上海市2020-2021学年青浦区高三数学一模试卷-无答案

数学试题2019.12 1．已知集合U＝{1，3，5，9}，A＝{1，3，9}，B＝{1，9}，则∁U（A∪B）＝．2．若复数z＝i（3﹣2i）（i是虚数单位），则z的模为．3．直线l1：x﹣1＝0和直线l2：x﹣y＝0的夹角大小是．4．我国古代庄周所著的《庄子•天下篇》中引用过一句话：“一尺之棰．日取其半，万世不竭．”其含义是：一根尺长的木棒，每天截下其一半，这样的过程可以无限地进行下去，若把“一尺之棰”的长度记为1个单位，则第n天“日取其半”后，记木棒剩下部分的长度为a n，则a n＝．5．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，角α的终边与单位圆的交点坐标是（，），则sin2α＝．6．已知正四棱柱底面边长为2，体积为32，则此四棱柱的表面积为．7．设x，y∈R+，若4x1．则的最大值为．8．已知数列{a n}中，a1＝1，a n﹣a n﹣1（n∈N*），则a n＝．9．某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到A、B、C三个不同的乡镇中学，现要求甲乙两位名优老师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名优教师，则不同的分配方案共有种．10．已知对于任意给定的正实数k，函数f（x）＝2x+k•2﹣x的图象都关于直线x＝m成轴对称图形，则m＝．11．如图，一矩形ABCD的一边AB在x轴上，另两个顶点C、D在函数f（x），x＞0的图象上，则此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值是．12．已知点P在双曲线1上，点A满足（t﹣1）（t∈R），且•60，（0，1），则||的最大值为．13．使得（3x）n（n∈N*）的展开式中含有常数项的最小的n为（）A．4B．5C．6D．714．对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是（）A．若m⊊α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交B．若m⊥α，m⊥β，n∥α，则n∥βC．若m⊊α，n∥α，m，n共面于β，则m∥nD．若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线15．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点作两条相互垂直的弦AB和CD，则的值为（）A．B．C．2p D．16．设等比数列{a n}的公比为q，其前n项之积为T n，并且满足条件：a1＞1，a2019a2020＞1，0，给出下列结论：①0＜q＜1；②a2019a2021﹣1＞0；③T2019是数列{T n}中的最大项；④使T n＞1成立的最大自然数等于4039，其中正确结论的序号为（）A．①②B．①③C．①③④D．①②③④17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥底面ABCD，E是PC 的中点，已知AB＝2，AD＝2，P A＝2，求：（1）三角形PCD的面积；（2）异面直线BC与AE所成的角的大小．18．（14分）已知向量（cosωx，sinωx），（cosωx，cosωx）其中ω＞0，记f（x）•．（1）若函数f（x）的最小正周期为π，求ω的值；（2）在（1）的条件下，已知△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若f（），且a＝4，b+c＝5．求△ABC的面积．19．（14分）某企业生产的产品具有60个月的时效性，在时效期内，企业投入50万元经销该产品，为了获得更多的利润，企业将每月获得利润的10%再投入到次月的经营中，市场调研表明，该企业在经销这个产品的第n个月的利润是f（n）（单位：万元）．记第n个月的当月利润率为g（n），例g（3）．（1）求第n个月的当月利润率；（2）求该企业在经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率．20．（16分）已知焦点在x轴上的椭圆C上的点到两个焦点的距离和为10，椭圆C经过点（3，）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C的右焦点F作与x轴垂直的直线l1，直线l1上存在M、N两点满足OM⊥ON，求△OMN面积的最小值．（3）若与x轴不垂直的直线l交椭圆C于A、B两点，交x轴于定点M，线段AB的垂直平分线交x轴于点N，且为定值，求点M的坐标．21．（18分）已知函数f（x）的定义域为[0，2]．且f（x）的图象连续不间断，若函数f（x）满足：对于给定的实数m且0＜m＜2．存在x0∈[0，2﹣m]，使得f（x0）＝f（x0+m），则称f（x）具有性质P（m）．（1）已知函数f（x），判断f（x）是否具有性质P（），并说明理由；（2）求证：任取m∈（0，2）．函数f（x）＝（x﹣1）2，x∈[0，2]具有性质P（m）；（3）已知函数f（x）＝sinπx，x∈[0，2]，若f（x）具有性质P（m），求m的取值范围．1．∵集合U＝{1，3，5，9}，A＝{1，3，9}，B＝{1，9}∴A∪B＝{1，3，9}∴∁U（A∪B）＝{5}，答案{5}．2．复数z＝i（3﹣2i）＝3i+2，则|z|．答案：13．3．∵直线l1：x﹣1＝0的倾斜角为，直线l2：x﹣y＝0的斜率为．倾斜角为，故直线l1：x﹣1＝0和直线l2：x﹣y＝0的夹角大小为，答案：π6．4．依题意，第1天“日取其半”后a1；第2天“日取其半”后a2；第3天“日取其半”后a3；、……∴第n天“日取其半”后a n，答案：．5．角α的终边与单位圆的交点坐标是（，），所以，，所以．答案：6．设正四棱柱的高为h，由底面边长为a＝2，体积为V＝32，则V＝a2h，即h4；所以此四棱柱的表面积为：S＝S侧面积+2S底面积＝4×4×22×22＝3216．答案：16+322．7．∵4x1，x，y∈R+，∴，即，当且仅当“”时取等号，答案：116．8．数列{a n}中，a1＝1，a n﹣a n﹣1（n∈N*），可得a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…a n﹣a n﹣1，累加可得：a n＝1，则a n＝1．答案：54．答案．9．根据题意，分2步进行分析：①，在三个中学中任选1个，安排甲乙两人，有C31＝3种情况，②，对于剩下的三人，每人都可以安排在A、B、C三个不同的乡镇中学中任意1个，则剩下三人有3×3×3＝27种不同的选法，则有3×27＝81种不同的分配方法；答案：8110．由题意可知，k＞0，函数f（x）＝2x+k•2﹣x的图象都关于直线x＝m成轴对称图形，则f（m+x）为偶函数，关于y轴对称，故f（m﹣x）＝f（m+x）恒成立，∴2m﹣x+k•2﹣（m﹣x）＝2m+x+k•2﹣（m+x），∵对于任意x∈R成立，故2m﹣k•2﹣m＝0，∴m答案：11．由y＝f（x）=π1+π2，当且仅当x＝1时取等号，得x；又矩形绕x轴旋转得到的旋转体是圆柱，设A点的坐标为（x1，y），B点的坐标为（x2，y），则圆柱的底面圆半径为y，高为h＝x2﹣x1，且f（x1），f（x2），所以，即（x2﹣x1）（x2•x1﹣1）＝0，所以x2•x1＝1，所以h2＝（x2+x1）2﹣4x2•x1＝（x1）2﹣44，所以h，所以V圆柱＝πy2•h＝πyπ•π•（）π，当且仅当y时取等号，故此矩形绕x轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为．答案：．12．∵（t﹣1），∴，则，∴，设A（x A，y A），P（x P，y P），∴（x A，y A）＝t（x P，y P），则，即，将点（）代入双曲线中得：，∴①，∵•60，∴||•||＝|t|•60…②，由①②得60＝|t|•|t|•，∴|y A|≤8，∴||＝|y A|≤8．则||的最大值为8．答案：8．13．（3x）n的展开式的通项公式为：T r+1，令n，可得n，∴当r＝2时，n取得最小值为5，答案：B．14．若m⊊α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交或平行，故A错误；若m⊥α，m⊥β，则α∥β，由n∥α，则n∥β或n⊂β，故B错误；若m⊊α，n∥α，m，n共面于β，则m∥n，故C正确；若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线或相交，故D错误．答案：C．15．抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（），所以设经过焦点直线AB的方程为y＝k （x），所以，整理得，设点A（x1，y1），B （x2，y2），所以，所以，同理设经过焦点直线CD的方程为y（x），所以，整理得，所以：|CD|＝p+（p+2k2p），所以，则则．答案：D．16．∵a1＞1，a2019a2020＞1，0，∴a2019＞1，a2020＜1．∴0＜q＜1，故①正确；a2019a20211，∴a2019a2021﹣1＜0，故②不正确；∵a2020＜1，∴T2019是数列{T n}中的最大项，故③正确；T4039＝a1a2•…•a4038•a40391，T4038＝a1a2•…•a4037•a40381，∴使T n＞1成立的最大自然数等于4038，故④不正确．∴正确结论的序号是①③．答案：B．17．（1）∵P A⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴CD⊥P A．∵矩形ABCD中，CD⊥AD，而P A、AD是平面P AD的交线．∴CD⊥平面PDA，∵PD⊂平面PDA，∴CD⊥PD，三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形．∵Rt△P AD中，AD＝2，P A＝2，∴PD2．∴三角形PCD的面积S PD×DC＝2．（2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系，可得B（2，0，0），C（2，2，0），E（1，，1）．∴（1，，1），（0，2，0），设与夹角为θ，则cosθ，∴θ，由此可得异面直线BC与AE所成的角的大小为．[解法二]取PB的中点F，连接AF、EF、AC，∵△PBC中，E、F分别是PC、PB的中点，∴EF∥BC，∠AEF或其补角就是异面直线BC与AE所成的角．∵Rt△P AC中，PC4．∴AE PC＝2，∵在△AEF中，EF BC，AF PB∴AF2+EF2＝AE2，△AEF是以F为直角顶点的等腰直角三角形，∴∠AEF，可得异面直线BC与AE所成的角的大小为．18．（1），∴，∵f（x）的最小正周期为π，且ω＞0，∴，解得ω＝1；（2）由（1）得，∵，∴，由0＜A＜π得，，∴，解得，由余弦定理知：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，即16＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc，且b+c＝5，∴16＝25﹣3bc，∴bc＝3，∴．19．（1）依题意得f（1）＝f（2）＝f（3）＝…＝f（9）＝f（10）＝10，当n＝1时，g（1），当1＜n≤10，n∈N*时，f（1）＝f（2）＝…＝f（n﹣1）＝10，则g（n），n＝1也符合上式，故当1≤n≤10，n∈N*，g（n），当11≤n≤60，n∈N*时，g（n），所以第n个月的当月利润率为g（n）；（2）当1≤n≤10，n∈N*，g（n）是减函数，此时g（n）的最大值为g（1），当11≤n≤60，n∈N*时，g（n），g（n）在11≤n≤33，n∈N*单调递增，g（n）在34≤n≤60，n∈N*单调递减，当且仅当n，即n时，g（n）有最大值，又n∈N*，g（33），g（34），因为，所以当n＝33时，g（n）有最大值，即该企业经销此产品期间，第33个月利润最大，其当月利润率为．20．（1）设椭圆的方程为，椭圆C上的点到两个焦点的距离和为10，所以2a＝10，a＝5，又椭圆C经过点（3，），代入椭圆方程，求得b＝4，所以椭圆的方程为：；（2）设M（3，y M），N（3，y N），F（3，0），由OM⊥ON，所以，，故△OMN面积的最小值为9；（3）设直线l的方程为：y＝kx+m，则点M（），联立，消去y得（25k2+16）x2+50kmx+25m2﹣400＝0，，，所以|AB|，则AB的中点P的坐标为（），又PN⊥AB，得，则直线PN的方程为：y m，令y＝0，得N点的坐标为（），则|MN|，所以，当且仅当时，比值为定值，此时点M（），为M（±3，0），故M（﹣3，0）或（3，0）．21．（1）f（x）具有性质P（），设x0∈[0，]，令f（x0）＝f（x0），则（x0﹣1）2＝（x0）2，解得x0，又∈[0，]，所以f（x）具有性质P（）；（2）任取x0∈[0，2﹣m]，令f（x0）＝f（x0+m），则（x0﹣1）2＝（x0+m﹣1）2，因为m≠0，解得x01，又0＜m＜2，所以01＜1，当0＜m＜2，x01时，（2﹣m）﹣x0＝（2﹣m）﹣（1）＝11＞0，即01＜2﹣m，即任取实数m∈（0，2），f（x）都具有性质P（m）；（3）若m∈（0，1]，取x0，则0且2﹣m0，故x0∈[0，2﹣m]，又f（x0）＝sin（），f（x0+m）＝sin（）＝sin（）＝f（x0），所以f（x）具有性质P（m）；假设存在m∈（1，2）使得f（x）具有性质P（m），即存在x0∈[0，2﹣m]，使得f（x0）＝f （x0+m），若x0＝0，则x0+m∈（1，2），f（x0）＝0，f（x0+m）＜0，f（x0）≠f（x0+m），若x0∈（0，2﹣m]，则x0+m∈（m，2]，进而x0∈（0，1），x0+m∈（1，2]，f（x0）＞0，f （x0+m）≤0，f（x0）＝f（x0+m），所以假设不成立，所以m∈（0，1]．。

【高三】上海市青浦区届高三一模数学试卷（word版，含解析）试卷说明：青浦区高考第一次数学模拟考试（150分，120分钟），学生注：1。

本文由试卷和答题两部分组成。

2如果试卷上的答案无效，你必须按照答题纸上指定位置的要求回答问题。

你可以用一个合格的计算器来回答问题1、填空（56分）这个问题有14个问题。

考生应直接在答题纸上相应编号的空格中填写结果。

如果每个空间填充正确，将给出4个点，否则将在直角坐标系中给出零点，与点（1,0）和直线距离相同的点的轨迹方程为。

[analytic]（水平理解/），其轨迹为抛物线，其中轨迹方程给出完整的集合u=R，set，和R，实数a的值范围为。

【分析】（探索性理解水平/集合的并补运算、集合的描述方法）如果所有项都是实数，则很容易获得【分析】（探究性理解水平/等比序列的中间项）：如果点已知，向量在方向上的投影为。

【分析】（对水平/平面向量的探索性理解）根据问题的意思，让和之间的角度为，，并知道方向上的投影，然后。

【分析】（探索性理解水平/归纳公式），然后，，因此已知圆锥体底部圆的周长为4π，侧边与底部之间的角度为，则圆锥体的体积为。

[分析]（探索性地理解水平/圆锥体的体积）让底圆的半径为r，高度为h，侧边和底边之间的角度为，然后，和。

如果函数的逆区间是一个实数，那么函数的逆区间是一个单调的区间。

[分析]（解释性理解水平/极限的计算），因为，因此，其值范围是已知的，定义域R上的偶数函数f（x）是减法函数，不等式的解集为。

【分析】（探索性理解函数的级别/奇偶性和性质）是一个递增函数，因此不等式的解集是。

10（1月青浦）对于已知集合，从a的非空子集中取任意一个，集合中所有元素之和为奇数的概率为。

[分析]（探索性理解水平/）a中有5个元素，子集的数量为① 集合中有1个元素种类；② 种③ 元素种类；④ 元素种类；⑤ 一个因素，所以概率是：如果P点是开着的，那么[分析]（探索性理解水平/双曲线）从问题的意义上是已知的。

2020年上海市青浦区高三高考数学一模试卷一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分 1．已知集合{1U =，3，5，9}，{1A =，3，9}，{1B =，9}，则()U A B =ð ．2．若复数(32)(z i i i =-是虚数单位），则z 的模为 ．3．直线1:10l x -=和直线20l y -=的夹角大小是 ．4．我国古代庄周所著的《庄子天下篇》中引用过一句话：“一尺之棰．日取其半，万世不竭．”其含义是：一根尺长的木棒，每天截下其一半，这样的过程可以无限地进行下去，若把“一尺之棰”的长度记为1个单位，则第n 天“日取其半”后，记木棒剩下部分的长度为n a ，则n a = ．5．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，角α的终边与单位圆的交点坐标是3(5-，4)5，则sin 2α= ．6．已知正四棱柱底面边长为32，则此四棱柱的表面积为 ． 7．设x ，y R +∈，若141x y +=．则xy的最大值为 ． 8．已知数列{}n a 中，11a =，111(*)2n n n a a n N -+-=∈，则lim n n a →∞= ． 9．某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到A 、B 、C 三个不同的乡镇中学，现要求甲乙两位名优老师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名优教师，则不同的分配方案共有 种．10．已知对于任意给定的正实数k ，函数()22x x f x k -=+的图象都关于直线x m =成轴对称图形，则m = ．11．如图，一矩形ABCD 的一边AB 在x 轴上，另两个顶点C 、D 在函数2()1xf x x =+，0x >的图象上，则此矩形绕x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值是 ．12．已知点P 在双曲线221916x y -=上，点A 满足(1)()PA t OP t R =-∈，且60OA OP =，(0,1)OB =，则||OB OA 的最大值为 ．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4題，每題有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑．选对得5分，否则一律得零分 13．使得(3(*)n x n N +∈的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．714．对于两条不同的直线m ，n 和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是( ) A ．若m αÜ，//n β，m ，n 是异面直线，则α，β相交 B ．若m α⊥，m β⊥，//n α，则//n β C ．若m αÜ，//n α，m ，n 共面于β，则//m n D ．若m α⊥，n β⊥，α，β不平行，则m ，n 为异面直线 15．过抛物线22(0)y px p =>的焦点作两条相互垂直的弦AB 和CD ，则11||||AB CD +的值为( ) A ．2p B ．2pC ．2pD ．12p16．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项之积为n T ，并且满足条件：11a >，201920201a a >，20192020101a a -<-，给出下列结论：①01q <<；②2019202110a a ->；③2019T 是数列{}n T 中的最大项；④使1n T >成立的最大自然数等于4039，其中正确结论的序号为( ) A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②③④三.解答题（本大满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知2AB =，AD =，2PA =，求： （1）三角形PCD 的面积；（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小．18．已知向量(3cos a x ω=，sin )x ω，(cos ,cos )b x x ωω=其中0ω>，记()f x a b =． （1）若函数()f x 的最小正周期为π，求ω的值；（2）在（1）的条件下，已知ABC ∆的内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若()2Af =，且4a =，5b c +=．求ABC ∆的面积．19．某企业生产的产品具有60个月的时效性，在时效期内，企业投入50万元经销该产品，为了获得更多的利润，企业将每月获得利润的10%再投入到次月的经营中，市场调研表明，该企业在经销这个产品的第n 个月的利润是10,110(*)(),1160(*)n n N f n n n n N ∈⎧=⎨∈⎩剟剟（单位：万元）．记第n 个月的当月利润率为()n g n n =第个月的利润截止到第个月投入的资金总和，例g （3）(3)50((1)(2))10%f f f =++⨯．（1）求第n 个月的当月利润率；（2）求该企业在经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率． 20．（16分）已知焦点在x 轴上的椭圆C 上的点到两个焦点的距离和为10，椭圆C 经过点16(3,)5． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作与x 轴垂直的直线1l ，直线1l 上存在M 、N 两点满足OM ON ⊥，求OMN ∆面积的最小值．（3）若与x 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交x 轴于定点M ，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，且||||AB MN 为定值，求点M 的坐标．21．（18分）已知函数()f x 的定义域为[0，2]．且()f x 的图象连续不间断，若函数()f x 满足：对于给定的实数m 且02m <<．存在0[0x ∈，2]m -，使得00()()f x f x m =+，则称()f x 具有性质()P m ．（1）已知函数()f x =，判断()f x 是否具有性质1()2P ，并说明理由；（2）求证：任取(0,2)m ∈．函数2()(1)f x x =-，[0x ∈，2]具有性质()P m ；（3）已知函数()sin f x x π=，[0x ∈，2]，若()f x 具有性质()P m ，求m 的取值范围．参考答案一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分 1．已知集合{1U =，3，5，9}，{1A =，3，9}，{1B =，9}，则()U A B =ð {5} ．解：集合{1U =，3，5，9}，{1A =，3，9}，{1B =，9} {1AB ∴=，3，9} (){5}U AB ∴=ð，故答案为{5}．2．若复数(32)(z i i i =-是虚数单位），则z解：复数(32)32z i i i =-=+，则||z ==．．3．直线1:10l x -=和直线20l y -=的夹角大小是 6．解：直线1:10l x -=的倾斜角为2π，直线20l y -=3π，故直线1:10l x -=和直线20l y -=的夹角大小为236πππ-=，故答案为：6π．4．我国古代庄周所著的《庄子天下篇》中引用过一句话：“一尺之棰．日取其半，万世不竭．”其含义是：一根尺长的木棒，每天截下其一半，这样的过程可以无限地进行下去，若把“一尺之棰”的长度记为1个单位，则第n 天“日取其半”后，记木棒剩下部分的长度为n a ，则n a = 1()2n ．解：依题意，第1天“日取其半”后112a =； 第2天“日取其半”后22111()222a =⨯=； 第3天“日取其半”后331111()2222a =⨯⨯=；、⋯⋯∴第n 天“日取其半”后1111()2222n n n a =⨯⨯⋯⋯⨯=个， 故答案为：1()2n ．5．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，角α的终边与单位圆的交点坐标是3(5-，4)5，则sin 2α= 25．解：角α的终边与单位圆的交点坐标是3(5-，4)5，所以3cos 5α=-，4sin 5α=，所以3424sin 22sin cos 2()5525ααα==⨯-⨯=-．故答案为：2425-6．已知正四棱柱底面边长为32，则此四棱柱的表面积为16+ ． 解：设正四棱柱的高为h，由底面边长为a =，体积为32V =， 则2V a h =，即4h ==；所以此四棱柱的表面积为：2S S S =+侧面积底面积442=⨯⨯+⨯16=+．故答案为：16+． 7．设x ，y R +∈，若141x y +=．则x y 的最大值为 16． 解：141x y+=，x ，y R +∈， ∴24x x x y +=，即2211144()81616x x x x y =-+=--+…，当且仅当“1,28x y ==”时取等号， 故答案为：116． 8．已知数列{}n a 中，11a =，111(*)2n n n a a n N -+-=∈，则lim n n a →∞ 4．解：数列{}n a 中，11a =，111(*)2n n n a a n N -+-=∈， 可得21312a a -=，32412a a -=，43512a a -=，1112n n n a a -+⋯-=， 累加可得：3451111112222n n a +=++++⋯+， 则3152lim 11412n n a →∞=+=-． 故答案为：54． 9．某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到A 、B 、C 三个不同的乡镇中学，现要求甲乙两位名优老师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名优教师，则不同的分配方案共有 81 种． 解：根据题意，分2步进行分析：①，在三个中学中任选1个，安排甲乙两人，有133C =种情况， ②，对于剩下的三人，每人都可以安排在A 、B 、C 三个不同的乡镇中学中任意1个，则剩下三人有33327⨯⨯=种不同的选法， 则有32781⨯=种不同的分配方法； 故答案为：8110．已知对于任意给定的正实数k ，函数()22x x f x k -=+的图象都关于直线x m =成轴对称图形，则m = 212m log k = ．解：由题意可知，0k >，函数()22x x f x k -=+的图象都关于直线x m =成轴对称图形， 则()f m x +为偶函数，关于y 轴对称， 故()()f m x f m x -=+恒成立， ()()2222m x m x m x m x k k ---+-+∴+=+，对于任意x R ∈成立，故220m m k --=， 212m log k ∴=故答案为：212log k11．如图，一矩形ABCD 的一边AB 在x 轴上，另两个顶点C 、D 在函数2()1xf x x =+，0x >的图象上，则此矩形绕x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值是4．解：由211()112x y f x x x x ====++…，当且仅当1x =时取等号， 得11x x y+=； 又矩形绕x 轴旋转得到的旋转体是圆柱，设A 点的坐标为1(x ，)y ，B 点的坐标为2(x ，)y ， 则圆柱的底面圆半径为y ，高为21h x x =-， 且1121()1x f x x =+，2222()1x f x x =+， 所以12221211x x x x =++， 即2121()(1)0x x x x --=， 所以211x x =，所以222212112111()4()44h x x x x x x y=+-=+-=-，所以h ==所以212V y h πππ=⋅==圆柱2214(14)1()224y y ππ+-=…，当且仅当y =时取等号， 故此矩形绕x 轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为4π．故答案为：4π．12．已知点P 在双曲线221916x y -=上，点A 满足(1)()PA t OP t R =-∈，且60OA OP =，(0,1)OB =，则||OB OA 的最大值为 8 ．解：(1)PA t OP tOP OP =-=-，∴OA OP tOP OP -=-，则OA tOP =，∴||||||OA t OP =， 设(A A x ，)A y ，(P P x ，)P y ， (A x ∴，)(A P y t x =，)P y ，则A P A P x tx y ty =⎧⎨=⎩，即A P AP x x ty y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，将点(,)A A x y t t 代入双曲线中得：22221916A A x y t t -=，∴2229916A A y x t =+⋯①， 60OA OP =，222||||||||||()P P OA OP t OP t x y ∴==+2222||()60A A x y t t t=+=⋯②，由①②得2222222925251560||(9)||(9)9||||161616||2A A A A A y y y y t t t y t t t t =++=+=+…， ||8A y ∴…，||||8A OB OA y ∴=…．则||OB OA 的最大值为8． 故答案为：8．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4題，每題有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑．选对得5分，否则一律得零分 13．使得(3(*)n x n N +∈的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解：(3nx +的展开式的通项公式为：521(3)()3n r rn rr n rr r nnT C x C xx x---+==，令502r n -=，可得52r n =， ∴当2r =时，n 取得最小值为5，故选：B ．14．对于两条不同的直线m ，n 和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是( )A ．若m αÜ，//n β，m ，n 是异面直线，则α，β相交B ．若m α⊥，m β⊥，//n α，则//n βC ．若m αÜ，//n α，m ，n 共面于β，则//m nD ．若m α⊥，n β⊥，α，β不平行，则m ，n 为异面直线解：若m αÜ，//n β，m ，n 是异面直线，则α，β相交或平行，故A 错误； 若m α⊥，m β⊥，则//αβ，由//n α，则//n β或n β⊂，故B 错误； 若m αÜ，//n α，m ，n 共面于β，则//m n ，故C 正确；若m α⊥，n β⊥，α，β不平行，则m ，n 为异面直线或相交，故D 错误． 故选：C ．15．过抛物线22(0)y px p =>的焦点作两条相互垂直的弦AB 和CD ，则11||||AB CD +的值为( ) A ．2p B ．2pC ．2pD ．12p解：抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为(,0)2p，所以设经过焦点直线AB 的方程为()2py k x =-， 所以2()22p y k x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩，整理得22222(2)04k p k x k p p x -++=，设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 所以2122(22)||k p AB x x p k +=++=，所以221||(22)k AB k p =+， 同理设经过焦点直线CD 的方程为1()2py x k =--，所以21()22p y x k y px⎧=--⎪⎨⎪=⎩，整理得222(2)04p x p k p x -++=， 所以：2||(2)CD p p k p =++，所以21||22CD p k p=+，则则2211(1)1||||2(1)2k AB CD p k p++==+． 故选：D ．16．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项之积为n T ，并且满足条件：11a >，201920201a a >，20192020101a a -<-，给出下列结论：①01q <<；②2019202110a a ->；③2019T 是数列{}n T 中的最大项；④使1n T >成立的最大自然数等于4039，其中正确结论的序号为( ) A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②③④解：11a >，201920201a a >，20192020101a a -<-，20191a ∴>，20201a <．01q ∴<<，故①正确；22019202120201a a a =<，2019202110a a ∴-<，故②不正确；20201a <，2019T ∴是数列{}n T 中的最大项，故③正确；40394039124038403920201T a a a a a =⋯=<， 20194038124037403820192020()1T a a a a a a =⋯=>，∴使1n T >成立的最大自然数等于4038，故④不正确． ∴正确结论的序号是①③．故选：B ．三.解答题（本大满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知2AB =，AD =，2PA =，求： （1）三角形PCD 的面积；（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小．解：（1）PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂底面ABCD ，CD PA ∴⊥．矩形ABCD 中，CD AD ⊥，而PA 、AD 是平面PAD 的交线． CD ∴⊥平面PDA ，PD ⊂平面PDA ，CD PD ∴⊥，三角形PCD 是以D 为直角顶点的直角三角形．Rt PAD ∆中，AD =，2PA =，PD ∴==．∴三角形PCD 的面积12S PD DC =⨯⨯=． （2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系，可得(2B ，0，0)，(2C ，0)，(1E ，1)．∴(1AE =，1)，(0BC =，0)，设AE 与BC 夹角为θ，则cos ||||2AE BC AE BC θ===⨯， 4πθ∴=，由此可得异面直线BC 与AE 所成的角的大小为4π．[解法二]取PB 的中点F ，连接AF 、EF 、AC ， PBC ∆中，E 、F 分别是PC 、PB 的中点，//EF BC ∴，AEF ∠或其补角就是异面直线BC 与AE 所成的角．Rt PAC ∆中，4PC ==．122AE PC ∴==，在AEF ∆中，12EF BC ==，12AF PB ==222AF EF AE ∴+=，AEF ∆是以F 为直角顶点的等腰直角三角形，4AEF π∴∠=，可得异面直线BC 与AE 所成的角的大小为4π．18．已知向量(3cos a x ω=，sin )x ω，(cos ,cos )b x x ωω=其中0ω>，记()f x a b =． （1）若函数()f x 的最小正周期为π，求ω的值；（2）在（1）的条件下，已知ABC ∆的内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若()2Af =，且4a =，5b c +=．求ABC ∆的面积．解：（1）23(cos 2sin 23sin cos sin(2)23x a b cos x x x x ωωπωωωω=+=+=++，∴()sin(2)3f x x πω=++()f x 的最小正周期为π，且0ω>， ∴22ππω=，解得1ω=；（2）由（1）得()sin(2)3f x x π=+，()2Af =，∴sin()3A π+=0A π<<得，4333A πππ<+<，∴233A ππ+=，解得3A π=， 由余弦定理知：2222cos a b c bc A =+-，即22216()3b c bc b c bc =+-=+-，且5b c +=， 16253bc ∴=-，3bc ∴=，∴11sin 322ABC S bc A ∆==⨯=． 19．某企业生产的产品具有60个月的时效性，在时效期内，企业投入50万元经销该产品，为了获得更多的利润，企业将每月获得利润的10%再投入到次月的经营中，市场调研表明，该企业在经销这个产品的第n 个月的利润是10,110(*)(),1160(*)n n N f n n n n N ∈⎧=⎨∈⎩剟剟（单位：万元）．记第n 个月的当月利润率为()n g n n =第个月的利润截止到第个月投入的资金总和，例g （3）(3)50((1)(2))10%f f f =++⨯．（1）求第n 个月的当月利润率；（2）求该企业在经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率． 解：（1）依题意得f （1）f =（2）f =（3）f =⋯=（9）(10)10f ==， 当1n =时，g （1）101505==，当110n <…，*n N ∈时，f （1）f =（2）(1)10f n =⋯=-=， 则()10()14950((1)(2)(1))10f ng n n f f f n ==++++⋯+-， 1n =也符合上式，故当110n 剟，*n N ∈，10()49g n n =+，当1160n 剟，*n N ∈时， 2()20()1(11)(10)50(1)(2)(10)(11)(1)109050(100(11)(1))601020f n n n ng n n n f f f f f n n n f f n ====-++++⋯+++⋯+--++++⋯+-+，所以第n 个月的当月利润率为210,11049()20,11601090n n g n n n n ⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪-+⎩剟剟；（2）当110n 剟，*n N ∈，10()49g n n =+是减函数，此时()g n 的最大值为g （1）15=，当1160n 剟，*n N ∈时，22020()109010901n g n n n n n==-++-…，()g n 在1133n 剟，*n N ∈单调递增，()g n 在3460n 剟，*n N ∈单调递减， 当且仅当1090n n=，即n =时，()g n 有最大值，又*n N ∈， 22033330(33)333310901073g ⨯==-+，22034170(34)34341090553g ⨯==-+， 因为330170110735535>>，所以当33n =时，()g n 有最大值3301073， 即该企业经销此产品期间，第33个月利润最大，其当月利润率为3301073． 20．（16分）已知焦点在x 轴上的椭圆C 上的点到两个焦点的距离和为10，椭圆C 经过点16(3,)5． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作与x 轴垂直的直线1l ，直线1l 上存在M 、N 两点满足OM ON ⊥，求OMN ∆面积的最小值．（3）若与x 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交x 轴于定点M ，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，且||||AB MN 为定值，求点M 的坐标． 解：（1）设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，椭圆C 上的点到两个焦点的距离和为10，所以210a =，5a =， 又椭圆C 经过点16(3,)5，代入椭圆方程，求得4b =， 所以椭圆的方程为：2212516x y +=； （2）设(3,)M M y ，(3,)N N y ，(3,0)F ， 由OM ON ⊥，所以90M N OM ON y y =+=， 1393||||922MON M N M MS y y y y ∆=-=+…，故OMN ∆面积的最小值为9； （3）设直线l 的方程为：y kx m =+，则点(,0)mM k-， 联立2212516y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得222(2516)50254000k x kmx m +++-=，122502516kmx x k +=-+，2122254002516m x x k -=+，所以24025||k AB -=则AB 的中点P 的坐标为2222525(,)25162516km k m m k k --+++，又PN AB ⊥，得1PNk k =-， 则直线PN 的方程为：22225125()25162516k m kmy m x k k k +-=-+++， 令0y =，得N 点的坐标为222525(,0)2516k m km mk k +-++，则29||||2516km mMN k k =-++，所以22222||5251659||||25||2121AB kk m k m MN mk m k -++==-++， 当且仅当2291m k =时，比值为定值，此时点(,0)mM k -，为(3,0)M ±，故(3,0)M -或(3,0)．21．（18分）已知函数()f x 的定义域为[0，2]．且()f x 的图象连续不间断，若函数()f x 满足：对于给定的实数m 且02m <<．存在0[0x ∈，2]m -，使得00()()f x f x m =+，则称()f x 具有性质()P m ．（1）已知函数()f x =，判断()f x 是否具有性质1()2P ，并说明理由；（2）求证：任取(0,2)m ∈．函数2()(1)f x x =-，[0x ∈，2]具有性质()P m ；（3）已知函数()sin f x x π=，[0x ∈，2]，若()f x 具有性质()P m ，求m 的取值范围． 解：（1）()f x 具有性质1()2P ，设0[0x ∈，3]2，令001()()2f x f x =+，则22001(1)()2x x -=-，解得034x =，又3[04∈，3]2，所以()f x 具有性质1()2P ； （2）任取0[0x ∈，2]m -，令00()()f x f x m =+，则2200(1)(1)x x m -=+-， 因为0m ≠，解得012m x =-+，又02m <<，所以0112m<-+<， 当02m <<，012m x =-+时，0(2)(2)(1)11022m mm x m --=---+=-=-+>， 即0122mm <-+<-，即任取实数(0,2)m ∈，()f x 都具有性质()P m ； （3）若(0m ∈，1]，取012m x -=，则102m -…且132022m mm ----=>，故0[0x ∈，2]m -， 又0()sin()22m f x ππ=-，00()sin()sin()()2222m m f x m f x ππππ+=+=-=，所以()f x 具有性质()P m ；假设存在(1,2)m ∈使得()f x 具有性质()P m ，即存在0[0x ∈，2]m -，使得00()()f x f x m =+， 若00x =，则0(1,2)x m +∈，0()0f x =，0()0f x m +<，00()()f x f x m ≠+，若0(0x ∈，2]m -，则0(x m m +∈，2]，进而0(0,1)x ∈，0(1x m +∈，2]，0()0f x >，0()0f x m +…， 00()()f x f x m =+，所以假设不成立，所以(0m ∈，1]．。

上海市青浦区2020届高三一模数学试卷及详细解析2019. 12一. 填空题(本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)1. 已知集合U ={1,3,5,9}，A ={1,3,9}，B ={1,9}，则U (A B)⋃=ð______2. 若复数z =i(3-2i)（i 是虚数单位），则z 的模为______3. 直线1l ：10x -=和直线2l ：30x y -=的夹角大小是______4. 我国古代庄周所著的《庄子.天下篇》中引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其含义是：一根一尺长的木棒，每天截下其一半，这样的过程可以无限地进行下去.若把“一尺之棰”的长度记为1个单位，则第n 天“日取其半”后，记木棒剩下部分的长度为n a ，则n a =______5. 已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，角α的终边与单位圆的交点坐标是(34,55-)，则sin2α=______ 6. 已知正四棱柱底面边长为22，体积为32，则此四棱柱的表面积为______7. 设x ，y ∈R +，若141x y +=，则x y的最大值为______ 8. 已知数列{n a }中，11a =，(n ∈N *)，则lim n x a →∞=______ 9. 某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到A 、B 、C 三个不同的乡镇中学，现要求甲乙两位名优教师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名优教师，则不同的分配方案共有______10. 已知对于任意给定的正实数k ，函数()22x x f x k -=+的图像都关于直线x m =成轴对称图形，则m =______11. 如图，一矩形ABCD 的一边AB在x 轴上，另两个顶点C 、D 在函数()21x f x x =+，0x >的图像上，则此矩形绕x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值是______12. 已知点P 在双曲线2221916x y -=上，点A 满足()1PA t OP =-u u u r u u u r （t ∈R ），且60OA OP ⋅=u u u r u u u r ，OB =u u u r (0,1)，则|OB OA ⋅u u u r u u u r |的最大值为______二、选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)13.使得3(n x (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A . 4B . 5C . 6D . 714. 对于两条不同的直线m 、n 和两个不同的平面α、β，以下结论正确的是( )A . 若m Øα，n //β，m 、n 是异面直线，则α、β相交B . 若m ⊥α，m ⊥β，n //α，则n //βC . 若m Øα，n //a ，m 、n 共面于β，则m //nD . 若m ⊥α，n ⊥β，α、β不平行，则m 、n 为异面直线15. 过抛物线22y px =(0p >)的焦点作两条相互垂直的弦AB 和CD ，则11AB CD+的值为( ) A . 2p B . 2p C . 2p D. 12p 16. 设等比数列{n a }的公比为q ，其前n 项之积为n T ，并且满足条件：11a >，201920201a a >，20192020101a a -<-，给出下列结论：①01q <<；②2019202010a a ->；③2019T 是数列{n T }中的最大项；④使1n T >成立的最大自然数等于4039；其中正确结论的序号为( )A . ①②B . ①③C . ①③④D . ①②③④三、解答题(本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分)17. 如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知AB =2，AD =22，P A =2，求：(1)三角形PCD 的面积；(2)异面直线BC 与AE 所成的角的大小.18. 已知向量a =r (3cos sin x x ωω，)，b =r (cos sin x x ωω，)，其中0ω>，记()f x a b =⋅r r .(1)若函数()f x 的最小正周期为π，求ω的值；(2)在(1)的条件下，已知△ABC 的内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，若3(x)f =，且4a =，5b c +=，求△ABC 的面积.19. 某企业生产的产品具有60个月的时效性，在时效期内，企业投入50万元经销该产品，为了获得更多的利润，企业将每月获得利润的10%再投入到次月的经营中，市场调研表明，该企业在经销这个产品的第n 个月的利润是()10110,N*1160,N*n n f n n n n ≤≤∈⎧=⎨≤≤∈⎩，(单位：万元)，记第n 个月的当月利润率为()n g n n =第个月的当月利润率截止到第个月投入的资金总和；例()()()()()33501210%f g f f =++⨯.(1)求第n 个月的当月利润率；(2)求该企业在经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率.20. 已知焦点在x 轴上的椭圆C 上的点到两个焦点的距离和为10，椭圆C 经过点(1635，). (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的右焦点F 作与x 轴垂直的直线1l ，直线1l 上存在M 、N 两点满足OM ⊥ON ，求△OMN 面积的最小值；(3)若与x 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交x 轴于定点M ，线段AB的垂直平分线交x 轴于点N ，且AB MN为定值，求点M 的坐标.21. 已知函数f (x )的定义域为[0,2]，且()f x 的图像连续不间断，若函数()f x 满足：对于给定的实数m 且02m <<，存在0x ∈[0,2-m ]，使得()()00f x f x m =+，则称()f x 具有性质P (m ).(1)已知函数()f x =()f x 是否具有性质P (12)，并说明理由；(2)求证：任取m ∈(0,2)，函数()()21f x x =-，x ∈[0,2]具有性质P (m )；(3)已知函数()sin f x x π=，x ∈[0,2]，若()f x 具有性质P (m )，求m 的取值范围.上海市青浦区2020届高三一模数学试卷及详细解析。

上海市青浦区2020届高三数学上学期学业质量调研（一模）试题1．已知集合U ＝{1，3，5，9}，A ＝{1，3，9}，B ＝{1，9}，则∁U （A ∪B ）＝ ．2．若复数z ＝i （3﹣2i ）（i 是虚数单位），则z 的模为 ．3．直线l 1：x ﹣1＝0和直线l 2：x ﹣y ＝0的夹角大小是 ．34．我国古代庄周所著的《庄子•天下篇》中引用过一句话：“一尺之棰．日取其半，万世不竭．”其含义是：一根尺长的木棒，每天截下其一半，这样的过程可以无限地进行下去，若把“一尺之棰”的长度记为1个单位，则第n 天“日取其半”后，记木棒剩下部分的长度为a n ，则a n ＝ ．5．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，角α的终边与单位圆的交点坐标是（，），则sin2α＝ ．-35456．已知正四棱柱底面边长为2，体积为32，则此四棱柱的表面积为 ．27．设x ，y ∈R +，若4x1．则的最大值为 ．+1y =xy 8．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ﹣a n ﹣1（n ∈N *），则a n ＝ ．=12n +1limn→∞9．某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到A 、B 、C 三个不同的乡镇中学，现要求甲乙两位名优老师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名优教师，则不同的分配方案共有 种．10．已知对于任意给定的正实数k ，函数f （x ）＝2x +k •2﹣x 的图象都关于直线x ＝m 成轴对称图形，则m ＝ ．11．如图，一矩形ABCD 的一边AB 在x 轴上，另两个顶点C 、D 在函数f （x ），=x 1+x2x ＞0的图象上，则此矩形绕x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值是 ．12．已知点P 在双曲线1上，点A 满足（t ﹣1）（t ∈R ），且•60，x 29‒y 216=→PA =→OP →OA →OP =（0，1），则||的最大值为 ．→OB =→OB ⋅→OA 13．使得（3x ）n （n ∈N *）的展开式中含有常数项的最小的n 为（ ）+1x x A ．4B ．5C ．6D ．714．对于两条不同的直线m ，n 和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是（ ）A ．若m ⊊α，n ∥β，m ，n 是异面直线，则α，β相交B ．若m ⊥α，m ⊥β，n ∥α，则n ∥βC ．若m ⊊α，n ∥α，m ，n 共面于β，则m ∥nD ．若m ⊥α，n ⊥β，α，β不平行，则m ，n 为异面直线15．过抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点作两条相互垂直的弦AB 和CD ，则的值1|AB|+1|CD|为（ ）A ．B ．C ．2pD ．p 22p 12p16．设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项之积为T n ，并且满足条件：a 1＞1，a 2019a 2020＞1，0，给出下a 2019‒1a 2020‒1＜列结论：①0＜q ＜1；②a 2019a 2021﹣1＞0；③T 2019是数列{T n }中的最大项；④使T n ＞1成立的最大自然数等于4039，其中正确结论的序号为（ ）A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②③④17．（14分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知AB ＝2，AD ＝2，PA ＝2，求：2（1）三角形PCD 的面积；（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小．18．（14分）已知向量（cosωx ，sinωx ），（cosωx ，cosωx ）其中ω＞0，记→a =3→b =f （x ）•．=→a →b （1）若函数f （x ）的最小正周期为π，求ω的值；（2）在（1）的条件下，已知△ABC 的内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若f （）A 2，且a ＝4，b +c ＝5．求△ABC 的面积．=319．（14分）某企业生产的产品具有60个月的时效性，在时效期内，企业投入50万元经销该产品，为了获得更多的利润，企业将每月获得利润的10%再投入到次月的经营中，市场调研表明，该企业在经销这个产品的第n 个月的利润是f （n ）（单位：万元）．记第n 个月的当月利润率为g （n ）={10，1≤n ≤10(n ∈N ∗)n ，11≤n ≤60(n ∈N ∗)，例g （3）=第n 个月的利润截止到第n 个月投入的资金总和．=f(3)50+(f(1)+f(2))×10%（1）求第n 个月的当月利润率；（2）求该企业在经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率．20．（16分）已知焦点在x 轴上的椭圆C 上的点到两个焦点的距离和为10，椭圆C 经过点（3，）．165（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作与x 轴垂直的直线l 1，直线l 1上存在M 、N 两点满足OM ⊥ON ，求△OMN 面积的最小值．（3）若与x 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交x 轴于定点M ，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，且为定值，求点M 的坐标．|AB||MN|21．（18分）已知函数f （x ）的定义域为[0，2]．且f （x ）的图象连续不间断，若函数f （x ）满足：对于给定的实数m 且0＜m ＜2．存在x 0∈[0，2﹣m ]，使得f （x 0）＝f （x 0+m ），则称f （x ）具有性质P （m ）．（1）已知函数f （x ），判断f （x ）是否具有性质P （），并说明理由；=1‒(x ‒1)212（2）求证：任取m ∈（0，2）．函数f （x ）＝（x ﹣1）2，x ∈[0，2]具有性质P （m ）；（3）已知函数f （x ）＝sinπx ，x ∈[0，2]，若f （x ）具有性质P （m ），求m 的取值范围．1．∵集合U ＝{1，3，5，9}，A ＝{1，3，9}，B ＝{1，9}∴A ∪B ＝{1，3，9}∴∁U （A ∪B ）＝{5}，答案{5}．2．复数z ＝i （3﹣2i ）＝3i +2，则|z |．=32+22=13答案：13．3．∵直线l 1：x ﹣1＝0的倾斜角为，直线l 2：x ﹣y ＝0的斜率为．倾斜角为，π233π3故直线l 1：x ﹣1＝0和直线l 2：x ﹣y ＝0的夹角大小为，3π2‒π3=π6答案：￿6．4．依题意，第1天“日取其半”后a 1；=12第2天“日取其半”后a 2；=12×12=(12)2第3天“日取其半”后a 3；、=12×12×12=(12)3……∴第n 天“日取其半”后a n，=n 个12×12×⋯⋯×12︷=(12)n 答案：．(12)n5．角α的终边与单位圆的交点坐标是（，），-3545所以，，cosα=-35sinα=45所以．sin2α=2sinαcosα=2×(-35)×45=‒2425答案：-24256．设正四棱柱的高为h ，由底面边长为a ＝2，体积为V ＝32，2则V ＝a 2h ，即h4；=32(22)2=所以此四棱柱的表面积为：S ＝S 侧面积+2S 底面积＝4×4×22×222+2×2＝3216．2+答案：16+322．7．∵4x1，x ，y ∈R +，+1y =∴，即，当且仅当“”时4x 2+x y =x x y =‒4x 2+x =‒4(x ‒18)2+116≤116x =18，y =2取等号，答案：116．8．数列{a n }中，a 1＝1，a n ﹣a n ﹣1（n ∈N *），=12n +1可得a 2﹣a 1，a 3﹣a 2，a 4﹣a 3，…a n ﹣a n ﹣1，=123=124=125=12n +1累加可得：a n ＝1，+123+124+125+⋯+12n +1则a n ＝1．limn→∞+1231‒12=54答案：54．答案．549．根据题意，分2步进行分析：①，在三个中学中任选1个，安排甲乙两人，有C 31＝3种情况，②，对于剩下的三人，每人都可以安排在A 、B 、C 三个不同的乡镇中学中任意1个，则剩下三人有3×3×3＝27种不同的选法，则有3×27＝81种不同的分配方法；答案：8110．由题意可知，k ＞0，函数f （x ）＝2x +k •2﹣x 的图象都关于直线x ＝m 成轴对称图形，则f （m +x ）为偶函数，关于y 轴对称，故f （m ﹣x ）＝f （m +x ）恒成立，∴2m ﹣x +k •2﹣（m ﹣x ）＝2m +x +k •2﹣（m +x ），∵对于任意x ∈R 成立，故2m ﹣k •2﹣m ＝0，∴m=12log 2k 答案：12log 2k11．由y ＝f （x ）=￿1+￿2，当且仅当x ＝1时取等号，=11x +x ≤121x⋅x =12得x；+1x =1y 又矩形绕x 轴旋转得到的旋转体是圆柱，设A 点的坐标为（x 1，y ），B 点的坐标为（x 2，y ），则圆柱的底面圆半径为y ，高为h ＝x 2﹣x 1，且f （x 1），f （x 2），=x 11+x 12=x 21+x 22所以，x 11+x 12=x 21+x 22即（x 2﹣x 1）（x 2•x 1﹣1）＝0，所以x 2•x 1＝1，所以h 2＝（x 2+x 1）2﹣4x 2•x 1＝（x 1）2﹣44，+1x 1=1y 2‒所以h ，=1y 2‒1=1‒4y 2y 所以V 圆柱＝πy 2•h ＝πyπ•1-4y2=124y 2(1‒4y 2)π•（）π，当且仅当y时取等号，≤124y 2+(1‒4y 2)2=14=24故此矩形绕x 轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为．π4答案：．π412．∵（t ﹣1），∴，→PA =→OP =t →OP ‒→OP →OA ‒→OP =t →OP ‒→OP 则，∴，→OA =t →OP |→OA |=|t|⋅|→OP |设A （x A ，y A ），P （x P ，y P ），∴（x A ，y A ）＝t （x P ，y P ），则，即，将点（）代入双曲线中得：{x A =tx Py A =ty P{x P =x At y P =y A tx A t，y A t，∴①，x A 29t2‒y A 216t2=1x A 2=9y A 216+9t 2⋯∵•60，∴||•||→OA →OP =→OA →OP =|t|⋅|→OP |2=|t|⋅(x P 2+y P 2)＝|t |•60…②，(x A 2t2+y A 2t2)=由①②得60＝|t |•|t |•，(9y A 216t2+y A 2t2+9)=(25y A 216t2+9)=25y A 216|t|+9|t|≥152|y A |∴|y A |≤8，∴||＝|y A |≤8．→OB ⋅→OA 则||的最大值为8．→OB ⋅→OA 答案：8．13．（3x）n 的展开式的通项公式为：T r +1，+1x x =C rn (3x )n ‒r ⋅(1x x)r =3n ‒r ⋅C rn ⋅xn ‒52r令n，可得n，-5r2=0=5r 2∴当r ＝2时，n 取得最小值为5，答案：B ．14．若m ⊊α，n ∥β，m ，n 是异面直线，则α，β相交或平行，故A 错误；若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β，由n ∥α，则n ∥β或n ⊂β，故B 错误；若m ⊊α，n ∥α，m ，n 共面于β，则m ∥n ，故C 正确；若m ⊥α，n ⊥β，α，β不平行，则m ，n 为异面直线或相交，故D 错误．答案：C ．15．抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点坐标为（），所以设经过焦点直线AB 的方程为p 2，0y ＝k （x），-p2所以，整理得，设点A （x 1，y 1），{y =k(x -p2)y 2=2pxk2x 2‒(k 2p +2p)x +k 2p 24=0B （x 2，y 2），所以，所以，|AB|=x 1+x 2+p =(2k 2+2)pk 21|AB|=k 2(2k 2+2)p 同理设经过焦点直线CD 的方程为y（x ），=-1k -p 2所以，整理得，{y =-1k (x ‒p 2)y 2=2pxx 2‒(p +2k 2p)x +p 24=0所以：|CD |＝p +（p +2k 2p ），所以，|CD|=12p +2k 2p 则则．1|AB|+1|CD|=(1+k 2)2p(1+k 2)=12p 答案：D ．16．∵a 1＞1，a 2019a 2020＞1，0，a 2019‒1a 2020‒1＜∴a 2019＞1，a 2020＜1．∴0＜q ＜1，故①正确；a 2019a 20211，∴a 2019a 2021﹣1＜0，故②不正确；=a 20202＜∵a 2020＜1，∴T 2019是数列{T n }中的最大项，故③正确；T 4039＝a 1a 2•…•a 4038•a 40391，=a 20204039＜T 4038＝a 1a 2•…•a 4037•a 40381，=(a 2019a 2020)2019＞∴使T n ＞1成立的最大自然数等于4038，故④不正确．∴正确结论的序号是①③．答案：B ．17．（1）∵PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂底面ABCD ，∴CD ⊥PA ．∵矩形ABCD 中，CD ⊥AD ，而PA 、AD 是平面PAD 的交线．∴CD ⊥平面PDA ，∵PD ⊂平面PDA ，∴CD ⊥PD ，三角形PCD 是以D 为直角顶点的直角三角形．∵Rt△PAD 中，AD ＝2，PA ＝2，2∴PD 2．=PA 2+AD 2=3∴三角形PCD 的面积S PD ×DC ＝2．=12×3（2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系，可得B （2，0，0），C （2，2，0），E （1，，1）．22∴（1，，1），（0，2，0），→AE =2→BC =2设与夹角为θ，则cosθ，→AE →BC =→AE ⋅→BC →|AE|→|BC|=42×22=22∴θ，由此可得异面直线BC 与AE 所成的角的大小为．=π4π4[解法二]取PB 的中点F ，连接AF 、EF 、AC ，∵△PBC 中，E 、F 分别是PC 、PB 的中点，∴EF ∥BC ，∠AEF 或其补角就是异面直线BC 与AE 所成的角．∵Rt△PAC 中，PC 4．=PA 2+AC 2=∴AEPC ＝2，=12∵在△AEF 中，EFBC，AFPB=12=2=12=2∴AF 2+EF 2＝AE 2，△AEF是以F 为直角顶点的等腰直角三角形，∴∠AEF，可得异面直线BC 与AE 所成的角的大小为．=π4π418．（1）→a ⋅→b=3cos 2ωx +sinωx ⋅cosωx =3(cos2ωx +1)2+sin2ωx2=si，∴，f(x)=sin(2ωx +π3)+32∵f （x ）的最小正周期为π，且ω＞0，∴，解得ω＝1；2π2ω=π（2）由（1）得，f(x)=sin(2x +π3)+32∵，f(A 2)=3∴，由0＜A ＜π得，，sin(A +π3)=32π3＜A +π3＜4π3∴，解得，A +π3=2π3A =π3由余弦定理知：a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，即16＝b 2+c 2﹣bc ＝（b +c ）2﹣3bc ，且b +c ＝5，∴16＝25﹣3bc ，∴bc ＝3，∴．S △ABC =12bcsinA =12×3×32=33419．（1）依题意得f （1）＝f （2）＝f （3）＝…＝f （9）＝f （10）＝10，当n ＝1时，g （1），当1＜n ≤10，n ∈N *时，f （1）＝f （2）=1050=15＝…＝f （n ﹣1）＝10，则g （n ），=f(n)50+110(f(1)+f(2)+⋯+f(n ‒1))=10n +49n ＝1也符合上式，故当1≤n ≤10，n ∈N *，g （n ），当11≤n ≤60，n ∈N *时，=10n +49g （n ）=f(n)50+f(1)+f(2)+⋯+f(10)+f(11)+⋯+f(n=n 60+(n ‒11)(n +10)20=20nn 2‒n +1090，所以第n 个月的当月利润率为g （n ）；={10n +49，1≤n ≤1020n 2‒n +1090，11≤n ≤60（2）当1≤n ≤10，n ∈N *，g （n ）是减函数，此时g （n ）的最大值为g （1）=10n +49，当11≤n ≤60，n ∈N *时，=15g （n ），=20nn 2‒n +1090=20n +1090n ‒1≤2021090‒1g （n ）在11≤n ≤33，n ∈N *单调递增，g （n ）在34≤n ≤60，n ∈N *单调递减，当且仅当n，即n 时，g （n ）有最大值，又n ∈N *，=1090n =1090g （33），g （34），=20×33332‒33+1090=3301073=20×34342‒34+1090=170553因为，所以当n ＝33时，g （n ）有最大值，3301073＞170553＞153301073即该企业经销此产品期间，第33个月利润最大，其当月利润率为．330107320．（1）设椭圆的方程为，椭圆C 上的点到两个焦点的距离和为10，x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)所以2a ＝10，a ＝5，又椭圆C 经过点（3，），代入椭圆方程，求得b ＝4，165所以椭圆的方程为：；x 225+y 216=1（2）设M （3，y M ），N （3，y N ），F （3，0），由OM ⊥ON ，所以，→OM ⋅→ON =9+y M y N =0，故△OMN 面积的最小值为9；S △MON =12⋅3⋅|y M ‒y N |=32|y M +9y M|≥9（3）设直线l 的方程为：y ＝kx +m ，则点M （），-m k ，0联立，消去y 得（25k 2+16）x 2+50kmx +25m 2﹣400＝0，{y =kx +mx 225+y 216=1，，x 1+x 2=‒50km 25k 2+16x 1x 2=25m 2‒40025k 2+16所以|AB |，=1+k2⋅4025k 2‒m 2+1625k 2+16则AB 的中点P 的坐标为（），又PN ⊥AB ，得-25km 25k 2+16，‒25k 2m 25k 2+16+m，k PN =‒1k 则直线PN 的方程为：ym，+25k 2m 25k 2+16‒=-1k (x +25km 25k 2+16)令y ＝0，得N 点的坐标为（），则|MN |-25k 2m +25km 25k 2+16+mk ，0，=|-9km25k 2+16+mk |所以，|AB||MN|=52|k m |⋅25k 2‒m 2+16k 2+1=52|km |⋅25‒m 2+9k 2+1当且仅当时，比值为定值，此时点M （），为M （±3，0），m 2k 2=91-mk ，0故M （﹣3，0）或（3，0）．21．（1）f （x ）具有性质P （），12设x 0∈[0，]，令f （x 0）＝f （x 0），则（x 0﹣1）2＝（x 0）2，32+12-12解得x 0，又∈[0，]，所以f （x ）具有性质P （）；=34343212（2）任取x 0∈[0，2﹣m ]，令f （x 0）＝f （x 0+m ），则（x 0﹣1）2＝（x 0+m ﹣1）2，因为m ≠0，解得x 01，又0＜m ＜2，所以01＜1，=-m2+＜-m 2+当0＜m ＜2，x 01时，（2﹣m ）﹣x 0＝（2﹣m ）﹣（1）=-m2+-m2+＝11＞0，-=-m 2+即01＜2﹣m ，即任取实数m ∈（0，2），f （x ）都具有性质P （m ）；＜-m 2+（3）若m ∈（0，1]，取x 0，则0且2﹣m0，=1‒m 21‒m2≥-1‒m 2=3‒m2＞故x 0∈[0，2﹣m ]，又f （x 0）＝sin （），f （x 0+m ）＝sin （）＝sin （）＝f （x 0），π2‒mπ2π2+mπ2π2‒mπ2所以f （x ）具有性质P （m ）；假设存在m ∈（1，2）使得f （x ）具有性质P （m ），即存在x 0∈[0，2﹣m ]，使得f （x 0）＝f （x 0+m ），若x 0＝0，则x 0+m ∈（1，2），f （x 0）＝0，f （x 0+m ）＜0，f （x 0）≠f （x 0+m ），若x0∈（0，2﹣m]，则x0+m∈（m，2]，进而x0∈（0，1），x0+m∈（1，2]，f（x0）＞0，f（x0+m）≤0，f（x0）＝f（x0+m），所以假设不成立，所以m∈（0，1]．。

2020年上海青浦区高三一模数学试卷一、填空题（本大题共12题，1~6题每小题4分，7~12题每小题5分，共54分）1.已知集合，，，则 ．2.若复数（是虚数单位），则的模为 ．3.直线和直线的夹角大小是 ．4.我国古代庄周所著的《庄子·天下篇》中引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”，其含义是：一根一尺长的木棒，每天截下其一半，这样的过程可以无限地进行下去．若把“一尺之棰”的长度记为个单位，则第天“日取其半”后，记木棒剩下部分的长度为，则 .5.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，角的终边与单位圆的交点坐标是，则 ．6.已知正四棱柱底面边长为，体积为，则此四棱柱的表面积为 ．7.设，，若，则的最大值为 ．8.已知数列中，，，则 ．9.某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到、、三个不同的乡镇中学，现要求甲乙两位名优教师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名优教师，则不同的分配方案共有 种 ．10.已知对于任意给定的正实数，函数的图象都关于直线成轴对称图形，则．11.如图，一矩形的一边在轴上，另两个顶点、在函数，的图象上，则此矩形绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值是 ．12.已知点在双曲线上，点满足，且，，则的最大值为 ．二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.使得（）的展开式中含有常数项的最小的为 ．A.B.C.D.14.对于两条不同的直线，和两个不同的平面，，以下结论正确的是（ ）．A.若，，，是异面直线，则，相交B.若，，，则C.若，，，共面于，则D.若，，，不平行，则，为异面直线15.过抛物线的焦点作两条相互垂直的弦和，则的值为（ ）．A.B.C.D.16.设等比数列的公比为，其前项之积为，并且满足条件：，，，给出下列结论：①；②；③是数列中的最大项；④使成立的最大自然数等于．其中正确结论的序号为（ ）．A.①②B.①③C.①③④D.①②③④三、解答题（本大题共5小题，共76分）（1）（2）17.如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，是的中点．已知，，．求：三角形的面积；异面直线与所成的角的大小．（1）（2）18.已知向量，其中，记．若函数的最小正周期为，求的值．在（）的条件下，已知的内角、、对应的边分别为、、，若，且，，求的面积．（1）（2）19.某企业生产的产品具有个月的时效性，在时效期内，企业投入万元经销该产品，为了获得更多的利润，企业将每月获得利润的再投入到次月的经营中，市场调研表明，该企业在经销这个产品的第个月的利润是（单位：万元），记第个月的当月利润率为，例．求第个月的当月利润率．求该企业在经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率．第个月的利润截止到第个月投入的资金总和【答案】解析:集合，，全集，∵∴．解析:∵复数．∴．∴的模为．解析:（1）（2）（3）20.已知焦点在轴上的椭圆上的点到两个焦点的距离和为，椭圆经过点．求椭圆的标准方程．过椭圆的右焦点作与轴垂直的直线，直线上存在、两点满足，求面积的最小值．若与轴不垂直的直线交椭圆于、两点，交轴于定点，线段的垂直平分线交轴于点，且为定值，求点的坐标．（1）（2）（3）21.已知函数的定义域为，且的图象连续不间断，若函数满足：对于给定的实数且，存在，使得，则称具有性质．已知函数，判断是否具有性质，并说明理由．求证：任取，函数，具有性质．已知函数，，若具有性质，求的取值范围．1.2.3.∵直线的斜率不存在，故它的倾斜角为，∵直线的斜率为，故它的倾斜角为，故这两条直线的夹角为，故答案为．解析:根据题意，木棒剩下部分的长度组成数列为首项为，公比为的等比数列，则其通项公式：．解析:设点坐标为，∴，∴点在单位圆上，∴，，∴，故答案为．解析:∵正四棱柱底面边长为，由正四棱柱底面为正方形，则底面积，∵正四棱柱体积为，∴正四棱柱高，则正四棱柱侧面面积为，所以四棱柱的表面积为．解析:，，4.5.6.底底底7.∵，由基本不等式，当，时等号成立，则，所以，则的最大值为．8.解析:∵数列中，，，∴，，，．累加得：，∴，，．9.解析:根据题意，分步进行分析：①，在三个中学中任选个，安排甲乙两人，有种情况，②，对于剩下的三人，每人都可以安排在、、三个不同的乡镇中学中任意个，则剩下三人有种不同的选法，则有种不同的分配方法．故答案为：．10.解析:由题意可知，，函数的图象都关于直线成轴对称图形，则为偶函数，关于轴对称，故恒成立，∴，∵对于任意成立，故，∴，故答案为：．11.解析:设、、、．∴，即，∴，，，，∵ ，即，∴．12.解析:，∴设，∴，∴，∴，∵，∴，∴．解析:由于（）的展开式的通项公式为，令，可得，其中，，，…．故的最小值为，故答案为：．解析:方法一：不妨设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为．弦，均过抛物线的焦点，则，，则．故选．方法二：设、、、，则由抛物线的定义可得，．设︰（存在且），联立，消得，∴．B 13.C 14.D 15.（1）（2）同理可求，∴．解析:由题意，，∴，①正确；，∴②错误；由结论①，可知，∴是数列中的最大项，③正确；∵，，∴使成立的最大自然数等于，④错误．故选．解析:因为底面，所以，又，所以平面，从而．因为，，所以三角形的面积为．方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，B 16.（1）．（2）17.（1）则，，，，．设与的夹角为，则，．由此可知，异面直线与所成的角的大小是.方法二：取中点，连接、，则，从而（或其补角）是异面直线与所成的角在中，由、、知是等腰直角三角形，所以．因此异面直线与所成的角的大小是解析:向量，，（1）．（2）．18.（2）（1）．∵，函数的最小正周期为，∴，．函数．∵，∴，由为内角，，则，∵，，．则，．所以．解析:依题意得，当时，，当，时，，（1）．（2）第个月的当月利润率最大，其当月利润率为．19.（2）（1）则，也符合上式，故当，，，当，时，所以第个月的当月利润率为．当，，是减函数，此时的最大值为，当，时，，在，单调递增，在，单调递减，当且仅当，即时，有最大值，又，，，因为，所以当时，有最大值，即该企业经销此产品期间，第个月利润最大，其当月利润率为．解析:设椭圆的方程为，椭圆上的点到两个焦点的距离和为，所以，，又椭圆经过点，代入椭圆方程，求得，所以椭圆的方程为：．，（1）．（2）．（3）或．20.（2）（3）（1）设，，，由，所以，，故面积的最小值为．设直线的方程为：，则点，联立，消去得，，，所以，则的中点的坐标为，又，得，则直线的方程为：，令，得点的坐标为，则，所以，当且仅当时，比值为定值，此时点，为，故或．解析:具有性质，设，（1）具有性质，证明见解析．（2）证明见解析．（3）．21.（2）（3）令，则，解得，又，所以具有性质．任取，令，则，因为，解得，又，所以，当，时，，即，即任取实数，都具有性质．若，取，则且，故，又，，所以具有性质；假设存在使得具有性质，即存在，使得，若，则，，，，若，则，进而，，，，，所以假设不成立，所以．。

上海青浦区高三一模数学试卷上海青浦区2021高三一模数学理试题。

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至元明清之县学一律循之不变。

明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。

到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。

事实上“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。

而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。

“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。

于民间，专门是汉代以后，关于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。

在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。

2021上海各区高考二模试卷及答案汇总宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。