1集合的运算zst (2)

1集合的运算

(1)子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A⊆B；

若A⊆B，且 ，则A=B；

∅是 集合的子集，是 集合的真子集．

(2)交集：A∩B＝{ }；

(3)并集：A∪B＝{ }；

(4)补集：若U为全集，A⊆U，则∁UA＝{ }；A∩∁UA＝ ；A∪∁UA＝ ；∁U(∁UA)＝ .

3．集合的常用运算性质

(1)A⊆B⇔A∩B＝ ⇔A∪B＝ .

(2)∁U(A∩B)＝ ；∁U(A∪B)＝ ；

(3)card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－ ．

1．绝对值不等式的解法

①|x|>a (a>0)⇔ |x|0)⇔

②|f(x)|>a (a>0)⇔ |f(x)|0)⇔

③|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<－g(x) |f(x)|

第一节：集合与不等式

一、集合与命题

1.集合元素具有确定性、无序性和互异性.在求有关集合问题时，尤其要注意集合元素的互异性

练一练（1）设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q={|,}abaPbQ，若{0,2,5}P，}6,2,1{Q，则P+Q中元素的有________个。

（2）非空集合}5,4,3,2,1{S，且满足“若Sa，则Sa6”，这样的S共有_____个

2、集合与元素的关系用符号 和 表示

3、常用数集的符号表示：自然数集 ；正整数集 、 ；整数集 ；有理数集 、实数集

复数集

4、集合的表示方法：列举法、描述法、图示法、区间法

练一练：（1）设集合{|2}Mxyx，集合N＝2|,yyxxM，则MN___；

（2）设集合24|),{(xyyxM}，}2|),{(xyyxN，则NM_____

(3)设集合{|x=m+n2,,}AxmnZ，若方程2221xax有一个解xA，求满足条件的一个实数a的值

5、空集是不含有任何元素的集合，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集

练一练：（1）集合{|10}Axax，2|320Bxxx，且ABB，则实数a＝______.

（2）RAxaxxA},012|{2,求a的值 6、对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次是 、

、 、 。

练一练：满足{1,2}{1,2,3,4,5}M集合M有______个。

7、集合的运算：符号“ 表示元素与集合之间的关系。符号“ 表示集合与集合之间的关系。

集合中常用的结论：ABBA___；ABBA___；BABA___；ABA

；ABA ；UBACU ；BACU

练一练：（1）设全集}5,4,3,2,1{U，若}2{BA，}4{)(BACU，}5,1{)()(BCACUU，则A＝_____，B＝___.

（2）已知集合M={x│1x≤, x∈R},P={x│15x≥1, x∈Z},则M∩P等于 ( )

(A){x│0

8.补集思想：练一练：已知函数12)2(24)(22ppxpxxf在区间]1,1[上至少存在一个实数c，使0)(cf，求实数p的取值范围。

9、命题：都是锐角”的否命题是、，则中，若“在BACABC90_______________

10.充要条件：

练一练：（1）“方程02baxx 有两个相异实数根“是“b<0“的 条件

（2）022ba是a=b=0的 条件 （3）ab>0是|a+b|=|a|+|b|的 条件

（4）510a是函数f(x)=上为减函数在区间]4,(2)1(22xaax的 条件

11、集合与推出关系：练一练：已知命题p：（x-3）(x+1)>0，命题q：x2-2x+1-m2>0(m>0)。若命题p是命题q的充分不必要条件，则实数m的范围是

二、不等式

1、不等式的性质：

练一练（1）对于实数a,b,c中，给出下列命题：2222221111,0,0abbaabababcacbab①若a>b，则ac>bc;②若ac>bc，则a>b;③若aab>b;④若a;⑥若a|b|;⑦若c>a>b>0,则>;⑧若a>b,则其中正确的命题是___________ （2）已知11,13xyxy，则3x-y的取值范围是______________

2、利用基本不等式求最值

（1）一正二定三取等 （2）积定和小，和定积大

若变数a,b>0，则 若ab=p(常数)，则当且仅当a=b时，a+b有最小值

若a+b=s（常数），则当且仅当a=b时，ab有最大值

练一练(1)下列命题正确的是（ ）

12Ax、y=x+的最小值是 22322xByx、的最小值是

423(0)243Cyxxx、的最大值是 423(0)243Dyxxx、的最小值是

（2）函数914()__________242yxxx的最小值为

（3）正数x,y满足x+2y=1,则11xy的最小值为_________

(6)如果正数a,b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是______________，a+b的取值范围是

（7）已知函数7(73)(0)3yxxx，当x= 时，y有最 值

3. 一元一次不等式的解法：已知关于x的不等式0)32()(baxba的解集为)31,(，则关于x的不等式0)2()3(abxba的解集为_______

4. 一元二次不等式的解集（注意结合图像）：解关于x的不等式：01)1(2xaax。

5. 对于方程02cbxax有实数解的问题。（1）222210axax对一切Rx恒成立，则a的取值范围是_______；

6、分式不等式：（1）解不等式：25123xxx

(2)关于x的不等式ax-b>0的解集为(1,)，则关于x的不等式02axbx的解集为________

（3）解不等式21axxax()aR

7、绝对值不等式：|21|2|432|xx

8、不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题

不等式恒成立问题的常规处理方式：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住不等式的结构特征，利用数形结合法

（1） 恒成立问题：若不等式f(x)>A在D上恒成立， 则等价于在区间D上f(x)min>A

若不等式f(x)

练一练：（1）不等式23210xbx对[1,2]x恒成立，则实数b的取值范围是____

(2)已知不等式|x- 4|+|x-3|>a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围

(3)若不等式2x-1>m(x2-1)对满足|m|≤2的所有m都成立，则x的取值范围

(2)能成立问题：若在区间D上存在实数x使不等式f(x)>A成立,则等价于在区间D上f(x)max>A

若在区间D上存在实数x使不等式f(x)

练一练：已知不等式|x-4|+|x-3|

（3）恰成立问题：若不等式f(x)>A在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)>A的解集为D

若不等式f(x)

综合练习：

1、记函数132xxxf的定义域为A，]21lg[xaaxxg, （a<1）的定义域为B．

(1) 求A； (2)若AB ,求实数a的求值范围．

2、三个同学对问题“关于x的不等式2x＋25＋|3x－52x|≥ax在[1，12]上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路．

甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．

乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．

丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图像”．

参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围是 ． 3、已知a、b为实数，则ba22是22loglogab的（ ）

（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

4、已知A是ABC的内角，则“3sin2A”是“3tgA”的（ ）

（Ａ）充分而不必要条件 （Ｂ）必要而不充分条件（Ｃ）充分必要条件 （Ｄ）既不充分又不必要条件

5、已知全集UR，集合2{|230,}AxxxxR，{||2|2,}BxxxR，那么集合AB__________。

6、若()yfx为定义在D上的函数，则“存在0xD，使得2200[()][()]fxfx”是“函数()yfx为非奇非偶函数”的__________________条件.

7、已知,xyR，且41xy，则xy的最大值为_____（07上海理）

8、（07上海理）若,ab为非零实数，则下列四个命题都成立：

①10aa ②2222abaabb ③若ab，则ab

④若2aab，则ab则对于任意非零复数,ab，上述命题仍然成立的序号是_____。

9、若21xx、为方程11212xx的两个实数解，则21xx .（07上海春）

10、设曲线C1和C2的方程分别为F1(x,y)=0和F2(x,y)=0，则点P(a,b)21CC的一个充分条件为

. (03上海春季)

11、若集合RxxxAx,32cos3，RyyyB,12，则BA= . （05上海春）

12、07上海春）设ba、是正实数，以下不等式