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勾股定理 典型例题

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例1 如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm和8cm，那么这个三角形的周长和面积分别是多少?

思路与技巧 这里知道了直角三角形的两条边的长度，应用勾股定理可求出第三条边的长度，再求周长．但题中未指明已知的两条边是两条直角边还是一直角边一斜边，因此要分两种情况讨论．

解答 分两种情况：

（1）当两条直角边是6cm和8cm时，根据勾股定理得

斜边长cm108622

所以周长＝6＋8＋10＝24(cm)

面积2248621cm

(2)当斜边为8cm，一直角边为6cm(斜边大于直角边)时，

根据勾股定理得

另一直角边cm726822

所以周长cm72147286

面积27667221cm

例2 如图19—11是一只圆柱形的封闭易拉罐，它的底面半径为4cm，高为15cm，问易拉罐内可放的搅拌棒(直线型)最长可以是多长?

思路与技巧 搅拌棒在易拉罐中的位置可以有多种情形，如图中的BA1、BA2，但它们都不是最长的，根据实际经验，当搅拌棒的一个端点在B点，另一个端点在A点时最长，此时可以把线段AB放在Rt△ABC中，其中BC为底面直径．

解答 如图19—11，当搅拌棒在AB位置时最长，过B画底面直径BC，则在Rt△ABC中， AC＝15cm， BC＝4×2＝8cm

根据勾股定理得

cmBCACAB178152222

所以可放的最长搅拌棒为17cm．

例3 已知直角三角形的一直角边为9，另两边的长为整数，求三角形的周长．

思路与技巧 根据勾股定理，知道直角三角形一直角边可以得出斜边和另一直角边之间的关系，再由这两边的长为整数可以推出两边的长，当然这里不需要分别求出，只要求出另两边的和就可以了．

解答 设斜边为c，另一直角边为a，由勾股定理得2229ac．

即(c＋a)(c－a)＝81．

又因为c、a为正整数，所以c＋a，c－a也是正整数，且c＋a＞c－a.

因为81＝81×l＝27×3

所以c＋a＝81或c＋a＝27(c－a＝1或c－a＝3)

所以a＋b＋c＝81＋9＝90或27＋9＝36．

即三角形的周长为90或36．

例4 已知单位长度为“1”，画一条线段，使它的长为29．

思路与技巧 29是无理数，用以前的方法不易准确画出表示长为29的线段，但由勾股定理可知，两直角边分别为5、2的直角三角形的斜边长为292522.

解答 画直角三角形ABC，使∠ACB＝90°，AC＝2(单位长度)，BC＝5(单位长度)．则29AB(单位长度)．如图19—12．

例5 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了lm，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．

思路与技巧 由题意可知绳子比旗杆多lm，把下端拉开5m后，下端刚好接触地面，这时，旗杆AB、绳子AC、旗杆底点B与绳接触地面的点C所连结的线段BC构成直角三角形．如图19—13如果设旗杆AB＝xm，则绳长AC＝(x＋1)m.

解答 设旗杆高为xm，则绳子长(x＋1)m在Rt△ABC中，AB＝x，AC＝x＋l，BC＝5根据勾股定理得

222BCABAC

即22251xx

mx12

所以旗杆的高度为12m．

例6 如图19—14，已知CB＝9，AB＝17，AC＝10，AD⊥BC于D．求AD的长．

思路与技巧 无论把AD放在直角△ADC还是在直角△ADB中，都不易直接利用勾股定理计算AD，必须先求出CD的长才能解决问题，要求CD的长，可设CD＝x，设法找到关于x的方程，通过解方程的方法求出未知的CD长．题中的AD可作为“桥梁”列出方程．

解答 如图19—14，设CD＝x，在直角△ADC中，

2222210xCDACAD

在直角△ABD中， 22222917xBDABAD

所以222291710xx

解x＝6

所以861022AD．

例7 如图19—15分别以直角三角形的三边为边长向外作正三角形，试探索三个正三角形面积间的关系．

思路与技巧 首先应探索出正三角形的面积与正三角形的边长之间的关系，然后可设出

解答 设正三角形DEF的边长为m，如图19—16．过D作DH⊥EF于H，则2mEH(三线合一)．在直角△DEH中，mmmDH23222．所以

2432321mmmSDEF．即等边三角形的面积等于43边长的平方．

因此可设直角△ABC的三边AB＝c，AC＝b，BC＝a

所以243b、243c、243a．

又因为a，b，c为直角三角形的三边，故222cba 所以

即

例8 如图19—17是一只长方形的火柴盒ABCD，把它推倒后到DCBA的位置，试用这一图形的变化探索勾股定理的正确性．

思路与技巧 火柴盒由ABCD的位置推倒后到DCBA的位置，可以看做是长方形ABCD绕A点逆时针旋转90°后到达DCBA的，所以90CCA，如图19—17．

解答 设火柴盒ABCD的两边长分别为a与b，对角线长为c，推倒后的火柴盒是DCBA．

一方面，直角梯形DCBC，的面积2222121babaabba

另一方面，直角梯形DCBC又是由两个完全相同的三角形（ADCABC与）和一个等腰直角三角形CCA组成的，所以该直角梯形的面积又等于

22221212121cabcabab

两相比较，可得222cba．

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勾股定理知识点和典型例题

勾股定理知识点和典型例题

一步行，千里亦能行！----小常 新人教版八年级下册勾股定理全章知识点和典型例习题

一、基础知识点：

１．勾股定理

内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么222abc

勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方

２.勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法

用拼图的方法验证勾股定理的思路是

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变

②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理

常见方法如下：

方法一：4EFGHSSS正方形正方形ABCD，2214()2abbac，化简可证．

方法二：

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422Sabcabc 大正方形面积为222()2Sabaabb 所以222abc方法三：1()()2Sabab梯形，2112S222ADEABESSabc梯形，化简得证

３.勾股定理的适用范围

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形

４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC中，90C，则22cab，22bca，22acb②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题

八年级下册勾股定理典型例题

八年级下册勾股定理典型例题

D 人教版数学第十七章《勾股定理》必刷题

如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面24米．

（1）这个梯子底端离墙有多少米？

（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗？

如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）

细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．

OA22=21+1=2，1S=12； OA32=12+22=3，2S=22； OA42=12+23=4，3S=32…

（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变规律：OAn2= ；Sn= ．

（2）求出OA10的长．

（3）若一个三角形的面积是5，计算说明他是第几个三角形？

（4）求出S12+S22+S32+…+S102的值．

如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了1003km到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了100km到达目的地C点，求出A、C两点之间的距离．

如图，小丽想知道自家门前小河的宽度，于是她按以下办法测出了如下数据：小丽在河岸边选取点A，在点A的对岸选取一个参照点C，测得∠CAD=30°；小丽沿岸向前走30m选取点B，并测得∠CBD=60°．请根据以上数据，用你所学的数学知识，帮小丽计算小河的宽度．

60°30°DBAC

小明、小华在一栋电梯楼前感慨楼房真高．小明说：“这楼起码20层！”小华却不以为然：“20层？我看没有，数数就知道了！”小明说：“有本事，你不用数也能明白！”小华想了想说：“没问题！让我们来量一量吧！”小明、小华在楼体两侧各选A、B两点，测量数据如图，其中矩形CDEF表示楼体，AB=150米，CD=10米，∠A=30°，∠B=45°，（A、C、D、B四点在同一直线上）问：

《勾股定理》典型例题折叠问题

《勾股定理》典型例题折叠问题

第1页—总4页 1 《勾股定理》典型例题折叠问题

1、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于（ ）

A. 425 B. 322 C. 47 D. 35

2、如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC•于M，交AB于N，若AC=4，MB=2MC，求AB的长．

3、折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,求CF 和EC。

4、如图，在长方形ABCD中，DC=5，在DC边上存在一点E，沿直线AE把△ABC折叠，使点D恰好在BC边上，设此点为F，若△ABF的面积为30，求折叠的△AED的面积

DCBAFE A

B C E

F D

第2页—总4页 2

5、如图，矩形纸片ABCD的长AD=9㎝，宽AB=3㎝，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长是多少？

6、如图，在长方形ABCD中，将ABC沿AC对折至AEC位置，CE与AD交于点F。

（1）试说明：AF=FC；（2）如果AB=3，BC=4，求AF的长

7、如图2所示，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D正好落在BC边上F点处，已知CE=3cm，AB=8cm，则图中阴影部分面积为_______．

8、如图2-3，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C′的位置上，已知AB=•3，BC=7，重合部分△EBD的面积为________．

第3页—总4页 3

9、如图5，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G。如果M为CD边的中点，求证：DE：DM：EM=3：4：5。

《勾股定理》典型例题折叠问题 2

《勾股定理》典型例题折叠问题 2

《勾股定理》典型例题折叠问题

第1页—总6页 1 《勾股定理》典型例题折叠问题

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《勾股定理》典型例题折叠问题

第2页—总6页 2 《勾股定理》典型例题折叠问题

1、如图,有一张直角三角形纸片,两直角边AC=6，BC=8，将△ABC折叠,使点B与点A重合，折痕为DE,则CD等于（ ）

A。 B. C。 D.

2、如图所示，已知△ABC中，∠C=90°,AB的垂直平分线交BC•于M，交AB于N，若AC=4,MB=2MC，求AB的长．

3、折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处，已知AB=8CM,BC=10CM,求CF 和EC。

4、如图,在长方形ABCD中，DC=5,在DC边上存在一点E,沿直线AE把△ABC折叠,使点D恰好在BC边上，设此点为F，若△ABF的面积为30，求折叠的△AED的面积 4253224735 《勾股定理》典型例题折叠问题

第3页—总6页 3

5、如图，矩形纸片ABCD的长AD=9㎝，宽AB=3㎝，将其折叠，使点D与点B重合,那么折叠后DE的长是多少?

6、如图,在长方形ABCD中，将ABC沿AC对折至AEC位置，CE与AD交于点F。

（1）试说明：AF=FC；(2)如果AB=3，BC=4，求AF的长

7、如图2所示，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D正好落在BC边上F点处，已知CE=3cm,AB=8cm，则图中阴影部分面积为_______．