2020年广东省深圳市高考数学二模试卷(文科) (含答案解析)

2020年广东深圳文科高三二模数学试卷注意事项:1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；2. 请将答案正确填写在答题卡上。

一、标题A.B.C.D.1.设集合，，则（ ）．A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.棣莫弗公式（为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（）．A.或B.或C.D.3.已知点和在直线的两侧，则实数的取值范围是（ ）．4.已知是上的减函数，那么实数的取值范围是（ ）．A.B.C.D.，，5.一个容量为的样本，其数据分组与各组的频数如下表：组别频数则样本数据落在上的频率为（ ）．A.B.C.D.6.在中，是边上一点，，，，则 （ ）．A.B.C.D.7.（ ）．A.B.C.D.8.已知抛物线，过点作倾斜角为 的直线，若与抛物线交于、两点，弦的中垂线交轴于点，则线段的长为（ ）．A.B.C.D.9.如图，在四面体中，截面是正方形，现有下列结论：①，②截面，③，④异面直线与所成的角为，其中所有正确结论的编号是（ ）．A.①③B.①②④C.③④D.②③④10.已知函数（）的最小正周期是，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则下列结论正确的是（ ）．A.函数的图象关于直线对称B.函数的图象关于点对称C.函数在区间上单调递减D.函数在上有个零点，11.已知函数是上的奇函数，函数是上的偶函数，且，当时，，则的值为（ ）．A.B.C.D.12.已知双曲线的左、右焦点分别为、，为坐标原点，点是双曲线在第一象限内的点，直线、分别交双曲线的左右支于另一点、，若，且，则双曲线的离心率为（ ）．A.B.C.D.13.已知轴为曲线的切线，则的值为 ．14.已知为数列的前项和，若，则 ．15.在中，若，则的值为 ．16.已知球的半径为，则它的外切圆锥体积的最小值为 ．（1）（2）17.已知数列的首项，．证明：数列是等比数列．数列的前项和．（1）（2）（3）18.随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出吨该商品可获利润万元，未售出的商品，每吨亏损万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如右图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了吨该商品．现以（单位：吨，）表示下一个销售季度的市场需求量，（单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．需求量频率组距将表示为的函数，求出该函数表达式．根据直方图估计利润不少于万元的概率．根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量的平均数与中位数的大小（精确到）．19.如图所示，四棱锥中，平面．，，，为的中点．（1）（2）求证：平面．求点到平面的距离．（1）（2）20.已知椭圆：，、分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，求的最大值，并证明你的结论．若、分别是椭圆长轴的左、右端点，设直线的斜率为，且，求直线的斜率的取值范围．（1）（2）21.已知函数（为自然对数的底数），其中．在区间上，是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．若函数的两个极值点为：，，证明：．（1）（2）22.在平面直角坐标系中，直线（为参数，），曲线（为参数），与相切于点，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．求的极坐标方程及点的极坐标．已知直线与圆交于，两点，记的面积为，的面积为，求的值．（1）（2）23.已知．当时，解不等式．若存在实数，使得关于的不等式有实数解，求实数的取值范围．2020年广东深圳文科高三二模数学试卷答案注意事项:1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；2. 请将答案正确填写在答题卡上。

⎨ 绝密★启用前 试卷类型：（A ）2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试文科数学本试卷共 6 页，23 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟．一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合 A ={x -1 < x < 2}， B = {x y = lg ( x -1)} ，则 AA ． [-1 ，2)B ． [2 ，+ ∞)C ． (-1,1]D ． [-1 ，+ ∞)2 ． 棣莫弗公式 (cos x + i sin x )n = cos nx + i sin nx (i 为虚数单位） 是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数(cos π + i sin π )6 在复平面内所对应的点位55于A ． 第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知点(3,1) 和(-4, 6) 在直线3x - 2y + a = 0 的两侧，则实数a 的取值范围是A ． a < 7 或a > 24B ． a = 7 或a = 24C ． - 24 < a < 7⎧(a - 1)x + 3a , x < 1,D ． - 7 < a < 244. 已知 f (x ) = ⎪⎪⎩2a x , x ≥ 1,是(-∞, +∞) 上的减函数，那么实数a 的取值范围是1 A. (0,1)B ． (0, ) 21 1 C.[ , )6 2 1 D ．[ ,1)65. 一个容量为 100 的样本，其数据分组与各组的频数如下表：组别 (0，10] (10, 20] (20,30] (30, 40](40,50] (50, 60] (60, 70]频数1213241516137则样本数据落在(10，40] 上的频率为A. 0.13B. 0.52C. 0.39D. 0.64(RB ) =6. 在∆ABC 中， D 是BC 边上一点， AD ⊥ AB ， BC = 3 BD ， AD = 1 ，则 AC ⋅ ADA. 2B. 2C.3 D ．37． sin 163︒sin 223︒ + sin 253︒sin 313︒ =A.- 12B.12C. - 3 2D.2 8.已知抛物线 y 2 = 8x ，过点 A (2, 0) )作倾斜角为 π 的直线l ，若l 与抛物线交于 B 、C 两点， 3弦 BC 的中垂线交 x 轴于点 P ，则线段 AP 的长为A. 163B.83C.16 3 3D. 89. 如图，在四面体 ABCD 中，截面 PQMN 是正方形，现有下列结论:① AC ⊥ BD③ AC = BD② AC ∥截面 PQMN④异面直线 PM 与 BD 所成的角为45其中所有正确结论的编号是A ．①③B ．①②④C ．③④D ．②③④BQC10.已知函数 f (x ) = sin(ω x + ϕ)(ω > 0,| ϕ |< π) 的最小正周期是π ，若其图象向右平移 π个单位23后得到的函数为奇函数，则下列结论正确的是 A.函数 f (x ) 的图象关于直线x = 2π 对称B ．函数 f (x ) 的图象关于点(11π, 0) 对称 312C ．函数 f (x ) 在区间⎡- π, -π ⎤上单调递减D ．函数 f (x ) 在⎡ π , 3π ⎤上有3 个零点 ⎣⎢ 212 ⎥⎦⎢⎣ 4 2 ⎥⎦11.已知函数 y = f (x ) 是 R 上的奇函数，函数 y = g (x ) 是R 上的偶函数，且 f (x ) = g (x + 2)，当0 ≤ x ≤ 2 时， g (x ) = x - 2 ，则 g (10.5) 的值为A ．1.5B ．8.5C ．－0.5D ．0.5333ANPDM7 3 x 2 y 212.已知双曲线C : - a 2 b 2= 1(a > 0,b > 0) 的左、右焦点分别为 F 1 、F 2 ，O 为坐标原点，点 P是双曲线在第一象限内的点，直线 PO 、PF 2 分别交双曲线C 的左右支于另一点 M 、N ，若PF 1 = 2 PF 2 ，且∠MF 2 N =120 ，则双曲线的离心率为2 2A.B ．C ．D ． 3二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13. 已知 x 轴为曲线 f (x ) = 4x 3 + 4(a -1)x +1的切线，则a 的值为 ． 14. 已知 S n 为数列{a n } 的前n 项和， S n = 2a n - 2 ，则 S 5 - S 4 = . 15. 在∆ABC 中，若cos A = 1 ，则sin 2B +C + cos 2 A 的值为.3216.已知球O 的半径为r ，则它的外切圆锥体积的最小值为.三 、 解答题： 共 70 分．解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤．第 17 ～2 1 题为必考题， 每个试题考生都必须作答． 第 22 、 23 题为选考题，考生根据要求作答． (一 ) 必考题：共 60 分． 17．（本小题满分 12 分）已知数列{a }的首项a = 2，a a + a = 2a (a ≠ 0, n ∈ N *) ．n13n +1 n n +1 nn1（1） 证明：数列{a n-1}是等比数列；（2） 数列{n} a n的前n 项和 S n ．2随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5 万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3 万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130 吨该商品．现以x （单位：吨，100 ≤x ≤ 150 ）表示下一个销售季度的市场需求量，T （单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．（1）将T 表示为x 的函数，求出该函数表达式；（2）根据直方图估计利润T 不少于57 万元的概率；（3）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量x 的平均数与中位数的大小（保留到小数点后一位）．0.0300.0250.0200.0150.0100 100 110 120 130 140需求量(x/t)15019．（本小题满分12 分）如图所示，四棱锥S -ABCD 中，SA ⊥平面ABCD ，∠ABC =∠BAD = 90︒，AB =AD =SA = 1，BC = 2 ，M 为SB 的中点．（1）求证：AM // 平面SCD ；（2）求点B 到平面SCD 的距离．B CSMDAx2 2已知椭圆C : +y4 = 1 ，F1、F2 分别是椭圆C 的左、右焦点，M 为椭圆上的动点.（1）求∠F1MF2 的最大值，并证明你的结论；（2）若A 、B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点，设直线AM 的斜率为k ，且k ∈(-1, -1) ，2 3求直线BM 的斜率的取值范围．21．（本小题满分12 分）已知函数f (x) = (1+a) e x（e 为自然对数的底数），其中a > 0 ．x（1）在区间( -∞, -a] 上，f (x) 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明2理由．（2）若函数f (x) 的两个极值点为x , x（x<x ) ，证明：ln f (x2 ) - ln f (x1 ) >1+ 2 .1 2 1 2x -x a +22 1⎩ ⎩ （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分 10 分）选修 4 ― 4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy l ⎧x = t cos α（ t 为参数，0 < α < π ），曲线C⎧x = 2cos β，中，直线 1 ：⎨ y = t sin α21：⎨y = 4+2sin β（β 为参数）， l 1 与C 1 相切于点 A ，以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1） 求C 1 的极坐标方程及点 A 的极坐标；（2） 已知直线l ：θ = π(ρ ∈ R )与圆C ：ρ 2 - 4 3ρ cos θ + 2 = 0 交于 B ，C 两点，记△ AOB262的面积为 S ，△ COC 的面积为 S ，求 S 1 + S 2的值.1 2 2S 2 S 123．（本小题满分 10 分）选修4－5：不等式选讲已知 f (x ) = x - 2a .（1） 当a =1 时，解不等式 f (x ) > 2x + 1 ；（2） 若存在实数 a ∈ (1, +∞) ，使得关于 x 的不等式 f (x )+ x +< m 有实数解，求实数m 的取值范围.2a -1n绝密★启用前试卷类型：（A ）2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试文科数学参考答案与评分标准一、选择题1. C2. C3. D4. C5. B6. D7. B8. A9. B10. C11. D12. B二、填空题：13.1 414. 3215. - 1 9 16.8πr 3 . 317．（本小题满分 12 分）已知数列{a } 的首项a = 2，a a + a = 2a (a ≠ 0, n ∈ N *)．n13n +1 nn +1nn1（1） 证明：数列{a n-1}是等比数列；（2） 数列{n} a n的前n 项和 S n ．解：（1）a a + a = 2a (a ≠ 0, n ∈ N *) ，n +1 nn +1nn∴1 = a n +1 = 1 + 1 ⋅ 1 ， a n +1 2a n2 2 a n11 1 ∴ a n +1 -1 = (2 a n-1) ， .......................................... 4 分又 a = 2 ，∴ 1 -1 = 1，3a 12∴数列{ 1 a n-1}是以 1 21 首项， 2为公比的等比数列． ................... 6 分（2）由（1）知 1-1 = 1 ⋅ 1 = 1 ， a 2 2n -1 2n2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（文数）参考答案第 1 页（共10页）11 1 n n + 1 12 { } nn2 0.030 0.025 0.0200.015 0.010需求量(x /t )即 = +1，a 2n∴ = + n ． ................................................ 9 分a 2n12 3 n 设T n = + 2 + … + n ， ①2 2 2 则 2 T n = 22 + 23 + … + 由① - ②得2 n -1 2n+ n ，② 2n +11 (1- 1 )1 T = 1 + 1 + … + 1 - n =2 2n - n = 1- 1 - n ， 2 n2 222n 2n +1 1- 122n +1 2n 2n +1 ∴ T n = 2 - 1 - n 2n -1 2n．又1+ 2 + 3 + … +n = n (n +1) ．2 ∴数列 n 的前n 项和 S = 2 - 2 + n + n (n +1) ． ……12 分n n n18．（本小题满分 12 分）随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5 万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3 万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示． 已知电商为下一个销售季度筹备了 130 吨该商品． 现以 x （ 单位： 吨， 100≤ x ≤ 150 ）表示下一个销售季度的市场需求量，T （单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．（1） 将T 表示为 x 的函数，求出该函数表达式； （2） 根据直方图估计利润T 不少于 57 万元的概率；（3） 根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量 x 的平均数与中位数的大小（保留到小数点后一位）．2020 年深圳市普通高中高三年级第0二次线上统一测试（文数）参考答案第 2 页（共10页） 3a 2解:（1）当 x ∈ [100,130)时， T = 0.5x - 0.3(130 - x ) = 0.8x - 39 ； ……1 分当 x ∈ [130,150]时， T = 0.5 ⨯130 = 65 ， .............................. 2 分 所以，⎧0.8x - 39, 100 ≤ x < 130, T = ⎨⎩65, 130 ≤ x ≤ 150.（2）根据频率分布直方图及（1）知，………………………………………3 分当 x ∈[100,130) 时，由T = 0.8x - 39 ≥ 57 ，得120 ≤ x < 130 ， ......... 4 分 当 x ∈[130,150]时，由T = 65 ≥ 57 ，.................................... 5 分 所以，利润T 不少于57 万元当且仅当120 ≤ x ≤ 150 ，于是由频率分布直方图可知市场需求量 x ∈ [120,150]的频率为(0.030 + 0.025 + 0.015)⨯10 = 0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于 57 万元的概率的估计值为0.7 ， ....... 7 分 （3）估计一个销售季度内市场需求量 x 的平均数为x = 105⨯ 0.1+115⨯ 0.2 +125⨯ 0.3 +135⨯ 0.25 +145⨯ 0.15 = 126.5 由频率分布直方图易知，由于x ∈[100,120) 时，对应的频率为(0.01+ 0.02) ⨯10 = 0.3 < 0.5 ，（吨）……9 分而 x ∈[100,130) 时，对应的频率为 .................................. 10 分(0.01+ 0.02 + 0.3) ⨯10 = 0.6 > 0.5 ，因此一个销售季度内市场需求量 x 的中位数应属于区间[120,130) ，于是估计中位数应 为120 +(0.5 - 0.1- 0.2) ÷ 0.03 ≈126.7 （吨）………12 分19．(本小题满分 12 分)如图所示， 四棱锥 S - ABCD 中， SA ⊥ 平面 ABCD ， ∠ABC = ∠BAD = 90︒ ，AB = AD = SA = 1， BC = 2 ， M 为 SB 的中点．（1） 求证： AM // 平面 SCD ； （2） 求点 B 到平面 SCD 的距离．BCSMDA2 2 62 3证明：（1）取 SC 的中点 N ，连结 MN 和 DN ， ∵ M 为 SB 的中点，∴ MN / / BC 且 MN = 1BC ， ................... 2 分2∵ ∠ABC = ∠BAD = 90︒ ， AD =1，BC = 2 ， 1∴ AD / / B C 且 AD = BC ，................... 4 分 2∴ AD / /MN 且 AD = MN ， ∴四边形 AMND 为平行四边形，∴ AM / /DN ，…………………………5 分BC∵ AM ⊄ 平面 SCD ， DN ⊂ 平面 SCD ，∴ AM // 平面 SCD ． ......................... 6 分 （2）∵ AB = SA = 1 ， M 为 SB 的中点，∴ AM ⊥ SB ， ............................... 8 分 ∵ SA ⊥ 平面 ABCD ， ∴ SA ⊥ BC ， ∵ ∠ABC = ∠BAD = 90︒ ， ∴ BC ⊥ AB ，∴ BC ⊥ 平面 SAB ， ∴ BC ⊥ AM ， ∴ AM ⊥ 平面 SBC ， 由（1）可知 AM / /DN ， ∴ DN ⊥ 平面 SBC ， ∵ DN ⊂ 平面 SCD ，∴平面 SCD ⊥ 平面 SBC ， ................... 10 分 作 BE ⊥ SC 交 SC 于 E ，则 BE ⊥平面 SCD ，在直角三角形 SBC 中，有1 SB ⋅ BC = 1SC ⋅ BE ， 2 2SB ⋅ BC ∴ BE == = ， SC 3 即点 B 到平面SCD 距离为 233 ..............................12 分（三棱锥体积法参照给分）20．(本小题满分 12 分)SEMNDAy 0 x 2 2已知椭圆C :+ y 4= 1 ， F 1 、 F 2 分别是椭圆C 的左、右焦点， M 为椭圆上的动点.（1） 求∠F 1MF 2 的最大值,并证明你的结论；（2） 若 A 、B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点，设直线 AM 的斜率为k ，且k ∈(-1 , - 1) ，2 3求直线 BM 的斜率的取值范围.解：（1）由椭圆的定义可知| MF 1 | + | MF 2 |= 4 ， 在∆F 1MF 2 中，由余弦定理，可得| MF |2 + | MF |2 - | F F |2co s ∠F 1MF 2 = 1 2 1 22 | MF 1 | ⋅ | MF 2 |( | MF | + | MF |)2 - | F F |2 -2 | MF | ⋅ | MF |= 1 21 2 1 22 | MF 1 | ⋅ | MF 2 |= 2- | MF 1 | ⋅ | MF 2 | = 2 -1 ≥ 2 -1 = - 1 ， ......... 4 分 | MF | ⋅ | MF | | MF | ⋅ | MF | ⎛ | MF | + | MF | ⎫2 21 2 1 21 2 ⎪∵0 < ∠F 1MF 2 < π ， ⎝ 2 ⎭∴ ∠F MF 的最大值为2π，此时| MF |=| MF | ，12312即点 M 为椭圆C 的上顶点时，∠F MF 取最大值，其最大值为 2π ....................5 分123根据椭圆的对称性，当点 M 为椭圆C 的短轴的顶点时，∠AMB 取最大值，其最大值为2π.3……………6 分（2）设直线 BM 的斜率为k ' ， M (x 0 , y 0 ) ，则k = y 0 x 0 + 2 ，k ' = y 0 ，x 0 - 22∴ k ⋅ k ' = 0 ，9 分 x 2- 4x 2 又 0+ y 2 = 1，∴ x 2 = 4 - 4y 2 ，40 0 0-a -∴ k ⋅ k ' = - 1，41 1∵ k ∈(- , - ) ，2 3 ∴ 1 < k ' < 3 ， 2 41 3故直线 BM 的斜率的取值范围为( , ) .…………………………………………………12 分2 421．(本小题满分 12 分)已知函数 f (x ) = (1+ a) e x （ e 为自然对数的底数），其中a > 0 ．x（1）在区间( - ∞, - a] 上， f (x ) 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，2请说明理由．（ 2 ） 若 函 数ln f (x 2 ) - ln f (x 1 ) > 1+ x 2 - x 1f (x )2 a + 2的 两 个 两 个 极 值 点.x 1, x （2x 1 < x 2 )， 证 明 ：解：（1）由条件可函数 f (x ) 在(-∞, 0) 上有意义，f '(x ) =' x 2 + ax - a x 2e x，令 f (x ) = 0 ，得 x 1 2， x 2 = ，因为a > 0 ，所以 x 1 < 0 ， x 2 > 0 .所以当 x ∈(-∞, x 1) 时， f '(x ) > 0 ， 当 x ∈(x 1 , 0) 上 f '(x ) < 0 ，所以 f (x ) 在(-∞ , x 1) 上是增函数， 在(x 1 , 0) 是减函数 .................. 3 分 由 f (x ) = (1+ a )e x =x + a e x 可知，xx当 x = -a 时， f (x ) = 0 ，当 x < -a 时， f (x ) > 0 ，当-a < x < 0 时， f (x ) < 0 ，- 因 为 a - x 1= -a - 2= > 0 ， 2 所以 x 1 < -a < 0 ，-a +2 1 1 2 1 2 21 2 22又函数在(x 1 , 0) 上是减函数，且 x 1a < -a < - a< 0 ， 2a - a所以函数在区间( - ∞, - ] 上的有最小值，其最小值为 f (- 2 ) = -e 22................. 6 分（2） 由（1）可知，当a > 0 时函数 f (x ) 存在两个极值点 x 1 ， x 2 ，且 x ， x 是方程 x 2+ ax - a = 0 的两根，12所以 x 1 + x 2 = x 1x 2 = -a ，且 x 1 < x 2 < 1 ，a x x xf (x 1 ) = (1+ ) e 1 = (1- x 2 ) e 1， f (x 2 ) = (1- x 1) e 2 ，x 1所以ln f (x ) = ln(1- x ) e x 2 = ln(1- x ) + x ，ln f (x ) = ln(1- x ) e x 1 = ln(1- x ) + x ，所以ln f (x 2 ) - ln f (x 1 ) = ln(1- x 1 ) + x 2 - ln(1- x 2 ) - x 1 = ln(1- x 1 ) - ln(1- x 2 ) +1，x 2 - x 1 x 2 - x 1 （1- x 1)-(1- x 2 )又1+ = 1+= 1+， ................ 9 分a + 2-(x 2 + x 1 ) + 2(1- x 1 ) + (1- x 2 )由（1）可知1- x 1 > 1- x 2 > 0 ，设 m = 1- x 1 ， n = 1- x 2 ，则m > n > 0 ，故要证ln f (x 2 ) - ln f (x 1 ) > 1+2 ln m - ln n 成立，只要证 > 2 成立， x 2 - x 1a + 2 m - n m + n ln m - ln n 下面证明不等式> 2成立，m - n m + n 构造函数h (t ) = ln t - 2(t -1), (t ≥ 1)t +1'(t -1)2则 h (t ) =t (t +1)2 > 0 ，所以h (t ) 在t ∈(1, +∞) 上单调递增， h (t ) > h (1) = 0 ， 即ln t > 2(t -1)成立，t +1 令t = m ，即得不等式ln m - ln n > 2 ，n m - n m + n3 3 ⎩ ⎩ 1 ⎩⎩ 1 ⎩ 从而ln f (x 2 ) - ln f (x 1 )> 1+ x 2 - x 12 a + 2成立 ......................... 12 分22．（本小题满分 10 分）选修 4 ― 4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中，直线l ： ⎧x = t cos α （t 为参数， 0＜α＜π），曲线C ： 1⎨ y = t sin α21⎧x = 2cos β，（β 为参数）， l 与C 相切于点 A ，以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为 ⎨ y = 4+2sin β 1 1极轴建立极坐标系.（1） 求C 1 的极坐标方程及点 A 的极坐标；（2）已知直线l ：θ = π(ρ ∈ R )与圆C ： ρ 2 - 4 3ρ cos θ + 2 = 0 交于 B ， C 两点，记262△ AOB 的面积为 S ，△ COC 的面积为 S ，求 S 1 + S 2的值.1 2 2S 2 S 1解：（1）（法一）由题意可知， C 的直角坐标方程为 x 2 + ( y - 4)2= 4 ，⎧x = ρ cos θ， 将⎨ y = ρ sin θ 代入得C1 的极坐标方程为ρ 2 - 8ρ sin θ +12 = 0 ， .................2 分又l 的参数方程为⎧x = t cos α（t 为参数， 0＜α＜π）， 1⎨ y = t sin α2得l 1 的极坐标方程为θ =α（ρ ∈R ）， ...................................................................... 3 分 将θ =α 代入得 ρ2- 8ρ sin α +12 = 0 ，则∆ = (8sin α )2 - 4 ⨯12 = 0 ，又0＜α＜π ， 2 解得α = π ，此时 ρ=2 ，所以点 A 的极坐标为（2 3 π，............... 5 分 ，） 3 3（法二）由题意可知， C 的直角坐标方程为 x 2 + ( y - 4)2= 4 ，⎧x = ρ cos θ， 将 C 的极坐标方程为 ρ 2 - 8ρ sin θ +12 = 0 ， .......... 2 分 ⎨ y = ρ sin θ代入，得 1因为l 1 与C 1 相切于点 A ，所以在Rt △ OC 1 A 中，有| OA |= = 2 ， OC 2 - C A 2 1 12, ) 1sin ∠AOC =| C 1 A | = 1，所以∠AOC = π ， ............................4 分 | OC 1 | 2 6由极坐标的几何意义，可得 A （2 3π ...................................................................5 分 ，） 3 （2） 由C 2 的极坐标方程为 ρ 2 - 4 3ρ cos θ + 2 = 0 ，可得C 2 的直角坐标方程为(x - 2 3)2 + y 2 = 5 ，所以圆心C (2 3, 0) ， .............................6 分设 B (ρ , π) ， C (ρ , π) 将θ = π代入 ρ 2 - 4 3ρ cos θ + 2 = 0 ，1 323 6得ρ 2 - 6ρ + 2 = 0 ，所以 ρ + ρ = 6 ， ρ ρ = 2 ， ......................... 7 分 121 2又因为 S = 1 ρ .ρ sin( π - π) = 3 ρ ， S = 1 | O C | ⋅ρ .sin π = 3ρ8 分1 2 1 A 3 6 2 1 2 22 2 6 2 2S S ρ ρ (ρ + ρ )2 - 2ρ ρ 62 - 2 ⨯ 2所 以 1 + 2 = 1 + 2 = 12 1 2= = 16 ........................... 10 分 S 2 S 1 ρ2 ρ1 ρ1ρ2 223．（本小题满分 10 分）选修4－5：不等式选讲已知 f (x ) = x - 2a .（1） 当 a =1 时，解不等式 f (x )＞2x + 1；（2） 若存在实数 a ∈ (1, +∞) ，使得关于 x 的不等式 f (x )+ x +＜m 有实数解，求实数 m 的取值范围.解：（1）当 a =1 时，即解不等式 x - 2 ＞2x + 1 ，（法一）①当 x ≥ 2 时，原不等式等价于 x - 2＞2x +1，所以 x < -3 ， 所以不等式 f (x )＞2x + 1的解集为空集， ............................. 2 分 ②当 x ＜2 时，原不等式等价于2 - x ＞2x +1，解得 x ＜1 ， .............. 4 分3综上所述，不等式 f (x )＞2x + 1的解集为(-∞ 1 3.…………………………5 分（法二）①当 x <- 1时，不等式 x - 2 ＞2x + 1 显然成立； ............... 2 分2②当 x ≥- 1时，原不等式等价于(x - 2)2＞(2x +1)2 ，22a -11, ) 即3x 2 + 8x - 3＜0 ，解得- 1 ≤ x < 1 ， ................................4 分 23综上所述，不等式 f (x )＞2x + 1的解集为(-∞ 1 3.……5 分（2）因为 f (x )+ x += x - 2a + x + ≥ 2a + ，显然等号可取。

2020年广东省高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合{|5217}A x x =-<+<，{|24}B x x =-<<，则(A B =I ) A ．{|34}x x -<<B ．{|24}x x -<<C ．{|33}x x -<<D ．{|23}x x -<<2．（5分）已知复数()(z i a i i =-为虚数单位，)a R ∈，若||z =(a = ) A ．4B ．2C ．2±D ．2-3．（5分）小青和她的父母到照相馆排成一排拍照，则小青不站在两边的概率为( )A ．13B ．23C ．16D ．124．（5分）若x ，y 满足约束条件303010x y x y x +-⎧⎪--⎨⎪+⎩„„…，则2z y x =-的最大值是( )A ．9B ．7C ．3D ．65．（5分）《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则立秋的晷长为( ) A ．1.5尺B ．2.5尺C ．3.5尺D ．4.5尺6．（5分）一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，若其内接圆，则该圆锥的体积为( ) A．BCD7．（5分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[0，)+∞上单调递减，(3)0f -=，则不等式(1)0f x ->的解集为( ) A ．(3,3)-B ．(2,4)-C ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞D ．(4,2)-8．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ．若0FA FB =u u u r u u u rg ，则该双曲线的离心率为( )AB ．2 CD9．（5分）已知数列{}n a 满足1(*)1nn na a n N a +=∈+，且11a =，设1n n nb a a +=，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则2019(S = ) A ．20182019B ．20192020C ．2019D ．1201910．（5分）把函数()2sin f x x =的图象向右平移3π个单位长度，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，关于()g t 的说法有：①函数()g x 的图象关于点(,0)3π对称；②函数()g x 的图象的一条对称轴是12x π=-；③函数()g x 在[3π，]2π④函数()[0g x ∈，]π上单调递增，则以上说法正确的个数是( ) A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个11．（5分）已知椭圆C 的焦点为1(,0)F c -，2(,0)F c ，P 是椭圆C 上一点．若椭圆C 的离心，且112PF F F ⊥，△12PF F，则椭圆C 的方程为( ) A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22142x y +=D ．2214x y += 12．（5分）已知函数21()cos 1()2f x ax x a R =+-∈，若函数()f x 有唯一零点，则a 的取值范围为( ) A ．(,0)-∞ B ．(,0)[1-∞U ，)+∞ C ．(-∞，0][1U ，)+∞ D ．(-∞，1][1-U ，)+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

绝密★启用前广东省深圳市普通高中2020届高三毕业班第二次教学质量检测(二模)数学(文)试题注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，全卷满分150分。

考试时间120分钟。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A＝{x∈N|－3<x<3},B＝{－4,－2,0,2,4},则A∩B＝A.{－2,0,2}B.{0,2}C.{0}D.{2}2.若在复平面内,复数z＝2＋mi(m∈R)对应的点位于第四象限,且|z|＝4,则m＝A.－ C.23.已知函数f(x)的图象关于原点对称,当x>0时,f(x)＝2e x－3,则f(ln 13)＝A.－73B.73C.3D.－34.曲线y＝(x3－3x)·lnx在点(1,0)处的切线方程为A.2x＋y－2＝0B.x＋2y－1＝0C.x＋y－1＝0D.4x＋y－4＝05.2019年10月18日－27日,第七届世界军人运动会在湖北武汉举办,中国代表团共获得133金64银42铜,共239枚奖牌。

为了调查各国参赛人员对主办方的满意程度,研究人员随机抽取了500名参赛运动员进行调查,所得数据如下所示：现有如下说法：①在参与调查的500名运动员中任取1人,抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为12； ②在犯错误的概率不超过1%的前提下可以认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”；③没有99.9%的把握认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”。

2020年广东省深圳市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|12}A x x =-<<，{|(1)}B x y lg x ==-，则()(R A B =⋂ð ) A ．[1-，2)B ．[2，)+∞C ．(1-，1]D ．[1-，)+∞2．棣莫弗公式(cos sin )cos sin (n x i x nx i nx i +=+为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗(16671754)-发现的，根据棣莫弗公式可知，复数6(cossin )55i ππ+在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知点(3,1)和(4,6)-在直线320x y a -+=的两侧，则实数a 的取值范围是( ) A ．7a <-或24a > B ．7a = 或24a =C ．247a -<<D ．724a -<<4．已知1()3,1,()2,1,x a x a x f x a x ⎧-+<⎪=⎨⎪⎩…是(,)-∞+∞上的减函数，那么实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．1?(0,)?2C ．1[6，1)?2D ．1[6，1?)A ．0.13B ．0.52C ．0.39D ．0.646．在ABC ∆中，D 是BC 边上一点，AD AB ⊥，BC =u u ur u u r，||1AD =u u u r ，则(AC AD =u u u r u u u r g )A ．B CD7．sin163sin223sin253sin313︒︒+︒︒等于( ) A ．12-B ．12C ．D 8．已知抛物线28y x =，过点(2,0)A 作倾斜角为3π的直线l ，若l 与抛物线交于B 、C 两点，弦BC 的中垂线交x 轴于点P ，则线段AP 的长为( )A ．163B ．83CD ．9．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，现有下列结论：①AC BD ⊥②//AC 截面PQMN③AC BD =④异面直线PM 与BD 所成的角为45︒ 其中所有正确结论的编号是( )A ．①③B ．①②④C ．③④D ．②③④10．已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的最小正周期是π，若其图象向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则下列结论正确的是( )A ．函数()f x 的图象关于直线23x π=对称B ．函数()f x 的图象关于点11(12π，0)对称C ．函数()f x 在区间[,]212ππ--上单调递减D ．函数()f x 在3[,]42ππ上有3个零点11．已知函数()y f x =是R 上的奇函数，函数()y g x =是R 上的偶函数，且()(2)f x g x =+，当02x 剟时，()2g x x =-，则(10.5)g 的值为( ) A ．1.5B ．8.5C ．0.5-D ．0.512．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，点P 是双曲线在第一象限内的点，直线PO ，2PF 分别交双曲线C 的左、右支于另一点M ，N ，若12||2||PF PF =，且2120MF N ∠=︒，则双曲线的离心率为( )A 22B 7C 3D 2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知x 轴为曲线3()44(1)1f x x a x =+-+的切线，则a 的值为 ． 14．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若22n n S a =-，则54S S -= ．15．在ABC ∆中，若1cos 3A =，则2sin cos22B CA ++的值为 ．16．已知球O 的半径为r ，则它的外切圆锥体积的最小值为三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{}n a 的首项123a =，*112(0,)n n n n n a a a a a n N +++=≠∈． （1）证明：数列1{1}na -是等比数列； （2）数列{}nna 的前n 项和n S ．18．（12分）随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品．现以x （单位：吨，100150)x 剟表示下一个销售季度的市场需求量，T （单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润． （1）将T 表示为x 的函数，求出该函数表达式； （2）根据直方图估计利润T 不少于57万元的概率；（3）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量x 的平均数与中位数的大小（保留到小数点后一位）．19．（12分）如图所示，四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，90ABC BAD ∠=∠=︒，1AB AD SA ===，2BC =，M 为SB 的中点．（1）求证：//AM 平面SCD ； （2）求点B 到平面SCD 的距离．20．（12分）已知椭圆22:14xC y +=，1F 、2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，M 为椭圆上的动点．（1）求12F MF ∠的最大值，并证明你的结论；（2）若A 、B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点，设直线AM 的斜率为k ，且11(,)23k ∈--，求直线BM 的斜率的取值范围．21．（12分）已知函数()(1)(x af x e e x=+为自然对数的底数），其中0a >．（1）在区间(,]2a-∞-上，()f x 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．（2）若函数()f x 的两个极值点为1x ，212()x x x <，证明：2121()()212lnf x lnf x x x a ->+-+． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线1cos :(sin x t l t y t αα=⎧⎨=⎩为参数，0)2πα<<，曲线12cos :(42sin x C y βββ=⎧⎨=+⎩为参数），1l 与1C 相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求1C 的极坐标方程及点A 的极坐标； （2）已知直线2:()6l R πθρ=∈与圆22:cos 20C ρθ-+=交于B ，C 两点，记AOB ∆的面积为1S ，2COC ∆的面积为2S ，求1221S S S S +的值． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知()|2|f x x a =-．（1）当1a =时，解不等式()21f x x >+；（2）若存在实数(1,)a ∈+∞，使得关于x 的不等式2()||1f x x m a ++<-有实数解，求实数m 的取值范围．2020年广东省深圳市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|12}A x x =-<<，{|(1)}B x y lg x ==-，则()(R A B =⋂ð ) A ．[1-，2)B ．[2，)+∞C ．(1-，1]D ．[1-，)+∞【思路分析】求函数的定义域得集合B ，再根据补集与交集的定义运算即可． 【解析】：集合{|12}A x x =-<<，{|(1)}{|10}{|1}B x y lg x x x x x ==-=->=>， {|1}R B x x ∴=„ð，(){|12}(1R A B x x ∴=-<=-I „ð，2]．故选：C ．【归纳与总结】本题考查了求函数的定义域和集合的运算问题，是基础题．2．棣莫弗公式(cos sin )cos sin (n x i x nx i nx i +=+为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗(16671754)-发现的，根据棣莫弗公式可知，复数6(cossin )55i ππ+在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【思路分析】由题意可得666(cos sin )cos sin cos sin 555555i i i ππππππ+=+=--，再由三角函数的符号得答案．【解析】：由(cos sin )cos sin n x i x nx i nx +=+，得666(cos sin )cos sin cos sin 555555i i i ππππππ+=+=--，∴复数6(cossin )55i ππ+在复平面内所对应的点的坐标为(cos 5π-，sin )5π-，位于第三象限．故选：C ．【归纳与总结】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查三角函数值的符号，是基础题．3．已知点(3,1)和(4,6)-在直线320x y a -+=的两侧，则实数a 的取值范围是( ) A ．7a <-或24a > B ．7a = 或24a = C ．247a -<< D ．724a -<<【思路分析】根据二元一次不等式组表示平面区域，以及两点在直线两侧，建立不等式即可求解．【解析】：Q 点(3,1)与(4,6)B -，在直线320x y a -+=的两侧，∴两点对应式子32x y a -+的符号相反，即(92)(1212)0a a -+--+<， 即(7)(24)0a a +-<， 解得724a -<<， 故选：D ．【归纳与总结】题主要考查二元一次不等式表示平面区域，利用两点在直线的两侧得对应式子符号相反是解决本题的关键．4．已知1()3,1,()2,1,x a x a x f x a x ⎧-+<⎪=⎨⎪⎩…是(,)-∞+∞上的减函数，那么实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．1?(0,)?2C ．1[6，1)?2D ．1[6，1?)【思路分析】根据分段函数单调性的性质，列出不等式组，求解即可得到结论．【解析】：1()3,1,()2,1,x a x a x f x a x ⎧-+<⎪=⎨⎪⎩Q …是(,)-∞+∞上的减函数， ∴满足01102132a a a a a ⎧⎪<<⎪⎪-<⎨⎪⎪-+⎪⎩…，即011216a a a ⎧⎪<<⎪⎪<⎨⎪⎪⎪⎩…，解得1162a <„，故选：C ．【归纳与总结】本题主要考查函数的单调性的应用，根据复合函数单调性的性质是解决本题的关键．A ．0.13B ．0.52C ．0.39D ．0.64【思路分析】由频率分布表计算样本数据落在(10，40]上的频率值． 【解析】：由频率分布表知，样本数据落在(10，40]上的频率为： 1324150.52100++=．故选：B ．【归纳与总结】本题考查了利用频率分布表计算样本数据的频率问题，是基础题．6．在ABC ∆中，D 是BC 边上一点，AD AB ⊥，BC =u u u r u u r，||1AD =u u u r ，则(AC AD =u u u r u u u r g)A ．23B ．3C ．3D ．3【思路分析】将AC AD u u u r u u u r g 转化成()AB BC AD +u u u r u u u r u u u r ，化简后得BC AD u u u r u u u rg ，然后转化成33()BD AD AD AB AD =-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g ，再进行化简可得结论．【解析】：Q 在ABC ∆中，AD AB ⊥， ∴0AB AD =u u u r u u u rg ()AC AD AB BC AD =+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g AB AD BC AD =+u u u r u u u r u u u r u u u r g g BC AD =u u u r u u u r g3BD AD =u u u r u u u r g3()AD AB AD =-u u u r u u u r u u u r g33AD AD AB AD =-u u u r u u u r u u u r u u u r g g 3=故选：D ．【归纳与总结】本题主要考查了向量在几何中的应用，以及平面向量数量积的运算，同时考查了转化的思想，属于中档题．7．sin163sin223sin253sin313︒︒+︒︒等于( )A ．12-B ．12C ．3D 3 【思路分析】通过两角和公式化简，转化成特殊角得出结果． 【解析】：原式sin163sin223cos163cos223=︒︒+︒︒g cos(163223)=︒-︒ cos(60)=-︒ 12=． 故选：B ．【归纳与总结】本题主要考查了正弦函数的两角和与差．要熟练掌握三角函数中的两角和公式．8．已知抛物线28y x =，过点(2,0)A 作倾斜角为3π的直线l ，若l 与抛物线交于B 、C 两点，弦BC 的中垂线交x 轴于点P ，则线段AP 的长为( )A ．163B ．83C 163D ．3【思路分析】先表示出直线方程，代入抛物线方程可得方程2320120x x -+=，利用韦达定理，可求弦BC 的中点坐标，求出弦BC 的中垂线的方程，可得P 的坐标，即可得出结论． 【解析】：由题意，直线l 方程为：3(2)y x =-， 代入抛物线28y x =整理得：2312128x x x -+=，2320120x x ∴-+=，设1(B x ，1)y 、2(C x ，2)y ，12203x x ∴+=， ∴弦BC 的中点坐标为10(3，43)，∴弦BC 的中垂线的方程为43310()3y x -=--，令0y =，可得223x =，22(3P ∴，0)，(2,0)A Q ，16||3AP ∴=．故选：A ．【归纳与总结】本题以抛物线为载体，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，解题的关键是联立方程，利用韦达定理．9．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，现有下列结论： ①AC BD ⊥②//AC 截面PQMN③AC BD =④异面直线PM 与BD 所成的角为45︒ 其中所有正确结论的编号是( )A ．①③B ．①②④C ．③④D ．②③④【思路分析】在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，由//AC MN ，可得：//AC 截面PQMN ．由//AC PQ ，//BD QM ，PQ QM ⊥，可得AC BD ⊥．进而判断出结论．【解析】：在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形， 由//AC MN ，可得：//AC 截面PQMN ．由//AC PQ ，//BD QM ，PQ QM ⊥，AC BD ∴⊥．PQ BP AC AB =，AP PNAB BD =，1BP AP +=，PN PQ =，可得：111AC BD PQ +=，AC 与BD 不一定相等．//BD QM Q ，PM 与QM 所成的角为45︒，∴异面直线PM 与BD 所成的角为45︒．其中所有正确结论的编号是①②④． 故选：B ．【归纳与总结】本题考查了正方形的性质、空间位置关系、空间角、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 10．已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的最小正周期是π，若其图象向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则下列结论正确的是( )A ．函数()f x 的图象关于直线23x π=对称B ．函数()f x 的图象关于点11(12π，0)对称C ．函数()f x 在区间[,]212ππ--上单调递减D ．函数()f x 在3[,]42ππ上有3个零点【思路分析】函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的最小正周期是π，2ππω=，解得2ω=．()sin(2)f x x ϕ=+，若其图象向右平移3π个单位后得到的函数()g x 为奇函数，2()sin(2)3g x x πϕ=-+，可得2(0)sin()03g πϕ=-+=，可得ϕ，()f x ．利用三角函数的图象与性质即可判断出结论．【解析】：函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的最小正周期是π，∴2ππω=，解得2ω=． ()sin(2)f x x ϕ∴=+，若其图象向右平移3π个单位后得到的函数()g x 为奇函数， 2()sin(2)3g x x πϕ∴=-+，可得2(0)sin()03g πϕ=-+=，23k πϕπ∴-+=，k Z ∈，取1k =-，可得3πϕ=-．()sin(2)3f x x π∴=-，验证：2()03f π=，11()112f π=-，因此AB 不正确．若[,]212x ππ∈--，则4(2)[33x ππ-∈-，]2π-，因此函数()f x 在区间[,]212ππ--上单调递减，正确．若3[,]42x ππ∈，则(2)[36x ππ-∈，8]3π，因此函数()f x 在区间3[,]42x ππ∈上只有两个零点，不正确．故选：C ．【归纳与总结】本题考查了三角函数的图象与性质、方程的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知函数()y f x =是R 上的奇函数，函数()y g x =是R 上的偶函数，且()(2)f x g x =+，当02x 剟时，()2g x x =-，则(10.5)g 的值为( ) A ．1.5B ．8.5C ．0.5-D ．0.5【思路分析】根据函数()y f x =是R 上的奇函数，并且()(2)f x g x =+，得到(2)(2)g x g x -+=-+．结合()g x 是R 上的偶函数，得到(2)(2)g x g x +=--，进而推出函数的周期为8，再结合函数的奇偶性与解析式可得答案．【解析】：由题意可得：因为函数()y f x =是R 上的奇函数，并且()(2)f x g x =+， 所以()()f x f x -=-，即(2)(2)g x g x -+=-+． 又因为函数()y g x =是R 上的偶函数， 所以(2)(2)g x g x +=--， 所以()(4)g x g x =--，所以(4)(8)g x g x -=--，所以()(8)g x g x =-，所以函数()g x 是周期函数，并且周期为8． 所以(10.5)(2.5)(1.5)(1.5)0.5g g g g ==--=-=． 故选：D ．【归纳与总结】解决此类问题的关键是熟练掌握函数的有关性质，即奇偶性，单调性，周期性等性质．12．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，点P 是双曲线在第一象限内的点，直线PO ，2PF 分别交双曲线C 的左、右支于另一点M ，N ，若12||2||PF PF =，且2120MF N ∠=︒，则双曲线的离心率为( )AB C D 【思路分析】由题意，12||2||PF PF =，12||||2PF PF a -=，可得1||4PF a =，2||2PF a =，由2120MF N ∠=︒，可得12120F PF ∠=︒，由余弦定理可得2224164242cos120c a a a a =+-︒g g g ，即可求出双曲线C 的离心率． 【解析】：由题意，12||2||PF PF =， 由双曲线的定义可得，12||||2PF PF a -=， 可得1||4PF a =，2||2PF a = 由四边形12PF MF 为平行四边形， 又2120MF N ∠=︒，可得12120F PF ∠=︒， 在三角形12PF F 中，由余弦定理可得 2224164242cos120c a a a a =+-︒g g g ，即有2224208c a a =+，即227c a =， 可得c =，即ce a==．故选：B ．【归纳与总结】本题考查双曲线C 的离心率，注意运用双曲线的定义和三角形的余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知x 轴为曲线3()44(1)1f x x a x =+-+的切线，则a 的值为14． 【思路分析】先对()f x 求导，然后设切点为0(x ，0)，由切线斜率和切点在曲线上得到关于0x 和a 的方程，再求出a 的值．【解析】：由3()44(1)1f x x a x =+-+，得2()124(1)f x x a '=+-，x Q 轴为曲线()f x 的切线，()f x ∴的切线方程为0y =，设切点为0(x ，0)，则200()124(1)0f x x a '=+-=①， 又3000()44(1)10f x x a x =+-+=②， 由①②，得012x =，14a =，a ∴的值为14．故答案为：14．【归纳与总结】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了方程思想，属基础题．14．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若22n n S a =-，则54S S -= 32 ． 【思路分析】根据数列的递推关系，求出数列的通项公式，然后即可求解结论． 【解析】：因为n S 为数列{}n a 的前n 项和， 若22n n S a =-，① 则111222a a a =-⇒=； 则1122n n S a --=-，②①-②得：11222n n n n n a a a a a --=-⇒=⇒数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列； 故2n n a =；554232S S ∴-==． 故答案为：32．【归纳与总结】本题主要考查利用数列的递推关系求解通项公式，属于基础题目．15．在ABC ∆中，若1cos 3A =，则2sin cos22B C A ++的值为 19- ．【思路分析】在ABC ∆中，若1cos 3A =，利用诱导公式、二倍角公式把要求的式子化为21cos 2cos 12AA ++-，运算求得结果． 【解析】：在ABC ∆中，若1cos 3A =，则22221cos 221sin cos2cos2cos cos22cos 112222399B C A A A A sin A A A π+-++=+=+=+-=+-=-，故答案为19-．【归纳与总结】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．16．已知球O 的半径为r ，则它的外切圆锥体积的最小值为383r π 【思路分析】由题意画出截面图，设圆锥的高为h ，圆锥的底面半径为R ，利用三角形相似可得R ，h ，r 的关系，写出圆锥的体积公式，再由导数求最值． 【解析】：作出截面图如图，设圆锥的高为h ，圆锥的底面半径为R ，OC OD r ==， 90SCB SDO ∠=∠=︒，又OSD BSC ∠=∠， SOD SBC ∴∆∆∽，∴BC SCOD SD =，即22()R r h r r =--， 222()2R h r rh hr∴==---．∴圆锥体积222133(2)r h V R h h r ππ==-，22(4)3(2)r h h r V h r π-'=-g ． 令()0h r '=，得4h r =． ∴38(4)3min V v r r π==．故答案为：383r π．【归纳与总结】本题考查球外接圆锥体积最值的求法，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用导数求最值，是中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{}n a 的首项123a =，*112(0,)n n n n n a a a a a n N +++=≠∈． （1）证明：数列1{1}na -是等比数列； （2）数列{}nna 的前n 项和n S ．【思路分析】（1）由112n n n n a a a a +++=，变形为1121n n a a ++=，可得11111(1)2n na a +-=-，即可证明；（2）由（1）可得：111111()()222n n n a --=⨯=，2n n n n n a =+．设231232222n n nT =+++⋯+，利用“错位相减法”可得n T ，即可得出数列{}n n a 的前n 项和(1)2n n n n S T +=+．【解答】（1）证明：112n n n n a a a a +++=Q ，∴1121n n a a ++=， ∴11111(1)2n na a +-=-， 又123a =，∴11112a -=．∴数列1{1}na -为等比数列；（2）解：由（1）可得：111111()()222n n n a --=⨯=，化为111()2n n a =+， ∴2n n n nn a =+． 设231232222n n nT =+++⋯+， 234111*********n n n n nT +-=+++⋯++， ∴2311111(1)11111222112222222212n n n n n n n n n T +++-+=+++⋯+-=-=--， 222n n nT +∴=-，∴数列{}n na 的前n 项和2(1)22222n n n n n n n n S T +++=+=+-．【归纳与总结】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n 项和公式、“错位相减法”，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．18．（12分）随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品．现以x （单位：吨，100150)x 剟表示下一个销售季度的市场需求量，T （单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润． （1）将T 表示为x 的函数，求出该函数表达式； （2）根据直方图估计利润T 不少于57万元的概率；（3）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量x 的平均数与中位数的大小（保留到小数点后一位）．【思路分析】（1）计算[100x ∈，130)和[130x ∈，150]时T 的值，用分段函数表示T 的解析式；（2）计算利润T 不少于57万元时x 的取值范围，求出对应的频率值即可； （3）利用每一小组底边的中点乘以对应的频率求和得出平均数， 根据中位数两边频率相等求出中位数的大小．【解析】：（1）当[100x ∈，130)时，0.839T x =-；⋯（1分） 当[130x ∈，150]时，0.513065T =⨯=，⋯（2分） 所以，0.839,10013065,130150x x T x -<⎧=⎨⎩„剟 ⋯（3分）（2）根据频率分布直方图及（Ⅰ）知，当[100x ∈，130)时，由0.83957T x =-…，得120130x <„，⋯（4分） 当[130x ∈，150]时，由6557T =…，⋯所以，利润T 不少于57万元当且仅当120150x 剟，于是由频率分布直方图可知市场需求量[120x ∈，150]的频率为 (0.0300.0250.015)100.7++⨯=，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57万元的概率的估计值为0.7； ⋯（7分） （3）估计一个销售季度内市场需求量x 的平均数为1050.11150.21250.31350.251450.15126.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（吨)；⋯（9分）由频率分布直方图易知，由于[100x ∈，120)时， 对应的频率为(0.010.02)100.30.5+⨯=<，而[100x ∈，130)时，对应的频率为(0.010.020.03)100.60.5++⨯=>，⋯（10分）因此一个销售季度内市场需求量x 的中位数应属于区间[120，130)， 于是估计中位数应为120(0.50.10.2)0.03126.7+--÷≈（吨)．⋯（12分）【归纳与总结】本题考查了分段函数以及频率、平均数和中位数的计算问题，是基础题目． 19．（12分）如图所示，四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，90ABC BAD ∠=∠=︒，1AB AD SA ===，2BC =，M 为SB 的中点．（1）求证：//AM 平面SCD ； （2）求点B 到平面SCD 的距离．【思路分析】（1）取SC 的中点N ，连结MN 和DN ，可证明得到四边形AMND 是平行四边形，进而//AM 平面SCD ；（2）先证明得到AM ⊥平面SBC ，进而得到平面SCD ⊥平面SBC ，作BE SC ⊥交SC 于E ，则BE ⊥平面SCD ，在直角三角形中利用等面积法即可求出距离 【解析】：（1）取SC 的中点N ，连结MN 和DN ，M Q 为SB 的中点，//MN BC ∴，且12MN BC =， 90ABC BAD ∠=∠=︒Q ，1AD =，2BC =，//AD BC ∴，且12AD BC =，AD ∴平行且等于MN ， ∴四边形AMND 是平行四边形，//AM DN ∴，AM ⊂/Q 平面SCD ，DN ⊂平面SCD ，//AM ∴平面SCD ．（2）1AB AS ==Q ，M 为SB 中点， AM SB ∴⊥，SA ⊥Q 平面ABCD ，SA BC ∴⊥， 90ABC BAD ∠=∠=︒Q ， BC AB ∴⊥， BC ∴⊥平面SAB ， BC AM ∴⊥，AM ∴⊥平面SBC ，由（1）可知//AM DN ，DN ∴⊥平面SBC ， DN ⊂Q 平面SCD ，∴平面SCD ⊥平面SBC ，作BE SC ⊥交SC 于E ，则BE ⊥平面SCD ，在直角三角形SBC 中，1122SB BC SC BE =g g ，22236SB BC BE SC ∴===g ，即点B 到平面SCD 的距离为23．【归纳与总结】本题考查线面平行的证明，考查求点到平面距离，数形结合思想，转化思想，等面积法，属于中档题20．（12分）已知椭圆22:14x C y +=，1F 、2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，M 为椭圆上的动点．（1）求12F MF ∠的最大值，并证明你的结论；（2）若A 、B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点，设直线AM 的斜率为k ，且11(,)23k ∈--，求直线BM 的斜率的取值范围．【思路分析】（1）由题意可知12||||4MF MF +=，在△12F MF 中，利用余弦定理可得：12122cos 1||||F MF MF MF ∠=-g ，再利用基本不等式得到121cos 2F MF ∠-…，当且仅当12||||MF MF =时等号成立，再结合120F MF π<∠< 以及余弦函数的图象，即可得到12F MF ∠的最大值；（2）设直线BM 的斜率为k '，0(M x ，0)y ，则14k k '=-g ，再根据k 的范围即可得到k '的范围．【解析】：（1）由椭圆的定义可知：12||||4MF MF +=， 在△12F MF 中，由余弦定理可得：22212121212||||||cos 2||||MF MF F F F MF MF MF +-∠=2212121212(||||)||2||||2||||MF MF F F MF MF MF MF +--=g g12122||||||||MF MF MF MF -=g g2121222111||||||||2()2MF MF MF MF =--=-+g …，120F MF π<∠<Q ，12F MF ∴∠的最大值为23π，此时12||||MF MF =， 即点M 为椭圆C 的上、下顶点时12F MF ∠取最大值，其最大值为23π； （2）设直线BM 的斜率为k '，0(M x ，0)y ，则002y k x =+，002y k x '=-，∴20204y k k x '=-g ，又220014x y +=，∴220044x y =-，∴14k k '=-g ，Q 11(,)23k ∈--，∴1324k '<<， 故直线BM 的斜率的取值范围为1(2，3)4．【归纳与总结】本题主要考查了椭圆的定义，考查了余弦定理和基本不等式的应用，是中档题．21．（12分）已知函数()(1)(x af x e e x=+为自然对数的底数），其中0a >．（1）在区间(,]2a-∞-上，()f x 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．（2）若函数()f x 的两个极值点为1x ，212()x x x <，证明：2121()()212lnf x lnf x x x a ->+-+． 【思路分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可求函数的单调性，进而可求最值；（2）由极值存在的条件及方程的根与系数关系，把不等式的左面式子进行变形后构造函数，结合导数研究新函数的范围可证．【解析】：（1）由条件可知，函数在(,0)-∞上有意义，22()xx ax a f x e x +-'=，0a >，令()0f x '=可得，10x =<，20x =>， 1x x <时，()0f x '>，函数单调递增，当10x x <<时，()0f x '<，函数单调递减，由()(1)x af x e x=+，可得()0f a -=，当x a <-时，()0f x >，当0a x -<<时，()0f x <，因为10a x a --=-+=>，所以10x a <-<，又函数在1(x ，0)上单调递减且1102x a a <-<-<，所以()f x 在1(,]2a -∞-上有最小值121()2a f a e --=-，（2）由（1）可知0a >时，()f x 存在两个极值点为1x ，212()x x x <，故1x ，2x 是20x ax a +-=的根， 所以1212x x x x a +==-，且121x x <<，因为11121()(1)(1)x x af x e x e x =+=-，同理221()(1)x f x x e =-，212()(1)lnf x ln x x ∴=-+，121()(1)lnf x ln x x =-+， ∴2112212121()()(1)(1)lnf x lnf x ln x x ln x x x x x x --++--=-- 1212(1)(1)1(1)(1)ln x ln x x x ---=+---，又121222211122()(1)(1)a x x x x +=+=++-+-+-， 由（1）知，12110x x ->->， 设11m x =-，21n x =-，令2(1)()1t h t lnt t -=-+，1t …，则22(1)()0(1)t h t t t -'=>+，所以()h t 在(1,)+∞上单调递增，()h t h >（1）0=，即2(1)1t lnt t ->+，令m t n =则2lnm lnn m n m n ->-+ 从而2121()()212lnf x lnf x x x a ->+-+． 【归纳与总结】本题主要考查了导数与函数性质的综合应用，还考查了考生的逻辑推理与运算的能力，属于中档题．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线1cos :(sin x t l t y t αα=⎧⎨=⎩为参数，0)2πα<<，曲线12cos :(42sin x C y βββ=⎧⎨=+⎩为参数），1l 与1C 相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求1C 的极坐标方程及点A 的极坐标； （2）已知直线2:()6l R πθρ=∈与圆22:cos 20C ρθ-+=交于B ，C 两点，记AOB ∆的面积为1S ，2COC ∆的面积为2S ，求1221S S S S +的值． 【思路分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换求出结果．（2）利用三角形的面积公式的应用求出结果．【解析】：（1）曲线12cos :(42sin x C y βββ=⎧⎨=+⎩为参数），转换为直角坐标方程为22(2)4x y +-=．将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入得到28sin 120ρρθ-+=． 直线1cos :(sin x t l t y t αα=⎧⎨=⎩为参数，0)2πα<<，转换为极坐标方程为()R θαρ=∈． 将θα=代入28sin 120ρρθ-+=得到28sin 120ρρα-+=， 由于△2(8sin )4120α=-⨯=，解得3πα=，故此时ρ=所以点A的极坐标为)3π．（2）由于圆22:cos 20C ρθ-+=，转换为直角坐标方程为22(5x y -+=．所以圆心坐标为．设1(,)3B πρ，2(,)3C πρ，将6πθ=代入2cos 20ρθ-+=，得到2620ρρ-+=， 所以126ρρ+=，122ρρ=．由于1111sin()236A S ππρρ=-g g g，22221||sin()236S OC ππρ=-=g g g ．所以2212121212212112()2622162S S S S ρρρρρρρρρρ+--⨯+=+===． 【归纳与总结】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知()|2|f x x a =-．（1）当1a =时，解不等式()21f x x >+；（2）若存在实数(1,)a ∈+∞，使得关于x 的不等式2()||1f x x m a ++<-有实数解，求实数m 的取值范围．【思路分析】（1）由绝对值的定义，讨论2x <，2x …，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；（2）运用绝对值不等式的性质可得2()||1f x x a ++-的最小值，由题意可得m 大于这个最小值，解不等式可得所求范围．【解析】：（1）当1a =时，即解不等式|2|21x x ->+，当2x …时，原不等式等价为221x x ->+，所以3x <-，则原不等式的解集为∅；当2x <时，原不等式等价为221x x ->+，解得13x <， 综上可得原不等式的解集为1(,)3-∞；（2）222()|||2||||2|111f x x x a x a a a a ++=-+++---…，显然等号可取，由1a >，故原问题等价为关于a 的不等式22a m +<在(1,)+∞有解，又因为2222(1)22611a a a a +=-++=--…，当且仅当2a =取得等号，即6m >， 即m 的范围是(6,)+∞．【归纳与总结】本题考查绝对值不等式的解法，以及不等式有解的条件，考查分类讨论思想和转化思想，以及运算能力、推理能力，属于中档题．。

2020年广东省深圳市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|15}A x x =-<<，{1B =，3，5}，则(A B =I ) A ．{1，3} B ．{1，3，5} C ．{1，2，3，4} D ．{0，1，2，3，4，5}2．（5分）设21(1)iz i +=-，则||(z = ) A ．12BC ．1 D3．（5分）已知22ln a =，22log b e=，22e c =，则( )A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．b a c <<4．（5分）设x ，y 满足约束条件130x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩„„…，则2z x y =-的最大值为( )A ．3-B ．1C ．2D ．35．（5分）已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，有下列四个命题： ①若//m α，//n α，则//m n ； ②若n α⊥，m β⊥，//m n ，则//αβ； ③若αβ⊥，//m α，n β⊥，则//m n ； ④若//αβ，m α⊂，m n ⊥，则n β⊥． 其中，正确的命题个数是( ) A ．3B ．2C ．1D ．06．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点分别为1(5,0)F -，2(5,0)F ，P 为C 上一点，12PF PF ⊥，123tan 4PF F ∠=，则C 的方程为( )A ．22124y x -=B ．22124x y -=C ．221916x y -= D ．221169x y -= 7．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的0.4k =，则输出的(n = )A ．5B ．4C ．3D ．28．（5分）函数2()21f x x x =-+的图象与函数()3cos g x x π=的图象所有交点的横坐标之和等于( ) A ．2B ．4C ．6D ．89．（5分）已知正方体的六个面的中心可构成一个正八面体，现从正方体内部任取一个点，则该点落在这个正八面体内部的概率为( ) A ．12B ．13C ．16D ．11210．（5分）函数(14)sin ()2x xxf x -=的部分图象大致为( )A ．B ．C ．D ．11．（5分）下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A ，B ，C ，D 是其中四个圆的圆心，则(AB CD =u u u r u u u rg)A ．32B ．28C ．26D ．2412．（5分）在三棱锥P ABC -中，平面PBC ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，2BC PC ==，若AC PB =，则三棱锥P ABC -体积的最大值为( )A 42B 163C 163D 323二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足，医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援．若某医疗团队从甲，乙，丙，丁4名医生志愿者中，随机选取2名医生赴湖北支援，则甲被选中的概率为 ．14．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为2224b c a +-，sin sin 2A Cb Cc +=，则角C = ． 15．（5分）《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只．以此类推，假设n 个月后共有老鼠n a 只，则n a = ．16．（5分）已知A ，F 分别是椭圆2222:(0)x y C l a b a b+=>>的下顶点和左焦点，过A 且倾斜角为60︒的直线l 分别交x 轴和椭圆C 于M ，N 两点，且N 点的纵坐标为35b ，若FMN∆的周长为6，则FAN ∆的面积为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知各项都为正数的等比数列{}n a ，232a =，3458a a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，123||||||||n n T b b b b =+++⋯+，求n T ．18．（12分）为了比较两种治疗某病毒的药（分别称为甲药，乙药）的疗效，某医疗团队随机地选取了服用甲药的患者和服用乙药的患者进行研究，根据研究的数据，绘制了如图1等高条形图．（1）根据等高条形图，判断哪一种药的治愈率更高，不用说明理由；（2）为了进一步研究两种药的疗效，从服用甲药的治愈患者和服用乙药的治愈患者中，分别抽取了10名，记录他们的治疗时间（单位：天），统计并绘制了如图2茎叶图，从茎叶图看，哪一种药的疗效更好，并说明理由；（3）标准差s 除了可以用来刻画一组数据的离散程度外，还可以刻画每个数据偏离平均水平的程度，如果出现了治疗时间在(3x s -，3)x s +之外的患者，就认为病毒有可能发生了变异，需要对该患者进行进一步检查，若某服用甲药的患者已经治疗了26天还未痊愈，请结合（2）中甲药的数据，判断是否应该对该患者进行进一步检查？ 参考公式：222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-+⋯+-g 234048≈．19．（12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，12AA =，M ，N 分别为AB ，1AA 的中点．（1）求证：平面1B NC ⊥平面CMN ；（2）若2AB =，求点N 到平面1B MC 的距离．。

2020年广东省高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B.C. D.2.已知复数为虚数单位，，若，则A. 4B. 2C.D.3.小青和她的父母到照相馆排成一排拍照，则小青不站在两边的概率为A. B. C. D.4.若x，y满足约束条件，则的最大值是A. 9B. 7C. 3D. 65.周髀算经是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为尺，则立秋的晷长为A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺6.一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，若其内接圆柱的体积为，则该圆锥的体积为A. B. C. D.7.已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式的解集为A. B.C. D.8.已知双曲线的右焦点为F，过点F分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，若，则该双曲线的离心率为A. B. 2 C. D.9.已知数列满足，且，设，记数列的前n项和为，则A. B. C. 2019 D.10.把函数的图象向右平移个单位长度，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变得到函数的图象，关于的说法有：函数的图象关于点对称；函数的图象的一条对称轴是；函数在上的最上的最小值为；函数上单调递增，则以上说法正确的个数是A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个11.已知椭圆C的焦点为，，P是椭圆C上一点．若椭圆C的离心率为，且，的面积为，则椭圆C的方程为A. B. C. D.12.已知函数，若函数有唯一零点，则a的取值范围为A. B. ，C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.记等比数列的前n项和为，若，，则公比______．14.已知向量，，且向量与的夹角为，则______．15.对于任意实数a，b，定义，函数，，，若函数有两个零点，则k的取值范围为______．16.如图，在矩形ABCD中，已知，E是AB的中点，将沿直线DE翻折成，连接C.若当三棱锥的体积取得最大值时，三棱锥外接球的体积为，则______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．求角A的大小；若，且AB边上的高等于，求sin C的值．18.如图，四棱锥中，四边形ABCD是边长为4的菱形，，，E是BC上一点，且，设．证明：平面ABCD；若，，求三棱锥的体积．19.为了提高生产效益，某企业引进了一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取100件产品进行质量检测，所有产品质量指标值均在以内，规定质量指标值大于30的产品为优质品，质量指标值在的产品为合格品．旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所示，新设备所生产的产品质量指标值如频数分布表所示．质量指标频数2820302515合计100请分别估计新、旧设备所生产的产品的优质品率．优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高．根据已知图表数据填写下面列联表单位：件，并判断是否有的把握认为“产品质量高与新设备有关”．非优质品优质品合计新设备产品旧设备产品合计附：，其中．已知每件产品的纯利润单位：元与产品质量指标值的关系式为，若每台新设备每天可以生产100件产品，买一台新设备需要80万元，请估计至少需要生产多少天方可以收回设备成本．20.已知曲线C上每一点到直线l：的距离比它到点的距离大1．求曲线C的方程；曲线C任意一点处的切线不含x轴与直线相交于点M，与直线l相交于点N，证明：为定值，并求此定值．21.已知函数，其中e为自然对数的底数．若，求函数在点处的切线方程；若函数的极小值为，求a的值．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．求直线l的直角坐标方程；已知P是曲线C上的一动点，过点P作直线交直线于点A，且直线与直线l的夹角为，若的最大值为6，求a的值．23.已知函数．解不等式：；若a，b，c均为正数，且，证明：．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：集合，，．故选：D．求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：C解析：解：因为复数，所以，即，所以．故选：C．根据复数的基本运算法则进行化简，再由模长公式列方程求解即可．本题主要考查复数的乘法法则和模的计算，比较基础．3.答案：A解析：解：小青和她的父母到照相馆排成一排拍照，基本事件总数，小青不站在两边包含的基本事件个数，小青不站在两边的概率为．故选：A．基本事件总数，小青不站在两边包含的基本事件个数，由此能求出小青不站在两边的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.答案：D解析：解：由x，y满足约束条件，作出可行域如图，联立，解得，化目标函数为直线方程的斜截式：．由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最大，Z有最大值为；故选：D．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数的答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．5.答案：D解析：解：夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为尺，，，即．解得，．立秋的晷长．故选：D．由夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为尺，可得：，，即解出利用通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：C解析：解：设内接圆柱的高为h，则圆锥的高，一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，其内接圆柱的体积为，，解得，圆锥的高，该圆锥的体积为：．故选：C．设内接圆柱的高为h，则圆锥的高，由内接圆柱的体积为，求出，从而圆锥的高，由此能求出该圆锥的体积．本题考查圆锥的体积的求法，考查圆锥、圆柱的体积公式、结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．7.答案：B解析：解：根据题意，函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，又由，则，解可得：，即不等式的解集为；故选：B．根据题意，由函数的奇偶性与单调性的性质以及分析可得：等价于，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及绝对值不等式的解法，属于基础题．8.答案：D解析：解：如图，由，得，即，，即．则．故选：D．由题意画出图形，可得渐近线的倾斜角，得到，则离心率可求．本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查双曲线离心率的求法，是基础题．9.答案：B解析：解：数列满足，整理得：，所以：，故，由于且，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列．故：，所以．设，所以．所以．故选：B．首先利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10.答案：C解析：解：把函数的图象向右平移个单位长度，得，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变得到函数的图象，则，函数的图象不关于点对称，故错误；，函数的图象的一条对称轴是，故正确；当时，，则，即函数在上的最上的最小值为，故正确；当时，，可知函数在上不单调，故错误．正确命题的个数为2．故选：C．通过平移变换与伸缩变换求得函数的解析式．由判断错误；由求得最小值判断正确；由x的范围求得函数值域判断正确；由x的范围可知函数在上不单调判断错误．本题考查命题的真假判断与应用，考查型函数的图象与性质，是中档题．11.答案：A解析：解：椭圆C的焦点为，，P是椭圆C上一点．若椭圆C的离心率为，且，的面积为，可得：，解得，，所以：椭圆方程为：．故选：A．利用椭圆的离心率以及三角形的面积，求出a、b；即可得到椭圆方程．本题考查椭圆的简单性质的应用、椭圆方程的求法，是基本知识的考查，基础题．12.答案：B解析：解：当时，，显然此时函数的零点不唯一，不合题意，故可排除选项C；依题意，方程有唯一解，即函数与函数的图象有唯一交点，当时，如图，函数与函数的图象显然只有唯一交点，符合题意，故可排除选项D；当时，如图，由二次函数的性质可知，函数的开口向下，且a越大，函数的开口越小，由图可知，此时函数与函数的图象显然只有唯一交点，符合题意，故可排除选项A；故选：B．当，由余弦函数的周期性可知，此时函数的零点不唯一，当时，问题等价于函数与函数的图象有唯一交点，分及三种情况讨论，结合图象即可得出结论．本题主要考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想及转化思想的运用，该题也可以利用导数分类讨论得解，但作为选择题，采用分类讨论加排除法，可以快速而有效的得出答案，是考试中的必备技巧，属于中档题．13.答案：或2解析：解：由，，，化为：．解得或2．故答案为：或2．由，，可得：，化简解出即可得出．本题考查了等比数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.答案：2解析：解：，，，．故答案为：2．根据向量的坐标即可求出，进而求出的值，进而得出的值，从而得出．本题考查了根据向量的坐标求向量的长度的方法，向量数量积的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．15.答案：解析：解：因为单调递减，单调递增，且，故，作出函数的图象如下：函数有两个零点等价于函数与直线图象有2个交点，由图可知，；故答案为：．根据题意得到解析式为，作出其图象，数形结合即可本题主要考查函数与方程的应用，将方程转化为函数图象的交点问题是解决本题的关键．要注意使用数形结合的数学思想，属于中档题．16.答案：解析：解：在矩形ABCD中，已知，E是AB的中点，所以：为等腰直角三角形；斜边DE上的高为：；要想三棱锥的体积最大；需高最大，则当面BCDE时体积最大，此时三棱锥的高等于：；取DC的中点H，过H作下底面的垂线；此时三棱锥的外接球球心在OH上；三棱锥外接球的体积为；所以球半径；如图：；；即：；；联立可得；故答案为：．要想体积最大，需高最大，当面BCDE时体积最大，根据对应球的体积即可求解结论．本题考查的知识要点：几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力及空间想象能力的应用，属于中档题型．17.答案：解：，，由正弦定理可得，，，，解得，．设AB边上的高为CD，在中，可得，可得，在中，根据勾股定理，可得，在中，根据正弦定理，可得．解析：利用二倍角公式，正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得，结合，，可得cos A，进而可求A的值．设AB边上的高为CD，在中，可得，可得，在中，根据勾股定理可得BC，在中，根据正弦定理可得sin C的值．本题主要考查了二倍角公式，正弦定理，两角和的正弦函数公式化以及勾股定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.答案：解：证明：四边形ABCD是菱形，，O是AC的中点，，，平面PAC，平面PAC，，，O是AC的中点，，，平面ABCD．解：由四边形ABCD是菱形，，得和都是等边三角形，，是BD的中点，，在中，，在中，，取BC的中点F，连结DF，则，在中，，在中，由余弦定理得，，，，，，三棱锥的体积．解析：推导出，，从而平面PAC，，推导出，由此能证明平面ABCD．取BC的中点F，连结DF，则，由余弦定理得，，三棱锥的体积，由此能求出结果．本题考查线面垂直、三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：估计新设备所生产的产品的优质品率为：，估计旧设备所生产的产品的优质品率为：；根据题目所给数据得到如下的列联表：非优质品优质品合计新设备产品3070100旧设备产品4555100合计75125200由列联表可知：，有的把握认为“产品质量高与新设备有关”；新设备所生产的产品的优质品率为，每台新设备每天所生产的1000件产品中，估计有件优质品，有件合格品，估计每台新设备一天所生产的产品的纯利润为元，天，估计至少需要生产471天方可以收回设备成本．解析：根据旧设备所生产的产品质量指标值的频率分布直方图中后3组的频率之和即为旧设备所生产的产品的优质品率，根据新设备所生产的产品质量指标值的频数分布表即可估计新设备所生产的产品的优质品率；根据题目所给的数据填写列联表，计算K的观测值，对照题目中的表格，得出统计结论；根据新设备所生产的产品的优质品率，分别计算1000件产品中优质品的件数和合格品的件数，得到每天的纯利润，从而计算出至少需要生产多少天方可以收回设备成本．本题考查了独立性检验的应用问题，考查了频率分布直方图，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．20.答案：解：由题意可知，曲线C上每一点到直线的距离等于该点到点的距离，由抛物线的定义可知，曲线C是顶点在原点，y轴为对称轴，为焦点的抛物线，曲线C的方程为：；依题意，切线m的斜率存在且不等于0，设切线m的方程为：，代入得：，由得，整理得：，故切线m的方程可写为，分别令，得点M，N的坐标为，，，，，即为定值0．解析：利用抛物线的定义可得曲线C是顶点在原点，y轴为对称轴，为焦点的抛物线，从而求出曲线C的方程；依题意，切线m的斜率存在且不等于0，设切线m的方程为：，与抛物线方程联立，利用得到，故切线m的方程可写为，进而求出点M，N的坐标，用坐标表达出和，即可证得为定值．本题主要考查了抛物线的定义，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题．21.答案：解：，，则，，又，所求切线方程为，即；函数的定义域为R，，当时，对任意都成立，在R上递减，此时无极值；当时，令，解得，当时，，当时，，在递减，在递增，当时，取得极小值，，即，令，则，，，在上递增，又，．解析：将代入，求导，进而求得切线斜率，再求出切点坐标，利用点斜式方程即得解；分及两种情形讨论，当时显然不合题意，当时，利用导数可求得当时，取得极小值，进而得解．本题考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查分类讨论思想，考查运算求解能力，属于中档题．22.答案：解：由，得，即．，，直线l的直角坐标方程为，即；依题意可知曲线C的参数方程为为参数．设，则点P到直线l的距离为：．，当时，．又过点P作直线交直线于点A，且直线与直线l的夹角为，，即．的最大值为，即．，解得．解析：把展开两角差的余弦，结合，可得直线l的直角坐标方程；依题意可知曲线C的参数方程为为参数设，写出点P到直线l的距离，利用三角函数求其最大值，可得的最大值，结合已知列式求解a．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，训练了利用三角函数求最值，是中档题．23.答案：解：函数．当时，，解得，故．当时，，恒成立．当时，，解得，故，所以不等式的解集为．证明：由知：，所以：，所以，所以，所以当且仅当时，等号成立．故：．解析：直接利用分段函数的解析式和零点讨论法的应用求出结果．直接利用基本不等式的应用求出结果．本题考查的知识要点：分段函数的性质的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．。