第１９卷第１期 ２００７年３月 甘肃科学学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｇａｎｓｕ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ Ｖｏ１．１９ ＮＯ．１ Ｍａｒ．２００７
一类线性常微分方程的有界变差解
张 迪，李宝麟
（西北师范大学数学与信息科学学院．甘肃兰州 ７３００７０）
摘要： 利用比Ｌｅｂｅｓｇｕｅ积分更广泛的Ｈｅｎｓｔｏｃｋ积分及其性质讨论了线性常微分方程有界变差
解的性质，并建立了线性常微分方程有界变差解的整体存在及唯一性定理． 关键词： 线性常微分方程；Ｈｅｎｓｔｏｃｋ积分；有界变差解 ．
中图分类号：Ｏ１７５．６ 文献标识码： Ａ 文章编号：１００４—０３６６（２００７）０１—００３４—０５
Ｂｏｕｎｄｅｄ Ｖａｒｉａｔｉｏｎａｌ Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ａ Ｃｌａｓｓ ｏｆ Ｌｉｎｅａｒ Ｏｒｄｉｎａｒｙ
Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ
ＺＨＡＮＧ Ｄｉ。Ｌｌ Ｂａｏ—ｌｉｎ （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｎｏｒｔｈｗｅｓｔ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｌａｎｚｈｏｕ ７３００３０，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｅｔ： Ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｂｏｕｎｄｅｄ ｖａｒｉａｔｉｏｎａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｌｉｎｅａｒ ｏｒｄｉｎａｒｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｔｈｅ ｇｌｏｂａｌ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ａｎｄ ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ ｔｈｅｏｒｅｍ ｏｆ ｂｏｕｎｄｅｄ ｖａｒｉａｔｉｏｎａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｌｉｎｅａｒ
ｏｒｄｉｎａｒｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ Ｈｅｎｓｔｏｃｋ ｉｎｔｅｇｒａｌ ａｎｄ ｉｔｓ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｌｉｎｅａｒ ｏｒｄｉｎａｒｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ；Ｈｅｎｓｔｏｃｋ ｉｎｔｅｇｒａｌ；ｂｏｕｎｄｅｄ ｖａｒｉａｔｉｏｎａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ
实用文档. 实变函数与泛函分析概要
第一章 集合 根本要求：
1、 理解集合的包含、子集、相等的概念和包含的性质。
2、 掌握集合的并集、交集、差集、余集的概念及其运算性质。
3、 会求集合的并、交、差、余集。
4、 了解对等的概念及性质。
5、 掌握可数集合的概念和性质。
6、 会判断己知集合是否是可数集。
7、 理解基数、不可数集合、连续基数的概念。
8、了解半序集和Zorn引理。
第二章 点集 根本要求：
1、 理解n维欧氏空间中的邻域、区间、开区间、闭区间、体积的概念。
2、 掌握内点、聚点的概念、理解外点、界点、孤立点的概念。掌握聚点的性质。
3、 掌握开核、导集、闭区间的概念及其性质。
4、 会求己知集合的开集和导集。
5、 掌握开核、闭集、完备集的概念及其性质，掌握一批例子。
6、 会判断一个集合是非是开〔闭〕集，完备集。
7、 了解Peano曲线概念。
主要知识点：一、根本结论：
1、 聚点性质§2 中T1聚点原那么：
P0是E的聚点 P0的任一邻域内，至少含有一个属于E而异于P0的点存在E中互异的点列{Pn}，使Pn →P0 〔n→∞〕
2、 开集、导集、闭集的性质§2 中T2、T3实用文档. T2：设A⊂B，那么A⊂B，·Ａ⊂·Ｂ，－Ａ⊂－Ｂ。
T3：〔A∪B〕′=A′∪ B′.
3、 开〔闭〕集性质〔§3中T1、2、3、4、5〕
T1：对任何E⊂Rⁿ，Ė是开集，E´和―Ｅ都是闭集。〔Ė称为开核，―Ｅ称为闭包的理由也在于此〕
T2：〔开集与闭集的对偶性〕设E是开集，那么CE是闭集；设E是闭集，那么CE是开集。
T3：任意多个开集之和仍是开集，有限多个开集之交仍是开集。
T4：任意多个闭集之交仍是闭集，有限个闭集之和仍是闭集。
T5：〔Heine-Borel有限覆盖定理〕设F是一个有界闭集，ℳ 是一开集族{Ui}iєI它覆盖了F〔即Fс ∪ ｉєＩUi〕，那么 ℳ 中一定存在有限多个开集U1，U2…Um，它们同样覆盖了F〔即F⊂ｍ∪ Ui〕〔iєI〕
安徽广播电视大学学报２００７年第１期 关于囿变数列及其特征的若干注记 胡 玲 （安徽广播电视大学黄山分校，安徽黄山 ２４５０００） 摘要：囿变数列又称为有界变差数列，在函数论中有广泛的应用。本文主要对囿变数列的特征作一些探讨， 我们发现：它与单调数列关系密切，而且与有界变差函数十分类似，并得出如下关系：有界数列类二＝）收 敛数列类＝＝）囿变数列＝＝）单调有界数列。 关键词：囿变数列；有界变差函数；单调数列 中图分类号：Ｏ１７４．１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００８—６０２１（２００７）０１—０１２５—０２ 囿变数列又称为有界变差数列，在分析学有广泛 的应用。其定义如下： 定义１设有数列｛ｚ ｝，若存在实数Ｃ，使得 ｌ ｚ２一ｚ１ Ｉ＋Ｉ Ｘ３一ｚ２ ｌ＋……＋ｌ ｚ 一ｚ，ｒ１ Ｉ＜Ｃ， （ 一２，３……）， 则称数列（ｚ ｝为囿变数列（或有界变差数列）。 本文对囿变数列的特征作了一些探讨，我们发现：它 与单调数列关系密切，而且与有界变差函数十分类似。 命题１若｛ｚ ｝为囿变数列，那么｛ｚ ｝一定是收 敛数列。 证明：设｛ｚ ｝为囿变数列，则存在实数Ｃ，使得对 任何 ，有 Ｓ 一∑Ｉ ｚ抖 一ｚ ｌ＜Ｃ， ：１ 易知｛Ｓ ）单增且有上界，从而收敛。 于是对任意ｅ＞０， Ｎ＞０，Ｖｎ＞Ｎ，Ｖ ∈Ｎ＋，有 ｌ ｚ抖☆一ｚ Ｉ—Ｉ ｚ抖１一ｚ ＋ｚ抖２一ｚ件１＋…… ＋ｚ井ｐ—ｚ抖 １ ｌ≤Ｉ ｚ抖１一ｚ Ｉ＋ｌ ｚ抖２一ｚ抖１ Ｉ ＋……＋Ｉ ｚ计ｐ—ｚ计 １ ｌ—ｌ Ｓ计ｐ—Ｓ Ｉ＜￡， 由柯西收敛准则知（ｚ ｝收敛。 推论１若｛ ｝为囿变数列，则｛ｚ ｝必为有界数列。 推论２ ｛ｚ ｝为囿变数列岛级数∑（ｚ ＋ 一ｚ ） ｎ ｌ 绝对收敛。 证明：事实上，由Ｓ 一∑ｌ ｚ ＋ ～ｚ ｌ收敛， 一ｌ ∑Ｉｚ ＋ 一ｚ Ｉ收敛，即级数∑（ｚ ＋ 一ｚ ）绝对收敛； ｎ＝１ ｎ十１ 反之亦然。 收稿日期：２００６—１１—３Ｏ 作者简介：胡玲（１９６９一），女，安徽寿县人，讲师，研究生同等学力。 注１：由上证明还可推出： ｌｉｍｘ 一∑（ｚ ＋１一ｚ ）－－Ｘ１。 Ｈ—－ｏｏ Ｈ＝１ 这是因为∑Ｉｚ 一ｚ 一１ Ｉ—ｚ 一ｚ１。 ＝ｌ 注２：若定义Ｓｕｐ｛Ｓ ｝一Ｓｕｐ ｆ∑ｌ ｘｉ＋ 一ｚ ｌ ｌ— Ｖ（ｘ ）为数列｛ｚ ｝的全变差，则易推得以下推论。 推论３ ｛ｚ ｝为囿变数列 （ｚ ）＜＋ｏ。，且有 ｌｉｍＳ 一Ｖ（ｚ ）。 注３：收敛数列未必是囿变数列，例如数列１，０， １／，ｖ／２，０，１／，ｖ／－３，……为以零为极限的收敛数列，但不 是囿变数列。事实上， ｆ ｚ２～ｚ１ ｆ＋ｆ ｚ３一ｚ２ ｆ＋……＋ｆ ｚ ＋ｚ，ｒ１ ｆ： １＋１／ ＋１／ ＋……＋１／ ， 而易证数列Ｕ ：１＋１ ＋１ ＋……＋１ 是发 散且递增的，故 Ｊ ２一 １ Ｊ＋Ｊ ３一ｚ２ Ｊ＋……＋Ｊ ｚ 一ｚ １ Ｊ 无界，即１，０，１／ ，０，１／ｖｒ３，……不是囿变数列。 命题２若｛ｚ ｝为单增（减）有界数列，则｛ｚ ｝必 为囿变数列。 证明：不妨设｛ｚ ｝单增有界，因为∑Ｊ ｚ 一ｚＨ Ｊ ＝１ 一∑（ｚ －－Ｘ 一１）一ｚ －二－ｚ１＜Ｍ—ｚ１ Ｃ，即｛ｚ ｝为囿 ＝ｌ 变数列。 注４：命题２的逆不成立。例如：数列１，０，１／２， ０，１／２ ，…… 易验证其为囿变数列，显然它不是单调数列。
(完整版)高一函数大题训练含答案
一、解答题
1．已知aR，当0x时，21logfxax.
（Ⅰ）若函数fx过点1,1，求此时函数fx的解析式；
（Ⅱ）若函数22loggxfxx只有一个零点，求实数a的值；
（Ⅲ）设0a，若对任意实数1,13t，函数fx在,1tt上的最大值与最小值的差不大于1，求实数a的取值范围.
2．（附加题，本小题满分10分，该题计入总分）
已知函数()yfx，若在区间2,2内有且仅有一个0x，使得0()1fx成立，则称函数()fx具有性质M．
（1）若()sin2fxx，判断()fx是否具有性质M，说明理由；
（2）若函数2()221fxxmxm具有性质M，试求实数m的取值范围．
3．已知函数21()|1|,R.fxxx我们定义211312()(()),()(()),,fxffxfxffx11()(()).nnfxffx其中2,3,.n
（1）判断函数1()fx的奇偶性，并给出理由；
（2）求方程13()()fxfx的实数根个数；
（3）已知实数0x满足00()(),ijfxfxm其中1,01.ijnm求实数m的所有可能值构成的集合.
4．已知函数yfx，若存在实数,0mkm，使得对于定义域内的任意实数x，均有mfxfxkfxk成立，则称函数fx为“可平衡”函数，有序数对,mk称为函数fx的“平衡”数对.
（1）若1m，判断sinfxx是否为“可平衡”函数，并说明理由；
（2）若aR，0a，当a变化时，求证：2fxx与2xgxa的“平衡”数对相同；
（3）若12,mmR，且1,2m、2,4m均为函数2cosfxx的“平衡”数对.当04x时，求2212mm的取值范围.
