高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线及其标准方程作业2 北师大版选修1-1

尚水作品 亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……

学 习 资 料 专 题

2.3.1 双曲线及其标准方程

[A.基础达标]

1．已知双曲线C的右焦点为F(3，0)，ca＝32，则C的标准方程是( )

A.x24－y25＝1 B.x24－y25＝1

C.x22－y25＝1 D.x22－y25＝1

解析：选B.由题意可知c＝3，a＝2，b＝c2－a2＝32－22＝5，故双曲线C的标准方程为x24－y25＝1.

2．“3

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A.方程x2m－5＋y2m2－m－6＝1表示双曲线的充要条件是(m－5)(m2－m－6)<0，即(m－5)(m－3)·(m＋2)<0.

解得m<－2或3

“3

3．已知△ABP的顶点A，B分别为双曲线C：x216－y29＝1的左、右焦点，顶点P在双曲线C上，则|sin A－sin

B|sin P的值等于( )

A.7 B.74

C.54 D.45

解析：选D.|sin A－sin B|sin P＝||PB|－|PA|||AB|＝2a2c＝ac＝45.

4．已知F1，F2为双曲线x2－y2＝2的左，右焦点，点P在该双曲线上，且|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝( )

A.14 B.35

C.34 D.45 尚水作品 解析：选C.双曲线方程可化为x22－y22＝1，a＝b＝2，c＝2，由|PF1|＝2|PF2|，|PF1|－|PF2|＝22得|PF2|＝22，|PF1|＝42，又因为|F1F2|＝2c＝4，

在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1||PF2|＝（42）2＋（22）2－422×42×22＝34.

5．如图，△ABC外接圆半径R＝1433，∠ABC＝120°，BC＝10，弦BC在x轴上且y轴垂直平分BC边，则过点A且以B，C为焦点的双曲线的方程为( )

A.x29－y216＝1(x＜0) B.x216－y29＝1(x＜0)

C.x212－y213＝1(x＜0) D.x215－y210＝1(x＜0)

解析：选B.由正弦定理：|AC|sin ∠ABC＝2R，得|AC|＝14.

由余弦定理：|AC|2＝|BC|2＋|AB|2－2|BC||AB|cos ∠ABC，得|AB|＝6，

所以|||AC|－|AB|＝8＝2a，得a＝4，

因为c＝5，所以b＝3，

所以该双曲线的方程为x216－y29＝1(x＜0)．

6．若双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点为(0，3)，则k的值为________．

解析：依题意，双曲线方程可化为y2－8k－x2－1k＝1，已知一个焦点为(0，3)，所以－8k－1k＝9，解得k＝－1.

答案：－1

7．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点分别为F1(－2，0)，F2(2，0)，点P(3，7)在双曲线上，则双曲线的方程为________．

解析：因为|PF1|＝42，|PF2|＝22，所以|||PF1|－|PF2|＝2a＝22，即a＝2，

又因为c＝2，所以b＝c2－a2＝2，所以该双曲线的方程为x22－y22＝1.

答案：x22－y22＝1

8．已知F为双曲线C：x29－y216＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若|PQ|＝16，点A(5，0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．

解析：显然点A(5，0)为双曲线的右焦点．由题意得，|FP|－|PA|＝6，|FQ|－|QA|＝6，两式相加，利用双曲线的定义得|FP|＋|FQ|＝28，所以△PQF的周长为|FP|＋|FQ|＋|PQ|＝44.

答案：44

9．设圆C与两圆(x＋5)2＋y2＝4，(x－5)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．求圆心C的轨迹L的方程． 尚水作品 解：依题意得两圆的圆心分别为F1(－5，0)，F2(5，0)，

从而可得|CF1|＋2＝|CF2|－2或|CF2|＋2＝|CF1|－2，

所以||CF2|－|CF1||＝4<|F1F2|＝25，

所以圆心C的轨迹是双曲线，其中a＝2，c＝5，b2＝c2－a2＝1，

故圆心C的轨迹L的方程是x24－y2＝1.

10．双曲线x29－y216＝1的两个焦点为F1，F2，点P在双曲线上．若PF1⊥PF2，求点P到x轴的距离．

解：设P点坐标为(x0，y0)，而F1(－5，0)，F2(5，0)，则PF1→＝(－5－x0，－y0)，PF2→＝(5－x0，－y0)．

因为PF1⊥PF2，所以PF1→·PF2→＝0，

即(－5－x0)(5－x0)＋(－y0)·(－y0)＝0，

整理，得x20＋y20＝25.①

又因为P(x0，y0)在双曲线上，

所以x209－y2016＝1.②

联立①②，得y20＝25625，即|y0|＝165.

因此点P到x轴的距离为165.

[B.能力提升]

1．如图，从双曲线x23－y25＝1的左焦点F引圆x2＋y2＝3的切线FP交双曲线右支于点P，T为切点，M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|－|MT|等于(

)

A.3

B.5

C.5－3 D.5＋3

解析：选C.|OM|－|MT|＝12|PE|－(|MF|－|FT|)

＝|FT|－12(|PF|－|PE|)

＝5－12×23

＝5－3.

2．已知P为双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I是△PF1F2的内心，若S△IPF1＝S△IPF2＋λS△IF1F2成立，则λ的值为( )

A.a2＋b22a B.aa2＋b2

C.ba D.ab

解析：选B.设△PF1F2的内切圆半径为r. 尚水作品 则S△IPF1＝12|PF1|r，S△IPF2＝12|PF2|r，

S△IF1F2＝12|F1F2|r，

由S△IPF1＝S△IPF2＋λS△IF1F2得

λ|F1F2|＝|PF1|－|PF2|＝2a，

即λ·2c＝2a得λ＝ac＝aa2＋b2 .

3．若点P在曲线C1：x216－y29＝1上，点Q在曲线C2：(x－5)2＋y2＝1上，点R在曲线C3：(x＋5)2＋y2＝1上，则|PQ|－|PR|的最大值是________．

解析：连接PC2并延长交C2于点Q0，连接PC3交C3于点R0.

|PQ|－|PR|≤|PQ 0|－|PR0|＝(|PC2|＋1)－(|PC3|－1)＝|PC2|－|PC3|＋2＝2a＋2＝10.

答案：10

4．已知双曲线的方程为x2－y24＝1，如图，点A的坐标为(－5，0)，B是圆x2＋(y－5)2＝1上的点，点C为其圆心，点M在双曲线的右支上，则|MA|＋|MB|的最小值为________．

解析：设D(5，0)，则A、D为双曲线的两个焦点，连接BD，MD，由双曲线的定义，得|MA|－|MD|＝2a＝2.

所以|MA|＋|MB|＝2＋|MB|＋|MD|≥2＋|BD|，又点B是圆x2＋(y－5)2＝1上的点，圆的圆心为C(0，5)，半径为1，故|BD|≥|CD|－1＝10－1，从而|MA|＋|MB|≥2＋|BD|≥10＋1，

当点M，B在线段CD上时上式取等号，即|MA|＋|MB|的最小值为10＋1.

答案：10＋1

5．已知双曲线过P1(－2，325)和P2(437，4)两点，求双曲线的标准方程．

解：法一：当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)．

由P1，P2在双曲线上，

知（－2）2a2－（325）2b2＝1，（437）2a2－42b2＝1， 尚水作品 解之得1a2＝－116，1b2＝－19.舍去；

当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)．

由P1，P2在双曲线上，知（325）2a2－（－2）2b2＝1，42a2－（437）2b2＝1，

解之得1a2＝19，1b2＝116，即a2＝9，b2＝16.

故所求双曲线的标准方程为y29－x216＝1.

法二：设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，

由P1，P2在双曲线上，

知（－2）2m＋（325）2n＝1，（437）2m＋42n＝1，

解得m＝－116，n＝19，故所求双曲线的标准方程为y29－x216＝1.

6．(选做题)设点P到点M(－1，0)，N(1，0)的距离之差为2m，到x轴，y轴的距离之比为2，求m的取值范围．

解：设点P的坐标为(x，y)，依题意，有|y||x|＝2，

即y＝±2x(x≠0)．

所以点P(x，y)，M(－1，0)，N(1，0)三点不共线，

所以||PM|－|PN||<|MN|＝2.

又因为||PM|－|PN||＝2|m|>0，

所以0<|m|<1.

所以点P在以M，N为焦点的双曲线上，且a2＝m2，c2＝1，

所以b2＝1－m2，

所以x2m2－y21－m2＝1.①

把y＝±2x(x≠0)代入①，得x2＝m2（1－m2）1－5m2.

因为1－m2>0，所以1－5m2>0，

解得0<|m|<55，

所以m的取值范围为－55，0∪0，55. 尚水作品