湘教版 作业 1.1.1 命题的概念和例子

1．1命题及其关系1．1.1命题的概念和例子[读教材·填要点]1．命题的概念可以判断成立或不成立的语句叫作命题．2．命题的分类(1)真命题：成立的命题叫作真命题．(2)假命题：不成立的命题叫作假命题．(3)猜想：暂时不知道真假的命题可以叫作猜想．[小问题·大思维]1．如果一个语句是命题，它必须具备什么条件？提示：如果一个语句是命题，那么该语句所陈述的事情必须能够判断其成立或不成立．2．数学中的定义、公理、定理、公式等是否是命题？是真命题还是假命题？提示：数学中的定义、定理、公理、公式等都是命题，且都是真命题．判断下列语句是否是命题，并说明理由．(1)求证π是无理数；(2)若x∈R，则x2＋4x＋5≥0；(3)一个数的算术平方根一定是负数；(4)梯形是不是平面图形呢？[自主解答](1)是祈使句，不是命题；(2)可以判断其是否成立，故为命题；(3)是命题，并且是假命题，因为一个数的算术平方根为非负数；(4)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．判断一个语句是否是命题，关键是看语句的格式，也就是要看它是否符合“可以判断成立或不成立”这个条件，如果满足这个条件，该语句就是命题，否则就不是．1．判断下列语句是否为命题，并说明理由．(1)若平行四边形的边都相等，则它是菱形；(2)空集是任何非空集合的真子集；(3)对顶角相等吗？(4)x>3.解：(1)能判断其是否成立，是命题；(2)能判断其是否成立，是命题；(3)是疑问句，不是命题；(4)不能判断其是否成立，不是命题．判断下列命题的真假，并说明理由．(1)如果学好了数学，那么就会使用电脑；(2)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；(3)正方形既是矩形又是菱形；(4)若a，b都是奇数，则ab必是奇数．[自主解答](1)是假命题，学好数学与会使用电脑不具有因果关系，因而无法推出结论，故为假命题．(2)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0.(3)是真命题，由正方形的定义知正方形既是矩形又是菱形．(4)是真命题，令a＝2k1＋1，b＝2k2＋1(k1，k2∈Z)，则ab＝2(2k1k2＋k1＋k2)＋1，显然2k1k2＋k1＋k2是一个整数，故ab是奇数．若将本例(4)中的“奇数”改为“无理数”，判断该命题的真假．解：当a ＝5，b ＝－5时，a ，b 都是无理数，但 5×(－5)＝－5是有理数，故该命题为假命题．判断命题真假的策略(1)要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证．(2)要判断一个命题是假命题，只要举一个反例即可．2．判断下列命题的真假，并说明理由． (1)形如a ＋6b 的数是无理数；(2)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列； (3)奇函数的图象关于原点对称； (4)能被2整除的数一定能被4整除．解：(1)假命题，反例：a 是有理数且b ＝0，则a ＋6b 是有理数．(2)假命题．若数列{a n }为等比数列，且a 1＝－1，q ＝2，则该数列为递减数列． (3)真命题．根据奇函数的性质可知奇函数的图象一定关于原点对称． (4)假命题．反例：如2,6能被2整除，但不能被4整除．试探究命题“方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解”为真命题时，a ，b 满足的条件．[自主解答] 方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解，要考虑方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况：当a ＝0时，方程ax 2＋bx ＋1＝0为bx ＋1＝0，只有当b ≠0时，方程有实数解x ＝－1b ；当a ≠0时，方程ax 2＋bx ＋1＝0为一元二次方程，方程有实数解的条件为Δ＝b 2－4a ≥0. 综上知，当a ＝0，b ≠0或a ≠0，b 2－4a ≥0时，方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解．(1)并不是任何语句都是命题．要判断一个句子是否为命题，关键在于能否判断其成立或不成立．一般地，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题．(2)一个命题要么是真的，要么是假的，二者必居其一．3．下面的命题中是真命题的是( ) A ．y ＝sin 2x 的最小正周期为2πB ．若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根同号，则ca >0C ．如果M ⊆N ，那么M ∪N ＝MD ．在△ABC 中，若AB ―→·BC ―→>0，则B 为锐角 解析：选B y ＝sin 2x ＝1－cos 2x 2，T ＝2π2＝π，故A 为假命题；当M ⊆N 时，M ∪N ＝N ，故C 为假命题；在三角形ABC 中，当AB ―→·BC ―→>0时，向量AB ―→与BC ―→的夹角为锐角，B 应为钝角，故D 为假命题．故选B.解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路若命题“如果5x －1>a ，那么x >1”是真命题，求实数a 的取值范围．[巧思] “如果5x －1>a ，那么x >1”是真命题，则不等式5x －1>a 的解集是x >1的子集．[妙解] 由5x －1>a ，得x >15(1＋a )．∵命题“如果5x －1>a 那么x >1”是真命题， ∴⎝⎛⎭⎫1＋a 5，＋∞⊆(1，＋∞)． ∴1＋a5≥1，即a ≥4. 即a 的取值范围是[4，＋∞)．1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，这首诗中，在当时条件下，可以作为命题的是( )A ．红豆生南国B ．春来发几枝C ．愿君多采撷D ．此物最相思解析：“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A.答案：A2．下列命题中的真命题是( )A．互余的两个角不相等B．相等的两个角是同位角C．若a2＝b2，则|a|＝|b|D．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角解析：由平面几何知识可知A、B、D三项都是错误的．答案：C3．给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是()A．4 B．2C．0 D．－3解析：方程无实根时，应满足Δ＝a2－4<0.故a＝0时适合条件．答案：C4．设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：①(a·b)c＝(c·a)b；②|a|－|b|<|a－b|；③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2中，是真命题的有________(只填序号)．解析：因为a，b，c相互不共线，所以(a·b)c与(c·a)b不一定相等．又因为[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，所以①③为假命题，易证②④为真命题．答案：②④5．下列命题：①y＝x2＋3为偶函数；②0不是自然数；③{x∈N|0＜x＜12}是无限集；④如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0.其中是真命题的是________(写出所有真命题的序号)．解析：①为真命题，②③④为假命题．答案：①6．若命题p(x)：x2＋2>3x为真命题，求x的取值范围．解：∵x2＋2>3x，∴x2－3x＋2>0.解得x>2或x<1，∴x的取值范围是(2，＋∞)∪(－∞，1)．一、选择题1．下列语句中是命题的是()A．周期函数的和是周期函数吗？B．sin 0°＝0C．求x2－2x＋1>0的解集D．作△ABC∽△EFG解析：A选项是疑问句，不是命题，C、D选项中的语句显然不是．答案：B2．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为()①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M中的元素不都是P的元素．A．1B．2C．3 D．4解析：①③错误；②④正确．答案：B3．下列命题中，为真命题的是()A．对角线相等的四边形是矩形B．若一个球的半径变为原来的2倍，则其体积变为原来的8倍C．若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等D．直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝1相切解析：等腰梯形对角形相等，不是矩形，故A中命题是假命题；由球的体积公式可知B中命题为真命题；C中命题为假命题，如“3,3,3”和“2,3,4”的平均数相等，但标准差显然不相等；圆x2＋y2＝1的圆心(0,0)到直线x＋y＋1＝0的距离d＝22<1，故直线与圆相交，所以D中命题为假命题．答案：B4．给出下列命题：①若直线l⊥平面α，直线m⊥平面α，则l⊥m；②若a，b都是正实数，则a＋b≥2ab；③若x2>x，则x>1；④函数y＝x3是指数函数．其中假命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：①中，显然l∥m或l与m重合，所以①是假命题；由基本不等式，知②是真命题；③中，由x2>x，得x<0或x>1，所以③是假命题；④中，函数y＝x3是幂函数，不是指数函数，所以④是假命题．故选C.答案：C二、填空题5．下列语句：①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程吗？②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④若m＞0，a＞b＞0，则b＋ma＋m＞ba.其中真命题的序号为________．解析：①不是命题；②错，可能没交点；③正确，若A⊆B，B⊆A，则A＝B；④显然正确，可以证明．答案：③④6．给出下列命题：①方程x2－x＋1＝0有两个实根；②对于实数x，若x－2＝0，则x－2≤0；③若p＞0，则p2＞p；④正方形不是菱形．其中真命题是________，假命题是________．解析：①假，因Δ＜0；②真；③假，p＝12时，p2＜p；④假，正方形是菱形，也是矩形．答案：②①③④7．函数f(x)的定义域为A，若当x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时，总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数．下列命题：①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；②指数函数f(x)＝2x(x∈R)是单函数；③在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中的真命题是________．(填序号)解析：由x21＝x22，未必有x1＝x2，故①为假命题；对于f(x)＝2x，当f(x1)＝f(x2)时一定有x1＝x2，故②为真命题；当函数在其定义域上单调时，一定有“若f(x1)＝f(x2)，则x1＝x2”，故③为真命题．故真命题是②③.答案：②③8．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵ax 2－2ax －3>0不成立，∴ax 2－2ax －3≤0恒成立．当a ＝0时，－3≤0恒成立；当a ≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a <0. 综上，－3≤a ≤0. 答案：[－3,0] 三、解答题9．判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由． (1)一个数不是合数就是质数． (2)大角所对的边大于小角所对的边． (3)x ＋y 是有理数，则x ，y 也都是有理数． (4)求证x ∈R ，方程x 2＋x ＋1＝0无实根． 解：(1)是假命题，1不是合数，也不是质数． (2)是假命题，必须在同一个三角形或全等三角形中． (3)是假命题，如x ＝2，y ＝－ 2. (4)祈使句，不是命题．10．判断命题：“若a ＋b ＝2，则直线x ＋y ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切”的真假． 解：由已知a ＋b ＝2，圆心(a ，b )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a ＋b |2＝22＝2＝r ， 所以直线与圆相切，即命题为真.。

1．1命题及其关系1．1.1命题的概念和例子[读教材·填要点]1．命题的概念可以判断成立或不成立的语句叫作命题．2．命题的分类(1)真命题：成立的命题叫作真命题．(2)假命题：不成立的命题叫作假命题．(3)猜想：暂时不知道真假的命题可以叫作猜想．[小问题·大思维]1．如果一个语句是命题，它必须具备什么条件？提示：如果一个语句是命题，那么该语句所陈述的事情必须能够判断其成立或不成立．2．数学中的定义、公理、定理、公式等是否是命题？是真命题还是假命题？提示：数学中的定义、定理、公理、公式等都是命题，且都是真命题．判断下列语句是否是命题，并说明理由．(1)求证π是无理数；(2)若x∈R，则x2＋4x＋5≥0；(3)一个数的算术平方根一定是负数；(4)梯形是不是平面图形呢？[自主解答](1)是祈使句，不是命题；(2)可以判断其是否成立，故为命题；(3)是命题，并且是假命题，因为一个数的算术平方根为非负数；(4)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．判断一个语句是否是命题，关键是看语句的格式，也就是要看它是否符合“可以判断成立或不成立”这个条件，如果满足这个条件，该语句就是命题，否则就不是．1．判断下列语句是否为命题，并说明理由．(1)若平行四边形的边都相等，则它是菱形；(2)空集是任何非空集合的真子集；(3)对顶角相等吗？(4)x>3.解：(1)能判断其是否成立，是命题；(2)能判断其是否成立，是命题；(3)是疑问句，不是命题；(4)不能判断其是否成立，不是命题．判断下列命题的真假，并说明理由．(1)如果学好了数学，那么就会使用电脑；(2)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；(3)正方形既是矩形又是菱形；(4)若a，b都是奇数，则ab必是奇数．[自主解答](1)是假命题，学好数学与会使用电脑不具有因果关系，因而无法推出结论，故为假命题．(2)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0.(3)是真命题，由正方形的定义知正方形既是矩形又是菱形．(4)是真命题，令a＝2k1＋1，b＝2k2＋1(k1，k2∈Z)，则ab＝2(2k1k2＋k1＋k2)＋1，显然2k1k2＋k1＋k2是一个整数，故ab是奇数．若将本例(4)中的“奇数”改为“无理数”，判断该命题的真假．解：当a ＝5，b ＝－5时，a ，b 都是无理数，但 5×(－5)＝－5是有理数，故该命题为假命题．判断命题真假的策略(1)要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证．(2)要判断一个命题是假命题，只要举一个反例即可．2．判断下列命题的真假，并说明理由． (1)形如a ＋6b 的数是无理数；(2)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列； (3)奇函数的图象关于原点对称； (4)能被2整除的数一定能被4整除．解：(1)假命题，反例：a 是有理数且b ＝0，则a ＋6b 是有理数．(2)假命题．若数列{a n }为等比数列，且a 1＝－1，q ＝2，则该数列为递减数列． (3)真命题．根据奇函数的性质可知奇函数的图象一定关于原点对称． (4)假命题．反例：如2,6能被2整除，但不能被4整除．试探究命题“方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解”为真命题时，a ，b 满足的条件．[自主解答] 方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解，要考虑方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况：当a ＝0时，方程ax 2＋bx ＋1＝0为bx ＋1＝0，只有当b ≠0时，方程有实数解x ＝－1b ；当a ≠0时，方程ax 2＋bx ＋1＝0为一元二次方程，方程有实数解的条件为Δ＝b 2－4a ≥0. 综上知，当a ＝0，b ≠0或a ≠0，b 2－4a ≥0时，方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解．(1)并不是任何语句都是命题．要判断一个句子是否为命题，关键在于能否判断其成立或不成立．一般地，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题．(2)一个命题要么是真的，要么是假的，二者必居其一．3．下面的命题中是真命题的是( ) A ．y ＝sin 2x 的最小正周期为2πB ．若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根同号，则ca >0C ．如果M ⊆N ，那么M ∪N ＝MD ．在△ABC 中，若AB ―→·BC ―→>0，则B 为锐角 解析：选B y ＝sin 2x ＝1－cos 2x 2，T ＝2π2＝π，故A 为假命题；当M ⊆N 时，M ∪N ＝N ，故C 为假命题；在三角形ABC 中，当AB ―→·BC ―→>0时，向量AB ―→与BC ―→的夹角为锐角，B 应为钝角，故D 为假命题．故选B.解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路若命题“如果5x －1>a ，那么x >1”是真命题，求实数a 的取值范围．[巧思] “如果5x －1>a ，那么x >1”是真命题，则不等式5x －1>a 的解集是x >1的子集．[妙解] 由5x －1>a ，得x >15(1＋a )．∵命题“如果5x －1>a 那么x >1”是真命题， ∴⎝⎛⎭⎫1＋a 5，＋∞⊆(1，＋∞)． ∴1＋a5≥1，即a ≥4. 即a 的取值范围是[4，＋∞)．1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，这首诗中，在当时条件下，可以作为命题的是( )A ．红豆生南国B ．春来发几枝C ．愿君多采撷D ．此物最相思解析：“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A.答案：A2．下列命题中的真命题是()A．互余的两个角不相等B．相等的两个角是同位角C．若a2＝b2，则|a|＝|b|D．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角解析：由平面几何知识可知A、B、D三项都是错误的．答案：C3．给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是()A．4 B．2C．0 D．－3解析：方程无实根时，应满足Δ＝a2－4<0.故a＝0时适合条件．答案：C4．设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：①(a·b)c＝(c·a)b；②|a|－|b|<|a－b|；③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2中，是真命题的有________(只填序号)．解析：因为a，b，c相互不共线，所以(a·b)c与(c·a)b不一定相等．又因为[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，所以①③为假命题，易证②④为真命题．答案：②④5．下列命题：①y＝x2＋3为偶函数；②0不是自然数；③{x∈N|0＜x＜12}是无限集；④如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0.其中是真命题的是________(写出所有真命题的序号)．解析：①为真命题，②③④为假命题．答案：①6．若命题p(x)：x2＋2>3x为真命题，求x的取值范围．解：∵x2＋2>3x，∴x2－3x＋2>0.解得x>2或x<1，∴x的取值范围是(2，＋∞)∪(－∞，1)．一、选择题1．下列语句中是命题的是()A．周期函数的和是周期函数吗？B．sin 0°＝0C．求x2－2x＋1>0的解集D．作△ABC∽△EFG解析：A选项是疑问句，不是命题，C、D选项中的语句显然不是．答案：B2．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为()①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M中的元素不都是P的元素．A．1B．2C．3 D．4解析：①③错误；②④正确．答案：B3．下列命题中，为真命题的是()A．对角线相等的四边形是矩形B．若一个球的半径变为原来的2倍，则其体积变为原来的8倍C．若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等D．直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝1相切解析：等腰梯形对角形相等，不是矩形，故A中命题是假命题；由球的体积公式可知B中命题为真命题；C中命题为假命题，如“3,3,3”和“2,3,4”的平均数相等，但标准差显然不相等；圆x2＋y2＝1的圆心(0,0)到直线x＋y＋1＝0的距离d＝22<1，故直线与圆相交，所以D中命题为假命题．答案：B4．给出下列命题：①若直线l⊥平面α，直线m⊥平面α，则l⊥m；②若a，b都是正实数，则a＋b≥2ab；③若x2>x，则x>1；④函数y＝x3是指数函数．其中假命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：①中，显然l∥m或l与m重合，所以①是假命题；由基本不等式，知②是真命题；③中，由x2>x，得x<0或x>1，所以③是假命题；④中，函数y＝x3是幂函数，不是指数函数，所以④是假命题．故选C.答案：C二、填空题5．下列语句：①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程吗？②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④若m＞0，a＞b＞0，则b＋ma＋m＞ba.其中真命题的序号为________．解析：①不是命题；②错，可能没交点；③正确，若A⊆B，B⊆A，则A＝B；④显然正确，可以证明．答案：③④6．给出下列命题：①方程x2－x＋1＝0有两个实根；②对于实数x，若x－2＝0，则x－2≤0；③若p＞0，则p2＞p；④正方形不是菱形．其中真命题是________，假命题是________．解析：①假，因Δ＜0；②真；③假，p＝12时，p2＜p；④假，正方形是菱形，也是矩形．答案：②①③④7．函数f(x)的定义域为A，若当x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时，总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数．下列命题：①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；②指数函数f(x)＝2x(x∈R)是单函数；③在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中的真命题是________．(填序号)解析：由x21＝x22，未必有x1＝x2，故①为假命题；对于f(x)＝2x，当f(x1)＝f(x2)时一定有x1＝x2，故②为真命题；当函数在其定义域上单调时，一定有“若f(x1)＝f(x2)，则x1＝x2”，故③为真命题．故真命题是②③.答案：②③8．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵ax 2－2ax －3>0不成立，∴ax 2－2ax －3≤0恒成立．当a ＝0时，－3≤0恒成立；当a ≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a <0. 综上，－3≤a ≤0. 答案：[－3,0] 三、解答题9．判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由． (1)一个数不是合数就是质数． (2)大角所对的边大于小角所对的边． (3)x ＋y 是有理数，则x ，y 也都是有理数． (4)求证x ∈R ，方程x 2＋x ＋1＝0无实根． 解：(1)是假命题，1不是合数，也不是质数． (2)是假命题，必须在同一个三角形或全等三角形中． (3)是假命题，如x ＝2，y ＝－ 2. (4)祈使句，不是命题．10．判断命题：“若a ＋b ＝2，则直线x ＋y ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切”的真假． 解：由已知a ＋b ＝2，圆心(a ，b )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a ＋b |2＝22＝2＝r ， 所以直线与圆相切，即命题为真.。

第12章证明漫画（暂略）**定义与命题1 课程标准层次要求认识：①定义与命题的含义例1、例4②真、假命题的含义例3理解：③命题的结构例2④真、假命题的区别例3掌握：⑤区分命题的条件和结论（重点）例2 、例5⑥命题的真假判断（重点）例5、例62教材知识全面解读知识点1 定义与命题的概念基础题型一命题的辨析【例1】下列句子中那些是命题？①大象是动物的一种；②电脑是高科技的产物；③“请进！”④你今天上学了吗？⑤若a=b，b=c，则c=a；⑥奇数都是质数；⑦数学里的数字都是正的．分析：命题是判断一件事情的语句。

看一个句子是不是命题，主要看这个句子是否对一件事情作出了判断．解：象①，②，⑤，⑥，⑦都对一件事情作出了判断，所以是命题，而③，④没有作出判断，所以不是命题．方法点拨：命题是结论性语言，而不是叙述性语言，判断命题关键看是否作出判断．变式练习：1．判断下列语句是否是命题①画线段AB=2厘米；②对顶角相等吗？②③ ＜3解：①②都不是命题，③是命题．知识点2 命题的结构内容举例命题的结构数学命题一般都由条件和结论两部分组成．如命题“同位角相等,两直线平行”的条件是“同位角相等”，结论是“两直线平行”．意义举例定义与命题的概念定义：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义；判断一件事情的句子叫做命题．“数轴上表示一个数的点到原点的距离”是一个数的绝对值的定义；“不相等的两角一定不是对顶角”是命题．牢记解读：①定义是交流的基础，定义即具有确定含义的语句，它反映了事物最本质的意义；②如果一个句子没有对某一件事情作出判断，那么它就不是命题．如命令式的语句、疑问句等；③定义也是命题，而且是正确的命题．巧记乐背下定义，要牢记，含义要确定，语句变命题，关键看判断．牢记解读：①命题都是由条件和结论两部分组成，条件是已知部分，结论是由已知部分推出的．②所有命题都可以写成“如果…，那么…”形式，如果后面的语句就是条件，那么后面的语句就是结论．③有些命题在找条件和结论时，最好先改写成“如果…，那么…”形式． 巧记乐背条件和结论，命题的组成，如果后面是条件，那么后面是结论．基础题型二 分析命题的结构知识点3 真命题、假命题内容 举例真命题、假命题条件成立，结论成立的命题叫真命题，条件成立时，不能保证结论总是正确，即结论不成立的命题叫假命题． 命题“内错角相等，两直线平行”是真命题；命题“相等的角是对顶角”是假命题． 牢记解读：辨别一个命题真假的方法：①实际生活问题，实践是检验真理的唯一标准．②数学中判定一个命题是真命题，要经过证明．③要判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可．巧记乐背真命题、假命题都是命题，条件成立，结论成立，真命题；条件成立，结论不成立，假命题．基础题型三 真假命题的辨析 【例3】判断下列命题的真假： ①若∠1=︒60，∠2=︒60，则∠1=∠2；②如果│a │=│b │,那么a ＝b ；③如果AC ＝BC ，那么点C 是AB 的中点． 分析：①显然是真命题；②结论不一定成立，当a =2、b =-2时结论不成立；③结论不一定成立，当点A 、变式练习：3．下列命题中，是假命题的是 （ ） A ．任何一个角都比它的补角小． B ．垂线段最短 C ．同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种D ．两点确定一条直线【例2】写出下列命题的条件和结论 ①两直线平行，同旁内角互补； ②如果∠DOE =2∠EOF ，那么OF 是∠DOE 平分线； ③绝对值等于3的数是3； ④等角的余角相等． 分析：③先改写成如果一个数的绝对值等于3，那么这个数等于3，在找条件和结论；④先改写成如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等，再找条件和结论． 解：①条件是两直线平行，结论是同旁内角互补；②条件是∠DOE =2∠EOF ，结论是OF 是∠DOE 平分线；③条件是一个数的绝对值等于3，结论是这个数等于3；④条件是两个角是等角的余角，结论是这两个角相等．方法点拨： 单句形式的命题一般先分析句子的成分，改写成 “如果…，那么…”再找条件和结论． 变式练习： 2． 把下列命题改写如果…，那么…”的形式，指出条件和结论． ①直角都相等；②对顶角相等； 解：①如果几个角是直角，那么这几个角相等， 条件是几个角是直角，结论是这几个角相等； ③ 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等， ④ 条件是两个角是对顶角，结论是这两个角相等．B 、C 不在一直线上时结论不成立．解：①是真命题；②是假命题；③是假命题．点评：判断假命题的关键是要找到反例．答案：A解： 因为自然数包括0，所以③错误，非负有理数包括正有理数和零，所以④错误，故选B ． 3 典型例题分类解读 类型一 命题的辨别【例4】下列语句中，是命题的是 （ ）A ．有公共顶点的两个角是对顶角B ．在直线AB 上任取一点C C ．用量角器量角的度数D ．直角都相等吗？分析： 根据命题的判断方法就行判断． 答案：A.方法点拨：关键是要掌握命题的判别方法，看语句是否做出判断． 要点总结：疑问句、操作式的语句不是命题． 变式练习4．练习：下列语句中，不是命题的是 （ ） A ．如果a b <，那么a c b c +<+B ．内错角相等C ．垂线段最短D ．过点P ，作PD ⊥AB 于C 答案：D ．类型二：命题结构辨析与真假判断【例5】先把“个位是6的整数一定能被6整除”改写成“如果……，那么……”的形式，再写出它们的题设和结论，并判断其真假：分析：先将命题改写为“如果一个整数的个位数字是6，那么这个数一定能被6整除”，再找条件与结论，判断其真假．答案：如果一个整数的个位数字是6，那么这个数一定能被6整除。

1.1命题及其关系1 -1 -1命题的概念和例子1-1-2命题的四种形式学习目标课前自主学案课堂互动讲练1 •通过实例了解命题的概念，会判断命题的真假. 2・了解命题的四种形式，掌握四种命题之间的关系，并会判断四种命题的真假性.3.学会应用命题的等价性来证明命题.温故夯基仁对顶角相等；两直线平行，同位角相等.这两个例子都能判断其真假.2.垂直于同一条直线的两条直线互相平行是错误的.知新益能1.命题可以判断成立乎T密立成立的命题叫竊命题舉命题■的语句叫作命题，-不成立的命题叫思考感悟1.如何理解命题的定义？提示：一个语句是命题，必须具备两个特征①是陈述句，祈使句、疑问句等一般都不是命题;②可以判断真假，这个语句对还是错是唯一确定的，如同元素与集合的关系是明确的, 不能模棱两可.2.四种命题结构思考感悟2.在四种命题中，原命题是固定的吗?提示：不是.原命题是人为指定的，是相对于其原命题:若p 八则q 4否命题:若他三种命题而言的，可以把任何一个命题看作原命题，进而研究它的其他形式.3・四种命题的相互关系4.四种命题的真假性(1) 四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况(2) 四种命题的真假性之间的关系①两个命题互为逆否命题，它们禅同的真假性.②两个命题互为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系•思考感悟3.在四种命题中，真命题的个数可能会有几种情况?提示：因为原命题和逆否命题，逆命题和否命题互为逆否命题，它们同真同假，所以真命题的个数可能为0,2,4・命题及其真假的判断(1) 判断一个语句是否是真命题，关键在于能否判断其真假.一般地，陈述句“兀是有理数”,反意疑问句"难道矩形不是平行四边形吗？”都是命题；而祈使句“求证边是无理数”,疑问句"兀是无理数吗”，感叹句"向2011年大运会志愿者致敬！”等就不是命题.(2) 判断一个命题的真假时，既可以直接对该命题进行判断，也可以根据命题之间的关系判断.判断下列语句是否是命题，若是, 判断其真假，并说明理由.(1)求证需是无理数;(2)X2+4X+4^0；(3) 你是高一的学生吗?(4) 一个正整数不是质数就是合数；(5)若x+y^Dxy都是有理数，则x、y都是有理数;(6)60x+9>4；(7)若xeR,则x2+4x+7>0.【思路点拨】借助命题的定义“可以判断真假的陈述句叫作命题”来判断.【解】(1)祈使句，不是命题.(2) X2+4X+4=(X+2)2^0,它包括X2+4X+4>0和X2+4X+4=0,对于工WR,可以判断真假，它是命题，且是真命题.(3) 是疑问句，不涉及真假，不是命题.(4) 是假命题，整数1既不是质数,也不是合数.(5) 是假命题，书+(—四)和书X(—书)都是有理数，但书、一书都是无理数.(6) 不是命题，这种含有未知数的语句，未知数的取值能否使不等式成立，无法确定.(7) 是真命题，因为x2+4x+7 = (x+2)2+3 >0,对于XWR,不等式恒成立.【名师点评】(1)在判断一个命题的真假时，要分清原命题的条件和结论.(2)在说明一个命题为真命题时，应进行严格的推理证明；而要说明一个命题是假命题 ,只要举出一个反例即可.自我挑战1判断下列命题的真假:(1) 已知日，b f c, cfeR,若日He或bHd, 则日+bHc+d；(2) 2010年亚运会在中国广州举行；(3) 若则方程x2-2x+m=0无实数根(4)空集是任何集合的真子集;(5) 垂直于同一个平面的两个平面互相平行解：⑴假命题.反例：1H4或5H2,而1 + 5=4+2.(2) 真命题.这是事实.(3)真命题.因为m>1^A=4-4m<0=>方程x2—2x+m=0无实数根・(4) 假命题.空集不是它本身的真子集.(5) 假命题.反例：有可能互相垂直，如墙角.拷点二•命题的结构一般情况下，命题的条件与结论是比较清楚的，但有一部分命题只是一个句子，此时, 应把原命题改写成“若P，贝!的形式，即要分清题目的条件和结论.的形式，并判断命题的真假.(1) ac>bc=^a>b；(2) 已知兀、y为正整数，当j=x+1时, y=3, x=2；⑶当加>丁时，mx2—x+l=0无实根；⑷当abc=0 时，° = 0 或〃=0 或c=0；⑸当X2—2x—3=0时，工=3或兀=—1.【思路点拨】找准命题的条件和结论是解决这类题目的关键，要注意大前提的写法. 【解】⑴若ac>bc,则Q方，假命题.⑵已知兀、y为正整数，若y=x+l f则y=3 且兀=2,假命题.1⑶若加〉a,则mx2—x+l=O无实根,真命题.(4) 若abc=O,则d=0或b=0或c=0,真命题.(5) 若兀彳―2x—3=0,则x=3或工=—1,真命题.【名师点评】(1)把一个命题改写成“若P ,则q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，若条件和结论比较隐含，要补充完整・要判断“若P，则q”命题的真假，若能由“矿通过逻辑推理得出“了，则可确定其为真命题；若能举出反例说明由“p”不能推出“了，则该命题是假命题.(2) 若将含有大前提的命题改写为“若p,贝!J q”的形式时，大前提不变，仍作为大前提 ,不能写在条件p中.器种命题及其真假判断由于互为逆否命题的两个命题是等价命题，它们同真同假，所以一个命题的逆命题和它的否命题同真同假，一个命题与它的逆否命题同真同假.当一个命题的真假不易判断时,可以通过判断其逆否命题的真假来判断.w判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，同时判断这些命题的真假.(1)若日>b,贝iac1>bc2・⑵若在二次函数『=ax2+bx+c中，ft2—4ac<0,则该二次函数图象与x轴有公共点【思路点拨】【解】（1）该命题为假.当c=0时，abe2；逆命题：若ac2>dc2,贝!|a>d,为真；否命题：若aWb,贝ija^bc2,为真；逆否命题：若a^bc2,贝UaWb,为假.⑵该命题为假，•・•当夕一4眈<0时，二次方程日x2+bx+c=0没有实数根，因此二次函数『=ax2+bx+ c的图象与x轴无公共点；逆命题：若二次函数y= ax2+bx+c的图象与x轴有公共点，则b2-4ac<0,为假；否命题：若在二次函数y= ax2+bx+c中，b2—4日cMO,则该二次函数的图象与x轴没有公共点，为假；逆否命题：若二次函数y=^x2+bx+c的图象与x轴没有公共点，则俨一4日cMO,为假【名师点评】(1)写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写.(2)在判断原命题及其逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，可借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判断. 自我挑战2把下列命题写成“若p,则q” 的形式，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断其真假.(1) 正方形的四条边相等；(2) 负数的平方是正数.W：(1)原命题：若一个四边形是正方形,则它的四条边相等，真命题;逆命题：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形，假命题；否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等，假命题;逆否命题: 若一个四边形的四条边不相等, 则它不是正方形，真命题.(2)原命题：若一个数是负数，则这个数的平方是正数，真命题；逆命题：若一个数的平方是正数，则这个数是负数，假命题；否命题：若一个数不是负数，则这个数的平方不是正数，假命题；逆否命题：若一个数的平方不是正数，则这个数不是负数，真命题.由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性 ,即互为逆否命题的命题具有等价性，所以 我们在直接证明某一个命题为真命题有困难 时，可以通过证明它的逆否命题为真命题, 来间接地证明原命题为真命题・Ji 等价命题的应用O 判断命题“已知日，X为实数，若关于X的不等式x2+(2a+1)x+a2+2^ 0的解集非空，贝怙却”的逆否命题的真假.【思路点拨】写出逆否命题—判断真假【解】 法一：原命题的逆否命题：已知日，X 为实数，若日V1,则关于X 的不等 式x2+(2a+1 )x+ a 2+2 WO 的解集为空集• 判断其真假如下： 抛物线 y=x 2+(2a+1)x+a 2+2 开口 向上, 判别式A=(2日+1尸一4(护+2)=4日一7・ 因为日v*l,所以4a —7<0. 即抛物线 命题真假 原命题与逆杏命题同真同假 得出逆否命 题的真假y=x2+(2a+l)x+a2+2与x 轴无交点.所以关于x的不等式x2+(2a+l)x+a2 +2W0的解集为空集.故原命题的逆否命题为真.法二：先判断原命题的真假:因为a, x为实数，且关于x的不等式x2+(2a+l)x+a2+2^0的解集非空，所以A=(2a + l)2-4(«2+2)^0,即4a—7N0,7 7解得j.因为所以所以原命题为真. 又因为原命题与其逆否命题等价, 所以逆否命题为真.【名师点评】命题的问题可以和其他很多知识相结合，例如本题就是一道有关集合, 不等式的解集，二次函数的图象，四种命题的关系的综合题.要求对这几方面的内容非常熟练，且要有一定的分析推理能力，通过一题多解，培养学生创新的能力.1. 四种命题的理解(1)原命题：它是相对其他三种命题而言人为指定的命题，不是固定不变的，可以把任意一个命题看成原命题，进而研究它的其他形式.(2)逆命题，把原命题的条件作为结论，而原命题的结论作为条件，得到的命题称为原命题的逆命题.(3) 否命题：将原命题中的条件和结论同时加以否定后得到的命题称为原命题的否命题(4) 逆否命题：将原命题的条件加以否定，作为结论，而原命题的结论加以否定作为条件得到的新命题称为原命题的逆否命题.2. 四种命题的真假判断(1)原命题为真，它的逆命题可以为真, 可以为假.(2) 原命题为真，它的否命题可以为真，也可以为假.(3) 原命题为真，它的逆否命题一定为真・(4) 互为逆否的命题同真同假，同一个命题的逆命题和否命题是一对互为逆否的命题, 所以它们同真同假.综合上述四条可知，在同一个命题的四种命题中，真命题的个数要么是0,要么是2,要么是4・。

【创新设计】2013-2014学年高中数学1.1.1命题的概念和例子活页训练湘教版选修1-1基础达标（限时20分钟）1．下列语句中命题的个数是()．①{0}∈N；②他长得高；③地球上的四大洋；④5的平方是20.A．1 B．2C．3 D．4解析①④是命题，且都是假命题．答案 B2．下列语句是命题且是假命题的是()．A．若整数a是素数，则a是奇数B．指数函数是增函数吗C．x＞15D．空集是任意非空集合的真子集解析B、C都不是命题，D是命题且是真命题．答案 A3．下列命题中是假命题的是()．A．若a·b＝0，则a⊥b(a≠0，b≠0)B．若|a|＝|b|，则a＝bC．若ac2>bc2，则a>bD．5>3解析|a|＝|b|只能说明a与b长度一样，a＝b不一定成立．答案 B4．把“6是12和24的公约数”改写成“若p，则q”的形式为________．答案若一个数是6，则这个数是12和24的公约数5．给定下列命题：①若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②对角线相等的四边形是矩形；③若xy＝0，则x、y中至少有一个为0.其中真命题的序号是______．答案①③6．若x∈Z，给出下列语句：(1)x2－2x－3＝0；(2)x2＋1<0；(3)|x|>5；(4)x∈R.试判断它们是否为命题？若是，判断其真假，并说明理由．解对语句(1)无法判断真假，因为不给定变量x的值时，不能确定x2－2x－3的值是否为0，∴(1)不是命题；对语句(2)可以判断真假，因为对任意的整数x 都有x 2＋1≥1成立，故x 2＋1<0是一个假命题；对语句(3)同(1)一样，无法判断其真假，故(3)也不是命题；由于整数一定是实数，∴可以判断(4)是正确的，即(4)是一个真命题．综合提高 （限时25分钟）7．已知a 、b 为两条不同的直线，α、β 为两个不同的平面，且a ⊥α，b ⊥β，则下列命题中的假命题是( )．A ．若a ∥b ，则α∥βB ．若α⊥β，则a ⊥bC ．若a 、b 相交，则α、β相交D ．若α、β相交，则a 、b 相交解析 如图，因为α、β为两个不同的平面，所以若α∩β＝c ，但平面α、β不会重合．因为a ⊥α，b ⊥β，所以a 与b 不一定相交．故“α、β相交，则a 、b 相交”是假命题．答案 D8．l 1、l 2、l 3为空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 （ ）A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3B ．l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3C ．l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面D ．l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面解析 当l 1⊥l 2，l 2⊥l 3时，l 1也可能与l 3相交或异面，故A 不正确；l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3，故B 正确；当l 1∥l 2∥l 3时，l 1，l 2，l 3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C 不正确；l 1，l 2，l 3共点时，l 1，l 2，l 3未必共面，如正方体从同一顶点出发的三条棱，故D 不正确．答案 B9．已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：p 1：|a ＋b |>1⇔θ∈⎣⎡⎭⎫0，2π3； p 2：|a ＋b |>1⇔θ∈⎝⎛⎭⎫2π3，π； p 3：|a －b |>1⇔θ∈⎣⎡⎭⎫0，π3； p 4：|a －b |>1⇔θ∈⎝⎛⎦⎤π3，π. 其中正确的命题为________．解析 由|a ＋b |＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×1×1×cos θ＋1＝2＋2cos θ>1，得cosθ>－12，∴0≤θ<2π3；由|a －b |＝a2－2a ·b ＋b 2＝2－2cos θ>1，得cos θ<12，∴π3<θ≤π.∴p 1，p 4正确．答案 p 1，p 410．下面有五个命题：①函数y ＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π；②终边在y 轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π2，k ∈Z ； ③在同一坐标系中，函数y ＝sin x 的图象和函数y ＝x 的图象有三个公共点；④把函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π6，得到y ＝3sin 2x 的图象； ⑤函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2在[0，π]上是减函数． 其中，真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．解析 命题①中，y ＝sin 4x －cos 4x ＝sin 2x －cos 2x ＝－cos 2x ，显然其最小正周期为π，为真；命题②中，当k ＝2m (m ∈Z )时，角α＝m π，其终边在x 轴上，为假；命题③中，原点(0，0)是两图象的公共点，∵当x >0时，x >sin x 恒成立，没有公共点．同理，当x <0时，也没有公共点，命题为假；命题④中，向右平移π6变为y ＝3 sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝3sin 2x ，命题为真；命题⑤中，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x 在[0，π]上为增函数，命题为假． 答案 ①④11．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式：(1)对顶角相等；(2)平行四边形的对角线相交于一点且互相平分；(3)偶数能被2整除；(4)平行直线斜率相等．解 (1)若两个角是对顶角，则这两个角相等．(2)若四边形是平行四边形，则其对角线交于一点且互相平分．(3)若一个数是偶数，则这个数能被2整除．(4)若两直线互相平行，则两直线斜率相等．12．(创新拓展)已知p ：x 2＋2mx ＋1＝0有两个不等的负根，q ：方程x 2＋(m －2)x ＋1＝0(m ∈R )无实根，求使p 为真命题且q 为真命题的m 的取值范围．解 若p 真，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4m 2－4>0，m >0，解得m >1； 若q 为真，则Δ＝(m －2)2－4<0，解得0<m <4.p 真q 真，即⎩⎪⎨⎪⎧m >1，0<m <4. 故m 的取值范围是(1，4)．。

§ 命题及四种命题【学习目标】1理解命题、真命题及假命题的概念；2了解“若p 则q ”形式的命题，能根据一个命题来构造它的逆命题、否命题和逆否命题【高考考点】考查命题及其四种命题形式【合作探究】探究一 命题问题1在数学中,我们把用 、 、或 表达的，可以 叫做命题其中 的语句叫做真命题， 的语句叫做假命题 问题2下列语句中：（1）若直线//a b ，则直线a 和直线b 无公共点； （2）66≥（3）垂直于同一条直线的两个平面平行； （4）若21x =，则1x =；（5）两个全等三角形的面积相等； （6）3能被2整除其中真命题有 ，假命题有问题3命题的数学形式：“若p ，则q ”，命题中的p 叫做命题的 ，q 叫做命题的 探究二 应用举例（1）例1、下列语句中哪些是命题是真命题还是假命题（1）能被6整除的整数一定能被3整除；（2）若一个四边形的四条边相等，则这个四边形是正方形；（3）两个内角等于45的三角形是等腰直角三角形例2、指出下列命题中的条件p 和结论q ：（1）若整数a 能被2整除，则a 是偶数； （2）若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直平分 解：（1）条件p ： ，结论q ：（2）条件p ： ，结论q ：变式：将下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断真假：（1）等腰三角形两腰的中线相等；（2）偶函数的图象关于y 轴对称；（3）垂直于同一个平面的两个平面平行探究三 四种命题的概念问题1（1）对两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做 ,其中一个命题叫做 ，那么另一个命题叫做原命题的若原命题为：“若p ，则q ”，则逆命题为：“ ”（2）一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定, 我们把这样的两个命题叫做 ,其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做原命题的若原命题为：“若p ，则q ”，则否命题为：“ ”（3）一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定, 我们把这样的两个命题叫做 ,其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做原命题的若原命题为：“若p ，则q ”，则逆否命题为：“ ”问题2下列四个命题：（1）若()f x 是正弦函数，则()f x 是周期函数；（2）若()f x 是周期函数，则()f x 是正弦函数；（3）若()f x 不是正弦函数，则()f x 不是周期函数；（4）若()f x 不是周期函数，则()f x 不是正弦函数（1）（2）互为 （1）（3）互为 （1）（4）互为 （2）（3）互为探究四 应用举例（2）例3、命题：“若21x <，则11x -<<”写出逆命题、否命题、逆否命题变式：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题（1）命题：已知a 、b 是实数，若a b +是无理数，则a 、b 都是无理数（2）命题：已知a 、b 是正实数，若a b >，则22log log a b >例4、写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题并判断它们的真假：（1）若一个整数的末位数是0，则这个整数能被5整除；（2）若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等；（3）奇函数的图像关于原点对称【归纳小结】通过本节课的学习，你掌握了哪些知识、方法与思想。

§1.1 命题及其关系 1．1.1 命 题 1．1.2 四种命题学习目标 1.了解命题的概念，能判断给定的语句是不是命题.2.会判断命题的真假，能够把命题化为“若p ，则q ”的形式.3.理解四种命题的概念，能写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题.4.理解并掌握四种命题之间的关系，对给出的命题，会运用四种命题的相互关系来予以处理．知识点一 命题的定义及分类1．命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．2．命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”．我们学习过的定理、推论都是命题． 3．分类命题⎩⎪⎨⎪⎧真命题：判断为真的语句假命题：判断为假的语句知识点二 命题的结构1．命题的一般形式为“若p ，则q ”．其中p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论． 2．确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p ，则q ”的形式．特别提醒：数学上有一些命题虽然表面上不是“若p ，则q ”的形式，但可以将它的表述作适当改变，写成“若p ，则q ”的形式，从而得到该命题的条件和结论． 知识点三 四种命题的表示形式及特点命题名称 表示形式 特点 原命题 若p ，则q逆命题 若q ，则p 把原命题的条件和结论互换 否命题 若綈p ，则綈q 把原命题的条件和结论都否定 逆否命题若綈q ，则綈p把原命题的条件和结论互换且都否定特别提醒：“綈p ”读作“非p ”，表示p 的否定．1．含有变量的语句也可能是命题．( √ )2．如果一个陈述句判断为假，那么它就不是命题．( × ) 3．有些命题在形式上可以不是“若p ，则q ”的形式．( √ )4．命题“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题是“若a <b ，则a 2<b 2”．( × )题型一 命题的概念及真假判断命题角度1 识别命题例1 判断下列语句是不是命题，并说明理由． (1)π3是有理数； (2)3x 2≤5；(3)梯形是不是平面图形呢？ (4)若x ∈R ，则x 2＋4x ＋5≥0； (5)一个数的算术平方根一定是负数； (6)若a 与b 是无理数，则ab 是无理数． 考点 命题的定义 题点 命题的定义解 (1)“π3是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．(2)因为无法判断“3x 2≤5”的真假，所以它不是命题． (3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．(4)“若x ∈R ，则x 2＋4x ＋5≥0”是陈述句，并且它是真的，所以它是命题． (5)“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．(6)“若a 与b 是无理数，则ab 是无理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题． 反思感悟 判断一个语句是不是命题的三个关键点(1)一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题． (2)语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题． (3)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题；否则就不是命题．跟踪训练1 下列语句为命题的有________．(填序号) ①一个数不是正数就是负数； ②这座山真险啊！ ③22 019是一个很大的数； ④4是集合{2,3,4}中的元素； ⑤作△ABC ≌△A ′B ′C ′. 考点 命题的定义 题点 命题的定义 答案 ①④解析 ①是陈述句，且能判断真假；②不是陈述句；③不能判断真假；④是陈述句且能判断真假；⑤不是陈述句． 命题角度2 判断命题的真假 例2 给定下列命题： ①若a >b ，则2a >2b ；②命题“若a ，b 是无理数，则a ＋b 是无理数”是真命题； ③直线x ＝π2是函数y ＝sin x 的一条对称轴．其中为真命题的是________．(填序号) 考点 命题的真假判断 题点 命题真假的判断 答案 ①③解析 结合函数f (x )＝2x 的单调性，知①为真命题；而函数y ＝sin x 的对称轴方程为x ＝π2＋k π，k ∈Z ，故③为真命题．反思感悟 一个命题要么为真命题，要么为假命题，且必居其一．欲判断一个命题为真命题，需进行论证，而要判断一个命题为假命题，只需举出一个反例即可． 跟踪训练2 给定下列命题：①若k >0，则方程x 2－2x －k ＝0有实数根； ②若a >b >0，c >d >0，则ac >bd ；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x，y中至少有一个为0.其中是真命题的为________．(填序号)考点命题的真假判断题点命题真假的判断答案①②④解析①中，当k>0时，Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，所以①为真命题；②由不等式的乘法性质知命题正确，所以②为真命题；③如等腰梯形对角线相等，不是矩形，所以③是假命题；④由等式性质知命题正确，所以④是真命题．题型二命题的结构形式例3把下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．(1)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．考点命题的结构形式题点改写成标准的若p则q形式解(1)原命题可以写成：若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除．这个命题是真命题．(2)原命题可以写成：若一条直线是弦的垂直平分线，则这条直线经过圆心且平分弦所对的弧，这个命题是真命题．反思感悟将命题改写为“若p，则q”形式的方法及原则跟踪训练3指出下列命题中的条件p和结论q，并判断各命题的真假．(1)若四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分；(2)若a>0，b>0，则a＋b>0；(3)面积相等的三角形是全等三角形．考点命题的结构形式题点区分命题的条件和结论解(1)条件p：四边形是平行四边形，结论q：四边形的对角线互相平分．真命题．(2)条件p：a>0，b>0，结论q：a＋b>0.真命题．(3)条件p ：两个三角形面积相等，结论q ：它们是全等三角形．假命题． 题型三 四种命题的书写与辨析例4 写出下列各个命题的逆命题、否命题以及逆否命题． (1)若sin α＝12，则tan α＝3；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形； (3)当1<x <2时，x 2－3x ＋2<0； (4)若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0. 考点 四种命题的概念 题点 按要求写命题解 (1)逆命题：若tan α＝3，则sin α＝12.否命题：若sin α≠12，则tan α≠ 3.逆否命题：若tan α≠3，则sin α≠12.(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高． 否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等． 逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高． (3)逆命题：若x 2－3x ＋2<0，则1<x <2. 否命题：若x ≤1或x ≥2，则x 2－3x ＋2≥0. 逆否命题：若x 2－3x ＋2≥0，则x ≤1或x ≥2. (4)逆命题：若a ＝0或b ＝0，则ab ＝0. 否命题：若ab ≠0，则a ≠0且b ≠0. 逆否命题：若a ≠0且b ≠0，则ab ≠0. 反思感悟 四种命题的转换方法(1)逆命题：交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题． (2)否命题：同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题．(3)逆否命题：交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题． 跟踪训练4 有下列命题：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形； ②若一个四边形对角互补，则它内接于圆； ③正方形的四条边相等； ④圆内接四边形的对角互补； ⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有_______；互为否命题的有______；互为逆否命题的有______．(填序号) 考点 四种命题的概念 题点 四种命题定义的应用答案 ②和④，③和⑥ ①和⑥，②和⑤ ①和③，④和⑤解析 命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”，命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”，命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系进行判断即可．命题改写要关注大前提典例 “已知c >0，当a >b 时，ac >bc ”．把该命题改写成“若p ，则q ”的形式，并写出该命题的否命题．解 该命题的“若p ，则q ”的形式为已知c >0，若a >b ，则ac >bc ，其否命题为已知c >0，若a ≤b ，则ac ≤bc .[素养评析] (1)将含有大前提的命题改写成“若p ，则q ”的形式时，要注意其书写格式为“大前提，若p ，则q ”，对含有大前提的命题，在写其他三种命题时，应保持大前提不变． (2)掌握命题的基本形式和规则是进行逻辑推理的前提和基础，有利于培养学生有条理，合乎逻辑的思维素养.1．下列语句为命题的是( ) A ．2x ＋5≥0 B ．求证对顶角相等 C ．0不是偶数 D ．今天心情真好啊考点 命题的定义 题点 命题的定义 答案 C解析 结合命题的定义知C 为命题． 2．下列命题为真命题的是( ) A ．若1x ＝1y ，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x <y ，则x 2<y 2 考点 命题的真假判断 题点 命题真假的判断 答案 A解析 对于A ，若1x ＝1y ，则x ＝y ；对于B ，若x 2＝1，则x ＝±1；对于C ，若x ＝y <0，则x 与y 均无意义； 对于D ，若x ＝－2，y ＝－1，满足x <y ，但x 2>y 2. 故选A.3．(2018·北京东城区高二检测)已知命题α：如果x <3，那么x <5，命题β：如果x ≥3，那么x ≥5，则命题α是命题β的( ) A ．逆命题 B ．否命题 C ．逆否命题 D ．无关命题考点 四种命题的概念 题点 四种命题定义的应用 答案 B解析 命题α：如果x <3，那么x <5；命题β：如果x ≥3，那么x ≥5，即对命题α的条件和结论同时进行否定，则命题α是命题β的否命题．4．已知不等式x ＋3≥0的解集是A ，则使得a ∈A 是假命题的a 的取值范围是________． 考点 命题的真假判断题点 由命题的真假求参数的取值范围 答案 (－∞，－3)解析 ∵x ＋3≥0，∴A ＝{x |x ≥－3}． 又∵a ∈A 是假命题，即a ∉A ，∴a <－3.5．将命题“正偶数不是质数”改写成“若p ，则q ”的形式，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假． 考点 四种命题的概念 题点 判断四种命题的真假解 原命题：若一个数是正偶数，则这个数不是质数．它是假命题． 逆命题：若一个数不是质数，则这个数是正偶数．它是假命题． 否命题：若一个数不是正偶数，则这个数是质数．它是假命题． 逆否命题：若一个数是质数，则这个数不是正偶数．它是假命题．1．命题2．四种命题名称形式原命题若p，则q逆命题若q，则p(交换原命题的条件和结论)否命题若綈p，则綈q(同时否定原命题的条件和结论)逆否命题若綈q，则綈p(同时否定原命题的条件和结论后，再交换)。