人教版八年级上册数学 《第十一章 三角形》单元检测题(含答案)
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第十一章 三角形 单元测试
一、选择题
1. 如图,∠1=20∘,∠2=25∘,∠𝐴=35∘,则 ∠𝐷 的度数为 ( )
A. 60∘ B. 70∘ C. 80∘ D. 无法确定 2. 如图,∠𝐶𝐺𝐸=𝛼,则 ∠𝐴+∠𝐵+∠𝐶+∠𝐷+∠𝐸+∠𝐹 的度数为 ( )
A. 360∘−𝛼 B. 270∘−𝛼 C. 180∘+𝛼 D. 2𝛼
3. 如图,∠1+∠2+∠3+∠4 的度数为 ( )
A. 180∘ B. 270∘ C. 360∘ D. 540∘ 4. 如图,𝐵𝐸 是 ∠𝐴𝐵𝐷 的平分线,𝐶𝐹 是 ∠𝐴𝐶𝐷 的平分线,𝐵𝐸,𝐶𝐹 相交于点 𝐺．若 ∠𝐵𝐷𝐶=140∘,∠𝐵𝐺𝐶=110∘,则 ∠𝐴 的度数是 ( )
A. 70∘ B. 75∘ C. 80∘ D. 85∘
二、填空题
5. 将一副直角三角尺按如图所示的方式摆放,点 𝐶 在 𝐸𝐹 上,𝐴𝐶 经过点 𝐷．已知 ∠𝐴=∠𝐸𝐷𝐹=90∘,𝐴𝐵=𝐴𝐶,∠𝐸=30∘,∠𝐵𝐶𝐸=40∘,则 ∠𝐶𝐷𝐹= ．
6. 如图,在 △𝐴𝐵𝐶 中,∠𝐵=∠𝐶,𝐹𝐷⊥𝐵𝐶,𝐷𝐸⊥𝐴𝐵,∠𝐴𝐹𝐷=158∘,则 ∠𝐸𝐷𝐹= ．
7. 如图,∠𝐴+∠𝐵+∠𝐶+∠𝐷+∠𝐸= ．
8. 如图,𝑀 是 △𝐴𝐵𝐶 两个内角平分线的交点,𝑁 是 △𝐴𝐵𝐶 两个外角平分线的交点．如果
∠𝐶𝑀𝐵:∠𝐶𝑁𝐵=3:2,那么 ∠𝐶𝐴𝐵= ．
三、解答题
9. 如图①,在 △𝐴𝐵𝐶 中,𝐴𝐷⊥𝐵𝐶 于点 𝐷,𝐶𝐸⊥𝐴𝐵 于点 𝐸．
（1）猜测 ∠1 与 ∠2 的关系,并说明理由．
（2）如果 ∠𝐴𝐵𝐶 是钝角,如图②,（1）中的结论是否还成立?请说明理由．
10. 如图,在折纸活动中,小明制作了一张三角形纸片 𝐴𝐵𝐶,点 𝐷,𝐸 分别在边 𝐴𝐵,𝐴𝐶 上,将 △𝐴𝐵𝐶 沿 𝐷𝐸 折叠压平,使点 𝐴 与点 𝐴ʹ 重合．
（1）若 ∠𝐴=75∘,则 ∠1+∠2= ；
（2）若 ∠𝐴=𝛼,求 ∠1+∠2 的度数．
11. “8 字”的性质及应用；
（1）如图 ①,𝐴𝐷,𝐵𝐶 相交于点 𝑂,得到一个“8 字”𝐴𝐵𝐶𝐷．求证：∠𝐴+∠𝐵=∠𝐶+∠𝐷．
（2）图 ② 中共有多少个“8 字”?
（3）如图 ②,∠𝐴𝐵𝐶 和 ∠𝐴𝐷𝐶 的平分线相交于点 𝐸,利用（1）中的结论证明 ∠𝐸=12(∠𝐴+∠𝐶)．
12. 如图,在 △𝐴𝐵𝐶 中,∠𝐴𝐵𝐶,∠𝐴𝐶𝐵 的平分线相交于点 𝐹．
（1）若 ∠𝐴𝐵𝐶=40∘,∠𝐴𝐶𝐵=50∘,求 ∠𝐵𝐹𝐶 的度数；
（2）若 ∠𝐴=70∘,求 ∠𝐵𝐹𝐶 的度数；
（3）若 ∠𝐵𝐹𝐶=120∘,求 ∠𝐴 的度数；
（4）根据上述信息,试探究 ∠𝐴 与 ∠𝐵𝐹𝐶 之间的数量关系,并说明理由．
答案
1. C
2. D
3. C
4. C
5. 25∘
6. 68∘
7. 180∘
8. 36∘
9. （1） ∠1=∠2．
理由：∵ 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶,𝐶𝐸⊥𝐴𝐵,
∴ △𝐴𝐵𝐷 和 △𝐵𝐶𝐸 是直角三角形．
∴ ∠1+∠𝐵=90∘,∠2+∠𝐵=90∘．
∴ ∠1=∠2．
（2） 结论还成立．
理由：∵ 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶,𝐶𝐸⊥𝐴𝐵,
∴ ∠𝐷=∠𝐸=90∘．
∴ ∠1+∠𝐶𝐵𝐸=90∘,∠2+∠𝐷𝐵𝐴=90∘．
∵ ∠𝐷𝐵𝐴=∠𝐶𝐵𝐸,
∴ ∠1=∠2．
10. （1） 150∘
（2） 由折叠的性质,可知 ∠𝐴𝐸𝐷=∠𝐴ʹ𝐸𝐷,∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐴ʹ𝐷𝐸,
∴ 2∠𝐴𝐸𝐷+∠1=180∘,2∠𝐴𝐷𝐸+∠2=180∘．
∴ 2(∠𝐴𝐸𝐷+∠𝐴𝐷𝐸)+(∠1+∠2)=360∘．
又 ∵ ∠𝐴+∠𝐴𝐸𝐷+∠𝐴𝐷𝐸=180∘,
∴ 2(180∘−∠𝐴)+∠1+∠2=360∘．
∴ ∠1+∠2=2∠𝐴=2𝛼．
11. （1） 在 △𝑂𝐴𝐵 中,∠𝐴+∠𝐵=180∘−∠𝐴𝑂𝐵；
在 △𝑂𝐶𝐷 中,∠𝐶+∠𝐷=180∘−∠𝐶𝑂𝐷．
∵∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐶𝑂𝐷,
∴∠𝐴+∠𝐵=∠𝐶+∠𝐷；
（2） 图 ② 中共有 6 个“8 字”；
（3） 在“8 字”𝐴𝐵𝐸𝐷 中,∠𝐸+∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐴+∠𝐴𝐵𝐸； ⋯⋯①
在“8 字”𝐸𝐵𝐶𝐷 中,∠𝐸+∠𝐸𝐵𝐶=∠𝐶+∠𝐸𝐷𝐶． ⋯⋯②
由 ①+②,得 2∠𝐸+∠𝐴𝐷𝐸+∠𝐸𝐵𝐶=∠𝐴+∠𝐶+∠𝐴𝐵𝐸+∠𝐸𝐷𝐶．
∵𝐸𝐷 平分 ∠𝐴𝐷𝐶,𝐸𝐵 平分 ∠𝐴𝐵𝐶,
∴∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐸𝐷𝐶,∠𝐸𝐵𝐶=∠𝐴𝐵𝐸．
∴2∠𝐸=∠𝐴+∠𝐶,
即 ∠𝐸=12(∠𝐴+∠𝐶)．
12. （1） ∵𝐵𝐷 平分 ∠𝐴𝐵𝐶,
∴∠𝐹𝐵𝐶=12∠𝐴𝐵𝐶=20∘,
∵𝐶𝐸 平分 ∠𝐴𝐶𝐵,
∴∠𝐹𝐶𝐵=12∠𝐴𝐶𝐵=25∘,
∴∠𝐵𝐹𝐶=180∘−∠𝐹𝐵𝐶−∠𝐹𝐶𝐵=135∘．
（2） 由（1）,得
∠𝐵𝐹𝐶=180∘−(∠𝐹𝐵𝐶+∠𝐹𝐶𝐵)=180∘−12(∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐴𝐶𝐵)=180∘−12(180∘−∠𝐴)=90∘+12∠𝐴=90∘+12×70∘=125∘.
（3） 由（2）,得 ∠𝐵𝐹𝐶=90∘+12∠𝐴,
∴120∘=90∘+12∠𝐴,
∴∠𝐴=60∘．
（4） ∠𝐵𝐹𝐶=90∘+12∠𝐴．
理由：
∠𝐵𝐹𝐶=180∘−(∠𝐹𝐵𝐶+∠𝐹𝐶𝐵)=180∘−12(∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐴𝐶𝐵)=180∘−12(180∘−∠𝐴)=90∘+12∠𝐴.
