第四章 微分方程模型

微分方程模型介绍在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型。

微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。

求解微分方程有三种方法：1）求解析解；2）求数值解（近似解）；3）定性理论方法。

建立微分方程模型的方法：1）利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。

2）微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律3）模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。

下面我们以生态学模型为例介绍微分方程模型的建立过程： 一. 单种群模型1. 马尔萨斯(Malthus)模型假定只有一个种群，()N t 表示t 时刻生物总数，r 表示出生率，0t 表示初始时刻，则生物总数增长的数学模型为()()()00d ,d (1)t t N t rN t t N t N =⎧=⎪⎨⎪=⎩不难得到其解为()0()0r t t N t N e-=.2. 密度制约模型由马尔萨斯模型知，种群总数将以几何级数增长，显然与实际不符，因为种群密度增大时，由于食物有限，生物将产生竞争，或因为传染病不再按照增长率r 增长，因而有必要修改，在(1)式右端增加一项竞争项。

()()()d (1)(2)d N t N t rN t tK=-其中K 为最大容纳量，可以看出当()N t K =时，种群的规模不再增大。

这个模型就是著名的Logistic 模型，可以给出如下解释：由于资源最多仅能维持K 个个体，故每个个体平均需要的资源为总资源的1K，在t 时刻个体共消耗了总资源的()N t K此时资源剩余()1N t K-，因此Logistic 模型表明：种群规模的相对增长率与当时所剩余的资源份量成正比，这种种群密度对种群规模增长的抑制作用。

1 di ds s 1 i s s i0
0
相轨线
相轨线 i ( s) 的定义域
s i ( s ) ( s0 i0 ) s ln s0
i
1
1
D {( s, i ) s 0, i 0, s i 1}
在D内作相轨线 i ( s) 的图形，进行分析
传染病无免疫性——病人治愈成 为健康人，健康人可再次被感染 SIS 模型 3）病人每天治愈的比例为
~日治愈率
N[i(t t ) i(t )] Ns(t )i(t )t Ni(t )t
di i (1 i ) i dt i (0) i0
i(t ), s(t ), r (t ) 的两个方程
模型4
SIR模型
N[i(t t ) i(t )] Ns(t )i(t )t Ni(t )t
N[s(t t ) s(t )] Ns(t )i(t )t
di dt si i ds si dt i (0) i0 , s (0) s0
t dt, 年龄[r dr 1, r dr 1 dr]人数
dt dr1 死亡人数
p(r , t )dr p(r dr 1 , t dt)dr (r , t ) p(r , t )drdt
[ p(r dr1 , t dt) p(r , t dt)] [ p(r , t dt) p(r , t )] (r , t ) p(r , t )dt, dt dr1
0
1-1/
1 i
i0
0
1 , 1 1 i ( ) 1 0,

• t→∞, x(t)→∞, 按指数规律无限增长.
?
3. 指数增长模型的参数估计 (数据拟合) 方法一 直接用人口数据和线性最小二乘法.
rt
x(t ) x0e
1790年 (t=0) 至2000年美国人口数据 最小二乘法 MATLAB编程
r =0.2743/10年，x0 =4.1884
3. 指数增长模型的参数估计 (数据拟合)
x2(t)~原方程的一个特解 由f(t)用待定常数法解出.
(0) x 0 确定任意常数c1, c2 用初始值 x(0) x0 , x
5. 微分方程组 • 包含2个(2个以上)未知函数及其导数. x f ( x, y, t )
g ( x, y, t ) y
• 独立方程的个数等于未知函数个数.
• 通解含2个任意常数,由初始值x(0) x0 , y(0) y0 确定. • 方程组通过求导和代数运算转化为高阶方程.
• 高阶方程通过设置变量转化为方程组.
px qx f (t ) x
y x p(t ) x q(t ) x f (t ) y
年 人口(百万) 增长率/10年 年 人口(百万) 增长率/10年 年 人口(百万) 增长率/10年 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 0.2949 0.3113 0.2986 0.2969 0.2907 0.3012 0.3082 0.2452 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 105.7 122.8 131.7 0.2435 0.2420 0.2051 0.1914 0.1614 0.1457 0.1059 0.1059 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 150.7 179.3 203.2 226.5 248.7 281.4 308.7 0.1579 0.1464 0.1161 0.1004 0.1104 0.1349

第四章 微分方程模型在研究某些实际问题时，经常无法得到各变量之间的联系，问题的特性往往会给出关于变化率之间的一些关系。

利用这些关系，我们可以建立相应的微分方程模型。

事实上，在微分方程课程中，解所谓应用题时已经遇到简单的建立微分方程模型问题，这些问题大多数是物理或几何方面的典型问题，假设条件已经给出，只须用数学符号将已知规律表达出来，即可列出方程，求解的结果就是问题的答案，答案唯一的。

而本章介绍的模型主要是非物理领域的实际问题，要分析具体情况或进行类比才能给出假设条件，作出不同的假设，就得到不同的方程。

问题没有标准答案，求解结果还要用来解释实际现象并接受检验。

第一节 人口模型问题：据考古学家论证，地球上出现生命距今已有20亿年，而人类的出现距今不足200万年。

纵观人类人口总数的增长情况，我们发现：1000年前人口总数为2.75亿，经过漫长的过程到1830年，人口总数为10亿。

又经过100年即1930年，人口总数达20亿。

30年之后，在1960年，人口总数为30亿，又经过15年，1975年的人口总数为40亿，12年之后即1987年，人口总数为50亿。

问：人类人口增长的规律是什么？如何在数学上描述这个规律。

⑴ Multhus 模型：18世纪末，英国神父Multhus 在研究了一百多年的人口统计资料之后，认为在人口自然增长过程中，净相对增长率（出生率-死亡率）为常数，于是提出了著名的Multhus 人口模型。

模型假设：①设)(t x 表示t 时刻的人口数，且)(t x 连续、可微； ②人口增长率r 是常数；③人口数量的变化是封闭的，即人口数量的增长与减少取决于人口中个体的生育和死亡，且每一个体都具有同样的生育能力和死亡率。

模型建立与求解：由假设在时间],[t t t ∆+内人口的增量为t t rx t x t t x ∆=-∆+)()()(，于是有方程⎪⎩⎪⎨⎧==0)0(x x rx dt dx ，求解得rt e x t x 0)(=，即人口增长是按指数规律增长，其图形为模型评价：考虑二百多年来人口增长的实际情况，1961年世界人口总数为3.06⨯109，在1961~1970年这段时间内。