四边形与特殊四边形之间的关系定义及相关定理

小学数学知识点认识四边形的特征与性质四边形是小学数学中的基础概念之一，它具有独特的特征和性质。

通过认识四边形的特征与性质，可以更好地理解和解决与四边形相关的数学问题。

本文将介绍四边形的定义、分类以及一些主要的性质和定理。

一、四边形的基本定义四边形是由四条线段连接而成的图形。

其中，这四条线段称为四边形的边，两两相邻的边称为四边形的边界。

四边形的四个顶点是边界的端点，相邻的两个顶点之间的线段称为对角线，共有两条对角线。

二、四边形的分类1. 平行四边形：平行四边形是指四边形的对边都是平行的四边形。

平行四边形的性质包括：对边相等、对角线互相平分、对角线等长。

2. 矩形：矩形是指四条边都相等且每条内角都是直角的四边形。

矩形的性质包括：四条边相等、对角线互相平分、对边互相垂直、对角线相等、具有对称性。

3. 正方形：正方形是矩形的一种特殊情况，它的四条边相等且每条内角都是直角。

正方形的性质包括：四条边相等、对角线互相平分、对边互相垂直、对角线相等、具有对称性。

4. 长方形：长方形是指四条边都不相等但相对的边相等且每条内角都是直角的四边形。

长方形的性质包括：对边相等、对角线互相平分、对边互相垂直、对角线不等。

5. 菱形：菱形是指四条边都相等但相对的内角不是直角的四边形。

菱形的性质包括：四条边相等、对角线互相平分、具有对称性。

三、四边形的性质与定理1. 对边性质：平行四边形和矩形的对边相等；正方形的对边相等且互相垂直；长方形的对边相等且互相垂直；菱形的对边相等。

2. 对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；矩形和正方形的对角线相等；长方形的对角线不等；菱形的对角线互相平分。

3. 角性质：矩形和正方形的内角都是直角；平行四边形的内角互补；相邻内角补角是180度。

4. 其他性质和定理：正方形的四个内角都是直角；正方形具有对称性；矩形和正方形的邻边互相垂直；对角线相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的四边形是长方形。

四、应用实例通过对四边形的特征与性质的认识，我们可以解决与四边形相关的一些数学问题。

特殊四边形的性质和判定定理名称 性质判定平行四边形1、对边平行且相等。

2、对角相等。

3、对角线互相平分。

4、是中心对称图形。

5、S=a b （a 、b 分别表示底和这一底上的高）推论：三角形的中位线平行于三角形的第三边.并且等于第三边的一半。

1、两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

（定义）2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

3、对角线互相平分的四边形是平行四边形。

4、一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形。

矩形矩形除了具有平行四边形的所有性质外.还有以下性质：1、四个角都是直角。

2、对角线相等。

3、既是中心对称图形.又是轴对称图形。

4、S= a b （a 、b 分别表示长和宽）推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

1、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、对角线相等的平行四边形是矩形。

3、有三个角是直角的四边形是矩形。

菱形菱形除了具有平行四边形的所有质外.还有以下性质：1、四条边都相等。

2、两条对角线互相垂直。

并且每一条对角线平分一组对角。

3、既是中心对称图形.又是轴对称图形。

4、S= a b （a 、b 分别表示两条对角线长。

）1、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

（定义）2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

3、边相等到的四边形是菱形。

正方形除了具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质外.还有以下性质： 1、对角线和边的夹角是45º。

2、S= a ²（a 表示两边长。

） 1、一组邻边相等的矩形是正方形。

2、有一个是直角的菱形是正方形。

3、对角线相垂直的矩形是正方形。

4、对角线相等的菱形是正方形。

等腰梯形1、两腰相等。

2、同一底上的两个角相等。

3、对角线相等。

4、轴对称图形1、对角线相等的梯形是等腰梯形。

2、同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。

梯形中常见辅助线AB CDABCDABC DABCD A BCD例1 如图.E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点.AM ⊥EF.垂足为M.若AM=AB.求证：EF=BE+CF例2 已知：如图.正方形ABCD 中.延长AD 到E.使DE=AD.再延长DE 到F.使DF=BD.连接BF 交CD 于Q.交CE 于P 。

初中数学四边形相关定义定理初中数学四边形相关定义和定理一、等腰梯形定义：两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。

上底与下底平行，两条腰相等。

角：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。

对角线：对角线相等的梯形是等腰梯形。

性质：判定两条腰相等的梯形是等腰梯形。

二、平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

边：两组对边平行且相等。

角：两组对角分别相等。

对角线：对角线互相平分。

性质：判定两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

判定两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

判定一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

三、矩形定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

边：两组对边分别平行且相等。

四个角都是直角。

角对角线：对角线互相平分且相等。

性质：判定有一个角是直角的平行四边形是矩形。

判定有三个角是直角的四边形是矩形。

判定四个角都相等的四边形是矩形。

判定对角线互相平分且相等的四边形是矩形。

判定对角线相等的平行四边形是矩形。

四、菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

边：四条边都相等。

两组对边分别平行。

角：两组对角分别相等。

对角线：对角线互相平分、互相垂直。

每条对角线平分一组对角。

性质：判定有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

判定四条边都相等的四边形是菱形。

判定对角线互相垂直平分的四边形是菱形。

判定对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

五、正方形定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。

边：四条边都相等。

两组对边分别相等。

角对角线：对角线互相平分、互相垂直且相等。

每条对角线平分一组对角。

性质：四个角都是直角。

判定有一组邻边相等的矩形是正方形。

判定有一个角是直角的菱形是正方形。

判定对角线互相垂直的矩形是正方形。

判定对角线相等的菱形是正方形。

判定既是矩形又是菱形的四边形是正方形。

四边形的性质和分类四边形是一种几何图形，由四条边和四个顶点组成。

在数学中，四边形有着丰富的性质和分类。

本文将介绍四边形的基本定义、性质和常见分类。

一、四边形的基本定义四边形是由四条线段相连组成的几何图形。

它的特点是具有四个内角和四个外角。

四边形的边相交于顶点，形成内角，而顶点和顶点之间的直线形成外角。

二、四边形的性质1. 内角和四边形的内角和等于360度。

也就是说，四边形的四个内角之和始终为360度。

这一性质可以通过将四边形划分成两个三角形来证明。

因为三角形的三个内角和等于180度，所以两个三角形的内角和加起来等于360度。

2. 对角线四边形的对角线是连接非相邻顶点的线段。

对角线有两条，它们分别把四边形分成两个对称的三角形。

对角线的长度可以通过使用勾股定理来计算。

3. 相邻角四边形的相邻角是指共享一条边的两个角。

相邻角的和等于180度，即补角。

这一性质也可以通过将四边形划分成两个三角形来证明。

4. 平行四边形平行四边形是指具有两组平行边的四边形。

它的对边长度相等，对角线相互平分，并且内角相互补角。

平行四边形是四边形中最基本的形式之一。

5. 矩形矩形是一种特殊的平行四边形，它的所有内角都是直角，即90度。

矩形的对边相等且平行，对角线长度相等。

矩形是一种常见的四边形，也是我们日常生活中最常见的几何形状之一。

6. 正方形正方形是一种特殊的矩形，它的所有边和内角都相等。

正方形也是一种特殊的菱形，具有对角线相等且互相垂直的性质。

正方形是对称性最好的四边形，具有许多特殊性质，如面积和周长的关系等。

三、四边形的分类根据四边形的性质和特点，我们可以将其分为以下几类：1. 平行四边形平行四边形具有平行的边和相等的对角线。

常见的平行四边形有矩形、正方形、菱形等。

2. 等腰四边形等腰四边形具有两对相等的边。

根据内角的不同，等腰四边形又可分为等腰梯形、等腰平行四边形等。

3. 等边四边形等边四边形的四条边都相等。

正方形是一种特殊的等边四边形。

平行四边形及特殊的平行四边形一、性质：1.平行四边形的对角；邻角；对边；对角线；是中心对称图形。

2.矩形的四个角为；对边；对角线；是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴有条。

3.菱形的对角；邻角；四条边都；对角线；是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴有条。

4.正方形的四个角为；四条边都；对角线；是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴有条。

二、判定：1.平行四边形的判定：（1）叫做平行四边形。

（定义）（2）的四边形是平行四边形。

（3）的四边形是平行四边形。

（4）的四边形是平行四边形。

2.矩形的判定：（1）的平行四边形叫做矩形。

（定义）（2）的四边形是矩形。

（3）的平行四边形是矩形。

3.菱形的判定：（1）的平行四边形叫做菱形。

（定义）（2）的四边形是菱形。

（3）的平行四边形是菱形。

4.正方形的判定：（1）的平行四边形叫做正方形。

（定义）（2）的矩形是正方形。

（3）的菱形是正方形。

三、其它：1.n边形的内角和为（n≥3），外角和为。

2.平行线的性质定理：夹在两条平行线间的相等。

推论：夹在两条平行线间的相等。

3.对称中心平分连结两个的线段。

4.连结三角形两边中点的线段叫做。

5.中位线定理：三角形的中位线平行于，并且等于第三边的。

6.平行线的传递性：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相。

7.在证明一个命题时，人们有时先假设命题，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与、基本事实、等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确。

这种证明方法叫做。

1。

特殊的四边形及三角形的定义、性质、判定、相关计算公式平行四边形1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．2.平行四边形的性质：1平行四边形是中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点,不是轴对称图形;关于对称性的2平行四边形的对角相等；关于角的3平行四边形的邻角互补；关于角的4平行四边形的对边相等；推论：夹在两条平行线间的平行线段;关于边的5平行四边形的对边平行；关于边的6平行四边形的对角线互相平分;关于对角线的7连接平行四边形各边的中点所得图形是平行四边形;关于中点四边形的3.平行四边形的判定方法：1两组对边分别平行的四边形是平行四边形；定义判定法2两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；4两组对角相等的四边形是平行四边形；5对角线互相平分的四边形是平行四边形;4. 相关计算公式：平行四边形的面积公式：底×高；如用“h”表示高,“a”表示底,“s”表示平行四边形面积,则S=ah平行四边形周长：2×底1+底2；如用“a"表示底1,“b”表示底2,“c“表示平行四边形周长,则C=2a+b5.平行四边形中常用辅助线的添法：1连结对角线或平移对角线；2过顶点作对边的垂线构成直角三角形；3连结对角线交点与一边中点,或过对角线交点作一边的平行线,构成线段平行或中位线；4连结顶点与对边上一点的线段或延长这条线段,构造三角形相似或等积三角形；5过顶点作对角线的垂线,构成线段平行或三角形全等;矩形1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形;2.矩形的性质：1矩形是中心对称图形,也是轴对称图形,对称轴是通过对边中点的直线,对称轴共有两条；关于对称性的2矩形的对角相等；关于角的3矩形的邻角互补；关于角的4矩形的对边相等；关于边的5矩形的对边平行；关于边的6矩形的对角线互相平分；关于对角线的7矩形的四个角都是直角；关于角的8矩形的对角线相等;关于对角线的9矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等3.矩形的判定方法：1有一个角是直角的平行四边形是矩形；定义判定法2对角线相等的平行四边形是矩形；3关于任何一组对边中点的连线成轴对称图形的平行四边形是矩形4对于平行四边形,若存在一点到两双对顶点的距离的平方和相等,则此平行四边形为矩形5有三个角是直角的四边形是矩形；6四个内角都相等的四边形为矩形；7对角线互相平分且相等的四边形是矩形；8对角线互相平分且有一个内角是直角的四边形是矩形;4.相关计算公式矩形面积：S=ah注:a为边长,h为该边上的高S=ab注:a为长,b为宽矩形周长：C=2a+b注:a为长,b为宽顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形;菱形1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形;2.菱形的性质：1菱形既是,是两条对角线所在直线,也是中心对称图形；2在60°的菱形中,短对角线等于边长,长对角线是短对角线的√3倍;3菱形的对角相等；关于角的4菱形的邻角互补；关于角的5菱形的对边相等；关于边的6菱形的对边平行；关于边的7菱形的对角线互相平分；关于对角线的8菱形的四边都相等；关于边的9菱形的对角线互相垂直,且平分各内角；关于对角线的10顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形;关于中点四边形的3.菱形的判定方法：1一组邻边相等的平行四边形是菱形；定义判定法2对角线相互垂直的平行四边形是菱形；3关于两条对角线都成轴对称的四边形是菱形；4四条边都相等的四边形是菱形;4. 相关计算公式：菱形的面积：菱形的面积等于两对角线乘积的一半;只要是对角线互相垂直的四边形都可用正方形1.正方形的定义：1四条边都相等且四个角都是直角的四边形叫做正方形;2有一组邻边相等的矩形是正方形;3有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形是正方形;4有一个角为直角的菱形是正方形;5对角线平分,垂直且相等,并且交角为直角的四边形为正方形;2.正方形的性质：1既是中心对称图形,又是有四条对称轴；关于对称性的2正方形的对角相等；关于角的3正方形的邻角互补；关于角的4正方形的对边相等；关于边的5正方形的相邻边互相垂直；关于边的6正方形的对边平行；关于边的7正方形的对角线互相平分；关于对角线的8正方形的四个角都是直角；关于角的9正方形的对角线相等;关于对角线的10正方形的四边都相等；关于边的（11）正方形的对角线互相垂直,且平分各内角;关于对角线的3.正方形的判定方法：1有一组邻边相等的矩形是正方形；2对角线互相垂直的矩形是正方形；3有一个角为直角的菱形是正方形；4对角线相等的菱形是正方形；5一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；6四边均相等,对角线互相垂直平分且相等的平行四边形是正方形；7四边相等,有三个角是直角的四边形是正方形；8对角线相互垂直平分且相等的四边形为正方形;4.相关计算公式：面积计算公式：S=边长×边长或：S=对角线×对角线÷2周长计算公式: C=4×边长顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形;等腰三角形1.等腰三角形的定义：有两边相等的三角形是等腰三角形;2. 等腰三角形的性质：1等腰三角形的两个底角相等；简写成“等边对等角”2等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高的重合；简写成“三线合一”3等腰三角形的两底角的平分线相等；两条腰上的中线相等,两条腰上的高相等4等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等；5等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半；6等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高；需用等面积法证明7等腰三角形是轴对称图形,只有一条对称轴,顶角平分线所在的直线是它的对称轴;3. 等腰三角形的判定方法：1有两条边相等的三角形是等腰三角形2有两个角相等的三角形是等腰三角形简称：等角对等边等边三角形1.等边三角形的定义：三边都相等的三角形是等边三角形;等边三角形是特殊的等腰三角形;注意：若三角形三边都相等则说这个三角形为等边三角形,而一般不称这个三角形为等腰三角形2.等边三角形的性质：1等边三角形的内角都相等,且为60度；2等边三角形底角边上的中线、底角边上高线和所对顶角的角的平分线互相重合；三线合一3等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴,对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线;3.等边三角形的判定方法：首先考虑判断三角形是等腰三角形1三边相等的三角形是等边三角形；定义2三个内角都相等的三角形是等边三角形；3有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形；4等边三角形是锐角三角形；5有两个角等于60度的等腰三角形是等边三角形;等腰梯形1.等腰梯形的定义:一组对边平行不相等,另一组对边不平行但相等的四边形是等腰梯形;2.等腰梯形的性质：1等腰梯形只有一条对称轴,上底和下底的中垂线就是它的对称轴；2等腰梯形在同一底上的两个角相等；3等腰梯形的两腰相等；4等腰梯形的两底平行；5等腰梯形的两个底角相等；6等腰梯形的对角线相等；7等腰梯形内接于圆;3. 等腰梯形的判定方法：1一组对边不平行边相等的梯形是等腰梯形；2同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；3对角线相等的梯形是等腰梯形；4一组对边平行不相等,另一组对边相等不平行的四边形是等腰梯形；5对角线相等,形成两个等腰三角形;4.相关计算公式等腰梯形的中位线长是上下底边长度和的一半；等腰梯形的面积公式等于上底加下底和一半乘高,也等于中位线乘高;直角三角形1.直角三角形的定义：有一个角为90°的三角形,叫做直角三角形;2.直角三角形的性质直角三角形是一种特殊的三角形,它除了具有一般三角形的性质外,具有一些特殊的性质：1直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;2在直角三角形中,两个锐角互余;3在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半即直角三角形的外心位于斜边的中点,外接圆半径R＝C/2;4直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积;5在直角三角形中,30°角所对直角边等于斜边的一半;3.直角三角形的判定方法：1有一个角为90°的三角形是直角三角形；2一个三角形,如果一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形；3若a的平方＋b的平方=c的平方,则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形；勾股定理的逆定理;4若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半,那么这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形；5两个锐角互余的三角形是直角三角形;。

特殊的平⾏四边形专题（题型详细分类）要点特殊的平⾏四边形讲义知识点归纳矩形，菱形和正⽅形之间的联系如下表所⽰：四边形分类专题汇总专题⼀：特殊四边形的判定矩形菱形正⽅形性质边对边平⾏且相等对边平⾏，四边相等对边平⾏，四边相等⾓四个⾓都是直⾓对⾓相等四个⾓都是直⾓对⾓线互相平分且相等互相垂直平分，且每条对⾓线平分⼀组对⾓互相垂直平分且相等,每条对⾓线平分⼀组对⾓判定 ·有三个⾓是直⾓; ·是平⾏四边形且有⼀个⾓是直⾓; ·是平⾏四边形且两条对⾓线相等. ·四边相等的四边形；·是平⾏四边形且有⼀组邻边相等；·是平⾏四边形且两条对⾓线互相垂直。

·是矩形，且有⼀组邻边相等； ·是菱形，且有⼀个⾓是直⾓。

对称性既是轴对称图形，⼜是中⼼对称图形（1）______________ （2）______________ （3）______________ （4）______________ （5）______________2.矩形的判定⽅法：（1）______________ （2）______________ （3）______________3.菱形的判定⽅法：（1）______________ （2）______________ （3）______________4.正⽅形的判定⽅法：（1）______________ （2）______________ （3）______________5.等腰梯形的判定⽅法：（1）______________ （2）______________ （3）______________【练⼀练】⼀．选择题1．能够判定四边形ABCD是平⾏四边形的题设是（）．A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠DC．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD2．具备下列条件的四边形中，不能确定是平⾏四边形的为（）．A．相邻的⾓互补 B．两组对⾓分别相等C．⼀组对边平⾏，另⼀组对边相等 D．对⾓线交点是两对⾓线中点3.下列条件中，能判定四边形是平⾏四边形的条件是( )A.⼀组对边平⾏，另⼀组对边相等B.⼀组对边平⾏，⼀组对⾓相等C.⼀组对边平⾏，⼀组邻⾓互补D.⼀组对边相等，⼀组邻⾓相等4．如下左图所⽰，四边形ABCD的对⾓线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是（）．A．若AO=OC，则ABCD是平⾏四边形;B．若AC=BD，则ABCD是平⾏四边形;C．若AO=BO，CO=DO，则ABCD是平⾏四边形;D．若AO=OC，BO=OD，则ABCD是平⾏四边形5．不能判定四边形ABCD是平⾏四边形的条件是（）A．AB=CD，AD=BC B．AB∥CD，AB=CDC．AB=CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC6.四边形ABCD的对⾓线AC，BD相交于点O，能判断它为矩形的题设是（）A．AO=CO，BO=DO B．AO=BO=CO=DOC．AB=BC，AO=CO D．AO=CO，BO=DO，AC⊥BD7.四边形ABCD的对⾓线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD8.在四边形ABCD中，O是对⾓线的交点，下列条件能判定这个四边形是正⽅形的是（）A、AC＝BD，AB∥CD，AB＝CDB、AD∥BC，∠A＝∠CC、AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BDD、AC＝CO，BO＝DO，AB＝BC9.在下列命题中，真命题是（）Ａ．两条对⾓线相等的四边形是矩形Ｂ．两条对⾓线互相垂直的四边形是菱形Ｃ．两条对⾓线互相平分的四边形是平⾏四边形Ｄ．两条对⾓线互相垂直且相等的四边形是正⽅形10.在下列命题中，正确的是（）11.如图，已知四边形ABCD 是平⾏四边形，下列结论中不正确的是（） A ．当AB=BC 时，它是菱形 B ．当AC ⊥BD 时，它是菱形C ．当∠ABC=900时，它是矩形D ．当AC=BD 时，它是正⽅形12.如图，在ABC △中，点E D F ，，分别在边AB ，BC ，CA 上，且DE CA ∥，DF BA ∥．下列四个判断中，不正确．．．的是（） A ．四边形AEDF 是平⾏四边形B ．如果90BAC ∠=o ，那么四边形AEDF 是矩形C ．如果AD 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形D ．如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是菱形 13.下列条件中不能判定四边形是正⽅形的条件是（）。