2019届江西省重点中学高三下学期第一次联考数学(文)试题(word版)
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- 1 - 2019届江西省重点中学高三下学期第一次联考
高三数学试卷（文科）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案填涂在答题卡上.）
1.是虚数单位， 则( )
A. 2 B. C. 4 D.
【答案】B
2.集合，，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
3.经调查，某市骑行共享单车的老年人、中年人、青年人的比例为1:3:6，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中中年人数为12人，则n=（ ）
A. 30 B. 40 C. 60 D. 80
【答案】B
4.“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当时，f(x)=，，则实数（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
6.已知等差数列中，，则数列的前2018项和为（ ）
A. 1008 B. 1009 C. 2017 D. 2018
【答案】D
7.已知点为圆上一点，,则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
8.已知函数，且，则的最小值为（ ） - 2 - A. B. C. D.
【答案】C
9.某几何体的三视图如图所示，若该几何体中最长的棱长为 ，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
10.已知分别是椭圆的上下两个焦点，若椭圆上存在四个不同点,使得的面积为，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
11.在平面四边形中，，，，现沿对角线折起，使得平面平面，则此时得到的三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
12.已知函数,若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
第Ⅱ卷（非选择题，共80分）
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡上）
13.已知向量，，则向量在上的投影为_________．
【答案】 - 3 - 14.在平面直角坐标系中，若满足约束条件，则的最大值为____.
【答案】
15.若过定点的直线与曲线相交不同两点，，则直线的斜率的取值范围是__________．
【答案】
16.在如图所示的四边形区域中，，，,现园林绿化师计划在区域外以为边增加景观区域,当时，景观区域面积的最大值为____.
【答案】
三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.）
（一）必考题：共60分.
17.已知正项数列是公差为的等差数列，且是与的等比中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】(1) (2)
【解析】
【详解】（1）∵数列是公差为的等差数列，
∴
∴又是与的等比中项，
，
∴解得舍掉）
故数列的通项公式为
，
【点睛】本题考查求数列通项公式，数列求和，注意的提系数，和裂项后剩余几项是易错点. - 4 - 18.进入月份，香港大学自主招生开始报名，“五校联盟”统一对五校高三学生进行综合素质测试，在所有参加测试的学生中随机抽取了部分学生的成绩，得到如图所示的成绩频率分布直方图：
（1）估计五校学生综合素质成绩的平均值；
（2）某校决定从本校综合素质成绩排名前名同学中，推荐人参加自主招生考试，若已知名同学中有名理科生，2名文科生，试求这3人中含文科生的概率.
【答案】(1) 平均值为 (2)
【解析】
【分析】
（1）利用频率分布直方图平均值公式求解即可；（2）由列举法，从6人中选出3人，所有的可能的结果共20种， 含有文科学生的有16种，求解即可.
【详解】（1）依题意可知：
，
所以综合素质成绩的的平均值为.
（2）设这名同学分别为其中设为文科生，
从6人中选出3人，所有的可能的结果
共20种，
其中含有文科学生的有
16种
所以含文科生的概率为.
【点睛】本题考查频率分布直方图平均值，古典概型，是基础题，注意运算平均值要准确. - 5 - 19.如图，在三棱锥中，面，∠BAC=，且=1，过点作平面，分别交于点.
（1）若求证：为的中点；
（2）在（1）的条件下，求点到平面的距离．
【答案】(1)见证明(2)
【解析】
【分析】
（1）取中点，连接,证明面，进而，；（2）利用等体积转化即可.
【详解】（1）取中点，连接
∵∴，
∵ 面，
∴，又
为的中点，为的中点
（2）设点到平面的距离为，
∵为的中点，
又，，∴， - 6 - ∵ ∴
又，，AM=，
可得边上的高为，
∴
由
∴h=
【点睛】本题考查线面垂直的判定，点到面的距离，是中档题，熟练运用定理性质,及求是关键.
20.已知动圆过定点,且在轴上截得的弦长为，设该动圆圆心的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）直线过曲线的焦点，与曲线交于、两点，且,都垂直于直线，垂足分别为，直线与轴的交点为,求证为定值.
【答案】(1) (2)见证明
【解析】
【分析】
（1）设动圆圆心坐标为C(x,y)，由题意得，能求出曲线方程；（2）设代入
【详解】（Ⅰ）设动圆圆心坐标为C(x,y)，根据题意得
，
化简得
（Ⅱ）设，,由题意知的斜率一定存在设，
则，得所以，，
，
又
- 7 - =
【点睛】本题考查轨迹方程，直线与抛物线位置关系，面积公式及定值问题，是综合题，要注意转化为以FQ为底比较简便.
21.已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）令，若对任意的，恒有成立，求实数的最大整数.
【答案】（1）见解析（2）7
【解析】
【分析】
（1）讨论和两种情况；（2）由 成立转化为，分离k,构造函数求最值即可.
【详解】（1）此函数的定义域为，
（1）当时， 在上单调递增，
（2）当时， 单调递减， 单调增
综上所述：当时，在上单调递增
当时， 单调递减， 单调递增.
（2）由（Ⅰ）知
恒成立，则只需恒成立，
则
，
令则只需
则 单调递减，
单调递增，
即的最大整数为
【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，求最值，考查双变元恒成立问题，综合性强,第二问转化为是关键.
（二）选考题（共10分.请考生在第22、23题中任选一道．．．．作答，如果多做，则按所做的第1题计分.） - 8 - 22.在平面直角坐标系中，直线过点，且倾斜角为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（Ⅰ）写出直线的参数方程及曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线与曲线交于，两点，且弦的中点为，求的值.
【答案】(1) (2)2+2
【解析】
【分析】
(1)利用直线参数方程公式，及极坐标与直角坐标互化即可求解；（2）将直线参数方程公式代入圆的普通方程，利用韦达定理及中点参数
【详解】(1)直线的参数方程为：为参数），
曲线的直角坐标方程为：
（2）直线的参数方程代入得：
【点睛】本题考查直线参数方程，极坐标与直角坐标互化，直线与圆的位置关系，是基础题，注意弦中点参数t=
23.已知函数.
（Ⅰ）解关于的不等式；
（Ⅱ）若，的解集非空，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
试题分析：第一步根据解含绝对值不等式，化为两个一元二次不等式分别解出，找出不等式的解集，第二步写出关于的不等式，得到不等式等价于的解集非空，根据“极值原理”，只需大于的最小值，根据绝对值三角不等式求出最值，得到的取值范围.
试题解析：
（1）原不等式可化为：
即：或
由得或 - 9 - 由得或
综上原不等式的解为或
（2）原不等式等价于的解集非空，
令，即，
由，所以，
所以.
【点睛】解含有绝对值的不等式有三种方法，第一种只含有一个绝对值符号，一般使用公式：，；第二种不等式两边均有一个绝对值符号的，可采用两边平方；第三种含有两个绝对值符号的一般采用零点分区间讨论，利用定义讨论去掉绝对值符号是一种解决绝对值问题的通法，必须灵活会用，分离参数，利用“极值原理”求参数的取值范围是常见题型常用方法.
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