第一章复习(第4课时)充要条件(2)

§1.2.2 充要条件学习目标1. 理解充分条件、必要条件与充要条件的意义；2. 掌握充要条件的证明方法，既要证明充分性又要证明必要性.学习过程一、课前准备（预习教材P 11~ P 12，找出疑惑之处）复习1：什么是充分条件和必要条件、充要条件?复习2：p ：一个四边形是矩形q ：四边形的对角线相等.p 是q 的什么条件? q 又是p 的什么条件?二、新课导学※ 学习探究探究任务一：下列形如“若p ，则q ”的命题是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？p 是q 的什么条件？（1）若平面α外一条直线a 与平面α内一条直线平行，则直线a 与平面α平行；（2）若直线a 与平面α内两条直线垂直，则直线a 与平面α垂直.反思：充要条件的实质是原命题和逆命题均为真命题.※ 典型例题例1 下列各题中,判断p 是q 的什么条件?(1) p : 0b =,q :函数2()f x ax bx c =++是偶函数；(2) p : 0,0,x y >> q :0xy >(3) p : a b > ， q :a c b c +>+变式：下列形如“若p ，则q ”的命题是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？哪些p 是q 的充要条件?(1) p : 0b = ,q :函数2()f x ax bx c =++是偶函数；(2) p : 0,0,x y >> q :0xy >(3) p : a b > ， q :a c b c +>+小结：判断是否充要条件两种方法（1）p q ⇒且q p ⇒；（2）原命题、逆命题均为真命题；(3) 用逆否命题转化.练习：在下列各题中, p 是q 的什么条件?(1) p :234x x =+ , q :x =(2) p : 30x -=, q :(3)(4)0x x --=(3) p : 240(0)b ac a -≥≠ ,q :20(0)ax bx c a ++=≠(4) p : 1x =是方程20ax bx c ++=的根q :0a b c ++=例2 已知0ab ≠，求证：1a b +=的充要条件是33220a b ab a b ++--=小结：证明充要条件既要证明充分性又要证明必要性.※ 动手试试练1. 下列各题中p 是q 的什么条件？（1）p ：1x =，q ：1x -（2）p ：|2|3x -=，q ：15x -≤≤ ；（3）p ：2x =，q ：3x -=；（4）p ：三角形是等边三角形，q ：三角形是等腰三角形.练2. 求圆222()()x a y b r -+-=经过原点的充要条件.三、总结提升※ 学习小结这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？※ 知识拓展设A 、B 为两个集合，集合A B =是指x A x B ∈⇔∈，则“x A ∈”与“x B ∈”互为 条件.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 下列命题为真命题的是（ ）.A.a b >是22a b >的充分条件B.||||a b >是22a b >的充要条件C.21x =是1x =的充分条件D.αβ=是tan tan αβ= 的充要条件2.“x M N ∈”是“x M N ∈”的（ ）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.设p ：240(0)b ac a ->≠，q ：关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠有实根，则p 是q 的（ ）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.22530x x --<的一个必要不充分条件是（ ）. A.132x -<< B.102x -<< C.132x -<< D.16x -<< 5. 用充分条件、必要条件、充要条件填空.(1) 3x >是5x >的(2) 3x =是2230x x --=的(3) 两个三角形全等是两个三角形相似的课后作业1. 证明：20a b +=是直线230ax y ++=和直线20x by ++=垂直的充要条件.2.求证：ABC ∆是等边三角形的充要条件是222a b c ab ac bc ++=++，这里,,a b c 是ABC ∆的三边.。

第一章集合与常用逻辑用语1.4充分条件与必要条件教材分析：本课是高中数学第一章第4节，充要条件是中学数学中最重要的数学概念之一，它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系,目的是为今后的数学学习特别是数学推理的学习打下基础。

从学生学习的角度看，与旧教材相比，教学时间的前置，造成学生在学习充要条件这一概念时的知识储备不够丰富，逻辑思维能力的训练不够充分，这也为教师的教学带来一定的困难．“充要条件”这一节介绍了充分条件,必要条件和充要条件三个概念,由于这些概念比较抽象,中学生不易理解,用它们去解决具体问题则更为困难,因此”充要条件”的教学成为中学数学的难点之一,而必要条件的定义又是本节内容的难点.1.教学重点：理解充分条件、必要条件、充要条件的意义，掌握命题条件的充要性判断及其证明方法；2.教学难点：命题条件充要性的判断及其证明。

课前准备：多媒体教学过程：一、情景引入，温故知新情景1：如图所示电路中(整个电路及灯泡一切正常), 记p:闭合开关A, q:灯泡亮。

请把这个电路图改写为“若p ，则q ”形式的命题并判断真假。

【答案】真命题情景2：记p:x >2, q:x >0 。

判断命题“若x >2 ，则 x >0”的真假。

【答案】真命题 二、探索新知探究一 充分条件与必要条件的含义1.思考:下列“若P ，则q ”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；（2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；（3）若2430,1;x x x -+==则（4）若平面内两条直线a 和b 均垂直于直线l ,则a//b 。

【答案】（1）真 (2)假 (3) 假 （4）真2、归纳新知（1）充分条件、必要条件的含义一般地,用p 、q 分别表示两个命题,如果命题p 成立,可以推出命题q 也成立,即p q ⇒,那么p 叫做q 的充分条件,p件。

1.4.2 充要条件(教师独具内容)课程标准：通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系．教学重点：掌握充要条件的概念，理解充要条件的意义，会判断条件与结论之间的充要性．教学难点：判断条件与结论之间的充要性．【知识导学】知识点充要条件(1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有□01p⇒q，又有□02 q⇒p，就记作□03p⇔q.此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分04充要条件(sufficient and necessary condition)．必要条件，简称为□(2)当p是q的充要条件时，q也是p的□05充要条件．(3)p是q的充要条件也常常说成“p成立□06当且仅当q成立”，或“p与q□07等价”．【新知拓展】1．从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件(1)若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若p⇔q，则p是q的充要条件．(3)若p⇒q，且q⇒/p，则称p是q的充分不必要条件．(4)若p⇒/q，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．(5)若p⇒/q，且q⇒/p，则称p是q的既不充分也不必要条件．2．从集合的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则(1)若A⊆B，则p是q的充分条件．(2)若B⊆A，则p是q的必要条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．(4)若A⊆B且B A，即A B，则p是q的充分不必要条件．(5)若B⊆A且A B，即B A，则p是q的必要不充分条件．(6)若A B且B A，则p是q的既不充分也不必要条件．3．“⇔”的传递性若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．( )(2)符号“⇔”具有传递性．( )(3)若p⇒/q和q不能推出p有一个成立，则p一定不是q的充要条件．( )(4)“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充分不必要条件．( )(5)“三角形的三条边相等”是“三角形的三个角相等”的充要条件．( )答案(1)√(2)√(3)√(4)×(5)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)“x2－3x＋2＝0”的充要条件是_______________________________．(2)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)(3)若△ABC∽△DEF，“相似比为3∶2”是“对应高的比为3∶2”的________条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空) 答案(1)x＝1或x＝2 (2)充要(3)充要题型一充要条件的概念及判断方法例1 在下列各题中，试判断p是q的什么条件．(1)p：a＝b，q：ac＝bc；(2)p：a＋5是无理数，q：a是无理数；(3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；(4)p：A∩B＝A，q：∁U B⊆∁U A.[解] (1)因为a＝b⇒ac＝bc，而ac＝bc不能推出a＝b，所以p是q的充分条件，但不是必要条件．(2)因为a＋5是无理数⇒a是无理数，并且a是无理数⇒a＋5是无理数，所以p是q的充要条件．(3)因为a2＋b2＝0⇒a＝b＝0，并且a＝b＝0⇒a2＋b2＝0，所以p是q的充要条件．(4)因为A∩B＝A⇒A⊆B⇒∁U A⊇∁U B，并且∁U B⊆∁U A⇒B⊇A⇒A∩B＝A，所以p是q的充要条件．[题型探究] 已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，也是s的充分条件，r是s的必要条件，问：(1)p是r的什么条件？(2)s是q的什么条件？(3)p，q，r，s中哪几对互为充要条件？解作出“⇒”图，如右图所示，可知：p⇒q，r⇒q，q⇒s，s⇒r.(1)p⇒q⇒s⇒r，且r⇒q，q能否推出p未知，∴p是r的充分条件．(2)∵s⇒r⇒q，q⇒s，∴s是q的充要条件．(3)共有三对充要条件，q⇔s；s⇔r；r⇔q.金版点睛判断p是q的充分必要条件的两种思路(1)命题角度：判断p是q的充分必要条件，主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立．若p⇒q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若q⇒p成立，则p是q 的必要条件，同时q是p的充分条件；若二者都成立，则p与q互为充要条件．(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断p⇒q及q⇒p的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．此外，对于较复杂的关系，常用⇒，⇐，⇔等符号进行传递，画出它们的综合结构图，可降低解题难度．[跟踪训练1]指出下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：A∪B＝A，q：A∩B＝B；(2)p ：⎩⎪⎨⎪⎧α>2，β>2，q ：⎩⎪⎨⎪⎧α＋β>4，αβ>4；(3)已知实数a ，b ，p ：a >0且b >0，q ：a ＋b >0且ab >0.解 (1)因为A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，而A ∩B ＝B ⇔B ⊆A ，所以A ∪B ＝A ⇔A ∩B ＝B ，所以p 是q 的充要条件．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧α>2，β>2，根据不等式的性质可得⎩⎪⎨⎪⎧α＋β>4，αβ>4.即p ⇒q ，而由⎩⎪⎨⎪⎧α＋β>4，αβ>4不能推出⎩⎪⎨⎪⎧α>2，β>2.如：α＝1，β＝5满足⎩⎪⎨⎪⎧α＋β>4，αβ>4，但不满足α>2.所以p 是q 的充分不必要条件．(3)由a >0且b >0⇒a ＋b >0且ab >0，并且由a ＋b >0且ab >0⇒a >0且b >0，所以p 是q 的充要条件．题型二 充要条件的证明 例2 已知ab ≠0，求证：a ＋b ＝1是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0的充要条件． [证明] ①充分性： ∵a ＋b ＝1，∴b ＝1－a ，∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝a 3＋(1－a )3＋a (1－a )－a 2－(1－a )2＝a 3＋1－3a ＋3a 2－a 3＋a －a 2－a 2－1＋2a －a 2＝0，即a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.②必要性：∵a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0， ∴(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝0， ∴(a 2－ab ＋b 2)(a ＋b －1)＝0. ∵ab ≠0，∴a ≠0且b ≠0， ∴a 2－ab ＋b 2≠0.∴a ＋b －1＝0，∴a ＋b ＝1.综上可知，当ab ≠0时，a ＋b ＝1是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0的充要条件．[题型探究] 已知a ，b 是实数，求证：a 2－b 2＝1是a 4－b 4－2b 2＝1成立的充分条件．该条件是否为必要条件？试证明你的结论．证明 因为a 2－b 2＝1，所以a 4－b 4－2b 2＝(a 2－b 2)·(a 2＋b 2)－2b 2＝(a 2＋b 2)－2b 2＝a 2－b 2＝1.即a 2－b 2＝1是a 4－b 4－2b 2＝1成立的充分条件．另一方面，若a 4－b 4－2b 2＝1， 即a 4－(b 4＋2b 2＋1)＝0，a 4－(b 2＋1)2＝0，(a 2－b 2－1)(a 2＋b 2＋1)＝0.又a 2＋b 2＋1≠0，所以a 2－b 2－1＝0， 即a 2－b 2＝1.因此a 2－b 2＝1是a 4－b 4－2b 2＝1成立的必要条件． 金版点睛充要条件的证明证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”⇒“结论”，必要性需要证明“结论”⇒“条件”．[跟踪训练2] 求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac <0.证明 ①必要性：由于方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根，∴Δ＝b 2－4ac >0，x 1x 2＝ca<0，∴ac <0. ②充分性：由ac <0可得b 2－4ac >0及x 1x 2＝c a<0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实根，且两根异号，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．综上可知，关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac <0.题型三 探求充要条件例3 求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件． [解] ①当a ＝0时，方程为一元一次方程，其根为x ＝－12，符合要求．②当a ≠0时，方程为一元二次方程，此时ax 2＋2x ＋1＝0有实根的充要条件是判别式Δ≥0，即4－4a ≥0，从而a ≤1.设方程ax 2＋2x ＋1＝0的两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－2a ，x 1x 2＝1a.(ⅰ)方程ax 2＋2x ＋1＝0有一负根一正根的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，1a<0⇒a <0；(ⅱ)方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个负根的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，－2a<0，1a >0⇒0<a ≤1.综上所述，方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a ≤1. 金版点睛探求充要条件的两种方法(1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明．(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程的每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证．[跟踪训练3] 已知方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．解 方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0，则方程有两个大于1的实数根x 1，x 2：⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(2k －1)2－4k 2≥0，(x 1－1)(x 2－1)>0，(x 1－1)＋(x 2－1)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧k ≤14，x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1>0，(x 1＋x 2)－2>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧k ≤14，k 2＋(2k －1)＋1>0，－(2k －1)－2>0⇔k <－2.所以使方程有两个大于1的实数根的充要条件是k <－2.1．已知A ，B 是非空集合，命题p ：A ∪B ＝B ，命题q ：A B ，则p 是q 的( ) A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．既不充分也不必要条件D ．必要不充分条件答案 D解析 由A ∪B ＝B ，得A B 或A ＝B ；反之，由A B ，得A ∪B ＝B ，所以p 是q 的必要不充分条件．2．“x 2＋(y －2)2＝0”是“x (y －2)＝0”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 x 2＋(y －2)2＝0，即x ＝0且y ＝2，∴x (y －2)＝0.反之，x (y －2)＝0，即x ＝0或y ＝2，x 2＋(y －2)2＝0不一定成立．故“x 2＋(y －2)2＝0”是“x (y －2)＝0”的充分不必要条件．3．设x ∈R ，则“x <－1”是“|x |>1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 因为x <－1⇒|x |>1，而|x |>1⇒x <－1或x >1，故“x <－1”是“|x |>1”的充分不必要条件．4．关于x 的不等式|x |>a 的解集为R 的充要条件是________． 答案 a <0解析 由题意知|x |>a 恒成立，∵|x |≥0，∴a <0.5．已知x ，y 都是非零实数，且x >y ，求证：1x <1y的充要条件是xy >0.证明 证法一：①充分性：由xy >0及x >y ，得x xy >y xy，即1x <1y.②必要性：由1x <1y ，得1x －1y <0，即y －xxy<0.因为x >y ，所以y －x <0，所以xy >0. 所以1x <1y的充要条件是xy >0.证法二：1x <1y ⇔1x －1y <0⇔y －xxy<0.由条件x >y ⇔y －x <0，故由y －xxy<0⇔xy >0. 所以1x <1y ⇔xy >0，即1x <1y的充要条件是xy >0.。

高中数学专题复习（2）充要条件一、高考要求:充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件p 和结论q 之间的关系.本节主要是通过不同的知识点来剖析充分必要条件的意义，让考生能准确判定给定的两个命题的充要关系.重难点归纳：(1)要理解“充分条件”“必要条件”的概念：当“若p 则q ”形式的命题为真时，就记作p ⇒q ，称p 是q 的充分条件，同时称q 是p 的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假.(2)要理解“充要条件”的概念，对于符号“⇔”要熟悉它的各种同义词:“等价于”，“当且仅当”，“必须并且只需”，“……，反之也真”等.(3)数学概念的定义具有相称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质.(4)从集合观点看，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件；若A =B ，则A 、B 互为充要条件.(5)证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).二、题例示范:例1．已知p :|1－31-x |≤2,q :x 2－2x +1－m 2≤0(m >0),若⌐p 是⌐q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围.命题意图:本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了知识点的灵活性.知识依托:本题解题的闪光点是利用等价命题对题目的文字表述方式进行转化，使考生对充要条件的难理解变得简单明了.错解分析:对四种命题以及充要条件的定义实质理解不清晰是解此题的难点，对否命题，学生本身存在着语言理解上的困难.技巧与方法:利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决.解:由题意知:命题:若⌐p 是⌐q 的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为:p 是q 的充分不必要条件.p :|1－31-x |≤2⇒－2≤31-x －1≤2⇒－1≤31-x ≤3⇒－2≤x ≤10 q :x 2－2x +1－m 2≤0⇒［x －(1－m )］［x －(1+m )］≤0:*∵p 是q 的充分不必要条件，∴不等式|1－31-x |≤2的解集是x 2－2x +1－m 2≤0(m >0)解集的子集. 又∵m >0∴不等式*的解集为1－m ≤x ≤1+m ∴⎩⎨⎧≥≥⇒⎩⎨⎧≥+-≤-9110121m m m m ，∴m ≥9，∴实数m 的取值范围是［9，+∞).例2．已知数列{a n }的前n 项S n =p n +q (p ≠0,p ≠1),求数列{a n }是等比数列的充要条件.命题意图:本题重点考查充要条件的概念及考生解答充要条件命题时的思维的严谨性 知识依托:以等比数列的判定为主线，使本题的闪光点在于抓住数列前n 项和与通项之间的递推关系，严格利用定义去判定.错解分析:因为题目是求的充要条件，即有充分性和必要性两层含义，考生很容易忽视充分性的证明.技巧与方法:由a n =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n关系式去寻找a n 与a n +1的比值，但同时要注意充分性的证明.解:a 1=S 1=p +q .当n ≥2时，a n =S n －S n －1=p n －1(p －1)∵p ≠0,p ≠1,∴)1()1(1---p p p p n n =p 若{a n }为等比数列，则nn a a a a 112+==p ∴qp p p +-)1(=p , ∵p ≠0，∴p －1=p +q ，∴q =－1这是{a n }为等比数列的必要条件.下面证明q =－1是{a n }为等比数列的充分条件.当q =－1时，∴S n =p n －1(p ≠0,p ≠1)，a 1=S 1=p －1当n ≥2时，a n =S n －S n －1=p n －p n －1=p n －1(p －1)∴a n =(p －1)p n －1:(p ≠0,p ≠1) 211)1()1(-----=n n n n p p p p a a =p 为常数 ∴q =－1时，数列{a n }为等比数列.即数列{a n }是等比数列的充要条件为q =－1.例3．已知关于x 的实系数二次方程x 2+ax +b =0有两个实数根α、β，证明:|α|<2且|β|<2是2|a |<4+b 且|b |<4的充要条件.证明:(1)充分性:由韦达定理，得|b |=|α·β|=|α|·|β|＜2×2=4.设f (x )=x 2+ax +b ,则f (x )的图象是开口向上的抛物线.又|α|＜2,|β|＜2,∴f (±2)>0.即有⇒⎩⎨⎧>+->++024024b a b a 4+b >2a >－(4+b ) 又|b |＜4⇒4+b >0⇒2|a |＜4+b(2)必要性:由2|a |＜4+b ⇒f (±2)>0且f (x )的图象是开口向上的抛物线.∴方程f (x )=0的两根α，β同在(－2，2)内或无实根.∵α，β是方程f (x )=0的实根，∴α，β同在(－2，2)内，即|α|＜2且|β|＜2.例4．写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的真假.（1）若x 、y 都是奇数，则x +y 是偶数；（2）若xy =0，则x =0或y =0；（3）若一个数是质数，则这个数是奇数.解：（1）命题的否定：x 、y 都是奇数，则x +y 不是偶数，为假命题.原命题的否命题：若x 、y 不都是奇数，则x +y 不是偶数，是假命题.（2）命题的否定：xy =0则x ≠0且y ≠0，为假命题.原命题的否命题：若xy ≠0，则x ≠0且y ≠0，是真命题.（3）命题的否定：一个数是质数，则这个数不是奇数，是假命题.原命题的否命题：若一个数不是质数，则这个数不是奇数，为假命题.例5．有A 、B 、C 三个盒子,其中一个内放有一个苹果,在三个盒子上各有一张纸条.A 盒子上的纸条写的是“苹果在此盒内”，B 盒子上的纸条写的是“苹果不在此盒内”，C 盒子上的纸条写的是“苹果不在A 盒内”.如果三张纸条中只有一张写的是真的，请问苹果究竟在哪个盒子里？解：若苹果在A 盒内，则A 、B 两个盒子上的纸条写的为真，不合题意.若苹果在B 盒内，则A 、B 两个盒子上的纸条写的为假，C 盒子上的纸条写的为真，符合题意，即苹果在B 盒内.同样，若苹果在C 盒内，则B 、C 两盒子上的纸条写的为真，不合题意.综上，苹果在B 盒内.三、巩固练习:1.函数f (x )=x |x +a |+b 是奇函数的充要条件是( )A .ab =0 B.a +b =0 C .a =b .D .a 2+b 2=02.“a =1”是函数y =cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为“π”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既非充分条件也不是必要条件3.a =3是直线ax +2y +3a =0和直线3x +(a －1)y =a －7平行且不重合的___.4.命题A :两曲线F (x ,y )=0和G (x ,y )=0相交于点P (x 0,y 0),命题B :曲线F (x ,y )+λG (x ,y )=0(λ为常数)过点P (x 0,y 0),则A 是B 的__________条件.5.设α，β是方程x 2－ax +b =0的两个实根，试分析a >2且b >1是两根α、β均大于1的什么条件？6.已知数列{a n }、{b n }满足:b n =nna a a n +++++++ 321221,求证:数列{a n }成等差数列的充要条件是数列{b n }也是等差数列.7.已知抛物线C :y =－x 2+mx －1和点A (3，0)，B (0，3)，求抛物线C 与线段AB 有两个不同交点的充要条件.8.p :－2<m <0,0<n <1;q :关于x 的方程x 2+mx +n =0有2个小于1的正根，试分析p 是q 的什么条件.(充要条件)四、参考答案:1.解析:若a 2+b 2=0,即a =b =0,此时f (－x )=(－x )|x +0|+0=－x ·|x |=－(x |x +0|+b )=－(x |x +a |+b )=－f (x ).∴a 2+b 2=0是f (x )为奇函数的充分条件，又若f (x )=x |x +a |+b 是奇函数，即f (－x )=(－x )|(－x )+a |+b =－f (x ),则必有a =b =0,即a 2+b 2=0.∴a 2+b 2=0是f (x )为奇函数的必要条件.答案:D2.解析:若a =1,则y =cos 2x －sin 2x =cos2x ,此时y 的最小正周期为π.故a =1是充分条件，反过来，由y =cos 2ax －sin 2ax =cos2ax .故函数y 的最小正周期为π,则a =±1,故a =1不是必要条件.答案:A3.解析:当a =3时，直线l 1:3x +2y +9=0;直线l 2:3x +2y +4=0.∵l 1与l 2的A 1∶A 2=B 1∶B 2=1∶1，而C 1∶C 2=9∶4≠1,即C 1≠C 2,∴a =3⇔l 1∥l 2.答案:充要条件4.解析:若P (x 0,y 0)是F (x ,y )=0和G (x ,y )=0的交点，则F (x 0,y 0)+λG (x 0,y 0)=0，即F (x ,y )+λG (x ,y )=0，过P (x 0,y 0);反之不成立.答案:充分不必要5.解:根据韦达定理得a =α+β,b =αβ.判定的条件是p :⎩⎨⎧>>12b a ，结论是q :⎩⎨⎧>>11βα (注意p 中a 、b 满足的前提是Δ=a 2－4b ≥0)(1)由⎩⎨⎧>>11βα，得a =α+β>2,b =αβ>1,∴q ⇒p (2)为证明p q ,可以举出反例:取α=4,β=21,它满足a =α+β=4+21>2,b =αβ=4×21=2>1,但q 不成立. 综上讨论可知a >2,b >1是α>1,β>1的必要但不充分条件.6.证明:①必要性:设{a n }成等差数列，公差为d ,∵{a n }成等差数列.1212(12)[1223(1)]1231n n a a na a n d n n b nn n +++++++⋅+⋅++-∴==+++++++12(1)3a n d =+-⋅ 从而b n +1－b n =a 1+n ·32d －a 1－(n －1).32d =32d 为常数. 故{b n }是等差数列，公差为32d . ②充分性:设{b n }是等差数列，公差为d ′,则b n =(n －1)d ′∵b n (1+2+…+n )=a 1+2a 2+…+na n① b n －1(1+2+…+n －1)=a 1+2a 2+…+(n －1)a n② ①－②得:na n =2)1(2)1(--+n n b n n n b n －1 111111113[(1)][(2)](1)22222n n n n n n n a b b b n d b n d b n d -+-+-'''=-=+--+-=+-⋅ 从而得a n +1－a n =23d ′为常数，故{a n }是等差数列. 综上所述，数列{a n }成等差数列的充要条件是数列{b n }也是等差数列.7.解:①必要性:由已知得，线段AB 的方程为y =－x +3(0≤x ≤3)由于抛物线C 和线段AB 有两个不同的交点， 所以方程组⎩⎨⎧≤≤+-=-+-=)30(312x x y mx x y *有两个不同的实数解. 消元得:x 2－(m +1)x +4=0(0≤x ≤3)设f (x )=x 2－(m +1)x +4,则有2(1)440(0)40(3)93(1)401032m f f m m ⎧∆=+-⨯>⎪=≥⎪⎪⎨=-++≥⎪+⎪<<⎪⎩ 1033m ⇒<≤ ②充分性:当3＜x ≤310时， x 1=2)1(1216)1(122+-+>-+-+m m m m >0 3216)1310(1310216)1(1222=-+++≤-+-+=m m x ∴方程x 2－(m +1)x +4=0有两个不等的实根x 1,x 2,且0＜x 1＜x 2≤3,方程组*有两组不同的实数解.因此，抛物线y =－x 2+mx －1和线段AB 有两个不同交点的充要条件是3＜m ≤310. 8.解:若关于x 的方程x 2+mx +n =0有2个小于1的正根，设为x 1,x 2.则0＜x 1＜1,0＜x 2＜1,有0＜x 1+x 2＜2且0＜x 1x 2＜1,根据韦达定理:⎩⎨⎧<<<-<⎩⎨⎧=-=+10202121n m n x x m x x 得 有－2＜m ＜0;0＜n ＜1即有q ⇒p .反之，取m =－21491,02131,21,312⨯-=∆=+-=x x n ＜0方程x 2+mx +n =0无实根，所以p q综上所述，p 是q 的必要不充分条件.课前后备注:1.已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：依题意有p ⇒r ，r ⇒s ，s ⇒q ，∴p ⇒r ⇒s ⇒q .但由于r p ，∴q p . 答案：A2..“cos2α=－23”是“α=k π+12π5，k ∈Z ”的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件 解析：cos2α=－23⇔2α=2k π±6π5⇔α=k π±12π5. 答案：A3.在△ABC 中，“A ＞B ”是“cos A ＜cos B ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：在△ABC 中，A ＞B ⇔cos A ＜cos B （余弦函数单调性）.答案：C4.命题A ：两曲线F （x ，y ）＝0和G （x ，y ）=0相交于点P （x 0，y 0），命题B ：曲线F （x ，y ）+λG （x ，y ）＝0（λ为常数）过点P （x 0，y 0），则A 是B 的__________条件.答案：充分不必要5.函数f （x ）=x 2－2ax －3在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是A.a ∈（－∞，1］B.a ∈［2，+∞）C.α∈［1，2］D.a ∈（－∞，1］∪［2，+∞）解析：∵f （x ）=x 2－2ax －3的对称轴为x =a ，∴y =f （x ）在［1，2］上存在反函数的充要条件为［1，2］⊆（－∞，a ］或［1，2］⊆［a ，+∞），即a ≥2或a ≤1.答案：D6.已知数列{a n }的前n 项和S n =p n +q （p ≠0且p ≠1），求数列{a n }成等比数列的充要条件. 分析：先根据前n 项和公式，导出使{a n }为等比数列的必要条件，再证明其充分条件. 解：当n =1时，a 1=S 1=p +q ；当n ≥2时，a n =S n －S n －1=（p －1）·p n －1.由于p ≠0，p ≠1，∴当n ≥2时，{a n }是等比数列.要使{a n }（n ∈N *）是等比数列，则12a a =p ，即（p －1）·p =p （p +q ），∴q =－1，即{a n }是等比数列的必要条件是p ≠0且p ≠1且q =－1.再证充分性：当p ≠0且p ≠1且q =－1时，S n =p n －1，a n =（p －1）·p n －1，1-n n a a =p （n ≥2），∴{a n}是等比数列.。

【课题】1.4 充要条件【教学目标】知识目标：了解“充分条件”、“必要条件”及“充要条件”的意义．能力目标：通过充要条件的学习与运用，培养逻辑判断水平，从而培养数学思维能力．情感目标：体验条件与结论关系的分析，关注逻辑判断与推理.【教学重点】（1）对“充分条件”、“必要条件”及“充要条件”的理解．（2）符号“⇒”，“⇐”，“⇔”的正确使用．【教学难点】“充分条件”、“必要条件”、“充要条件”的判定．【教学设计】（1）以学生的活动为主线.在条件与结论的关系的判断上，尽可能多的教给学生在独立尝试解决问题的基础上进行交流；（2）由易到难，具有层次性.从内涵上引导学生体会复合命题中条件和结论的关系. 【课时安排】2课时．【教学过程】一、引入新课：（5分钟）由生活中的例子引入新课的内容，充要条件的概念。

我们常常听别人说，“如果我当时学习更刻苦一点，那我肯定能考取大学。

”还有人说，“只有经历风雨，才能见到彩虹。

”这里面有没有什么关系在呢？学习刻苦⇐考取大学；经历风雨⇒见到彩虹那么我们今天要学习的，就是数学中的这种逻辑关系，充要条件。

二、讲授新课：（30分钟）在初中，我们学习了命题的概念．知道判断一件事情的语句叫做命题．经常使用小写的拉丁字母p,q,r,s, …来表示命题．例如p:“15是5的倍数”，q:“85>”，s:“0.25是整数”都是命题．其中p与q为真命题，s为假命题．利用“如果…，那么…”将两个命题联接起来可以组成一个新的命题．例如，“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”．这类命题的一般形式为“如果p ，那么q ”．“如果”后接的部分p 是题设（条件），“那么”后接的部分q 是结论．1.由条件p ：1x =是否可以推出结论q ：210x -=是正确的？2.由条件p ：(3)(1)0x x --=是否可以推出结论q ：1x =是正确的？3. 由条件p ：2x <是否可以推出结论q ：240x -<是正确的，同时，由结论q ：240x -<是否可以推出条件p ：2x <是正确的？问题1中，由条件p 成立能推出结论q 成立；但是由结论q 成立不能推出条件p 成立． 问题2中，由条件p 成立不能推出结论q 成立；但是由结论q 成立能推出条件p 成立． 问题3中，由条件p 成立能推出结论q 成立；由结论q 成立能推出条件p 成立． 设条件p 和结论q ．（1）如果能由条件p 成立推出结论q 成立，则说条件p 是结论q 的充分条件，记作p q ⇒．如问题1中，“条件p ：1x =”是“结论q ：210x -=”的充分条件．（2）如果能由结论q 成立能推出条件p 成立，则说条件p 是结论q 的必要条件，记作p q ⇐．如问题2中，“条件p ：(3)(1)0x x --=”是“结论q ：1x =”的必要条件．（3）如果p q ⇒，并且p q ⇐，那么p 是q 的充分且必要条件，简称充要条件，记作“p q ⇔”．如问题3中，“条件p ：2x <”是“结论q ：240x -<”的充要条件.例1 指出下列各组条件和结论中，条件 p 与结论q 的关系．（1）p ：x y =，q ：x y =；（2）p ：2x <，q ：0x <．解 （1）相等的两个数的绝对值肯定相等，即由条件x y =成立，能够推出结论x y =成立；而绝对值相等的两个数不一定相等，如−1和1．即由结论x y =成立，不能推出x y =成立．因此p 是q 的充分条件，但p 不是q 的必要条件．（2）小于2 的数不一定是负数，因此由条件2x <成立不能推出结论0x <成立；负数肯定小于2，所以由结论0x <成立不能推出条件2x <成立．因此p 不是q 的充分条件，但p 是q 的必要条件．说明 可以看到，由“p 是q 的充分条件”并不一定能够得到“p 是q 的必要条件”的结论，同样由“p 是q 的必要条件”也不一定能够得到“p 是q 的充分条件”的结论． 例2 指出下列各组结论中p 与q 的关系．（1）p ：3x >，q ：5x >；（2）p ：20x -=，q ：()()250x x -+=；（3）p ：63x ->，q ：12x <-． 解 （1）由条件3x >成立，不能推出结论5x >成立，如4x =时，4>3，但是4不大于5；而由5x >成立能够推出3x >成立．因此p 是q 的必要条件，但p 不是q 的充分条件．（2）由条件20x -=成立，能够推出结论()()250x x -+=成立；而由结论()()250x x -+=成立不能推出条件20x -=成立，如5x =-时，()()250x x -+=也成立．因此p 是q 的充分条件，但p 不是q 的必要条件．（3）由条件63x ->成立，能够推出结论12x <-成立，并且由结论12x <-成立也能够推出条件63x ->成立．因此p 是q 的充要条件．三、小结：（2分钟）这节课我们学习了充要条件的概念，并且通过练习加深了对充要条件的理解，也学会了充要条件的判断。