan∠EDC＝（）A．14B．16C．26D．310【答案】B【解析】【分析】过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点G．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可判断四边形OBEC是菱形，则OE与BC垂直平分，易得EF=12x，CF=x．再由锐角三角函数定义作答即可．【详解】解：∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC＝2：1，∴BC＝AD，设AB＝2x，则BC＝x．如图，过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点G．∵BE∥AC，CE∥BD，∴四边形BOCE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OC，∴四边形BOCE是菱形．∴OE与BC垂直平分，∴EF＝12AD＝12x，OE∥AB，∴四边形AOEB是平行四边形，∴OE＝AB＝2x，∴CF＝12OE＝x．∴tan∠EDC＝EFDF＝122xx x+＝16．故选：B．【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及解直角三角形，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和菱形的判定与性质，属于中考常考题型．20．如图，已知圆O的内接六边形ABCDEF的边心距2OM=，则该圆的内接正三角形ACE的面积为（）A．2 B．4 C．63D．43【答案】D【解析】【分析】连接,OC OB，过O作ON CE⊥于N，证出COB∆是等边三角形，根据锐角三角函数的定义求解即可．【详解】解：如图所示，连接,OC OB ，过O 作ON CE ⊥于N ，∵多边形ABCDEF 是正六边形，∴60COB ∠=o ，∵OC OB =，∴COB ∆是等边三角形，∴60OCM ∠=o ，∴sin OM OC OCM =•∠， ∴43()sin 60OM OC cm ︒==． ∵30OCN ∠=o ， ∴123,22ON OC CN ===， ∴24CE CN ==， ∴该圆的内接正三角形ACE 的面积123344323=⨯⨯⨯=，故选：D ．【点睛】本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OC 是解决问题的关键．。

九年级下《锐角三角函数》专项训练含答案.docx

九年级下《锐角三角函数》专项训练含答案专训 1求锐角三角函数值的常用方法名师点金：锐角三角函数刻画了直角三角形中边和角之间的关系，对于斜三角形，要把它转化为直角三角形求解．在求锐角的三角函数值时，首先要明确是求锐角的正弦值，余弦值还是正切值，其次要弄清是哪两条边的比．直接用锐角三角函数的定义1．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若CD＝5，AC＝6，(第 1 题)则 tan B 的值是 ()43A.5B.534C.4D.32．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠3BAD ＝4，求 sin C 的值．(第 2 题)133．如图，直线y＝2x＋2与x轴交于点A，与直线y＝2x交于点B.(1)求点 B 的坐标；(2)求 sin∠BAO 的值．(第 3 题)利用同角或互余两角三角函数间的关系．若∠A 为锐角，且sin A＝3，则 cos A＝ ()42321 A．1 B. 2 C. 2 D.2125．若α为锐角，且cosα＝13，则sin(90°－α)＝()512512A.13B.13C.12D. 56．若α为锐角，且sin2α＋cos230°＝1，则α＝______．巧设参数47．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝5，则tan B的值为()4334A.3B.4C.5D.58．已知，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c，且a，b，c 满足 b2＝ (c＋a)(c－a)．若 5b－ 4c＝0，求 sin A＋sin B 的值．利用等角来替换9．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB的中线，过点A 作AE ⊥CD，AE 分别与 CD， CB 相交于点 H，E 且 AH ＝2CH，求 sin B 的值．(第 9 题)专训 2同角或互余两角的三角函数关系的应用名师点金：2α＝1，tan α＝sinα．同角三角函数关系：21sinα＋cos.cos α2．互余两角的三角函数关系： sin α＝cos(90 °－α)，cos α＝sin(90 °－α)，tan α·tan(90 °－α)＝1.同角间的三角函数的应用sin A＝4，求sin A －3cos A1．已知cos A4sin A ＋cos A的值．22．若α为锐角，sinα－cosα＝2，求sinα＋cosα的值．余角的三角函数的用3．若45°－α和45°＋α均角，下列关系式正确的是()A．sin(45 °－α)＝sin(45 °＋α)22B．sin (45 °－α)＋cos (45 °＋α)＝122C．sin (45 °－α)＋sin (45 °＋α)＝122D．cos (45 °－α)＋sin (45 °＋α)＝14．算tan 1°·tan 2°·tan 3°·⋯·tan 88°·tan 89°的．同角的三角函数的关系在一元二次方程中的用125．已知sinα·cosα＝25(α 角)，求一个一元二次方程，使其两根分sin α和 cos α.26 ．已知α角且sinα 是方程2x － 7x ＋ 3 ＝ 0 的一个根，求3用三角函数解与有关名点金：用三角函数解与有关的，是近几年中考命内容，型多化；一般以中档、形式出，高度重．一、1．如，已知△ABC的外接⊙O的半径3，AC＝4，sin B＝() 1342A.3B.4C.5D.3(第 1 )(第 2 )2．如是以△ABC的AB直径的半O，点C恰好在半上，C作CD ⊥AB 交 AB于D，已知∠ACD＝3，BC＝4， AC 的 ()cos52016A．1 B. 3C．3 D. 343．在△ABC中， AB ＝ AC ＝5，sin B＝ 5.⊙O 过B，C 两点，且⊙O 半径r ＝10，则OA的长为 ()A．3 或5B． 5C．4 或 5D． 44．如图，在半径为 6 cm 的⊙ O 中，点 A 是劣弧 BC 的中点，点 D 是优弧BC 上一点，且∠ D＝30°.下列四个结论：(第 4 题)①OA⊥BC；②BC＝6 3 cm；3③sin∠AOB ＝2；④四边形 ABOC 是菱形．其中正确结论的序号是 ()A．①③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④二、填空题5．如图，AB是⊙O的直径，AB＝15，AC＝9，则tan∠ADC＝________.(第 5 题)(第 6 题)6．如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME＝EF且EF∥MN，则cos E＝________.7．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，点C是优弧AB上的一点(不与A， B 重合 )，则 cos C 的值为 ________．(第 7 题)(第 8 题)8．如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BC∥OA，⊙P分别与 OA ，OC， BC 相切于点 E，D， B，与 AB 交于点 F，已知 A(2 ，0)， B(1，2)，则 tan∠FDE＝________.三、解答题19．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，tan B＝2，半径为 2 的⊙ C 分别交 AC ，BC 于点 D， E，得到 .(1)求证： AB 为⊙ C 的切线；(2)求图中阴影部分的面积．(第 9 题)10．如图，AB是⊙O的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB.(1)求证： AT 是⊙ O 的切线；(2)连接 OT 交⊙ O 于点 C，连接 AC ，求 tan∠TAC 的值．(第 10 题 )11.如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD 且与 AC 的延长线交于点 E.(1)求证： DC＝DE；1(2)若 tan∠CAB ＝2，AB ＝3，求 BD 的长．(第 11 题 )12．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其他两边AC，BC的交点分别为 D， E，且＝ .(1)试判断△ ABC 的形状，并说明理由；(2)已知半圆的半径为5，BC＝12，求 sin∠ABD 的值．(第 12 题 )13．如图，在四边形 ABCD 中，AB ＝AD ，对角线 AC ，BD 交于点 E ，点 O3在线段 AE 上，⊙ O 过 B ， D 两点，若 OC ＝ 5， OB ＝ 3，且 cos ∠BOE ＝5.求证： CB 是⊙ O 的切线．(第 13 题 )答案专训 1 1．CBD2．解： ∵AD ⊥BC ，∴ tan ∠BAD ＝AD .∵ t an ∠BAD ＝34，AD ＝12，∴34＝BD12 ，∴ BD ＝ 9. ∴CD ＝BC －BD ＝ 14－ 9＝5，∴在 Rt △ADC 中， AC ＝ AD 2＋CD 2＝ 122＋ 52＝13，AD 12∴sin C ＝AC ＝13.13y ＝ x ＋，x ＝1，3．解： (1)解方程组2 2得y ＝2x ，∴点 B 的坐标为 (1， 2)．(第 3 题)13(2)如图，过点 B 作 BC ⊥x 轴于点 C ，由 2x ＋ 2＝ 0，解得 x ＝－ 3，则 A( －3，0)，∴ OA ＝3， ∴AB ＝ AC 2＋BC 2＝2 5，∴ sin ∠ BAC ＝BC＝ 2 ＝ 5， AB2 5 55即 sin ∠BAO ＝ 5 .4．D 5.B 6.30° 7.B8．解： ∵b 2＝(c ＋ a)(c －a)，∴ b 2 ＝c 2－a 2，即 c 2＝a 2＋b 2，∴△ ABC 是直角三角形．∵5b －4c ＝0，∴ 5b ＝4c ，则bc ＝45，设 b ＝ 4k ，c ＝5k ，那么 a ＝ 3k.3k 4k 7∴sin A ＋sin B ＝ 5k ＋5k ＝ 5.9．解： ∵CD 是斜边 AB 的中线， ∴CD ＝AD ＝ BD. ∴∠ DCB ＝∠ B.∵∠ ACD ＋∠ DCB ＝90°，∠ ACD ＋∠ CAH ＝90°， ∴∠ DCB ＝∠ CAH ＝∠ B.在 Rt △ACH 中， AH ＝ 2CH ，CH5∴AC ＝ 5CH.∴sin B ＝sin ∠CAH ＝5CH ＝ 5 .专训 2sin Acos A ， 1．分析：本题可利用 cos A 求解，在原式的分子、分母上同时除以sin Asin A＝ 4，把原式化为关于 cos A 的代数式，再整体代入求解即可．也可直接由cos A 得到 sin A 与 cos A 之间的数量关系，代入式子中求值．sin A －3解： (方法 1)原式＝（sin A －3cos A ）÷cos A ＝ cos A （4sin A ＋cos A ）÷cos A 4sin A .＋1cos A sin A4－ 3 1∵cos A ＝ 4，∴原式＝ × ＋＝ 17.441方法 sin A＝4，∴ sin A ＝4cos A.(2)∵ cos A4cos A － 3cos A cos A1＝17cos A＝17.∴原式＝4×4cos A＋cos A2．分析：要求 sin α＋cos α的，必利用角三角函数之的关系找出它与已知条件的关系再求解．解： ∵sin α－ cos α＝ 2 2 12 ，∴ (sin α－cos α)＝2，即 sin 2α＋ cos 2α－ 2sin αcos α＝12.11∴1－2sin αcos α＝2，即 2sin αcos α＝2.2221 3α＋ 2sin αcos α＝1＋2＝ 2.∴(sin α＋cos α)＝sin α＋cos 又∵ α 角，∴ sin α＋cos α＞0.∴ s in α＋cos α＝ 26.3．C 点： ∵(45 °－α)＋(45 °＋α)＝90°，∴ sin (45 °－ α)＝cos (45 °＋α)， sin 2(45 °－α)＋sin 2(45 °＋ α)＝cos 2(45 °＋α)＋sin 2(45 °＋α)＝1.4．解： tan 1°·tan 2°·tan 3°·⋯·tan 88°·tan 89°＝ (tan 1°·tan 89°)·(tan 2°·tan88°)·⋯·(tan 44 °·tan 46 °)·tan 45 °＝1.点：互余的两角的正切的 1，即若 α＋β＝ 90°， tan α·tan β＝ 1.5．解： ∵sin 2α＋ cos 2α＝1，sin α·cos α＝1225，2 2 21249∴(sin α＋cos α)＝sin α＋cos α＋ 2sin αcos α＝1＋2× 25＝25.7∵α 角，∴ sin α＋ cos α＞ 0.∴sin α＋cos α＝5.又∵ sin α·cos α＝1225，2 712∴以 sin α， cos α 根的一元二次方程x － 5x ＋25＝0.点：此用到两方面的知： (1)公式 sin 2α＋cos 2α＝1 与完全平方公式的合运用； (2)若 x 1＋x 2 ＝p ，x 1x 2＝ q ，以 x 1 ，x 2 两根的一元二次方程 x 2 － px ＋q ＝026．解： ∵sin α是方程 2x －7x ＋ 3＝ 0 的一个根，－（－ 7） ± （－ 7）2－ 4× 2× 37±5 sin α＝2× 2＝ 4.∴sin α＝1或 sin α＝3(不符合意，舍去 )．22221 2 3∵sin α＋cos α＝ 1，∴ cos α＝1－ 2 ＝4.3又∵ cos α＞ 0，∴ cos α＝ 2 .∴ 1－2sin αcos α＝ sin 2α＋cos 2α－ 2sin αcos α＝21 33－ 1（sin α－cos α）＝|sin α－cos α|＝ 2－2 ＝2 .专训 3 一、 1.D2．D 点拨：∵AB 为直径， ∴∠ ACB ＝ 90°.又∵ CD ⊥ AB ，∴∠ B ＝∠ ACD.BC 3 20 2 2 16∴ cos B ＝AB ＝5，∴ AB ＝3 .∴AC ＝ AB －BC ＝ 3 .3．A 4.B3 141二、 5.4 6.2 7.5 8.2三、(第 9 题)AC9．(1)证明：如图，过点 C 作 CF ⊥AB 于点 F ，在 Rt △ABC 中， tan B ＝BC＝12，∴ BC ＝2AC ＝ 2 5.∴ AB ＝ AC 2＋BC 2＝（ 5）2＋（ 2 5）2＝ 5，∴ CF· 5×2 5＝ AC BC＝＝2.∴ AB 为⊙ C 的切线．AB 51 n πr2 1 90π× 22(2)解： S 阴影＝S △ABC －S 扇形 CDE ＝2AC ·BC － 360 ＝2× 5× 2 5－ 360 ＝5－ π.10． (1)证明： ∵ AB ＝AT ，∴∠ ABT ＝∠ ATB ＝ 45°，∴∠ BAT ＝90°，即 AT 为⊙ O 的切线．AT(2)解：如图，过点 C 作 CD ⊥AB 于 D ，则∠ TAC ＝∠ ACD ，tan ∠ TOA ＝ AO＝ CD OD ＝ 2，设 OD ＝x ，则 CD ＝ 2x ，OC ＝ 5x ＝ OA. ∵AD ＝AO － OD ＝( 5－1)x ，∴ tan ∠TAC ＝tan ∠ACD ＝AD（ 5－1）x＝5－1＝2x2 .CD(第 10 题 )(第 11 题 )11． (1)证明：连接 OC ，如图，∵ CD 是⊙ O 的切线，∴∠ OCD ＝ 90°，∴∠ ACO ＋∠ DCE ＝ 90°.又∵ ED ⊥ AD ，∴∠ EDA ＝90°，∴∠ EAD ＋∠ E ＝90°.∵OC ＝OA ，∴∠ ACO ＝∠ EAD ，故∠ DCE ＝∠ E ，∴ DC ＝DE.(2)解：设 BD ＝x ，则 AD ＝AB ＋BD ＝3＋x ，OD ＝OB ＋ BD ＝ 1.5＋ x.在 Rt1 1 1 1△ EAD 中，∵tan ∠CAB ＝2，∴ED ＝2AD ＝ 2(3＋ x) ．由(1)知，DC ＝2(3＋x)．在Rt △ OCD 中，OC 2＋CD 2＝DO 2，则 1.52＋ 1（ 3＋ x ） 2 ＝(1.5＋x)2，解得 x 1＝－23(舍去 )， x 2＝1，故 BD ＝1.12．解： (1)△ABC 为等腰三角形，理由如下：连接 AE ，如图， ∵＝，∴∠ DAE ＝∠ BAE ，即 AE 平分∠ BAC. ∵AB 为直径，∴∠ AEB ＝90°，∴ AE ⊥ BC ， ∴△ ABC 为等腰三角形．(2)∵△ ABC 为等腰三角形， AE ⊥BC ，1 1∴BE ＝CE ＝ 2BC ＝2×12＝ 6.在 Rt △ABE 中，∵ AB ＝10， BE ＝ 6，∴ AE ＝ 102－62＝8.∵AB 为直径，∴∠ ADB ＝90°，∴S △ABC＝ 1 · ＝1· ，∴BD ＝ 8×12＝ 482AE BC 2BD AC10 5 .在 Rt △ABD 中，∵ AB ＝10，BD ＝485，142 2 14AD 5 7 ∴AD ＝AB －BD ＝ 5 ，∴ sin ∠ABD ＝AB＝10＝25.(第 12 题 )(第 13 题 )13．证明：如图，连接 OD ，可得 OB ＝ OD. ∵AB ＝AD ，∴ AE 垂直平分 BD.3 9在 Rt △BOE 中， OB ＝ 3， cos ∠BOE ＝ 5，∴ OE ＝ 5.16 ∴CE ＝OC －OE ＝ 5 .2212根据勾股定理得 BE ＝ BO －OE ＝ 5.在 Rt △CEB 中， BC ＝ CE 2＋BE 2＝4.∵OB ＝3， BC ＝ 4，OC ＝ 5，∴ OB 2＋BC 2 ＝OC 2， ∴∠ OBC ＝ 90°，即 BC ⊥OB ，∴ CB 为⊙ O 的切线．。

锐角三角函数知识点及试题(含答案)

锐角三角函数一．知识框架二．知识概念1.Rt △ABC 中(1)∠A 的对边与斜边的比值是∠A 的正弦，记作sinA ＝∠A 的对边斜边(2)∠A 的邻边与斜边的比值是∠A 的余弦，记作cosA ＝∠A 的邻边斜边(3)∠A 的对边与邻边的比值是∠A 的正切，记作tanA ＝∠A 的对边∠A 的邻边(4)∠A 的邻边与对边的比值是∠A 的余切，记作cota ＝ ∠A 的邻边∠A 的对边2.特殊值的三角函数：锐角三角函数（1）基础扫描1. 求出下图中sinD ，sinE 的值．2．把Rt △ABC 各边的长度都扩大2倍得Rt △A ′B ′C ′，那么锐角A 、A ′的正弦值的关系为（）．A ． sinA ＝sinA ′B ． sinA ＝2sinA ′C ． 2sinA ＝sinA ′D ．不能确定3．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，若AB ＝5，AC ＝4，则sinB 的值是（）A ． 35B ． 45． 34 D ． 434．如图，△ABC 中，AB=25，BC=7，CA=24．求sinA 的值．25247CBA5．计算：sin30°·sin 60°+sin45°．能力拓展6．如图，B 是线段AC 的中点，过点C 的直线l 与AC 成60°的角，在直线上取一点P ，连接AP 、PB ，使sin ∠APB=12，则满足条件的点P 的个数是（）A 1个B 2个C 3个D 不存在7．如图，△ABC 中，∠A 是锐角，求证：1sin 2A B C S A B A C A∆=⋅⋅8．等腰△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，求sinA 、sinB ．lCBA （第7题图）85F E D创新学习9. 如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则sin ∠BAC 等于（） A ．3B．5C ．5．13答案或提示1．8989sin sin ,DE ==2．A 3．B 4．证明：由2225625AB ==，22749BC ==，2224576CA ==，得222AB BC CA=+ ∴又∠C=90°，∴7sin 25B C A A B==．5．原式=12224⨯+=． 6． B7．证明：作CD ⊥AB 于D ，则CD=AC ·sinA ∴ 1122sin A B C A B C D A B A C AS ∆==8．解：如图，作AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ∵ AB=AC ∴ BD=12BC=3 ∴4=∴ 4sin 5A DA B C A B ∠== 由1122ABCBC AD AC BES ∆==得 642455B C A D B E A C ⋅⨯===∴24sin 25B E B AC A B∠==9．B锐角三角函数（2）基础扫描1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，若b=3a ，则tanA= ．2．在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝4，c ＝4，则a ＝_______．3．如果a ∠是等腰直角三角形的一个锐角，则cos α的值是（）Ａ．122Ｃ．14．如图，P 是∠α的边OA 上一点，且P 点坐标为（2，3），则sin α=_______，cos α=_________，tan α=______ _．5．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，若AC =AB =，则tan ∠ACD 的值为（）ED C BA6．已知α是锐角，且cos α=34，求sin α、tan α的值．能力拓展7．若α为锐角，试证明：sin tan cos ααα=．8．如图，在Rt △ABC 中，CD 、CE 分别为斜边AB 上的高和中线，BC=a ，AC=b （b ＞a ），若tan ∠DCE=12，求a b的值．创新学习9．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，D 为CA 上一点，∠DBC=30°，DA=3，AB=，试求cosA 与tanA的值．答案或提示 1． 132．． B 4．1313，325． A6．解：如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，设∠A=α， ∵ 3cos 4A C A Bα==∴设AC=3k ，AB=4k （k ＞0），则k ． ∴sin tan 43BC ABαα===．baE D CBA （第8题图）C BAD CBA7．证明：如图，R t A B C ∆中，∠C=90°，设∠A=α，则sin ,cos B C A C A BA Bαα== ∴sin cos B C A Cαα=又 ∵ tan B C A Cα= ∴sin tan cos ααα=.8．解：如图，∵1tan 2D E D C E D C∠==，∴设 DE=k ，DC=2k （k ＞0）则CE =. 又CE 是Rt △ABC 斜边上的中线 ∴∴1),BD k =∴tan 2BD BC D C D∠==∵ A B C D ∠=∠ ∴tan tan A B C D ∠=∠∴12a b -=9．解：在Rt △DBC 中，∠C=90°，∠DBC=30°，∴tan 3D C D BC BC∠==∴可设DC=k ，BC=（k ＞0）．在Rt △ABC 中，由勾股定理知：222BC CA AB +=．∴)()22319k ++=．整理得()()2510k k +-=．∴k=1． ∴CA=4．∴cos tan 194A A ==．锐角三角函数（3）基础扫描 1．已知sin α12=，则锐角α= 度．2．若tan 1α=，则2cos α= ．3．计算tan 60452cos 30+- 的结果是（）A ．2 B．C ．1D．13-．4．如图，已知等腰梯形ABCD 中，A B ∥CD ，∠A=60°，AB=10，CD=3，则此梯形的周长为（）A ． 25B ． 26C ． 27D ． 28．5．计算：（1）计算：()013sin 452007tan 30--+-D CCBAbaE D CBA CBAD(2) 先化简，再求值:()2221x x xx+-÷+1，其中，tan 60x = ．(3)已知tanA=2．236，用计算器求锐角A （精确到1度）．能力拓展6．如图，小明利用一个含60°角的直角三角板测量一栋楼的高度，已知他与楼之间的水平距离BD 为10m ，眼高AB 为1.6m （即小明的眼睛距地面的距离），那么这栋楼的高是（） A ．（8105）m B ．21.6m C ．．835⎛⎫+⎪⎪⎝⎭m7．如图，已知AB 是半圆O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P ，若∠DPB=α，那么C D A B等于（）A ．sin αB ．COS αC ．tan αD ．1tan α8．如图，⊙O 的半径为3，弦AB 的长为5．求cosA 的值．ED CBA第6题图BAO 第7题图创新学习9．如图，∠C=90°，∠DBC=45°，AB=DB ，利用此图求tan22．5°的值．答案或提示 1．30 2．123．C 4．C 5．（1）．原式=111223-+=（2）原式=()()()()221111111xx x x x x x x x +-+=-+=-++ ．当tan 60x ===214-=-（3）∠A ≈66°6． A 7． B8．解：作OC ⊥AB ，垂足为C ．则1522A C AB ==．∴5cos 6A C A O A ==．9．解:∵∠C=90°，∠DBC=45°，且AB=DB ， ∴∠A=∠ADB=12∠DBC=22．5°设DC=1，则BC=1，∴tanA=1DC AC==-，∴tan22．51．。

九年级数学锐角三角函数(带答案)[1]

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锐角三角函数与解直角三角形【考纲要求】1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法,运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现； 2。

命题的热点为根据题中给出的信息构建图形,建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题。

【知识网络】【考点梳理】考点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt △ABC 中,∠C ＝90°,∠A 所对的边BC 记为a,叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边,直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作sinA,即sin A aA c ∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A bA c∠==的邻边斜边；BCa bc锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA，即tanA a AA b∠==∠的对边的邻边.同理sinB bBc∠==的对边斜边；cosB aBc∠==的邻边斜边;tanB bBB a∠==∠的对边的邻边．要点诠释：（1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系,是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号,是一个整体,不能写成，，，不能理解成sin与∠A,cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角（如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”;另外，、、常写成、、．（3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时,,，tanA＞0．考点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下：要点诠释:（1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如:若，则锐角．（2)仔细研究表中数值的规律会发现：sin0︒、、、、sin90︒的值依次为0、、、、1，而cos0︒、、、、cos90︒的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小）而增大(或减小)②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小（或增大)．考点三、锐角三角函数之间的关系如图所示,在Rt△ABC中，∠C=90°．（1)互余关系:，；(2)平方关系：；(3）倒数关系：或；（4）商数关系：．要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中,计算时巧用这些关系式可使运算简便．考点四、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素（直角除外）求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有:①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，,，，，.④,h为斜边上的高.要点诠释:(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°），是已知的值。

初中数学锐角三角函数的技巧及练习题附答案

A．3B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据同角的余角相等求出∠ADE=∠ACD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠ACD，然后求出AC．
【详解】
解：∵DE⊥AC，
∴∠ADE+∠CAD=90°，
∵∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠ACD=∠ADE=α，
∵矩形ABCD的对边AB∥CD，
【答案】B
【解析】
【分析】
画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可.
【详解】
如图，∠C＝90°，∠A＝α，BC＝a，
∵cotα ，
∴AC＝BC•cotα＝a•cotα，
故选：B．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义的应用，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比；余弦是角的邻边与斜边的比；正切是对边与邻边的比；余切是邻边与对边的比；熟练掌握三角函数的定义是解题关键.
12．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，点B的坐标是（0，4），点D的坐标是（8 ，4），点M和点N是两个动点，其中点M从点B出发，沿BA以每秒2个单位长度的速度做匀速运动，到点A后停止，同时点N从点B出发，沿折线BC→CD以每秒4个单位长度的速度做匀速运动，如果其中一个点停止运动，则另一点也停止运动，设M，N两点的运动时间为x，△BMN的面积为y，下列图象中能表示y与x的函数关系的图象大致是（）
过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，通过解直角三角形可求出BM，AM，CN，DE的长，再结合CD＝CN＋EN−DE即可求出结论．
【详解】
解：过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，如图所示．
在Rt△ABE中，AB＝10米，∠BAM＝30°，

九年级中考数学锐角三角函数解答题压轴题提高专题练习附详细答案.doc

九年级中考数学锐角三角函数解答题压轴题提高专题练习附详细答案一、锐角三角函数1．如图，某无人机于空中 A 处探测到目标 B 、D 的俯角分别是 30 、60 ,此时无人机的飞行高度 AC 为 60m ，随后无人机从 A 处继续水平飞行 30 3 m 到达 A ' 处 .（1）求之间的距离（2）求从无人机A ' 上看目标的俯角的正切值.【答案】（ 1） 120 米；（ 2）23.5【解析】【分析】（1）解直角三角形即可得到结论；（2）过 A ' 作 A ' EBC 交 BC 的延长线于 E ，连接 A' D ，于是得到 A 'E AC 60 ，CE AA' 30 3 ，在 Rt △ ABC 中，求得 DC=3AC=203 ，然后根据三角函数的定义3即可得到结论．【详解】解：（ 1）由题意得： ∠ ABD=30°， ∠ADC=60°，在 Rt △ ABC 中， AC=60m ，60AC= 1 =120（ m ） AB=sin302（2）过 A '作 A ' EBC 交 BC 的延长线于 E ，连接 A' D ，则 A' E AC 60 ， CE AA'30 3 ，在 Rt △ ABC 中， AC=60m ， ∠ ADC=60°，DC=3AC=20 33DE=50 3tan ∠ A A ' D= tan ∠ A' DC=A ' E=602 3=DE50 3 5答：从无人机 A ' 上看目标 D 的俯角的正切值是23 ．5【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键.2．如图，海上观察哨所 B 位于观察哨所 A 正北方向，距离为 25 海里．在某时刻，哨所 A 与哨所 B 同时发现一走私船，其位置 C 位于哨所 A 北偏东 53°的方向上，位于哨所 B 南偏东 37°的方向上．（ 1）求观察哨所 A 与走私船所在的位置 C 的距离；（ 2）若观察哨所 A 发现走私船从 C 处以 16 海里 / 小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东 76°的方向前去拦截．求缉私艇的速度为多少时，恰好在D 处成功拦截．（结果保留根号）（参考数据： sin37 °＝ cos53°≈，cos37 ＝sin53 °≈去， tan37 °≈2，tan76 °≈）【答案】（ 1）观察哨所A 与走私船所在的位置 C 的距离为 15 海里；（ 2）当缉私艇以每小时6 17 海里的速度行驶时，恰好在 D 处成功拦截 .【解析】【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出 ∠ ACB ＝90°，再解 Rt △ ABC ，利用正弦函数定义得出AC 即可；（2）过点 C 作 CM ⊥AB 于点 M ，易知， D 、 C 、 M 在一条直线上．解Rt △ AMC ，求出CM 、 AM ．解 Rt △ AMD 中，求出 DM 、 AD ，得出 CD ．设缉私艇的速度为 x 海里 / 小时，根据走私船行驶 CD 所用的时间等于缉私艇行驶 AD 所用的时间列出方程，解方程即可．【详解】（1）在 △ ABC 中， ACB 180 B BAC 180 37 53 90 . 在 RtVABC 中， sin BAC，所以 ACAB sin 37 253 15 （海里） .AB5答：观察哨所 A 与走私船所在的位置C 的距离为 15 海里 .（2）过点 C 作 CM AB ，垂足为 M ，由题意易知， D 、 C 、 M 在一条直线上 . 在 RtVACM 中， CMAC sin CAM15 412 ，5AM AC cos CAM39 .155在 Rt △ ADM 中， tan DAMMD，AM所以 MD AM tan7636.所以 ADAM2MD2923629 17， CD MDMC 24 .设缉私艇的速度为 v 海里 / 小时，则有24 9 17，解得 v6 17 .16v经检验， v6 17 是原方程的解 .答：当缉私艇以每小时 6 17 海里的速度行驶时，恰好在 D 处成功拦截 .【点睛】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．3．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏时，感觉最舒适（如图 1），侧面示意图为图OB 与底板 OA 所在水平线的夹角为 120 ° 2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架 ACO ＇后，电脑转到AO ＇ B ＇位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA=OB=24cm ，O ＇ C ⊥ OA 于点 C ， O ＇ C=12cm ．（ 1）求 ∠ CAO ＇的度数．（ 2）显示屏的顶部 B ＇比原来升高了多少？（ 3）如图 4，垫入散热架后，要使显示屏O ＇B ＇与水平线的夹角仍保持 120°，则显示屏O ＇ B ＇应绕点 O ＇按顺时针方向旋转多少度？【答案】（ 1 ） ∠ CAO ′=30° 2 36 ﹣ 12 ） cm ；（ 3）显示屏 O ′B ′ O ′ ；（）（应绕点按顺时针方向旋转 30°．【解析】试题分析：（ 1）通过解直角三角形即可得到结果；（2）过点 B 作 BD⊥ AO 交 AO 的延长线于D，通过解直角三角形求得BD=OBsin∠ BOD=24×=12 ，由 C、 O′、B′三点共线可得结果；（3）显示屏 O′B应′绕点 O′按顺时针方向旋转30°，求得∠ EO′B′=∠ FO′A=30，°既是显示屏O′应B′绕点 O′按顺时针方向旋转30°．试题解析：（ 1）∵ O′C⊥ OA 于 C， OA=OB=24cm，∴sin∠ CAO′=，∴∠ CAO′ =30；°（2）过点 B 作 BD⊥ AO 交 AO 的延长线于D，∵sin∠ BOD=，∴BD=OBsin∠BOD，∵∠ AOB=120 ，°∴∠BOD=60 ，°∴ BD=OBsin∠ BOD=24 ×=12，∵O′C⊥OA，∠CAO′ =30，°∴∠ AO′ C=60，∵°∠ AO′ B′ =120，∴∠°AO′ B∠′+AO′ C=180，°∴O′ B′ ﹣+OBD=24+12′C﹣ 12=36﹣12，∴显示屏的顶部B′比原来升高了（36﹣ 12）cm；（3）显示屏O′B应′绕点O′按顺时针方向旋转30°，理由：∵显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°，∴∠ EO′ F=120，°∴∠ FO′ ∠A=CAO′ =30，°∵∠ AO′ B′ =120，°∴∠EO′ B∠′=FO′ A=30，°∴显示屏 O′应B′绕点 O′按顺时针方向旋转 30 °．考点：解直角三角形的应用；旋转的性质．4．在正方形ABCD中，对角线AC， BD 交于点 O，点 P 在线段 BC上（不含点B），1∠BPE=∠ ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥ PE，垂足为F，交 AC 于点 G．2（1）当点 P 与点 C 重合时（如图1）．求证：△ BOG≌ △ POE；（2）通过观察、测量、猜想：BF，并结合图 2 证明你的猜想；=PE（3）把正方形 ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3），若∠ ACB=α，求BF的PE值．（用含α的式子表示）【答案】（ 1）证明见解析（2）BF1 （ 3）BF 1tan PE 2 PE 2【解析】解：（ 1）证明：∵四边形 ABCD是正方形， P 与 C 重合，∴O B="OP" ，∠ BOC=∠ BOG=90 ．°∵P F⊥ BG ，∠ PFB=90，°∴∠GBO=90 —°∠BGO，∠ EPO=90 —°∠BGO．∴∠ GBO=∠ EPO ．∴ △ BOG≌ △ POE（ AAS）．（2）BF1 ．证明如下：PE 2如图，过P 作 PM//AC 交 BG 于 M ，交 BO 于 N，∴∠ PNE=∠ BOC=900，∠ BPN=∠ OCB．∵∠ OBC=∠ OCB =450，∴ ∠ NBP=∠NPB．∴NB=NP．00∵∠ MBN=90 —∠BMN ，∠ NPE=90 —∠ BMN ，∴ ∠MBN=∠ NPE．1∵∠ BPE=∠ ACB，∠ BPN=∠ ACB，∴ ∠ BPF=∠ MPF．2∵P F⊥ BM，∴ ∠ BFP=∠ MFP=900．又∵ PF=PF，∴ △BPF≌ △ MPF（ ASA）．∴ BF="MF" ，即 BF= 1BM．21 BF 1 ∴BF= PE ，即PE．22（ 3）如图，过 P 作 PM//AC 交 BG 于点 M ，交 BO 于点 N ，∴∠ BPN=∠ ACB= α， ∠ PNE=∠BOC=900．由（ 2）同理可得 BF=1BM ， ∠ MBN=∠EPN ．2∵∠ BNM=∠ PNE=900， ∴△ BMN ∽ △ PEN ．BM BN∴．PEPNBN BM，即2BF 在 Rt △ BNP 中， tan =， ∴= tan= tan ．PNPEPE∴BF = 1tan ．PE 2（ 1）由正方形的性质可由 AAS 证得 △ BOG ≌ △ POE ．（ 2）过 P 作 PM//AC 交 BG 于 M ，交 BO 于 N ，通过 ASA 证明 △ BMN ≌ △ PEN 得到BF 1BM=PE ，通过 ASA 证明 △ BPF ≌ △ MPF 得到 BF=MF ，即可得出的结论．PE 2（ 3）过 P 作 PM//AC 交 BG 于点 M ，交 BO 于点 N ，同（ 2）证得 BF= 1BM ，2∠MBN=∠ EPN ，从而可证得 △BMN ∽△ PEN ，由BM BN和 Rt △ BNP 中 tan =BN即PEPNPN可求得BF = 1tan ．PE 25．如图，平台 AB 高为 12m ，在角为 30°，求楼房 CD 的高度（B 处测得楼房 3 ＝ 1． 7）．CD 顶部点D 的仰角为45°，底部点C 的俯【答案】 32．4 米．【解析】试题分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解．试题解析：如图，过点 B 作 BE⊥CD 于点 E，根据题意，∠ DBE=45°，∠ CBE=30°．∵AB⊥ AC， CD⊥ AC，∴四边形 ABEC为矩形，∴C E=AB=12m，在Rt△ CBE中， cot ∠ CBE=BE，CE∴BE=CE?cot30 ° =12 ×，3 =12 3在Rt△ BDE中，由∠DBE=45°，得 DE=BE=12 3．∴CD=CE+DE=12（ 3 +1）≈32.．4答：楼房CD 的高度约为32.4m ．考点：解直角三角形的应用——仰角俯角问题．6．如图（ 1），在平面直角坐标系中，点A（0，﹣ 6），点 B（6， 0）． Rt△ CDE中，∠C DE=90 ，°CD=4， DE=4 ，直角边 CD 在 y 轴上，且点 C 与点 A 重合． Rt△CDE沿 y 轴正方向平行移动，当点 C 运动到点 O 时停止运动．解答下列问题：（1）如图（ 2），当 Rt△ CDE运动到点 D 与点 O 重合时，设 CE交 AB 于点 M，求∠ BME的度数．（2）如图（ 3），在 Rt△ CDE的运动过程中，当CE经过点 B 时，求 BC的长．（3）在 Rt△CDE的运动过程中，设AC=h，△ OAB 与△ CDE的重叠部分的面积为S 与 h 之间的函数关系式，并求出面积S 的最大值．S，请写出【答案】（ 1）∠ BME=15°；（2BC=4；（3） h≤2时， S=﹣h2+4h+8，当h≥2时， S=18﹣ 3h．【解析】试题分析：（ 1）如图 2，由对顶角的定义知，∠ BME=∠ CMA，要求∠ BME 的度数，需先求出∠ CMA 的度数．根据三角形外角的定理进行解答即可；（2）如图 3，由已知可知∠ OBC=∠ DEC=30°，又 OB=6，通过解直角△ BOC就可求出 BC 的长度；（3）需要分类讨论：①h≤2时，如图 4，作 MN ⊥y 轴交 y 轴于点 N，作 MF⊥ DE 交 DE于点F，S=S△EDC﹣ S△EFM；② 当 h≥2时，如图 3，S=S△OBC．试题解析：解：（ 1）如图 2，∵在平面直角坐标系中，点A（ 0，﹣ 6），点B（ 6， 0）．∴OA=OB，∴∠ OAB=45 ，°∵∠ CDE=90 ，°CD=4，DE=4 ，∴∠ OCE=60 ，°∴∠ CMA=∠ OCE﹣∠ OAB=60 ﹣°45 °=15 ，°∴∠ BME=∠CMA=15 °；如图 3，∵∠ CDE=90 ，°CD=4，DE=4 ∴∠ OBC=∠ DEC=30 ，°∵OB=6，∴BC=4；（3）①h≤2时，如图4，作，MN⊥ y 轴交y 轴于点N，作MF⊥ DE 交DE 于点F，∵C D=4， DE=4 ， AC=h，AN=NM ，∴C N=4﹣ FM， AN=MN=4+h ﹣FM，∵△ CMN∽ △ CED，∴，∴，解得 FM=4﹣，△EDC S△ EFM=× 4×4﹣（4 4 h × 4﹣= h 2∴S=S ﹣﹣）（）﹣+4h+8，②如图 3，当 h≥2时，S=S△OBC=OC× OB= （ 6﹣h ）× 6=18﹣ 3h．考点： 1、三角形的外角定理；2、相似； 3、解直角三角形7．如图，在矩形 ABCD中， AB＝ 6cm ，AD＝ 8cm，连接 BD，将△ABD 绕 B 点作顺时针方向旋转得到△A′B′D′（ B′与 B 重合），且点 D′刚好落在 BC 的延长上， A′D′与 CD相交于点 E．（1）求矩形 ABCD与△ A′B′D′重叠部分（如图 1 中阴影部分 A′B′CE）的面积；（2）将△ A′B′D′以每秒 2cm 的速度沿直线 BC 向右平移，如图 2 ，当 B′移动到 C 点时停止移动．设矩形ABCD与△ A′B′D′重叠部分的面积为y，移动的时间为x，请你直接写出 y 关于 x的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围；（3）在（ 2）的平移过程中，是否存在这样的时间x，使得△ AA′B′成为等腰三角形？若存在，请你直接写出对应的x 的值，若不存在，请你说明理由．【答案】（ 1）45；（ 2）详见解析；（ 3）使得 △ AA ′B ′成为等腰三角形的 x 的值有： 02 秒、3秒、66 9 ． 25【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可知B ′D ′＝ BD ＝ 10， CD ′＝ B ′D ′﹣ BC ＝ 2，由 tan ∠ B ′D ′A ′＝A 'B ' CE可求出 CE ，即可计算 △ CED ′的面积， S ABCE ＝ S ABD ′﹣ S CED ′；A ' D ' CD '（2）分类讨论，当0≤x ≤11时和当11＜ x ≤4时，分别列出函数表达式；55（ 3）分类讨论，当 AB ′＝ A ′B ′时；当 AA ′＝ A ′B ′时；当 AB ′＝AA ′时，根据勾股定理列方程即可．【详解】解：（ 1） ∵ AB ＝ 6cm ， AD ＝ 8cm ， ∴BD ＝10cm ，根据旋转的性质可知A 'B ' CE∵ t an ∠ B ′D ′A ′＝A ' D ' CD '6 CE∴28∴CE ＝ 3 cm ，2∴S ABCE ＝ S ABD ′﹣ S CED ′＝ 8 6232 45 （ cm 2）；22 2（ 2） ① 当 0≤x ＜11时， CD ′＝ 2x+2， CE ＝ 3（ x+1），52△CD ′E323 ，22∴y ＝1 3 23 3 2 45 × 6×8﹣x ﹣ 3x ﹣＝﹣x ﹣ 3x+；22222② 当11 ≤x ≤4时， B ′C ＝ 8﹣ 2x ， CE ＝ 4（ 8﹣2x ） 53B ′D ′＝BD ＝10cm ， CD ′＝B ′D ′﹣ BC ＝ 2cm ，∴ y14 8 2x 2 ＝ 8 x 2﹣64x+ 128 ．2 33 3 3（3） ① 如图 1，当 AB ′＝ A ′B ′时， x ＝0 秒；② 如图 2，当 AA ′＝ A ′B ′时， A ′N ＝BM ＝ BB ′+B ′M ＝ 2x+18， A ′M ＝ NB ＝24，55∵AN 2+A ′N 2＝ 36，∴（ 6﹣24） 2+（ 2x+18） 2＝36，55解得： x ＝669， x ＝6 6 9（舍去）；55③ 如图 2，当 AB ′＝ AA ′时， A ′N ＝ BM ＝ BB ′+B ′M ＝2x+18， A ′M ＝NB ＝24，5 5∵AB 22＝ AN 2+A ′N 2+BB ′∴ 36+4x 2＝（ 6﹣24） 2+（ 2x+18） 255解得： x ＝3．2综上所述，使得 △ AA ′B ′成为等腰三角形的x 的值有： 0 秒、3秒、66 9 ．25【点睛】本题主要考查了图形的平移变换和旋转变换，能够数形结合，运用分类讨论的思想方法全面的分析问题，思考问题是解决问题的关键．8．如图，在平面直角坐标系中，直线 DE 交 x 轴于点 E （30， 0），交 y 轴于点 D （0，140），直线 AB ： y ＝ x+5 交 x 轴于点 A ，交 y 轴于点 B ，交直线DE 于点 P ，过点 E 作3EF ⊥ x 轴交直线 AB 于点 F ，以 EF 为一边向右作正方形 EFGH ．（1）求边 EF 的长；（2）将正方形 EFGH 沿射线 FB 的方向以每秒10 个单位的速度匀速平移，得到正方形E 1F 1G 1H 1，在平移过程中边 F 1G 1 始终与 y 轴垂直，设平移的时间为 t 秒（ t ＞0）．① 当点 F 1 移动到点 B 时，求 t 的值；② 当 G 1，H 1 两点中有一点移动到直线DE 上时，请直接写出此时正方形E 1F 1G 1H 1 与 △ APE重叠部分的面积．【答案】（ 1） EF ＝ 15；（ 2） ①10 ； ②120 ；【解析】【分析】（1）根据已知点 E （ 30， 0），点 D （0 ，40），求出直线 DE 的直线解析式 y=-4x+40，可3求出 P 点坐标，进而求出 F 点坐标即可；（2） ① 易求 B （ 0 ， 5），当点 F 1 移动到点 B 时， t=10 10 ÷ 10 =10；②F 点移动到 F'的距离是 10 t ， F 垂直 x 轴方向移动的距离是 t ，当点 H 运动到直线 DE 上时，在 Rt △ F'NF 中，NF = 1 ， EM=NG'=15-F'N=15-3t ，在 Rt △ DMH'中，MH4 ，NF 3EM 31 45 1023 ；当点 G 运动到直线 PK = 1t=4 ， S= × (12+) × 11=DE 上时，在 Rt △ F'PK 中，，248F K 3PK=t-3， F'K=3t-9，在 Rt △PKG'中，PK＝t 3 ＝ 4， t=7，S=15×（ 15-7） =120.KG15 3t 9 3【详解】（ 1）设直线 DE 的直线解析式 y ＝ kx+b ，将点 E （ 30， 0），点 D （ 0， 40），30k b 0∴，b 40k4∴3 ，b 404 ∴ y ＝﹣ x+40，3直线 AB 与直线 DE 的交点 P （ 21， 12），由题意知 F （ 30，15），∴ E F ＝ 15；（ 2） ① 易求 B （ 0， 5），∴BF ＝ 10 10 ，∴当点 F 1 移动到点 B 时， t ＝ 10 10 10 ＝ 10；② 当点 H 运动到直线 DE 上时，F 点移动到 F'的距离是 10 t ，在 Rt △ F'NF 中，NF = 1，NF3∴ FN ＝ t ， F'N ＝ 3t ， ∵MH' ＝ FN ＝ t ，在 Rt △ DMH' 中，MH 4，EM3∴t4，15 3t3∴ t ＝4，∴EM ＝3， MH' ＝ 4，∴S ＝ 1 (12 45)11 1023 ；2 48当点 G 运动到直线DE 上时，F 点移动到F'的距离是10 t，∵P F＝ 3 10∴PF'＝10，t﹣ 310 ，在Rt△ F'PK中，PK 1 ，F K 3∴PK＝ t﹣3， F'K＝ 3t﹣ 9，PK t 3＝4在 Rt△ PKG'中，＝3t ，KG 15 9 3∴t＝7，∴S＝15 ×（ 15﹣ 7）＝ 120.【点睛】本题考查一次函数图象及性质，正方形的性质；掌握待定系数法求函数解析式，利用三角形的正切值求边的关系，利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系，准确确定阴影部分的面积是解题的关键．9．如图 1，以点 M（－ 1， 0）为圆心的圆与y 轴、 x 轴分别交于点A、 B、 C、D，直线 y＝－x－与⊙M 相切于点 H，交 x 轴于点 E，交 y 轴于点 F．（1）请直接写出 OE、⊙M 的半径 r、CH 的长；（2）如图 2，弦 HQ 交 x 轴于点 P，且 DP: PH＝3 :2，求 cos∠ QHC 的值；（3）如图 3，点 K 为线段 EC上一动点（不与 E、 C 重合），连接 BK 交⊙M 于点 T，弦 AT交 x 轴于点 N．是否存在一个常数a，始终满足MN·MK＝ a，如果存在，请求出 a 的值；如果不存在，请说明理由．【答案】（ 1） OE=5， r=2， CH=2（ 2）；（3）a=4【解析】【分析】5；连接（1）在直线y＝－x－中，令y=0，可求得 E 的坐标，即可得到OE的长为MH ，根据△ EMH 与△ EFO相似即可求得半径为2；再由EC=MC=2，∠ EHM=90°，可知CH 是 RT△ EHM 斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出CH 的长；（2）连接 DQ、 CQ．根据相似三角形的判定得到△ CHP∽ △ QPD，从而求得DQ 的长，在直角三角形CDQ 中，即可求得∠ D 的余弦值，即为cos∠ QHC的值；（3）连接 AK， AM，延长 AM，与圆交于点 G，连接 TG，由圆周角定理可知，∠GTA=90 ，°∠3=∠ 4，故∠ AKC=∠ MAN ，再由△ AMK∽ △ NMA 即可得出结论．【详解】（1） OE=5， r=2， CH=2（2）如图 1，连接 QC、 QD，则∠ CQD =90°，∠ QHC =∠ QDC，易知△ CHP∽ △ DQP，故，得DQ=3，由于CD=4，；（3）如图 2，连接 AK， AM，延长 AM，与圆交于点 G，连接 TG，则由于，，故，；而，故在和中，；故△ AMK∽ △NMA;即：故存在常数，始终满足常数 a="4"解法二：连结BM，证明∽得10．如图，公路AB为东西走向，在点A北偏东 36.5 方向上，距离 5 千米处是村庄M，在点A北偏东 53.5 方向上，距离 10 千米处是村庄 N ；要在公路 AB 旁修建一个土特产收购站 P (取点 P 在AB上)，使得M，N两村庄到 P 站的距离之和最短，请在图中作出P 的位置（不写作法）并计算：（1）M，N两村庄之间的距离；（2）P到M、N距离之和的最小值.（参考数据： sin36.5 ＝°0.6， cos36.5 °＝ 0.8， tan36.5 °＝0.75 计算结果保留根号 .）【答案】 (1) M， N 两村庄之间的距离为29 千米;(2)村庄M、N到P站的最短距离和是5 5 千米．【解析】【分析】（1）作 N 关于 AB 的对称点 N'与 AB 交于 E，连结 MN’与 AB 交于 P，则 P 为土特产收购站的位置．求出 DN， DM ，利用勾股定理即可解决问题．（2）由题意可知，M、 N 到 AB 上点 P 的距离之和最短长度就是MN′的长．【详解】解：作 N 关于 AB 的对称点 N'与 AB 交于 E，连结 MN ’与 AB 交于 P，则 P 为土特产收购站的位置．（1）在 Rt△ANE 中， AN=10，∠NAB=36.5 °∴NE=AN?sin∠ NAB=10?sin36.5 ，°=6AE=AN?cos∠ NAB=10?cos36.5 °，=8过M 作 MC⊥ AB 于点C，在 Rt △ MAC 中， AM=5， ∠ MAB=53.5 °∴AC=MA ?sin ∠AMB=MA?sin36.5 ，° =3MC=MA ?cos ∠AMC=MA ?cos36.5 °，=4 过点 M 作 MD ⊥ NE 于点 D ，在 Rt △ MND 中， MD=AE-AC=5， ND=NE-MC=2，22 2= 29 ，∴MN = 5即 M ，N 两村庄之间的距离为 29 千米．（2）由题意可知， M 、 N 到 AB 上点 P 的距离之和最短长度就是 MN ′的长． DN ′ =10， MD=5，在 Rt △ MDN ′中，由勾股定理，得 MN ′=52102 =5 5 （千米）∴村庄 M 、 N 到 P 站的最短距离和是 5 5 千米．【点睛】本题考查解直角三角形，轴对称变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．11．如图，在 Rt △ ABC 中， ∠ C ＝ 90°， ∠ A ＝ 30°， AB ＝4，动点 P 从点 A 出发，沿 AB 以每秒 2 个单位长度的速度向终点B 运动．过点 P 作 PD ⊥ AC 于点 D(点 P 不与点 A ，B 重合 )，作∠ DPQ ＝ 60°，边 PQ 交射线 DC 于点 Q ．设点 P 的运动时间为 t 秒．（ 1）用含 t 的代数式表示线段 DC 的长： _________________ ；（ 2）当 t =__________时，点 Q 与点 C 重合时；（ 3）当线段 PQ 的垂直平分线经过 △ ABC 一边中点时，求出 t 的值．【答案】（ 1）；（ 2） 1；（ 3） t 的值为或或 .【解析】【分析】（ 1）先求出 AC ，用三角函数求出 AD ，即可得出结论；（ 2）利用 AQ=AC ，即可得出结论；（ 3）分三种情况，利用锐角三角函数，即可得出结论．【详解】（ 1） ∵ AP= , AB=4,∠ A ＝30°∴ A C=, AD=∴CD=；（ 2） AQ=2AD=当AQ=AC时， Q 与 C 重合即=∴t=1 ；（3）①如图，当PQ 的垂直平分线过AB 的中点 F 时，∴∠ PGF＝ 90 °， PG＝ PQ＝AP＝ t， AF＝ AB＝ 2.∵∠ A＝∠ AQP＝ 30 °，∴ ∠ FPG＝ 60 °，∴ ∠ PFG＝30 °，∴ PF＝2PG＝ 2t，∴AP＋PF＝2t ＋2t ＝2 ，∴ t ＝②如图，当PQ的垂直平分线过AC的中点 N 时，∴∠ QMN＝ 90 °， AN＝AC＝，QM＝PQ＝AP＝t.在Rt△ NMQ 中，∵AN＋NQ＝ AQ，∴③如图，当PQ的垂直平分线过BC的中点 F 时，∴B F＝ BC＝1， PE＝ PQ＝ t，∠ H＝ 30 °.∵∠ ABC＝ 60 °，∴ ∠ BFH＝ 30 °＝∠ H，∴ BH＝ BF＝ 1.在Rt△ PEH中， PH＝ 2PE＝2t.∵AH＝ AP＋ PH＝ AB＋ BH，∴ 2t＋ 2t＝ 5，∴ t＝ .即当线段PQ 的垂直平分线经过△ ABC一边中点时，t 的值为或或.【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，垂直平分线的性质，正确作出图形是解本题的关键．12．如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的处观测旗杆顶部的仰角为，观测旗杆底部的仰角为，求旗杆的高度.（参考数据：,，）【答案】旗杆的高度约为.【解析】【分析】在 Rt△ BDC中，根据tan∠ BDC= 求出BC，接着在Rt△ ADC中，根据tan∠ ADC= = 即可求出AB 的长度【详解】解：∵在 Rt△ BDC 中， tan∠ BDC==1，∴ BC=CD= 40m 在Rt△ ADC中， tan∠ADC= =∴tan50 =°=1.19∴AB7.6m答：旗杆AB 的高度约为7.6m.【点睛】此题主要考查了三角函数的应用13．已知抛物线y＝﹣1x2﹣2x+2 与x 轴交于点A， B 两点，交y 轴于 C 点，抛物线的对6 3称轴与x 轴交于H 点，分别以OC、 OA 为边作矩形AECO．(1)求直线AC 的解析式；(2)如图， P 为直线 AC上方抛物线上的任意一点，在对称轴上有一动点面积最大时，求|PM ﹣ OM| 的值．M ，当四边形AOCP(3)如图，将△ AOC 沿直线 AC 翻折得△ ACD，再将△ACD 沿着直线AC 平移得△ A'C ′．D'使得点 A′、 C'在直线 AC 上，是否存在这样的点D′，使得△ A′ED为′直角三角形？若存在，请求出点D′的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】 (1) y＝1x+2； (2) 点 M 坐标为（﹣ 2，5）时，四边形AOCP的面积最大，此时3 3| PM﹣ OM| 有最大值61 ； (3)存在， D′坐标为：（ 0， 4）或（﹣ 6， 2）或（ 3 ，19 ）．6 5 5 【解析】【分析】（1）令 x＝0，则 y＝2 ，令 y＝ 0，则 x＝ 2 或﹣ 6，求出点 A、B、 C 坐标，即可求解；（2）连接 OP交对称轴于点 M，此时， | PM﹣ OM| 有最大值，即可求解；（3）存在；分① A′D′⊥ A′E；② A′D′⊥ ED′；③ ED′⊥ A′E 三种情况利用勾股定理列方程求解即可．【详解】（1）令 x＝0，则 y＝2 ，令 y＝ 0，则 x＝ 2 或﹣ 6，∴ A（﹣ 6，0）、 B（ 2， 0）、 C（ 0，2），函数对称轴为： x＝﹣ 2，顶点坐标为（﹣ 2，8）， C 点坐标为（ 0， 2），则过点 C 3的直线表达式为：y＝kx+2，将点 A 坐标代入上式，解得： k 1，则：直线 AC 的表达式3为： y 1x+2；3（2）如图，过点P 作 x 轴的垂线交 AC 于点 H．四边形 AOCP面积＝△ AOC的面积 +△ ACP的面积，四边形AOCP面积最大时，只需要△ ACP的面积最大即可，设点1m22m+2），则点 G 坐标为（ m，1P 坐标为（ m，3m+2），6 3△ACP 1 1 1 m 221 1 m 2﹣ 3m，当 m＝﹣ 3 时，上式S PG?OA ?（m+2 m﹣ 2） ?622633 2取得最大值，则点 P 坐标为（﹣ 3 ， 5）．连接 OP 交对称轴于点 M ，此时， | PM ﹣ OM| 有2 最大值，直线 OP 的表达式为： y5 x ，当 x ＝﹣ 2 时， y5 6 ，即：点 M 坐标为（﹣ 2，35）， | PM ﹣ OM| 的最大值为：( 3 2)2(55)222( 5)2= 61 ． 32 336（3）存在．∵AE ＝ CD ， ∠AEC ＝ ∠ ADC ＝90 °， ∠EMA ＝∠ DMC ，∴ △ EAM ≌ △DCM （ AAS ）， ∴EM ＝ DM ， AM ＝ MC ，设： EM ＝ a ，则： MC ＝ 6﹣ a ．在 Rt △DCM 中，由勾股定理得： MC 2＝DC 2+MD 2，即：（ 6﹣ a ） 2＝ 22+a 2，解得： a810，则： MC，过点 D 作 x 轴的垂线交 x33轴于点 N ，交 EC 于点 H ．在 Rt △ DMC 中，1DH?MC 1 MD?DC ，即： DH 108 2，223 38， HCDC 2DH 26 ，即：点 D 的坐标为（6 18则： DH5 ，）；55 5设： △ ACD 沿着直线 AC 平移了 m 个单位，则：点 A ′坐标（﹣ 3m m ），点 D ′坐标610，10为（6 3m 18 m ），而点 E 坐标为（﹣ 6，2），则5，1010 5A' D '2= ( 6 6 )2( 18 )2 =36，A 'E 2= (3m)2( m 2) 2 = m 2 4m 4 ，5 5 10 10 10 2243m 2 8 m 22 32 m 128 △ A ′ED ′= () () = m．若ED '10 105为直角三角形，分三种情5105况讨论：① 当 A ' D '2+ A ' E 2 = ED '2时， 36+ m 24m4 = m 2 32m 128 ，解得： m=210 ，1010 55此时 D ′（63m 18m 0， 4）；510 ，）为（510② 当 A ' D '2 + ED '2 = A ' E 2 时， 36+ m 232m 128 =m 24m4 ，解得：10 5 10m= 8 106 3m 18 m ，此时 D′（10，105 5 5）为（－ 6，2）；③当 A' E 2 + ED '2 = A' D '2时，m24m4+m232m 12810 10 5=36，解得： m=8 105或 m= 10 6 3m 18 m6， 2）或（-319 ）．，此时 D′（10，）为（－，5 5 5 10 5 5综上所述： D 坐标为：（ 0， 4）或（﹣ 6，2）或（-3，19 ）．5 5【点睛】本题考查了二次函数知识综合运用，涉及到一次函数、图形平移、解直角三角形等知识，其中（ 3）中图形是本题难点，其核心是确定平移后A′、D′的坐标，本题难度较大．14．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，．点为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线分别交直线及抛物线于点，．（1）填空：点的坐标为，抛物线的解析式为；（2）当点在线段上运动时（不与点，重合），① 当为何值时，线段最大值，并求出的最大值；② 求出使为直角三角形时的值；（3）若抛物线上有且只有三个点到直线的距离是，请直接写出此时由点，，，构成的四边形的面积．【答案】（ 1），；（2）①当时，有最大值是3；②使为直角三角形时的值为 3 或；（3）点，，，构成的四边形的面积为： 6 或或.【解析】【分析】（1）把点 A 坐标代入直线表达式y＝，求出 a＝ - 3，把点 A、B 的坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）①设：点 P（ m，）， N（ m，）求出 PN 值的表达式，即可求解；②分∠ BNP＝ 90°、∠ NBP＝ 90°、∠BPN＝ 90°三种情况，求解即可；（3）若抛物线上有且只有三个点N 到直线 AB 的距离是 h ，则只能出现：在 AB 直线下方抛物线与过点N 的直线与抛物线有一个交点N，在直线 AB 上方的交点有两个，分别求解即可．【详解】解：（ 1）把点坐标代入直线表达式，解得：，则：直线表达式为：，令，则：，则点坐标为，将点的坐标代入二次函数表达式得：，把点的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故：抛物线的解析式为：，故：答案为：，；（2）① ∵在线段上，且轴，∴点，，∴，∵，∴抛物线开口向下，∴当时，有最大值是 3 ，② 当时，点的纵坐标为 -3，把代入抛物线的表达式得：，解得：或 0（舍去），∴；当时，∵，两直线垂直，其值相乘为 -1，设：直线的表达式为：，把点的坐标代入上式，解得：，则：直线的表达式为：，将上式与抛物线的表达式联立并解得：或 0（舍去），当时，不合题意舍去，故：使为直角三角形时的值为3或；（3）∵，，在中，，则：，，∵轴，∴，若抛物线上有且只有三个点到直线的距离是，则只能出现：在直线下方抛物线与过点的直线与抛物线有一个交点，在直线上方的交点有两个 .当过点的直线与抛物线有一个交点，点的坐标为，设：点坐标为：，则：，过点作的平行线，则点所在的直线表达式为：，将点坐标代入，解得：过点直线表达式为：，将拋物线的表达式与上式联立并整理得：，，将代入上式并整理得：，解得：，则点的坐标为，则：点坐标为，则：，∵，，∴四边形为平行四边形，则点到直线的距离等于点到直线的距离，即：过点与平行的直线与抛物线的交点为另外两个点，即：、，直线的表达式为：，将该表达式与二次函数表达式联立并整理得：则点作，解得：、的横坐标分别为交直线于点，，，，则，作轴，交轴于点，则：，，，则：，同理：，故：点，，，构成的四边形的面积为： 6 或或.【点睛】本题考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等相关知识，其中（ 3）中确定点N 的位置是本题的难点，核心是通过△ ＝0，确定图中N 点的坐标．15．如图，正方形ABCD的边长为2 +1，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAC分别交BC、 BD 于 E、 F，（1）求证：△ ABF∽ △ ACE；（2）求 tan∠BAE 的值；（3）在线段 AC 上找一点 P，使得 PE+PF最小，求出最小值．【答案】（ 1）证明见解析；（2） tan∠ EAB＝2﹣ 1；（ 3） PE+PF的最小值为2 2．【解析】【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可；（2）如图 1 中，作 EH⊥ AC 于 H．首先证明 BE=EH=HC，设 BE=EH=HC=x，构建方程求出 x 即可解决问题；（3）如图 2 中，作点 F 关于直线AC 的对称点H，连接 EH 交 AC 于点 P，连接 PF，此时PF+PE的值最小，最小值为线段EH 的长；【详解】（1）证明：∵四边形 ABCD是正方形，∴∠ ACE＝∠ ABF＝∠ CAB＝ 45 °，∵AE 平分∠ CAB，∴∠ EAC＝∠ BAF＝ 22.5 ，°∴△ ABF∽ △ ACE．（2）解：如图 1 中，作 EH⊥ AC 于 H．∵EA 平分∠CAB，EH⊥ AC， EB⊥ AB，∴BE＝EB，∵∠ HCE＝ 45 °，∠ CHE＝ 90 °，∴∠ HCE＝∠HEC＝ 45 °，∴HC＝EH，∴BE＝EH＝ HC，设 BE＝HE＝ HC＝ x，则 EC＝2 x，∵BC＝ 2 +1，∴x+x＝2 +1，∴x＝ 1，在Rt△ ABE中，∵ ∠ABE＝ 90°，∴tan∠ EAB＝BE＝ 1＝2 ﹣1．AB 2 1（3）如图 2 中，作点 F 关于直线 AC 的对称点 H，连接 EH 交 AC 于点 P，连接 PF，此时PF+PE的值最小．作 EM⊥ BD 于 M ． BM＝EM＝ 2 ，2∵AC＝AB 2BC2＝2+2，∴OA＝OC＝ OB＝1AC＝22 ，2 2∴OH＝OF＝ OA?tan∠ OAF＝ OA?tan∠ EAB＝2 2（2﹣1）＝ 2 ，2 2∴HM ＝OH+OM＝22 ，22 2在 Rt△ EHM 中， EH＝EM 2 HM 2＝ 2 2 2 ＝ 2 2 ．．2 2∴PE+PF的最小值为2 2 ．．【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，勾股定理，最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．。

初中数学锐角三角函数练习、解直角三角形练习及详细解答

初中三角函数练习及解答1.锐角三角函数1.比较下列各组三角函数值的大小：（1）sin19︒与cos70︒；（2）cot 65︒与cos40︒；（3）cos1︒，tan 46︒，sin88︒和cot 38︒．2.化简求值：（1）tan1tan 2tan3tan89︒⋅︒⋅︒⋅⋅︒ ；（2sin83︒；（3）2222tan sin tan sin αααα⋅-；（4cos 79sin 79-︒-︒；3.若tan 3α=求2sin sin 13sin cos αααα-+的值．4.下列四个数中哪个最大：A ．tan 48cot 48︒+︒B ．sin 48cos48︒+︒C ．tan 48cos48︒+︒D ．cot 48sin 48︒+︒5.设x 为锐角，且满足sin 3cos x x =，求sin cos x x ．6.已知sin cos αα+=，求sin cos αα的值．7．已知m 为实数，且sin α、cos α是关于x 的方程2310x mx -+=的两根．求44sin cos αα+的值．8．设A 、B 是一个直角三角形的两个锐角，满足2sin sin 2A B -=．求sin A 及sin B 的值．9．已知关于x 的一元二次方程()()22211120m x m x +--+=的两个根是一个直角三角形的两个锐角的正弦，求实数m 的值．10．已知方程2450x x k -+=的两根是直角三角形的两个锐角的正弦，求k ．11．若直角三角形中的两个锐角A 、B 的正弦是方程20x px q ++=的两个根；（1）那么，实数p 、q 应满足哪些条件？（2）如果p 、q 满足这些条件，方程20x px q ++=的两个根是否等于直角三角形的两个锐角A 、B 的正弦？12．已知方程()24210x m x m -++=的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，试求m 的值．13．不查表，求15︒的四种三角函数值．14．求22.5︒角的正切值（不查表，不借助计算器）．15．求sin18︒的值．16．若x 、y 为实数，221x y +=，α为锐角，求证：sin cos x y αα+的绝对值不大于1．2解直角三角形1．如图，在直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，AD 是A ∠的平分线，且CD =，DB =求ABC △的三边长．2．在Rt ABC △中（如图），D 、E 是斜边AB 的三等分点，已知sin CD x =，()cos 090CE x x =︒<<︒．试求AB 的长．3．如图，ABC △中，90C ∠=︒，10AB =，6AC =，AD 是BAC ∠的平分线，求点B 到直线AD 的距离BH ．4．已知ABC △是非等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，在BC 所在直线上取两点D 、E 使DB BC CE ==，连结AD 、AE ．已知45BAD ∠=︒．求tan CAE ∠的值．5．设有一张矩形纸片ABCD （如图），3AB =，4BC =．现将纸片折叠，使C 点与A 点重合，试求折痕EF 的长．6．已知三角形两边之和是10，这两边的夹角为30︒，面积为254，求证：此三角形为等腰三角形．7．在ABC △中，90C ∠=︒，其周长为2+，且已知斜边上的中线长为1．如果BC AC >，求tan A的值．8．已知a 、b 、c 分别是ABC △中A ∠、B ∠，C ∠的对边，且a 、b 是关于x 的一元二次方程()()2 424x c c x ++=+的两个根．（1）判断ABC △的形状；（2）若3tan 4A =求a 、b 、c ．9．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，12ABC S m =△，且两直角边长满足条件32a b m +=．（1）证明：24m ≥；（2）当m 取最小值时，求ABC △中最小内角的正切值．10．如图所示．90A BEF EBC ECD ∠=∠=∠=∠=︒，30ABF ∠=︒，45BFE ∠=︒，60ECB ∠=︒且2AB CD =．求tan CDE ∠的值．11．如图所示．在锐角ABC △中，4sin 5B =，tan 2C =，且10ABC S =△．求BC ．12．如图所示．在ACD △中，45A ∠=︒，5CB =，7CD =，3BD =．求CBD ∠及AC ．13．如图，已知ABC △中，1AB =，D 是AB 的中点，90DCA ∠=︒，45DCB ∠=︒．求BC 的长．14．如图，ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，DE AC ⊥于E ，DF BC ⊥于F ．求证：33AE AC BF BC =．15．如图，在ABC △中，90A ∠=︒，AB AC =，M 是AC 边的中点，AD 垂直于BM 且交BC 于D ．求证：AMB CMD ∠=∠．16．如图（a ），正方形ABCD 的边长E 、F 分别是AB 、BC 的中点，AF 分别交DE 、DB 于点M 、N ，求DMN △的面积．17．已知a 、b 、c 是ABC △三边的长，其中b a c >=，且方程20ax c +=两根的差的绝对值等．求ABC △中最大角的度数．18．如图，AB 是圆的直径，弦CD AB ∥，AC 与BD 相交于E ，已知AED θ∠=，试求:CDE ABE S S △△．19．如图所示，已知电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC 上．如果CD与地面成45︒，60A ∠=︒，4m CD =，(m BC =-，求电线杆AB 的长（精确到0.1m ）．20．如图，某岛S 周围42海里内存在着大量的暗礁．现在一轮船自西向东以每小时15海里的速度航行，在、A 处测得S 在北偏东60︒，2小时后在B 处测得S 在正东北方向，试问轮船是否需要改变航行方向行驶，才能避免触礁危险，说明理由．21．如图，某污水处理站计划砌一段截面为等腰梯形的排污渠，如果渠深为h ，截面积为S ，试求当倾角θ为多少时造价最小？1.锐角三角函数（详细解答）1.比较下列各组三角函数值的大小：（1）sin19︒与cos70︒；（2）cot 65︒与cos40︒；（3）cos1︒，tan 46︒，sin88︒和cot 38︒．解析（1）利用互余角的三角函数关系式，将cos70︒化sin 20︒，再与sin19︒比大小．因为()cos70cos 9020sin 20︒=︒-︒=︒，而sin19sin 20︒<︒，所以sin19cos70︒<︒．（2）余切函数与余弦函数无法化为同名函数，但是可以利用某些特殊的三角函数值，间接比较它们的大小．32cot 60cos 4532︒=<︒=，再将cot 65︒，cos40︒分别与cot 60︒，cos45︒比大小．因为cot 65cot 60︒<︒=，cos 40cos 45︒>︒>，所以cot 60cos45︒<︒，所以cot 65cos40︒<︒．（3）tan 451︒=，显然cos1︒，sin88︒均小于1，而tan 46︒，cot 38︒均大于1．再分别比较cos1︒与sin88︒，以及tan 46︒与cot 38︒的大小即可．因为()cos38cot 9052tan52︒=︒-︒=︒，所以tan52tan 46tan 451︒>︒>︒=．因为()cos1cos 9089sin89︒=︒-︒=︒，所以sin88sin891︒<︒<，所以cot 38tan 46cos1sin88︒>︒>︒>︒．评注比较三角函数值的大小，一般分为三种类型：（1）同名的两个锐角三角函数值，可直接利用三角函数值随角变化的规律，通过比较角的大小来确定三角函数值的大小．（2）互为余函数的两锐角三角函数值，可利用互余角的三角函数关系式化为同名三角函数，比较其大小．（3）不能化为同名的两个三角函数，可通过与某些“标准量”比大小，间接判断它们的大小关系，常选择的标准量有：0，1以及其他一些特殊角如30︒，45︒，60︒的三角函数值．2.化简求值：（1）tan1tan 2tan3tan89︒⋅︒⋅︒⋅⋅︒ ；（2sin83︒；（3）2222tan sin tan sin αααα⋅-；（4cos 79sin 79-︒-︒；解析（1）原式=tan1tan 2tan3tan 44tan 45cot 44cot 43cot 3cot 2cot1︒⋅︒⋅︒⋅⋅︒⋅︒⋅︒⋅︒⋅⋅︒⋅︒⋅︒ ()()()tan1cot1tan 2cot 2tan 44cot 44tan 45=︒⋅︒⋅︒⋅︒⋅⋅︒⋅︒⋅︒ 1111=⋅⋅⋅= ．（2）原式1cos7cos71cos7=︒=⋅︒=︒．（3）原式()22442242222sin sin sin sin cos 1sin sin sin 1cos sin cos ααααααααααα⋅====--．（4）原式sin11cos11sin11cos11sin11cos110-︒-︒=︒-︒-︒-︒=．3.若tan 3α=求2sin sin 13sin cos αααα-+的值．原式2222sin cos sin sin cos sin 13sin cos sin cos 3sin cos αααααααααααα--==+++2222tan tan 336tan 13tan 313319αααα--===-++++⨯．4.下列四个数中哪个最大：A ．tan 48cot 48︒+︒B ．sin 48cos48︒+︒C ．tan 48cos48︒+︒D ．cot 48sin 48︒+︒解析显然0sin 481<︒<，0cos481<︒<0<cos48°<1．因此有：sin 48sin 48tan 48cos 48︒︒<=︒︒，cos 48cos 48cot 48sin 48︒︒<=︒︒所以A 最大．5.设x 为锐角，且满足sin 3cos x x =，求sin cos x x ．解析我们将sin 3cos x x =代入22sin cos 1x x +=，得到210cos 1x =，并且x 是锐角，因此cos x=所以sin x =．因此3sin cos 10x x =．6.已知sin cos αα+=，求sin cos αα的值．解析由sin cos αα+=两边平方得()22sin cos αα+=．又22sin cos 1αα+=，所以12sin cos 2αα+=，得1sin cos 2αα=．7．已知m 为实数，且sin α、cos α是关于x 的方程2310x mx -+=的两根．求44sin cos αα+的值．解析由根与系数的关系知1sin cos 3αα=．则有()()2244227sin cos sin cos 2sin cos 9αααααα+=+-=．8．设A 、B 是一个直角三角形的两个锐角，满足2sin sin 2A B -=．求sin A 及sin B 的值．解析由于90A B +=︒，故由互余关系得()sin sin 90cos B A A =︒-=．因此条件即为sin cos A A -=，①将上式平方，得221sin cos 2sin cos 2A A A A +-=，由正、余弦的平方关系，即有12sin cos 2A A =，所以()2223sin cos sin cos 2sin cos 12sin cos 2A A A A A A A A +=++=+=，因sin A 、cos A 均为正数，故sin cos 0A A +>．因此由上式得sin cos A A +=，②由①、②得sin A =，cos A =sin B =9．已知关于x 的一元二次方程()()22211120m x m x +--+=的两个根是一个直角三角形的两个锐角的正弦，求实数m 的值．解析设方程的两个实根1x 、2x 分别是直角三角形ABC 的锐角A 、B 的正弦．则()22222212sin sin sin cos 190x x A B A A A B +=+=+=+=︒，又122112m x x m -+=+，12122x x m =+，所以()2222111212211242122m x x x x x x m m -⎛⎫+=+-=-= ⎪++⎝⎭．化简得224230m m -+=，解得1m =或23．检验，当1m =时，()()22114820m m =--+<△；当23m =时，()()22114820m m =--+△≥．所以23m =．评注本题是三角函数与一元二次方程的综合，基本解法是利用韦达定理和22sin cos 1αα+=列方程求解．要注意最后检验方程有无实数根．10．已知方程2450x x k -+=的两根是直角三角形的两个锐角的正弦，求k ．解析根据韦达定理，有12125 , 4.4x x k x x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩并且由于其两根是直角三角形的两个锐角的正弦，所以又有22121x x +=．于是有()2222121212512244k x x x x x x ⎛⎫=+=+-=--⨯ ⎪⎝⎭．解得98k =．11．若直角三角形中的两个锐角A 、B 的正弦是方程20x px q ++=的两个根；（1）那么，实数p 、q 应满足哪些条件？（2）如果p 、q 满足这些条件，方程20x px q ++=的两个根是否等于直角三角形的两个锐角A 、B 的正弦？解析（1）设A 、B 是某个直角三角形两个锐角，sin A 、sin B 是方程20x px q ++=的两个根，则有240p q =-△≥．①由韦达定理，sin sin A B p +=-,sin sin A B q =．又sin 0A >，sin 0B >，于是0p <，0q >．由于()sin sin 90cos B A A =︒-=．所以sin cos A A p +=-，sin cos A A q =，所以()()22sin cos 1sin cos 12p A A A A q -=+=+=+，即221p q -=．由①得21240q p q -=-≥，则12q ≤．故所求条件是0p <，102p <≤，221p q -=．②（2）设条件②成立，则24120p q q -=-≥，故方程有两个实根：α==，β==．由②知p -=p <=-，所以0p p <--+，故0βα>≥．又()2222221p q αβαβαβ+=+-=-=，故01αβ<<≤．12．已知方程()24210x m x m -++=的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，试求m 的值．解析设题中所述的两个锐角为A 及B ，由题设得()241160 , 1cos cos , 2cos cos .4m m m A B m A B ⎧=+-⎪⎪+⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩△≥因为cos sin B A =，故()2, 1cos sin , 2cos sin , 410m A A m A m m A ++==⎧=-⇒⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩可△≥取任意实数①②①式两边平方，并利用恒等式22sin cos 1A A +=，得()()221cos sin 12sin cos 4m A A A A ++=+=．再由②得()21124m m ++=，解得m =．由cos 0A >，sin 0A >及②知0m >．所以m =．13．不查表，求15︒的四种三角函数值．解析30︒、45︒、60︒这些特殊角的三角函数值，我们可以利用含有这些特殊角的直角三角形的几何性质及勾股定理直接推出．同样，15︒角的三角函数值，也可以利用直角三角形的性质将其推出．如图所示．在ABC △中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，延长CB 到D ，使BD BA =，则1152D BAD ABC ∠=∠=∠=︒．设1AC =，则2AB =，3BC =2BD =，所以 23CD CB BD =+=+所以()()())2222123843242323123162AD AC CD =++++++=+=+．所以162sin15462AC AD -︒===+，2362cos15462CD AD ++︒===+1tan152323AC CD ︒===-+cot1523CDAC︒==．评注将15︒角的三角函数求值问题，通过构造适当的三角形，将它转化为30︒角的三角函数问题，这种将新的未知问题通过一定途径转化为旧的已解决了的问题的方法，是我们研究解决新问题的重要方法．根据互余三角函数关系式，我们很容易得到75︒角的四种三角函数值．14．求22.5︒角的正切值（不查表，不借助计算器）．解析4522.52︒︒=，所以设法构造一个含22.5︒角的直角三角形，用定义求值．如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒，45B ∠=︒，延长CB 到D ，使BD BA =，则122.52D B ∠=∠=︒．设AC b =，有222AB b b b =+=，()21DC DB BC b =+=+．故()tan 22.52121ACDCb︒==+．15．求sin18︒的值．解析构造一个顶角A 为36︒的等腰ABC △，AB AC =，如图，作内角平分线则36ABD DBC ∠=∠=︒，设1AC =，BC x =．由于36DBA DAB ∠=∠=︒，72BDC BCD ∠=∠=︒，故CB BD DA x ===，而CAB △∽CBD △（36CAB CBD ∠=∠=︒），故AC BC BC DC =，故11xx x=-，有512x -=（舍去512-）．再作AH BC ⊥于H ，则18CAH ∠=︒，514CH -=．所以1sin184-︒=．评注本题所构造的等腰三角形是圆内接正十边形的相邻顶点与圆心确定的三角形，利用它可以求出半径为R 的圆内接正十边形的边长．16．若x 、y 为实数，221x y +=，α为锐角，求证：sin cos x y αα+的绝对值不大于1．解析由221x y +=，22sin cos 1αα+=，得()()2222sin cos 1x y αα++=，即22222222sin cos cos sin 1x y x y αααα+++=，加一项减一项，得22222222sin 2sin cos cos cos 2cos sin sin 1x xy y x xy y αααααααα+++-+=．即()()2sin cos cos sin 1x y x y αααα2++-=，因为()2cos sin 0x y αα-≥，所以()2sin cos 1x y αα+≤，故sin cos 1x y αα+≤．2解直角三角形（详细解答）1．如图，在直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，AD 是A ∠的平分线，且CD =，DB =求ABC △的三边长．解析由角平分线想到对称性，考虑过D 作DE AB ⊥，交AB 于E ，则由90C ∠=︒得CD DE ==．在直角三角形BDE 中，1sin 2DE B DB ==，则60B ∠=︒，所以3tan3AC BC B ==+⋅=，2sin ACAB AC B===，BC CD DB =+=．故ABC △的三边长分别为，．2．在Rt ABC △中（如图），D 、E 是斜边AB 的三等分点，已知sin CD x =，()cos 090CE x x =︒<<︒．试求AB 的长．解析作DF AC ⊥于F ，EG AC ⊥于G ；DP BC ⊥于P ，EQ BC ⊥于Q ．令BP PQ QC a ===，AG GF FC b ===．则2DF a =，EG a =．在Rt CDF △和Rt CEG △中，由勾股定理，得()2222sin a b x +=，及()2222cos a b x +=，两式相加得()2251a b +=，2215a b +=．所以35AB BD ===．3．如图，ABC △中，90C ∠=︒，10AB =，6AC =，AD 是BAC ∠的平分线，求点B 到直线AD 的距离BH ．解析已知Rt ABH △中，10AB =，要求BH ，可求出BAH ∠的正弦值，而BAH CAD ∠=∠，因而可先求出DC 的长．作DE AB ⊥于E ，有6AE AC ==，ED CD =．设3DC k =，由三角形内角平分线性质有106BD DC =，则5BD k =．Rt BDE △中，222DE BE BD +=，即()()()22231065k k +-=，得1k =．33CD k ==，AD ==sin10BHDAC ∠==，故BH =．4．已知ABC △是非等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，在BC 所在直线上取两点D 、E 使DB BC CE ==，连结AD 、AE ．已知45BAD ∠=︒．求tan CAE ∠的值．解析如图，过B 、C 两点作BM AC ∥、CN AB ∥分别交AD 、AE 于M 、N ．易知2AC BM =，2AB CN =，tan BM BAD AB ∠=，tan CNCAE AC∠=，从而，1tan tan 4BAD CAE ∠∠=．因为tan 1BAD ∠=，则1tan 4CAE ∠=．5．设有一张矩形纸片ABCD （如图），3AB =，4BC =．现将纸片折叠，使C 点与A 点重合，试求折痕EF 的长．解析设O 是矩形对角线AC 的中点．连结CF ，由折叠知CF AF =，故FO AC ⊥，即EF AC ⊥．由3AB =，4BC =，得5AC =，从而1522AO AC ==．在Rt AOF △中，90AOF ∠=︒，故tan OF AO FAO =⋅∠．又由Rt ADC △得3tan tan 4DC FAO DAC AD ∠=∠==，所以5315248OF =⋅=，1524EF OF ==．7.已知三角形两边之和是10，这两边的夹角为30︒，面积为254，求证：此三角形为等腰三角形．解析由题意可设10a b +=，30α=︒，则125sin 24S ab α==△，即1125224ab ⋅=，得25ab =．于是，由10a b +=，25ab =，得a 、b 是方程210250x x -+=的两个根．而此方程有两个相等的根，所以5a b ==，即此三角形为等腰三角形．评注也可以直接由()()2240a b a b ab -=+-=，得a b =．7．在ABC △中，90C ∠=︒，其周长为2+，且已知斜边上的中线长为1．如果BC AC >，求tan A的值．解析由于斜边长是斜边上中线长的2倍，故2AB c ==．于是，由题设及勾股定理，得224. a b a b ⎧++==⎪⎨⎪⎩①②把①式两边平方，得2226a ab b ++=．再由②得1ab =．③由①、③知，a 、b 分别是二次方程210u +=的两根，解得622u ±=．因为BC AC >（即a b >），故12BC =，12AC =，所以tan 2BC A AC ===+．8．已知a 、b 、c 分别是ABC △中A ∠、B ∠，C ∠的对边，且a 、b 是关于x 的一元二次方程()()2 424x c c x ++=+的两个根．（1）判断ABC △的形状；（2）若3tan 4A =求a 、b 、c ．解析（1）根据题意，尝试从边来判断．因为4a b c +=+，()42ab c =+，所以()2222a b a b ab +=+-()()224242c c c =+-⨯+=，从而知ABC △是直角三角形，90C ∠=︒．（2）由90C ∠=︒，3tan 4A ∠=，得34a b =．令3a =，()40b k k =>，则5c k =，于是754k k =+，得2k =，从而有6a =，8b =，10c =．9．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，12ABC S m =△，且两直角边长满足条件32a b m +=．（1）证明：24m ≥；（2）当m 取最小值时，求ABC △中最小内角的正切值．解析（1）由题设得 , 32.ab m a b m =⎧⎨+=⎩消去b ，得32m a a m -⎛⎫= ⎪⎝⎭，故实数a 满足二次方程2320x mx m -+=．①所以()224240m m m m =-=-△≥．因为0m >，所以24m ≥．10．如图所示．90A BEF EBC ECD ∠=∠=∠=∠=︒，30ABF ∠=︒，45BFE ∠=︒，60ECB ∠=︒且2AB CD =．求tan CDE ∠的值．解析因为tan CECDE CD∠=，已知2AB CD =，因此，只需求出AB 与CE 的比值即可．不妨设1CD =，则2AB =．在Rt ABF △中，90A ∠=︒，30ABF ∠=︒，所以cos30AB BF ==︒．在Rt BEF △中，90BEF ∠=︒，45BFE ∠=︒，所以2cos 452BE BF =︒==在Rt BEC △中，90EBC ∠=︒，60ECB ∠=︒，42sin 603BE CE ===︒，所以42tan 3CE CDE CD ∠==．11．如图所示．在锐角ABC △中，4sin 5B =，tan 2C =，且10ABC S =△．求BC．解析作AD BC ⊥于D ，设AD x =，在Rt ABD △中，因为4sin 5B =，所以3cos 5B ==，所以sin 4tan cos 3B B B ==，所以43AD BD =，34BD x =．在Rt ADC △中，因为tan 2AD C DC ==，所以22AD x CD ==，所以35424x BC BD CD x x =+=+=．①因为1102ABC S BC AD =⨯=△，所以151024x x ⨯⋅=，所以4x =．由①知5454BC =⨯=．评注在一般三角形中，在适当位置作高线，将其转化为直角三角形求解，这是解斜三角形常采用的方法．12．如图所示．在ACD △中，45A ∠=︒，5CB =，7CD =，3BD =．求CBD ∠及AC．解析作CE AD ⊥于E ，设CE x =，BE y =，则有()2222225 , 37. x y x y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩①②②-①得22697524y +=-=，所以52y =．因为2x =，所以512cos 52BE CBE CB ∠===，所以60CBE ∠=︒，18060120CBD ∠=︒-︒=︒，所以5356sin 4522CE AC ==︒．13．如图，已知ABC △中，1AB =，D 是AB 的中点，90DCA ∠=︒，45DCB ∠=︒．求BC 的长．解析作BE AC ⊥B ，交AC 的延长线于E ，设BC x =．则sin 45BE BC =⨯︒=，cos 45CE BC =⋅︒=由DC BE ∥，D 是AB 的中点，知2AE EC ==．而222AE BE AB +=，得221+=．即x =，所以BC =．评注通过构造直角三角形，使用三角函数、勾股定理等知识将边角联系起来是求线段长的常用方法．14．如图，ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，DE AC ⊥于E ，DF BC ⊥于F ．求证：33AE AC BF BC =．解析ADE ACD B ∠=∠=∠，而tan AE ADE DE ∠=，tan ED ACD EC ∠=，tan DFB BF=，所以tan AE ED DFB DE EC FB===，又DF EC =，所以3tan AE ED EC B DE EC BF ⋅⋅=，所以3tan AEB BF=．又tan ACB BC=，所以33AE AC BF BC =．15．如图，在ABC △中，90A ∠=︒，AB AC =，M 是AC 边的中点，AD 垂直于BM 且交BC 于D ．求证：AMB CMD ∠=∠．解析作DF AC ⊥于F ，不妨设3AB =，因AD BM ⊥，90BAM ∠=︒，所以DAF ABM ∠=∠．又112tan 2AC MA ABM AB AB ∠===．1tan 2DF DAF FA ∠==．又90BAC ∠=︒，AB AC =，45C ∠=︒，而90DFC ∠=︒，故FC FD =．由于12FC FA =，而3FC FA +=，1FC =，2FA =，而32MC =，31122FM =-=，1FD =，即1tan 212FD CMD FM ∠===，又tan 2AB AMB AM ∠==，AMB ∠，CMD ∠是锐角．因此AMB CMD ∠=∠．16．如图（a ），正方形ABCD的边长E 、F 分别是AB 、BC 的中点，AF 分别交DE 、DB 于点M 、N ，求DMN △的面积．解析记正方形ABCD 的边长为2a ．由题设易知BFN △∽DAN △，则有21AD AN DN BF NF BN ===，得2AN NF =，所以23AN AF =．在直角ABF △中，2AB a =，BF a =，则AF ==，于是cos 5AB BAF AF ∠==．由题设可知ADE △≌BAF△，所以AED AFB ∠=∠，18018090AME BAF AED BAF AFB ∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠=︒．于是cos AM AE BAF =⋅∠=，23MN AN AM AF AM =-=-=，从而415MND AFD S MN S AF ==△△．又()()212222AFD S a a a =⋅⋅=△，所以2481515MND AFD S S a ==△△．因a =8MND S =△．17．已知a 、b 、c 是ABC △三边的长，其中b a c >=，且方程20ax c +=两根的差的绝对值等．求ABC △中最大角的度数．解析由已知条件b a c >=可知，这是一个等腰三角形，且底边b 最长，则最大角为B ∠，求出ABC △中的底角A （或C ）即可．我们可以先求角A （或C ）的三角函数值，再确定角的大小，如图所示．由图知2cos 2b AD b A AB c c===，则关键是求出b 与c 的比值．通过一元二次方程中的条件，可得到关于c 、b 的方程，则问题得到解决．因为a c =，所以方程为20cx c +=．设1x 、2x 为方程的两个根，则有122b x x c +=，121x x =．因为12x x -=，()2122x x -=，即()2121242x x x x +-=，所以2242c ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，c =，b c =，所以cos 22b A c ==，所以30A ∠=︒，所以1803030120B ∠=︒-︒-︒=︒．评注这是一道方程与几何知识的综合题．三角形的边是一元二次方程的系数，利用方程条件导出边的关系，由边的关系再进一步求角的大小．18．如图，AB 是圆的直径，弦CD AB ∥，AC 与BD 相交于E ，已知AED θ∠=，试求:CDE ABE S S △△．解析由AB CD ∥，得CDE △∽ABE △．所以22::CDE ABE S S DE BE =△△．连结AD ，则90ADB ∠=︒．故由Rt ADE △，有cos DE AEθ=，又AE BE =，所以2:cos CDE ABE S S θ=△△．19．如图所示，已知电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC 上．如果CD 与地面成45︒，60A ∠=︒，4m CD =，(m BC =-，求电线杆AB 的长（精确到0.1m ）．解析如图，延长AD 交地面于点E ，过点D 作DF CE ⊥于点F ．因为45DCF ∠=︒，60A ∠=︒，4CD =，所以2sin 4542CF DF CD ==︒=⨯=，tan 60EF DF =︒==．因为3tan 303AB BE =︒=，所以(()8.5m 33AB BE ==++⨯=≈．20．如图，某岛S 周围42海里内存在着大量的暗礁．现在一轮船自西向东以每小时15海里的速度航行，在、A 处测得S 在北偏东60︒，2小时后在B 处测得S 在正东北方向，试问轮船是否需要改变航行方向行驶，才能避免触礁危险，说明理由．解析若设船不改变航向，与小岛S 的最近距离为SC ．则有tan 60tan 45152SC SC ︒-︒=⨯，解得1542SC =<．因此需要改变航向，以免触礁．21．如图，某污水处理站计划砌一段截面为等腰梯形的排污渠，如果渠深为h ，截面积为S ，试求当倾角θ为多少时造价最小？解析要使造价最小，只需考虑AD DC CB ++最小，故首先设法用h 、S 、θ表示AD DC CB ++．()()()1122cot cot 22S AB CD h CD h h CD h h θθ=+=+=+．有cot S CD h h θ=-，则2AD DC CB AD CD ++=+2cot sin h S h θθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()2cos sin h S hθθ-=+．因S 、h 为常数，则要求AD DC CB ++的最小值，只需求2cos sin m θθ-=的最小值．设2cos sin m θθ-=，两边平方整理得()()2221cos 4cos 40m m θθ+---=，cos θ=由上式知()2230m m -≥，解得m m =时，2cos sin θθ-有最小值．当m =时，221cos 12m θ==+，从而得60θ=︒，此时排污渠造价最小．。

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新初中数学锐角三角函数的技巧及练习题含答案一、选择题1．如图，已知△A 1B 1C 1的顶点C 1与平面直角坐标系的原点O 重合，顶点A 1、B 1分别位于x 轴与y 轴上，且C 1A 1＝1，∠C 1A 1B 1＝60°，将△A 1B 1C 1沿着x 轴做翻转运动，依次可得到△A 2B 2C 2，△A 3B 3C 3等等，则C 2019的坐标为（）A ．（2018+6723，0）B ．（2019+6733，0）C ．（40352+6723，3）D ．（2020+6743，0）【答案】B【解析】【分析】根据题意可知三角形在x 轴上的位置每三次为一个循环，又因为20193673÷=，那么2019C 相当于第一个循环体的3673C 个即可算出.【详解】由题意知，111C A =，11160C A B ︒∠=，则11130C B A ︒∠=，11222A B A B ==，1122333C B C B C B ===，结合图形可知，三角形在x 轴上的位置每三次为一个循环，Q 20193673÷=，∴2019673(123)20196733OC =++=+，∴2019C (20196733,0)+，故选B .【点睛】考查解直角三角形，平面直角坐标系中点的特征，结合找规律.理解题目中每三次是一个循环是解题关键.2．菱形ABCD 的周长为20cm,DE ⊥AB,垂足为E,sinA=35,则下列结论正确的个数有（） ①DE=3cm; ②BE=1cm; ③菱形的面积为15cm 2; ④BD=210cm ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】根据菱形的性质及已知对各个选项进行分析，从而得到答案【详解】∵菱形ABCD 的周长为20cm∴AD=5cm∵sinA=35∴DE=3cm （①正确）∴AE=4cm∵AB=5cm∴BE=5﹣4=1cm （②正确）∴菱形的面积=AB×DE=5×3=15cm 2（③正确）∵DE=3cm,BE=1cm ∴BD=10cm （④不正确）所以正确的有三个．故选C ．【点睛】本题考查了菱形的性质及锐角三角函数的定义，熟练掌握性质是解题的关键3．如图，在等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，D 为BC 的中点，将△ABC 折叠，使点A 与点D 重合，EF 为折痕，则sin ∠BED 的值是（）A 5B ．35C 2D ．23【答案】B【解析】【分析】先根据翻折变换的性质得到DEF AEF ∆≅∆，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到BED CDF ∠=，设1CD =，CF x =，则2CA CB ==，再根据勾股定理即可求解．【详解】解：∵△DEF 是△AEF 翻折而成，∴△DEF ≌△AEF ，∠A ＝∠EDF ，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠EDF ＝45°，由三角形外角性质得∠CDF +45°＝∠BED +45°，∴∠BED ＝∠CDF ，设CD ＝1，CF ＝x ，则CA ＝CB ＝2，∴DF ＝FA ＝2﹣x ，∴在Rt △CDF 中，由勾股定理得，CF 2+CD 2＝DF 2，即x 2+1＝（2﹣x ）2，解得：34x =， 3sin sin 5CF BED CDF DF ∴∠=∠==．故选：B ．【点睛】本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性质，涉及面较广，但难易适中．4．同学们参加综合实践活动时，看到木工师傅用“三弧法”在板材边角处作直角，其作法是：如图：（1）作线段AB ，分别以点A ，B 为圆心，AB 长为半径作弧，两弧交于点C ；（2）以点C 为圆心，仍以AB 长为半径作弧交AC 的延长线于点D ；（3）连接BD ，BC ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A ．∠ABD ＝90°B ．CA ＝CB ＝CDC ．sinA 3D ．cosD ＝12【答案】D【解析】【分析】由作法得CA ＝CB ＝CD ＝AB ，根据圆周角定理得到∠ABD ＝90°，点C 是△ABD 的外心，根据三角函数的定义计算出∠D ＝30°，则∠A ＝60°，利用特殊角的三角函数值即可得到结论．【详解】由作法得CA ＝CB ＝CD ＝AB ，故B 正确；∴点B在以AD为直径的圆上，∴∠ABD＝90°，故A正确；∴点C是△ABD的外心，在Rt△ABC中，sin∠D＝ABAD＝12，∴∠D＝30°，∠A＝60°，∴sinA＝3，故C正确；cosD＝3，故D错误，故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理和解直角三角形．5．如图，为了测量某建筑物MN的高度，在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30°，向N点方向前进16m到达B处，在B处测得建筑物顶端M的仰角为45°，则建筑物MN的高度等于( )A．31)m B．31)mC．31)m D．31)m【答案】A【解析】设MN=xm，在Rt△BMN中,∵∠MBN=45∘，∴BN=MN=x，在Rt△AMN中,tan∠MAN=MN AN，∴tan30∘=16xx+=3√3，解得：3，则建筑物MN的高度等于3 +1)m；故选A.点睛：本题是解直角三角形的应用，考查了仰角和俯角的问题，要明确哪个角是仰角，哪个角是俯角，知道仰角是向上看的视线与水平线的夹角，俯角是向下看的视线与水平线的夹角，并与三角函数相结合求边的长.6．如图，已知圆O 的内接六边形ABCDEF 的边心距2OM =，则该圆的内接正三角形ACE 的面积为（）A ．2B ．4C ．63D ．43【答案】D【解析】【分析】连接,OC OB ，过O 作ON CE ⊥于N ，证出COB ∆是等边三角形，根据锐角三角函数的定义求解即可．【详解】解：如图所示，连接,OC OB ，过O 作ON CE ⊥于N ，∵多边形ABCDEF 是正六边形，∴60COB ∠=o ，∵OC OB =，∴COB ∆是等边三角形，∴60OCM ∠=o ，∴sin OM OC OCM =•∠，∴43()sin 60OM OC cm ︒==． ∵30OCN ∠=o ， ∴123,22ON OC CN ===， ∴24CE CN ==，∴该圆的内接正三角形ACE 的面积123344323=⨯⨯⨯=，故选：D ．【点睛】本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OC 是解决问题的关键．7．如图所示，Rt AOB ∆中，90AOB ∠=︒ ，顶点,A B 分别在反比例函数()10y x x =>与()50y x x=-<的图象器上，则tan BAO ∠的值为（）A 5B 5C 25D 10【答案】B【解析】【分析】过A 作AC ⊥x 轴，过B 作BD ⊥x 轴于D ，于是得到∠BDO=∠ACO=90°，根据反比例函数的性质得到S △BDO =52，S △AOC =12，根据相似三角形的性质得到=5OB OA =，根据三角函数的定义即可得到结论．【详解】解：过A 作AC ⊥x 轴，过B 作BD ⊥x 轴于D ，则∠BDO=∠ACO=90°，∵顶点A ，B 分别在反比例函数()10y x x =>与()50y x x =-<的图象上， ∴S △BDO =52，S △AOC =12， ∵∠AOB=90°，∴∠BOD+∠DBO=∠BOD+∠AOC=90°，∴∠DBO=∠AOC ，∴△BDO ∽△OCA ，∴251522 BODOACS OBS OA⎛⎫==÷=⎪⎝⎭△△，∴5OBOA=，∴tan∠BAO=5OBOA=.故选B.【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质．解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．8．如图，ABCV中，90ACB∠=︒，O为AB中点，且4AB=，CD，AD分别平分ACB∠和CAB∠，交于D点，则OD的最小值为（）．A．1 B．22C21D．222【答案】D【解析】【分析】根据三角形角平分线的交点是三角形的内心，得到DO最小时，DO为三角形ABC内切圆的半径，结合切线长定理得到三角形为等腰直角三角形，从而得到答案．【详解】解：Q CD，AD分别平分ACB∠和CAB∠，交于D点，D∴为ABC∆的内心，OD∴最小时，OD为ABC∆的内切圆的半径，,DO AB∴⊥过D作,,DE AC DF BC⊥⊥垂足分别为,,E F,DE DF DO∴==∴ 四边形DFCE 为正方形，O Q 为AB 的中点，4,AB =2,AO BO ∴==由切线长定理得：2,2,,AO AE BO BF CE CF r ======sin 4522,AC BC AB ∴==•︒=222,CE AC AE ∴=-=-Q 四边形DFCE 为正方形，,CE DE ∴=222,OD CE ∴==-故选D ．【点睛】本题考查的动态问题中的线段的最小值，三角形的内心的性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的计算，掌握相关知识点是解题关键．9．如图，在ABC ∆中，AB AC =，MN 是边BC 上一条运动的线段（点M 不与点B 重合，点N 不与点C 重合），且12MN BC =，MD BC ⊥交AB 于点D ，NE BC ⊥交AC 于点E ，在MN 从左至右的运动过程中，设BM x =，BMD ∆的面积减去CNE ∆的面积为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】设a ＝12BC ，∠B ＝∠C ＝α，求出CN 、DM 、EN 的长度，利用y ＝S △BMD −S △CNE ，即可求解．【详解】解：设a ＝12BC ，∠B ＝∠C ＝α，则MN ＝a ， ∴CN ＝BC−MN−BM ＝2a−a−x ＝a−x ，DM ＝BM·tanB ＝x·tanα，EN ＝CN•tanC ＝（a−x ）·tanα， ∴y ＝S △BMD −S △CNE ＝12（BM·DM−CN·EN ）＝()()221tan tan 222x a x a tan x a ααα⋅⎡⎤⋅-⋅=⎣⎦--， ∵2a tan α⋅为常数， ∴上述函数图象为一次函数图象的一部分，故选：A ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象、等腰三角形的性质、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．10．如图，在菱形ABCD 中，按以下步骤作图：①分别以点C 和点D 为圆心，大于12CD 为半径作弧，两弧交于点M ，N ；②作直线MN ，且MN 恰好经过点A ，与CD 交于点E ，连接BE ，则下列说法错误的是（）A ．60ABC ∠=︒B ．2ABE ADE S S ∆=VC ．若AB=4，则47BE =D ．21sin 14CBE ∠= 【答案】C【解析】【分析】由作法得AE 垂直平分CD ，则∠AED=90°，CE=DE ，于是可判断∠DAE=30°，∠D=60°，从而得到∠ABC=60°；利用AB=2DE 得到S △ABE =2S △ADE ；作EH ⊥BC 于H ，如图，若AB=4，则可计算出CH=12CE=1，EH=3CH=3，利用勾股定理可计算出BE=27 ；利用正弦的定义得sin ∠CBE=2114EH BE =．【详解】解：由作法得AE 垂直平分CD ，∴∠AED=90°，CE=DE ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AD=2DE ，∴∠DAE=30°，∠D=60°，∴∠ABC=60°，所以A 选项的说法正确；∵AB=2DE ，∴S △ABE =2S △ADE ，所以B 选项的说法正确；作EH ⊥BC 于H ，如图，若AB=4，在Rt △ECH 中，∵∠ECH=60°，CH=12CE=1，33，在Rt △BEH 中，BE=22(3)527+=，所以C 选项的说法错误；sin ∠CBE=3211427EH BE ==，所以D 选项的说法正确．故选C ．【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了菱形的性质和解直角三角形． 11．如图，河堤横断面迎水坡AB 的坡比是，堤高BC=10m ，则坡面AB 的长度是（）A ．15mB ．C ．20mD ．【答案】C【解析】【分析】【详解】解:∵Rt △ABC 中，BC=10m ，tanA=，∴AC===m ． ∴AB=m ．故选C ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用（坡度坡角问题）,锐角三角函数,特殊角的三角函数值及勾股定理,熟练掌握相关知识点正确计算是本题的解题关键．12．如图，在正方形ABCD 中，3AB =，点M 在CD 的边上，且1DM =，AEM ∆与ADM ∆关于AM 所在直线对称，将ADM ∆按顺时针方向绕点A 旋转90°得到ABF ∆，连接EF ，则cos EFC ∠的值是（）A 171365B 61365C 71525D ．617【答案】A【解析】【分析】过点E 作//HG AD ，交AB 于H ，交CD 于G ，作EN BC ⊥于N ，首先证明AEH EMG V :V ，则有13EH AE MG EM == ，设MG x =，则3EH x =，1DG AH x ==+，在Rt AEH V 中利用勾股定理求出x 的值，进而可求,,,EH BN CG EN 的长度，进而可求FN ，再利用勾股定理求出EF 的长度，最后利用cos FN EFC EF∠=即可求解．【详解】过点E 作//HG AD ，交AB 于H ，交CD 于G ，作EN BC ⊥于N ，则90AHG MGE ∠=∠=︒，∵四边形ABCD 是正方形，∴3,90AD AB ABC C D ==∠=∠=∠=︒ ，∴四边形AHGD,BHEN,ENCG 都是矩形．由折叠可得，90,3,1AEM D AE AD DM EM ∠=∠=︒====，90AEH MEG EMG MEG ∴∠+∠=∠+∠=︒ ，AEH EMG ∴∠=∠，AEH EMG ∴V :V ，13EH AE MG EM ∴== ．设MG x =，则3EH x =，1DG AH x ==+在Rt AEH V 中，222AH EH AE +=Q ，222(1)(3)3x x ∴++= ，解得45x =或1x =-（舍去）， 125EH BN ∴==，65CG CD DG EN =-== ． 1BF DM ==Q 175FN BF BN ∴=+=．在Rt EFN △ 中，由勾股定理得，2213EF EN FN =+=，17cos 1365FN EFC EF ∴∠==．故选：A ．【点睛】本题主要考查正方形，矩形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，锐角三角函数，能够作出辅助线是解题的关键．13．在一次数学活动中，嘉淇利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD .如图，嘉淇与假山的水平距离BD 为6m ，他的眼睛距地面的高度为1.6m ，嘉淇的视线经过量角器零刻度线OA 和假山的最高点C ，此时，铅垂线OE 经过量角器的60︒刻度线，则假山的高度CD 为（）A ．()23 1.6m +B ．()22 1.6m +C ．()43 1.6m +D ．23m【答案】A【解析】【分析】根据已知得出AK=BD=6m ，再利用tan30°= 6CK CK AK =，进而得出CD 的长．【详解】解：如图，过点A 作AK ⊥CD 于点K∵BD=6米，李明的眼睛高AB=1.6米，∠AOE=60°，∴DB=AK ，AB=KD=1.6米，∠CAK=30°，∴tan30°=6CK CK AK =，解得：3即3（3+1.6）m ．故选：A ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意构造直角三角形，解答关键是应用锐角三角函数定义.14．如图，两根竹竿AB 和AD 斜靠在墙CE 上，量得60BAC ∠=︒，70DAC ∠=︒，则竹竿AB 与AD 的长度之比为（）．A ．2sin70︒B ．2cos70︒C ．2tan70︒D ．2tan 70︒【答案】B【解析】【分析】直接利用锐角三角函数关系分别表示出AB ，AD 的长，即可得出答案．【详解】解：∵∠BAC=60°，∠DAC=70°，∴cos60°=12AC AB =，则AB=2AC ， ∴cos70°=AC AD， ∴AC=AD •cos70°， AD=cos70AC ︒， ∴2cos70AC AC AB AD=︒=2cos70°．故选：B ．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确表示出各边长是解题关键．15．如图，等边ABC V 边长为a ，点O 是ABC V 的内心，120FOG ∠=︒，绕点O 旋转FOG ∠，分别交线段AB 、BC 于D 、E 两点，连接DE ，给出下列四个结论：①ODE V 形状不变；②ODE V 的面积最小不会小于四边形ODBE 的面积的四分之一；③四边形ODBE 的面积始终不变；④BDE V 周长的最小值为1.5a ．上述结论中正确的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A【解析】【分析】连接OB 、OC ，利用SAS 证出△ODB ≌△OEC ，从而得出△ODE 是顶角为120°的等腰三角形，即可判断①；过点O 作OH ⊥DE ，则DH=EH ，利用锐角三角函数可得OH=12OE 和3OE ，然后三角形的面积公式可得S △ODE 32，从而得出OE 最小时，S △ODE 最小，根据垂线段最短即可求出S △ODE 的最小值，然后证出S 四边形ODBE =S △OBC 23即可判断②和③；求出BDE V 的周长=a ＋DE ，求出DE 的最小值即可判断④．【详解】解：连接OB 、OC∵ABC V 是等边三角形，点O 是ABC V 的内心，∴∠ABC=∠ACB=60°，BO=CO ，BO 、CO 平分∠ABC 和∠ACB ∴∠OBA=∠OBC=12∠ABC=30°，∠OCA=∠OCB=12∠ACB=30° ∴∠OBA=∠OCB ，∠BOC=180°－∠OBC －∠OCB=120° ∵120FOG ∠=︒∴∠=FOG ∠BOC∴∠FOG －∠BOE=∠BOC －∠BOE∴∠BOD=∠COE在△ODB 和△OEC 中BOD COE BO COOBD OCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ODB ≌△OEC∴OD=OE∴△ODE 是顶角为120°的等腰三角形，∴ODE V 形状不变，故①正确；过点O 作OH ⊥DE ，则DH=EH∵△ODE 是顶角为120°的等腰三角形∴∠ODE=∠OED=12（180°－120°）=30° ∴OH=OE·sin ∠OED=12OE ，EH= OE·cos ∠OED=3OE ∴DE=2EH=3OE ∴S △ODE =12DE·OH=34OE 2 ∴OE 最小时，S △ODE 最小，过点O 作OE′⊥BC 于E′，根据垂线段最短，OE′即为OE 的最小值∴BE ′=12BC=12a 在Rt △OBE ′中 OE′=BE′·tan ∠OBE ′=12a 33 ∴S △ODE 3223 ∵△ODB ≌△OEC∴S 四边形ODBE =S △ODB ＋S △OBE = S △OEC ＋S △OBE =S △OBC =1223 23=1423 ∴S △ODE ≤14S 四边形ODBE 即ODE V 的面积最小不会小于四边形ODBE 的面积的四分之一，故②正确； ∵S 四边形ODBE 23 ∴四边形ODBE 的面积始终不变，故③正确；∵△ODB ≌△OEC∴DB=EC∴BDE V 的周长=DB ＋BE ＋DE= EC ＋BE ＋DE=BC ＋DE=a ＋DE∴DE 最小时BDE V 的周长最小∵DE=3OE ∴OE 最小时，DE 最小而OE 的最小值为OE′=3a ∴DE 的最小值为3×3a =12a ∴BDE V 的周长的最小值为a ＋12a =1.5a ，故④正确；综上：4个结论都正确，故选A ．【点睛】此题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数、三角形的面积公式和垂线段最短的应用，掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数、三角形的面积公式和垂线段最短是解决此题的关键．16．如图，一架飞机在点A 处测得水平地面上一个标志物P 的俯角为α，水平飞行m 千米后到达点B 处，又测得标志物P 的俯角为β，那么此时飞机离地面的高度为( )A ．cot cot m αβ-千米 B ．cot cot m βα-千米 C ．tan tan m αβ-千米 D ．tan tan m βα-千米【答案】A【解析】【分析】根据锐角三角函数的概念进行作答.【详解】在P 点做一条直线垂直于直线AB 且交于点O ，由锐角三角函数知，AO=PO cot α，BO=PO cot β，又AB=m=AO-BO= PO cot α- PO cot β=cot cot m αβ-. 所以答案选A. 【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数是本题解题关键.17．如图，一艘轮船从位于灯塔C 的北偏东60°方向，距离灯塔60 n mile 的小岛A 出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C 的南偏东45°方向上的B 处，这时轮船B 与小岛A 的距离是( )A．303n mile B．60 n mile C．120 n mile D．(30303)+n mile 【答案】D【解析】【分析】过点C作CD⊥AB，则在Rt△ACD中易得AD的长，再在直角△BCD中求出BD，相加可得AB的长．【详解】过C作CD⊥AB于D点，∴∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=60．在Rt△ACD中，cos∠ACD=CD AC，∴CD=AC•cos∠ACD=60×33032=．在Rt△DCB中，∵∠BCD=∠B=45°，∴3∴3答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（3）nmile．故选D．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．18．如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC=1，∠ABC=30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（）A．2 B．3C．2D．1 2【答案】B【解析】【分析】连接OA，由圆周角定理可求出∠AOC=60°，再根据∠AOC的正切即可求出PA的值.【详解】连接OA，∵∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∵PA是圆的切线，∴∠PAO=90°，∵tan∠AOC =PA OA,∴PA= tan60°×1=3.故选B.【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的性质及锐角三角函数的知识，根据圆周角定理可求出∠AOC=60°是解答本题的关键.19．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，BC＝a，那么AC等于（）A．a•tanαB．a•cotαC．a•sinαD．a•cosα【答案】B【解析】【分析】画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可.【详解】如图，∠C＝90°，∠A＝α，BC＝a，∵cotαAC BC ，∴AC＝BC•cotα＝a•cotα，故选：B．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比；余弦是角的邻边与斜边的比；正切是对边与邻边的比；余切是邻边与对边的比；熟练掌握三角函数的定义是解题关键.20．如图，Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=3BO，OB在x轴上，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转至△RtA'OB'，其中点B'落在反比例函数y=﹣2x的图象上，OA'交反比例函数y=kx的图象于点C，且OC=2CA'，则k的值为（）A．4 B．72C．8 D．7【答案】C【解析】【详解】解：设将Rt△AOB绕点O顺时针旋转至Rt△A'OB'的旋转角为α，OB=a，则OA=3a，由题意可得，点B′的坐标为（acosα，﹣asinα），点C的坐标为（2asinα，2acosα），∵点B'在反比例函数y=﹣2x的图象上，∴﹣asinα=﹣2acosα，得a2sinαcosα=2，又∵点C在反比例函数y=kx的图象上，∴2acosα=k2asinα，得k=4a2sinαcosα=8.故选C.【点睛】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合问题，解此题的关键在于先设旋转角为α，利用旋转的性质和三角函数设出点B'与点C的坐标，再通过反比例函数的性质求解即可.。

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