高三数学高考一轮复习专题：集合

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- 1 - / 11 集 合

一．课标要求：

1．集合的含义与表示

（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；

（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；

2．集合间的基本关系

（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；

（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义；

3．集合的基本运算

（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；

（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；

（3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。

二．命题走向

有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主，分值5分。

三．要点精讲

1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。

（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作Aa；若b不是集合A的元素，记作Ab；

（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；

确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；

互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；

无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；

（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；

列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；

描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。

具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）X围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

（4）常用数集及其记法：

非负整数集（或自然数集），记作N；

正整数集，记作N*或N+； word

- 2 - / 11 整数集，记作Z；

有理数集，记作Q；

实数集，记作R。

2．集合的包含关系：

（1）集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作AB（或BA）；

集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若AB且BA，则称A等于B，记作A=B；若AB且A≠B，则称A是B的真子集，记作AB；

（2）简单性质：1）AA；2）A；3）若AB，BC，则AC；4）若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集（其中2n－1个真子集）；

3．全集与补集：

（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U；

（2）若S是一个集合，AS，则，SC=}|{AxSxx且称S中子集A的补集；

（3）简单性质：1）SC(SC)=A；2）SCS=，SC=S。

4．交集与并集：

（1）一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集。交集}|{BxAxxBA且。

（2）一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。}|{BxAxxBA或并集。

注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。

5．集合的简单性质：

（1）;,,ABBAAAAA

（2）;,ABBAAA

（3）);()(BABA

（4）BBABAABABA;；

（5）SC（A∩B）=（SCA）∪（SCB），SC（A∪B）=（SCA）∩（SCB）。

四．典例解析

题型1：集合的概念

例1．设集合},4121|{ZkkxxA，若29x，则下列关系正确的是（ ）

A．AxB．AxC．Ax}{D．Ax}{ word

- 3 - / 11 解：由于4124121kk中12k只能取到所有的奇数，而41829中18为偶数。则AA}29{,29。选项为D；

点评：该题考察了元素与集合、集合与集合之间的关系。首先应该分清楚元素与集合之间是属于与不属于的关系，而集合之间是包含与不包含的关系。

例2．设集合P={m|－1＜m≤0}，Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0对任意实数x恒成立}，则下列关系中成立的是（ ）

A．PQB．QPC．P=QD．P∩Q=Q

解：Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0对任意实数x恒成立＝，对m分类：

①m=0时，－4＜0恒成立；

②m＜0时，需Δ=（4m）2－4×m×（－4）＜0，解得m＜0。

综合①②知m≤0，

∴Q={m∈R|m≤0}。

答案为A。

点评：该题考察了集合间的关系，同时考察了分类讨论的思想。集合Q中含有参数m，需要对参数进行分类讨论，不能忽略m=0的情况。

题型2：集合的性质

例3．（2000某某，1）已知集合A={1，2，3，4}，那么A的真子集的个数是（ ）

A．15 B．16 C．3 D．4

解：根据子集的计算应有24－1=15（个）。选项为A；

点评：该题考察集合子集个数公式。注意求真子集时千万不要忘记空集是任何非空集合的真子集。同时，A不是A的真子集。

变式题：同时满足条件：①};5,4,3,2,1{M②若MaMa－则6,，这样的集合M有多少个，举出这些集合来。

答案：这样的集合M有8个。

例4．已知全集32{1,3,2}Sxxx，A={1,21x}如果}0{ACS，则这样的实数x是否存在？若存在，求出x，若不存在，说明理由。

解：∵}0{ACS；

∴AS00且，即322xxx＝0，解得1230,1,2xxx

当0x时，112x，为A中元素；

当1x时，Sx312

当2x时，213xS

∴这样的实数x存在，是1x或2x。

另法：∵}0{ACS word

- 4 - / 11 ∴AS00且，3A

∴322xxx＝0且213x

∴1x或2x。

点评：该题考察了集合间的关系以及集合的性质。分类讨论的过程中“当0x时，112x”不能满足集合中元素的互异性。此题的关键是理解符号}0{ACS是两层含义：AS00且。

变式题：已知集合2{,,2},{,,}AmmdmdBmmqmq，0m其中,AB且,求q的值。

解：由BA可知，

（1）22mqdmmqdm，或（2）mqdmmqdm22

解（1）得1q，

解（2）得21,1qq或，

又因为当1q时，2mqmqm与题意不符，

所以，21q。

题型3：集合的运算

例5．（06全国Ⅱ理，2）已知集合M＝｛x|x＜3}，N＝｛x|log2x＞1｝，则M∩N＝（ ）

A．B．｛x|0＜x＜3}C．｛x|1＜x＜3}D．｛x|2＜x＜3}

解：由对数函数的性质，且2>1，显然由1log2x易得),2(B。从而)3,2(BA。故选项为D。

点评：该题考察了不等式和集合交运算。

例6．（06某某理，1）设集合22,AxxxR，2|,12Byyxx，则RCAB等于（ ）

A．RB．,0xxRxC．0D．

解：[0,2]A，[4,0]B，所以{0}RRCABC，故选B。

点评：该题考察了集合的交、补运算。

题型4：图解法解集合问题

例7．（2003某某春，5）已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|x≥a}，且AB，则实数a的取值X围是_____。

解：∵A={x|－2≤x≤2}，B={x|x≥a}，又AB，利用数轴上覆盖关系：如图所示，因此有a≤－2。 图 word

- 5 - / 11 点评：本题利用数轴解决了集合的概念和集合的关系问题。

例8．（1996全国理，1）已知全集I＝N*，集合A＝｛x｜x＝2n，n∈N*｝，B＝｛x｜x＝4n，n∈N｝，则（ ）

A．I＝A∪BB．I＝（ICA）∪B

C．I＝A∪（ICB）D．I＝（ICA）∪（ICB）

解：方法一：ICA中元素是非2的倍数的自然数，ICB中元素是非4的倍数的自然数，显然，只有Ｃ选项正确.

方法二：因A＝｛2，4，6，8…｝，B＝｛4，8，12，16，…｝，所以ICB＝｛1，2，3，5，6，7，9…｝，所以I＝A∪ICB，故答案为Ｃ.

方法三：因BA，所以（IC）A（IC）B，（IC）A∩（ICB）＝ICA，故I＝A∪（ICA）＝A∪（ICB）。

方法四：根据题意，我们画出Venn图来解，易知BA，如图：可以清楚看到I=A∪（ICB）是成立的。

点评：本题考查对集合概念和关系的理解和掌握，注意数形结合的思想方法，用无限集考查，提高了对逻辑思维能力的要求。

题型5：集合的应用

例9．向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人。问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？

解：赞成A的人数为50×53=30，赞成B的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A；赞成事件B的学生全体为集合B。

设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为3x+1,赞成A而不赞成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A的人数为33－x。依题意(30－x)+(33－x)+x+(3x+1)=50,解得x=21。所以对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人。

点评：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握。本题主要强化学生的这种能力。解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来。本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索。画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系。

例10．求1到200这200个数中既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的图

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