考研数学(数学三)模拟试卷400(题后含答案及解析)

考研数学（数学三）模拟试卷400 (题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1． 设f(x)满足f”(x)+x[f’(x)]2—sin x，且f’(0)=0，则 ( )

A．f(0)是f(x)的极小值．

B．x(0)是f(x)的极大值．

C．在点(0，f(0))左侧邻域内，曲线y=f(x)是凹的，右侧邻域内，曲线y=f(x)是凸的．

D．在点(0，f(0))左侧邻域内，曲线y=f(x)是凸的，右侧邻域内，曲线y=f(x)是凹的．

正确答案：D

解析：由f”(x)+x[f’(x)]2=sin x，有f”(0)=0．再由

f”‘(x)+[f’(x)]2+2xf’(x)f”(x)=cos x，得f”‘(0)=1，所以=1。由极限的保号性知，存在x=0的去心邻域且x＞0时，f”(x)＞0．故应选(D)．

2． 设f(x)在区间(—∞，+∞)上连续，且满足f(x)=∫0xf(x—t)sin tdt+x，则在(一∞，+∞)上，当x≠0时，f(x) ( )

A．恒为正．

B．恒为负．

C．与x同号．

D．与x异号．

正确答案：C

解析：作积分变量代换，令x—t=u，得 f(x)=∫x0f(u)sin(x—u)d(一u)+x=∫0xf(u)sin(x一u)du+x =sin x．∫0xf(u)cos udu一cos x．∫0xf(u)sin udu+x，

f’(x)=cos x．∫0xf(u)cos udu+sin x．cos x．f(x)+sin x．∫0xf(u)sin udu一cos x．sin

x．f(x)+1 =cos x．∫0xf(u)cos udu+sin x．∫0xf(u)sin udu+1， f”(x)=—sin

x．∫0xf(u)cos udu+cosx．f(x)+cos2x．∫0xf(u)sin udu+sin2x．f(x) =f(x)一f(x)+x=x．

3． 设f(x)=一sinπx+(3x—1)2，则在区间(一∞，+∞)上，f(x)的零点个数

( )

A．正好1个．

B．正好2个．

C．正好3个．

D．多于3个．

正确答案：B

解析：f(0)=1＞0，＜0，f(1)=4＞0，所以至少有2个零点．又 f’(x)=一π

cos πx+6(3x一1)，f”(x)=π2sin πx+18＞0， 所以至多有2个零点，故正好有2个零点．

4． 设f(x)=x4sin+xcosx(x≠0)，且当x=0时，f(x)连续，则( )

A．f”(0)=0，f”(x)在x=0处不连续．

B．f”(0)=0，f”(x)在x=0处连续．

C．f”(0)=1，f”(x)在x=0处不连续．

D．f”(0)=1，f”(x)在x=0处连续．

正确答案：A

解析：

5． 设A是n阶矩阵(n＞1)，满足Ak=2E，k＞2，E是单位矩阵，A*是A的伴随矩阵，则(A*)k ( )

A．E．

B．2E．

C．2k—1E．

D．2n—1E．

正确答案：D

解析：Ak=2E，｜Ak｜=｜2E｜=2n，｜A｜=，得A*=｜A｜A—1，则

(A*)k=(｜A｜A—1)k=｜A｜k(Ak)—1=｜A｜k(2E)—1=｜A｜kE=2n—1E， 故应选(D)．

6． 设A是3阶矩阵，｜A｜=1，a11=一1，aij=Aij，其中Aij是A中元素aij的代数余子式，则线性非齐次方程组AX=的唯一解是 ( )

A．(1，0，0)T．

B．(0，0，一1)T．

C．(1，1，1)T．

D．(一1，1，1)T．

正确答案：A

解析：将｜A｜按第1行展开，｜A｜=a11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a132， 因｜A｜=1，a11=一1，故得a12=a13=A12=A13=0． 故应选(A)．

7． 设(X，Y)为二维连续型随机变量，则下列公式各项都有意义的条件下

(Df(x，y)=fX(x)Y(x)； ②fX(x)=∫—∞+∞fY(y)fX|Y(x｜y)dx； ③fX｜Y(x｜y)=； ④P{X＜Y)=∫—∞+∞fX(y)fY(y)dy，其中FX(y)=∫—∞yfX(x)dx． 必定成立的个数为 ( )

A．1．

B．2．

C．3．

D．4．

正确答案：A

解析：①需要独立条件才成立； ②应该为fX(x)=∫—∞+∞f(x，y)dy=∫—∞+∞fY(y)fX|Y(x｜y)dy； ③fX|Y(x｜y)成立； ④需要独立条件．

8． 设随机变量X服从参数为1的指数分布，令Y=max{X，1}，则EY= ( )

A．1．

B．1+．

C．1一．

D．．

正确答案：B

解析：

填空题

9． 设f(x)=，则f[f(x)]=_________．

正确答案：

解析：由f(x)的表达式，有 最后，分别写出自变量的取值范围，易见第4式中＞1与x＞1的交集为空集，故化简为如答案所示。

10． 设x==_________．

正确答案：

解析：

11． 微分方程y”一3y’+2y=xex的通解为y=_________．

正确答案：C1ex+C2e2x一(x2+x)ex，其中C1，C2为任意常数

解析：对应的齐次方程的通解为Y=C1ex+C2e2x．设原方程的一个特解为y*=x(Ax+B)ex，代入原方程，得y*=(一x2一x)ex，所以通解如答案所示．

12． 设f”(x0)=2，则=_________．

正确答案：1

解析：

13． 设n阶行列式｜An×n｜=a，将A的每一列减去其余各列的行列式记成｜B｜，则｜B｜=_________．

正确答案：(2一n)2n—1a

解析：由题设知，若｜A｜=｜α1，α2，…，αn｜=a，则

14． 设X～B(3，)，y服从(0，3)上的均匀分布，X与Y相互独立，则行列式＞0的概率为_________．

正确答案：

解析：=(X一1)(Y一2)，所求概率为 p=P{(X一1)(Y一2)＞0} =P{X一1＞0，Y一2＞0}+P{X一1＜0，Y一2＜0} =P{X＞1，Y＞2}+P{X＜1，Y＜2} =P{X＞1}．P{Y＞2}+P{X＜1}．P{Y＜2}

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15． 设三角形三边的长分别为a，b，c，此三角形的面积设为S．求此三角形内的点到三边距离乘积的最大值，并求出这三个相应的距离．

正确答案：设P为三角形内的任意一点，该点到长分别为a，b，C的边的距离分别为x，y，z．由三角形的面积公式有 求f=xyz在约束条件ax+by+cz一2S=0下的最大值．令 W=xyz+λ(ax+by+cz一2S)． 由拉格朗日乘数法，显然当P位于三角形边界上时，f=0为最小值；当P位于三角形内部时，f存在最大值．由于驻点唯一，

16． 设z=f(u)存在二阶连续导数，并设复合函数z=f()在x＞0处满足 求f’(u)及f(u)的一般表达式．

正确答案： (1+u2)f”+2uf’=0．这是关于f’的一阶线性方程(或变量分离方程)，即 (1+u2)(f’)’+2u(f’)=0．解得 f’(u)=，再积分，得

f(u)=C1arctan u+C2，其中C1、C2为任意常数．

17． 计算．

正确答案：先看

18． 设f(x)在[0，1]上可导且满足f(0)=． 证明：至少存在一点ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)+f(ξ)=0．

正确答案：有两种证明方法． 从结论推上去，要证明存在一点ξ∈(0，1)，使得 f’(ξ)+f(ξ)=0， 即eξf’(ξ)+eξf(ξ)=0，即证明存在ξ∈(0，1)，使得 [eξf(ξ)]’=0．令F(x)=exf(x)，要证存在ξ∈(0，1)使得F’(ξ)=[exf(x)]’｜x=ξ=0．为此，只要验证F(x)在[0，1]上满足罗尔定理即可．由于 即 F(0)=F(η)，0＜η＜1． 所以存在ξ∈(0，η)(0，1)，使得F’(ξ)=0，即 eξf’(ξ)+eξf(ξ)=0．因eξ≠0，上式等价于f’(ξ)+f(ξ)=0．证毕．

19． 设f(x，y)=max{，1)，D={(x，y)｜｜x｜≤y≤1)．求f(x，y)dσ．

正确答案：如图所示，将D分成三块，中间一块记为D3，左、右两块分别记为D1与D2．

20． 已知A，B均是2×4矩阵，其中 AX=0有基础解系α1=(1，1，2，1)T，α2=(0，一3，1，0)T； BX=0有基础解系β1=(1，3，0，2)T，β2=(1，2，一1，a)T． (Ⅰ)求矩阵A； (Ⅱ)若AX=0和BX=0有非零公共解，求参数a的值及公共解．

正确答案：(Ⅰ)记C=(α1，α2)，则有AC=A(α1，α2)=0，得CTAT=0，即AT的列向量(即A的行向量)是CTX=0的解向量． CT=， 解得CTX=0的基础解系为ξ1=(1，0，0，一1)T，ξ2=(一7，1，3，0)T． 故 A=．(Ⅱ)若AX=0和BX=0有非零公共解，则非零公共解既可由α1，α2线性表出，也可由β1，β2线性表出，设公共解为 η=x1α1+x2α2=x3β1+x4β2．于是

x1α1+x2α2-x3β1-x4β4=0． (*)对(α1，α2，一β1，-β2)作初等行变换，

当a=3时，方程组(*)有非零解，k(一1，1，一2，1)T．此时AX=0和BX=0的非零公共解，为 η=L1(一α1+α2)=L1(一1，一4，一1，一1)T=L1(1，4，1，1)T， 其中L1是任意常数， 或 η=L2(一2β1+β2)=L2(1，4，1，1)T， 其中L2是任意常数．

21． 设线性齐次方程组(2E—A)x=0有通解x=kξ1=k(-1，1，1)T，其中k是任意常数，A是二次型f(x1，x2，x3)=xTAx的对应矩阵，且r(A)=1． (Ⅰ)问η1=(1，1，0)T，η=(1，一1，0)T是否是方程组Ax=0的解向量，说明理由；

(Ⅱ)求二次型f(x1，x2，x3)．

正确答案：(Ⅰ)A是二次型的对应矩阵，故AT=A，由(2E一A)x=0有通解x=kξ1=k(一1，1，1)T，知A有特征值λ=2，且A的对应于λ=2的特征向量为ξ1=(一1，1，1)T．r(A)=1，故知λ=0是A的二重特征值． Ax=0的非零解向量即是A的对应于λ=0的特征向量，其应与对应于λ=2的特征向量ξ1正交，因ξ1η1=(一1，1，1)=0，故η1是Ax=0的解向量，即是A的对应于λ=0的特征向量．又ξ2η2=(一1，1，1)=一2≠0，故η2不是Ax=0的解向量．(Ⅱ)求二次型即求其对应矩阵． 求对应λ=0的线性无关特征向量．设为ξ=(x1，x2，x3)T，由ξ1ξ=一x1+x2+x3=0，解得ξ2=η1=(1，1，0)T，ξ3=(1，0，1)T(ξ2，ξ3线性无关)，则得