数学建模思想在常微分方程教学中的运用
在大学数学教学中，常微分方程教学十分重要，在整体的数学教学中具有承上启下的意义，另一方面，常微分方程教学与我们的生活息息相关。尽管现阶段常微分方程教学在大学数学中的地位逐渐提高，然而因为教学中存在的一些问题导致教学过程中仍然面临诸多问题，其一常微分方程教学过于重视理论，缺乏实践；其二，课堂中教师忽略学生的主观作用，缺乏学生动手实践的能力，只是学习常微分方程的基础理论，却不能利用其解决实际问题。为了解决这些问题，文章中笔者针对常微分方程教学，对数学建模思想的运用进行了分析。
一、数学建模思想在常微分方程教学中应用重要性
（一）是满足数学应用技能型人才培养的基本需求
现阶段受社会发展的影响，大学阶段学生面临的就业问题十分现实，而就现在的院校而言，培养应用技能型人才已经逐渐成为办学的主要趋势。然而受传统教学观念的影响，教师缺乏具体的实践教学，因此，教师要在教学的同时将理论知识与实践进行结合，重点培养学生解决实际问题的能力。在常微分方程教学中运用数学建模思想，能够重点培养学生的应用技能，同时也是满足数学应用技能型人才培养的基本需求，是大学阶段进行数学常微分方程教学的主要教学手段，学生通过对建模思想的学习，能够提高自身的理论的实际应用水平，培养其应用实践技能。
（二）是满足常微分方程教学设置的基本要求
大学阶段的常微分方程教学是数学专业的一门必修课程，然而在具体的课程设置中，在数学分析、以及高等代数等一些专业课程教学之后会进行常微分方程教学，由此可以奠定常微分方程教学在数学专业教学中的重要位置。为此，在大学阶段的数学专业中，常微分方程教学具有特殊的地位，同样也是数学专业课程设置中最为重要的课程。将数学建模思想在常微分方程教学中运用，实现数学理论与实践的融合，对大学阶段的数学教学都具有十分重要的影响，可以从中呈现数学课程设置的科学合理性。
二、数学建模思想在常微分方程教学中的运用
微分方程模型
1.1微分方程模型简介
对于现实世界的变化，人们关注的往往是变量之间的变化率， 或者变化速度、加速度以
及所处的位置随时间的发展规律，之中的规律一般可以写成一个（偏）微分方程或方程组。
所以实际问题中，有大批的问题可以用微分方程来建立数学模型，涉及的领域包括物理学、
化学、天文学、生物学、力学、政治、经济、军事、人口、资源等等。微分方程建模是数学
建模的重要方法，因为许多实际问题的数学描述将导致求解微分方程的定解问题。 把形形色
色的实际问题化成微分方程的定解问题，大体上可以按以下几步：
1•、根据实际要求确定要研究的量 （自变量、未知函数、必要的参数等 ）并确定坐标系；
2•、找出这些量所满足的基本规律 （物理的、几何的、化学的或生物学的等等 ）；
3•、运用这些规律列出方程和定解条件。
2.1微分方程模型运用实例
例1:发射卫星为什么用三级火箭
采用运载火箭把人造卫星发射到高空轨道上运行， 为什么不能用一级火箭而必须用多级
火箭系统？
下面通过建立运载火箭有关的数学模型来回答上述问题。
火箭是一个复杂的系统，为了使问题简单明了，我们只从动力系统和整体结构上分析，
并且假设引擎是足够强大的。
首先解决第一个问题： 为什么不能用一级火箭发射人造卫星， 下面用三个数学模型回答
这个问题：
（1 ）卫星进入600km高空轨道时，火箭必须的最低速度。
首先将问题理想化，假设：
（i）卫星轨道是以地球中心为圆心的某个平面上的圆周，卫星在此轨道上以地球引力 作为向心力绕地球作平面匀速圆周运动；
（ii ）地球是固定于空间中的一个均匀球体，其质量集中于球心；
iii）其它星球对卫星的引力忽略不计。
建模与求解：设地球半径为 R，质量为M ;卫星轨道半径为r，卫星质量为 m。
根据假设（"）和（iii），卫星只受到地球的引力，由牛顿万有引力定律可知其引力大小 为
GMm F — r
其中G为引力常数。
第三章 考虑医生偏好的多目标手术室排程模型
3.1 考虑医生偏好的多目标手术室排程问题描述
我们假设一个手术系统一个排成周期内有N个待排程的手术集合，手术编号为i ，1...iN，为了保证手术室资源的有效利用，所有科室的手术共享医院全部手术室，另外，留有两间手术室专门处理急诊手术，急诊手术室不参与日常手术的排程，只在急诊到达时即时启用。假设医院全部科室拥有K个手术类别，每个类别的手术分别由其对应科室的医生来操作，医生与手术类别不符无法进行手术操作，除执刀医生以外其他资源都可以处理任何科室的手术。每一台手术按其工作地分为两个阶段，分别为手术执行阶段，手术后麻醉恢复阶段，文中简称为手术阶段、恢复阶段两个阶段，手术前手术后及两阶段之间运送时间忽略不计。在手术开始前，每一台手术的所有资源必须全部为可用的状态，手术才可以开始进行，在安排每台手术时，资源的可用状态，开放时间的可用性也必须被考虑进去。医生偏好是指医生对手术的熟练程度以及与其助手团队的亲密度和配合熟练度，偏好的大小影响手术的风险及手术效果，医生偏好值越小，表示医生与其助手团队的亲密度越高，最高为0，若与其助手团队的亲密度非常低，则偏好值为。手术室开放成本是指手术室一旦开放便固定产生的成本，如电费、设备折旧、医护人员日常工资、维持无菌状态的消毒措施、保证设备运转正常的各类检修费用等等。而手术室额外加班成本是指由额外加班带来的开放成本以外的支出，如支付给医生和护士的加班费，额外供给的氧气、额外的器械消耗等等。这里对开放成本Cr和额外加班成本Co进行一下说明，为了便于计算开放成本Cr中包含医护人员的正常工作的薪资、额外加班成本Co包含在正常工作基础上的加班薪资，产生加班时总的加班薪资等于Cr中的薪资部分与Co中薪资部分的和。模型所考虑的目标，是在最合理的资源调配下，对应的医生执行时，确定手术进行的先后顺序，以使手术中心整体的运营成本最小化。
1第三章常用数学模型及建模方法
§3.3平衡原理与机理模型--微分方程微分方程模型如果不考虑随机因素，假设在每个时间点上系统状态是确定的，分析系统随时间的连续变化过程，这样得到的连续时间变量的确定型动态模型通常称为微分方程（组）模型。建模方法1. 微元法在自变量的微小的区间内以简单的线性近似形式描述有关变量之间的平衡关系, 得到差分方程，再利用微分学的思想，通过取极限, 得到以微分方程的形式描述的数学模型。
例1. 人口的自然增长. 建模描述一个地区内人口的自然增殖的过程。即考虑由于人口的生育和死亡所引起的人群数量变化的过程。假设1. 人群个体同质。令N(t)表示t时刻的人口数。假设2群体规模大N(t)连续可微假设2. 群体规模大。N(t) 连续可微. 假设3. 群体封闭，只考虑生育和死亡对人口的影响。平衡关系：人口数在区间[t，t+ t]内的改变量等于这段时间内出生的个体数与死亡的个体数之差。令B(t, t, N), D(t, t, N) 分别表示在时间区间[t，t+ t]内生育数和死亡数, 则有N(t+t)-N(t)=B(t, t,N)-D(t, t,N)
假设4. 从单位时间内大群体的平均效应考虑生育和死亡对人口的影响。（生育率和死亡率）记生育率b(t, N) = B(t, t, N)/N/ t死亡率d(t, N) = D(t, t, N)/N /t记增长率为r(tN)=b(tN)d(tN)r(t, N)= b(t, N)-d(t, N) 则有（差分方程）N(t+t)-N(t)=r(t, N(t))N(t) t两边除以t, 并令t →0, 得到（微分方程）模型：dN/dt=r(t, N)NN(0)=N0假设5. 群体增长恒定。（r与t 无关）dN/dt=r(N) N假设6. 个体增长独立。（r 与N 无关）dN/dt=r N（称dN/dt/ N为种群的平均增长率）
