2021届高考数学一轮复习人教B版坐标系课时作业Word版含答案
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2021届高考数学一轮复习人教B版坐标系课时作业Word版含答案
【课时训练】坐 标 系
解答题
1.(10分)(2021・南京模拟)在极坐标系中，已知圆C经过点P圆心C为直线ρsin
程.
【解析】方法一：在直线ρsin
=-中，
=-，
与极轴的交点，求圆C的极坐标方
令θ=0得ρ=2.所以圆C的圆心坐标为C(2，0). 因为圆C经过点P所以圆C的半径
|PC|=
=2，
，
所以圆C的极坐标方程为ρ=4cos θ.
方法二：以极点为坐标原点，极轴为x轴建立平面直角坐标系，则直线方程为y=
x-2
，P的直角坐标为(1，
)，令y=0得x=2，所
=2，
以C(2，0)，所以圆C的半径|PC|=所以圆C的方程为(x-2)2+(y-0)2=4， 即x2+y2-4x=0，
所以圆C的极坐标方程为ρ=4cos θ.
2.(2021・扬州模拟)在极坐标系中，直线ρcos
=与极轴
交于点C，求以点C为圆心且半径为1的圆的极坐标方程. 【解析】因为ρ 所以ρcos θ-ρsin θ=
=
，得x-y=2.
，
令y=0，则x=2，可得C(2，0)，
所以以点C为圆心且半径为1的圆的方程为 (x-2)2+y2=1，即x2+y2-4x+3=0，
所以所求圆的极坐标方程为ρ2-4ρcos θ+3=0. 3.(10分)(2021・遂宁模拟)点P是曲线ρ=20)，AP的中点为Q.
(1)求点Q的轨迹C的直角坐标方程. (2)若C上点M处的切线斜率的取值范围是标的取值范围.
【解析】(1)因为曲线ρ=2所以x2+y2=4(y≥0)， 设P(x1，y1)，Q(x，y)，则x=即x1=2x-2，y1=2y， 代入
+
=4(y≥0)，
，y=， ，
，求点M的横坐上的动点，A(2，
得(2x-2)2+(2y)2=4，
所以点Q的轨迹C的直角坐标方程为 (x-1)2+y2=1(y≥0).
(2)轨迹C是一个以(1，0)为圆心，1为半径的半圆，如图，设M(1+cos γ，
sin γ)，设点M处切线l的倾斜角为α，因为l的斜率范围为所以≤α≤，而γ=α-，所以≤γ≤，所以≤1+cos γ≤M的横坐标的取值范围是
.
，
，所以点
4．(2021安徽芜湖质检)在极坐标系中，求直线ρ(3cos θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标． 【解】ρ(3cos θ－sin θ)＝2化为直角坐标方程为3x－y＝2，即y＝3x－2.
ρ＝4sin θ可化为x2＋y2＝4y， 把y＝3x－2代入x2＋y2＝4y，
得4x2－83x＋12＝0，即x2－23x＋3＝0， 所以x＝3，y＝1.
π??
?所以直线与圆的交点坐标为(3，1)，化为极坐标为2，6?. ??5．(2021山西质检)在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2＝
?3
2，点R?2 ?1＋2sin θ
π?
2，4?.
?
(1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，点R的极坐标化为直角坐标；
(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边
垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标．
222
【解】(1)曲线C：ρ＝，即ρ＋2ρsin θ＝3， 2
1＋2sin θ
2
3
ρ2cos2 θ22
从而 3＋ρsin θ＝1. ∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
x22
∴曲线C的直角坐标方程为3＋y＝1， 点R的直角坐标为R(2,2)． (2)设P(3cos θ，sin θ)，
根据题意可得|PQ|＝2－3cos θ，|QR|＝2－sin θ， π?? ∴|PQ|＋|QR|＝4－2sin ?θ＋3?，
??π
当θ＝6时，|PQ|＋|QR|取最小值2， ∴矩形PQRS周长的最小值为4，
?31?
此时点P的直角坐标为?2，2?.
?
?
π????θ－6．(2021南京模拟)已知直线l：ρsin 4?＝4和圆C：ρ＝2kcos ?π??
?θ＋?(k≠0)．若直线l上的点到圆C上的点的最小距离等于2.求实
4??
数k的值并求圆心C的直角坐标．
【解】圆C的极坐标方程可化为ρ＝2kcos θ－2ksin θ， 即ρ2＝2kρcos θ－2kρsin θ，
所以圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2kx＋2ky＝0，
?2?2?2?22
即?x－k?＋?y＋k?＝k，
2??2??
?22?
所以圆心C的直角坐标为?k，－k?.
2??2
22
直线l的极坐标方程可化为ρsin θ・2－ρcos θ・2＝4， 所以直线l的直角坐标方程为x－y＋42＝0，
?2?2
?k＋k＋42? 2?2?
所以
2
－|k|＝2.
即|k＋4|＝2＋|k|， 两边平方，得|k|＝2k＋3，
?k>0，
所以?
?k＝2k＋3
?k<0，或?
?－k＝2k＋3，
?22??解得k＝－1，故圆心C的直角坐标为－，?.
22??
7．(2021河南开封模拟)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：x＋y＝2.以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．
(1)将圆C和直线l方程化为极坐标方程；
(2)P是l上的点，射线OP交圆C于点R，又点Q在OP上，且满足|OQ|・|OP|＝|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q轨迹的极坐标方程．
【解】(1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ分别代入圆C和直线l的直角坐标方程得其极坐标方程为C：ρ＝2，l：ρ(cos θ＋sin θ)＝2.
(2)设P，Q，R的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)，则由|OQ|・|OP|
2
＝|OR|2，得ρρ1＝ρ2.
又ρ2＝2，ρ1＝，所以＝4， cos θ＋sin θcos θ＋sin θ故点Q轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin
θ)(ρ≠0)．
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