函数依赖公理系统

关系数据理论课后答案第五章关系数据理论习题解答和解析1.理解并给出下列术语的定义：函数依赖、部分函数依赖、完全函数依赖、传递依赖、候选码、主码、外码、全码(All-key)、1NF、2NF、3NF、BCNF、多值依赖、4NF。

解析：解答本题不能仅仅把《概论》上的定义写下来。

关键是真正理解和运用这些概念。

答：函数依赖：设R(U)是一个关系模式,U是R的属性集合,X和Y是U的子集。

对于R(U)的任意一个可能的关系r,如果r中不存在两个元组,它们在X上的属性值相同,而在Y上的属性值不同,则称"X函数确定Y"或"Y函数依赖于X",记作X→Y。

解析：(1)函数依赖是最基本的一种数据依赖,也是最重要的一种数据依赖。

(2)函数依赖是属性之间的一种联系,体现在属性值是否相等。

由上面的定义可以知道,如果X→Y,则r中任意两个元组,若它们在X上的属性值相同,那么在Y上的属性值一定也相同。

(3)要从属性间实际存在的语义来确定他们之间的函数依赖,即函数依赖反映了(描述了)现实世界的一种语义。

(4)函数依赖不是指关系模式R在某个时刻的关系(值)满足的约束条件,而是指R任何时刻的一切关系均要满足的约束条件。

答：完全函数依赖、部分函数依赖：在R(U)中,如果X→Y,并且对于X的任何一个真子集X',都有X'Y,则称Y对X完全函数依赖,记作:若X→Y,但Y不完全函数依赖于X,则称Y对X部分函数依赖,记作:?→Z,则称Z对X传递函数依赖。

传递依赖：在R(U)中,如果X→Y,(Y候选码、主码：设K为R<u,f>中的属性或属性组合,若K→U(完全依赖)则K为R的候选码(Candidate key)。

若候选码多于一个,则选运其中的一个为主码(Pdmary key)。

解析：1)这里我们用函数依赖来严格定义码的概念。

在第二章中我们只是描述性地定义码(可以复习若关系中的某一属性组的值能惟一地标识一个元组,则称该属性组为候选码(Candidate key)。

第六章关系的规范化设计第六章关系的规范化设计第一节问题的提出第二节函数依赖第三节范式第四节数据依赖的公理系统第一节关系模式设计问题的提出如何设计一个合理的关系数据库模式？c3c2c1c3c1cno 77OS丁惠s283DS 丁惠s290DB 丁惠s287OS 李立s178DB 李立s1gradecname sname sno 泛关系模式泛关系：泛关系模式中存在的问题c3c2c1c3c1cno 77OS丁惠s283DS 丁惠s290DB 丁惠s287OS 李立s178DB 李立s1gradecname sname sno反映现实世界操作性能例：设计教学管理关系数据库模型sc问题分析Sno Cno Tno Sname Grade Cname Tname S1C1T1赵民90OS彭S1C2T2赵民90DS杨S1C3T3赵民85C++刘S1C4T4赵民87DB张S2C1T4李军90OS张S3C1T4陈江75OS张S3C2T2陈江70DS杨S3C4T4陈江56DB张S4C1T1魏致90OS彭S4C2T2魏致85DS杨S5C1T1乔远95OS彭S5C4T4乔远80DB张关系SCT产生问题的原因？解：sct（sno, cno, tno, sname, grade, cname, tname）属性间约束关系（即数据间的依赖关系）太强解一：（sno，（cno，tno，（tno，cno, tname （sno，cno，解二：（sno，（cno，（tno, tname （sno，cno，（tno，cno）分解关系解决问题的方法：例sc解（sno, cno, tno, sname, grade, cname, tnameS n o S n a m e S 1赵民S 2李军S 3陈江S 4魏致S 5乔远StudentsCno Cname C1OS C2DS C3C++C4DBCoursesSnoCno Grade S1C190S1C290S1C385S1C487S2C190S3C175S3C270S3C456S4C190S4C285S5C195S5C480scTno Tname T1 彭 T2 杨 T3 刘 T4 张TeachersTeachCno Tno C1T1C1T4C2T2C3T3C4T4本章要解决的主要问题理想第二节：函数依赖数据依赖函数依赖（1）、函数依赖定义X 函数决定Y Y函数依赖于XX Y例：只能根据语义来确定函数依赖性的存在与否。

练习1中函数依赖 AB→D是完全依赖还是部分依赖？ 思考： 如果X只有一个属性， X→Y是否一定是完全函数依赖？
定义(传递FD):设关系模式R，X、Y、Z是R的属性子集， 若FD X→Y，Y → X，Y→Z，则有FD X→Z，称FD X→Z为 传递函数依赖。
函数依赖、完全依赖、传递依赖等基本概念是第四章关系 数据库范式的基础。
18
算法3.2.3
判定F是否蕴涵X→Y的成员测试算法
输入：函数依赖集F和FD X→Y。
输出：若F蕴涵X→Y输出为true，否则为false MEMBER(F, X→Y) begin if Y CLOSURE(X,F) then return(true) eles return(false) end.
={AB→E，E→G， BE→I， GI→H}
13
定义(函数依赖集F的闭包 F +)
设F是关系r(R)上的函数依赖集，F所蕴含的所有FD的集
合称为F的闭包，记作F +。 F
+
= { X→Y
|
所有F |= X→Y }
例：设F={AB→C，C→B}。 求F+
14
设F={AB→C，C→B}。 F+ 为： F+ = {A→A, AB→A, AC→A, ABC→A, B→B, AB→B, BC→B，ABC→B，C→C，AC→C，BC→C,ABC→C，AB→AB， ABC→AB，AC→AC，ABC→AC，BC→BC, ABC→BC, ABC→ABC, AB→C, AB→AC, AB→BC, AB→ABC，C→B,

（3）并比较两种方法更好用语言来实现。
21
（1）设F ={AB→C,B→D,CD→E,CE→GH,G→A}，

数据库学习摘记——关系模式的函数依赖关系与关系模式的联系：关系模式是相对稳定的，静态的，是把所有元组删去后的⼀张空表格，是对元组数据组织⽅式的结构描述，⽽关系却是动态变化的，不稳定的，是将若⼲元组填⼊关系模式后得到的⼀个取值实例。

每⼀个关系对应⼀个关系模式，每⼀个关系模式可以定义多个关系。

关系模式R(U)对应的具体关系通常⽤⼩写字母r来表⽰。

函数依赖：设R(U)是属性集U={A1, A2, …, An}上的关系模式，X和Y是U的⼦集。

若对R(U)的任⼀具体关系r中的任意两个元组t1和t2，只要t1[X]=t2[X] 就有t1[Y]=t2[Y]。

则称"X函数确定Y" 或"Y函数依赖于X"，记作X→Y，X为这个函数依赖的决定因素。

函数依赖要求R(U)的⼀切具体关系r都要满⾜的约束条件。

若X→Y且Y→X，则记作X⇿Y平凡函数依赖：X→Y，Y⊆X // 对于任⼀关系模式，平凡函数依赖必然是成⽴的⾮平凡函数依赖：X→Y，Y⊄X完全函数依赖：如果X→Y，且对于X的任何⼀个真⼦集X'，都有X不函数确定Y ，则称Y对X完全函数依赖或者X完全决定Y，记作：部分函数依赖：如果X→Y，但Y不是完全函数依赖于X，则称Y 对X部分函数依赖，记作：传递函数依赖：如果X→Y，Y→Z，且 Y→X，Y⊄X，Z⊄Y,则称Z对X传递函数依赖，记作:候选键：对关系模式R(U)，设K⊆U，且K完全函数确定U，则K为能够唯⼀确定关系中任何⼀个元组(实体)的最少属性集合，称K为R(U)的候选键或候选关键字。

【R(U，F)，U={ A，B，C，D，E，G }，F={AB→C，CD→E，E→A，A→G}，求候选键】因G只在右边出现，所以G⼀定不属于候选码⽽B，D只在左边出现，所以B，D⼀定属于候选码BD的闭包还是BD，则对BD进⾏组合，除了G以外，BD可以跟A，C，E进⾏组合先看ABDABD本⾝⾃包ABD，⽽AB→C，CD→E，A→G，所以ABD的闭包为ABDCEG=U再看BDCCD→E，E→A，A→G，BDC本⾝⾃包，所以BDC的闭包为BDCEAG=U最后看BDEE→A，A→G，AB→C，BDE本⾝⾃包，所以BDE的闭包为BDEAGC=U因为(ABD)、(BCD)、(BDE)的闭包都是ABCDEG所以本问题的候选码有3个分别是ABC、BCD和BDE主键：通常在R(U)的多个候选键中任意选定⼀个候选键作为主键，也称为主码或主关键字。

定义4.15 最小覆盖. 满足下列条件的函数依赖集F称为最小覆盖(最 小依赖集, 极小依赖集)，记作Fmin：

(1) 单属性：F中任一函数依赖 XA，A必是单属 性。 (2) 无冗余性：F中不存在这样的函数依赖X A， 使得 F与 F {X A}等价。 (3) 既约性：F中不存在这样的函数依赖 X A， X是多属性，在X中有真子集 Z，使得 F 与 F {X A} {Z A}等价。
2
函数依赖集的闭包F+


定义 4.12 在关系模式 R<U，F> 中，被 F 所 逻辑蕴涵的函数依赖的全体所构成的集合称 作F的闭包，记作 F+ = {XY | F├ XY} + 显然，F F 。 F+的计算很麻烦，F不大，其F+也可能很大。 例如： 设 R<U, F>, U={X, Y, Z}, F = {XY, YZ} F+ = { XX， XY，X Z, YY, YZ, Z Z, XYX，XYY，XYXY, XZ→X, ……}
函数依赖的公理系统

建立函数依赖推理系统的目的:
(1) 求关系模式的候选码 (2) 判断关系模式的范式级别 (3) 给定一组函数依赖，需要导出另外一些函数依赖， 或判断另外的函数依赖是否成立。例如： FD={A B，B C}，判断 A C是否成立？

本节内容:
1. 逻辑蕴涵； 2. Armstrong函数依赖公理系统； 3. 函数依赖集的闭包； 4. 属性集闭包； 5. 函数依赖集的等价和覆盖； 6. 最小函数依赖集。
XY
t[XZ] = s[XZ]
t[Y] = s[Y] t[Z] = s[Z]
t[YZ] = s[YZ]

６ ）设 Ｒ， 都 是 Ｘ 上 的 Ｋ 元 约 束 关 系 ，若 Ｓ ｕ ｒＲ）＝ ｕ ｒ Ｓ ， 称 Ｒ 与 Ｓ等 价 ． ｎ（ ｎ （ ）则
定 义 和 分 解 为 第 ３范 式 和 Ｂ 范 式 的 算 法 ， 而 基 Ｃ 从 本 完 成 了在 函数 依 赖 范 畴 内 的 约 束关 系 模 式 设 计 工
定 义 １ 设 为 一 类 约 束 ， 为 其 论 域 ， ： Ｄ 则
．
这 是 一 种 与 时 空 数 据 关 系 密 切 的 约 束 ． Ｄ 为 若 定 义 ２ 设 Ｒ是 ｘ 上 的 Ｋ 元 约 束 关 系 ， 的 约 它
一
般的全序集 ， 类 约束称为密序约束． 这
１ ）变 量 集 Ｘ 一 （ ， ， ， ） 的 约 束 Ｋ 元 。 ： … 。 上 组 是 一 个 约 束 合 取 式 ， 一 ＾ … Ａ ， 中每 其
据 库 的 无损 连 接 问 题 ， 到 很 好 的 结 果 ． 文 即 是 研 得 本
４ ）约 束 数 据 库 定 义 为 有 限 个 约 束 关 系 组 成 的 集合． ５ ）设 Ｒ（ ｘ）是 约 束 关 系模 式 ， Ｒ（ 上 的 数 则 ｘ）
据 依 赖 Ｄ 定 义 为 一个 映 射 ， 的定 义 域 为 Ｒ（ 它 ｘ）所
成 了约 束数据 库设 计 的核 心工 作 ： 约束 关 系模式 分解 为 ３ 把 ＮＦ或 Ｂ ＮＦ的算 法． Ｃ
关 键 词 ：约束 数 据 库 ； 函数 依赖 ； 函数依 赖 公理 系统 ； 式设 计 模
中 图分 类 号 ： Ｐ３ １１ １ Ｔ １．３
文 献 标 识 码 ： Ａ
个 （ ≤ ｉ Ｎ） １ ≤ 是 中 的定 义 在 变 量 集 Ｘ 上 的一
据 库 可 看 成 是关 系 数 据 库 的 自然 扩 充 ， 此 自然 希 因

函数依赖于，函数决定
a f1 b h2
a f3
c f4
11
函数依赖
函数依赖：一种完整性约束，表示特定的属性值之间的关系，可以用来 判断模式规范化和建议改进
例，考虑r(A,B)及其下列实例r
AB 14 15 37 对此实例，A B不成立，但B A成立 ∵若B属性值确定了，则A属性值也唯一确定了。于是有 B → A
由于包含n个元素的集合含有个2n子集，因此共有2nX2n个可能的函数依 赖
后面会介绍完成此任务的另一过程
22
属性集的闭包
如何判断集合是否为超码
一种方法是：计算F+ ，在F+中找出所有 i ，检查{ 1 2 3 … }= R。 但是这么做开销很大，因为F+可能很大
另一种方法是：计算的闭包
10
函数依赖
设R是一个关系模式，且有属性集 R， R
函数依赖

借用了数学上的函数概念： x → f(x)
在R上成立当且仅当对任意合法关系r(R)，若r的任意两条元组t1和t2
在属性集上的值相同，则他们在属性集上的值也相同。即，
t1[] = t2[] t1[] = t2[]
AG I：用G增补A C得AG CG，再由CG I根据传递规则得到
CG HI：由CG H和CG I，可根据函数依赖的定义导出“并规则”
得到，或增补CG I得到CG CGI，增补CG H得到CGI HI，再利
用传递规则得到
20
Armstrong公理的补充定律
使用空值(null)：存储一个不知道所在系的教师信息，可以使用空值表 示dept_name, building, budget数据，但是空值难以处理

在关系型数据库中，函数依赖用于定义表中的列之间的数据依赖关系，以确保数据的完整性和一致性 。
函数依赖的重要性
保持数据完整性
通过函数依赖，可以确保数据库中的数 据满足一定的约束条件，从而保持数据
的完整性。
提高查询效率
在数据库查询过程中，可以利用函数 依赖优化查询计划，提高查询效率。
简化数据库设计
通过合理地利用函数依赖，可以简化 数据库设计，减少冗余数据和数据不 一致的情况。
关系数据模型之函数依赖
contents
目录
• 引言 • 函数依赖的定义与分类 • 函数依赖的推理规则 • 函数依赖在关系数据库设计中的应用 • 关系数据模型中的其他概念 • 关系数据模型的实际应用案例
01 引言
什么是函数依赖？
函数依赖是关系数据模型中的一个基本概念，它表示一个或多个属性的值决定另一个属性的值的关系 。
部分函数依赖
要点一
定义
如果一个属性集合Y中的所有属性决定了一个属性集合X中 的部分属性，则称X部分函数依赖于Y。
要点二
举例
在关系模式"学生(学号,姓名,年龄,性别)"中，性别只依赖于 学号，因此学号→性别。
传递函数依赖
定义
如果Y→X，且X不决定Y，则称X传递依赖于Y。
举例
在关系模式"学生(学号,姓名,年龄,性别)"中，学号→姓名，性别→年龄，因此姓名传递依赖于学号，年龄传递依赖 于性别。
数据完整性维护案例
案例二：银行账户管理系统 账户表：账户号、客户号、余额等字段。 交易表：交易号、账户号、交易金额等字段。
设计一个银行账户管理系统，包括账户、客户、交易等 表。
客户表：客户号、姓名、身份证号等字段。

摘要数据库技术是计算机技术中发展最快的领域之一，也是应用最广的技术之一，他已成为计算机信息系统与应用系统的核心技术和重要基础。

数据库是数据管理的最新技术，是计算机科学的重要分支。

多少年来，数据库已经从专用的应用程序包发展到成为通用的系统软件，由于数据库具有数据结构化，最低冗余度，较高的程序与数据独立性，易于扩充，易于编制程序等等优点，较大信息系统都是建立在数据库设计之上的。

因此，不仅大型计算机及中小型计算机，甚至微型计算机都配有数据库管理系统。

目前对数据库的各种模型的研究以及理论上的探索都还在蓬勃的开展，其应用程序也从一般的管理扩大到计算机辅助设计，人工智能管理以及科学计算等领域。

本文论述的就是数据可系统中的一个分支：Armstrong公理系统。

Armstrong公理系统是一组推理规则，是1974年首先由W.W．Armstrong提出来的。

本文由函数的依赖引入了Armstrong公理系统并对其尽心了证明推导并对其所涉及的引理定理进行证明举例，对于Armstrong公理系统的有效性和完备性进行了详细的阐述。

关键词数据库技术 ; Armstrong公理系统; 有效性 ;完备性AbstractThe database technique is an one of the quickest realms of inside development of calculator technique, and is also applied one of the most large techniques, he to have become the calculator information the system and apply tecn ique and impotent base of the system ? The database is a data latest technique that manage, is the important branch of calculator science. How much in the last years, the database is already from the applying of appropriation what procedure the pack develop to become the in general use system software, because the database have the data of construction, independent of lowest redundancy degree, higher procedure and data, easy to enlargement, easy to establishment procedure etc. the advantage, bigger information system all establish in the database to design on. Therefore, not only small scaled calculator of large inside, even the miniature calculator all have the database management the system. Now management towards the database’s quest tha t the research of the every kind of model and theoretically all return at booming open the exhibition, its applied procedure too from general extend the calculator to lend support to the design, artificial intelligence the realms such as management and science calculation etc.. This what text discuss is a data can a branch of the system inside: Armstrong justice system. Armstrong justicesystem is a the set reason logically what rule, is 1974 beginning of years are first from the W.W. Armstrong to bring up to come. This text becombined by the functon’s counting on into Armstrong justice system as to it’s the usefulness for justice system for involving axioms proceeding proof give examplesing, for Armstrong justice system of proceeds with the completed detailed writeing.Key words database technique; Armstrong justice system ;目录引言......................................................................................................... １1 函数依赖 ............................................................................................. ２1．1 函数依赖的定义..................................................................... ２1．2 函数依赖及其举例 ................................................................. ２2 逻辑蕴含 ............................................................................................. ６2．1 逻辑蕴含的定义..................................................................... ６2．2 逻辑蕴含的证明..................................................................... ６3Armstrong公理系统........................................................................ ７3．1 Armstrong公理系统概述....................................................... ７3．2 Armstrong公理的几个性质 ................................................... ７4Armstrong公理系统的引理........................................................ １０4．1 Armstrong公理系统的引理1 ............................................ １０4．2 Armstrong公理系统的引理2 ............................................ １１5属性集闭包及公理完备性 .......................................................... １２5．1 属性集闭包及公理完备性 ................................................. １２5．2 属性集闭包及公理完备性举例说明.................................. １３6判断函数依赖蕴含的算法 .......................................................... １６6．1 算法说明......................................................................... １６6．2 举例及证明..................................................................... １８参考文献 ......................................................................................... １９数据依赖的公理系统-------Armstrong公理系统及其有效性和完备引言在数据库中，数据之间存在着密切的联系。

属性集闭包பைடு நூலகம்算举例
• r(R)=r(A, B, C, G, H, I)，F={A→B, A→C, CG→H, CG→I, B→H}， 计算(AG)+。
– 算法第一次循环的执行步骤： 步骤 1． 2． 3． 4． 5． 6． FD 初值 A →B A →C CG→H CG→I B→H closure AG ABG ABCG ABCGH ABCGHI ABCGHI
判断属性集是否为候选码举例
• r(R)和F定义同上例，判断AG是否为r(R)的候选码。 – 上例已计算出(AG)+＝ABCGHI, 则还要进一步分 别计算A+和G+。 – 经计算得，A+=ABCH、G+=G，它们都不包含R的 所有属性。因此，AG为r(R)的候选码。
为关系模式， 设r(R)为关系模式，α⊆R，β⊆R。对任意合法关系 及其 为关系模式 。对任意合法关系r及其 中任两个元组t 中任两个元组 i和tj，i≠j，若ti[α]=tj[α]，则ti[β]=tj[β]，则称α ≠， ， ， 函数确定β 或 β 函数依赖于α，记作α→β。
α β
图5-3 α→β 函数依赖图
图57传递依赖的依赖图函数依赖集闭包对于给定关系模式rr及其函数依赖集f有时只考虑给定的函数依赖集是不够的而需要考虑在rr上总是成立的所有函数依赖
函数依赖理论
郑子仪
函数依赖定义
函数依赖(functional dependency, 简称FD)是一种 完整性约束，是现实世界事物属性之间的一种制约 关系，它广泛地存在于现实世界之中。
结果为closure=ABCGHI。
– 算法第二次循环后的结果为closure=ABCGHI，没有变化，算法终止。 – (AG)+＝ABCGHI。

函数依赖闭包函数依赖闭包⼀、函数依赖的逻辑蕴涵定义：设有关系模式R(U)及其函数依赖集F，如果对于R的任⼀个满⾜F的关系r函数依赖X→Y都成⽴，则称F逻辑蕴涵X→Y，或称X→Y可以由F推出。

例：关系模式 R=(A,B,C),函数依赖集F={A→B,B→C}, F逻辑蕴涵A→C。

证：设u,v为r中任意两个元组：若A→C不成⽴，则有u[A]=v[A],⽽u[C]≠v[C]⽽且A→B, B→C,知u[A]=v[A], u[B]=v[B], u[C]=v[C],即若u[A]=v[A]则u[C]=v[C]，和假设⽭盾。

故F逻辑蕴涵A→C。

满⾜F依赖集的所有元组都函数依赖X→Y（X→Y不属于F集），则称F逻辑蕴涵X→Y（X→Y由F依赖集中所有依赖关系推断⽽出）⼆、Armstrong公理1、定理：若U为关系模式R的属性全集，F为U上的⼀组函数依赖，设X、Y、Z、W均为R的⼦集，对R(U,F)有：F1(⾃反性)：若X≥Y(表X包含Y），则X→Y为F所蕴涵；(F1':X→X)F2(增⼴性): 若X→Y为F所蕴涵，则XZ→YZ为F所蕴涵；(F2':XZ→Y)F3(传递性): 若X→Y,Y→Z为F所蕴涵，则X→Z为F所蕴涵；F4(伪增性)：若X→Y，W≥Z(表W包含Z）为F所蕴涵，则XW→YZ为F所蕴涵；F5(伪传性): 若X→Y，YW→Z为F所蕴涵, 则XW→Z为F所蕴涵；F6(合成性): 若X→Y,X→Z为F所蕴涵，则X→YZ为F所蕴涵；F7(分解性): 若X→Y,Z≤Y (表Z包含于Y）为F所蕴涵，则X→Z为F所蕴涵。

函数依赖推理规则F1∽F7都是正确的。

2、Armstrong公理：推理规则F1、F2、F3合称Armstrong公理；F4 ∽ F7可由F1、F2、F3推得，是Armstrong公理的推论部分。

三、函数依赖的闭包定义：若F为关系模式R(U)的函数依赖集，我们把F以及所有被F逻辑蕴涵的函数依赖的集合称为F的闭包，记为F+。

29
码
为关系模式R<U,F>中的属性或属性组合。 中的属性或属性组合。 定义 设K为关系模式 为关系模式 中的属性或属性组合 若K
ｆ
U，则K称为 的一个侯选码（Candidate ， 称为R的一个侯选码（ 称为 的一个侯选码
Key）。若关系模式R有多个候选码，则选定其中 ）。若关系模式 有多个候选码 ）。若关系模式 有多个候选码， 的一个做为主码（ 的一个做为主码（Primary key）。 主码 ）。 主属性与非主属性 ALL KEY
学号,所在系 而：(学号 所在系 系主任 部分函数依赖 学号 所在系)→系主任
23
术语和符号(8) 术语和符号
如果X→Y（非平凡函数依赖，并 （非平凡函数依赖， 如果 X）、 ）、Y→Z，则称 传递函数 且Y ）、 ，则称Z传递函数 依赖于X。 依赖于 。 专业， 所在系， 如学号→专业，专业 所在系，则所 学号 专业 专业→所在系 在系传递函数依赖于学号。 传递函数依赖于学号 在系传递函数依赖于学号。
14
注意定义中： 注意定义中：
t1[X]=t2[X] t1[Y]=t2[Y]
t1
200
t2
15
例：对仓库关系 仓库(仓库号,城市,面积) 仓库(仓库号,城市,面积) 有函数依赖： 有函数依赖： 仓库号→城市（城市函数依赖于仓库号） 仓库号→城市（城市函数依赖于仓库号） 函数依赖于仓库号 仓库号→面积（面积函数依赖于仓库号） 仓库号→面积（面积函数依赖于仓库号） 函数依赖于仓库号
20
术语和符号(5) 术语和符号
如果K是关系模式 如果 是关系模式R(U,F)的任一候选关 是关系模式 的任一候选关 键字， 是任一属性或属性集 如果X ， 是任一属性或属性集， 键字，X是任一属性或属性集，如果 ∈K， 则X称为主属性；否则称为非主属性。 称为主属性； 称为主属性 否则称为非主属性。 仓库号, 如(仓库号,器件号 是库存关系的关键 仓库号 器件号)是库存关系的关键 仓库号和 均是主属性， 那么仓库号 器件号均是主属性 字，那么仓库号和器件号均是主属性，而 数量为非主属性。 数量为非主属性。 为非主属性

[总结]关系数据库设计基础（函数依赖、⽆损连接性、保持函数依赖、范式、……）≏≎≟≗≖≍≭∼∽≁≃≂≅≊≈≉≇≳⪞⪆⋧⪊≵≲⪝⪅⋦⪉≴⊂ subset ⋐⊄⊊ ⊈⊃⊇ ⋑⊅⊋ ⊉≺⪯≼⋞≾⪷⋨⪵⪹⊀≻⪰≽⋟≿⪸⋩⪶⪺⊁ in ∋∉∌∝≬⊸函数依赖（Function Dependency）定义设关系模式R（U），属性集合U= {A1，A2，…，An}，X，Y为属性集合U的⼦集，如果对于关系模式R(U)的任⼀可能的关系r，r中的任意两个元组u、v，若有 u[X]=v[X]，就有u[Y]=v[Y]，则称X函数决定Y，或称Y函数依赖于X。

⽤符号X→Y表⽰。

其中X为决定因素，Y为被决定因素。

若对于R（U）的任意⼀个可能的关系r，r中不可能存在两个元组在X上的属性值性等，⽽在Y上的属性值不等。

　(1) 函数依赖是语义范畴的概念，只能根据语义来确定⼀个函数依赖关系。

　(2) 函数依赖X→Y的定义要求关系模式R的任何可能的关系r中的元组都满⾜函数依赖条件。

术语　(1)若X→Y，则X称作决定因素（Determinant）　(2)若X→Y，Y→X，称作X<->Y。

　(3)若Y不函数依赖于X，称作X -/-> Y。

　(4)X→Y，若Y不包含X,即X ⊄ Y，则称X→Y为⾮平凡的函数依赖。

正常讨论的都是⾮平凡的函数依赖。

　(5)X→Y，若Y包含X，即X ⊂ Y，则称X→Y为平凡的函数依赖。

　(6)完全函数依赖(full functional dependency)：在R(U)中，设X、Y是关系模式R（U）中不同的属性⼦集(即X ⊂ U,Y ⊂ U), 若存在 X→Y，且不存在 X的任何真⼦集X'(即 X' ⊊ X)，使得 X'→Y，则称Y完全函数依赖 ( full functional dependency ) 于X。

记作 X-F->Y。

　(7)部分函数依赖：在关系模式R（U）中，X、Y是关系模式R（U）中不同的属性⼦集(即X ⊂ U,Y ⊂ U), 若X→Y成⽴，如果X中存在任何真⼦集X'(即 X' ⊊ X)，⽽且有X'→Y也成⽴，则称Y对X是部分函数依赖，记作：X-P->Y。

第六章 1、逻辑蕴涵 、
关系数据理论
是关系模式R<U, F>的函数依赖集，X、 的函数依赖集， 、 设F是关系模式 是关系模式 的函数依赖集 Y是R的属性子集。对R的任一个关系 ，若函 是 的属性子集 的属性子集。 的任一个关系r， 的任一个关系 数依赖X→Y均成立，则称 逻辑蕴涵 →Y。 均成立， 逻辑蕴涵X→ 。 数依赖 → 均成立 则称F逻辑蕴涵
第六章 +
关系数据理论ຫໍສະໝຸດ 算法6.1 算法 输入： ， ， ； 输入：X，U，F； 输出： 关于 的闭包X 关于F的闭包 输出：X关于 的闭包 F+
第六章
关系数据理论
（1）初始：令X(0)=X, i=0; ）初始： 中的函数依赖V→W，将所有 （2）迭代：逐个检查 中的函数依赖 ）迭代：逐个检查F中的函数依赖 ， ） ）并在一起，记为X ） V ⊆X（i）的W与X（i）并在一起，记为 （i+1）； 与 ） ） ） ） （3）判断： 若X（i）= X（i+1）或X（i+1）=U，则X（i+1）就 ）判断： ， 算法终止； 是XF+，算法终止； （4）i=i+1，转第（2）步。 ） ，转第（ ） 每次迭代都添加属性到当前闭包(不增加时算 每次迭代都添加属性到当前闭包 不增加时算 法就结束)，故至多迭代|U|－ 次算法终止 法就结束 ，故至多迭代 －|X|次算法终止
第六章 关系数据理论 根据合并规则和分解规则， 根据合并规则和分解规则，容易得出一个重要 结论： 结论： 引理6.1： → 引理 ：X→A1 A2 …Ak成立的充要条件是 X→Ai 成立（i=1，2，…，k）。 → 成立（ ， ， ， ）。 二、函数依赖集的闭包 有了上述规则，对一个给定的函数依赖集 ， 有了上述规则，对一个给定的函数依赖集F， 自然希望知道哪些函数依赖可由F推出， 自然希望知道哪些函数依赖可由 推出，哪些不 推出 能。

平凡函数依赖复合函数依赖公理中的______ 在关系数据库理论中，函数依赖是一种基本的约束条件，用于表示一个属性集合中的属性对另一个属性的决定关系。

函数依赖有两种类型：平凡函数依赖和非平凡函数依赖。

平凡函数依赖是指一个属性集合对另一个属性产生的影响可以由该属性本身的值来决定，因此不具备实际意义。

而非平凡函数依赖是指一个属性集合对另一个属性产生的影响不能由该属性本身的值来决定，具有实际意义。

在实际应用中，我们经常会遇到一个属性集合对另一个属性集合产生的影响，这就是复合函数依赖。

复合函数依赖是指一个属性集合对另一个属性集合所产生的影响，不能由任何一个属性的值来决定，而是由这个属性集合的某一个组合值来决定。

因此，复合函数依赖是非平凡函数依赖的一种。

在数据库设计中，我们需要满足一定的规则，以保证数据库的正确性、完整性和一致性。

其中，函数依赖和复合函数依赖是最基本的约束条件之一。

函数依赖和复合函数依赖可以帮助我们识别出不符合规则的数据，以保证数据的正确性和完整性。

同时，函数依赖和复合函数依赖也可以帮助我们提高查询效率，减少数据冗余度。

在函数依赖和复合函数依赖的公理中，平凡函数依赖是一种重要的概念。

平凡函数依赖可以帮助我们识别出不符合规则的数据，同时也可以帮助我们提高查询效率。

在复合函数依赖的公理中，复合函数依赖是一种重要的概念。

复合函数依赖可以帮助我们识别出不符合规则的数据，同时也可以帮助我们提高查询效率。

因此，平凡函数依赖和复合函数依赖是函数依赖和复合函数依赖公理中的重要概念。

它们可以帮助我们识别出不符合规则的数据，同时也可以帮助我们提高查询效率。

在数据库设计中，我们需要遵守函数依赖和复合函数依赖公理，以保证数据的正确性、完整性和一致性。