2008湘潭大学高等代数考研真题

科目名称：《高等代数》姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌一、填空题（每小题5分，共25分）1、 在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为 。

2、 向量组()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩 为 ，一个最大无关组为 .。

3、 （维数公式）如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么 。

4、 假设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=175131023A 的特征根是 ，特征向量分别为 。

5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为二、是非题（每小题2分，共20分）1、如果r a a a ,,,21 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。

（ ）2、在][x P 中，定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0，是一固定的数，那么变换A 是线性变换。

（ ）3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间，那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。

（ ）4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。

（ ）5、 令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量，那么δ是4R 到自身的线性变换。

其中),,,()(24232221x x x x =ξδ。

（ ）6、 矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。

（ ）7、 若矩阵A 与B 相似，那么A 与B 等价。

（ ） 8、 n 阶实对称矩阵A 有n 个线性无关的特征向量。

（ ）9、 在)(2R M 中，若W 由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么W 是)(2R M 的子空间。

（ ）10、齐次线性方程组0)(=-X A E λ的非零解向量是A 的属于λ的特征向量。

故 线性无关．
（Ⅱ）记 则 可逆，
即 .
【难易度】★★
【详解】
解析：
则 。记 ，则
则 ，正、负惯性指数相同，故选
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）已知函数 连续，且 ，则
【答案】2
【考点】等价无穷小
【难易度】★★
【详解】
解析：利用等价无穷小因子替换有
.
（10）微分方程 的通解是 .
【答案】y＝Cx－xe－x，其中C为任意常数
2个无穷间断点
2个跳跃间断点
【答案】
【考点】函数间断点的类型
【难易度】★★
Hale Waihona Puke 【详解】解析： 的间断点为 ，而 ，故 是可去间断点；
， ，故 是跳跃间断点
故选 .
（5）设函数 在 内单调有界， 为数列，下列命题正确的是（ ）
若 收敛，则 收敛. 若 单调，则 收敛.
若 收敛，则 收敛. 若 单调，则 收敛.
【详解】
解析：令
得方程组 即 ，解得 或
得 .
.
（22）（本题满分11分）
设 元线性方程组 ，其中 ， ， .
（Ⅰ）证明行列式 ；
（Ⅱ）当 为何值时，该方程组有唯一解，求 ；
（Ⅲ）当 为何值时，该方程组有无穷多解，求通解.
【考点】行列式的基本性质，非齐次线性方程组解的判定
【难易度】★★★
【详解】
解析：（Ⅰ）证明：消元法．记
．
（Ⅱ）由克莱姆法则， 时方程组有唯一解，故 时方程组有唯一解.
由克莱姆法则，将 得第一列换成 ，得行列式为
所以， ．
（Ⅲ）当 时，方程组为
此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为 ，所以方程组有无穷多组解，其通解为 ，其中 为任意常数．

nx
2
=1-- 六3 -.I,-
41记10=70 1
(—1y+1 n2
cos
nx,
0� 正女．
令x = O,有
2
穴
,=(-l)n+l
f(O) = l--3 +4n�= l n 2
,
又f(O)=l, 所以 (20)证 (I) r(A)=r(a矿+PJJT)
I:=(-l)n -1
ne=l
n"
2
=— 1穴2"
a2 2a l
矿 2a,,,
以下用数学归纳法证明D n =Cn+Da气
当n = l时 ， D 1 = 2a, 结论成立．
2a 当n = 2时 ， 几=
a
1 = 3a2 ，结论成立．
2a
假设结论对小于n的情况成立．将D n 按第1行展开 ， 得 矿1
0 2a 1
D ,, = 2aD n_l -
矿 2a 1
尸 2-2z 2= 0,
2x+3z = 5,
解得
(� — x= — 5,
1
x= l,
5, 或{y�],
之 = 5,
之 = 1.
根据几何意义，曲线 C 上存在距离 xOy 面最远的点和最近的点，故所求点依次为( — 5' — 5,5)
和(1,1,1).
08) CI) 证
对任意的x, 由于J是连续函数，所以
所以所求微分方程为
y/f/ -y"+4y'-4y=O.
(4) B
解 若{xn }单调，则由f(x)在(— =, 十=)内单调有界知，订(xn )}单调有界，因此

全国2008年07月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设3阶方阵A=[321,,ααα]，其中i α（i=1, 2, 3）为A 的列向量，且|A|=2，则|B|=|[3221,,3ααα+α]|=（ C ） A.-2 B.0 C.2 D.62.若方程组⎩⎨⎧=-=+0x kx 0x x 2121有非零解，则k=（ A ）A.-1B.0C.1D.23.设A ，B 为同阶可逆方阵，则下列等式中错误的是（ C ） A.|AB|=|A| |B|B. (AB)-1=B-1A-1C. (A+B)-1=A-1+B-1D. (AB)T=BTAT4.设A 为三阶矩阵，且|A|=2，则|（A*）-1|=（ D ）A.41B.1C.2D.45.已知向量组A ：4321,,,αααα中432,,ααα线性相关，那么（ B ）A. 4321,,,αααα线性无关B. 4321,,,αααα线性相关C. 1α可由432,,ααα线性表示D. 43,αα线性无关 6.向量组s 21,,ααα 的秩为r ，且r<s ，则（ C ） A. s 21,,ααα 线性无关B. s 21,,ααα 中任意r 个向量线性无关C. s 21,,ααα 中任意r+1个向量线性相关D. s 21,,ααα 中任意r-1个向量线性无关 7.若A 与B 相似，则（ D ） A.A ，B 都和同一对角矩阵相似 B.A ，B 有相同的特征向量C.A-λE=B-λED.|A|=|B|8.设1α，2α是Ax=b 的解，η是对应齐次方程Ax=0的解，则（ B ） A. η+1α是Ax=0的解B. η+（1α-2α）是Ax=0的解C. 1α+2α是Ax=b 的解D. 1α-2α是Ax=b 的解 9.下列向量中与α=（1，1，-1）正交的向量是（ D ） A. 1α=（1，1，1） B. 2α=（-1，1，1） C. 3α=（1，-1，1） D. 4α=（0，1，1）10.设A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2111，则二次型f(x1，x2)=xTAx 是（ B ）A.正定B.负定C.半正定D.不定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 请在每小题的空格中填上正确答案。