1999年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案(理)

1999年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理工农医类）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.

第I卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共14小题；第1～10题每小题4分，第11～14题每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1.如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是 ( )

(A) （M∩P）∩S (B) （M∩P）∪S

(C) （M∩P）∩S (D) （M∩P）∪S

2.已知映射f：BA，其中，集合

,4,3,2,1,1,2,3A集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象，且对任意的,Aa在B中和它对应的元素是a，则集合B中元素的个数是 ( )

(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7

3. 若函数xfy的反函数是0,,abbafxgy，则bg等于 ( )

(A) a (B) 1a (C) b (D) 1b

4.函数0sinxMxf在区间ba,上是增函数，且,,MbfMxf则函数xMxgcos在ba,上 ( )

(A) 是增函数 (B) 是减函数

(C) 可以取得最大值M (D) 可以取得最小值M

5.若xxfsin是周期为的奇函数，则xf可以是 ( ) (A) xsin (B) xcos (C) x2sin (D) x2cos

6.在极坐标系中，曲线3sin4关于 ( )

(A) 直线3轴对称 (B) 直线65轴对称

(C) 点3,2中心对称 (D) 极点中心对称

7.若干毫升水倒入底面半径为cm2的圆柱形器皿中，量得水面的高度为cm6，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是 ( )

(A) cm36 (B) cm6 (C) cm3182 (D) cm3123

8.若,32443322104xaxaxaxaax则2312420aaaaa的值为 ( )

(A) 1 (B) －1 (C) 0 (D) 2

9.直线0323yx截圆422yx得的劣弧所对的圆心角为 ( )

(A) 6 (B) 4 (C) 3 (D) 2

10.如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF23，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为 ( )

(A) 29 (B) 5 (C) 6 (D) 215

11.若,22sinctgtg则 ( )

(A) 4,2 (B) 0,4 (C) 4,0 (D) 2,4

12.如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1：2，那么R= ( )

(A) 10 (B) 15 (C) 20 (D) 25

13.已知两点,45,4,45,1NM给出下列曲线方程： ①0124yx ②322yx ③1222yx ④1222yx

在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是 ( )

(A) ①③ (B) ②④ (C) ①②③ (D) ②③④

14.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有 ( )

(A) 5种 (B) 6种 (C) 7种 (D) 8种

第II卷（非选择题共90分）

二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.

15.设椭圆012222babyax的右焦点为1F，右准线为1l，若过1F且垂直于x轴的弦长等于点1F到1l的距离，则椭圆的率心率是_____

16.在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有___________种（用数字作答）

17.若正数a、b满足,3baab则ab的取值范围是______________

18.、 是两个不同的平面，m、n是平面及 之外的两条不同直线，给出四个论断：

①m⊥n ②⊥ ③n⊥ ④m⊥

以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个．．命题：________________________________

三、解答题：本大题共6小题；共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（本小题满分10分） 解不等式1,01log22log3aaxxaa

20.（本小题满分12分）

设复数.sin2cos3iz求函数20argzy的最大值以及对应的值.

21.（本小题满分12分）

如图，已知正四棱柱1111DCBAABCD，点E在棱DD1上，截面EAC∥BD1，且面EAC与底面ABCD所成的角为.,45aAB

Ⅰ.求截面EAC的面积；

Ⅱ.求异面直线11BA与AC之间的距离；

Ⅲ.求三棱锥EACB1的体积.

22.（本小题满分12分）

右图为一台冷轧机的示意图.冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.

Ⅰ.输入带钢的厚度为，输出带钢的厚度为，若每对轧辊的减薄率不超过0r.问冷轧机至少需要安装多少对轧辊？

（一对轧辊减薄率输入该对的带钢厚度从该对输出的带钢厚度输入该对的带钢厚度）

Ⅱ.已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600.mm若第k对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为.kL为了便于检修，请计算1L、2L、3L并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗）.

轧锟序号k 1 2 3 4

疵点间距kL（单位：mm） 1600

23.（本小题满分14分）

已知函数xfy的图像是自原点出发的一条折线，当,2,1,01nnyn 时，该图像是斜率为nb的线段（其中正常数1b），设数列nx由,2,1nnxfn定义.

Ⅰ.求1x、2x和nx的表达式；

Ⅱ.求xf的表达式，并写出其定义域；

Ⅲ.证明：xfy的图像与xy的图像没有横坐标大于1的交点.

24.（本小题满分14分）

如图，给出定点00,aaA和直线Bxl.1:是直线l上的动点，BOA的角平分线交AB于点C.求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.

1999年普通高等学校招生全国统一考试

数学试题（理工农医类）参考解答

一、选择题（本题考查基础知识和基础运算）.

1. C 2. A 3. A 4. C 5. B 6. B 7. B 8. A 9. C

10. D 11.B 12. D 13.D 14. C

二、填空题（本题考查基本知识和基本运算）.

15. 21 16. 12 17. ,9

18. nmnm,,或nmnm,,

三、解答题

19. 本小题主要考查对数函数的性质、对数不等式、无理不等式解法等基础知识，考查分类讨论的思想.

解：原不等式等价于

①

②

③ .01log2,1log22log3,02log32xxxxaaaa

由①得,32logxa

由②得,43logxa或1logxa，

由③得.21logxa

由此得,43log32xa 或.1logxa

当1a时得所求的解是

axxaxax||4332；

当10a时得所求的解是

.0||3243axxaxax

20.本小题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基础知识，考查综合运用所学数学知识解决问题的能力.

解：由20得.0tg

由sin2cos3iz得2arg0z及

.32cos3sin2argtgtgz

故 zyargtgtg

232132tgtgtg

,231tgtg

因为,6223tgtg 所以.126231tgtg

当且仅当2023tgtg时，即26tg时，上式取等号.

所以当26arctg时，函数ytg取得最大值.126

由zyarg得.2,2y由于在2,2内正切函数是递增函数，函数y也取最大值.126arctg

21.本小题主要考查空间线面关系、二面角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力.

Ⅰ. 解：如图，连结BD交AC于O，连结EO

因为底面ABCD是正方形，

所以DO⊥AC

又因为ED⊥底面AC，

因为EO⊥AC

所以∠EOD是面EAC与底面AC所成二面角的平面角.

所以，45EOD

.45sec22,2,22aaEOaACaDO

故.222aSEAC

II. 解：由题设1111DCBAABCD是正四棱柱，得AA1⊥底面AC，AA1⊥AC，

又AA1⊥,11BA

所以AA1是异面直线11BA与AC间的公垂线.