高中数学第二章平面向量2.5向量的应用导学案苏教版
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2.5 向量的应用
课堂导学
三点剖析
1.数学问题的向量方法
【例1】如右图平行四边形ABCD中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2.求对角线AC的长.
思路分析：本题要求线段长度问题，可以转化为求向量的模来解决.
解：设AD=a，AB=b，则BD=a-b，AC=a+b.
而|BD|=|a-b|=bababbaa25241||2||22
∴|BD|2=5-2a·b=4（*）
又|AC|2=|a+b|2=a2+2a·b+b2
=|a|2+2a·b+|b|2=1+4+2a·b.
由（*）得2a·b=1，
∴|AC|2=6,
∴|AC|=6,即AC=6.
温馨提示
在解决本题中，不用解斜三角形，而用向量的数量积及模的知识解决，过程中采取整体代入，使问题解决简捷明快.
2．物理问题中的向量方法
【例2】 如图甲所示，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1，求：
甲
(1)|F1|、|F2|随角θ的变化而变化的情况；
（2）当|F1|≤2|G|时，θ角的取值范围.
思路分析：本题主要是利用向量加法的平行四边形法则解决物理问题.
乙
解：（1）如图乙所示，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则知：G=F1+F2.
解直角三角形得
|F1|=,tan||,cos||2GFG
当θ从0°趋向于90°时，|F1|、|F2|皆逐渐增大.
（2）令|F1|=cos||G≤2|G|，
得cosθ≥21,
又0°≤θ<90°,
∴0°≤θ≤60°.
温馨提示
在解决力的合成、力的分解问题时，一般是利用向量的平行四边形法则解决.
3.向量方法的综合应用
【例3】已知两恒力F1（3，4）、F2（6，-5）作用于同一质点，使之由点A（20，15）移动到点B（7，0）.试求：
（1）F1，F2分别对质点所做的功；
（2）F1，F2的合力F对质点所做的功.
思路分析：本题利用向量数量积知识解决物理中的做功问题，由于给出各分力的坐标，采用坐标法计算，首先求出位移的坐标，代入F·s公式即可.
解：AB=（7，0）-（20，15）=（-13，-15）.
（1）W1=F1·AB=（3，4）·（-13，-15）=3×(-13)+4×(-15)=-99(焦),
W2=F2·AB=（6，-5）·（-13，-15）=6×(-13)+(-5)×(-15)=-3(焦).
（2）W=F·AB=（F1+F2）·AB=［(3,4)+(6,-5)］·（-13，-15）=（9，-1）·（-13，-15）=9×(-13)+(-1)×(-15)=-117+15=-102(焦).
温馨提示
力对物体所做的功实际是力与位移的数量积，即W=F·s，若用坐标运算，应当注意首先求出位移s这一向量的坐标，即终点的坐标减去起点的坐标.
【例4】△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN=2NC，AM与BN相交于点P.
求：AP∶PM的值.
思路分析：待定系数法求定比的问题.
解：设BM=e1,CN=e2.
则AM=AC+CM=-3e2-e1,BN=2e1+e2.
∵A、P、M和B、P、N分别共线，
∴存在实数λ，μ分别使AP=λAM=-λe1-3λe2,
BP=μBN=2μe1+μe2.
故BA=BP-AP=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2.
而BA=BC+CA=2e1+3e2.
由基本定理得,33,22
解得.53,54
即AP=54AM.
故AP∶PM=4∶1.
温馨提示
在解决有关定比问题时，字母顺序易出错，解决本题的关键是选择适当的一对基底，选不好基底，会使题目进入误区.
各个击破
类题演练1
已知：在△ABC中，AB=a=(x1,y1),AC=b=(x2,y2).
求证：△ABC的面积S=21|x2y1-x1y2|.
证明：由S△ABC=21|a|·|b|sinA
=22)cos|||(||)||(|21Ababa
=22)(|)||(|21baba
=22121222222121)()(21yyxxyxyx
=22112)(21yxyx
=21|x2y1-x1y2|.
变式提升1
如图，O为△ABC的外心，E为三角形内一点，满足OE=OA+OB+OC，求证：AE⊥BC.
证明：∵BC=OC-OB,
AE=OE-OA=(OA+OB+OC)-OA=OB+OC,
∴AE·BC=（OC-OB）·（OC+OB）=|OC|2-|OB|2.
∵O为外心，
∴|OC|=|OB|，即AE·BC=0，AE⊥BC.
类题演练2
在重300 N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°,60°,如图，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小.
解：作ABCB，使∠AOC=30°,∠BOC=60°.
在△OAC中，∠ACO=∠BOC=60°,∠OAC=90°,
|OA|=|OC|cos30°=1503（N），|AC|=|OC|sin30°=150(N),|OB|=|AC|=150(N).
答：与铅垂线成30°角的绳子的拉力是3150N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.
变式提升2
某人在静水中游泳，速度为34千米/时，水流速度为4千米/时.
（1）如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向游？速度是多少？
（2）他必须往哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际速度是多少？
解：（1）如图，
水流速度v1=4 km/h,游泳速度v2=34km/h.
设合速度v与v1所成角为θ，于是tanθ=3434，∴θ=60°.
|v|=222221)34(4||||vv=8 km/h.
（2）如图，v=244)34(22，
sinθ=33，θ≈35.26°,
则方向为与水流方向成125.26°的角.实际速度是24km/h.
类题演练3
如图所示，求两个力f1、f2的合力f的大小和方向（精确到一位小数）.
解：设f1=(a1,a2),f2=(b1,b2),
则a1=300cos30°=259.8,
a2=300sin30°=150,
b1=-200cos45°=-141.4,b2=200sin45°=141.4,
所以f1=(259.8,150),f2=(-141.4,141.4),
f=f1+f2=(259.8,150)+(-141.4,141.4)=(118.4,291.4),
|f|=22)4.291()4.118(=314.5.
设f与x轴的正向夹角为θ，则tanθ=4.1184.291=2.4611.
由f的坐标知θ是第一象限的角，所以θ=67°53′.
答：两个力的合力是314.5 N,与x轴的正方向的夹角为67°53′，与y轴的夹角为22°7′.
变式提升3
如图，质量为m的物体静止地放在斜面上，斜面与水平面的夹角为α，求斜面对于物体的摩擦力的大小f.
解析：如图，物体受三个力：重力w（方向竖直向下，大小为mgN）,斜面对物体的支持力p(方向垂直于斜面斜向上，设其大小为pN),摩擦力f(沿斜面支持力的方向，大小为fN)，
由于物体静止，这三个力平衡，合力为0；
w+p+f=0（*）
记垂直于斜面斜向下方、大小为1 N的力为e1，沿斜面下降方向、大小为1 N的力为e2，以e1、e2为基底，写出所涉及的三个力的坐标，则p=（-p,0）,f=(0,-f),由e1旋转到w方向的角为α，则w的坐标为（mgcosα,mgsinα）.
由（*），得w+p+f=（mgcosα,mgsinα）+(-p,0)+(0,-f)
=(mgcosα-p,mgsinα-f)=(0,0).
故mgsinα-f=0,f=mgsinα(N).
类题演练4
求证：直径上的圆周角是直角.
解析：已知：AC为⊙O的一条直径，∠ABC是圆周角.
求证：∠ABC=90°.
证明：设AO=a, OB=b.
则AB=a+b,OC=a,BC=a-b,|a|=|b|.
由于AB·BC=（a+b）·(a-b)=|a|2-|b|2=0,
所以AB⊥BC.
由此得∠ABC=90°.
即直径上的圆周角为直角.
变式提升4
已知圆C：(x-3)2+(y-3)2=4和点A（1，1），M为圆C上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且MA=2AN，求点N的轨迹方程.
解析：设M（x0,y0）,N(x,y).
由MA=2AN，得
(1-x0,1-y0)=2(x-1,y-1).
所以.32,3200yyxx
代入方程(x-3)2+(y-3)2=4，
整理得x2+y2=1.
所以所求的轨迹方程为x2+y2=1.
