考研数学(数学三)模拟试卷369(题后含答案及解析)

考研数学（数学三）模拟试卷369 (题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1． 设f(x)是(一∞，＋∞)内以T为周期的连续奇函数，则下列函数中不是周期函数的是( )．

A．f(t)dt

B．f(t)dt

C．f(t)dt

D．tf(t)dt

正确答案：D

解析：因f(x)是周期为T的连续周期奇函数，则其原函数也是周期函数．据此，可知(A)、(B)、(C)中的函数都是周期函数．但(D)中变项积分不是f(x)的原函数，因而不是周期函数．解一 (D)中函数不是周期函数．事实上，令φ(x)＝tf(t)dt，则故(D)中函数不是周期函数．解二 下证(A)、(B)、(C)中函数均是周期函数．对于(A)，令g(x)＝f(t)dt，则 对于(B)，令h(x)＝f(t)dt，则 故 h(x)＝h(x＋T)．同法可证均是周期为T的周期函数，故其差也是周期为T的周期函数．仅(D)入选．

2． 若直线y＝x与对数曲线y＝logax相切，则a＝( )．

A．e

B．1／e

C．ee

D．ee－1

正确答案：D

解析：两曲线相切即两曲线相交且相切，而两曲线相切就是在切点导数值相等，相交就是在交点(切点)其函数值相等．据此可建立两个方程求解未知参数．由y′＝1＝(logax)＝该点也在曲线 y＝logax上，于是有 故＝lna，所以a＝ee－1．仅(D)入选．

3． 设f(x)g(x)在点x＝0的某邻域内连续，且f(x)具有一阶连续导数，满足＝0，f′(x)＝一2x2＋g(x一t)dt，则( )．

A．x＝0为f(x)的极小值点

B．x＝0为f(x)的极大值点

C．(0，f(0))为曲线y＝f(x)的拐点

D．x＝0不是f(x)的极值点，(0，f(0))也不是曲线y＝f(x)的拐点

正确答案：C

解析：由f′(x)的表示式易知f′(0)＝0，为判定选项的正确性，只需考察．f″

(0)的符号的有关情况，为此计算，看其是否等于非零常数．由 有 f″(x)＝－4x＋g(x)，则 ＝－4＋0＝－4，可见在x＝0的两侧因x变号，f″(x)也变号，因而(0，f(0))为曲线y＝f(x)的拐点．仅(C)入选．

4． 计算二重积分I＝＝( )．

A．π2／32

B．－π2／32

C．π／16

D．π／4

正确答案：A

解析：由所给的二次积分易求出其积分区域如下图所示．由于积分区域为圆域的一部分，且被积函数又为f(x2＋y2)，应使用极坐标求此二重积分．所给曲线为(y＋1)2＋x2＝1的上半圆周，区域D如下图所示，其直角坐标方程为(y＋1)2＋x2≤1， 即 y2＋x2≤一2y，将x＝rcosθ，y＝rsinθ代入得到极坐标系下的方程r2≤一2rsinθ， 即 r≤一2sinθ．于是 D＝｛(r，θ)｜－π／4≤θ≤0，0≤r≤一2sinθ｝，则 仅(A)入选．

5． 设四阶行列式D＝，则第3列各元素的代数余子式之和A13＋A23＋A33＋A34＝( )．

A．3

B．一3

C．2

D．1

正确答案：B

解析：尽管直接求出每个代数余子式的值，再求其和也是可行的，但较繁，一般不用此法．因行列式D中元素aij的代数余子式Aij与aij的值无关，仅与其所在位置有关．常用此性质构成新行列式，利用行列式性质求出各元素的代数余子式的线性组合的值．将行列式D的第3列元素换为1，1，1，1，则

6． 设A是四阶方阵，A*是A的伴随矩阵，其特征值为1，一1，2，4，则下列矩阵中为可逆矩阵的是( )．

A．A—E

B．2A—E

C．A＋2E

D．A一4E

正确答案：A

解析：利用矩阵行列式与其矩阵特征值的关系：｜A｜＝λ1λ2…λn判别之，其中λi为A的特征值．解一 设A*的特征值为，则于是 ｜A*｜＝1.(－1).2.4＝－8，因而｜A｜4－1＝｜A*｜，故｜A｜3＝－8，即｜A｜＝－2，所以A的特征值为因而A－E的特征值为μ1＝－2－1＝－3，μ2＝2－1＝1，μ3＝－1－1＝－2，μ4＝－1／2－1＝－3／2，故｜A－E｜＝μ1.μ2.μ3.μ4＝－9

≠0，所以A－E可逆．解二 由A的特征值易求得其他矩阵2A＋E，A＋2E，A－2E的特征值分别都含有零特征值，因而其行列式等于0，它们均不可逆．仅(A)入选．

7． 已知随机变量(X，Y) 的联合密度函数为则t的二次方程t2一2Xt＋Y＝0有实根的概率为( )．

A．e

B．e－1

C．e－2

D．e2

正确答案：B

解析：先找出有实根的X与Y所满足的条件，再在此条件范围内求出其概率．因二次方程t2一2Xt＋Y＝0有实根的充要条件为 4X2一4Y≥0， 即

X2≥Y，如下图所示，故所求概率为

8． 设X1，X2，…，Xn，…是相互独立的随机变量序列，Xn服从参数为n(n＝1，2，…)的指数分布，则下列不服从切比雪夫大数定律的随机变量序列是( )．

A．X1，X2，…，Xn，…

B．X1，22X2，…，n2Xn，…

C．X1，X2／2，…，Xn／n，…

D．X1，2X2，…，nXn，…

正确答案：B

解析：根据切比雪夫大数定律所要求的条件判别．切比雪夫大数定律要求三个条件：首先是要求X1，X2，…，Xn相互独立；其次是要求Xn(n＝1，2，…)的期望和方差都存在；最后还要求方差一致有界，即对任何正整数n，D(Xn)＜L，其中L是与n无关的一个常数．题中四个随机变量序列显然全满足前两个条件，由于对于(A)，有 对于(B)，有 E(n2Xn)＝n2E(Xn)＝n2.＝n， D(n2Xn)＝n4D(Xn)＝n4.＝n2；对于(C)，有 对于(D)，有 E(nXn)＝nE(Xn)＝n.＝1，

D(nXn)＝n2D(Xn)＝n2.＝1．显然(B)序列的方差D(n2Xn)不能对所有n均小于一个共同常数，因此不满足切比雪夫大数定律．综上分析，仅(B)入选．

填空题

9． 若函数y＝[f(x2)，其中f为可微的正值函数，则dy＝_________．

正确答案：

解析：y为幂指函数，为求其导数，可先用取对数法或换底法处理，再用复合函数求导法则求之．因为y＝，于是 故dy＝y′dx＝[2f′(x2)(f(x2)lnf(x2))]dx．

10． ＝_________．

正确答案：arctane—π／4

解析：分母提取因子n，再使用定积分定义求之．原式＝ ＝arctanex＝arctane—π／4．

11． e－y2dy＝___________．

正确答案：

解析：直接先求内层积分无法求出．可变更积分次序，再用Γ函数计算较简；也可用分部积分法求之．解— 解二

12． 差分方程yx＋1一的通解是___________．

正确答案：

解析：先求对应的齐次差分方程的通解，再求特解． 齐次差分方程yx＋1－yx＝0的特征方程为λ－＝0，解得特征根λ＝，故齐次差分方程的通解为C()x因a＝(特征根不等于底数)，故其特解为，代入原方程得A＝．故所求通解为

13． 设随机变量X和Y的联合概率分布为则X和Y的协方差cov(X，Y)＝_________．

正确答案：0．056

解析：由定义或同一表格法分别求出X，Y与XY的分布，再求其期望．解一 由表易知因此 E(X)＝0×0．40＋1×0．60＝0．60， E(Y)＝(一1)×0．18＋0×0．50＋1×0．32＝0．14． E(XY)＝(－1)×0．08＋0×0．70＋1×0．22＝0．14．从而 cov(X，Y)＝E(XY)－E(X)E(Y)＝0．056．解二 用同一表格法求之．为此将所给的联合分布改写成下表，并在同一表格中求出X，Y及XY的分布．故下同解一．

14． 设X1，X2，…，Xn是取自正态总体N(0，σ2)(σ＞0)的简单随机样本，Xi(1≤k≤n)，则cov()＝___________．

正确答案：

解析：利用协方差的有关性质，特别是线性性质求之．由于Xi，Xj(i≠j)独立，cov(Xi，Xj)＝0，又cov(Xi，Xj)＝D(Xi)＝σ2，则

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15． 求

正确答案：解一

解析：用恒等变形法或提公因式法化简极限函数，再用等价无穷小代换求出结果．

16． 设函数f(x)＝(x—x0)nφ(x)(n为任意自然数)，其中函数φ(x)当x＝x0时连续．(1)证明f(x)在点x＝x0处可导；(2)若φ(x)≠0，问函数f(x)在x＝x0处有无极值，为什么?

正确答案：(1)由于即f(x)在x＝x0处可导，且f′(x0)＝0．(2)由于φ(x)在x＝x0处连续，且φ(x0)≠O，所以φ(x)在点x0的充分小的邻域(x0一δ，x0＋δ)内与φ(x0)同号，于是f(x)的符号只与n的奇偶性有关．①若n为奇数，则经过x0时，f(x)的值变号，所以在x＝x0处没有极值；②若n为偶数，则(x—x0)n＞0(x≠x0)．当φ(x0)＞0，且0＜｜x－x0｜＜δ时，f(x)＝(x－x0)nφ(x)＞0＝f(x0)，所以在x＝x0处有极小值f(x0)．当φ(x0)＜0，且0＜｜x－x0｜＜δ时，f(x)＝(x－x0)nφ(x)＜0＝f(x0)，所以在x＝x0处有极大值f(x0)．

解析：用导数定义证明(1)；用极值的定义证明(2)．

17． 计算

正确答案：注意到，令x－1＝sect，则当x＝2时，t＝0，当x→＋∞时，t＝π／2，故

解析：这是一个积分区间为无穷，且被积函数在[2，＋∞)上是无界函数的反常积分，试作变量代换化为定积分求之．

18． 求y′＝的通解，及其在初始条件y｜x＝1＝0下的特解．

正确答案：这是一个一阶方程．注意到 2yy′(xey2＋2)＝ey2， 即

(xey2＋2)＝ey2．若以x为未知函数，y2为自变量，原方程就会化为x的一阶线性非齐次方程： －x＝2e－y2．其通解为 x＝ey2(C＋2∫e－y2－y2dy2＝Cey2－e－2y2，代入初始条件y｜x＝1＝0即得1＝C一1C＝2，所以满足条件下特解为 x＝2ey2－e－2y2

19． 设f(x)二阶可导，且f″(x)≥0，u(t)为任一连续函数；a＞0，求证：

正确答案：题设f″(x)≥0，则由泰勒公式有 f(x)＝f(x0)＋f′(x0)(x—x0)＋f″(ε)(x—x0)2 ≥f(x0)＋f′(x0)(x－x0)，其中ε在x0，x之间．取x0＝u(t)dt，x＝u(t)代入上式得 对上式两端从0到a积分，得

解析：给出函数f(x)二阶可导，且f″(x)＞0，该条件常使人想到利用泰勒公式证明不等式．比较待证的等式易看出，应取x＝u(t)，x0＝u(t)dt (此为常数)．