【课堂新坐标】高中数学人教版选修1-2练习：3.1.1数系的扩充和复数的概念
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学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．复数－2i的实部与虚部分别是()
A．0,2 B．0,0
C．0，－2 D．－2,0
【解析】－2i的实部为0，虚部为－2.
【答案】 C
2．(2016·鹤岗高二检测)若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为() A．1 B．2
C．－1或－2 D．1或2
【解析】由{a2－3a＋2＝0，a－1≠0，得a＝2.
【答案】 B
3．若a，b∈R，i是虚数单位，且b＋(a－2)i＝1＋i，则a＋b的值为()
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】由b＋(a－2)i＝1＋i，得b＝1，a＝3，所以a＋b＝4.
【答案】 D
4．在下列命题中，正确命题的个数是()
①两个复数不能比较大小；
②若z1和z2都是虚数，且它们的虚部相等，则z1＝z2；
③若a，b是两个相等的实数，则(a－b)＋(a＋b)i必为纯虚数．
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】两个复数，当它们都是实数时，是可以比较大小的，故①错误；
设z1＝a＋b i(a，b∈R，b≠0)，z2＝c＋d i(c，d∈R，且d≠0)，因为b＝d，所以z2＝c＋b i.
当a＝c时，z1＝z2，当a≠c时，z1≠z2，故②错误；
③当a＝b≠0时，(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数，当a＝b＝0时，(a－b)＋(a＋b)i＝0是实数，故③错误，因此选A.
【答案】 A
5．下列命题中，正确命题的个数是()
①若x，y∈C，则x＋y i＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②若a ，b ∈R 且a >b ，则a ＋i>b ＋i ；
③若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0.
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【解析】 对于①，由于x ，y ∈C ，所以x ，y 不一定是x ＋y i 的实部和虚部，故①是假命题；
对于②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题；
对于③，如12＋i 2＝0，但1≠0，i≠0，故③是假命题．
【答案】 A
5．已知复数z ＝(a 2－4)＋(a －3)i(a ，b ∈R)，则“a ＝2”是“z 为纯虚数”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
【解析】 因为复数z ＝(a 2－4)＋(a －3)i(a ，b ∈R)为纯虚数⇔{ a 2－4＝0，a －3≠0⇔
a ＝±2, 所以“a ＝2”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件．
【答案】 A
二、填空题
6．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是________．
【解析】 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i ，实部为－3，故应填3－3i.
【答案】 3－3i
7．若x 是实数，y 是纯虚数，且(2x －1)＋2i ＝y ，则x ，y 的值为________.
【导学号：19220037】
【解析】 由(2x －1)＋2i ＝y ，得{ 2x －1＝0，
＝y ，
∴x ＝12
，y ＝2i. 【答案】 x ＝12
，y ＝2i 8．给出下列说法：
①复数由实数、虚数、纯虚数构成；
②满足x 2＝－1的数x 只有i ；
③形如b i(b ∈R)的数不一定是纯虚数；
④复数m ＋n i 的实部一定是m .
其中正确说法的个数为________．
【解析】 ③中，b ＝0时，b i ＝0不是纯虚数．故③正确；①中，复数分为实数与虚数
两大类；②中，平方为－1的数是±i ；④中，m ，n 不一定为实数，故①②④错误．
【答案】 1
三、解答题
9．已知复数z ＝m (m －1)＋(m 2＋2m －3)i ，当实数m 取什么值时：(1)复数z 是零；(2)复数z 是纯虚数．
【解】 (1)∵z 是零，
∴{ m m －
＝0，m 2＋2m －3＝0，
解得m ＝1.
(2)∵z 是纯虚数，
∴{ m m －＝0，m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0. 综上，当m ＝1时，z 是零；当m ＝0时，z 是纯虚数．
10．已知集合M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1,1,4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值．
【解】 因为M ∪P ＝P ，所以M ⊆P ，
即(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i.
由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，得
{ m 2－2m ＝－1，
m 2＋m －2＝0，解得m ＝1； 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，得 { m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2.
综上可知，m ＝1或m ＝2.
[能力提升]
1．已知复数z ＝a 2＋(2a ＋3)i(a ∈R)的实部大于虚部，则实数a 的取值范围是( )
A ．－1或3
B ．{a |a >3或a <－1}
C ．{a |a >－3或a <1}
D ．{a |a >3或a ＝－1}
【解析】 由已知可以得到a 2>2a ＋3，即a 2－2a －3>0，解得a >3或a <－1，因此，实数a 的取值范围是{a |a >3或a <－1}．
【答案】 B
2．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ值为( )
A.π4
B.π4或54π C ．2k π＋π4(k ∈Z) D ．k π＋π4
(k ∈Z) 【解析】 由复数相等定义得{ cos θ＝sin θ，
θ＝cos θ， ∴tan θ＝1，
∴θ＝k π＋π4
(k ∈Z)． 【答案】 D
3．若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，则实数x 的值是________．
【解析】 ∵log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，
∴{ log 2x 2－3x －，2x 2＋2x ＋＝0， ∴{ x 2－3x －2>2，x 2＋2x ＋1＝1，
∴{ x >4或x <－1，
x ＝0或x ＝－2.
∴x ＝－2.
【答案】 －2 4．已知关于x 的方程x 2＋(k ＋2i)x ＋2＋k i ＝0有实根x 0，求x 0以及实数k 的值.
【导学号：19220038】
【解】 x ＝x 0是方程的实根，代入方程并整理，得 (x 20＋kx 0＋2)＋(2x 0＋k )i ＝0.
由复数相等的充要条件，得
{ x 20＋kx 0＋2＝0，x 0＋k ＝0，解得{ x 0＝2，k ＝－22或{ x 0＝－
2，k ＝2 2. ∴方程的实根为x 0＝2或x 0＝－2，相应的k 值为k ＝－22或k ＝2 2.。
