2020届一轮复习人教A版坐标系与参数方程学案

2020届一轮复习人教A版 坐标系与参数方程 学案

【基本知识通关】

设点P（x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ： x′＝λ·xλ＞0，y′＝μ·yμ＞0的作用下，点P（x，y）对应到点P′（x′，y′），称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．

应用伸缩变换公式时的两个注意点

（1）曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时一定要区分变换前的点P的坐标（x，y）与变换后的点P′的坐标（x′，y′），再利用伸缩变换公式 x′＝λxλ>0，y′＝μyμ>0建立联系．

（2）已知变换后的曲线方程f（x，y）＝0，一般都要改写为方程f（x′，y′）＝0，再利用换元法确定伸缩变换公式．

【知识应用通关】

1．求直线l：y＝6x经过φ： x′＝3x，2y′＝y变换后所得到的直线l′的方程．

【答案】y＝x

2．在同一平面直角坐标系中，将直线x－2y＝2变成直线2x′－y′＝4，求满足图象变换的伸缩变换．

【答案】4

【解析】设变换为 x′＝λxλ>0，y′＝μyμ>0，代入第二个方程，得2λx－μy＝4，与x－2y＝2比较系数得λ＝1，μ＝4，即 x′＝x，y′＝4y.因此，经过变换 x′＝x，y′＝4y后，直线x－2y＝2变成直线2x′－y′＝4. 3．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换 x′＝12x，y′＝13y后，曲线C：x2＋y2＝36变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标．

【答案】（±5，0）

考点（二） 极坐标系

【基本知识通关】

1．极坐标系的概念

（1）极坐标系

如图所示，在平面内取一个定点O，点O叫做极点，自极点O引一条射线Ox，Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系．

（2）极坐标

一般地，没有特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．

（3）点与极坐标的关系

一般地，极坐标（ρ，θ）与（ρ，θ＋2kπ）（k∈Z）表示同一个点，特别地，极点O的坐标为（0，θ）（θ∈R），和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．

如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标（ρ，θ） 表示；同时，极坐标（ρ，θ）表示的点也是唯一确定的．

2．极坐标与直角坐标的互化 点M

直角坐标（x，y） 极坐标（ρ，θ）

互化公式

 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ

 ρ2＝x2＋y2，tan θ＝yxx≠0

3．极坐标方程化为直角坐标方程的步骤

第一步 判断极坐标的极点与直角坐标系的原点是否重合，且极轴与x轴正半轴是否重合，若上述两个都重合，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化

第二步 通过极坐标方程的两边同乘ρ或同时平方构造ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，一定要注意变形过程中方程要保持同解，不要出现增解或漏解

第三步 根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ及ρ2＝x2＋y2将极坐标方程转化为直角坐标方程

4．直角坐标方程化为极坐标方程或直角坐标系中点的坐标化为极坐标

（1）直角坐标方程化为极坐标方程较为简单，只需将直角坐标方程中的x，y分别用ρcos θ，ρsin θ代替即可得到相应极坐标方程．

（2）求直角坐标系中的点（x，y）对应的极坐标的一般步骤：

【知识应用通关】

1.已知直线l的极坐标方程为2ρsinθ＋π4＝2，点A的极坐标为A22，7π4，求点A到直线l的距离．

【答案】 22

由点A的极坐标为22，7π4得点A的直角坐标为（2，－2），所以点A到直线l的距离d＝|2－2－1|2＝22.

2.在极坐标系中，直线C1的极坐标方程为ρsin θ＝2，M是C1上任意一点，点P在射线OM上，且满足|OP|·|OM|＝4，记点P的轨迹为C2.

（1）求曲线C2的极坐标方程；

（2）求曲线C2上的点到直线C3：ρcosθ＋π4＝2的距离的最大值．

【答案】（1）ρ＝2sin θ（ρ≠0） （2）1＋322

第二节 参数方程

考点（一） 参数方程

【基本知识通关】

1．参数方程

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数： x＝ft，y＝gt，并且对于t的每一个允许值，由方程组 x＝ft，y＝gt所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程 x＝ft，y＝gt就叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．

2．直线、圆、椭圆的参数方程

（1）过点M（x0，y0），倾斜角为α的直线l的参数方程为 x＝x0＋tcos α，y＝y0＋tsin α（t为参数）．

（2）圆心在点M0（x0，y0），半径为r的圆的参数方程为 x＝x0＋rcos θ，y＝y0＋rsin θ（θ为参数）．

（3）椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的参数方程为  x＝acos

φ，y＝bsin φ（φ为参数）．

【知识应用通关】

1. （2018·唐山模拟）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 x＝3－22t，y＝5＋22t（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ＝25sin θ.

（1）求圆C的直角坐标方程；

（2）设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为（3，5），求|PA|＋|PB|.

【答案】（1）5 （2）32

2. （2018·郑州模拟）将曲线C1：x2＋y2＝1上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到曲线C2，A为C1与x轴正半轴的交点，直线l经过点A且倾斜角为30°，记l与曲线C1的另一个交点为B，与曲线C2在第一、三象限的交点分别为C，D.

（1）写出曲线C2的普通方程及直线l的参数方程；

（2）求|AC|－|BD|.

【答案】（1）l： x＝1＋32t，y＝12t（t为参数）．

（2）35 【解析】（1）由题意可得C2：x22＋y2＝1，对曲线C1，令y＝0，得x＝1，所以l： x＝1＋32t，y＝12t（t为参数）．

考点（二） 参数方程与极坐标方程的综合问题

1．已知曲线C1的参数方程为 x＝4＋5cos t，y＝5＋5sin t， （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ .

（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；

（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）．

【答案】（1）ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0 （2）2，π4，2，π2

【解析】（1）将 x＝4＋5cos t，y＝5＋5sin t消去参数t，化为普通方程（x－4）2＋（y－5）2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.

将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0

得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.

所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.

（2）C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0. 由 x2＋y2－8x－10y＋16＝0，x2＋y2－2y＝0，

解得 x＝1，y＝1，或 x＝0，y＝2.

所以C1与C2交点的极坐标分别为2，π4，2，π2.

2．（2018·南昌十校模拟）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 x＝1＋cos α，y＝1＋sin α（α为参数，π≤α≤2π），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcosθ－π4＝22t.

（1）求C2的直角坐标方程；

（2）当C1与C2有两个公共点时，求实数t的取值范围．

【答案】（1）x＋y－t＝0 （2）2－2