考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编15(题后含答案及解析)

考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编15 (题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1． [2002年] 设X1和X2是两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为f1(x)和．f2(x)，分布函数分别为F1(x)和F2(x)，则( )．

A．f1(x)+f2(x)必为某一随机变量的概率密度

B．F1(x)F2(x)必为某一随机变量的分布函数

C．F1(x)+F2(x)必为某一随机变量的分布函数

D．f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度

正确答案：B

解析：解一 由命题3．2．1．2知，仅(B)入选． 解二 F1(x)F2(x)=P(X1≤x)P(X2≤x)=P(X1≤x，X2≤x)． 取X=max{X1，X2)，并由于P(X1≤x，X2≤x)=P(max{X1，X2)≤x)，则由定义可知，F1(x)F2(x)必为随机变量X=max{X1，X2}的分布函数．仅(B)入选． 解三 因故(A)不正确． 又故(C)错误． 取Xi在区间[0，2]上服从均匀分布，则于是有 因而(D)也不成立．仅(B)入选． 注：命题3．2．1．2 若F1(x)，F2(x)，…，Fn(x)分别是随机变量X1，X2，…，Xn的分布函数，则也是分布函数，且是随机变量max{X1，X2，…，X2)的分布函数． 知识模块：概率论与数理统计

2． [2011年] 设F1(x)与F2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度f1(x)与f2(x)是连续函数，则必为概率密度的是( )．

A．f1(x)f2(x)

B．2f2(x)F1(x)

C．f1(x)F2(x)

D．f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)

正确答案：D

解析：解一 因f1(x)，f2(x)，F1(x)，F2(x)分别为随机变量的密度函数与分布函数，故f1(x)≥0，f2(x)≥0，0≤F1(x)≤1，0≤F2(x)≤1，所以f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)≥0．而 故f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)为概率密度．仅(D)入选． 解二 由题设有则

f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)=F1’(x)F2(x)+F1(x)F2’(x)=(F1(x)F2(x))’． 因F1(x)F2(x)为随机变量max{X1，X2)的分布函数(见命题3．2．1．2)，故其导数f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)必为随机变量max{X1，X2}的概率密度．仅(D)入选． 注：命题3．2．1．2 若F1(x)，F2(x)，…，Fn(x)分别是随机变量X1，X2，…，Xn的分布函数，则也是分布函数，且是随机变量max{X1，X2，…，X2)的分布函数． 知识模块：概率论与数理统计

3． [2018年] 设随机变量X的概率密度f(x)满足f(1+x)=f(1－x)，且则P{X≤0}=( ).

A．0．2

B．0．3

C．0.4

D．0.5

正确答案：A

解析：因为f(1+x)=f(1－x)，所以f(x)的图形关于x=1对称，因此 P(x≤0)=P(x≥2)． 又因为所以P(x≤0)+P(x≥2)=2P(x≤0)=1－0．6=0．4， 从而P(x≤0)=0．2，故选(A)． 知识模块：概率论与数理统计

4． [2010年] 设随机变量X的分布函数则P(X=1)=( )．

A．0

B．1／2

C．1／2－e-1

D．1－e－1

正确答案：C

解析：因P(X=1)=P(X≤1)－P(X＜1)=F(1)－F(1－0)，而故P(X=1)=1－e－1－1／2=1／2－e-1．仅(C)入选． 知识模块：概率论与数理统计

5． [2013年] 设X1，X2，X3是随机变量，且X1～N(0，1)，X2～N(0，22)，X3～N(5，32)，pi=P{－2≤Xi≤2)(i=1，2，3)，则( )．

A．p1＞p2＞p3

B．p2＞p1＞p3。

C．p3＞p1＞2

D．p1＞p3＞p2

正确答案：A

解析：解一 p1=P{－2≤X1≤2}=Φ(2)－Φ(－2)=2Φ(2)－1；

因Φ(x)为单调增函数，故p1=2Φ(2)－1＞2Φ(1)－1=p2． 又因为Φ(1)－Φ(－1)＞68％，故 p2=Φ(1)－Φ(－1)＞0．5＞Φ(－1)＞Φ(－1)－=p3. 综上有p1＞p2＞p3．仅(A)入选． 解二 利用正态分布的密度函数的图形，不需计算也能判定正确选项．由于pj=P(－2≤Xj≤2)，即X1，X2，X3的积分区间一样长，但由于σj不一样，即σ1＜σ2＜σ3，这就决定了它们的分散程度不一样，从而可判定p1＞p2>p3．关于X3～N(5，32)，则表示该曲线的峰值在X=5处，因此在[-2，2]之间的概率就会更小． 知识模块：概率论与数理统计

6． [2010年] 设f1(x)为标准正态分布的概率密度，f2(x)为[－1，3]上均匀分布的概率密度．若为概率密度，则a，b应满足( )．

A．2a+3b=4

B．3a+2b=4

C．a+b=1

D．a+b=2

正确答案：A

解析：由题设有又f(x)为概率密度，故即 即2a+3b=4．仅(A)入选． 知识模块：概率论与数理统计

7． [2004年] 设随机变量X服从正态分布N(0，1)，对给定的α(0uα)=α．若P(|X| 对照Φ(uα)=1－α知，上式中的x=u(1－α)/2．仅(C)入选． 解二 为判定P(|X|＜x)=α中的x等于四个数中的哪一个，只需将P(|x|＜x)=α化成P(X＞x)等于上述四数中的某一个即可．事实上，因X～N(0，1)，其曲线关于y轴对称，故对任意正实数a，均有 因而 比较P(X>uα)=α即知上式中x=u(1-α)/2．仅(C)入选． 解三 设X的概率密度函数的图形如图3．2．4．3所示，阴影部分的面积为α，即P(|X|＜x)=α，整个面积(总面积)为1，由对称性知阴影部分两边的面积相等，且等T(1－α)／2，即P(X＞x)=(1－α)／2=P(X＜－x)．比较P(X>uα)=α，便知x=u(1－α)/2．仅(C)入选． 解四 因X服从标准正态分布N(0，1)，其曲线关于y轴对称，故有P(X＞a)=P(X＜－α)．于是有 α=P(|X|＜x)=1－P(|X|≥x)=1－[P(X≥x)+P(X≤－x)]=1－2P(X≥x)．则P(X≥x)=(1－α)／2．由题设有P(X＞uα)=α，比较得到x=u(1－α)/2．仅(C)入选． 注：3．2．3．2 (5)若X服从标准正态分布，其分布函数为Φ(x)，则 P(|x|≤a)=2Φ(a)=1， Φ(0)=0．5． 知识模块：概率论与数理统计

8． [2006年] 设随机变量X服从正态分布N(μ1，σ12)，Y服从正态分布N(μ2，σ22)，且P(|X－μ1|＜1)>P(|Y－μ2|＜1)，则( )．

A．σ1＜σ2

B．σ1＞σ2

C．μ1＜μ2

D．μ1＞μ2

正确答案：A

解析：因 于是由题设 P(|Xμ1|＜1)＞P(|Y－μ2|＜1). 得到 2Φ(1／σ1)－1＞2Φ(1／σ2)－1， 即 Φ(1／σ1)＞Φ(1／σ2)． 标准正态分布的分布函数Φ(x)为严格单调增加函数，这是因为对任意实数x，都有故由Φ(1／σ1)＞Φ(1／σ2)得到1／σ1＞1／σ2即σ2＞σ1．仅(A)入选． 知识模块：概率论与数理统计

9． [2008年] 设随机变量X，Y独立同分布，且X的分布函数为F(x)，则Z=max(X，Y)的分布函数为( )．

A．F2(x)

B．F(x)F(y)

C．1－[1－F(x)]2

D．[1－F(x)][1－F(y)]

正确答案：A

解析：解一 因X与Y同分布，故y的分布函数也是F(x)．由命题3．2．5．2(2)知，Fmax(x)=F(x)F(y)=F2(x)．仅(A)入选． 解二 仅(A)入选．设Z的分布函数为FZ(x)，则 FZ(x)=P(Z≤x)=P(max(X，Y)≤x)=P(X≤x，Y≤x)．因X，Y独立同分布，故 FZ(x)=P(X≤x)P(Y≤x)=F(x)F(x)=F2(x)． 解三 仅(A)入选．因Z的分布函数为一元函数，而非二元函数，故不能选(B)、(D)．又因选项(C)为min(X，Y)的分布函数．事实上，有 P(min(X，Y)≤x)=1－P(min(X，Y)＞x)=1－P(X＞x，Y＞x)=1－P(X＞x)P(Y＞x) =1－[1－P(X≤x)][1－P(Y≤x)]=1－[1－F(x)][1一F(y)] =1－[1－F(x)]2． 注：命题3．2．5．2

(2)当X1，X2，…，Xn相互独立且有相同分布函数F(z)时，有 Fmax(z)=[F(z)]n，

Fmin(z)=1－[1－F(z)]n． 知识模块：概率论与数理统计

填空题

10． [2008年] 设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则P(X=E(X2))=___________．

正确答案：e－1／2

解析：由X服从参数为1的泊松分布知，E(X)=D(X)=1．因而E(X2)=D(X)+[E(X)]2=1+1=2．又因X服从λ=1的泊松分布，有 P(X=k)=λkeλ／k!， 故P(X=2)=12e-1／2!=e-1／2． 知识模块：概率论与数理统计

11． [2004年] 设随机变量X服从参数为λ的指数分布，则

正确答案：e－1

解析：解一 由题设知D(X)=1／λ2，由命题3．2．3．2(4)即得 或 解二 由题设X的分布函数为则 注：命题3．2．3．2 (4)若X服从参数为λ的指数分布，其中λ＞0，a＞0，则 P(X＞a)=e-λa，P(X＜a)=1－e－λa． 知识模块：概率论与数理统计

12． [2006年] 设随机变量X，Y相互独立，且均服从区间[0，3]上的均匀分布，则P(max(X，Y)≤1)=__________．

正确答案：1／9

解析：解一 由X，Y相互独立，得到 P(max(X，Y)≤1)=P(X≤1，Y≤1)=P(X≤1)P(Y≤1)=P(0≤X≤1)P(0≤Y≤1)．因X，Y在[0，3]上服从均匀分布，所以 P(0≤X≤1)=(1－0)／(3-0)=1／3， P(0≤Y≤1)=(1－0)／(3-0)=1／3，故P(max(X，Y)≤1)=1／9． 解二 因X，Y独立，故 解三

因随机变量X与Y独立，且都在[0，3]上服从均匀分布．由命题3．3．4．1知，(X，Y)在区域G={(x，y)|0≤x≤3，0≤y≤3)上服从二维均匀分布． 令G1={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}(见图3．3．4．1)，则由命题3．3．4．2或由几何型概率得到P(max(X，Y)≤1)=P(X≤1，Y≤1) =SG1／SG=(1×1)／(3×3)=1／9． 知识模块：概率论与数理统计