考研数学(数学三)模拟试卷374(题后含答案及解析)
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考研数学（数学三）模拟试卷374 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设f(x)＝，则f(x)的可去间断点的个数为( )．
A．1
B．2
C．3
D．0
正确答案：C
解析：先找出f(x)的间断点，再用可去间断点的下述定义判别其个数．若f(x0＋0)＝f(x0－0)即f(x)在x＝x0处极限存在，但其极限值不等于在该点的函数值，则该点为可去间断点．显然，x＝0，1，一1为．f(x)的间断点．因 即f(x)在x＝0，一1，1处的极限均存在，且f(x)在这些点处又无定义，故x＝0，一1，1均为f(x)的可去间断点．仅(C)入选．
2． 设f(x)在x＝0处3阶可导，且f′(0)＝0，f″(0)＝0，＞0，则( )．
A．x＝0是f(x)的极小值点
B．x＝0是f(x)的极大值点--
C．在点(0，f(0))的左、右邻域曲线y＝f(x)分别为凹与凸
D．在点(0，f(0))的左、右邻域曲线y＝f(x)分别为凸与凹
正确答案：D
解析：利用泰勒展开式及相关概念的定义判别之．解一 由泰勒公式及题设得到 f(x)＝f(0)＋f′(0)＋(0)x3＋o(x3)， f(x)－f(0)＝(0)x3z＋o(x3)．故当｜x｜充分小且x＜0时，f(x)一f(0)＜0；当x＞0时，f(x)一f(0)＞0．因而f(0)不是极值，排除(A)、(B)．又将f″(x)按皮亚诺余项展开，有 f″(x)＝f″(0)＋(0)x＋o(x)．当｜x｜充分小且x＜0时，f″(x)＜0(因(0)＞0)，故曲线y＝f(x)在点(0，f(0))的左侧邻域为凸．当x＞0时，因(0)＞0，故f″(x)＞0，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))的右侧邻域为凹仅(D)入选．解二 利用可得到上述结论．事实上，由x＜0得到在点(0，f(0))的左侧邻域f″(x)＜0，曲线y＝f(x)为凸；当x＞0时，f″(x)＞0，故在点(0，f(0))的右侧邻域为凹．
3． 函数f(x)＝｜x3＋x2－2x｜arctanx的不可导点的个数是( )．
A．3
B．2
C．1
D．0
正确答案：C
解析：利用下述判别法判别．设f(x)＝｜x－a｜φ(x)，其中φ(x)在x＝a处连续．若φ(a)＝0，则f(x)在x＝a处可导且f′(a)＝φ(a)＝0；若φ(a)≠0，则f(x)在x＝a处不可导．为此，常将函数中含绝对值部分的子函数分解为一次因式｜x—a｜的乘积．因f(x)可分解成 f(x)＝｜x(x2＋x一2)｜arctanx＝｜x(x＋2)(x一1)｜arctanx ＝｜x｜｜x＋2｜｜x－1｜arctanx．显然arctanx在x＝0，一2，1处连续．因 ｜x｜｜x＋2｜｜x－1｜arctanx＝｜x｜φ1(x)，其中 φ1(x)｜x＝0＝｜x＋2｜｜x－1｜arctanx｜x＝0＝0，故f(x)在x＝0处可导．又 ｜x｜｜x＋2｜｜x－1｜arctanx＝｜x－1｜(｜x｜｜x＋2｜arctanx)＝｜x－1｜φ2(x)，而当x＝1时， φ2(x)｜x＝1＝｜x｜｜x＋2｜arctanx｜x＝1≠0，故f(x)在x＝1处不可导．又 ｜x｜｜x＋2｜｜x－1｜arctanx＝｜x＋2｜(｜x｜｜x－1｜arctanx)＝｜x＋2｜φ3(x)， φ3(x)｜x＝－2＝｜x｜｜x－1｜arctanx｜x＝－2
≠0，故f(x)在x＝一2处不可导．仅(C)入选．
4． 设I＝xydxdy，其中D由曲线y＝，y＝－x和y＝所围成，则I的值为( )．
A．1／6
B．1／12
C．1／24
D．1／48
正确答案：D
解析：D的示意图如下图所示，需分段求出I．将区域D分为两部分，在第一象限的部分记为D1，在第二象限的部分记为D2(见上图)．求出y＝一x与y＝的交点为()．xydxdy仅(D)入选．
5． 设α为四维列向量，αT为α的转置，若则αTα＝( )．
A．3
B．6
C．9
D．4
正确答案：D
解析：由所给的矩阵等式观察出α的元素，从而易求出αT．因则 α＝[1，一1，1，1]T， αT＝[1，一1，1，1]，故 αTα＝ [1，一1，1，1][1，一1，1，1]T＝1.1＋(－1)(－1)＋1.1＋1.1＝4．仅(D)入选．
6． 设向量组α1，α2，α3，β1线性相关，向量组α1，α2，α3，β2线性无关，则对于任意常数k，必有( )．
A．α1，α2，α3，kβ1＋β2线性无关
B．α1，α2，α3，kβ1＋β2线性相关
C．α1，α2，α3，β1＋kβ2线性无关
D．α1，α2，α3，β1＋kβ2线性相关
正确答案：A
解析：可用线性无关的定义证明．由于k为任意常数，令k取某些特殊值也
可用排错法判别．解一 对于任意常数k，证明(A)成立．设 l1α1＋l2α2＋l3α3＋l4(kβ1＋β2)＝0下证l4＝0．若l4≠0，则kβ1＋β2可由α1，α2，α3线性表示，由题设知β1能由α1，α2，α3线性表示，因而β2能由α1，α2，α3线性表示．这与α1，α2，α3，β2线性无关相矛盾，所以l4＝0，则上述等式可化为l1α1＋l2α2＋l3α3＝0．而α1，α2，α3线性无关，故l1＝0，l2＝0，l3＝0，所以α1，α2，α3，kβ1＋β2线性无关．故(A)正确．解二 当k＝0时，显然(B)、(C)不成立． 当k＝1时，(D)不成立．事实上，由题设α1，α2，α3，β2线性无关，如果α1，α2，α3，β1＋β2线性相关，而α1，α2，α3线性无关，β1，α1，α2，α3线性相关，则β1能由α1，α2，α3线性表示，而β2不能，于是β1＋β2不能由α1，α2，α3线性表示，所以(D)不成立．仅(A)入选．
7． 设随机变量X1和X2相互独立同分布(方差大于零)，令 X＝X1＋aX2，Y＝X1＋bX1(a，b均不为零)．如果X与Y不相关，则( )．
A．a与b可以是任意实数
B．a和b一定相等
C．a和b互为负倒数
D．a和b互为倒数
正确答案：C
解析：利用X和Y不相关的充要条件判别之．X与Y不相关的充分必要条件是pXY＝0，即cov(X，Y)＝0．cov(X，Y)＝cov(X1＋aX2，X1＋bX2)＝D(X1)＋(a＋b)cov(X1，X2)＋abD(X2)．由于X1与X2独立同分布，有 cov(X1，X2)＝0，且D(X1)＝D(X2)．于是 cov(X，Y)＝0(1＋ab)D(X1)＝01＋ab＝0ab＝一1，因而a与b互为负倒数．仅(C)入选．
8． 设随机变量xi～(i＝1,2)，且p(X1X2＝0)＝1，,则P(X1＝X2)等于( )．
A．0
B．1／4
C．1／2
D．1
正确答案：A
解析：利用边缘分布与联合分布的关系及题设P(X1X2＝0)＝1求之．由题设有 P(X1X2≠0)＝1一P(X1X2＝0)＝1—1＝0．设X1的取值为x1，x2，x3，X2的取值为y1，y2，y3，则由X1的边缘分布得到 p11＋p12＋p13＝0＋p12＋0＝p(X1＝－1)＝ p31＋p32＋p33＝0＋p32＋0＝p(X1＝1)＝又由X2的边缘分布得到 p11＋p21＋p31＝0＋p21＋0＝p(X2＝－1)＝ p13＋p23＋p33＝0＋p23＋0＝p(X2＝1)＝由X2的边缘分布得到 p12＋p22＋p32＝1／4＋p22＋1／4＝p(X2＝0)＝1／2，则p22＝0故所以 P(x1＝y1)＝0， P(x2＝y2)＝0，P(x3＝y3)＝0，即P(X1＝X2)＝0．仅(A)入选．
填空题
9． 若f(x)＝φ(x)＝则f[φ(x)]＝__________．
正确答案：
解析：两分段函数的分段点相同，且仅有一个分段点．常用分段代入法求其复合函数，且常将内层函数的表达式代入，然后将外层函数的表达式代入，常简称“先内后外法”．当0＜x＜1时，1＜φ(x)＝2x＜2，故 f[φ(x)]＝f(2x)＝ln2x＝xln2．当x＝1时，φ(x)＝1，f[φ(x)]＝1．当1＜x＜2时，0＜φ(x)＝x一1＜1，则 f[φ(x)]＝f(x－1)＝1－(x－1)＝2－x．综上，可得
10． 设a，b是某两个常数，且e－t2dt＋a]＝b，则a，b分别等于__________．
正确答案：，0
解析：由所给极限与ex＝＋∞，得到e－t2dt＋a]＝0．事实上，如e－t2dt＋a的极限不等于0，那么所给极限必不等于常数，与题设e－t2dt＋a]＝b(b为常数)矛盾．由即可求得a的值，再用洛比达法则还可求得b．利用二重积分可算出此结果：下同解一．
11． 设＝___________．
正确答案：10ln3
解析：由所给极限及(3x一1)＝0得到从而 ln(1＋(x→0)．故
12． 求极限＝___________．
正确答案：
解析：利用定积分定义求之，为此先将其化为积和式．解一 解二
13． 已知二次型 f(x1，x2，x3)＝＋2ax1x2＋2bx2x3＋2x1x3经正交变换化为标准形f(x1，x2，x3)＝，则a，b取值为__________．
正确答案：0
解析：由标准形即知二次型矩阵A的特征值，将其代入特征多项式可得a，b满足的两个方程，解之即得a，b．对应二次型矩阵A＝，其特征值为0，1，2，将λ＝0，1代入特征方程｜λE－A｜＝0，得｜0.E－A｜＝一(a－b)2＝0，
及 ｜E－A｜＝一2ab＝0，解得a＝b＝0．
14． 设A，B，C是三个随机事件，，P(A∪B)＝0．72，P(AC∪BC)＝0．32，则P(C)＝__________．
正确答案：0．6
解析：利用和事件概率的计算公式求之．因未给出P(AC)与P(BC)，仅给出P(AC∪BC)，需将三事件之和A∪B∪C看成两事件A∪B与C之和，利用两事件之和的概率公式计算．因为，所以 A∪B∪C＝Ω，P(A∪B∪C)＝1．又P(A∪B∪C)＝P[(A∪B)∪C]＝P(A∪B)＋P(C)一P((A∪B)C)，故 P(C)＝P(A
