职高数学职业模块(理工类人教版)教案：两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2)

《两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第二课时）》教学设计1．经历借助()C αβ-公式推导()C αβ+，()S αβ±，()T αβ±公式的过程，进一步体会公式()C αβ-的意义，发展学生逻辑推理素养．2．掌握()C αβ+，()S αβ±，()T αβ±等公式，发展学生逻辑推理、数学运算素养． 教学重点：经历从公式()C αβ-出发推导其它和角、差角公式的过程，进一步体会()C αβ-的意义．教学难点：和角与差角的正弦公式的推导；逆用公式进行恒等变换．PPT 课件． 资源引用：【知识点解析】认识两角和与差的余弦公式【知识点解析】认识两角和与差的正弦公式【知识点解析】认识两角和与差的正切公式（一）整体感知 引导语：前一节课我们根据三角函数的定义及圆的旋转对称性，借助两点间距离的坐标公式推导出了公式()C αβ-，今天我们将继续探究如何用任意角,αβ的三角函数表示cos(),sin(),tan()αβαβαβ+±±．（二）新知探究问题1：你能依据αβ+与αβ-之间的联系，利用公式()C αβ-，推导出两角和的余弦公式吗？★资源名称：【知识点解析】认识两角和与差的余弦公式★使用说明：本资源展现“认识两角和与差的余弦公式”，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．适合教师课堂进行展示讲解．注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．预设的师生活动：学生讲解其证明思路及具体证明过程，教师进行适当地点拨． 预设答案：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-(简记为()C αβ+)．设计意图：引导学生对解决目标与已学公式对比分析，寻找差异，获得新知．问题2：我们已经得到了两角和与差的余弦公式，那么怎样利用已推出公式得到正弦公式呢？以前学过的哪个公式可以实现正弦、余弦的转化呢？请你试一试．★资源名称：【知识点解析】认识两角和与差的正弦公式★使用说明：本资源展现“认识两角和与差的正弦公式”，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．适合教师课堂进行展示讲解．注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．预设的师生活动：学生思考之后按自己的想法完成证明．教师巡视，对遇到困难的学生进行引导，收集学生们的不同证法，并找相应的学生展示其证法．预设答案：诱导公式五、六可以实现正弦与余弦的转化；证明如下：ππsin()cos ()cos 22αβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫-=--=-+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦ππcos cos sin sin 22sin cos cos sin αβαβαβαβ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=- sin()sin cos cos sin αβαβαβ∴-=-(简记为()S αβ-)．然后用β-替换上式中的β可得sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+(简记为()S αβ+)．以上只是其中一种证法．设计意图：引导学生根据目前的公式与新目标之间的差异，制定方案，完成新公式的推导．问题3：你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从()()S ,C αβαβ±±出发，推导出用任意角,αβ的正切表示tan(),tan()αβαβ+-的公式吗？★资源名称：【知识点解析】认识两角和与差的正切公式★使用说明：本资源展现“认识两角和与差的正切公式”，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．适合教师课堂进行展示讲解．注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．预设的师生活动：学生思考之后按自己的想法完成证明并展示．预设答案：证明顺序有两种，即先证和角正切公式，或先证差角正切公式；先证的公式直接由相应角的正弦与余弦相除即可，后证的公式除相除之外，还可以借助先证出的公式证明．如先证和角正切：sin()tan()cos()αβαβαβ++=+ sin cos cos sin sin cos cos sin cos cos cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos cos cos αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ++==--tan tan 1tan tan αβαβ+=-， tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-(简记作()T αβ+)． 随后将β替换为β-，即可得到tan tan()tan tan tan()1tan tan()1tan tan αβαβαβαβαβ+---==--+，tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+ (简记作()T αβ-)． 公式()S αβ+，()C αβ+，()T αβ+给出了任意角α，β的三角函数值与其和角αβ+的三角函数值之间的关系．为方便起见，我们把这三个公式都叫做和角公式．类似地，()S αβ-，()C αβ-，()T αβ-都叫做差角公式．设计意图：通过已推导出的公式获得更多的公式，在此过程中，学会用联系的思维方式，提升学生分析问题、解决问题的能力，发展逻辑推理素养．例1 已知sin α=−35，α是第四象限角，求sin (π4−α)，cos (π4+α)，tan (α−π4)的值． 追问1：题目中给出了几个条件？你能否由这些条件出发得到新的条件？为了得到题目要求出的三个数值，我们需要借助什么工具？需要哪些数据？这些数据是否已经出现在已知条件中或可由已知条件推出？预设答案：两个条件，即角α的正弦值与角α终边所在的象限．可以根据这些条件算出α的余弦值与正切值．为了求出所求数据，需借助和角公式与差角公式．需要的数据是α的正弦、余弦、正切值，以及π4的正弦、余弦正切值．这些数据均可从条件中轻易推出．解：由sin α=−35，α是第四象限角，得cos α=√1−sin 2α=√1−(−35)2=45， 所以tan α=sin αcos α=−3545=−34． 于是有sin (π4−α)=sin π4cos α-cos π4sin α=√22×45−√22×(−35)=7√210； cos (π4+α)=cos π4cos α－sin π4sin α=√22×45−√22×(−35)=7√210； tan (α−π4)=tan α−tan π41+tan αtan π4=tan α−11+tan α=−34−11+(−34)=－7．设计意图：本题目条件简单，问题明确，可加强学生对新学公式的认知程度．另外，本题目有利于培养学生分析问题和解决问题的良好思维习惯，即先认真分析条件，适度拓展条件，在明确任务，了解前进的方向，联想解决问题需要的工具(公式、定理等)、数据，再将这些所需的条件与已知条件及拓展条件相联系，逐步拉近已知条件与待求结论的距离．追问2：如果去掉“α是第四象限角”这个条件，则答案如何？预设答案：正确答案是，当α是第三象限角时，所求的三个三角函数值依次是17-；当α是第四象限角时，7．但有些学生可能会错误表达为sin (π4−α)的值为10-或10，cos (π4+α)的值为10-或10，tan (α−π4)的值为17-或7．这种错误的表述方式增加了搭配的可能性，解答的准确性大幅下降，教师若发现学生存在这样的表达方式，应及时指出．设计意图：对题目作简单的变式，一方面可以让学生巩固相关公式，对学生渗透分类与整合的数学思想，另一方面为培养学生表述问题的准确性提供了机会，同时也对追问3做了铺垫．追问3：观察追问2两种情况下的答案，你有什么发现？在本题条件下有sin (π4−α)=cos (π4+α)．那么对于任意角α，此等式成立吗？若成立，你会用几种方法予以证明？ 预设答案：等式对任意角α都成立．证明方法有多种，如等号左右两侧分别用()()S ,C αβαβ-+展开后比较；将π4α-或者π4α+换元，然后借助诱导公式即可证明． 设计意图：通过延伸，培养学生“观察现象——提出问题——解决问题”的科学思维品质，鼓励学生多观察，多思考，多提问．激发学生的发散性思维，一题多解．例2 利用和(差)角公式计算下列各式的值：（1）sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°；（2）cos 20°cos 70°－sin 20°sin 70°；（3）sin 66°sin 54°－sin 36°sin 24°；（4）1+tan 15°1−tan 15°．追问：以上4个问题有什么结构特征？你是否在某些公式中见到过这样的结构特征？ 预设答案：前3个问题都含有四个三角函数值，其中两个的乘积与另外两个的乘积作差，在正弦、余弦的和角与差角公式的等号右侧有过类似的结构特征；第4个问题仅含正切值，为分式形式，且分母中有常数1，与和角正切公式结构相似．设计意图：引导学生发现题目的结构特征，并联想相关公式，为解决问题提供了方向与线索．解：（1）由公式S (α-β)， sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°=sin(72°－42°) =sin 30°=12； （2）由公式C (α+β)，得cos 20°cos 70°－sin 20°sin 70°=cos(20°+70°) =cos 90°=0；（3）(方法一) sin 66°sin 54°－sin 36°sin 24°= cos24° cos 36°－sin 36°sin 24°，由公式C (α+β)，原式=cos(36°+24°)=cos60°=12； (方法二) sin 66°sin 54°－sin 36°sin 24°= sin 66°cos36°－cos 66°sin 36°，由公式S (α-β)，原式=sin(66°-36°)=sin 30°=12；（4）由公式T (α+β)及tan 45°=1，得1+tan 15°1−tan 15°=tan 45°+tan 15°1−tan 45°tan 15°=tan(45°+15°) =tan 60°=√3． 设计意图：本题目主要考察公式的逆用，即从公式的右侧出发，变形到左侧的恒等变换方式．适度训练之后，学生对公式会有更全面，更深刻的理解．本题目中的（1）（2）是简单的公式反用，（3）的灵活度更上了一个台阶，学生需要借助诱导公式，变更函数名称，以凑成公式右侧的形式，再加以解决，解答（4）时，需要以退为进，逆向化归，将1代换成tan 45，这个变形技巧在例3中出现过，已经作过了铺垫．（三）归纳小结问题4：这两节课的内容中出现了很多性质和公式，它们之间具有怎样的推出关系？你能画一个结构图来反映这种关系吗？你在使用这些公式解决问题时有哪些心得体会？预设的师生活动：学生进行归纳、思考并回答．预设答案：公式中的,αβ均为任意角，故可以代换成任意值，包括零、特殊角、甚至可以是两个任意角的和或差；公式()()S ,C αβαβ±±均需要sin ,cos ,sin ,cos ααββ四个值齐备时方可使用，缺一不可，必要时需要从公式的右侧变形化简成左侧的形式；公式()T αβ±中，若,αβ之中有一个是π4，则公式的结构会更简洁． 设计意图：回顾反思，在头脑中形成思维网络．（四）作业布置教科书习题5.5第4，5，6，13题．（五）目标检测设计1．（1）已知cos θ=−35，θ∈(π2，π)，求sin (θ+π3)的值； （2）已知sin θ=−1213，θ是第三象限角，求cos (π6+θ)的值；（3）已知tan α=3，求tan (α+π4)的值． 2．求下列各式的值：（1）sin 72°cos 18°+cos 72°sin 18°； （2）cos 72°cos 12°+sin 72°sin 12°；（3）tan 12°+tan 33°1−tan 12°tan 33°； （4）cos 74°sin 14°－sin 74°cos 14°；（5）sin 34°sin 26°-cos 34°cos 26°； （6）sin 20°cos 110°+cos 160°sin 70°．3．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α=35，β是第三象限角，求sin (β+5π4)的值． 预设答案：1．（1）4−3√310；（2）12−5√326；（3）－2． 2．（1）1；（2）12；（3）1；（4）−√32；（5）−12；（6）−1．3．7√2．10设计意图：通过若干题目，促使学生巩固和角公式与差角公式，并能从正用或者逆用两个方向着手运用公式解决问题，提升学生逻辑推理与数学运算素养．。

两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2)教案教学分析1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的.在这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如比较cos(α-β)与cos(α+β),它们都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α+β=α-(-β)的关系，从而由公式C(α-β)推得公式C(α+β)，又如比较sin(α-β)与cos(α-β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式（5）（6）即可推得公式S(α-β)、S(α+.β)等2.通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.3.本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等.另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的.二、三维目标1．知识与技能：在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力.2．过程与方法：通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力.3．情感态度与价值观：通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.三、重点难点教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.四、课时安排2课时五、教学设想（一）导入新课思路1.(复习导入)让学生回忆上节课所学的六个公式，并回忆公式的来龙去脉，然后让一个学生把公式默写在黑板上或打出幻灯.教师引导学生回顾比较各公式的结构特征，说出它们的区别和联系，以及公式的正用、逆用及变形用，以利于对公式的深刻理解.这节课我们将进一步探究两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活应用.思路2.(问题导入)教师可打出幻灯，出示一组练习题让学生先根据上节课所学的公式进行解答.1.化简下列各式(1)cos （α＋β）cos β＋sin （α＋β）sin β; (2)cos sin 1tan cos sin cos sin sin 22---+--x x x x x x x ; (3).tan tan cos sin )sin()sin(2222αββαβαβα+-+ 2.证明下列各式 (1);tan tan 1tan tan )cos()sin(βαβαβαβα++=-+ (2)tan （α＋β）tan （α-β）（1-tan 2tan 2β）＝tan 2α-tan 2β; (3).sin sin )cos(2sin )2sin(αββααβα=+-+ 答案:1.(1)cos α;(2)0;(3)1.2.证明略.。

环节二 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（二）【整体感知】问题1 上一节课我们根据三角函数的定义及圆的旋转对称性，推导出了公式C (α－β)．又利用公式C (α－β)，经过角的代换，证明了部分诱导公式．接下来，我们还需要推导哪些公式？采用什么方法推导？答案：关于两角和与差的三角函数，还需要推导公式cos(α+β)，sin(α±β)，tan(α±β)，即用α，β的三角函数表示cos(α+β)，sin(α±β)，tan(α±β)．推导的方法首选利用公式C (α－β)，经过角的代换来推导．【新知探究】1．公式推导——和差角公式问题2 你能依据α+β与α－β之间的联系，利用公式C (α－β)，推导出两角和的余弦公式吗？答案：cos(α+β)=cos[α－(－β)]=cos αcos(－β)+sin αsin(－β)=cos αcos β－sin αsin β (简记为C (α+β))．问题 3 我们已经得到了两角和与差的余弦公式，那么怎样利用它们得到正弦公式呢？以前学过的哪个公式可以实现正弦、余弦的转化？请你试一试．答案：诱导公式五、六可以实现正弦与余弦的转化；证明如下：ππsin()cos ()cos 22αβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫-=--=-+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦ ππcos cos sin sin 22sin cos cos sin αβαβαβαβ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-，∴sin(α－β)=sin αcos β－cos αsin β (简记为S (α－β))．然后用－β替换上式中的β可得sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β (简记为S (α+β))．以上只是其中一种证法．问题4 你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从公式S (α±β)，C (α±β)出发，推导出用任意角α，β的正切表示tan(α+β)，tan(α－β)的公式吗？答案：证明顺序有两种，即先证两角和正切公式，或先证两角差正切公式；先证的公式可以利用同角三角函数关系，由相应角的正弦与余弦相除得到，后证的公式除使用这种方法之外，还可以借助先证出的公式证明．如先证两角和正切公式： ∵sin()tan()cos()αβαβαβ++=+ sin cos cos sin sin cos cos sin cos cos cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos cos cos αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ++==--tan tan 1tan tan αβαβ+=-， ∴tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-(简记作T (α+β))． 用－β替换上式中的β，即可得到tan tan()tan tan tan()1tan tan()1tan tan αβαβαβαβαβ+---==--+，tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+ (简记作T (α－β))． 公式S (α+β)，C (α+β)，T (α+β)给出了任意角α，β的三角函数值与其和角α+β的三角函数值之间的关系．为方便起见，我们把这三个公式都叫做和角公式．类似地，S (α－β)，C (α－β)， T (α－β)都叫做差角公式．2．公式记忆——和差角公式问题5 观察S (α±β)，C (α±β)，T (α±β)，你能从角、函数名、运算符号等方面说说它们各自的特征吗？交流完特征之后，请独立默写六个公式．答案：从角的角度，六个公式左边都是α与β的和或者差，右边都是单角α，β； 从函数名的角度，S (α±β)，C (α±β)的左右两边都是正弦和余弦，T (α±β)的左右两边都是正切；S (α±β)的右边是异名函数相乘，C (α±β)的右边是同名函数相乘；从运算符号的角度，S (α±β)的左右两边加减运算一致，C (α±β)的左右两边加减运算相反，T (α±β)的右边分子的加减与左边一致，规律与S (α±β)相同，分母的加减与左边相反，规律与C (α±β)相同．3．公式推导——倍角公式问题6 和（差）角公式中，α，β都是任意角．如果将α，β特殊化，就能得到许多有用的公式，比如诱导公式．除此之外，你还能将α，β如何特殊化，得到哪些有用的公式？答案：可以令α=β，或者β=－α从和(差)角公式出发推导公式sin2α，cos2α，tan2α． 这里推导方法有多样性．例如可以将S (α+β)中β替换为α推得S 2α，也可以由S (α－β)中的β替换为－α．而推导公式T 2α时，可以从T (α+β)出发，也可以由S 2α，C 2α相除推出．sin2α=sin(α+α)=sin αcos α+cos αsin α=2sin αcos α．cos2α=cos(α+α)=cos αcos α－sin αsin α=cos 2α－sin 2α．tan2α=tan(α+α)=αα2tan 1tan 2-． 三个公式分别简记为S 2α，C 2α，T 2α．追问 你能否将二倍角的余弦公式(C 2α)化为仅含α的正弦或仅含余弦？答案：利用同角三角函数关系sin 2α+cos 2α=1，可得cos2α=2cos 2α－1=1－2sin 2α．说明：以上五个公式都叫做二倍角公式，或倍角公式．倍角公式给出了任意角α的三角函数与2α的三角函数之间的关系．这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去．4．公式应用例1 已知sin α=－53，α是第四象限角，求sin(4π－α)，cos(4π+α)，tan(α－4π)的值． 追问1 本题求解的依据是什么？求解的思路是什么？答案：求解的依据是和差角公式．思路是先根据同角三角函数的关系求出需要的角α的三角函数值，然后利用相应的和差角公式得到结果．易错点：利用公式sin 2 α+cos 2α=1，需要开方时注意正负号的取舍．解：由sin α=－53，α是第四象限角，得cos α=α2sin 1-=2)53(1--=54， 所以tan α=435453cos sin -=-=αα． 则sin(4π－α)=sin 4πcos α－cos 4πsin α=1027)53(225422=-⨯-⨯； cos(4π+α)=cos 4πcos α－sin 4πsin α=1027)53(225422=-⨯-⨯； tan(α－4π)=7)43(1143tan 11tan 4πtan tan 14πtantan -=-+--=+-=+-αααα． 追问2 如果去掉“α是第四象限角”这个条件，则答案如何？答案：此时需要分类讨论。

教学设计一、内容及其解析1.内容: 两角和与差的正弦、余弦、正切公式2.解析: 本节课选自人教版.必修四.第三章第一节,是学习了两角差的余弦公式后的内容,其的中心任务是通过以知的两角差的余弦公式知识,探索两角和与差的正弦、余弦、正切公式，通过简单运用，使学生初步理解公式的结构.功能及其运用。

二、目标及其解析目标：1 .由两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式；2 .掌握两角和与差的三角公式的结构特点与功能；3 .能运用公式解决基本三角函数式的化简、求值、证明等问题。

解析：1.使学生经历由两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式的探究程，培养学生的探索精神；2.掌握两角和与差的三角公式的结构特点与功能，了解这些公式的内在联系；3.进一步提高学生的推理能力和运算能力，使学生体会到一般与特殊，换元等数学思想在三角恒等变换中的作用。

三、教学问题诊断分析我们在组织和引导探索公式的过程中，不仅要考虑学生学习积极性的问题，还有探索过程必需的基础知识学生是否熟练掌握的问题，运用已学知识和方法的能力问题.。

四、教学支持条件分析为了加强学生对两角和与差的正弦、余弦、正切公式的理解，帮助学生克服在学习过程中可能遇到的障碍，我将由两角差的余弦公式和诱导公式出发，推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，让学生更好的理解两角差的余弦公式的理解。

五、教学过程（一）教学基本流程问题1：在两角差余弦公式基础上我们能够直接解决章头图中的问题()tan 45α+=吗？创设情境，引出本节课研究的课题。

2．探究两角和与差的正弦、余弦、正切公式：问题2：从公式()C αβ-出发，如何探求两角和的余弦公式()C αβ+呢？引导学生从①函数名称；②角度αβ+与αβ-等方面的关系进行联想，启发从角度的形式上进行转化化归。

问题3：如何用,αβ的正、余弦来表示()sin αβ±呢？引导学生如何从()C αβ±到()S αβ±，着重从函数名称的转变上进行探索。

两角和、差正弦公式一、教学目标1.知识技能目标：理解两角和、差的正弦公式的推导过程，熟记两角和与差的正弦公式，运用两角和与差的正弦公式，解决相关数学问题。

2.过程方法与目标：培养学生严密而准确的数学表达能力；培养学生逆向思维和发散思维能力；培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。

3.情感态度价值观：通过观察、对比体会数学的对称美和谐美，培养学生良好的数学表达和思考的能力，学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。

二、教学重、难点1. 教学重点：两角和、差正弦公式的推导过程及运用；2. 教学难点：两角和与差正弦公式的灵活运用.三、教学过程（一）导入：回顾两角和与差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+． 推导：()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+．()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦特例：sin()cos 2αα∏±=3sin()cos 2αα∏±=-（二）例题讲解例1、 利用和（差）公式求︒︒15sin 75sin 和的值。

1sin 75*2224o o o o o o =+=ｏ＝sin(45+30)=sin45cos30+cos45sin301sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 302o o o o o o o =-=-==另：sin15sin(9075)cos 75o o o o =-=例2、 已知)sin()sin(),,2(,43cos ),2,0(,32sin βαβαππββπαα-+∈-=∈=与求的值。

3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式教学设计 富锦一中 陈金生教学目的：1、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式.2、了解公式间的内在联系，能用公式进行简单的求值.3、培养学生的创新意识与应用意识.教学重点：两角和与差的正弦、余弦公式及其简单应用.教学难点：1、两角和余弦与两角差余弦之间的关系2，两角和差正弦与相应的余弦之间的关系.授课类型：新授课教 具：多媒体、导学案 教 法：合作探究、启发引导 教学过程：一、 复习巩固上节课我们学习了两角差的余弦公式，可以解决类似于cos15º=cos(45º-30º) 之类问题，而cos75º=cos(45º+30º) 之类问题我们又如何解决？我们能否由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式，以及其他的三角函数公式？二、 公式推导借助于两角差的余弦公式cos(βα-)=cos αcos β+sin αsin β,则有： 思考途径一：把βα+转化为)(βα--cos(βα+)=cos[)(βα--]=cos αcos(-β)+sin αsin(-β)=cos αcos β-sin αsin β.思考途径二：把任意角β换成-βcos(βα+)=cos αcos(-β)+sin αsin(-β)=cos αcos β-sin αsin β. 即：两角和的余弦公式 cos(βα+)=cos αcos β-sin αsin β. 注意：1两角和差余弦公式的异同之处.2两角和、差余弦公式间的关系.3公式中的角具有任意性.4 cos(βα+)=cos α + cos β一定成立吗？练习1、利用和角余弦公式求下列各三角函数的值（1） cos75º （2） cos105º如何利用两角和与差的余弦公式 cos(βα+)=cos αcos β-sin αsin β和 cos(βα-)=cos αcos β+sin αsin β推导出两角和与差的正弦公式？运用公式cos(βα+)=cos αcos β-sin αsin β及诱导公式有：sin()βα+=cos[)(2βαπ+-]=cos[βαπ--)2(] =cos(απ-2)cos β+sin(απ-2)sin β= sin αcos β+cos αsin β 即：两角和的正弦公式 sin()βα+= sin αcos β+cos αsin β. 在上式中用-β代换β 得：sin()βα-= sin αcos （-β）+cos αsin （-β） 即：两角差的正弦公式 sin()βα-= sin αcos β-cos αsin β注意：1公式的推导应启发学生自己完成，老师做归纳总结.2 两公式间的关系、异同.3明确角、函数名和排列顺序以及公式中每一项的符号.4牢记公式，熟练左右互化.练习2、利用和角正弦公式求下列各三角函数的值(1) sin75º (2) sin105º如何根据两角和与差的正、余弦公式推导出利用两角和与差的正切公式？利用正切函数与正、余弦函数的关系，当cos(βα+)≠0时，将公式sin()βα+= sin αcos β+cos αsin β 与cos(βα+)=cos αcos β-sin αsin β两边分别相除，有：βαβαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin()tan(-+=++=+ 若cos αcos β≠0 时，上式即为:两角和的正切公式 βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ 用-β代换β，则有：两角差的正切公式 βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 练习3、利用和与差的正切公式求下列各三角函数的值(1) tan75º (2) tan105º注意：1、 和角公式: S )(βα+、 C )(βα+ 、 T )(βα+差角公式： S )(βα-、 C )(βα- 、 T )(βα-2、公式之间的内在联系.3、明确各三角函数的意义.4、公式的逆向变换、多向变换.5、理解公式推导中角的代换的实质.6、和差公式可看成是诱导公式的推广，诱导公式可看成是和差公式的特例 如：ααααπαπαπcos sin 0cos 1sin 2sin cos 2cos )2cos(=⋅-⋅=-=+7、形如asinx+bsinx(a 、b 不同时为0)的变化.三、例题例4：:课堂练习：1.已知()21tan ,tan ,544παββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值． 2.已知sin α－sin β＝－31, cos α－cos β＝－31,求cos(α－β)的值。

15.1 两角和与差的正弦、余弦公式教学案1.掌握用向量方法推导两角差的余弦公式，进一步体会向量方法的作用；2.用余弦的差角公式推出余弦的和角公式，理解化归思想在三角变换中的作用；3.用余弦的和差角公式推导正弦的和差角公式，了解公式间的内在联系。

4.能用正余弦的和差角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式的证明..一、学习过程（一）教材核心知识及推导过程cos()αβ-=cos()αβ+==+)sin(βαsin()αβ-= 自我总结4个公式的特点(二)预习自测：（1） 42sin 72cos 42cos 72sin -（2） 70sin 20sin 70cos 20cos -（三）自主探究---三角函数的求值1．________75cos = ; _________15cos = 。

2．________75sin = ; _________15sin = 。

3．已知)23,(,1312cos ππθθ∈-=，那么.____________)4cos(的值等于πθ+ 4．已知,43cos -=α且α是第二象限角，求⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ3cos 的值.5.已知,23,,53sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-=ππαα求⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ3sin 的值.6．已知,,2,54sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=ππαα求,3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ3sin 的值.（四）自主发展1---配凑角求值 例1、已知35sin ,cos 513αβ==-，且α为第一象限角，β为第二象限角。

求sin()αβ+和sin()αβ-的值.分析解答(五)当堂检测1 sin 7cos37sin83sin37︒︒-︒︒、的值为_______()()._________sin sin cos cos 2=+++ββαββα、3 sin 2sin 3cos 2cos3, ______x x x x x =、若则的值是.________3sin ,2,23,51cos 4=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=πθππθθ则若、5、α为第二象限角， ）的值。

第4节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)六个公式：①sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β； ②cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β； ③tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β．(2)公式T (α±β)的变形：①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)； ②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)． 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)三个公式：①sin 2α＝2sin_αcos_α；②cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； ③tan 2α＝2tan α1－tan α．(2)公式S 2α、C 2α的变形： ①sin αcosα＝12sin_2α；②sin 2α＝12(1－cos_2α)；③cos 2α＝12(1＋cos_2α)．1．(人教A 版教材习题改编)sin 34°sin 26°－cos 34°cos 26°的值是( )A.12B.32 C ．－12 D ．－32【解析】 sin 34°sin 26°－cos 34°cos 26°＝－(cos 34°cos 26°－sin 34°sin 26°)＝－cos 60°＝－12.【答案】 C 2．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin 15°cos 15° B ．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215°－1 D ．sin 215°＋cos 215°【解析】 2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝12，cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32，2sin 215°－1＝－cos 30°＝－32， sin 215°＋cos 215°＝1.故选B. 【答案】 B3．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α＝( ) A.18 B ．－18 C.47 D ．－47【解析】 tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)] ＝tan （α＋β）＋tan （α－β）1－tan （α＋β）·tan （α－β）＝3＋51－3×5＝－47.【答案】 D4．若cos α＝－45，α是第三象限角，则sin(α＋π4)＝( )A ．－7210 B.7210 C ．－210 D.210【解析】 由题意知sin α＝－35，∴sin(α＋π4)＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝－35×22＋(－45)×22＝－7210.【答案】 A5．(2012·江西高考)若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( )A ．－34 B.34 C ．－43 D.43【解析】 由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，等式左边分子、分母同除cos α得，tan α＋1tan α－1＝12，解得tan α＝－3，则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34. 【答案】 B化简：(1)sin 50°(1＋3tan 10°)；(2)（1＋sin θ＋cos θ）（sin θ2－cos θ2）2＋2cos θ(0＜θ＜π)．【思路点拨】 (1)切化弦，逆用两角和的正弦公式； (2)统一为θ2的三角函数，变形化简．【尝试解答】 (1)sin 50°(1＋3tan 10°) ＝sin 50°(cos 10°＋3sin 10°cos 10°)＝2sin 50°（12cos 10°＋32sin 10°）cos 10°＝2sin 50°sin （30°＋10°）cos 10°＝2sin 50°cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.(2)由θ∈(0，π)，得0＜θ2＜π2，∴cosθ2＞0.因此2＋2cos θ＝4cos 2θ2＝2cosθ2.又(1＋sin θ＋cos θ)(sin θ2－cosθ2)＝(2sin θ2cosθ2＋2cos 2θ2)(sin θ2－cos θ2) ＝2cosθ2(sin 2θ2－cos 2θ2)＝－2cos θ2cos θ. 故原式＝－2cos θ2cos θ2cosθ2＝－cos θ.,1．本题(2)中有开方运算，联想二倍角公式的特征进行升幂，化为完全平方式． 2．三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”； (3)三看“结构特征”，帮助我们找到变形的方向．化简：(1)2＋2cos 8＋21－sin 8；(2)2cos 4x －2cos 2x ＋122tan （π4－x ）sin 2（x ＋π4）.【解析】 (1)2＋2cos 8＋21－sin 8 ＝2（1＋cos 8）＋21－2sin 4cos 4 ＝2×2cos 24＋2（sin 4－cos 4）2 ＝－2cos 4＋2(cos 4－sin 4) ＝－2sin 4.(2)原式＝2cos 2x （cos 2x －1）＋122tan （π4－x ）·cos 2（π4－x ）＝－4cos 2x sin 2x ＋14cos （π4－x ）sin （π4－x ）＝1－sin 22x2sin （π2－2x ）＝cos 22x 2cos 2x ＝12cos 2x .(1)(2012·江苏高考)设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为________．(2)(2013·烟台模拟)已知cos(α－π6)＋sin α＝435，则sin(α＋7π6)＝________． 【思路点拨】 (1)2α＋π12＝2(α＋π6)－π4，求出α＋π6的正弦、余弦，再代入求解；(2)先用两角差的余弦公式展开cos(α－π6)，再逆用公式合并，最后用诱导公式求sin(α＋76π)． 【尝试解答】 (1)∵α为锐角且cos(α＋π6)＝45，∴sin(α＋π6)＝35.∴sin(2α＋π12)＝sin[2(α＋π6)－π4]＝sin 2(α＋π6)cos π4－cos 2(α＋π6)sin π4＝2sin(α＋π6)cos(α＋π6)－22[2cos 2(α＋π6)－1]＝2×35×45－22[2×(45)2－1]＝12225－7250＝17250. (2)cos(α－π6)＋sin α＝cos αcos π6＋sin αsin π6＋sin α＝32cos α＋32sin α＝3sin(α＋π6)＝453. ∴sin(α＋π6)＝45，∴sin(α＋76π)＝sin(π＋α＋π6)＝－sin(α＋π6)＝－45.【答案】 (1)17250 (2)－45,给值求值问题，解决的关键是把所求角用已知角表示．(1)当已知角有两个时，所求角一般表示为两个已知角的和或差的形式．(2)当已知角有一个时，此时应着眼于所求角与已知角的和或差的关系，然后应用诱导公式把所求角变成已知角．(3)注意根据角的象限确定三角函数值的符号．已知0＜β＜π2＜α＜3π4，cos(π4－α)＝35，sin(3π4＋β)＝513，求sin(α＋β)的值．【解析】 因为sin(3π4＋β)＝sin[π2＋(π4＋β)]＝cos(π4＋β)＝513，又因为0＜β＜π2＜α＜3π4，所以π4＜π4＋β＜3π4，－π2＜π4－α＜－π4，故sin(π4＋β)＝1－cos 2（π4＋β）＝1－（513）2＝1213，sin(π4－α)＝－1－cos 2（π4－α）＝－1－（35）2＝－45.所以sin(α＋β)＝sin[(π4＋β)－(π4－α)]＝sin(π4＋β)cos(π4－α)－cos(π4＋β)sin(π4－α)＝1213×35－513×(－45)＝5665.已知0＜α＜π2＜β＜π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210.(1)求sin α的值；(2)求β的值． 着眼点由二倍角公式求tan α，由同角关系求sin α由β＝α＋（β－α），求cos β，进而求β的值.【尝试解答】 (1)由tanα2＝12，得tan α＝2tanα21－tan 2α2＝43，∴cos α＝34sin α，①又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①、②联立，得25sin 2α＝16， ∵0＜α＜π2，∴sin α＝45.(2)由(1)知，cos α＝35，sin α＝45又0＜α＜π2＜β＜π，∴0＜β－α＜π.由cos(β－α)＝210，得0＜β－α＜π2. ∴sin(β－α)＝9810＝7210， ∴sin β＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)·sin α＝7210×35＋210×45＝25250＝22.由π2＜β＜π得β＝34π.,1．第(2)问中，由sin β＝22易错误得出β＝π4，这些错误的原因都是忽视了角的范围． 2．“给值求角”的求解思路：(1)求角的某一三角函数值，(2)讨论角的范围，确定角的大小．其中求角的某一三角函数值时，应选择在该范围内是单调函数，若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为(－π2，π2)，选正弦较好．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，试求角β的值．【解析】 由cos α＝17，0＜α＜π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－（17）2＝437.由0＜β＜α＜π2，得0＜α－β＜π2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos 2（α－β）＝3314，由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12. 又0＜β＜π2，所以β＝π3.一点注意三角函数是定义域到值域的多对一的映射，时刻关注角的范围是防止增解的有效措施． 两个技巧1.拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝ α＋β2－α－β2，α－β2＝(α＋β2)－(α2＋β)． 2．化简技巧：切化弦，“1”的代换等． 三种变化1.变角：设法沟通所求角与已知角之间的关系．2．变名：尽可能减少函数名称，其方法是“弦切互化”、“升幂与降幂”等． 3．变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．从近两年的高考试题来看，和差角公式、二倍角公式是高考的热点，常与三角函数式的求值、化简交汇命题．题型全面，难度中低档，源于教材，主要考查公式的灵活运用，三角恒等变换能力以及化归转化等数学思想．规范解答之五 三角函数的给值求值问题(12分)(2012·广东高考)已知函数f (x )＝A cos(x 4＋π6)，x ∈R ，且f (π3)＝ 2.(1)求A 的值；(2)设α，β∈[0，π2]，f (4α＋43π)＝－3017，f (4β－23π)＝85，求cos(α＋β)的值．【规范解答】 (1)由f (π3)＝2得A cos(π12＋π6)＝2，2分即A ·cos π4＝2，∴A ＝2.4分(2)由(1)知f (x )＝2cos(x 4＋π6)．由⎩⎨⎧f （4α＋43π）＝－3017，f （4β－23π）＝85，得⎩⎨⎧2cos （α＋π3＋π6）＝－3017，2cos （β－π6＋π6）＝85，6分解得⎩⎨⎧sin α＝1517，cos β＝45.8分∵α，β∈[0，π2]，∴cos α＝1－sin 2α＝817，sin β＝1－cos 2β＝35.10分∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝817×45－1517×35＝－1385.12分【解题程序】 第一步：根据f (π3)＝2求A 的值；第二步： 根据f (4α＋43π)＝－3017，f (4β－23π)＝85，求sin α、cos β；第三步：求cos α，sin β的值；第四步：根据两角和的余弦公式求cos(α＋β)．易错提示：(1)在利用诱导公式求sin α时，符号出错． (2)在利用两角和的余弦公式时，公式记忆不准确，导致失误．防范措施：(1)在利用诱导公式时，先判断角的范围，确定三角函数值的符号，再写出结果．(2)对于两角和与差的余弦公式，应特别注意符号的差别，防止出错．1．(2012·陕西高考)设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1，2cos θ)垂直，则cos 2θ等于( ) A.22 B.12C ．0D ．－1 【解析】 a ＝(1，cos θ)，b ＝(－1，2cos θ)． ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝－1＋2cos 2θ＝0， ∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝0. 【答案】 C2．(2012·江西高考)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( )A.15B.14C.13D.12【解析】 由tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1sin θcos θ＝4，得sin θcos θ＝14，则sin 2θ＝2sin θcos θ＝2×14＝12.【答案】 D。

精选教课教课方案设计| Excellent teaching plan教师学科教课方案[ 20–20学年度第__学期]任教课科： _____________任教年级： _____________任教老师： _____________xx市实验学校两角和与差的正弦、余弦、正切公式教课方案三维教课目的1.知识与技术能从两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式，以及两角和与差的正弦、正切公式，认识公式间的内在联系.能应用公式解决比较简单的相关应用的问题.2. 过程与方法经过层层研究领会数学思想的形成特色.3. 感情目标与价值观经过公式变形领会转变与化归的思想方法.教课要点 :推导两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式,并能差别两角和与差的正弦、余弦、正切公式．教课难点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的理解和灵巧运用．打破举措：学生在前方引诱公式及两角差的余弦公式的基础上，比较自然的推出两角和的余弦公式，以及两角和与差的正弦、正切公式．学情剖析：三角函数是高考的要点内容，本节主假如公式的推导和应用，难度不大，要让学生增强记忆，且娴熟应用．教课方案：复习回首１．几个诱导公式：熟记公式sin() __,cos()= ___, tan() ___.sin()_____,cos()= ________.22公式 C():______________________________________增强落实！cos15o_____情形导入有了两角差的余弦公式，我们能解决一些问题，但范围有限，所以自然想获得两角差的正弦、正切公式，以及两角和的正弦、余弦、正切公式，对此，我们将逐一进行研究，让希望成为现实 .新课研究二、自主学习，合作研究研究一：研究两角和的余弦公式思虑 1：注意与间的关系，联合两角差的余弦公式及引诱公式，推导 cos() 等于什么？利用公式仔细推导，cos() =_____________________学生独立达成 .思虑2：上述公式就是两角和的余弦公式，记作C( )，该公式有什么特色？怎样记忆？总结特色_____________________________________________________发现记忆方法试一试：求 cos75研究二：研究两角和与差的正弦公式思虑 3：引诱公式sincos() 能够实现由正弦到余弦2的转变，联合 C()和C() , 你能推导出sin() ，sin() 分别等于什么吗？仔细推导，并与同学沟通，sin() =________________________________得出结论 .sin() =_______________________________思虑 4：上述公式就是两角和与差的正弦公式，分别记作 S() ，S( )，这两个公式有什么特色？怎样记忆？总结特色发现记忆方法____________________________________________________练习：求 sin 15 , sin 75 .研究三：研究两角和与差的正切公式可否借助 tan sin及两角和与差的正余弦公式推导出costan(), tan() ？tan()___________________________. tan()____________________________.注：（１）公式合用范围：________________________分组议论，把自己的看法展示出来 .(2) 公式变形：tan tan____________.tan tan____________.精选教课教课方案设计| Excellent teaching plan练习：tan 20tan 40 3 tan 20 tan 40______.2. 理论迁徙例1：已知 sin3,是第四象限角，求 sin(),54cos(), tan(4)的值 .4思虑：经过计算 sin()cos() ，能否关于随意的角44都建立？并说明原因．3,(, ), 求 sin()的值 .练习： 1.已知cos5232.已知 tan3,求 tan()的值 .4例 2. 公式的逆用利用和（差）角公式计算以下各式的值：（１）． sin 72o cos42o cos72o sin 42oo ）．cos 20o cos70o sin 20o sin 70o；（3）．1 tan15o1 tan15练习：求以下各式的值：学生自己剖析，要解决这个问题需做什么准备工作.学生直接回答cos()6发现式子的形式切合什么公式，从右向左利用公式.1 sin 72o cos18o cos72o sin18oo otan12 tan332o o1 tan12 tan333sin 34o sin 26o cos34 o cos26o4sin 20o cos40o cos 20o cos50o133 sin x化简 : 1 cos x sin x(2) cos x22思虑 :一般地 , a sin x b cosx 能否都能够化成Asin( x ) 的独立研究，发现规律 .形式 ?精选教课教课方案设计| Excellent teaching plan稳固练习：1. 已知cos3,0, 求 cos()的值.512，62. 已知 cos(4)，求 sin的值 .13 42学生独立达成，稳固知识3. 已知 sin 5, sin10,且 ,0, , 5102求角的大小 .讲堂小结1.方法由公式 C()出发推导 C()，S()，S()的方法 .2.知识：公式及公式的记忆方法C() =_______________________________.C() =________________________________.仔细总结，在总结中提高对知识的认知S() =________________________________. S() =________________________________. T()___________________________. T()____________________________.部署作业：题案板书设计：板书设计 :课题 :例题解说两角和的余弦公式 :两角和与差的正弦公式：两角和与差的正切公式：。