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常见的优化算法
摘要：
1.优化算法的定义和分类
2.最大化和最小化问题
3.梯度下降法
4.牛顿法
5.拟牛顿法
6.共轭梯度法
7.遗传算法
8.模拟退火算法
9.人工神经网络
正文：
优化算法是数学和计算机科学的一个分支，主要研究如何找到一个函数的最小值或最大值。
在实际应用中，优化问题可以分为最大化和最小化两种类型。
为了求解这类问题，人们研究了许多优化算法，下面我们来介绍一些常见的优化算法。
首先，我们来了解一些基本的优化算法。
梯度下降法是一种非常常见的优化算法，它通过计算目标函数的梯度来不断更新参数，从而使函数值逐渐下降。
牛顿法和拟牛顿法则是基于牛顿- 莱布尼茨公式来求解优化问题的方法，它们具有比梯度下降法更快的收敛速度。
共轭梯度法则是一种高效的线性规划算法，它可以在保证解全局收敛的同时，大幅提高求解速度。
除了这些传统的优化算法，还有一些新兴的优化算法。
遗传算法是一种模
拟自然界生物进化过程的优化方法，它通过基因的遗传、变异和选择来逐步改进解的质量。
模拟退火算法则是一种模拟金属冶炼过程的优化算法，它通过模拟金属冶炼过程中的退火过程来寻找全局最优解。
人工神经网络是一种模拟人脑神经网络进行信息处理的优化算法，它通过调整神经网络中的权重和阈值来逼近目标函数。
总之，优化算法是解决实际问题的重要工具，不同的优化算法适用于不同的问题。
了解这些算法的原理和特点，可以帮助我们更好地选择合适的方法来求解实际问题。
常见的优化算法摘要：一、引言二、常见优化算法概述1.梯度下降2.随机梯度下降3.小批量梯度下降4.牛顿法5.拟牛顿法6.共轭梯度法7.信赖域反射算法8.岭回归与LASSO三、优化算法的应用场景四、总结正文：一、引言在机器学习和数据挖掘领域，优化算法是解决最优化问题的常用方法。
本文将对一些常见的优化算法进行概述和分析，以便读者了解和选择合适的优化算法。
二、常见优化算法概述1.梯度下降梯度下降是最基本的优化算法，通过计算目标函数的梯度，并乘以一个正数加到梯度相反号上，不断更新参数。
2.随机梯度下降随机梯度下降是梯度下降的一个变种，每次更新时随机选择一部分样本计算梯度，减少了计算复杂度。
3.小批量梯度下降小批量梯度下降是随机梯度下降的改进，每次更新时选择一小部分样本计算梯度，平衡了计算复杂度和收敛速度。
4.牛顿法牛顿法是一种二阶优化算法，通过计算目标函数的二阶导数（Hessian 矩阵）来更新参数，具有更快的收敛速度。
5.拟牛顿法拟牛顿法是牛顿法的近似方法，通过正则化Hessian 矩阵来避免牛顿法的计算复杂度问题。
6.共轭梯度法共轭梯度法是一种高效的优化算法，通过计算目标函数在参数空间中的共轭梯度来更新参数，具有较好的数值稳定性和收敛速度。
7.信赖域反射算法信赖域反射算法是一种基于信赖域的优化算法，通过不断缩小区间来更新参数，具有较好的收敛速度和鲁棒性。
8.岭回归与LASSO岭回归和LASSO 是一种正则化方法，通过加入正则项来优化目标函数，具有较好的过拟合抑制效果。
三、优化算法的应用场景不同的优化算法具有不同的特点和适用场景，如梯度下降适用于简单的问题，牛顿法和拟牛顿法适用于非凸问题，共轭梯度法适用于高维问题等。
在实际应用中，需要根据问题的特点选择合适的优化算法。
四、总结本文对常见的优化算法进行了概述和分析，包括梯度下降、随机梯度下降、小批量梯度下降、牛顿法、拟牛顿法、共轭梯度法、信赖域反射算法、岭回归和LASSO 等。
优化算法描述优化算法是解决最优化问题的一类算法，其目标是找到问题的最优解或接近最优解。
以下是优化算法的一般描述：一、问题定义：确定要解决的问题，并明确定义问题的目标函数。
目标函数可以是最大化或最小化的一个标准，取决于问题的性质。
二、决策变量定义：确定影响问题结果的决策变量。
这些变量是算法需要调整的参数，它们的取值将影响目标函数的值。
三、目标函数：确定问题的目标函数，即要优化的函数。
目标函数的形式取决于具体问题，可能是线性、非线性、连续或离散的。
四、约束条件：定义问题的约束条件，这些条件限制了决策变量的取值范围。
约束可以是等式或不等式，线性或非线性。
五、初始解的生成：针对问题生成初始解，通常是随机生成或基于经验的初步解。
这个初始解将是算法开始搜索的起点。
六、优化算法选择：选择适合问题性质的优化算法。
常见的优化算法包括梯度下降、遗传算法、蚁群算法、粒子群算法等。
七、目标函数评估：对于给定的决策变量组合，计算目标函数的值。
这是优化算法的关键步骤，需要对问题进行适当的数学建模。
八、搜索空间的遍历：根据选择的优化算法，开始在决策变量的搜索空间中进行遍历。
算法根据目标函数的变化调整决策变量的取值，以逐步接近最优解。
九、收敛判断：定义收敛准则，判断算法是否已经找到了满足要求的最优解或接近最优解。
这可以是目标函数值的变化趋势、迭代次数等。
十、结果分析和优化：分析算法的结果，评估最终解的质量。
如果需要，对算法进行调优或尝试其他算法，以获得更好的性能。
十一、解的应用：将得到的最优解或近似最优解应用于实际问题，观察其在实际场景中的效果。
不同的优化算法适用于不同类型的问题，选择合适的算法取决于问题的特性和需求。
在实际应用中，优化算法的有效性通常需要根据具体情况进行调整和验证。
人工智能中的优化算法主要用于寻找最优解或最优参数，可以应用于各种问题，如机器学习模型训练、路径规划、资源分配等。
以下是一些常见的优化算法的比较：
1. 梯度下降法：是最基础的优化算法之一，用于找到函数的最小值。
其中的随机梯度下降法（SGD）在处理大规模数据和模型时尤其有效。
2. 牛顿法：是一种寻找函数的零点的优化算法，优点是能快速找到函数的局部最小值，缺点是可能陷入局部最优。
3. 共轭梯度法：是一种在梯度下降法的基础上改进的算法，可以处理具有非凸函数和多个极小值的优化问题，但计算复杂度较高。
4. 遗传算法：是一种模拟自然选择和遗传学机制的优化算法，适用于大规模搜索和多峰概率问题，但可能找不到全局最优解。
5. 模拟退火算法：是一种寻找全局最优的优化算法，通过引入温度参数和退火机制，能够处理具有约束条件的优化问题，但温度参数的选择会影响算法的性能。
6. 蚁群优化算法：是一种受自然界中蚂蚁寻径行为启发的优化算法，适用于大规模搜索问题，但易陷入局部最优解。
这些算法各有优缺点，适用于不同的问题和场景。
在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的算法，并进行相应的调整和优化。
同时，也可以将多种算法结合起来使用，以提高搜索效率和精度。
数学技术中常用的优化算法及使用技巧在数学技术领域中，优化算法是一种重要的工具，它可以帮助我们在给定的条件下找到最优解。
无论是在工程、经济、医学还是其他领域，优化算法都扮演着重要的角色。
本文将介绍一些常用的优化算法及其使用技巧。
一、梯度下降法梯度下降法是一种常见的优化算法，它通过迭代的方式不断调整参数的值，以找到使目标函数最小化的最优解。
其基本思想是通过计算目标函数的梯度，沿着梯度的反方向进行参数的更新。
这样，我们可以逐步接近最优解。
在使用梯度下降法时，需要注意以下几点。
首先，选择合适的学习率。
学习率决定了每一步参数更新的大小，过大或过小的学习率都可能导致算法的收敛速度变慢或者无法收敛。
其次，需要设置合适的停止条件。
一般来说，可以通过设定目标函数的变化量小于某个阈值来判断算法是否停止。
最后，需要对输入数据进行预处理，以提高算法的性能。
二、遗传算法遗传算法是一种模拟自然进化过程的优化算法。
它通过模拟自然界中的遗传、变异和选择等过程，来搜索问题的最优解。
遗传算法的基本思想是通过不断迭代地生成和改进解的群体，逐步接近最优解。
在使用遗传算法时，需要注意以下几点。
首先，需要选择合适的编码方式。
编码方式决定了解的表示形式，不同的编码方式适用于不同类型的问题。
其次，需要设计合适的适应度函数。
适应度函数用于评估解的质量，它决定了解在进化过程中的生存和繁殖能力。
最后，需要设置合适的参数。
参数包括种群大小、交叉概率、变异概率等，它们会影响算法的性能。
三、模拟退火算法模拟退火算法是一种基于物理退火过程的优化算法。
它通过模拟固体物体在高温下冷却的过程，来搜索问题的最优解。
模拟退火算法的基本思想是通过接受一定概率的劣解，以避免陷入局部最优解。
在使用模拟退火算法时，需要注意以下几点。
首先，需要选择合适的初始温度和退火率。
初始温度决定了算法开始时接受劣解的概率，退火率决定了温度的下降速度。
其次，需要设计合适的能量函数。
能量函数用于评估解的质量，它决定了解在退火过程中的接受概率。
智能优化算法综述智能优化算法（Intelligent Optimization Algorithms）是一类基于智能计算的优化算法，它们通过模拟生物进化、群体行为等自然现象，在空间中寻找最优解。
智能优化算法被广泛应用于工程优化、机器学习、数据挖掘等领域，具有全局能力、适应性强、鲁棒性好等特点。
目前，智能优化算法主要分为传统数值优化算法和进化算法两大类。
传统数值优化算法包括梯度法、牛顿法等，它们适用于连续可导的优化问题，但在处理非线性、非光滑、多模态等复杂问题时表现不佳。
而进化算法则通过模拟生物进化过程，以群体中个体之间的竞争、合作、适应度等概念来进行。
常见的进化算法包括遗传算法(GA)、粒子群优化(PSO)、人工蜂群算法(ABC)等。
下面将分别介绍这些算法的特点和应用领域。
遗传算法(Genetic Algorithm，GA)是模拟自然进化过程的一种优化算法。
它通过定义适应度函数，以染色体编码候选解，通过选择、交叉、变异等操作来最优解。
GA适用于空间巨大、多峰问题，如参数优化、组合优化等。
它具有全局能力、适应性强、并行计算等优点，但收敛速度较慢。
粒子群优化(Particle Swarm Optimization，PSO)是受鸟群觅食行为启发的优化算法。
它通过模拟成群的鸟或鱼在空间中的相互合作和个体局部来找到最优解。
PSO具有全局能力强、适应性强、收敛速度快等特点，适用于连续优化问题，如函数拟合、机器学习模型参数优化等。
人工蜂群算法(Artificial Bee Colony，ABC)是模拟蜜蜂觅食行为的一种优化算法。
ABC通过模拟蜜蜂在资源的与做决策过程，包括采蜜、跳舞等行为，以找到最优解。
ABC具有全局能力强、适应性强、收敛速度快等特点，适用于连续优化问题，如函数优化、机器学习模型参数优化等。
除了上述三种算法，还有模拟退火算法(Simulated Annealing，SA)、蚁群算法(Ant Colony Optimization，ACO)、混沌优化算法等等。
优化算法的分类优化算法是一种用于找到问题的最优解或近似最优解的方法。
在计算机科学和运筹学领域，优化算法被广泛应用于解决各种实际问题，例如机器学习、图像处理、网络设计等。
优化算法的分类可以根据其基本原理或应用领域进行划分。
本文将介绍一些常见的优化算法分类。
1. 传统优化算法传统优化算法是指早期开发的基于数学原理的算法。
这些算法通常基于确定性模型和数学规则来解决问题。
以下是一些常见的传统优化算法：(1) 穷举法穷举法是一种朴素的优化算法，它通过遍历所有可能的解空间来寻找最优解。
穷举法的优点是能够找到全局最优解（如果存在），缺点是搜索空间过大时会非常耗时。
(2) 贪婪算法贪婪算法是一种启发式算法，它通过每一步选择当前状态下最优的决策，从而逐步构建最优解。
贪婪算法的优势是简单快速，但它可能无法找到全局最优解，因为它只考虑了当前最优的选择。
(3) 动态规划动态规划是一种基于最优子结构和重叠子问题性质的优化算法。
它将原问题拆分为一系列子问题，并通过保存子问题的解来避免重复计算。
动态规划的优点是可以高效地求解复杂问题，例如最短路径问题和背包问题。
(4) 分支界限法分支界限法是一种搜索算法，它通过不断分割搜索空间并限制搜索范围，以找到最优解。
分支界限法可以解决一些组合优化问题，如旅行商问题和图着色问题。
2. 随机优化算法随机优化算法是基于概率和随机性的算法，通过引入随机扰动来逐步寻找最优解。
以下是一些常见的随机优化算法：(1) 模拟退火算法模拟退火算法模拟了固体物体冷却过程中的原子运动，通过逐步减小随机扰动的概率来搜索最优解。
模拟退火算法可以通过接受劣解来避免陷入局部最优解。
(2) 遗传算法遗传算法模拟了生物进化过程，通过遗传操作（如交叉和变异）来搜索最优解。
遗传算法通常包括种群初始化、选择、交叉和变异等步骤，能够自适应地搜索解空间。
(3) 蚁群算法蚁群算法模拟了蚂蚁在寻找食物时的行为，通过蚂蚁之间的信息交流和挥发性信息素来搜索最优解。
编程技巧：优化算法的十大方法在软件开发过程中，编写高效的算法是非常重要的。
优化算法能够提升程序的性能，并节约计算资源。
下面列举了编程中常用的十种优化算法方法。
1. 时间复杂度分析在选择合适的算法之前，首先需要对各个算法的时间复杂度进行分析。
通过衡量一个算法在不同规模下运行所需的时间，可以帮助我们选择更高效的算法。
2. 空间复杂度优化除了考虑到时间复杂度，在编程中也要注意空间复杂度。
尽量减少内存使用和数据结构占用，避免造成资源浪费。
3. 算法设计精简通过合理地设计算法，可以避免额外操作和不必要的计算。
需要思考如何通过简单而有效的方式解决问题，以减小计算量。
4. 数据结构选取根据具体问题选择恰当的数据结构非常重要。
不同数据结构有着不同特点和适用场景，正确选择能够提高程序效率。
5. 迭代和递归比较在编写循环迭代和递归函数时，需要权衡两者的优劣。
在某些情况下，递归可以更好地解决问题。
6. 缓存利用利用缓存机制能够加速程序运行。
考虑到数据访问和缓存命中率，合理使用缓存可以提高程序性能。
7. 并行计算现代 CPU 支持并行计算，通过合理并发设计，可以充分利用多核处理器的优势。
并行计算可以显著加快程序运行速度。
8. 状态压缩技巧对于某些状态空间较大的问题，使用状态压缩方法能够减小内存占用，并提高算法效率。
9. 剪枝和预处理在搜索类问题中，通过剪枝和预处理能够减少搜索空间，从而降低算法复杂度。
10. 算法改进和优化通过不断改进和优化原始的算法实现，比如利用数学定理、近似方法或其他技术手段来提高算法效率。
以上十种优化算法方法只是一部分常见的技巧。
在实际编程过程中，需要根据具体问题选择合适的方法来进行优化。
通过对算法进行细致分析和不断实践与总结，我们可以编写出更高效、更优化的程序。
优化算法（Optimizationalgorithms）1.Mini-batch 梯度下降（Mini-batch gradient descent)batch gradient descent :⼀次迭代同时处理整个train dataMini-batch gradient descent: ⼀次迭代处理单⼀的mini-batch (X{t} ,Y{t})Choosing your mini-batch size : if train data m<2000 then batch ,else mini-batch=64~512 (2的n次⽅），需要多次尝试来确定mini-batch sizeA variant of this is Stochastic Gradient Descent (SGD), which is equivalent to mini-batch gradient descent where each mini-batch has just 1 example. The update rule that you have just implemented does not change. What changes is that you would be computing gradients on just one training example at a time, rather than on the whole training set. The code examples below illustrate the difference between stochastic gradient descent and (batch) gradient descent.(Batch) Gradient Descent:X = data_inputY = labelsparameters = initialize_parameters(layers_dims)for i in range(0, num_iterations):# Forward propagationa, caches = forward_propagation(X, parameters)# Compute cost.cost = compute_cost(a, Y)# Backward propagation.grads = backward_propagation(a, caches, parameters)# Update parameters.parameters = update_parameters(parameters, grads)Stochastic Gradient Descent:X = data_inputY = labelsparameters = initialize_parameters(layers_dims)for i in range(0, num_iterations):for j in range(0, m):# Forward propagationa, caches = forward_propagation(X[:,j], parameters)# Compute costcost = compute_cost(a, Y[:,j])# Backward propagationgrads = backward_propagation(a, caches, parameters)# Update parameters.parameters = update_parameters(parameters, grads)1def random_mini_batches(X, Y, mini_batch_size = 64, seed = 0):2"""3 Creates a list of random minibatches from (X, Y)45 Arguments:6 X -- input data, of shape (input size, number of examples)7 Y -- true "label" vector (1 for blue dot / 0 for red dot), of shape (1, number of examples)8 mini_batch_size -- size of the mini-batches, integer910 Returns:11 mini_batches -- list of synchronous (mini_batch_X, mini_batch_Y)12"""1314 np.random.seed(seed) # To make your "random" minibatches the same as ours15 m = X.shape[1] # number of training examples16 mini_batches = []1718# Step 1: Shuffle (X, Y)19 permutation = list(np.random.permutation(m))20 shuffled_X = X[:, permutation]21 shuffled_Y = Y[:, permutation].reshape((1,m))2223# Step 2: Partition (shuffled_X, shuffled_Y). Minus the end case.24 num_complete_minibatches = math.floor(m/mini_batch_size) # number of mini batches of size mini_batch_size in your partitionning25for k in range(0, num_complete_minibatches):26### START CODE HERE ### (approx. 2 lines)27 mini_batch_X = shuffled_X[:,k*mini_batch_size:(k+1)*mini_batch_size]28 mini_batch_Y = shuffled_Y[:,k*mini_batch_size:(k+1)*mini_batch_size]29### END CODE HERE ###30 mini_batch = (mini_batch_X, mini_batch_Y)31 mini_batches.append(mini_batch)3233# Handling the end case (last mini-batch < mini_batch_size)34if m % mini_batch_size != 0:35### START CODE HERE ### (approx. 2 lines)36 mini_batch_X =shuffled_X[:,(k+1)*mini_batch_size:m]37 mini_batch_Y =shuffled_Y[:,(k+1)*mini_batch_size:m]38### END CODE HERE ###39 mini_batch = (mini_batch_X, mini_batch_Y)40 mini_batches.append(mini_batch)4142return mini_batches2.指数加权平均数（Exponentially weighted averages):指数加权平均数的公式：在计算时可视V t⼤概是1/(1-B)的每⽇温度，如果B是0.9，那么就是⼗天的平均值，当B较⼤时，指数加权平均值适应更缓慢指数加权平均的偏差修正：3.动量梯度下降法（Gradinent descent with Momentum)1def initialize_velocity(parameters):2"""3 Initializes the velocity as a python dictionary with:4 - keys: "dW1", "db1", ..., "dWL", "dbL"5 - values: numpy arrays of zeros of the same shape as the corresponding gradients/parameters.6 Arguments:7 parameters -- python dictionary containing your parameters.8 parameters['W' + str(l)] = Wl9 parameters['b' + str(l)] = bl1011 Returns:12 v -- python dictionary containing the current velocity.13 v['dW' + str(l)] = velocity of dWl14 v['db' + str(l)] = velocity of dbl15"""1617 L = len(parameters) // 2 # number of layers in the neural networks18 v = {}1920# Initialize velocity21for l in range(L):22### START CODE HERE ### (approx. 2 lines)23 v["dW" + str(l+1)] = np.zeros(parameters["W"+str(l+1)].shape)24 v["db" + str(l+1)] = np.zeros(parameters["b"+str(l+1)].shape)25### END CODE HERE ###2627return v1def update_parameters_with_momentum(parameters, grads, v, beta, learning_rate):2"""3 Update parameters using Momentum45 Arguments:6 parameters -- python dictionary containing your parameters:7 parameters['W' + str(l)] = Wl8 parameters['b' + str(l)] = bl9 grads -- python dictionary containing your gradients for each parameters:10 grads['dW' + str(l)] = dWl11 grads['db' + str(l)] = dbl12 v -- python dictionary containing the current velocity:13 v['dW' + str(l)] = ...14 v['db' + str(l)] = ...15 beta -- the momentum hyperparameter, scalar16 learning_rate -- the learning rate, scalar1718 Returns:19 parameters -- python dictionary containing your updated parameters20 v -- python dictionary containing your updated velocities21"""2223 L = len(parameters) // 2 # number of layers in the neural networks2425# Momentum update for each parameter26for l in range(L):2728### START CODE HERE ### (approx. 4 lines)29# compute velocities30 v["dW" + str(l+1)] = beta*v["dW" + str(l+1)]+(1-beta)*grads["dW" + str(l+1)]31 v["db" + str(l+1)] = beta*v["db" + str(l+1)]+(1-beta)*grads["db" + str(l+1)]32# update parameters33 parameters["W" + str(l+1)] = parameters["W" + str(l+1)]-learning_rate*v["dW" + str(l+1)]34 parameters["b" + str(l+1)] = parameters["b" + str(l+1)]-learning_rate*v["db" + str(l+1)]35### END CODE HERE ###3637return parameters, v#β=0.9 is often a reasonable default.4.RMSprop算法（root mean square prop）:5.Adam 优化算法（Adam optimization algorithm)：Adam 优化算法基本上就是将Momentum 和RMSprop结合在⼀起1def initialize_adam(parameters) :2"""3 Initializes v and s as two python dictionaries with:4 - keys: "dW1", "db1", ..., "dWL", "dbL"5 - values: numpy arrays of zeros of the same shape as the corresponding gradients/parameters. 67 Arguments:8 parameters -- python dictionary containing your parameters.9 parameters["W" + str(l)] = Wl10 parameters["b" + str(l)] = bl1112 Returns:13 v -- python dictionary that will contain the exponentially weighted average of the gradient.14 v["dW" + str(l)] = ...15 v["db" + str(l)] = ...16 s -- python dictionary that will contain the exponentially weighted average of the squared gradient.17 s["dW" + str(l)] = ...18 s["db" + str(l)] = ...1920"""2122 L = len(parameters) // 2 # number of layers in the neural networks23 v = {}24 s = {}2526# Initialize v, s. Input: "parameters". Outputs: "v, s".27for l in range(L):28### START CODE HERE ### (approx. 4 lines)29 v["dW" + str(l+1)] = np.zeros(parameters["W" + str(l+1)].shape)30 v["db" + str(l+1)] = np.zeros(parameters["b" + str(l+1)].shape)31 s["dW" + str(l+1)] = np.zeros(parameters["W" + str(l+1)].shape)32 s["db" + str(l+1)] = np.zeros(parameters["b" + str(l+1)].shape)33### END CODE HERE ###3435return v, s1def update_parameters_with_adam(parameters, grads, v, s, t, learning_rate = 0.01,2 beta1 = 0.9, beta2 = 0.999, epsilon = 1e-8):3"""4 Update parameters using Adam56 Arguments:7 parameters -- python dictionary containing your parameters:8 parameters['W' + str(l)] = Wl9 parameters['b' + str(l)] = bl10 grads -- python dictionary containing your gradients for each parameters:11 grads['dW' + str(l)] = dWl12 grads['db' + str(l)] = dbl13 v -- Adam variable, moving average of the first gradient, python dictionary14 s -- Adam variable, moving average of the squared gradient, python dictionary15 learning_rate -- the learning rate, scalar.16 beta1 -- Exponential decay hyperparameter for the first moment estimates17 beta2 -- Exponential decay hyperparameter for the second moment estimates18 epsilon -- hyperparameter preventing division by zero in Adam updates1920 Returns:21 parameters -- python dictionary containing your updated parameters22 v -- Adam variable, moving average of the first gradient, python dictionary23 s -- Adam variable, moving average of the squared gradient, python dictionary24"""2526 L = len(parameters) // 2 # number of layers in the neural networks27 v_corrected = {} # Initializing first moment estimate, python dictionary28 s_corrected = {} # Initializing second moment estimate, python dictionary2930# Perform Adam update on all parameters31for l in range(L):32# Moving average of the gradients. Inputs: "v, grads, beta1". Output: "v".33### START CODE HERE ### (approx. 2 lines)34 v["dW" + str(l+1)] = beta1* v["dW" + str(l+1)]+(1-beta1)*grads["dW" + str(l+1)]35 v["db" + str(l+1)] = beta1* v["db" + str(l+1)]+(1-beta1)*grads["db" + str(l+1)]36### END CODE HERE ###3738# Compute bias-corrected first moment estimate. Inputs: "v, beta1, t". Output: "v_corrected".39### START CODE HERE ### (approx. 2 lines)40 v_corrected["dW" + str(l+1)] = (v["dW" + str(l+1)])/(1-np.power(beta1,t))41 v_corrected["db" + str(l+1)] = (v["db" + str(l+1)])/(1-np.power(beta1,t))42### END CODE HERE ###4344# Moving average of the squared gradients. Inputs: "s, grads, beta2". Output: "s".45### START CODE HERE ### (approx. 2 lines)46 s["dW" + str(l+1)] = beta2* s["dW" + str(l+1)]+(1-beta2)*np.power(grads["dW" + str(l+1)],2)47 s["db" + str(l+1)] = beta2* s["db" + str(l+1)]+(1-beta2)*np.power(grads["db" + str(l+1)],2)48### END CODE HERE ###4950# Compute bias-corrected second raw moment estimate. Inputs: "s, beta2, t". Output: "s_corrected".51### START CODE HERE ### (approx. 2 lines)52 s_corrected["dW" + str(l+1)] = s["dW" + str(l+1)]/(1-np.power(beta2,t))53 s_corrected["db" + str(l+1)] = s["db" + str(l+1)]/(1-np.power(beta2,t))54### END CODE HERE ###5556# Update parameters. Inputs: "parameters, learning_rate, v_corrected, s_corrected, epsilon". Output: "parameters".57### START CODE HERE ### (approx. 2 lines)58 parameters["W" + str(l+1)] = parameters["W" + str(l+1)]-learning_rate*v_corrected["dW" + str(l+1)]/(s_corrected["dW" + str(l+1)]+epsilon)59 parameters["b" + str(l+1)] = parameters["b" + str(l+1)]-learning_rate*v_corrected["db" + str(l+1)]/(s_corrected["db" + str(l+1)]+epsilon)60### END CODE HERE ###6162return parameters, v, s6.学习率衰减（Learning rate decay):加快学习算法的⼀个办法就是随时间慢慢减少学习率，这样在学习初期，你能承受较⼤的步伐，当开始收敛的时候，⼩⼀些的学习率能让你步伐⼩⼀些。
机器学习常见优化算法
1. 梯度下降法：梯度下降法是机器学习中最常用的优化算法，它的基本原理是通过计算梯度来更新参数，使得损失函数的值越来越小，从而使得模型的性能越来越好。
2. 随机梯度下降法：随机梯度下降法是梯度下降法的变种，它的基本原理是每次只用一个样本来更新参数，从而使得训练速度更快，但是可能会导致模型的泛化能力变差。
3. 拟牛顿法：拟牛顿法是一种基于牛顿法的优化算法，它的基本原理是通过迭代计算拟牛顿步长来更新参数，从而使得损失函数的值越来越小，从而使得模型的性能越来越好。
4. Adagrad：Adagrad是一种自适应学习率的优化算法，它的基本原理是根据每个参数的梯度大小来调整学习率，从而使得模型的性能越来越好。
5. Adadelta：Adadelta是一种自适应学习率的优化算法，它的基本原理是根据每个参数的更新量来调整学习率，从而使得模型的性能越来越好。
6. Adam：Adam是一种自适应学习率的优化算法，它的基本原理是根据每个参数的梯度和更新量来调整学习率，从而使得模型的性能越来越好。
7.共轭梯度法：共轭梯度法是一种迭代优化算法，它使用一阶导数和共轭梯度来求解最优解。
它的优点是计算速度快，缺点是可能不太稳定。
优化算法（1）1. 梯度下降1)分类批量梯度下降（BGD ）:i 10110((,...))=()mj j j j i n j i i j h x x x y x ag t θθθαθ--==---∑ (1)说明：在实际训练中，上式既可以是将所有样本训练完，计算所有样本的梯度和，然后与前一时刻的参数做差。
也可以是训练一个样本就计算梯度然后做差，之后依次迭代下去。
随机梯度下降（SGD ）i 101((,...))j j j j i n j i h x x x y x θθθα-=--小批量梯度下降（MGD ）.1i 101t((,...))t x j j j i n j j h x x x y θθθα+--==--∑2. Momentum由(1)得到：t ()ag t θ∆=-即：参数的更新方向完全取决于当前时刻梯度的方向，因而其更新是十分不稳定的。
一个改进的方法就是引入动量的概念：momentum,它模拟物体运动时候的惯性，即在更新的时候不仅考虑梯度的方向，而且在一定程度上保留之前的方向。
经实验验证，其能够在一定程度上增加参数更新的稳定性，某些情况下能够加快训练速度，并且具有一定摆脱陷入局部最优的能力。
t 1()t ag t θρθ-∆=∆-特点：前后梯度方向一致时,能够加速学习 前后梯度方向不一致时,能够抑制震荡3. Nestrov Momentum （NAG ）根据之前的动量进行大步跳跃，然后计算梯度进行校正，从而实现参数更新。
这种预更新方法能防止大幅振荡，不会错过最小值，并对参数更新更加敏感 与Momentum 的区别在于梯度计算的时刻不同。
Nestrov Momentum 方法是先按照原来的方向对参数进行估计,然后使用估计后位置的梯度来纠正方向。
t 11g((;),)t t t t a L x g y θρθθα--∆=∆-+4. AdagradAdagrad 算法能够在训练中自动的对learning rate 进行调整，对不同的参数使用不同的学习速率。
可以想象在训练的某个阶段，各个参数的收敛程度是不同的。
有的参数接近收敛，需要娇小的学习率，而有的参数还有很大的程度才能收敛，所以各个参数应该具有不同的学习速率。
Adagrad 方法可以自适应的为不同参数分配不同的学习速率：其中，eta 是初始学习速率。
使得在参数空间更为平缓的方向， 会取得更大的进步，并且能够使得陡峭的方向变得平缓，从而加快训练速度。
善于处理稀疏梯度。
5. AdadeltaAdagrad 存在的问题：（1） 学习率单调递减，训练后期学习率非常小。
（2） 需要手动设置一个全局的初始学习率针对第一个问题，我们只是用距离当前时间较近的梯度项。
即：其中，ρ是衰减系数，相当于将前面的梯度随时间按衰减系数进行衰减，相当于仅适用了离当前时刻较近的梯度。
可以发现，学习率并不一定是一个单调的过程。
上面的5种方法都是基于梯度的优化方法，下面将介绍一些其他的优化方法。
6. 牛顿法（牛顿二阶导数法）基本思想：在极小点的估计值附近，对f(x)做二阶泰勒展开，进而找到极小值的下一个估计值。
考虑下面的无约束优化问题：令：由于求的是最值，对上式求导得（后两项求导结果）：则：当X为多维情况时：其中，H为Hessian矩阵，g为梯度。
综上，牛顿法的算法流程是：7. 阻尼牛顿法上述x的迭代过程可以发现是一个定步长的过程，所以在某些情况下可能越过最小值。
阻尼牛顿法是在每次迭代之前寻找最优的步长进行迭代。
步长的计算公式;（1.13）其中：。
则，阻尼牛顿法的算法流程是：牛顿法的问题：目标函数必须有一阶，二阶导数偏导数，且多维情况下的海森矩阵必须是正定的。
所以在求解凸优化问题的时候，前提条件是嗨森矩阵是正定的。
如果不是正定，不能保证所产生的方向是目标函数在xk处的下降方向。
计算复杂。
不仅要计算梯度，还要计算嗨森矩阵及其逆矩阵。
计算量和存储量都已维数N的平方比增加。
8. 拟牛顿法原始牛顿法问题：Hessian矩阵或其逆矩阵计算复杂，且无法保证正定（嗨森矩阵不是正定时，不能保证所产生的方向是目标函数在x k处的下降方向）。
拟牛顿法就是采用一定的方法对Hessian矩阵或者其逆矩阵做近似（设分别为BD）。
然后按照牛顿法的计算方式进行计算。
因为Hessian为对称矩阵，所以可以初始化B（或者D）为单位阵，并通过不断地迭代来使B（D）趋近于原始的Hessian矩阵。
其中，DFP算法是近似Hessian矩阵的逆，BFGS算法是近似Hessian矩阵。
这里以拟牛顿方法中的BFGS算法讲述拟牛顿的工作流程：从拟牛顿条件说起（或者可以解释为牛顿法中海森矩阵应满足的条件）:经过k+1次迭代，我们的目标函数变为：在两边同时作用一个梯度算子有：取X=Xk有：令：则有：（1）上式即称为拟牛顿条件。
BFGS算法的思想是直接使用一个矩阵B逼近海森矩阵H。
因为H为对称阵，所以初始化B为单位阵。
并每次迭代更新：设B的变化量为：将上式带入（1）得：本式子推到过程：令：则有：所以：T T T k k k k k kK T T k k k k ky y B s s B B y s s B s ∆=-给出BFGS 的算法流程（解释前面只是推导B 的迭代过程，在实际算法里面前面依然借用的是牛顿法的思想。
）：9. 期望最大化（EM ）10. 共轭梯度法共轭方向法（不一定是共轭梯度）的思想就是在N 维优化问题中，每次沿一个方向优化得到极小值，后面再沿其他方向求极小值的时候，不会影响前面已经得到的沿那些方向上的极小值，所以理论上对N 个方向都求出极小值就得到了N 维问题的极小值。
这组方向由于两两共轭，所以就叫他共轭方向法。
梯度下降法每次都直接选取当前点的梯度方向，所以就有可能按下葫芦浮起瓢：这次求出的极小值点在之前搜索过的方向上又不是极小值了，这样就导致收敛速度比较慢甚至不收敛。
共轭描述：PAQ=0；则称向量P 和Q 是关于A 共轭的，或称P 、Q 是关于A 共轭方向。
共轭方向：我们认为两个正交向量的方向是互不影响的。
推广到更一般的情况：过程描述：首先选取初始点x1,如果则令，沿该方向搜索得x2..如果则令：。
其中右侧第一项表示此点的负梯度方向第二项表示原搜索方向。
因为假设d1和d2方向共轭，所以有以下约束条件：。
综上面的步骤，可以发现此过程包含了梯度法和共轭法两种思想。
联立上式得到：扩展到一般情况有：共轭梯度法算法流程：梯度下降方法都是确定一个搜索方向然后再用一个合适的步长来保证收敛性，不同的是梯度下降在寻找搜索方向的时候只利用了空间中当前点的信息，共轭梯度下降还利用了之前的搜索路径信息11. 梯度下降法和牛顿法的效率比较梯度下降法用目标函数的一阶偏导、以负梯度方向作为搜索方向，只考虑目标函数在迭代点的局部性质；牛顿法同时考虑了目标函数的一、二阶偏导数，考虑了梯度变化趋势，因而能更合适的确定搜索方向加快收敛，但牛顿法也存在以下缺点：1、对目标函数有严格要求，必须有连续的一、二阶偏导数，海森矩阵必须正定；2、计算量大，除梯度外，还需计算二阶偏导矩阵及其逆矩阵。
据共轭方向的性质，依次沿着对Q共轭的一组方向作一维搜索，则可保证在至多n 步内获得二次函数的极小点。
共轭方向法在处理非二次目标函数时也相当有效，具有超线性的收敛速度，在一定程度上克服了最速下降法的锯齿形现象，同时又避免了牛顿法所涉及的海色(Hesse) 矩阵的计算和求逆问题。
对于非二次函数，n步搜索并不能获得极小点，需采用重开始策略，即在每进行n次一维搜索之后，若还未获得极小点，则以负梯度方向作为初始方向重新构造共轭方向，继续搜索。
12. 坐标上升法假设有以下优化问题：坐标上升法的原理是：更新过程为每次固定除αi以外的参数，求得满足条件的αi，直到算法收敛。
13.AdamAdam(Adaptive Moment Estimation)本质上是带有动量项的RMSprop，它利用经过偏置校正的梯度一阶矩估计和二阶矩估计动态调整每个参数的学习率，每一次迭代学习率都有个确定范围，使得参数比较平稳。
公式如下：结合了Adagrad善于处理稀疏梯度和RMSprop善于处理非平稳目标的优点为不同的参数计算不同的自适应学习率Adam的优点主要在于经过偏置校正后，每一次迭代学习率都有个确定范围，使得参数比较平稳。
适用于大数据集和高维空间对内存需求较小14. RMSProp算法其实RMSprop依然依赖于全局学习率RMSprop算是Adagrad的一种发展，和Adadelta的变体，效果趋于二者之间。
起到的效果是在参数空间更为平缓的方向，会取得更大的进步（因为平缓，所以历史梯度平方和较小，对应学习下降的幅度较小），并且能够使得陡峭的方向变得平缓，从而加快训练速度。
适合处理非平稳目标(衰减系数) ，因此可缓解Adagrad算法学习率下降较快的问题对于RNN效果很好15. RProp算法首先为各权重变化赋一个初始值，设定权重变化加速因子与减速因子。
在网络前馈迭代中当连续误差梯度符号不变时，采用加速策略，加快训练速度；当连续误差梯度符号变化时，采用减速策略，以期稳定收敛。
网络结合当前误差梯度符号与变化步长实现BP，同时，为了避免网络学习发生振荡或下溢，算法要求设定权重变化的上下限。
缺点：不同权值参数的梯度的数量级可能相差很大，因此很难找到一个全局的学习步长。
靠参数梯度的符号，动态的调节学习步长适用于full-batch learning，不适用于mini-batch learning（会由于每次BATCH样本的不同，梯度的各次符号不同，那学习步长可能频繁的来回波动。
16 SGD,GD,BGD优缺点GD（Gradient Descent）：将所有数据输入到网络，算出平均梯度来更新一次网络的方法叫做GD。
效率很低，也容易卡在局部极小值，但更新方向稳定。
SGD（Gradient Descent）：一次只输入一个训练数据到网络，算出梯度来更新一次网络的方法叫做SGD。
效率高，适合大规模学习任务，更新方向不稳定但是容易挣脱局部极小值（或鞍点）。
batch-GD：这是上面两个方法的折中方式。
每次计算部分数据的平均梯度来更新权重。
部分数据的数量大小叫做batch_size，对训练效果有影响。
一般10个以下的也叫mini-batch-GD。
代码如下：13.为什么梯度负方向是下降最快的方向14简述优化方法）随即梯度下降训练速度快；缺点：准确度下降，并不是全局最优；不易于并行实现。
（2）批量梯度下降全局最优解；易于并行实现；缺点：当样本数目很多时，训练过程会很慢。
（3）mini_batch梯度下降综合随即梯度下降和批量梯度下降的优缺点，提取的一个中和的方法。
