勾股定理十道典型题

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.下载可编辑. 《勾股定理》典型例题分析

一、知识要点：

1、勾股定理

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么 a2 + b2= c2。公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。

2、勾股定理的逆定理

如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理.

该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：

① 已知的条件：某三角形的三条边的长度.

②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.

③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.

④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。

3、勾股数

满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。常见勾股数有：

（3，4，5 ）(5，12，13 ) ( 6，8，10 ) ( 7，24，25 ) ( 8，15，17 )(9，12，15 )

4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。

二、考点剖析

考点一：利用勾股定理求面积

1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．

2. 如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．

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3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、S3，则它们之间的关系是（ ）

A. S1- S2= S3 B. S1+ S2= S3 C. S2+S3< S1 D. S2- S3=S1

- 1 - CABD 勾股定理典型题归类

类型一：等面积法求高

【例题】如图，△ABC中，∠ACB=900，AC=7，BC=24，CD⊥AB于D。

（1）求AB的长；

（2）求CD的长。

类型二：面积问题

【例题】如下图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。

【练1】如上右图，每个小方格都是边长为1的正方形，（1）求图中格点四边形ABCD的面积和周长。（2）求∠ADC的度数

【练2】如图，四边形ABCD是正方形，AE⊥BE，且AE=3，BE=4，阴影部分的面积是______.

【练3】如图字母B所代表的正方形的面积是

类型三：距离最短问题

【例题】 如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？

A B C

D

7cm A

B D

C E B16925A B

C D L

- 2 - 【例题】如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？

【练1】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．

【练2】如图，边长为1的立方体中，一只蚂蚁从A顶点出发沿着立方体的外表面爬到B顶点的最短路程是（ ）

A、3 B、 C、 D、1

【练3】如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高 为20cm，点B到点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短距离是多少？

勾股定理典型练习题(含答案)

1.勾股定理典型练题

勾股定理是几何中的一个重要定理。在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载。如图1所示，由边长相等的小正方形和直角三角形构成，可以用其面积关系验证勾股定理。图2是由图1放入矩形内，已知AC = 4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为多少？

已知AB = 3，得到∠BAC = 90°。根据勾股定理，BC = 5.所以矩形KLMJ的面积为 4 × 5 + 3 × 4 = 32.因此，答案为C。

2.勾股定理典型练题

XXX所示，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形。若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是多少？

根据图中所示，正方形E的边长为2，所以面积为2 × 2 =

4.因此，答案为C。

3.勾股定理典型练题

如图所示，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E，F是AD上的两点。则图中阴影部分的面积是多少？

首先，根据勾股定理，AC = 4，BC = 4，AB = 4√2.因此，三角形ABC的面积为 4√2 × 4 / 2 = 8√2.由于三角形ADE和三角形ABF相似，所以ADE的面积是ABF的面积的一半。同理，三角形BDF和三角形BCE相似，所以BDF的面积是BCE的面积的一半。因此，阴影部分的面积为 8√2 - 2 × 2 - 2 ×

1 = 8√2 - 6.因此，答案为C。

4.勾股定理典型练题

如图所示，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为多少？

根据图中所示，正方形a和正方形c的边长分别为√5和√11.因此，正方形b的边长为√11 - √5，所以面积为(√11 - √5)²

= 6.因此，答案为C。

5.勾股定理典型练题

如图所示，分别以直角△ABC的三边AB、BC、CA为直径向外作半圆，设直线AB左边阴影部分面积为S1，右边阴影部分面积为S2，则S1和S2的大小关系是什么？

勾股定理练习题

一、基础达标：

1. 下列说法准确的是（ ）

A.若 a、b、c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2；

B.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2；

C.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，90A，则a2＋b2＝c2；

D.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，90C，则a2＋b2＝c2．

2. Rt△ABC的三条边长分别是a、b、c，则下列各式成立的是（ ）

A．cba B. cba C. cba D. 222cba

3． 如果Rt△的两直角边长分别为k2－1，2k（k >1），那么它的斜边长是（ ）

A、2k B、k+1 C、k2－1 D、k2+1

4. 已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为（ ）

A.直角三角形 B.等腰三角形

C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形

5． 直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ）

A．121 B．120 C．90 D．不能确定

6． △ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（ ）

A．42 B．32 C．42 或 32 D．37 或 33

7.※直角三角形的面积为S，斜边上的中线长为d，则这个三角形周长为（ ）

（A）22dSd （B）2dSd

（C）222dSd （D）22dSd

8、在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是(3,4)，则OP的长为（ ）A：3 B：4 C：5 D：7

9．若△ABC中，AB=25cm，AC=26cm高AD=24,则BC的长为（ ）