教案 第三章 统计案例3.1.1
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第一章 统计案例
第一课时
1.1回归分析的基本思想及其初步应用（一）
教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.
教学重点：了解线性回归模型与函数模型的差异，了解判断刻画模型拟合效果的方法－相关指数和残差分析.
教学难点：解释残差变量的含义，了解偏差平方和分析的思想. 教学过程：
一、复习准备： 1. 提问：“名师出高徒”这句彦语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？
2. 复习：函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系.
回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤：
收集数据→作散点图→求回归直线方程→利用方程进行预报.
二、讲授新课： 1. 教学例题：
的女大学生的体重. （分析思路→教师演示→学生整理）
第一步：作散点图 三步：代值计算
② 提问：身高为172cm 的女大学生的体重一定是60.316kg 吗？ ③ 解释线性回归模型与一次函数的不同
事实上，观察上述散点图，我们可以发现女大学生的体重y 和身高x 之
间的关系并不能用一次函数y bx a =+来严格刻画（因为所有的样本点不共线，所以线性模型只能近似地刻画身高和体重的关系）. 在数据表中身高为165cm 的3名女大学生的体重分别为48kg 、57kg 和61kg ，如果能用一次函数来描述体重与身高的关系，那么身高为165cm 的3名女在学生的体重应相同. 这就说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响，把这种影响的结果e （即残差变量或随机变量）引入到线性函数模型中，得到线性回归模型y bx a e =++，其中残差变量e 中包含体重不能由身高的线性函数解释的所有部分. 当残差变量恒等于0时，线性回归模型就变成一次函数模型. 因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式.
为了刻画预报变量（体重）的变化在多大程度上与解释变量（身高）有关？在多大程度上与随机误差有关？我们引入了评价回归效果的两个统计量：总偏差平方和、残差平方和.
2. 教学总偏差平方和、残差平方和（回归平方和）：
（1）总偏差平方和：所有单个样本值与样本均值差的平方和，即
21
()n
i i SST y y ==-∑.
残差平方和：回归值与样本值差的平方和，即 21
()n
i i i SSE y y ==-∑
回归平方和：相应回归值与样本均值差的平方和，即 21
()n
i i SSR y y ==-∑
（2）学习要领： 2
21
2
1
()1()n
i
i i n i
i y
y R y
y ==-=-
-∑∑
①注意i y 、
i y 、y 的区别；②预报变量的变化程度可以分解为由解释变量引起的变化程度与残差变量的变化程度之和，即
2
221
1
1
()()()n n n
i i i i i i i y y y y y y ===-=-+-∑∑∑；③当总偏差平方和相对固定时，残差平方和越小，则回归平方和越大，此时模型的拟合效果越好；④对于多个不同的模型，我们还可以引入相关指数 2
21
2
1
()1()n
i
i i n i
i y
y R y
y ==-=-
-∑∑来刻画回
归的效果，它表示解释变量对预报变量变化的贡献率. 2R的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合的效果越好.
6.51
7.5
y x
=+， 717
y x
=+，试比较哪一个模型拟合的效果更好.
分析：既可分别求出两种模型下的总偏差平方和、残差平方和，也可分别求出两种模型下的相关指数，然后再进行比较，从而得出结论.
（答案：
5
2
21
15
2
1
()
155
110.845
1000
()
i i
i
i
i
y y
R
y y
=
=
-
=-=-=
-
∑
∑
，2
2
1
R=-
5
2
1
5
2
1
()
180
10.82
1000
()
i i
i
i
i
y y
y y
=
=
-
=-=
-
∑
∑
，84.5%＞
82%，所以甲选用的模型拟合效果较好.）
3. 小结：求线性回归方程的步骤、线性回归模型与一次函数的不同，分清总偏差平方和、残差平方和，初步了解如何评价两个不同模型拟合效果的好坏.
三、课后反思总结：。
