高中数学 专题1.3.2 函数的极值与导数教案 2数学教案

函数的极值与导数

【教学目标】

1．了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用．

2．掌握函数极值的判定及求法．

3．掌握函数在某一点取得极值的条件．

【教法指导】

本节学习重点：掌握函数极值的判定及求法．

本节学习难点：掌握函数在某一点取得极值的条件．

【教学过程】

☆复习引入☆

在必修1中，我们研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题．但函数在定义域内某一点附近，也存在着哪一点的函数值大，哪一点的函数值小的问题，如何利用导数的知识来判断函数在某点附近函数值的大小问题？又如何求出这些值？这就是本节我们要研究的主要内容．

解析：请同学思考并回顾以前所学知识并积极回答之.

☆探索新知☆

探究点一 函数的极值与导数的关系

思考1 如图观察，函数y＝f(x)在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y＝f(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？

结论 思考1中点d叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(d)叫做函数y＝f(x)的极小值；点e叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(e)叫做函数y＝f(x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．

思考2 函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗？

答 函数的极大值与极小值并无确定的大小关系，一个函数的极大值未必大于极小值；在区间内可导函数的极大值或极小值可以不止一个．

思考3 若某点处的导数值为零，那么，此点一定是极值点吗？举例说明．

答 可导函数的极值点处导数为零，但导数值为零的点不一定是极值点．可导函数f(x)在x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x0两侧f′(x)的符号不同．

例如，函数f(x)＝x3可导，且在x＝0处满足f′(0)＝0，但由于当x<0和x>0时均有f′(x)>0，所以x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点． 思考4 函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有________个极小值点．

【答案】 1

例1 求函数f(x)＝13x3－4x＋4的极值．

解 f′(x)＝x2－4.

解方程x2－4＝0，得x1＝－2，x2＝2.

由f′(x)>0，得x<－2或x>2；

由f′(x)<0，得－2

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 (2，＋∞)

f′(x) ＋ 0 － 0 ＋

f(x) 单调递增 283 单调递减 －43 单调递增

由表可知：当x＝－2时，f(x)有极大值f(－2)＝283；

当x＝2时，f(x)有极小值f(2)＝－43.

反思与感悟 求可导函数f(x)的极值的步骤：

(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)；

(2)求方程f′(x)＝0的根；

(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格．检测f′(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值．

跟踪训练1 求函数f(x)＝3x＋3ln x的极值．

解 函数f(x)＝3x＋3ln x的定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝－3x2＋3x＝3x－1x2.

令f′(x)＝0，得x＝1.

当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：

x (0,1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋

f(x) 单调递减 3 单调递增

因此，当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝3.

探究点二 利用函数极值确定参数的值

思考 已知函数的极值，如何确定函数解析式中的参数？

例2 已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值．

解 因为f(x)在x＝－1时有极值0，

且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，

所以 f′－1＝0，f－1＝0，即 3－6a＋b＝0，－1＋3a－b＋a2＝0.

解之得 a＝1，b＝3或 a＝2，b＝9.

当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，

所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．

当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．

当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数；

当x∈(－1，＋∞)时，f(x)为增函数，

所以f(x)在x＝－1时取得极小值，因此a＝2，b＝9.

反思与感悟 (1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．

(2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性．

跟踪训练2 设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点．

(1)试确定常数a和b的值；

(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．

解 (1)∵f(x)＝aln x＋bx2＋x，

∴f′(x)＝ax＋2bx＋1.

由极值点的必要条件可知：

f′(1)＝f′(2)＝0，

∴a＋2b＋1＝0且a2＋4b＋1＝0，

解方程组得，a＝－23，b＝－16. (2)由(1)可知f(x)＝－23ln

x－16x2＋x，

且函数f(x)＝－23ln x－16x2＋x的定义域是(0，＋∞)，

f′(x)＝－23x－1－13x＋1＝－x－1x－23x.

当x∈(0,1)时，f′(x)＜0；当x∈(1,2)时，f′(x)＞0；

当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＜0；

所以，x＝1是函数f(x)的极小值点，

x＝2是函数f(x)的极大值点．

探究点三 函数极值的综合应用

例3 设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.

(1)求函数f(x)的单调区间和极值；

(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．

所以，f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)；

单调递减区间为(－2，2)．

当x＝－2时，f(x)有极大值5＋42；

当x＝2时，f(x)有极小值5－42.

(2)由(1)的分析知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示．

所以，当5－42＜a＜5＋42时，

直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，

即方程f(x)＝a有三个不同的实根．

反思与感悟 用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法．它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数．

跟踪训练3 若函数f(x)＝2x3－6x＋k在R上只有一个零点，求常数k的取值范围．

f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是单调增函数．

f(x)的极大值为f(－1)＝4＋k，

f(x)的极小值为f(1)＝－4＋k.

要使函数f(x)只有一个零点，

只需4＋k<0或－4＋k>0(如图所示)

或

即k<－4或k>4. ∴k的取值范围是(－∞，－4)∪(4，＋∞)．

☆课堂提高☆

1．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】 B

【解析】 对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，

不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．故选B.

2．函数y＝1＋3x－x3有( )

A．极小值－2，极大值2

B．极小值－2，极大值3

C．极小值－1，极大值1

D．极小值－1，极大值3

【答案】 D

∴当x＝－1时，函数有极小值，y极小＝－1.

当x＝1时，函数有极大值，y极大＝3.

3．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

【答案】 A

【解析】 由f′(x)的图象可知，函数f(x)在区间(a，b)内，先增，再减，再增，最后再减，故函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极小值点．

4．下列函数中，x＝0是极值点的是( )

A．y＝－x3 B．y＝cos2x

C．y＝tanx－x D．y＝1x

【答案】 B

【解析】 y＝cos2x＝1＋cos2x2，y′＝－sin2x，

x＝0是y′＝0的根且在x＝0附近，y′左正右负，

∴x＝0是函数的极大值点．

5．求下列函数的极值：

f(x)＝x3－22x－12； 【解析】 函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．

∵f′(x)＝x－22x＋12x－13，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝2.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1,2) 2 (2，＋∞)

f′(x) ＋ 0 － ＋ 0 ＋

f(x) 单调递增 －38 单调递减 单调递增 3 单调递增

故当x＝－1时，函数有极大值，

并且极大值为f(－1)＝－38，无极小值．

6．设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，在x＝1和x＝－1处有极值，且f(1)＝－1，求a、b、c的值，并求出相应的极值．

又f(1)＝－1，则有a＋b＋c＝－1，

此时函数的表达式为f(x)＝12x3－32x.

∴f′(x)＝32x2－32.

令f′(x)＝0，得x＝±1.

当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：

x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋∞)

f′(x) ＋ 0 － 0 ＋

f(x) 极大值1 极小值－1

由上表可以看出，当x＝－1时，函数有极大值1；当x＝1时，函数有极小值－1.