迭代法求非线性方程的根讲解

Newton迭代法求解非线性方程一、 Newton 迭代法概述构造迭代函数的一条重要途径是用近似方程来代替原方程去求根。

因此，如果能将非线性方程f (x )=0用线性方程去代替，那么，求近似根问题就很容易解决，而且十分方便。

牛顿(Newton)法就是一种将非线性方程线化的一种方法。

设k x 是方程f (x )=0的一个近似根，把如果)(x f 在k x 处作一阶Taylor 展开，即：)x x )(x ('f )x (f )x (f k k k -+≈ (1-1)于是我们得到如下近似方程：0)x x )(x ('f )x (f k k k =-+ (1-2)设0)('≠k x f ，则方程的解为：x ̅=x k +f(x k )f(x k )́ (1-3)取x ~作为原方程(1.1)的新近似根1+k x ，即令： )x ('f )x (f x x k k k 1k -=+, k=0,1,2,… (1-4) 上式称为牛顿迭代格式。

用牛顿迭代格式求方程的根的方法就称为牛顿迭代法，简称牛顿法。

牛顿法具有明显的几何意义。

方程：)x x )(x ('f )x (f y k k k -+= (1-5) 是曲线)x (f y =上点))x (f ,x (k k 处的切线方程。

迭代格式(1-4)就是用切线式(1-5)的零点来代替曲线的零点。

正因为如此，牛顿法也称为切线法。

牛顿迭代法对单根至少是二阶局部收敛的，而对于重根是一阶局部收敛的。

一般来说，牛顿法对初值0x 的要求较高，初值足够靠近*x 时才能保证收敛。

若要保证初值在较大范围内收敛，则需对)x (f 加一些条件。

如果所加的条件不满足，而导致牛顿法不收敛时，则需对牛顿法作一些改时，即可以采用下面的迭代格式：)x ('f )x (f x x k k k 1k λ-=+,⋯=,2,1,0k (1-6)上式中，10<λ<，称为下山因子。

非线性方程求根——牛顿迭代法一、牛顿迭代法的基本思想基本思想：将非线性方程逐步归结为某种线性方程求解。

设方程f (x )=0有近似根x k （f `(x k )≠0），将f (x )在x k 展开：（ξ在x 和x k 之间）2()()()()()()2!k k k k f f x f x f x x x x x ξ'''=+-+-()()()()k k k f x f x f x x x '≈+-可设记该线性方程的根为x k +1，则()()()0k k k f x f x x x '+-=1()()k k k k f x x x f x +=-'故f (x )=0可近似表示为即为Newton 法迭代格式。

（k =0,1,……）例：用Newton 迭代法求方程310x x --=在x 0=1.5附近的近似实根。

解：32()1,()31f x x x f x x '=--=-迭代公式为312131kk k k k x x x x x +--=--计算步骤如下:（1）取初值x 0=1.5;（2）按照迭代公式计算x 1；（3）若|x 1-x 0|<=0.00001，终止迭代；否则，x 0=x 1；转(2)；（4）输出迭代次数和近似根.二、牛顿迭代法的实现MATLAB求解程序设计：方程及一阶导数函数：function[fun,dfun]=fun0(x)fun=x^3-x-1;%求原函数的值dfun=3*x^2-1;%求一阶导数的值计算主程序：clearx0=1.5;[fun,dfun]=fun0(x0);x1=x0-fun/dfun;i=1;while abs(x1-x0)>1e-5x0=x1;[fun,dfun]=fun0(x0);x1=x0-fun/dfun;i=i+1;enddisp('the solution is x1=')x1disp('the iter time is ')i计算结果为：the solution is x1=x1 =1.3247the iter time isi =4可见经过4次迭代即到达要求的精度，原方程的一个近似实数根为1.3247.三、牛顿迭代法的收敛性牛顿迭代法的迭代函数：)()()(x f x f x x '-=ϕ222)]([)()()]([)()()]([1)(x f x f x f x f x f x f x f x '''='''-'-='ϕ设f (x *)=0，f `(x *)≠0，则ϕ`(x *)=0，故Newton 迭代法在x *附近至少平方收敛。

解非线性方程的牛顿迭代法及其应用一、本文概述非线性方程是数学领域中的一个重要研究对象，其在实际应用中广泛存在，如物理学、工程学、经济学等领域。

求解非线性方程是一个具有挑战性的问题，因为这类方程往往没有简单的解析解，需要通过数值方法进行求解。

牛顿迭代法作为一种古老而有效的数值求解方法，对于求解非线性方程具有重要的应用价值。

本文旨在介绍牛顿迭代法的基本原理、实现步骤以及在实际问题中的应用。

我们将详细阐述牛顿迭代法的基本思想，包括其历史背景、数学原理以及收敛性分析。

我们将通过具体实例，展示牛顿迭代法的计算步骤和实际操作过程，以便读者能够更好地理解和掌握该方法。

我们将探讨牛顿迭代法在各个领域中的实际应用，包括其在物理学、工程学、经济学等领域中的典型应用案例，以及在实际应用中可能遇到的问题和解决方法。

通过本文的介绍，读者可以深入了解牛顿迭代法的基本原理和应用技巧，掌握其在求解非线性方程中的实际应用方法，为进一步的研究和应用提供有力支持。

二、牛顿迭代法的基本原理牛顿迭代法，又称为牛顿-拉夫森方法，是一种在实数或复数域上近似求解方程的方法。

其基本原理是利用泰勒级数的前几项来寻找方程的根。

如果函数f(x)在x0点的导数f'(x0)不为零，那么函数f(x)在x0点附近可以用一阶泰勒级数来近似表示，即：这就是牛顿迭代法的基本迭代公式。

给定一个初始值x0，我们可以通过不断迭代这个公式来逼近f(x)的根。

每次迭代，我们都用当前的近似值x0来更新x0，即：这个过程一直持续到满足某个停止条件，例如迭代次数达到预设的上限，或者连续两次迭代的结果之间的差小于某个预设的阈值。

牛顿迭代法的收敛速度通常比线性搜索方法快，因为它利用了函数的导数信息。

然而，这种方法也有其局限性。

它要求函数在其迭代点处可导，且导数不为零。

牛顿迭代法可能不收敛，如果初始点选择不当，或者函数有多个根，或者根是重根。

因此，在使用牛顿迭代法时，需要谨慎选择初始点，并对迭代过程进行适当的监控和调整。

数值分析非线性方程的数值解法数值分析是一种应用数学方法来分析和解决数学问题的领域。

非线性方程是数值分析中一类重要的问题，其解法包括了迭代法、牛顿法、割线法等。

本文将详细介绍这些数值解法及其原理和应用。

一、迭代法迭代法是解非线性方程的一种常用数值方法。

该方法的基本思想是通过不断迭代逼近方程的根，直到达到所需精度或满足停止准则为止。

迭代法的求根过程如下：1.选择适当的初始值x0。

2. 利用迭代公式xn+1 = g(xn)，计算下一个近似根。

3.重复步骤2，直到满足停止准则为止。

常用的迭代法有简单迭代法、弦截法和牛顿法。

简单迭代法的迭代公式为xn+1 = f(xn)，其中f(x)为原方程的一个改写形式。

该方法的收敛性要求函数f(x)在解附近有收敛性且导数在一个区间内收敛。

弦截法的迭代公式为xn+1 = xn - f(xn) * (xn-xn-1) / (f(xn)-f(xn-1))。

该方法通过连接两个点上的函数值的割线来逼近方程的根。

牛顿法的迭代公式为xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn)，其中f'(x)为f(x)的导数。

该方法通过用切线来逼近方程的根。

二、牛顿法牛顿法是解非线性方程的一种常用迭代法。

该方法通过使用方程的导数来逼近方程的根。

迭代过程如下：1.选择适当的初始值x0。

2. 利用迭代公式xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn)，计算下一个近似根。

3.重复步骤2，直到满足停止准则为止。

牛顿法的收敛速度较快，但要求方程的导数存在且不为0。

三、割线法割线法是解非线性方程的另一种常用迭代法。

该方法通过连接两个点上的函数值的割线来逼近方程的根。

迭代过程如下：1.选择适当的初始值x0和x12. 计算下一个近似根xn+1 = xn - f(xn) * (xn-xn-1) / (f(xn)-f(xn-1))。

3.重复步骤2，直到满足停止准则为止。

割线法的收敛速度介于简单迭代法和牛顿法之间。

简单迭代法求方程的根1. 引言简单迭代法是一种常用的求解非线性方程根的方法。

它基于方程的连续性和局部斜率连续的性质，通过迭代逼近方程的根。

在本文中，我们将详细介绍简单迭代法的原理和步骤，并使用MATLAB编写代码来解决方程求根问题。

2. 简单迭代法原理简单迭代法的基本思想是，将非线性方程转化为迭代形式，通过不断迭代逼近方程的根。

其原理基于不动点定理，即给定一个函数f(x)，若存在一个不动点x∗，满足x∗=f(x∗)，则迭代过程x k+1=f(x k)中的序列x k将收敛到x∗。

对于求解方程f(x)=0的问题，我们可以将其转化为x=g(x)的形式，其中g(x)= x−f(x)，且f′(x)不等于0。

这样，我们可以通过迭代逼近x=g(x)的根，从而得f′(x)到原方程的解。

3. 简单迭代法步骤简单迭代法的步骤如下：3.1 选择初始点选择一个合适的初始点x0作为迭代的起点。

3.2 迭代计算根据迭代公式x k+1=g(x k)，计算序列x k的下一个值。

3.3 判断终止条件根据预设的终止条件，判断是否满足终止条件。

常用的终止条件包括： - 迭代次数达到预设的最大值。

- 迭代过程中下一个值与当前值之差小于预设的精度。

3.4 输出结果当满足终止条件时，输出最终的逼近根的值。

4. 简单迭代法在MATLAB中的实现以下是简单迭代法在MATLAB中的实现代码：function root = simple_iter_method(f, g, x0, max_iter, precision) % f: 原方程% g: 迭代函数% x0: 初始点% max_iter: 最大迭代次数% precision: 精度x = x0;iter = 0;while iter < max_iterx_next = feval(g, x); % 使用feval函数计算迭代值if abs(x_next - x) < precisionroot = x_next;return;endx = x_next;iter = iter + 1;enderror('达到最大迭代次数，未找到合适的解');end5. 示例与应用5.1 示例：求解方程x2−3x+2=0。

Newton迭代法求解非线性方程Newton迭代法求解非线性方程一、 Newton 迭代法概述构造迭代函数的一条重要途径是用近似方程来代替原方程去求根。

因此，如果能将非线性方程f (x )=0用线性方程去代替，那么，求近似根问题就很容易解决，而且十分方便。

牛顿(Newton)法就是一种将非线性方程线化的一种方法。

设k x 是方程f (x )=0的一个近似根，把如果)(x f 在k x 处作一阶Taylor 展开，即：)x x )(x ('f )x (f )x (f k k k -+≈ (1-1)于是我们得到如下近似方程：0)x x )(x ('f )x (f k k k =-+ (1-2)设0)('≠k x f ，则方程的解为：x ?=x k +f (x k )f (x k )?(1-3)取x ~作为原方程的新近似根1+k x ，即令： )x ('f )x (f x x k k k 1k -=+, k=0,1,2,…(1-4)上式称为牛顿迭代格式。

用牛顿迭代格式求方程的根的方法就称为牛顿迭代法，简称牛顿法。

牛顿法具有明显的几何意义。

方程：)x x )(x ('f )x (f y k k k -+= (1-5)是曲线)x (f y =上点))x (f ,x (k k 处的切线方程。

迭代格式(1-4)就是用切线式(1-5)的零点来代替曲线的零点。

正因为如此，牛顿法也称为切线法。

牛顿迭代法对单根至少是二阶局部收敛的，而对于重根是一阶局部收敛的。

一般来说，牛顿法对初值0x 的要求较高，初值足够靠近*x时才能保证收敛。

若要保证初值在较大范围内收敛，则需对)x (f 加一些条件。

如果所加的条件不满足，而导致牛顿法不收敛时，则需对牛顿法作一些改时，即可以采用下面的迭代格式：)x ('f )x (f x x k k k 1k λ-=+,=,2,1,0k (1-6)上式中，10<λ<，称为下山因子。

牛顿迭代法求根c语言牛顿迭代法是一种常用的数值计算方法，其可以用来求解非线性方程的根。

本文将介绍牛顿迭代法的基本原理和实现方法，并提供一些使用C语言实现牛顿迭代法求根的示例代码。

一、牛顿迭代法的原理在介绍牛顿迭代法的原理之前，我们先来看一个简单的例子。

假设我们要求解方程f(x) = 0的近似根，其中f(x)是一个可导函数。

我们可以通过利用切线来逼近方程f(x) = 0的根。

具体地，我们可以选择一个起始点x0，然后在x0处取得f(x0)的切线，将其延长到x轴上的交点x1，那么x1就是f(x) = 0的一个近似根。

可以通过数学方法得到x1的表达式：x1 = x0 - f(x0) / f'(x0)其中f'(x0)表示函数f(x)在x0处的导数。

换句话说，我们使用f(x)在x0处的切线来近似替代f(x)的图形，直到得到f(x) = 0的一个近似根为止。

这就是牛顿迭代法的基本思想。

牛顿迭代法的具体步骤如下：1. 选择一个起始点x0；2. 使用f(x)在x0处的切线来近似替代f(x)的图形；3. 在切线上取得x轴的交点x1； 4. 将x1作为新的起始点，重复步骤2和3，直到得到近似根。

二、牛顿迭代法的实现牛顿迭代法的实现过程比较简单，但需要注意一些细节。

具体实现可以分为以下几个步骤：1. 定义一个函数f(x)，表示待求解的方程；2. 定义一个函数f_prime(x)，表示函数f(x)在x处的导数；3. 定义一个起始点x0；4. 通过牛顿迭代公式计算出x1； 5. 将x1作为新的起始点，重复步骤4，直到满足精度要求为止。

下面，我们提供一段使用C语言实现牛顿迭代法求根的代码示例：```c #include<stdio.h> #include<math.h>#define EPSILON 0.0001double f(double x) { // 表示待求解的非线性方程 return x*x*x - x*x + 2; }double f_prime(double x) { // 表示f(x)在x 处的导数 return 3*x*x - 2*x; }double newton_raphson(double x) { // 牛顿迭代法求根 double x0 = x;while (1) { double x1 = x0 - f(x0) / f_prime(x0);if (fabs(x1 - x0) < EPSILON) return x1;x0 = x1; } }int main() { double x = 0;printf("The root is: %lf\n",newton_raphson(x));return 0; } ```代码中，定义了非线性方程f(x)和它在x处的导数f_prime(x)，然后利用牛顿迭代法计算出方程的近似根。