普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(安徽卷,解析版)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）

数学（理科）

本试卷分第Ⅰ卷和第II卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第II卷第3至第4页。全卷满分150分，考试时间为120分钟。

参考公式：

如果事件A与B互斥，那么

()()()PABPAPB

如果事件A与B相互独立，那么

()()()PABPAPB

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1） 设i是虚数单位，_z是复数z的共轭复数，若|()>0Ixfx+2=2zzig，则z=

（A）1+i （B）1i

（C）1+i （D）1-i

【答案】A

【解析】设2bi2a2)ib(a2bi)i-a(bi)+a(22zbi.z-a=z.bi,+a=z 22zi则

izbaa111222bba 22

所以选A

（2） 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是

（A） 16 （B）2524

（C）34 （D）1112

【答案】D

【解析】.1211,1211122366141210ss,所以选D

（3）在下列命题中，不是公理．．的是

（A）平行于同一个平面的两个平面相互平行

（B）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面

（C）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内

（D）如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线

【答案】A

【解析】B,C,D说法均不需证明，也无法证明，是公理；C选项可以推导证明，故是定理。

所以选A

（4）"0"a“是函数()=(-1)fxaxx在区间(0,+)内单调递增”的

（A） 充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】 当a=0 时，，时，且上单调递增；当，在xaxxfxaxfyxxf)1()(00)0()(||)(

.)0()(0所以a.)0()(上单调递增的充分条件，在是上单调递增，在xfyxfy0a)0()(上单调递增，在相反，当xfy,

.)0()(0a上单调递增的必要条件，在是xfy

故前者是后者的充分必要条件。所以选C

（5）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是

（A）这种抽样方法是一种分层抽样

（B）这种抽样方法是一种系统抽样

（C）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差

（D）该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数

【答案】C

【解析】 对A选项，分层抽样要求男女生总人数之比=男女生抽样人数之比，所以A选项错。

对B选项，系统抽样要求先对个体进行编号再抽样，所以B选项错。

对D选项，男生平均成绩为90，女生平均成绩为91。所以D选项错。

对C选项，男生方差为40，女生方差为30。所以C选项正确。

所以选C

（6）已知一元二次不等式()<0fx的解集为1|<-1>2xxx或，则(10)>0xf的解集为

（A）|<-1>lg2xxx或 （B）|-1<

（C） |>-lg2xx （D）|<-lg2xx

【答案】D

【解析】 由题知，一元二次不等式2ln211-),21(-1,的解集为0)(xexx即

所以选D。

（7）在极坐标系中，圆=2cosp的垂直于极轴的两条切线方程分别为 （A）=0()cos=2R和 （B）=()cos=22R和

（C） =()cos=12R和 （D）=0()cos=1R和

【答案】B

【解析】在极坐标系中，圆心坐标232.101或故左切线为，半径，r

.2cos2:.2cos2cos和即切线方程为右切线满足

所以选B

（8）函数=()yfx的图像如图所示，在区间,ab上可找到(2)nn

个不同的数12,...,,nxxx使得1212()()()==,nnfxfxfxxxx则n的取值范围是

（A）3,4 （B）2,3,4

（C） 3,4,5 （D）2,3

【答案】B

【解析】由题知，过原点的直线与曲线相交的个数即n的取值.用尺规作图，交点可取2,3,4.

所以选B

（9）在平面直角坐标系中，o是坐标原点，两定点,AB满足2,OAOBOAOBuuuruuuruuuruuurg则点集,1,,|POPOAOBRuuuruuuruuur所表示的区域的面积是

（A）22 （B）23

（C） 42 （D）43

【答案】D

【解析】考察三点共线向量知识:

1,,,,其中是线外一点则三点共线若PCPBPAPCBA.

32cos4cos||||OBOAOBOA.建立直角坐标系，设A(2,0),

).(10,0).31(含边界内在三角形时，，则当OABPB344的面积三角形的面积根据对称性，所求区域OABS

所以选D

（10）若函数3()=+b+fxxxc有极值点1x，2x，且11()=fxx，则关于x的方程213(())+2()+=0fxfxb的不同实根个数是

（A）3 （B）4

（C） 5 （D）6

【答案】 A

【解析】 使用代值法。

设cxxxxfxxxxxf623)(633)2)(1(3)('232.

上单调递增，在令)2,()(,49)(2,10)('1121xfcxxfxxxf.

上单调递增，上单调递减，在，上单调递增，在在)1()12()2,()(xf.

.3)()(0))(('21个根解得一个根，共解得二个根，由xxfxxfxff

所以选A

2013普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）

数 学（理科）

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

考生注意事项：

请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．。

二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡的相应位置。

（11）若83axx的展开式中4x的系数为7，则实数a___21___。

【答案】 21

【解析】 通项217,34348)(338388388aaCrrxaCxaxCrrrrrrr

所以21

（12）设ABC的内角,,ABC所对边的长分别为,,abc。若2bca，则3sin5sin,AB则角C__32___.

【答案】 32

【解析】 3sin5sin,AB32212cos2,53222CabcbaCacbba

所以32

（13）已知直线ya交抛物线2yx于,AB两点。若该抛物线上存在点C，使得ABC为直角，则a的取值范围为___ ),1[_____。

【答案】 ),1[

【解析】 BCACxxCmmBmmA则根据题意不妨),,(),,(),,(222

0)()12(0)(),(),(4222422222222xxmxmmxmxmxmxmxmx),1[10)1(-222222xmxmxm）（.所以),1[a

（14）如图，互不-相同的点12,,,nAAXKK和12,,,nBBBKK分别在角O的两条边上，所有nnAB相互平行，且所有梯形11nnnnABBA的面积均相等。设.nnOAa若121,2,aa则数列na的通项公式是_____*,23Nnnan____。

【答案】 *,23Nnnan

【解析】 2210011011)(aaSSSSABBASOBAnnnn的面积为，梯形的面积为设.

41)(,32210aaSS

.)(13232.)(3431)()1(2122122100nnnnnnaannaannaaSnSnSS种情况得由上面

131)(13113231077441)()()()()(21121121243232221naannnaaaaaaaaaannnn*,231,1311Nnnaanann且

（15）如图，正方体1111ABCDABCD的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段1CC上的动点，过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S。则下列命题正确的是__①②③⑤___（写出所有正确命题的编号）。

①当102CQ时，S为四边形

②当12CQ时，S为等腰梯形

③当34CQ时，S与11CD的交点R满足1113CR

④当314CQ时，S为六边形

⑤当1CQ时，S的面积为62

【答案】 ①②③⑤

【解析】

CQDTPQATPQATTDD22//1且，则相交于设截面与.

对①，时当210.CQ,则.121DT所以截面S为四边形，且S为梯形.所以为真.

对②, 1 = DT ,21.时当CQ重合与1,DT，截面S为四边形.,11QDAPAPQD所以截面S为等腰梯形. 所以为真.

对③, ,43.时当CQ.31.21,41231111RCTDQCDT利用三角形相似解得所以为真.

对④, 2 DT23,143.时当CQ.截面S与线段1111CD,DA相交，所以四边形S为五边形.所以为假.

对⑤, AGAPCGDASCCQ111111,Q1.即为菱形相交于中点与线段截面重合与时，当.对角线长度分别为.2632的面积为，和S 所以为真.

综上，选①②③⑤

三.解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡上的指定区域内。

（16）（本小题满分12分）

已知函数()4cossin(0)4fxxx的最小正周期为。

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）讨论()fx在区间0,2上的单调性。

【答案】 （Ⅰ） 1