2015-2016 函数与圆

二次函数与圆总结(经典)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1二次函数 济宁附中李涛考点一、二次函数的概念和图像 （3~8分）1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a . 3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线. 4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab. 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：1、二次函数的性质函数二次函数)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，图像a>0a<0性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是x=a b 2-，顶点坐标是（ab2-，ab ac 442-）；（3）在对称轴的左侧，即当x<a b2-时，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>ab2-时，y 随x 的增大而增大，简记左减右增；（4）抛物线有最低点，当x=ab 2-时，y 有最小值，ab ac y 442-=最小值（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸； （2）对称轴是x=a b 2-，顶点坐标是（ab 2-，ab ac 442-）；（3）在对称轴的左侧，即当x<ab2-时，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>ab2-时，y 随x 的增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最高点，当x=a b 2-时，y 有最大值，a b ac y 442-=最大值 2、二次函数)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，中，c b 、、a 的含义： a 表示开口方向：a >0时，抛物线开口向上 a <0时，抛物线开口向下b 与对称轴有关：对称轴为x=ab 2-c 表示抛物线与y 轴的交点坐标：（0，c ） 3、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点坐标。

第十三关：以二次函数与圆的问题为背景的解答题【总体点评】二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数学竞赛中也有二次函数大题，很多学生在有限的时间内都不能很好完成。

由于在高中和大学中很多数学知识都与函数知识或函数的思想有关，学生在初中阶段函数知识和函数思维方法学得好否，直接关系到未来数学的学习。

“圆”在初中阶段学习占有重要位置,“垂径定理”、“点与圆的位置关系”的判定与性质、“直线与圆的位置关系”的判定与性质、“正多边形的判定与性质”通常是命题频率高的知识点.由于这部分知识的综合性较强,多作为单独的解答题出现.如果把圆放到直角坐标系中,同二次函数结合,则多作为区分度较高的压轴题中出现.此类题目由于解题方法灵活,考查的知识点全面,体现了方程、建模、转化、数形结合、分类讨论等多种数学思想,得到命题者的青睐【解题思路】二次函数与圆都是初中数学的重点内容，历来是中考数学命题的热点，其本身涉及的知识点就较多，综合性和解题技巧较强，给解题带来一定的困难，而将函数与圆相结合，并作为中考的压轴题，就更显得复杂了．只要我们掌握解决这类问题的思路和方法，采取分而治之，各个击破的思想，问题是会迎刃而解的．解决二次函数与圆的问题，用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数学结合思想，以及代入法、消元法、配方法、代定系数法等。

解题时要注意各知识点之间的联系和数学思想方法、解题技巧的灵活应用，要抓住题意，化整为零，层层深入，各个击破，从而达到解决问题的目的。

【典型例题】经过点A（1，0）和点B（5，0），与y轴【例1】（2019·黑龙江中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx−53交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）以点A为圆心，作与直线BC相切的⊙A，请判断⊙A与y轴有怎样的位置关系，并说明理由；（3）在直线BC上方的抛物线上任取一点P，连接PB、PC，请问：△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个值和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．【例2】（2019·广西中考真题）如图，直线3y x =-交x 轴于点A ，交y 轴于点C ，点B 的坐标为(1,0)，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过,,A B C 三点，抛物线的顶点为点D ，对称轴与x 轴的交点为点E ，点E关于原点的对称点为F ，连接CE ，以点F 为圆心，12CE 的长为半径作圆，点P 为直线3y x =-上的一个动点．（1）求抛物线的解析式； （2）求BDP ∆周长的最小值；（3）若动点P 与点C 不重合，点Q 为⊙F 上的任意一点，当PQ 的最大值等于32CE 时，过,P Q 两点的直线与抛物线交于,M N 两点（点M 在点N 的左侧），求四边形ABMN 的面积．【例3】（2018·青海中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是以AB 为直径的⊙M 的内接四边形，点A ，B 在x 轴上，⊙MBC 是边长为2的等边三角形，过点M 作直线l 与x 轴垂直，交⊙M 于点E ，垂足为点M ，且点D 平分．（1）求过A，B，E三点的抛物线的解析式；（2）求证：四边形AMCD是菱形；（3）请问在抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积等于定值5？若存在，请求出所有的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【方法归纳】函数知识要理解好数形结合的思想，知识点的掌握中要理解文字解释和图像之间的关系，至于与圆、三角形、方程的综合题，往往最后一问难度大，要建立模型、框架，完善步骤，循序渐进. 【针对练习】1．我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有；②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形“十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac），记“十字形”ABCD 的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；①√S=√S1+√S2；②√S=√S3+√S4；③“十字形”ABCD的周长为12√10．2．（2019·湖南中考真题）如图，抛物线26y ax ax =+(a 为常数，a ＞0)与x 轴交于O ，A 两点，点B 为抛物线的顶点，点D 的坐标为(t ，0)(﹣3＜t ＜0)，连接BD 并延长与过O ，A ，B 三点的⊙P 相交于点C ． （1）求点A 的坐标；（2）过点C 作⊙P 的切线CE 交x 轴于点E ．①如图1，求证：CE ＝DE ；②如图2，连接AC ，BE ，BO ，当3a =∠CAE ＝∠OBE 时，求11OD OE -的值3．（2019·浙江中考真题）已知在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 分别交x 轴和y 轴于点()()3,0,0,3A B -. (1)如图1，已知P 经过点O ，且与直线1l 相切于点B ，求P 的直径长；(2)如图2，已知直线2: 33l y x =-分别交x 轴和y 轴于点C 和点D ，点Q 是直线2l 上的一个动点，以Q 为圆心，.①当点Q 与点C 重合时，求证: 直线1l 与Q 相切；②设Q 与直线1l 相交于,M N 两点， 连结,QM QN . 问:是否存在这样的点Q ，使得QMN ∆是等腰直角三角形，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.4．（2018·山东中考真题）如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P （x ，y ）的动圆经过点A （1，2）且与x轴相切于点B．（1）当x=2时，求⊙P的半径；（2）求y关于x的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象；（3）请类比圆的定义（图可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到的距离等于到的距离的所有点的集合．（4）当⊙P的半径为1时，若⊙P与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点D（m，n）在点C的右侧，请利用图②，求cos∠APD的大小．5．（2018·江苏中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x-a）（x-3）（0<a<3）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连接AD、BC．（1）求点A、B、D的坐标；（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上，若能，求出a的值，若不能，请说明理由.6．（2017·江苏中考真题）如图，以原点O为圆心，3为半径的圆与x轴分别交于A，B两点（点B在点A 的右边），P是半径OB上一点，过P且垂直于AB的直线与⊙O分别交于C，D两点（点C在点D的上方），直线AC，DB交于点E．若AC：CE=1：2．（1）求点P的坐标；（2）求过点A和点E，且顶点在直线CD上的抛物线的函数表达式．7．（2019·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与⊙M相交于A、B、C、D四点．其中AB两点的坐标分别为（-1，0），（0，-2），点D在x轴上且AD为⊙M的直径．点E是⊙M 与y轴的另一个交点，过劣弧DE上的点F作FH⊥AD于点H，且FH=1．5．（1）求点D的坐标及该抛物线的表达式；（2）若点P是x轴上的一个动点，试求出⊿PEF的周长最小时点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使⊿QCM是等腰三角形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．8．（2019·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点．抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点D，与直线y=x交于点M、N，且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交x轴于点E，连结DE，并延长DE交圆O于F，求EF的长．（3）过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由．9．（2018·山东中考真题）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2018·湖南中考真题）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有；②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形“十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB ﹣∠CDB=∠ABD ﹣∠CBD ，当6≤AC 2+BD 2≤7时，求OE 的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ＞0，c ＜0）与x 轴交于A ，C 两点（点A 在点C 的左侧），B 是抛物线与y 轴的交点，点D 的坐标为（0，﹣ac ），记“十字形”ABCD 的面积为S ，记△AOB ，△COD ，△AOD ，△BOC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式； ①S =1S 2S +；②S=3S 4S +；③“十字形”ABCD 的周长为1210．11．（2017·广西中考真题）已知抛物线y 1=ax 2+bx -4（a≠0）与x 轴交于点A （-1，0）和点B （4，0）． （1）求抛物线y 1的函数解析式；（2）如图①，将抛物线y 1沿x 轴翻折得到抛物线y 2，抛物线y 2与y 轴交于点C ，点D 是线段BC 上的一个动点，过点D 作DE ∥y 轴交抛物线y 1于点E ，求线段DE 的长度的最大值；（2）在（2）的条件下，当线段DE 处于长度最大值位置时，作线段BC 的垂直平分线交DE 于点F ，垂足为H ，点P 是抛物线y 2上一动点，⊙P 与直线BC 相切，且S ⊙P ：S △DFH =2π，求满足条件的所有点P 的坐标．12．（2018·山东中考真题）抛物线y =ax 2+bx +4（a ≠0）过点A （1，﹣1），B （5，﹣1），与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接CB ，以CB 为边作▱CBPQ ，若点P 在直线BC 上方的抛物线上，Q 为坐标平面内的一点，且▱CBPQ 的面积为30，求点P 的坐标；（3）如图2，⊙O 1过点A 、B 、C 三点，AE 为直径，点M 为 上的一动点（不与点A ，E 重合），∠MBN 为直角，边BN 与ME 的延长线交于N ，求线段BN 长度的最大值．13．（2019·四川中考真题）如图，已知抛物线（a≠0）的图象的顶点坐标是（2，1），并且经过点（4，2），直线与抛物线交于B，D两点，以BD为直径作圆，圆心为点C，圆C与直线m交于对称轴右侧的点M（t，1），直线m上每一点的纵坐标都等于1．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：圆C与x轴相切；（3）过点B作BE⊥m，垂足为E，再过点D作DF⊥m，垂足为F，求MF的值．14．（2019·江苏中考真题）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点与轴交于点，⊙的半径为为⊙上一动点.（1）点的坐标分别为（），（）；（2）是否存在点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)连接，若为的中点，连接，则的最大值= .15．（2017·黑龙江中考真题）在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，与直线交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，横坐标为的点在直线上方的抛物线上，过点作轴交直线于点，以为直径的圆交直线于另一点．当点在轴上时，求的周长；（3）将绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转，得到，点的对应点分别是．若的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点的坐标．16．（2017·甘肃中考真题）如图，抛物线与直线交于，两点，直线交轴与点，点是直线上的动点，过点作轴交于点，交抛物线于点.(1)求抛物线的表达式；(2)连接，，当四边形是平行四边形时，求点的坐标；(3)①在轴上存在一点，连接，，当点运动到什么位置时，以为顶点的四边形是矩形？求出此时点的坐标；②在①的前提下，以点为圆心，长为半径作圆，点为上一动点，求的最小值.17．（2017·湖南中考真题）已知二次函数y=﹣x2+bx+c+1，①当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程；②若c=b2﹣2b，问：b为何值时，二次函数的图象与x轴相切？③若二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，与y轴的正半轴交于点M，以AB 为直径的半圆恰好过点M，二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足，求二次函数的表达式．18．（2017·江苏中考真题）如图，已知二次函数的图象经过点，，且与轴交于点，连接、、.(1)求此二次函数的关系式；(2)判断的形状；若的外接圆记为，请直接写出圆心的坐标；(3)若将抛物线沿射线方向平移，平移后点、、的对应点分别记为点、、，的外接圆记为，是否存在某个位置，使经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由.。

2015-2016学年度上学期期末考试高三年级数学理科试卷 命题学校：东北育才一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只 有一项是符合题目要求的）1.已知集和{}0232=+-=x x x A ，{}24log ==x x B ，则=B A ( ) A.{}2,1,2- B.{}2,1 C.{}2,2- D.{}22.若复数()()i a a a z 3322++-+=为纯虚数（i 为虚数单位），则实数a 的值是（ ）A.3-B.13或-C. 1-3或D. 13．已知向量()31,=a ，()m ,2-=b ，若a 与2b a +垂直，则m 的值为（ ）A.1B.1-C.21-D.21 4.直线()0112=+++y a x 的倾斜角的取值范围是（ ） A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,43 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,24,0 D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππππ,432,4 5.若数列{}n a 的通项公式是()()231--=n a n n ，则=+⋯++1021a a a （ ）A.15B.12C.12-D.15-6.已知四棱锥ABCD P -的三视图如图所示，则四棱锥ABCD P -的四个侧面中面积最大的值是（ ）A.3B.52C.6D.87.右图是某算法的程序框图，若程序运行后输出的结果是27，则判断框①处应填入的条件是（ ）A.2>nB.3>nC.4>nD.5>n8.已知集合{}4,3,2,1=A ,{}7,6,5=B ,{}9,8=C .现在从三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合，则一共可以组成（ ）个集合A.24B.36C.26D.279.已知点()02，P ，正方形ABCD 内接于⊙O :222=+y x ，N M 、分别为边BC AB 、的中点，当正方形ABCD 绕圆心O 旋转时，ON PM ⋅的取值范围为（ ）A.[]11-，B.[]22-， C.[]22-， D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡2222-， 10.设双曲线13422=-y x 的左，右焦点分别为21,F F ,过1F 的直线交双曲线左支于B A ,两点，则22AF BF +的最小值为（ ） A.219 B.11 C.12 D.16 11.已知球O 半径为5，设C B A S 、、、是球面上四个点，其中︒=∠120ABC ,2==BC AB ,平面⊥SAC 平面ABC ，则棱锥ABC S -的体积的最大值为（ ） A.33 B.23 C.3 D.33 12．已知函数()1323+-=x x x f ，()⎪⎩⎪⎨⎧≤--->+=0,860,412x x x x x x x g ，则方程()[]0=-a x fg（a 为正实数）的根的个数不可能为（ ）A.个3B.个4C.个5D.个6二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设0,0>>b a ，3是a 3与b 3的等比中项，其中b a 11+的最小值为 14.在52⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a x 的二项展开式中，x 的一次项系数是10-，则实数a 的值为 15.设[]m 表示不超过实数m 的最大整数，则在直角坐标平面xOy 上，满足[][]5022=+y x 的点()y x P ,所形成的图形的面积为16.定义区间()(][)[]d c d c d c d c ,,,,、、、的长度均为()c d c d >-，已知事数0>p ，则满足不等式111≥+-xp x 的x 构成的区间长度之和为 三、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（本小题满分12分）已知函数()()R x x x x f ∈--=21cos 2sin 232 (1) 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈125,12ππx 时，求函数()x f 的最小值和最大值 (2) 设ABC ∆的内角C B A ,,的对应边分别为c b a ,,，且3=c ，()0=C f ，若向量()A ,sin 1=m 与向量()B ,sin 2=n 共线，求b a ,的值18.（本小题满分12分）某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试.假设某学生每次通过测试的概率都是31每次测试通过与否互相独立.规定：若前4次都没有通过测试，则第5次不能参加测试.（1） 求该学生考上大学的概率；（2） 如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为ξ，求变量ξ的分布列及数学期望ξE .19.（本小题满分12分）如图，在长方形ABCD 中，2=AB ，1=AD ，E 为DC 的中点，现将DAE ∆沿AE 折起，使平面⊥DAE 平面ABCE ，连BE DC DB ,,（1） 求证：ADE BE 平面⊥（2） 求二面角C BD E --的余弦值20．（本小题满分12分） 已知21F F 、分别为椭圆()01:22221>>=+b a bx a y C 的上、下焦点，其中1F 也是抛物线ADEy x C 4:22=的焦点，点M 是1C 与2C 在第二象限的交点，且351=MF (1) 求椭圆1C 的方程； (2) 当过点()3,1P 的动直线l 与椭圆1C 相交于两个不同点B A ,时，在线段AB 上取点Q ，满=证明：点Q 总在某定直线上.21.（本小题满分12分）设函数()x x xa x f ln +=，()323--=x x x g 其中R a ∈. （1） 当2=a 时，求曲线()x f y =在点()()1,1f P 处的切线方程；（2） 若存在[]2,0,21∈x x ，使得()()M x g x g ≥-21成立，求整数M 的最大值；（3） 若对任意⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21t s 、都有()()t g s f ≥，求a 的取值范围.选做题（请考生从22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，ABC ∆内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，PA 是过点A 的直线，且ABC PAC ∠=∠(1) 求证：PA 是⊙O 的切线； (2) 如果弦CD 交AB 于点E ，8=AC ，5:6:=ED CE ，3:2:=EB AE ，求BCE ∠sin23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 ，直线l的极坐标方程为224sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πθρ.圆C 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=θθsin 22cos 22r y r x ，()0>r 为参数，θ (1) 求圆心C 的一个极坐标；(2) 当r 为何值时，圆C 上的点到直线l 的最大距离为324.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()()R x x x x f ∈-+-=3212(1) 解不等式()5≤x f ；(2) 若()()mx f x g +=1的定义域为R ，求实数m 的取值范围.。

二次函数与圆的综合压轴题
一、题目描述
本题是一道综合性的数学题，涉及到二次函数和圆的相关知识。

具体要求如下：
给定一个二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 和一个圆 $x^2+y^2=r^2$，其中 $a,b,c,r$ 均为已知常数，且 $a\neq0$。

请编写一个函数，判断该二次函数与圆是否有交点，并输出交点的坐标。

二、解题思路
1. 二次函数与圆的关系
首先，我们需要了解二次函数和圆之间的关系。

对于一个二次函数$y=ax^2+bx+c$ 和一个圆 $x^2+y^2=r^2$，它们之间可能存在以下三种情况：
（1）没有交点：当二次函数和圆分离时，它们没有交点。

（2）相切：当二次函数和圆相切时，它们只有一个交点。

（3）相交：当二次函数和圆相交时，它们有两个交点。

接下来，我们需要确定如何求出这些交点的坐标。

2. 求解交点坐标
对于一条直线和一个圆之间的交点坐标可以通过联立直线方程和圆方程求解。

但是对于一个二次函数而言，并不存在明确的直线方程。

因此，在本题中，我们可以通过以下步骤求解交点坐标：
（1）将二次函数和圆的方程联立，得到一个关于 $x$ 的二次方程。

（2）解出该二次方程的根，即为交点的横坐标。

（3）将横坐标代入二次函数或圆的方程中，求出相应的纵坐标。

最后，我们需要根据交点个数输出不同的结果。

如果没有交点，则输出“无交点”；如果有一个交点，则输出该交点坐标；如果有两个交点，则输出两个交点坐标。

三、代码实现
下面是本题的完整代码实现：。

1 中考解读：圆的综合是中考数学必考题，一般在第24或25题，分值5分圆综一般有两小题Ⅰ第一小题占2分，一般需要证明切线或角的关系和线段关系一般需要导角证明，求证相切的关系其实是导90°角，求证平行关系其实也是通过导角的关系来判定平行，这类问题通常都要用到圆的常见辅助线来解决；Ⅱ. . 第二小题占第二小题占3分，一般考查求线段的长度主要应用圆的基本性质，主要应用圆的基本性质，同时结合相似、同时结合相似、同时结合相似、勾股定理以及锐角三角函数等知识。

勾股定理以及锐角三角函数等知识。

勾股定理以及锐角三角函数等知识。

这一问是这一问是考生容易丢分的，是此题的难点，需要掌握核心方法和技巧。

2012-2016年北京中考圆综合知识点考查对比2012 2013 2014 2015 2016 第一问切线的证明证角等证线段等证明等边证明平行第二问求线段长求线段长求线段长求线段长求面积解决圆综问题常用到的定理：（1）弧、弦、圆心角定理弧、弦、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论1：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．推论2：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．（2）圆周角定理圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）垂径定理圆综解题技巧垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（4）切线定理经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的判定定理：经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

圆的方程与圆的性质（2课时）【教学目标】掌握圆的标准方程、一般方程、参数方程等形式，能根据已知条件求出圆的方程，掌握圆的性质．【教学重点】圆的三种形式的方程，圆的性质．【教学难点】圆的三种形式的方程及圆的性质的灵活运用．一．基础知识（一）圆的方程1．圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是：222)()(r b y a x =-+-． 『几何意义』两点间的距离的平方．2．圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x (0422>-+F E D )．3．圆的参数方程：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r b y r a x （θ为参数）． 【备注】利用圆的参数方程进行三角换元．2．圆系方程：过圆1C ：011122=++++F y E x D y x （设为0),(1=y x f ）与圆2C ：22y x + 0222=+++F y E x D （设为0),(2=y x f ）交点的圆系方程是：)(11122F y E x D y x ++++22(y x ++λ0)222=+++F y E x D （不含圆2C ）． 当1λ=-时圆系方程变为：两圆公共弦所在直线方程． 【备注】曲线0),(1=y x f 0),(2=y x f 可以是直线或圆．（二）圆的性质二．典例分析： （一）方程与圆例1、已知方程x 2＋y 2－2(m ＋3)x ＋2(1－4m 2)y ＋16m 4＋9＝0表示一个圆.(1)求实数m 的取值范围； (2)求该圆半径r 的取值范围；(3)求圆心的轨迹方程．【解】(1) 方程表示圆的充要条件是D 2＋E 2－4F >0，即4(m ＋3)2＋4(1－4m 2)2－4(16m 4＋9)>0，所以－17<m <1. (2) r ＝－7 m －37 2＋167≤477，所以0<r ≤477. (3) 设圆心坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋3，y ＝4m 2－1. 消去m ，得y ＝4(x －3)2－1.因为－17<m <1，所以207<x <4，即轨迹为抛物线的一段．y ＝4(x －3)2－1(207<x <4)． A C B D B O C P A B P A C C A PA 2= ∠AOB= ∠ACB R 2=d 2+(AB 2)2d R ∠DAB+∠DCB= N M D B例2、已知圆的方程为x 2＋y 2＋ax ＋2y ＋a 2＝0，一定点A (1,2)，要使过定点A 的圆的切线有两条，求实数a 的取值范围．【解法一】将圆的方程配方，得(x ＋a 2)2＋(y ＋1)2＝4－3a 24. ∴圆心C 的坐标为(－a 2，－1)，半径r ＝4－3a 24. 则4－3a 2>0，过点A (1,2)所作圆的切线有两条，则点A 必在圆外，∴|AC |>r .即( 1＋a 2) 2＋ (2＋1 ) 2>4－3a 24，化简得a 2＋a ＋9>0. 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋a ＋9>0，4－3a 2>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ∈R ，－233<a <233. ∴－233<a <233. 故a 的取值范围是(－233，233)． 【解法二】由题意，A 在圆外，则需满足⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋22－4a 2>0，x 2＋y 2＋ax ＋2y ＋a 2>0， 将A (1,2)代入，得－233<a <233. 故a ∈(－233，233)． 例3、曲线)(1)sin ()cos (22R y x ∈=-+-θθθ在直角坐标平面上形成的面积是 ．【解】)(1)sin ()cos (22R y x ∈=-+-θθθ圆心的轨迹方程为122=+y x ，所以所有圆覆盖的区域是以原点为圆心，半径为2的圆，所以形成的面积为π4．例4、已知圆C ：x 2+y 2+bx +ay -3=0()a >0，b >0上任意一点关于直线l ：x +y +2=0的对称点都在圆C 上，则1a +4b的最小值为( ) A.94B ．9C ．1D ．2 【解】依题意得：直线l ：x +y +2=0经过圆的圆心，则有－b 2－a 2+2=0，所以a ＋b ＝4. 1a +4b = (1a +4b )(a ＋b )×14=14×(5+b a +4a b )≥94， 当且仅当b =2a 时取等号【补充练习】1、已知圆的方程为2222210x y ax ay a a +++++-=，则圆心的轨迹方程为 ．【解】222431)()2(a a a y a x --=+++,由04312>--a a 得：322<<-a ，圆心),2(a a -- 即⎪⎩⎪⎨⎧-=-=ay a x 2消参数a 得：x y 2=)311(<<-x ．易忽视a 的限制条件． 2、已知圆014222=+-++y x y x 关于直线022=+-by ax ),(+∈R b a 对称，则ab 的最大值为 ，ba 21+的最小值为 ． 【解】易知圆心)2,1(-在直线022=+-by ax 上，所以有1=+b a ，所以41)2(2=+≤b a abba 21+22323))(21(+≥++=++=b a a b b a b a 3、如果直线1+=kx y 与圆0422=-+++my kx y x 相交于N M ,两点，且N M ,关于直线0=+y x 对称，若⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≥+-0001y m y kx y kx ，则22)3()4(++-y x 的取值范围是 ．【解】 由圆的性质得1+=kx y 与0=+y x 垂直，所以1=k ，圆心)2,2(m k --在直线0=+y x 上，所以1-=m ，由线性规划知识得：22)3()4(++-y x 的取值范围是]34,25[（二）圆的方程求解求圆的方程有两种方法：① 几何法，即通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位置关系，进而求得圆的基本量(圆心、半径)和方程；② 代数法，即用“待定系数法”求圆的方程，其一般步骤是：a ．根据题意选择方程的形式——标准形式或一般形式(本例中涉及圆心及切线，故设标准形式较简单)；b ．利用条件列出关于a ，b ，r ，或D ，E ，F 的方程组；c ．解出a ，b ，r 或D ，E ，F ，代入标准方程或一般方程．例1、根据下列条件，求圆的方程．(1) 过点A (1，－1)，B (－1,1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程；(2) 经过A (5,2)，B (3,2)，圆心在直线2x －y －3＝0上；(3) 与x 轴相交于A (1,0)和B (5,0)两点且半径为的圆的标准方程；(4) 圆心在原点，且圆周被直线3x ＋4y ＋15＝0分成1∶2两部分．【解】(1) 由题意可知，圆心在线段AB 的中垂线上，又∵k AB ＝－1且线段AB 的中点为(0,0)，则线段AB 的中垂线方程为y ＝x .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y －2＝0，得圆心为(1,1)．半径r ＝ 1－1 2＋ 1＋1 2＝2. (2) 方法一：从数的角度，若选用一般式：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心(－D 2，－E 2)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 52＋22＋5D ＋2E ＋F ＝0，32＋22＋3D ＋2E ＋F ＝0，2× －D 2 － －E 2 －3＝0.解之，得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－8，E ＝－10，F ＝31. ∴圆的一般方程为x 2＋y 2－8x －10y ＋31＝0.(3) 方法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝5.∵点A ，B 在圆上，所以可得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2＋ 0－b 2＝5， 5－a 2＋ 0－b 2＝5，解得a ＝3，b ＝±1. ∴圆的标准方程是(x －3)2＋(y －1)2＝5或(x －3)2＋(y ＋1)2＝5.方法二：由A ，B 两点在圆上，那么线段AB 是圆的一条弦，根据平面几何知识：这个圆的圆心在线段AB 的垂直平分线x ＝3上，于是可设圆心为C (3，b )，又|AC |＝5，即 3－1 2＋b 2＝5，解得b ＝1或b ＝－1.因此，所求圆的标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝5或(x －3)2＋(y ＋1)2＝5.(4) 设直线与圆相交于A ，B 两点，因为圆周被直线3x ＋4y ＋15＝0分成1∶2两部分，所以∠AOB ＝120°.而圆心到直线3x ＋4y ＋15＝0的距离d ＝1532＋42＝3， 在△ABO 中，可求得|OA |＝6.所以所求圆的方程为x 2＋y 2＝36.例2、已知圆满足：① 截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l ：x －2y ＝0的距离为55，求该圆的方程． 【解】设圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝|2b |，|a －2b |5＝55，2r 2－a 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1，r ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－1，r ＝ 2.∴圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2.例3、求经过两已知圆1C ：22420x y x y +-+=和2C ：22240x y y +--=的交点，且圆心在直线l ：241x y +=上的圆的方程． 【解】设满足条件的圆系为：++-+)24(22y x y x 0)42(22=--+y y x λ，整理得：圆系的圆心为)11,12(λλλ+-+，依题意知：)11,12(λλλ+-+在直线l ：241x y +=上， 代入得：111414=+-⨯++λλλ得：31=λ，代入得：01322=-+-+y x y x 例4、（2008年江苏）设平面直角坐标系xoy 中，设二次函数()()22f x x x b x R =++∈的图象 与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C ．求：（Ⅰ）求实数b 的取值范围； （Ⅱ）求圆C 的方程；（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论．【解】（Ⅰ）令x ＝0，得抛物线与y 轴交点是（0，b ）；令()220f x x x b =++=，由题意0≠b 且Δ＞0，解得1<b 且0≠b ． （Ⅱ）设所求圆的一般方程为2x 20y Dx Ey F ++++=令y ＝0 得20x Dx F ++=这与22x x b ++＝0 是同一个方程，故b F D ==,2．令x ＝0 得2y Ey +＝0，此方程有一个根为b ，代入得出1--=b E ． 所以圆C 的方程为222(1)0x y x b y b ++-++=.（Ⅲ）圆C 必过定点（0，1）和（－2，1）．证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边＝0)1(021022=++-⨯++b b ，右边＝0，所以圆C 必过定点（0，1）．同理可证圆C 必过定点（－2，1）．【另】0)1(1222=---++y b x y x 则⎩⎨⎧=-=-++0101222y x y x 解得：2,0-==x x例5、已知以点C ⎝⎛⎭⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点．（1）求证：△OAB 的面积为定值；（2） 设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程．【证明】（1）∵圆C 过原点O ，∴|OC |2＝t 2＋4t 2.设圆C 的方程是(x －t )2＋⎝⎛⎭⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2， 令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t . ∴S △OAB ＝12|OA |×|OB |＝12×⎪⎪⎪⎪4t ×|2t |＝4， 即△OAB 的面积为定值． （2）∵|OM |＝|ON |，∴|CM |＝|CN |，∴OC 垂直平分线段为MN . ∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12. ∴直线OC 的方程是y ＝12x . ∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，|OC |＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离为d ＝15<5， 圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，|OC |＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离为d ＝95>5， 圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交，∴t ＝－2不符合题意，舍去．∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.【补充练习】1、已知圆C 的圆心与点(2,1)P -关于直线1y x =+对称．直线34110x y +-=与圆C 相交于B A ,两点，且6=AB ，则圆C 的方程为__________________．【解】易知圆心坐标为)1,0(-，35|114|=--=d ，由垂经定理得：1899=+=r ，所以所求圆的方程为22(1)18x y ++=2、求经过直线042=++y x 及圆014222=+-++y x y x 的交点，并且面积最小的圆的方程．【解】设满足条件的圆系为： ++-++)142(22y x y x 0)42(=++y x λ要使面积最小，则需圆心落在直线042=++y x 上，代入解得：58=λ， 所以圆方程为：029********=+-++y x y x3、设圆满足：① 截得y 轴的弦长为2，② 被x 轴分成两段圆弧，其弧长之比为1:3，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线02:=-y x l 的距离最小时圆的方程．【解法一】设圆的圆心为),(b a P ,半径为r ,则点P 到x 轴,y 轴的距离分别为||b ,||a由题意知圆P 截x 轴所得劣弧对的圆心角为090,知P 截x 轴所得弦长为r 2,故222b r = ，又圆P 截y 轴所得的弦长为2,所以有122+=a r从而得1222=-a b , 又点),(b a P 到直线02=-y x 的距离为5|2|b a d -=所以 22|2|5b a d -=ab a b 4422-+=)(242222b a b a +-+≥1222=-=a b当且仅当b a =时上式等号成立,此时152=d 从而d 取得最小值.由此有:b a =及1222=-a b 解得:1,1==b a 或1,1-=-=b a 由于222b r =知2=r ．于是,所求圆的方程是 2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x ．【解法二】同解法一得 ：5|2|b a d -= ∴ d b a 52±=- 得 2225544d bd b a +±= ---------------------------------------------------------①将1222=-a b 代入①式,整理得： 01554222=++±d bd b ------------②把它看作b 的二次方程,由于方程有实根,故判别式非负,即△0)15(82≥-=d ,得 152≥d所以25d 有最小值1，从而d 有最小值55， 将其代入②式得02422=+±b b 解得1±=b .将1±=b 代入222b r =,得2=r .由122+=a r 得1±=a .综上 1,1==b a 或1,1-=-=b a ． 于是，所求圆的方程是： 2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x ．4、已知以点C ⎝⎛⎭⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点．（1）求证：△OAB 的面积为定值；（2） 设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程．【证明】（1）∵圆C 过原点O ，∴|OC |2＝t 2＋4t 2.设圆C 的方程是(x －t )2＋⎝⎛⎭⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2， 令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t； 令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t . ∴S △OAB ＝12|OA |×|OB |＝12×⎪⎪⎪⎪4t ×|2t |＝4， 即△OAB 的面积为定值． （2）∵|OM |＝|ON |，∴|CM |＝|CN |，∴OC 垂直平分线段为MN . ∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12. ∴直线OC 的方程是y ＝12x . ∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，|OC |＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离为d ＝15<5， 圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，|OC |＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离为d ＝95>5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交，∴t ＝－2不符合题意，舍去． ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.5、已知圆C 的圆心在直线011=--y x l ：上，与直线014342=++y x l ：相切，且截直线010433=++y x l ：所得的弦长为6，求圆C 的方程．【解】设圆C 的圆心坐标为)1,(-a a ，因为圆C 与直线014342=++y x l ：相切，所以圆C 的半径5|117|+=a R ， 圆C 的圆心到直线010433=++y x l ：的距离为5|67|+=a d ， 由圆C 截直线010433=++y x l ：所得的弦长为6， 所以22)5|67|(9)5|117|(++=+a a 解得：2=a ， 所以圆C 的方程为25)1()2(22=-+-y x ． 6、已知圆P 与圆0222=-+x y x 外切，并且与直线03=+y x l ：相切于点)3,3(-Q ，求圆P的方程．【解】设所求圆P 的圆心坐标为),(b a ，已知圆0222=-+x y x 的圆心为)0,1(，半径为1=r 因为所求圆P 与与直线03=+y x l ：相切于点)3,3(-Q ，所以l PQ ⊥，故1-=⋅l PQ k k ，所以1)33(33-=-⋅-+a b ，即01233=--b a -------------------------------------① 又因为两圆相外切，所以有2|3|1)1(22b a b a ++=+--------------------------② 联立方程①②解得： 4=a ，0=b 或0=a ，34-=b ， 此时圆P 的半径22|3|=+=b a r 或6； 所以所求圆P 的方程为： 4)4(22=+-y x 或36)34(22=++y x ．（三）圆中的最值问题与圆有关的最值问题的求解方法(1)研究与圆有关的最值问题时，可借助图形的性质，利用数形结合求解．(2)常见的最值问题有以下几种类型：① 形如μ＝y －b x －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； ② 形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③ 形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．（3）可以利用参数方程求解．例1、已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.(1) 求y x的最大值和最小值； (2)求y －x 的最大值和最小值； (3) 求x 2＋y 2的最大值和最小值．【解】(1) 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆，y x 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设y x＝k ，即y ＝kx . 当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3， 解得k ＝±3. 所以y x的最大值为3，最小值为－ 3. (2) 【方法一】y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6. 所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.【方法二】设圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝3sin θ(0≤θ≤2π)， 则y －x ＝3sin θ－3cos θ－2＝6sin(θ－π4)－2， 当θ＝34π时，取最大值6－2，当θ＝74π时，取最小值－6－2. (3) 【方法一】x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2－0 2＋ 0－0 2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.【方法二】由(2)中的参数方程可得：x 2＋y 2＝(2＋3cos θ)2＋(3sin θ)2＝7＋43cos θ从而得最值．例2、已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，点A (－1,0)，B (1,0)，点P 为圆上的动点，求d ＝|P A |2＋|PB |2的最大、最小值及对应的P 点坐标．【解】若设P (x 0，y 0)，则d ＝|P A |2＋|PB |2＝(x 0＋1)2＋y 20＋(x 0－1)2＋y 20＝2(x 20＋y 20)＋2.欲求d 的最值，只需求ω＝x 20＋y 20的最值，即求圆C 上的点到原点距离的平方的最值．故过原点O 与圆心C 的直线与圆的两个交点P 1，P 2即为所求．设过O ，C 两点的直线交圆C 于P 1，P 2两点，则ωmin ＝(|OC |－1)2＝16＝|OP 1|2，此时d min ＝2×16＋2＝34，P 1(125，165)； ωmax ＝(|OC |＋1)2＝36＝|OP 2|2，此时d max ＝2×36＋2＝74，P 2(185，245)． 例3、设点P (x ，y )是圆P ：x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2,0)，B (－2,0)，则P A →·PB →的最大值为________．【解】由题意，知P A →＝(2－x ，－y )，PB →＝(－2－x ，－y )，所以P A →·PB →＝x 2＋y 2－4.由于点P (x ，y )是圆P 上的点，故其坐标满足方程x 2＋(y －3)2＝1，故x 2＝－(y －3)2＋1，所以P A →·PB →＝－(y －3)2＋1＋y 2－4＝6y －12. 易知2≤y ≤4，所以，当y ＝4时，P A →·PB →的值最大，最大值为6×4－12＝12.（四）圆中的轨迹问题求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下做法：(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程；(4)代入法：找到要求点与已知点的关系代入已知点满足的关系式．不论哪种方法，充分利用圆与圆的几何性质，找出动点与定点之间的关系是解题的关键．例1、已知圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝9，过点A (2,3)作圆C 的任意弦，求这些弦的中点P的轨迹方程．【解法一】直接法设P (x ，y )，由题意知圆心C (1,1)．∵P 点是过点A 的弦的中点，∴P A →⊥PC →. 又∵P A →＝(2－x,3－y )，PC →＝(1－x,1－y )，∴(2－x )(1－x )＋(3－y )(1－y )＝0，∴P 点的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋(y －2)2＝54. 【解法二】定义法：由已知知，P A ⊥PC ，∴由圆的性质知点P 在以AC 为直径的圆上，又圆心C (1,1)，而AC 中点为⎝⎛⎭⎫32，2， |AC |＝ 2－1 2＋ 3－1 2＝5，所以半径为52. 所求动点P 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋(y －2)2＝54. 例2、如图，圆O 1和圆O 2的半径都等于1，O 1O 2＝4.过动点P 分别作圆O 1，圆O 2的切线PM 、PN (M 、N 为切点)，使得|PM |＝2|PN |.试建立平面直角坐标系，并求动点P 的轨迹方程．【解】以O 1O 2的连线为x 轴，以O 1O 2的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，如图：则：O 1(－2,0)，O 2(2,0)，P (x ，y )又∵|PO 1|2＝|PM |2＋1，|PO 2|2＝|PN |2＋1 ∴|PM |2＝|PO 1|2－1，|PN |2＝|PO 2|2－1.又∵|PM |＝2|PN | ∴|PO 1|2－1＝2(|PO 2|2－1)∴(x ＋2)2＋y 2－1＝2[(x －2)2＋y 2－1] ∴x 2＋y 2－12x ＋3＝0为动点P 的轨迹方程．例3、已知点A (3,0)，点P 是圆x 2＋y 2＝1上的一点，∠AOP 的角平分线交AP 于Q ，求点Q的轨迹方程．【解】设Q 点坐标为(x ，y )，P 点坐标为(x ′，y ′)．∵OQ 是∠AOP 的平分线，∴|OA ||OP |＝|AQ ||QP |.又|AO |＝3，|OP |＝1， ∴|AQ ||QP |＝3，即AQ →＝3QP →，(x －3，y )＝3(x ′－x ，y ′－y )． ∴⎩⎨⎧ x ′＝4x －33，y ′＝4y 3，代入圆的方程，得 4x －3 29＋16y 29＝1， 即(x －34)2＋y 2＝916为所求方程． 例4、(2013·课标全国Ⅱ)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1) 求圆心P 的轨迹方程；(2) 若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程．【解】(1) 设P (x ，y )，圆P 的半径为r .由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2.从而y 2＋2＝x 2＋3，故P 点的轨迹方程y 2－x 2＝1.(2) 设P (x 0，y 0)，由已知得|x 0－y 0|2＝22. 又P 在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0 λ≠－1 ，y 0＝－1.此时，圆P 的半径r ＝ 3. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝1.此时，圆P 的半径r ＝ 3. 故圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3.【补充练习】1、已知圆C 1的圆心在坐标原点O ，且恰好与直线l 1：x －y －22＝0相切．(1) 求圆的标准方程；(2) 设点A (x 0，y 0)为圆上任意一点，AN ⊥x 轴于N ，若动点Q 满足＝m ＋n (其中m ＋n ＝1，m ，n ≠0，m 为常数)，试求动点Q 的轨迹方程C 2.【解】(1) 设圆的半径为r ，圆心到直线l 1的距离为d ，则r ＝d ＝|－22|12＋12＝2， 所以圆C 1的方程为x 2＋y 2＝4.(2) 设动点Q (x ，y )，A (x 0，y 0)，AN ⊥x 轴于N, 则N (x 0,0)．由题意，(x ，y )＝m (x 0，y 0)＋n (x 0,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ m ＋n x 0＝x 0y ＝my 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x y 0＝1m y ， 将A (x ，1m y )代入x 2＋y 2＝4，得x 24＋y 24m 2＝1. 即动点Q 的轨迹方程C 2为：x 24＋y 24m2＝1.。

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例说中考函数与圆综合问题
作者：
来源：《数理化学习·初中版》2013年第11期
近年来中考中，经常遇到函数与圆的综合问题.这类问题，综合性强，难度较大.解答它们，既要注意利用函数知识，又要注意利用圆知识，还要注意利用数形结合的思想方法.现仅
以2013年中考题为例介绍如下.
一、一次函数与圆综合问题
例1 （浙江省宁波市）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（-4，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD.过P、D、B三点作⊙Q与
y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF、BF.
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）当点P在线段AB（不包括A、B两点）上时.
①求证：∠BDE=∠ADP；
②设DE=x，DF=y.请求出y关于x的函数解析式.
分析：（1）设直线AB的函数解析式为
y=kx+b，由A、B两点的坐标，k和b的值容易确定；（2）①注意到∠ADP=∠CDE，要证明∠BDE=∠ADP，只要证明∠BDE=∠CDE，这只需证明△BOD≌△COD.②显见，△DEF是一个直角三角形.要求出y关于x的函数解析式，应找一找EF与DE或DF之间的数量关系.根据条件，可以得出△DEF是等腰直角三角形，则EF=DE.
解：（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+b.
因为点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），。

，即xy =a tan浅谈三浅谈三角函数角函数与单位圆与单位圆三角函数是三角函数是高中数学高中数学的重要内容，对培养学生的数形结合能力以及严密的逻辑推理能力都起着很大的作用。

尤其是单位圆在研究三角函数方面起着灵魂的作用，让每一位数学教学者不得不另眼相待。

学者不得不另眼相待。

一、我对教材编排的一点看法：一、我对教材编排的一点看法：1、不同版本的教材对三角函数的内容编排有很大差异：人教A 版中，三角函数采用了版中，三角函数采用了 “单位圆定义法”。

“单位圆定义法”。

如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x P(x，，y)y)，那么：，那么：，那么：（1）y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α=y =y；；（2）x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α=x =x；； （3）xy 叫做α的正切，记作tan α（x≠0）．（x≠0）．可以看出，当α=2pp +k (k∈Z)时，α的终边在y 轴上，这时点P 的横坐标x 等于0，所以xy=a tan 无意义．除此之外，对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．所以，正弦、余弦、正切都是以角为正弦、余弦、正切都是以角为自变量自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数．”我们将它们统称为三角函数．”人教B 版教材采用的是终边定义法，即在角α的终边上任取一点P(x P(x，，y)y)，，P 到原点的距离为r ，比值xyr x r y ,,分别定义为角α的正弦函数、余弦函数和正切函数。

而在后续的内容中又加入了正弦线、余弦线、正的内容中又加入了正弦线、余弦线、正切线切线，并且得到了结论“角α的正弦和余弦分别等于角α的终边与单位圆的的终边与单位圆的交点交点的纵坐标和横坐标。

的纵坐标和横坐标。

””而α的正切没有进行明确说明，的正切没有进行明确说明，只是只是讲了正切线，并在图中标注了T(1,tan α)。

y O x p 2、结合教学实践，我认为两种版本均有一些缺憾。

专题9二次函数与圆综合问题解决函数与圆的综合问题的关键是找准函数与圆的结合点，弄清题目的本质，利用圆的基本性质和函数的性质、数形结合、方程思想、全等与相似，以便找到对应的解题途径.常见的考法有：1.直线与圆的位置关系：平面直角坐标系中的直线与圆的位置关系问题关键是圆心到直线的距离等于半径的大小，常用的方法有：（1）利用圆心到直线的距离等于半径的大小这一数量关系列出关系式解决问题（2）利用勾股定理解决问题（3）利用相似列出比例式解决问题2.函数与圆的新定义题目：利用已掌握的知识和方法理解新定义，化生为熟3.函数与圆的性质综合类问题：利用几何性质，结合图形，找到问题中的“不变”关键因素和“临界位置”.【例1】【例1】（2021•花都区三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）在y轴上是否存在点P使得∠OBP+∠OBC＝45°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点M是BC为直径的圆上的动点，将点M绕原点O顺时针旋转90°得点N，连接NA，求NA的取值范围．【分析】（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2即可求解析式；（2）过点P作PH⊥BC交于点H，设P（0，t），CH＝x，由已知分别可求BC＝2，BH＝2﹣x，HP＝BH＝2﹣x，在Rt△CPH中，sin∠PCH＝＝＝，cos∠PCH＝＝＝，求出t＝﹣，则P（0，﹣），与x轴对称点为（0，），此点也满足所求；（3）当M点在B点处时，N点在F（0，﹣4）处，当M点在O点处时，N点在E（2，0）处，∠EOF＝90°，EF＝BC＝2，可以判断N点在以EF为直径的圆上运动，连接OO'，O'（1，﹣2），NA有最大值和最小值，O'A＝2，则可求NA最大值为2+，NA最小值为2﹣，进而求得2﹣≤NA≤2+．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2，得，解得，∴y＝﹣x2+x+2；（2）过点P作PH⊥BC交于点H，设P（0，t），CH＝x，∵C（0，2），B（4，0），∴BC＝2，∴BH＝2﹣x，∵∠OBP+∠OBC＝45°，∴∠CBP＝45°，∴HP＝BH＝2﹣x，在Rt△CPH中，sin∠PCH＝＝，cos∠PCH＝＝，在Rt△BOC中，sin∠PCH＝，cos∠PCH＝，∴＝，＝，∴x＝，t＝﹣，∴P（0，﹣），P点关于x轴对称点为（0，），此点也满足∠OBP+∠OBC＝45°，∴满足条件的P点坐标为（0，﹣）或（0，）；（3）当M点在B点处时，N点在F（0，﹣4）处，当M点在C点处时，N点在E（2，0）处，∵∠EOF＝90°，EF＝BC＝2，可以判断N点在以EF为直径的圆上运动，连接OO'，当NA经过圆心O'时，NA有最大值和最小值，∴O'（1，﹣2），∵A（﹣1，0），∴O'A＝2，∴NA最大值为2+，NA最小值为2﹣，∴2﹣≤NA≤2+．【例2】（2020•遵义）如图，抛物线y＝ax2+94x+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，3）与x轴的另一交点为点B，点M是直线BC上一动点，过点M作MP∥y轴，交抛物线于点P．（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在一点Q，使得△QCO是等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以M为圆心，MP为半径作⊙M，当⊙M与坐标轴相切时，求出⊙M的半径．【分析】（1）把点A（﹣1，0）和点C（0，3）代入y＝ax2+94x+c求出a与c的值即可得出抛物线的解析式；（2）①当点Q在y轴右边时，假设△QCO为等边三角形，过点Q作QH⊥OC于H，OC＝3，则OH=32，tan60°=QHOH，求出Q（3√32，32），把x=3√32代入y=−34x2+94x+3，得y=27√38−3316≠32，则假设不成立；②当点Q在y轴的左边时，假设△QCO为等边三角形，过点Q作QT⊥OC于T，OC＝3，则OT=32，tan60°=QTOT，求出Q（−3√32，32），把x=−3√32代入y=−34x2+94x+3，得y=−27√38−3316≠32，则假设不成立；（3）求出B（4，0），待定系数法得出BC直线的解析式y=−34x+3，当M在线段BC上，⊙M与x轴相切时，延长PM交AB于点D，则点D为⊙M与x轴的切点，即PM＝MD，设P（x，−34x2+94x+3），M（x，−34x+3），则PD=−34x2+94x+3，MD=−34x+3，由PD﹣MD＝MD，求出x＝1，即可得出结果；当M在线段BC上，⊙M与y轴相切时，延长PM交AB于点D，过点M作ME⊥y轴于E，则点E为⊙M与y轴的切点，即PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x，设P（x，−34x2+94x+3），M（x，−34x+3），则PD=−34x2+94x+3，MD=−34x+3，代入即可得出结果；当M在BC延长线，⊙M与x轴相切时，点P与A重合，M的纵坐标的值即为所求；当M在CB延长线，⊙M与y轴相切时，延长PD交x轴于D，过点M作ME⊥y轴于E，则点E为⊙M与y轴的切点，即PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x，设P（x，−34x2+94x+3），M（x，−34x+3），则PD=34x2−94x﹣3，MD=34x﹣3，代入即可得出结果．【解答】解：（1）把点A（﹣1，0）和点C（0，3）代入y＝ax2+94x+c得：{0=a−94+c3=c，解得：{a =−34c =3，∴抛物线的解析式为：y =−34x 2+94x +3； （2）不存在，理由如下：①当点Q 在y 轴右边时，如图1所示： 假设△QCO 为等边三角形， 过点Q 作QH ⊥OC 于H ， ∵点C （0，3）， ∴OC ＝3，则OH =12OC =32，tan60°=QH OH ， ∴QH ＝OH •tan60°=32×√3=3√32， ∴Q （3√32，32）， 把x =3√32代入y =−34x 2+94x +3， 得：y =27√38−3316≠32， ∴假设不成立，∴当点Q 在y 轴右边时，不存在△QCO 为等边三角形； ②当点Q 在y 轴的左边时，如图2所示： 假设△QCO 为等边三角形， 过点Q 作QT ⊥OC 于T ， ∵点C （0，3）， ∴OC ＝3，则OT =12OC =32，tan60°=QT OT ， ∴QT ＝OT •tan60°=32×√3=3√32， ∴Q （−3√32，32）， 把x =−3√32代入y =−34x 2+94x +3， 得：y =−27√38−3316≠32，∴假设不成立，∴当点Q 在y 轴左边时，不存在△QCO 为等边三角形；综上所述，在抛物线上不存在一点Q ，使得△QCO 是等边三角形；（3）令−34x 2+94x +3＝0， 解得：x 1＝﹣1，x 2＝4， ∴B （4，0），设BC 直线的解析式为：y ＝kx +b ， 把B 、C 的坐标代入则{0=4k +b 3=b ，解得：{k =−34b =3，∴BC 直线的解析式为：y =−34x +3，当M 在线段BC 上，⊙M 与x 轴相切时，如图3所示： 延长PM 交AB 于点D ，则点D 为⊙M 与x 轴的切点，即PM ＝MD ， 设P （x ，−34x 2+94x +3），M （x ，−34x +3）， 则PD =−34x 2+94x +3，MD =−34x +3， ∴（−34x 2+94x +3）﹣（−34x +3）=−34x +3， 解得：x 1＝1，x 2＝4（不合题意舍去）， ∴⊙M 的半径为：MD =−34+3=94；当M 在线段BC 上，⊙M 与y 轴相切时，如图4所示： 延长PM 交AB 于点D ，过点M 作ME ⊥y 轴于E ，则点E 为⊙M 与y 轴的切点，即PM ＝ME ，PD ﹣MD ＝EM ＝x ， 设P （x ，−34x 2+94x +3），M （x ，−34x +3）， 则PD =−34x 2+94x +3，MD =−34x +3， ∴（−34x 2+94x +3）﹣（−34x +3）＝x ， 解得：x 1=83，x 2＝0（不合题意舍去）， ∴⊙M 的半径为：EM =83；当M 在BC 延长线，⊙M 与x 轴相切时，如图5所示：点P 与A 重合， ∴M 的横坐标为﹣1，∴⊙M 的半径为：M 的纵坐标的值， 即：−34×（﹣1）+3=154； 当M 在CB 延长线，⊙M 与y 轴相切时，如图6所示：延长PM 交x 轴于D ，过点M 作ME ⊥y 轴于E ，则点E 为⊙M 与y 轴的切点，即PM ＝ME ，PD ﹣MD ＝EM ＝x ， 设P （x ，−34x 2+94x +3），M （x ，−34x +3）， 则PD =34x 2−94x ﹣3，MD =34x ﹣3， ∴（34x 2−94x ﹣3）﹣（34x ﹣3）＝x ，解得：x 1=163，x 2＝0（不合题意舍去）， ∴⊙M 的半径为：EM =163； 综上所述，⊙M 的半径为94或83或154或163．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式、等边三角形的性质、圆的性质、三角函数等知识；熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．【例3】（2020•济宁）我们把方程（x﹣m）2+（y﹣n）2＝r2称为圆心为（m，n）、半径长为r的圆的标准方程．例如，圆心为（1，﹣2）、半径长为3的圆的标准方程是（x﹣1）2+（y+2）2＝9．在平面直角坐标系中，⊙C与x轴交于点A，B，且点B的坐标为（8，0），与y轴相切于点D（0，4），过点A，B，D的抛物线的顶点为E．（1）求⊙C的标准方程；（2）试判断直线AE与⊙C的位置关系，并说明理由．【分析】（1）如图，连接CD，CB，过点C作CM⊥AB于M．设⊙C的半径为r．在Rt △BCM中，利用勾股定理求出半径以及点C的坐标即可解决问题．（2）结论：AE是⊙C的切线．连接AC，CE．求出抛物线的解析式，推出点E的坐标，求出AC，AE，CE，利用勾股定理的逆定理证明∠CAE＝90°即可解决问题．【解答】解：（1）如图，连接CD，CB，过点C作CM⊥AB于M．设⊙C的半径为r．∵与y轴相切于点D（0，4），∴CD⊥OD，∵∠CDO＝∠CMO＝∠DOM＝90°，∴四边形ODCM是矩形，∴CM＝OD＝4，CD＝OM＝r，∵B（8，0），∴OB＝8，∴BM＝8﹣r，在Rt△CMB中，∵BC2＝CM2+BM2，∴r2＝42+（8﹣r）2，解得r＝5，∴C（5，4），∴⊙C的标准方程为（x﹣5）2+（y﹣4）2＝25．（2）结论：AE是⊙C的切线．理由：连接AC，CE．∵CM⊥AB，∴AM＝BM＝3，∴A（2，0），B（8，0）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）（x﹣8），把D（0，4）代入y＝a（x﹣2）（x﹣8），可得a=1 4，∴抛物线的解析式为y=14（x﹣2）（x﹣8）=14x2−52x+4=14（x﹣5）2−94，∴抛物线的顶点E（5，−9 4），∵AE=√32+(94)2=154，CE＝4+94=254，AC＝5，∴EC2＝AC2+AE2，∴∠CAE＝90°，∴CA⊥AE，∴AE是⊙C的切线．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了矩形的判定和性质，解直角三角形，圆的方程，切线的判定等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．【例4】（2020•西藏）在平面直角坐标系中，二次函数y =12x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （﹣2，0），B （4，0）两点，交y 轴于点C ，点P 是第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求二次函数的解析式；（2）如图甲，连接AC ，P A ，PC ，若S △P AC =152，求点P 的坐标； （3）如图乙，过A ，B ，P 三点作⊙M ，过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为D ，交⊙M 于点E ．点P 在运动过程中线段DE 的长是否变化，若有变化，求出DE 的取值范围；若不变，求DE 的长．【分析】（1）由二次函数y =12x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （﹣2，0），B （4，0）两点，可得二次函数的解析式为y =12（x +2）（x ﹣4），由此即可解决问题．（2）根据S △P AC ＝S △AOC +S △OPC ﹣S △AOP ，构建方程即可解决问题．（3）结论：点P 在运动过程中线段DE 的长是定值，DE ＝2．根据AM ＝MP ，根据方程求出t ，再利用中点坐标公式，求出点E 的纵坐标即可解决问题．【解答】解：（1）∵二次函数y =12x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （﹣2，0），B （4，0）两点，∴二次函数的解析式为y =12（x +2）（x ﹣4），即y =12x 2﹣x ﹣4．（2）如图甲中，连接OP ．设P （m ，12m 2﹣m ﹣4）．由题意，A （﹣2，0），C （0，﹣4），∵S △P AC ＝S △AOC +S △OPC ﹣S △AOP ，∴152=12×2×4+12×4×m −12×2×（−12m 2+m +4）， 整理得，m 2+2m ﹣15＝0，解得m ＝3或﹣5（舍弃），∴P （3，−52）．（3）结论：点P 在运动过程中线段DE 的长是定值，DE ＝2．理由：如图乙中，连接AM ，PM ，EM ，设M （1，t ），P [m ，12（m +2）（m ﹣4）]，E （m ，n ）．由题意A （﹣2，0），AM ＝PM ，∴32+t 2＝（m ﹣1）2+[12（m +2）（m ﹣4）﹣t ]2， 解得t ＝1+14（m +2）（m ﹣4），∵ME ＝PM ，PE ⊥AB ，∴t =n+12(m+2)(m−4)2，∴n＝2t−12（m+2）（m﹣4）＝2[1+14（m+2）（m﹣4）]−12（m+2）（m﹣4）＝2，∴DE＝2，另解：∵PD•DE＝AD•DB，∴DE=AD⋅DBPD=(m+2)(4−m)4+m−m2=2，为定值．∴点P在运动过程中线段DE的长是定值，DE＝2．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了三角形的面积，三角形的外接圆，三角形的外心等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．【例5】（2020•宜宾）如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图象上，过点F（0，1）作x轴的平行线交二次函数的图象于M、N两点．（1）求二次函数的表达式；（2）P为平面内一点，当△PMN是等边三角形时，求点P的坐标；（3）在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和点N，且与直线y＝﹣1相切．若存在，求出点E的坐标，并求⊙E的半径；若不存在，说明理由．【分析】（1）设二次函数表达式为：y＝ax2，将（2，1）代入上式，即可求解；（2）△PMN是等边三角形，则点P在y轴上且PM＝4，故PF＝2√3，即可求解；（3）在Rt△FQE中，EN=√(2−1)2+(1−14)2=54，EF=√(1−0)2+(1−14)2=54，即可求解．【解答】解：（1）∵二次函数的图象顶点在原点，故设二次函数表达式为：y＝ax2，将（2，1）代入上式并解得：a=1 4，故二次函数表达式为：y=14x 2；（2）将y＝1代入y=14x2并解得：x＝±2，故点M、N的坐标分别为（﹣2，1）、（2，1），则MN＝4，∵△PMN是等边三角形，∴点P在y轴上且PM＝4，∴PF＝2√3；∵点F （0，1），∴点P 的坐标为（0，1+2√3）或（0，1﹣2√3）；（3）假设二次函数的图象上存在一点E 满足条件，设点Q 是FN 的中点，则点Q （1，1），故点E 在FN 的中垂线上．∴点E 是FN 的中垂线与y =14x 2图象的交点，∴y =14×12=14，则点E （1，14）， EN =√(2−1)2+(1−14)2=54，同理EF =√(1−0)2+(1−14)2=54，点E 到直线y ＝﹣1的距离为|14−（﹣1）|=54， 故存在点E ，使得以点E 为圆心半径为54的圆过点F ，N 且与直线y ＝﹣1相切． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、圆的基本的性质、等边三角形的性质等，综合性强，难度适中．【例6】（2021•嘉兴二模）定义：平面直角坐标系xOy 中，过二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．（1）已知点P （2，2），以P 为圆心，为半径作圆．请判断⊙P 是不是二次函数y ＝x 2﹣4x +3的坐标圆，并说明理由；（2）已知二次函数y ＝x 2﹣4x +4图象的顶点为A ，坐标圆的圆心为P ，如图1，求△POA 周长的最小值；（3）已知二次函数y ＝ax 2﹣4x +4（0＜a ＜1）图象交x 轴于点A ，B ，交y 轴于点C ，与坐标圆的第四个交点为D ，连结PC ，PD ，如图2．若∠CPD ＝120°，求a 的值．【分析】（1）先求出二次函数y＝x2﹣4x+3图象与x轴、y轴的交点，再计算这三个交点是否在以P（2，2）为圆心，为半径的圆上，即可作出判断．（2）由题意可得，二次函数y＝x2﹣4x+4图象的顶点A（2，0），与y轴的交点H（0，4），所以△POA周长＝PO+P A+OA＝PO+PH+2≥OH+2，即可得出最小值．（3）连接CD，P A，设二次函数y＝ax2﹣4x+4图象的对称轴l与CD交于点E，与x轴交于点F，由对称性知，对称轴l经过点P，且l⊥CD，设PE＝m，由∠CPD＝120°，可得P A＝PC＝2m，CE＝m，PF＝4﹣m，因为二次函数y＝ax2﹣4x+4图象的对称轴l 为，AB＝，所以AF＝BF＝，，在Rt△P AF中，利用勾股定理建立方程，求得m的值，进而得出a的值．【解答】解：（1）对于二次函数y＝x2﹣4x+3，当x＝0时，y＝3；当y＝0时，解得x＝1或x＝3，∴二次函数图象与x轴交点为A（1，0），B（3，0），与y轴交点为C（0，3），∵点P（2，2），∴P A＝PB＝PC＝，∴⊙P是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆．（2）如图1，连接PH，∵二次函数y＝x2﹣4x+4图象的顶点为A，坐标圆的圆心为P，∴A（2，0），与y轴的交点H（0，4），∴△POA周长＝PO+P A+OA＝PO+PH+2≥OH+2＝6，∴△POA周长的最小值为6．（3）如图2，连接CD，P A，设二次函数y＝ax2﹣4x+4图象的对称轴l与CD交于点E，与x轴交于点F，由对称性知，对称轴l经过点P，且l⊥CD，∵AB＝，∴AF＝BF＝，∵∠CPD＝120°，PC＝PD，C（0，4），∴∠PCD＝∠PDC＝30°，设PE＝m，则P A＝PC＝2m，CE＝m，PF＝4﹣m，∵二次函数y＝ax2﹣4x+4图象的对称轴l为，∴，即，在Rt△P AF中，P A2＝PF2+AF2，∴，即，化简，得，解得，∴．【题组一】1．（2020•雨花区校级一模）如图1，已知抛物线y＝ax2﹣12ax+32a（a＞0）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．（1）连接BC，若∠ABC＝30°，求a的值．（2）如图2，已知M为△ABC的外心，试判断弦AB的弦心距d是否有最小值，若有，求出此时a的值，若没有，请说明理由；（3）如图3，已知动点P（t，t）在第一象限，t为常数．问：是否存在一点P，使得∠APB达到最大，若存在，求出此时∠APB的正弦值，若不存在，也请说明理由．【分析】（1）令y＝0，求得抛物线与x轴的交点A、B的坐标，令x＝0，用a表示C点的坐标，再由三角函数列出a的方程，便可求得a的值；（2）过M点作MH⊥AB于点H，连接MA、MC，用d表示出M的坐标，根据MA＝MC，列出a、d的关系式，再通过关系式求得结果；（3）取AB的中点T，过T作MT⊥AB，以M为圆心，MA为半径作⊙M，MT与直线y ＝x交于点S，P′为直线y＝x上异于P的任意一点，连接AP′，交⊙M于点K，连接BK，MP，AP，BP，MB，MA，当P为直线y＝x与⊙M的切点时，∠APB达到最大，利用圆圆周角性质和解直角三角形的知识求得结果便可．【解答】解：（1）连接BC，令y＝0，得y＝ax2﹣12ax+32a＝0，解得，x＝4或8，∴A（4，0），B（8，0），令x＝0，得y＝ax2﹣12ax+32a＝32a，∴C（0，32a），又∠ABC＝30°，∴tan∠ABC=OCOB=32a8=√33，解得，a=√3 12；（2）过M点作MH⊥AB于点H，连接MA、MC，如图2，∴AH＝BH=12AB=2，∴OH＝6，设M（6，d），∵MA＝MC，∴4+d2＝36+（d﹣32a）2，得2ad＝32a2+1，∴d＝16a+12a=(4√a√2a)2+4√2，∴当4√a=1√2a时，有d最小=4√2，即当a=√28时，有d最小=4√2；（3）∵P（t，t），∴点P在直线y＝x上，如图3，取AB的中点T，过T作MT⊥AB，以M为圆心，MA为半径作⊙M，MT与直线y＝x交于点S，P′为直线y＝x上异于P的任意一点，连接AP′，交⊙M于点K，连接BK，MP，AP，BP，MB，MA，当⊙M与直线y＝x相切时，有∠APB＝∠AKB＞∠AP′B，∴∠APB最大，此时相切点为P，设M（6，d），而T（6，0），∴S（6，6），∴∠PSM＝90°﹣∠SOT＝45°，又MP＝MB=√4+d2，∴MS=√2MP=√2d2+8，∵MS+MT＝ST＝6，∴√2d2+8+d=6，解得，d＝2（负根舍去），经检验，d＝2是原方程的解，也符合题意，∴M（6，2），∴MB＝2√2，∵∠AMB＝2∠APB，MT⊥AB，MA＝MB，∴∠AMT＝∠BMT=12∠AMB＝∠APB，∴sin∠APB＝sin∠BMT=BTMB=√22．【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，解直角三角形，圆周角定理和圆与直线切线性质，难度较大，第（3）题的关键是构造辅助圆确定当∠APB 达到最大时的P点位置．2．（2020•汇川区三模）如图，在平面直角坐标系上，一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，连接BC并延长．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是直线BC在第一象限部分上的一个动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N．1°求线段MN的最大值；2°当MN取最大值时，在线段MN右侧的抛物线上有一个动点P，连接PM、PN，当△PMN的外接圆圆心Q在△PMN的边上时，求点P的坐标．【分析】（1）将三个已知点坐标代入抛物线的解析式中列出方程组求得a 、b 、c ，便可得抛物线的解析式；（2）1°用待定系数法求出直线BC 的解析式，再设M 的横坐标为t ，用t 表示MN 的距离，再根据二次函数的性质求得MN 的最大值；2°分三种情况：当∠PMN ＝90°时；当∠PNM ＝90°时；当∠MPN ＝90°时．分别求出符合条件的P 点坐标便可．【解答】解：（1）把A 、B 、C 三点的坐标代入抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）中，得 {a +b +c =09a +3b +c =0c =3， 解得，{a =1b =−4c =3，∴抛物线的解析式为：y ＝x 2﹣4x +3；（2）1°设直线BC 的解析式为y ＝mx +n （m ≠0），则 {3m +n =0n =3， 解得，{m =−1n =3，∴直线BC 的解析式为：y ＝﹣x +3，设M （t ，﹣t +3）（0＜t ＜3），则N （t ，t 2﹣4t +3）， ∴MN ＝﹣t 2+3t =−(t −32)2+94，∴当t =32时，MN 的值最大，其最大值为94；2°∵△PMN 的外接圆圆心Q 在△PMN 的边上， ∴△PMN 为直角三角形，由1°知，当MN 取最大值时，M （32，32），N （32，−34），①当∠PMN ＝90°时，PM ∥x 轴，则P 点与M 点的纵坐标相等， ∴P 点的纵坐标为32，当y =32时，y ＝x 2﹣4x +3=32， 解得，x =4+√102，或x =4−√102＜32（舍去）， ∴P （4+√102，32）；②当∠PNM ＝90°时，PN ∥x 轴，则P 点与N 点的纵坐标相等， ∴P 点的纵坐标为−34，当y =−34时，y ＝x 2﹣4x +3=−34， 解得，x =52，或x =32（舍去）， ∴P （52，−34）；③当∠MPN ＝90°时，则MN 为△PMN 的外接圆的直径， ∴△PMN 的外接圆的圆心Q 为MN 的中点， ∴Q （32，38），半径为12MN =98，过Q 作QK ∥x 轴，与在MN 右边的抛物线图象交于点K ，如图②，令y =38，得y ＝x 2﹣4x +3=38， 解得，x =8−√224＜32（舍），或x =8+√224， ∴K （8+√224，38），∴QK =2+√224＞98，即K 点在以MN 为直径的⊙Q 外， 设抛物线y ＝x 2﹣4x +3的顶点为点L ，则l （2，﹣1）， 连接LK ，如图②，则L 到QK 的距离为38+1=118，LK =(8+√224−2)2+(38+1)2=√2098， 设Q 点到LK 的距离为h ，则12QK ⋅118=12LK ⋅ℎ，∴ℎ=118QKLK =118×2+√224√2098=22√209+11√209×224×209≈1.27＞98， ∴直线LK 下方的抛物线与⊙Q 没有公共点，∵抛物线中NL 部分（除N 点外）在过N 点与x 轴平行的直线下方，∴抛物线中NL 部分（除N 点外）与⊙Q 没有公共点， ∵抛物线K 点右边部分，在过K 点与y 轴平行的直线的右边，∴抛物线K 点右边部分与⊙Q 没有公共点，综上，⊙Q 与MN 右边的抛物线没有交点， ∴在线段MN 右侧的抛物线上不存在点P ，使△PMN 的外接圆圆心Q 在MN 边上； 综上，点P 的坐标为（4+√102，32）或（52，−34）． 【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法，二次函数的最值的应用，直角三角形的存在性质的探究，圆的性质，第（2）题的1°题关键是把MN 表示成t 二次函数，用二次函数求最值的方法解决问题；第（2）2°小题关键是分情况讨论．难度较大．3．（2020•望城区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =12x 2﹣bx +c 交x 轴于点A ，B ，点B 的坐标为（4，0），与y 轴于交于点C （0，﹣2）．（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上取点D ，若点D 的横坐标为5，求点D 的坐标及∠ADB 的度数； （3）在（2）的条件下，设抛物线对称轴l 交x 轴于点H ，△ABD 的外接圆圆心为M （如图1），①求点M 的坐标及⊙M 的半径；②过点B 作⊙M 的切线交于点P （如图2），设Q 为⊙M 上一动点，则在点运动过程中QH QP的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．【分析】（1）c ＝﹣2，将点B 的坐标代入抛物线表达式得：0=12×16−4b ﹣2，解得：b =−32，即可求解； （2）S △ABD =5×32=3√5×BN 2，则BN =√5，sin ∠BDH =BH BD=√22，即可求解； （3）①∠ADB ＝45°，则∠AMB ＝2∠ADB ＝90°，MA ＝MB ，MH ⊥AB ，AH ＝BH ＝HM =52，点M 的坐标为（32，52）⊙M 的半径为√5； ②PH ＝HB ＝5，则MH MQ=525√22=√22，MQ MP=5√2252=√22，故△HMQ ∽△QMP ，则QH QP=MH MQ=√22，即可求解． 【解答】解：（1）c ＝﹣2，将点B 的坐标代入抛物线表达式得：0=12×16−4b ﹣2，解得：b =−32，∴抛物线的解析式为y =12x 2−32x ﹣2；（2）当x ＝5时，y =12x 2−32x ﹣2＝3，故D 的坐标为（5，3）， 令y ＝0，则x ＝4（舍去）或﹣1，故点A （﹣1，0）， 如图①，连结BD ，作BN ⊥AD 于N ，∵A （﹣1，0），B （4，0），C （0，﹣2）， ∴AD ＝3√5，BD =√10， ∵S △ABD =5×32=3√5×BN2， ∴BN =√5，∴sin ∠BDH =BHBD =√22， ∴∠BDH ＝45°；（3）①如图②，连接MA ，MB ，∵∠ADB ＝45°，∴∠AMB ＝2∠ADB ＝90°， ∵MA ＝MB ，MH ⊥AB ， ∴AH ＝BH ＝HM =52，∴点M 的坐标为（32，52）⊙M 的半径为5√22； ②如图③，连接MQ ，MB ，∵过点B 作⊙M 的切线交1于点P ， ∴∠MBP ＝90°， ∵∠MBO ＝45°， ∴∠PBH ＝45°， ∴PH ＝HB ＝5， ∵MH MQ=525√22=√22，MQ MP=5√2252=√22， ∵∠HMQ ＝∠QMP ， ∴△HMQ ∽△QMP ， ∴QH QP=MH MQ=√22， ∴在点Q 运动过程中QH QP的值不变，其值为√22．【点评】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定与性质．圆的基本性质．解决（3）问的关键是构造相似三角形实现比的转换．4．（2020•天桥区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），与x轴交于A（4，0）、O两点，点D（2，﹣2）为抛物线的顶点．（1）求该抛物线的解析式；（2）点E为AO的中点，以点E为圆心、以1为半径作⊙E，交x轴于B、C两点，点M为⊙E上一点．①射线BM交抛物线于点P，设点P的横坐标为m，当tan∠MBC＝2时，求m的值；②如图2，连接OM，取OM的中点N，连接DN，则线段DN的长度是否存在最大值或最小值？若存在，请求出DN的最值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）用抛物线顶点式表达式得：y＝a（x﹣2）2﹣2，将点A的坐标代入上式，即可求解；（2）分点P在x轴下方、点P在x轴上方两种情况，分别求解即可；（3）证明BN是△OEM的中位线，故BN=12EM=12，而BD=√(2−1)2+(0+2)2=√5，而BD﹣BN≤ND≤BD+BN，即可求解．【解答】解：（1）由抛物线顶点式表达式得：y＝a（x﹣2）2﹣2，将点A的坐标代入上式并解得：a=1 2，故抛物线的表达式为：y=12（x﹣2）2﹣2=12x2﹣2x①；（2）点E是OA的中点，则点E（2，0），圆的半径为1，则点B（1，0），当点P在x轴下方时，如图1，∵tan∠MBC＝2，故设直线BP的表达式为：y＝﹣2x+s，将点B（1，0）的坐标代入上式并解得：s＝2，故直线BP的表达式为：y＝﹣2x+2②，联立①②并解得：x＝±2（舍去﹣2），故m＝2；当点P在x轴上方时，同理可得：m＝4±2√3（舍去4﹣2√3）；故m＝2或4+2√3；（3）存在，理由：连接BN、BD、EM，则BN是△OEM的中位线，故BN=12EM=12，而BD=√(2−1)2+(0+2)2=√5，在△BND中，BD﹣BN≤ND≤BD+BN，即√5−0.5≤ND≤√5+0.5，故线段DN的长度最小值和最大值分别为√5−0.5和√5+0.5．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、圆的基本知识、中位线的性质等，综合性强，难度适中．【题组二】5．（2021•乐山模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与直线AB相交于A（﹣1，0），B（3，2），与x轴交于另一点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在y上是否存在一点E，使四边形ABCE为矩形，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以C为圆心，1为半径作⊙O，D为⊙O上一动点，求DA+DB的最小值【分析】（1）把A（﹣1，0）、B（3，2）代入y＝ax2+bx+2，列方程组求a、b的值；（2）作AE⊥AB交y轴于点E，连结CE，作BF⊥x轴于点F，证明∠ABC＝90°及△BCF≌△EAO，从而证明四边形ABCE是矩形且求出点E的坐标；（3）在（2）的基础上，作FL⊥BC于点L，证明△FCL∽△BCF及△DCL∽△BCD，得到LD＝DB，再根据DA+LD≥AL，求出AL的长即为所求的最小值．【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、B（3，2）代入y＝ax2+bx+2，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+x+2．（2）存在．如图1，作AE⊥AB交y轴于点E，连结CE；作BF⊥x轴于点F，则F（3，0）．当y＝0时，由x2+x+2＝0，得x1＝1，x2＝4，∴C（4，0），∴CF＝AO＝1，AF＝3﹣（﹣1）＝4；又∵BF＝2，∴，∵∠BFC＝∠AFB＝90°，∴△BFC∽△AFB，∴∠CBF＝∠BAF，∴∠ABC＝∠CBF+∠ABF＝∠BAF+∠ABF＝90°，∴BC∥AE，∵∠BCF＝90°﹣∠BAC＝∠EAO，∠BFC＝∠EOA＝90°，∴△BCF≌△EAO（ASA），∴BC＝EA，∴四边形ABCE是矩形；∵OE＝FB＝2，∴E（0，﹣2）．（3）如图2，作FL⊥BC于点L，连结AL、CD.由（2）得∠BFC＝90°，BF＝2，CF＝1，∴CF＝CD，CB＝＝．∵∠FLC＝∠BFC＝90°，∠FCL＝∠BCF（公共角），∴△FCL∽△BCF，∴＝，∴＝，∵∠DCL＝∠BCD（公共角），∴△DCL∽△BCD，∴＝，∴LD＝DB；∵DA+LD≥AL，∴当DA+LD＝AL，即点D落在线段AL上时，DA+DB＝DA+LD＝AL最小．∵CL＝CF＝，∴BL＝＝，∴BL2＝（）2＝，又∵AB2＝22+42＝20，∴AL＝＝＝，DA+DB的最小值为．6．（2021•河北区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴是直线x＝2，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（Ⅰ）求抛物线的解析式及顶点坐标；（Ⅱ）M为第一象限内抛物线上的一个点，过点M作MN⊥x轴于点N，交BC于点D，连接CM，当线段CM＝CD时，求点M的坐标；（Ⅲ）以原点O为圆心，AO长为半径作⊙O，点P为⊙O上的一点，连接BP，CP，求2PC+3PB的最小值．【分析】（Ⅰ）由x＝2＝﹣＝﹣，解得b＝1，即可求解；（Ⅱ）当线段CM＝CD时，则点C在MD的中垂线上，即y C＝（y M+y D），即可求解；（Ⅲ）在OC上取点G，使＝，即，则△POG∽△COP，故2PC+3PB ＝2（PB+PC）＝2（BP+PG），故当B、P、G三点共线时，2PC+3PB最小，最小值为3BG，进而求解．【解答】解：（Ⅰ）∵对称轴是直线x＝2，故x＝2＝﹣＝﹣，解得b＝1，故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣2）2+4，∴抛物线的顶点为（2，4）；（Ⅱ）对于y＝﹣x2+x+3，令y＝﹣x2+x+3＝0，解得x＝6或﹣2，令x＝0，则y＝3，故点A、B、C的坐标分别为（﹣2，0）、（6，0）、（0，3），设直线BC的表达式为y＝mx+n，则，解得，故直线BC的表达式为y＝﹣x+3，设点M的坐标为（x，﹣x2+x+3），则点D的坐标为（x，﹣x+3），当线段CM＝CD时，则点C在MD的中垂线上，即y C＝（y M+y D），即3＝（﹣x2+x+3﹣x+3），解得x＝0（舍去）或2，故点M的坐标为（2，4）；（Ⅲ）在OC上取点G，使＝，即，则OG＝，则点G（0，），∵，∠GOP＝∠COP，∴△POG∽△COP，∴，故PG＝PC，则2PC+3PB＝3（PB+PC）＝3（BP+PG），故当B、P、G三点共线时，2PC+3PB最小，最小值为3BG，则2PC+3PB的最小值3BG＝3＝2．7．（2021•长沙模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，经过C（1，1），且与x轴正半轴交于A，B两点．（1）如图1，连接OC，将线段OC绕点O顺时针旋转，使得C落在y轴的负半轴上，求点C的路径长；（2）如图2，延长线段OC至N，使得ON＝，若∠OBN＝∠ONA，且，求抛物线的解析式；（3）如图3，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线，与y轴交于（0，5），经过点C 的直线l：y＝kx+m（k＞0）与抛物线交于点C、D，若在x轴上存在P1、P2，使∠CP1D ＝∠CP2D＝90°，求k的取值范围．【分析】（1）由点C的路径长＝，即可求解；（2）证明△ONA∽△OBN，则OA•OB＝ON2＝3，即，得到c＝3a，而a+b+c＝1，tan∠ABM＝，得到（1﹣4a）2﹣4a•3a＝13，即可求解；（3）由点D、C的坐标得到k＝＝t﹣4，若在x轴上有且仅有一点P，使∠CPD＝90°，则过CD中点的圆R与x轴相切，设切点为P，得到（﹣1）2+（﹣1）2＝（）2，求出t＝3+，进而求解．【解答】解：（1）点C的路径长＝＝；（2）∵∠ONA＝∠OBN，∠AON＝∠NOB，∴△ONA∽△OBN，∴，即OA•OB＝ON2＝3，即，故c＝3a，∵a+b+c＝1，在△ABM中，tan∠ABM＝＝＝，∴b2﹣4ac＝13，即（1﹣4a）2﹣4a•3a＝13，解得a＝﹣1（舍去）或3，∴抛物线的表达式为y＝3x2﹣11x+9；（3）由题意得：，解得，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣5x+5；设点D（t，n），n＝t2﹣5t+5，而点C（1，1），将点D、C的坐标代入函数表达式得，则k＝＝t﹣4，若在x轴上有且仅有一点P，使∠CPD＝90°，则过CD中点的圆R与x轴相切，设切点为P，则点H（，），则HP＝HC，即（﹣1）2+（﹣1）2＝（）2，化简得：3t2﹣18t+19＝0，解得：t＝3+（不合题意的值已舍去），k＝t﹣4＝．若在x轴上存在P1、P2，使∠CP1D＝∠CP2D＝90°，则以DC为直径的圆H和x轴相交，∴0＜k＜．8．（2020•东海县二模）如图，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线C1：y＝x2+ x上，点A的坐标为（﹣4，m），点B的坐标为（n，﹣2）．（点A在点B的左侧）（1）则m＝﹣4，n＝﹣1．（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，抛物线C2：y＝ax2+bx+4经过A'、B'两点，延长OB'交抛物线C2于点C，连接A'C．设△OA'C的外接圆为⊙M．①求圆心M的坐标；②试直接写出△OA'C的外接圆⊙M与抛物线C2的交点坐标（A'、C除外）．【分析】（1）把x＝﹣4代入抛物线C1解析式求得y即得到点A坐标；把y＝﹣2代入抛物线C1解析式，解方程并判断大于﹣4的解为点B横坐标．（2）①根据旋转90°的性质特点可求点A'、B'坐标（过点作x轴垂线，构造全等得到对应边相等）及OA'的长，用待定系数法求抛物线F2的解析式，求出直线OC的解析式，构建方程组确定点C的坐标，求出线段OA′，线段A′C的垂直平分线的解析式，构建方程组解决问题即可．②设⊙M与抛物线C2的交点为P（m，m2﹣3m+4）．根据PM＝OM，构建方程求解即可．【解答】解：（1）当x＝﹣4时，y＝×（﹣4）2+×（﹣4）＝﹣4，∴点A坐标为（﹣4，﹣4），当y＝﹣2时，x2+x＝﹣2，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣6，∵点A在点B的左侧，∴点B坐标为（﹣1，﹣2），∴m＝﹣4，n＝﹣1．故答案为﹣4，﹣1．（2）①如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，过点B'作B'G⊥x轴于点G．∴∠BEO＝∠OGB'＝90°，OE＝1，BE＝2，∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB′，∴OB＝OB'，∠BOB'＝90°，∴∠BOE+∠B'OG＝∠BOE+∠OBE＝90°，∴∠B'OG＝∠OBE，在△B'OG与△OBE中，，∴△B'OG≌△OBE（AAS），∴OG＝BE＝2，B'G＝OE＝1，∵点B'在第四象限，∴B'（2，﹣1），同理可求得：A'（4，﹣4），∴OA＝OA'＝＝4，∵抛物线F2：y＝ax2+bx+4经过点A'、B'，∴，解得：，∴抛物线F2解析式为：y＝x2﹣3x+4，∵直线OB′的解析式为y＝﹣x，由，解得或，∴点C（8，﹣4），∵A′（4，﹣4），∴A′C∥x轴，∵线段OA′的垂直平分线的解析式为y＝x﹣4，线段A′C的垂直平分线为x＝6，∴直线y＝x﹣4与x＝6的交点为（6，2），∴△OA′C的外接圆的圆心M的坐标为（6，2）．②设⊙M与抛物线C2的交点为P（m，m2﹣3m+4）．则有（m﹣6）2+（m2﹣3m+2）2＝62+22，解得m＝0或12或4或8，∵A'、C除外，∴P （0，4），或（12，4）．9．（2019•鄂尔多斯）如图，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣2（a ≠0）与x 轴交于A （﹣3，0），B （1，0）两点，与y 轴交于点C ，直线y ＝﹣x 与该抛物线交于E ，F 两点．（1）求抛物线的解析式．（2）P 是直线EF 下方抛物线上的一个动点，作PH ⊥EF 于点H ，求PH 的最大值．（3）以点C 为圆心，1为半径作圆，⊙C 上是否存在点M ，使得△BCM 是以CM 为直角边的直角三角形？若存在，直接写出M 点坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）直接利用待定系数法即可得出结论；（2）先判断出过点P 平行于直线EF 的直线与抛物线只有一个交点时，PH 最大，再求出此直线l 的解析式，即可得出结论；（3）分两种情况：①当∠BMC ＝90°时，先求出BM 的长，进而求出BD ，DM 1的长，再构造出相似三角形即可得出结论；②当∠BCM ＝90°时，利用锐角三角函数求出点M 3的坐标，最后用对称的性质得出点M 4的坐标，即可得出结论．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx ﹣2（a ≠0）与x 轴交于A （﹣3，0），B （1，0）两点，∴{9a −3b −2=0a +b −2=0，∴{a =23b =43， ∴抛物线的解析式为y =23x 2+43x ﹣2；（2）如图1，过点P 作直线l ，使l ∥EF ，过点O 作OP '⊥l ， 当直线l 与抛物线只有一个交点时，PH 最大，等于OP '， ∵直线EF 的解析式为y ＝﹣x ，设直线l 的解析式为y ＝﹣x +m ①，∵抛物线的解析式为y =23x 2+43x ﹣2②，联立①②化简得，23x 2+73x ﹣2﹣m ＝0， ∴△=499−4×23×（﹣2﹣m ）＝0， ∴m =−9724， ∴直线l 的解析式为y ＝﹣x −9724，令y ＝0，则x =−9724， ∴M （−9724，0），∴OM =9724，在Rt △OP 'M 中，OP '=OM √2=97√248， ∴PH 最大=97√248．（3）①当∠CMB ＝90°时，如图2，∴BM 是⊙O 的切线，∵⊙C 半径为1，B （1，0），∴BM 2∥y 轴，∴∠CBM 2＝∠BCO ，M 2（1，﹣2），∴BM 2＝2，∵BM 1与BM 2是⊙C 的切线，∴BM 1＝BM 2＝2，∠CBM 1＝∠CBM 2，∴∠CBM 1＝∠BCO ，∴BD ＝CD ，在Rt △BOD 中，OD 2+OB 2＝BD 2，∴OD2+1＝（2﹣OD）2，∴OD=3 4，∴BD=5 4，∴DM1=3 4过点M1作M1Q⊥y轴，∴M1Q∥x轴，∴△BOD∽△M1QD，∴OBM1Q =ODDQ=BDDM1，∴1M1Q =34DQ=5434，∴M1Q=35，DQ=920，∴OQ=34+920=65，∴M1（−35，−65），②当∠BCM＝90°时，如图3，∴∠OCM3+∠OCB＝90°，∵∠OCB+∠OBC＝90°，∴∠OCM3＝∠OBC，在Rt△BOC中，OB＝1，OC＝2，∴tan∠OBC=OCOB=2，∴tan∠OCM3＝2，过点M3作M3H⊥y轴于H，在Rt△CHM3中，CM3＝1，设CH＝m，则M3H＝2m，根据勾股定理得，m2+（2m）2＝1，∴m=√5 5，∴M3H＝2m=2√55，OH＝OC﹣CH＝2−√55，∴M3（−2√55，√55−2），而点M4与M3关于点C对称，∴M 4（2√55，−√55−2）， 即：满足条件的点M 的坐标为（−35，−65）或（1，﹣2）或（−2√55，√55−2）或（2√55，−√55−2）．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行线的性质，勾股定理，切线的性质，相似三角形的判定和性质，构造出相似三角形是解本题的关键． 10．（2019•日照）如图1，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣5x +5与x 轴，y 轴分别交于A ，C 两点，抛物线y ＝x 2+bx +c 经过A ，C 两点，与x 轴的另一交点为B ． （1）求抛物线解析式及B 点坐标；（2）若点M 为x 轴下方抛物线上一动点，连接MA 、MB 、BC ，当点M 运动到某一位置时，四边形AMBC 面积最大，求此时点M 的坐标及四边形AMBC 的面积；（3）如图2，若P 点是半径为2的⊙B 上一动点，连接PC 、P A ，当点P 运动到某一位置时，PC +12P A 的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．【分析】（1）由直线y ＝﹣5x +5求点A 、C 坐标，用待定系数法求抛物线解析式，进而求得点B 坐标．（2）从x 轴把四边形AMBC 分成△ABC 与△ABM ；由点A 、B 、C 坐标求△ABC 面积；设点M 横坐标为m ，过点M 作x 轴的垂线段MH ，则能用m 表示MH 的长，进而求△ABM 的面积，得到△ABM 面积与m 的二次函数关系式，且对应的a 值小于0，配方即求得m 为何值时取得最大值，进而求点M 坐标和四边形AMBC 的面积最大值． （3）作点D 坐标为（4，0），可得BD ＝1，进而有BD BP=BP AB=12，再加上公共角∠PBD＝∠ABP ，根据两边对应成比例且夹角相等可证△PBD ∽△ABP ，得PD PA等于相似比12，进而得PD =12AP ，所以当C 、P 、D 在同一直线上时，PC +12P A ＝PC +PD ＝CD 最小．用两点间距离公式即求得CD 的长．【解答】解：（1）直线y ＝﹣5x +5，x ＝0时，y ＝5 ∴C （0，5）y ＝﹣5x +5＝0时，解得：x ＝1 ∴A （1，0）∵抛物线y ＝x 2+bx +c 经过A ，C 两点 ∴{1+b +c =00+0+c =5 解得：{b =−6c =5 ∴抛物线解析式为y ＝x 2﹣6x +5。

在九年级数学上学期第三章中，我们学习了二次函数的相关内容，这部分的知识点是一模考中必考的部分，所有的区县都会针对这部分的知识点进行考察．解答题中的主要考察方式是求解二次函数的解析式、二次函数与几何图形相结合的类型（主要是二次函数与相似三角形相结合，这部分内容会在后面的课程中进行讲解）．在九年级数学下学期第一章中，我们学习了圆的相关内容，这部分的知识点是一模考中只有教学进度比较快的部分区县会进行考察，包括：长宁区、宝山区、奉贤区、金山区、嘉定区、普陀区和崇明县等．解答题中会考察一道关于圆的证明题或者解答题．我们整理了近两年解答题中的相关题目，同学们可以有针对性地进行练习．二次函数主要考察二次函数解析式的求法（一般式、交点式、顶点式），二次函数图像的平移，以及二次函数与几何图形相结合的相关题型．二次函数与圆内容分析知识结构模块一：二次函数考点分析2 / 17【例1】 （2015学年·杨浦区一模·第20题）已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表所示：x … 1- 0 2 4 … y…5-11m…求：（1）这个二次函数的解析式；（2）这个二次函数图像的顶点坐标及上表中m 的值．【例2】 （2014学年·徐汇区一模·第19题）已知二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，且0a ≠）经过A 、B 、C 、D 四点，其中横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表： （1）求二次函数的解析式； （2）求ABD ∆的面积．【例3】 （2014学年·宝山区一模·第21题）已知一个二次函数的图像经过点A （1，0）和点B （0，6），C （4，6），求这个抛物线的表达式以及该抛物线的顶点坐标．【例4】 （2014学年·闸北区一模·第20题）已知二次函数22y x bx c =-++的图像经过点A（0，4）和B （1，2-）．（1）求此函数的解析式；并运用配方法，将此抛物线解析式化为()2y a x m k =++的形式； （2）写出该抛物线顶点C 的坐标，并求出CAO ∆的面积．A B C D x 1- 0 1 3 y1-353例题解析A B C O x y【例5】 （2014学年·普陀区一模·第21题）如图，已知二次函数的图像与x 轴交于点A （1，0）和点B ，与y 轴交于点C （0，6），对称轴为直线2x =，求二次函数的解析式并写出图像最低点的坐标．【例6】 （2015学年·闵行区一模·第19题）如图，已知Rt ABC ∆的斜边AB 在x 轴上，斜边上的高CO 在y 轴的正半轴上，且OA = 1，OC = 2．求经过A 、B 、C 三点的二次函数解析式．【例7】 （2015学年·虹口区一模·第20题）已知一个二次函数的图像经过A （0，3-）、B（2，3-）、C （1-，0）三点． （1）求这个二次函数的解析式；（2）将这个二次函数图像平移，使顶点移到点P (0，3-)的位置，求所得新抛物线的表达式．【例8】 （2015学年·徐汇区一模·第20题）抛物线22y x x c =-+经过点（2，1）． （1）求抛物线的顶点坐标；（2）将抛物线22y x x c =-+沿y 轴向下平移后，所得新抛物线与x 轴交于A 、B 两点，ABCO xy x = 24 / 17如果2AB =，求新抛物线的表达式．【例9】 （2014学年·金山区一模·第22题）抛物线2(0)y ax bx c a =++≠向右平移2个单位得到抛物线2(3)1y a x =--，且平移后的抛物线经过点A （2，1）． （1）求平移后抛物线的解析式；（2）设原抛物线与y 轴的交点为B ，顶点为P ，平移后抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，求BPM ∆的面积．【例10】 （2014学年·宝山区一模·第20题）已知某二次函数的对称轴平行于y 轴，图像顶点为A （1，0）且与y 轴交于点B （0，1）． （1）求该二次函数的解析式；（2）设C 为该二次函数图像上横坐标为2的点，记OA a =，OB b =试用a 、b 表示OC ．【例11】 （2015学年·静安区一模·第24题）如图，直线112y x =+与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，二次函数的图像与y 轴相交于点C ，与直线112y x =+相交于点A 、D ，CD // x 轴，CDA OCA ∠=∠． （1）求点C 的坐标；（2）求这个二次函数的解析式．xyOABCD【例12】 （2015学年·嘉定区一模·第24题）已知在平面直角坐标系xOy （如图）中，抛物线212y x bx c =++经过点A （4，0）、点C （0，4-），点B 与点A 关于这条抛物线的对称轴对称． （1）用配方法求这条抛物线的顶点坐标； （2）联结AC 、BC ，求ACB ∠的正弦值；（3）点P 是这条抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为m （0m >），过点P 作y 轴的垂线PQ ，垂足为Q ，如果QPO BCO ∠=∠，求m 的值．【例13】 （2015学年·崇明县一模·第24题）如图，在直角坐标系中，一条抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中B （3，0），C （0，4），点A 在x 轴的负半轴上，4OC OA =． （1）求这条抛物线的解析式，并求出它的顶点坐标；（2）联结AC 、BC ，点P 是x 轴正半轴上一个动点，过点P 作PM // BC 交射线AC 于点M ，联结CP ，若CPM ∆的面积为2，则请求出点P 的坐标．xy1 1O6 / 17OABC xy【例14】 （2014学年·宝山区一模·第25题）（1）数学小组的单思稿同学认为形如2y ax bx c =++的抛物线，系数a 、b 、c 一旦确定，抛物线的形状、大小、位置就不会变化，所以称a 、b 、c 为抛物线2y ax bx c =++的特征数，记作{}c a b 、、．请求出与y 轴交于点C （0，－3）的抛物线22y x x k =-+在单同学眼中的特征数；（2）同数学小组的尤格星同学喜欢将抛物线设成2()y a x m k =++的顶点式，因此坚持称a 、m 、k 为抛物线的特征数，记作{}a m k 、、．请求出上述抛物线在尤同学眼中的特征数；（3）同一个问题在上述两位同学眼中的特征数各不相同，为了让两人的研究保持一致，同组的董和谐将上述抛物线表述成：特征数为{}u v w 、、的抛物线沿平行于某轴方向平移某单位后的图像。

2015~2016学年度第一学期期末教学质量检测九年级数学试卷说明：1、全卷共4页，五道大题。

2、考试时间100分钟，满分120分。

一、单项选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A B C D2、下列事件是必然事件的是（）A、明天太阳从西边升起B、掷出一枚硬币，正面朝上C、打开电视机，正在播放“新闻联播”D、任意画一个三角形，它的内角和等于180°3、一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，4个白球，从布袋里随机摸出一个球，摸出的球是红色的概率是（）A 、B 、 C、D 、4、在半径为6的⊙O中，60°圆心角所对的弧长是（）A、 B、2 C、4 D、65、用配方法解方程x2+10x+9=0，配方后可得（）A、（x+5）2=16B、（x+5）1=1C、（x+10）2=91D、（x+10）2=1096、若x=1是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根，则m的值为（）A、－1B、－2C、－3D、－47、如图，∠O =30°，C为OB上的一点，且OC=6，以点C为圆心、半径为3的圆与OA的位置关系是（）A、相离B、相交C、相切D、以上三种情况均有可能8、如图，在⊙O中直径垂直于弦AB，若∠C=25°则∠BOD的度数是（）A、25°B、30°C、40°D、50°9、某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场所，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列出的方程为（）A、x（x－11）=180B、2x+2（x－11）=180C、x（x+11）=180D、2x+2（x+11）=18010、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图像见如图，关于该函数的说法错误的是（）A、函数有最小值第7题图第8B 、对称轴是直线x=1/2C 、当x ﹤1/2，y 随x 增大而减小D 、当－1﹤x ﹤2时，y ﹥0二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11、如图，将△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转60°，得△ADE ，则∠BAD= 度。

一、概述1. 中考数学中常见的一次函数与圆的交点问题是一类常见且重要的题型。

2. 其中，求一次函数与圆交点的横坐标范围是考察学生掌握一次函数性质和圆的性质的重要途径之一。

3. 本文将探讨一次函数与圆的交点问题，并围绕求解参数b的范围展开讨论。

二、一次函数与圆的交点问题概述1. 一次函数的一般形式为f(x) = kx + b，其中k和b为常数。

2. 圆的一般方程为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。

3. 一次函数与圆的交点是指满足一次函数方程和圆方程同时成立的点。

三、求解一次函数与圆的交点1. 设一次函数为f(x) = kx + b，将其代入圆的方程得到关于x的二次方程。

2. 通过求根公式或配方法，解出关于x的二次方程的根，即一次函数与圆的交点的横坐标。

3. 将求得的横坐标代入一次函数方程，求得对应的纵坐标，即交点坐标。

四、参数b的范围求解1. 以一次函数f(x) = kx + b与圆(x-a)² + (y-b)² = r²为例进行讨论。

2. 由前述方法，得到一次函数与圆的交点，并将交点坐标的纵坐标代入一次函数方程。

3. 通过对参数b的范围进行讨论，得到使一次函数与圆有交点的b的范围。

五、结论1. 通过求解一次函数与圆的交点问题，掌握了对数学知识的灵活运用。

2. 对参数b的范围求解，使学生在实际问题中能够灵活应用所学知识，深化对数学概念的理解。

六、总结1. 一次函数与圆的交点问题是中考数学中的重要题型，需加强相关知识点的掌握。

2. 在解决一次函数与圆的交点问题中，参数b的范围求解是一个重要环节，对应着数学知识的深化应用。

七、参考资料1. 《中学数学教学大纲》2. 《中学数学教材》以上是本文对中考一次函数与圆交点求解参数b的范围的相关探讨，希望对广大学生有所帮助。

八、一次函数与圆的交点问题概述1. 一次函数与圆的交点问题，常常考察学生对一次函数及圆的性质的理解和运用能力。

二次函数和圆结合的题二次函数和圆是数学中常见的几何概念，它们在解题过程中经常结合在一起。

本文将探讨二次函数和圆结合的一些题目，并分析解题思路和方法。

一、已知二次函数和圆的方程，求二者的交点坐标。

题目描述：已知二次函数的方程为f(x)=ax^2+bx+c，圆的方程为(x-h)^2+(y-k)^2=r^2，求二者的交点坐标。

解题思路：将二次函数和圆的方程联立，求解交点坐标。

首先，将二次函数的方程代入圆的方程，得到方程(ax^2+bx+c-h)^2+(x-k)^2=r^2，然后将该方程化简，整理成关于x的二次方程，即ax^2+(b-2ah)x+(c-h^2-k^2-r^2)=0。

根据二次方程的求根公式，可以求得x的两个解，然后将x的值代入二次函数的方程，求得对应的y值，即得到二者的交点坐标。

二、已知二次函数与圆的交点，求二次函数和圆的方程。

题目描述：已知二次函数与圆的交点的坐标为(x1,y1)和(x2,y2)，求二次函数和圆的方程。

解题思路：根据已知的交点坐标，可以列出两个方程。

首先，将交点坐标代入二次函数的方程，得到方程ax1^2+bx1+c=y1和ax2^2+bx2+c=y2，然后将这两个方程联立，消去c，得到方程a(x1^2-x2^2)+b(x1-x2)=y1-y2。

接着，将交点坐标代入圆的方程，得到方程(x1-h)^2+(y1-k)^2=r^2和(x2-h)^2+(y2-k)^2=r^2，将这两个方程联立，消去h和k，得到方程(x1^2-x2^2)+(y1^2-y2^2)=2hx1-2hx2+2ky1-2ky2。

将方程a(x1^2-x2^2)+b(x1-x2)=y1-y2和方程(x1^2-x2^2)+(y1^2-y2^2)=2hx1-2hx2+2ky1-2ky2联立，即可得到二次函数和圆的方程。

三、已知二次函数和圆的交点，求交点到圆心的距离。

题目描述：已知二次函数的方程为f(x)=ax^2+bx+c，圆的方程为(x-h)^2+(y-k)^2=r^2，已知二次函数和圆的交点的坐标为(x1,y1)和(x2,y2)，求交点到圆心的距离。

圆和二次函数知识点 《圆》一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外； 三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点；A四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒无交点⇒d R r>+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r=+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r=-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r<-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：图4图5①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。

双曲函数与圆存在性问题
双曲函数是一类特殊的函数，包括双曲正弦、双曲余弦和双曲
正切等。

而圆则是一种常见的几何形状。

本文将讨论双曲函数与圆
之间的存在性问题。

我们首先来了解一下双曲函数。

在数学中，双曲函数是指满足
特定条件的一类函数。

其中，双曲正弦函数（sinh）、双曲余弦函
数（cosh）和双曲正切函数（tanh）是最为常见的双曲函数。

它们
在实数域上定义，并与三角函数有一定的关系。

接下来，我们来讨论圆。

圆是一个平面上所有离圆心距离相等
的点的集合。

圆的性质在几何学中有广泛的应用和研究，它与直线、角度以及曲线等都存在紧密的联系。

那么，双曲函数与圆之间是否存在关联呢？一般来说，双曲函
数与圆没有直接的关系。

双曲函数的图形呈现出一种“开放”的形态，而圆则是一个“封闭”的图形。

这两种形态之间存在明显的差异。

然而，在某些特定情况下，双曲函数和圆可以相联系。

例如，通过引入复数域，我们可以将双曲函数与圆的概念相联系起来。

在复平面上，双曲函数的图形与平面上的圆相关联，并通过复平面上的欧拉公式进行描述。

总结起来，双曲函数与圆之间一般来说没有直接的关联，它们在形态上存在一定的差异。

然而，在某些特定情况下，通过引入复数域，双曲函数和圆可以相联系。

这为我们理解和研究数学和几何学提供了一种有趣的视角。

以上是关于双曲函数与圆存在性问题的简要讨论。

希望对您有所帮助！。

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2015反比例及圆的切线试题(扫描二维码可查看试题解析)一．填空题（共11小题）1．（2014•丹徒区二模）如图，点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，AB⊥y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且OC=2AB，点E在线段AC上，且AE=3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为6，则k的值为．2．（2014•武汉模拟）如图：两个等腰直角三角形的两个直角顶点A、C都在y=上，若D（﹣8，0），则k=．3．（2013•自贡）如图，在函数的图象上有点P1、P2、P3…、P n、P n+1，点P1的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P1、P2、P3…、P n、P n+1分别作x轴、y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S1、S2、S3…、S n，则S1=，S n=．（用含n的代数式表示）4．（2013•遵义）如图，已知直线y=x与双曲线y=（k＞0）交于A、B两点，点B的坐标为（﹣4，﹣2），C为双曲线y=（k＞0）上一点，且在第一象限内，若△AOC的面积为6，则点C的坐标为．5．（2013•泸州）如图，点P1（x1，y1），点P2（x2，y2），…，点P n（x n，y n）在函数（x＞0）的图象上，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，△P n A n﹣1A n都是等腰直角三角形，斜边OA1、A1A2、A2A3，…，A n﹣1A n都在x轴上（n是大于或等于2的正整数），则点P3的坐标是；点P n的坐标是（用含n的式子表示）．6．（2013•桂林）函数y=x的图象与函数y=的图象在第一象限内交于点B，点C是函数y=在第一象限图象上的一个动点，当△OBC的面积为3时，点C的横坐标是．7．（2013•武汉）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BC=2AB．A，B两点的坐标分别是（﹣1，0），（0，2），C，D两点在反比例函数y=（k＜0）的图象上，则k等于．8．（2013•宁波）如图，等腰直角三角形ABC顶点A在x轴上，∠BCA=90°，AC=BC=2，反比例函数y=（x＞0）的图象分别与AB，BC交于点D，E．连结DE，当△BDE∽△BCA时，点E的坐标为．9．（2013•芦淞区模拟）已知双曲线，的部分图象如图所示，P是y轴正半轴上一点，过点P作AB∥x轴，分别交两个图象于点A，B．若PB=2PA，则k=．10．（2013•阜宁县二模）如图，D是反比例函数的图象上一点，过D 作DE⊥x轴于E，DC⊥y轴于C，一次函数y=﹣x+m与的图象都经过点C，与x轴分别交于A、B两点，四边形DCAE的面积为4，则k的值为．11．（2013•邓州市校级一模）如图，已知梯形ABCO的底边AO在x轴上，BC∥AO，AB⊥AO，过点C的双曲线交OB于D，且OD：DB=1：2，若△OBC的面积等于3，则k的值是．二．解答题（共19小题）12．（2013•巴中）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=的图象交于一、三象限内的A、B两点，直线AB与x轴交于点C，点B的坐标为（﹣6，n），线段OA=5，E为x轴正半轴上一点，且tan∠AOE=．（1）求反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积．13．（2013•广元）如图，已知双曲线y=经过点D（6，1），点C是双曲线第三象限上的动点，过C作CA⊥x轴，过D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC．（1）求k的值；（2）若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；（3）判断AB与CD的位置关系，并说明理由．14．（2001•吉林）如图，已知反比例函数和一次函数y=2x﹣1，其中一次函数的图象经过（a，b），（a+1，b+k）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）如图，已知点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A的坐标；（3）利用（2）的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由．15．（2015•茂名模拟）如图：已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC与⊙O相交于点D，连接AD并延长，与BC相交于点E．（1）若BC=，CD=1，求⊙O的半径；（2）取BE的中点F，连接DF，求证：DF是⊙O的切线．16．（2015•潍坊模拟）已知如图，△ABC中AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．（1）求证：AE与⊙O相切；（2）当BC=6，cosC=，求⊙O的直径．17．（2014•涪城区校级自主招生）已知：如图，在△ABC中，AB=BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F．（1）求证：AC与⊙O相切；（2）当BD=6，sinC=时，求⊙O的半径．18．（2014•天心区校级模拟）如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且∠DBA=∠BCD．（1）根据你的判断：BD是⊙O的切线吗？为什么？．（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且△BEF的面积为10，cos∠BFA=，那么，你能求出△ACF的面积吗？若能，请你求出其面积；若不能，请说明理由．19．（2014•梁子湖区校级模拟）如图，AD的圆O的切线，切点为A，AB是圆O的弦．过点B作BC∥AD，交圆O于点C，连接AC，过点C作CD∥AB，交AD于点D．连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP=∠ACD．（1）判断直线PC于圆O的位置关系，并说明理由．（2）若AB=9，BC=6，求圆O的半径．20．（2014•碑林区二模）如图，已知AB=2，AB、CD是⊙O的两条直径，M为弧AB的中点，C在弧MB上运动，点P在AB的延长上，且PC=AC，作CE⊥AP于E，连接DP交⊙O于F．（1）求证：当AC=时，PC与⊙O相切；（2）在PC与⊙O相切的条件下，求sin∠APD的值？21．（2014•润州区二模）如图，以线段AB为直径作⊙O，⊙O的切线切圆于点E，交AB的延长线于点D，连接BE，过点O作OC∥BE交切线DE于点C，连接AC．（1）求证：AC是⊙O的切线．（2）若已知BD=2，sinD=，求线段OC的长．22．（2014•武汉模拟）如图，Rt△ABE中，AB⊥AE以AB为直径作⊙O，交BE于C，弦CD⊥AB，F为AE上一点，连FC，则FC=FE（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）已知点P为⊙O上一点，且tan∠APD=，连CP，求sin∠CPD的值．23．（2014•黄陂区模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．（1）求证：BE与⊙O相切；（2）连结AD并延长交BE于点F，若△ABF的面积为，sin∠ABC=，求⊙O的半径．24．（2014•射阳县三模）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO平分弦AB交AB于点D，交⊙O于点E、F，（1）试判断直线PB与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）如PA=6，tan∠APB=，求⊙O的半径长．25．（2013秋•东西湖区校级期末）已知，如图：△ABC中，CH是高，∠ACH=2∠ABC，点O是AB上一点，以点O为圆心，OB为半径的⊙O经过点C，（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）连接CO并延长交⊙0于点D，连接BD并延长与∠DCH的平分线CE相交于点E，若⊙O的半径为5cm，CH=4cm，求线段CE的长．26．（2013•潍坊模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求∠P的度数；（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，AB=4，求线段BM、CM及弧BC所围成的图形面积．27．（2013•镇江二模）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，∠CDA=∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=4，tan∠ABD=，求BE的长．28．（2013•陕西模拟）如图，AB是⊙O的直径，延长AB至点C，过点C作⊙O的切线CD，切点为D，连接AD、BD，过圆心O作AD的垂线交CD于点P．（1）求证：直线PA是⊙O的切线；（2）若AB=4BC，求的值．29．（2013•莆田模拟）如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G．（1）求证：①点F是BD中点；②CG是⊙O的切线；（2）若FB=FE=2，求⊙O的半径．30．（2013•江岸区模拟）如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．（1）求证：直线PA为⊙O的切线；（2）若BC=6，tan∠F=，求线段PE的长．2015反比例及圆的切线试题参考答案与试题解析一．填空题（共11小题）1．（2014•丹徒区二模）如图，点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，AB⊥y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且OC=2AB，点E在线段AC上，且AE=3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为6，则k的值为．bBD=OD=（b=×b+8+×b，，．故答案为：2．（2014•武汉模拟）如图：两个等腰直角三角形的两个直角顶点A、C都在y=上，若D （﹣8，0），则k=﹣8．代入双曲线的解析式中得：3．（2013•自贡）如图，在函数的图象上有点P1、P2、P3…、P n、P n+1，点P1的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P1、P2、P3…、P n、P n+1分别作x轴、y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S1、S2、S3…、S n，则S1=4，S n=．（用含n的代数式表示）的纵坐标为的纵坐标为：﹣）×=2[﹣]（×=2[﹣]﹣]；．4．（2013•遵义）如图，已知直线y=x与双曲线y=（k＞0）交于A、B两点，点B的坐标为（﹣4，﹣2），C为双曲线y=（k＞0）上一点，且在第一象限内，若△AOC的面积为6，则点C的坐标为（2，4）．，）上，=，）××）×﹣=COF=5．（2013•泸州）如图，点P1（x1，y1），点P2（x2，y2），…，点P n（x n，y n）在函数（x＞0）的图象上，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，△P n A n﹣1A n都是等腰直角三角形，斜边OA1、A1A2、A2A3，…，A n﹣1A n都在x轴上（n是大于或等于2的正整数），则点P3的坐标是（+，﹣）；点P n的坐标是（+，﹣）（用含n的式子表示）．E=OA，可得y=﹣的坐标为（，﹣，，，可得c=﹣的坐标为（+﹣，+）+﹣+，）+，）6．（2013•桂林）函数y=x的图象与函数y=的图象在第一象限内交于点B，点C是函数y=在第一象限图象上的一个动点，当△OBC的面积为3时，点C的横坐标是1或4．，））在第一象限交于•+2•+27．（2013•武汉）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BC=2AB．A，B两点的坐标分别是（﹣1，0），（0，2），C，D两点在反比例函数y=（k＜0）的图象上，则k等于﹣12．）BC=2AB=2，，），），y==，BC=2AB=2﹣）AD=2BC=2AB=28．（2013•宁波）如图，等腰直角三角形ABC顶点A在x轴上，∠BCA=90°，AC=BC=2，反比例函数y=（x＞0）的图象分别与AB，BC交于点D，E．连结DE，当△BDE∽△BCA时，点E的坐标为（，）．，），，反比例函数（，）22y=x+2﹣b=﹣=b+2﹣a=），9．（2013•芦淞区模拟）已知双曲线，的部分图象如图所示，P是y轴正半轴上一点，过点P作AB∥x轴，分别交两个图象于点A，B．若PB=2PA，则k=﹣4．=10．（2013•阜宁县二模）如图，D是反比例函数的图象上一点，过D作DE⊥x 轴于E，DC⊥y轴于C，一次函数y=﹣x+m与的图象都经过点C，与x轴分别交于A、B两点，四边形DCAE的面积为4，则k的值为﹣2．×11．（2013•邓州市校级一模）如图，已知梯形ABCO的底边AO在x轴上，BC∥AO，AB⊥AO，过点C的双曲线交OB于D，且OD：DB=1：2，若△OBC的面积等于3，则k的值是．AB=y OE=OA=（（yy（ya=3．故答案为：．二．解答题（共19小题）12．（2013•巴中）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=的图象交于一、三象限内的A、B两点，直线AB与x轴交于点C，点B的坐标为（﹣6，n），线段OA=5，E为x轴正半轴上一点，且tan∠AOE=．（1）求反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积．AOE==y=中，）得y=×13．（2013•广元）如图，已知双曲线y=经过点D（6，1），点C是双曲线第三象限上的动点，过C作CA⊥x轴，过D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC．（1）求k的值；（2）若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；（3）判断AB与CD的位置关系，并说明理由．经过点=1=，y=）x+1﹣，都等于﹣14．（2001•吉林）如图，已知反比例函数和一次函数y=2x﹣1，其中一次函数的图象经过（a，b），（a+1，b+k）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）如图，已知点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A的坐标；（3）利用（2）的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由．）由题意得）由，，（，，（﹣15．（2015•茂名模拟）如图：已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC与⊙O相交于点D，连接AD并延长，与BC相交于点E．（1）若BC=，CD=1，求⊙O的半径；（2）取BE的中点F，连接DF，求证：DF是⊙O的切线．）（16．（2015•潍坊模拟）已知如图，△ABC中AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．（1）求证：AE与⊙O相切；（2）当BC=6，cosC=，求⊙O的直径．cosC=17．（2014•涪城区校级自主招生）已知：如图，在△ABC中，AB=BC，D是AC中点，BE 平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB 于点F．（1）求证：AC与⊙O相切；（2）当BD=6，sinC=时，求⊙O的半径．求出，根据==，即可求出半径．，sinA=sinC===r=，的半径是．18．（2014•天心区校级模拟）如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且∠DBA=∠BCD．（1）根据你的判断：BD是⊙O的切线吗？为什么？．（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且△BEF的面积为10，cos∠BFA=，那么，你能求出△ACF的面积吗？若能，请你求出其面积；若不能，请说明理由．BFA=，那么，于是BFA=19．（2014•梁子湖区校级模拟）如图，AD的圆O的切线，切点为A，AB是圆O的弦．过点B作BC∥AD，交圆O于点C，连接AC，过点C作CD∥AB，交AD于点D．连接AO 并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP=∠ACD．（1）判断直线PC于圆O的位置关系，并说明理由．（2）若AB=9，BC=6，求圆O的半径．BC=3AM=6，设⊙﹣BC=3AM==66．20．（2014•碑林区二模）如图，已知AB=2，AB、CD是⊙O的两条直径，M为弧AB的中点，C在弧MB上运动，点P在AB的延长上，且PC=AC，作CE⊥AP于E，连接DP交⊙O 于F．（1）求证：当AC=时，PC与⊙O相切；（2）在PC与⊙O相切的条件下，求sin∠APD的值？CP=APD=求解．cosA==，DP==APD==21．（2014•润州区二模）如图，以线段AB为直径作⊙O，⊙O的切线切圆于点E，交AB 的延长线于点D，连接BE，过点O作OC∥BE交切线DE于点C，连接AC．（1）求证：AC是⊙O的切线．（2）若已知BD=2，sinD=，求线段OC的长．，=22．（2014•武汉模拟）如图，Rt△ABE中，AB⊥AE以AB为直径作⊙O，交BE于C，弦CD⊥AB，F为AE上一点，连FC，则FC=FE（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）已知点P为⊙O上一点，且tan∠APD=，连CP，求sin∠CPD的值．B==R===，R==．．23．（2014•黄陂区模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．（1）求证：BE与⊙O相切；（2）连结AD并延长交BE于点F，若△ABF的面积为，sin∠ABC=，求⊙O的半径．ODG=，ABC=r rDG=r==，即，AB24．（2014•射阳县三模）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO平分弦AB交AB于点D，交⊙O于点E、F，（1）试判断直线PB与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）如PA=6，tan∠APB=，求⊙O的半径长．APB== =，25．（2013秋•东西湖区校级期末）已知，如图：△ABC中，CH是高，∠ACH=2∠ABC，点O是AB上一点，以点O为圆心，OB为半径的⊙O经过点C，（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）连接CO并延长交⊙0于点D，连接BD并延长与∠DCH的平分线CE相交于点E，若⊙O的半径为5cm，CH=4cm，求线段CE的长．FCH=∠ACH=∠ECB=CE=∠ACH=∠ECB==4cmCE=BC==4cm26．（2013•潍坊模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB 的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求∠P的度数；（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，AB=4，求线段BM、CM及弧BC所围成的图形面积．AB=2CD=BD=DM=CM=BCM=所围成的图形面积为27．（2013•镇江二模）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，∠CDA=∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=4，tan∠ABD=，求BE的长．=，易证，得到===CDA=，OEB=，==，•28．（2013•陕西模拟）如图，AB是⊙O的直径，延长AB至点C，过点C作⊙O的切线CD，切点为D，连接AD、BD，过圆心O作AD的垂线交CD于点P．（1）求证：直线PA是⊙O的切线；（2）若AB=4BC，求的值．===29．（2013•莆田模拟）如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G．（1）求证：①点F是BD中点；②CG是⊙O的切线；（2）若FB=FE=2，求⊙O的半径．。

二次函数与圆的交点1. 介绍二次函数和圆是数学中常见的图形，它们在许多领域都有广泛的应用。

二次函数是一个具有形式为f(x) = ax^2 + bx + c的方程，其中a、b和c是实数且a不等于0。

圆是一个平面上所有到一个固定点距离相等的点的集合。

在数学中，我们经常需要求解二次函数和圆的交点，也就是找到满足二次函数和圆方程同时成立的x和y值。

这些交点可以提供关于二次函数和圆之间关系的重要信息，并且可以用于解决各种实际问题。

本文将详细介绍如何求解二次函数与圆的交点，并讨论它们在几何、物理、工程等领域中的应用。

2. 求解方法要求解二次函数与圆的交点，我们需要将二次函数方程和圆方程进行联立，然后解得x和y值。

2.1 联立方程假设给定一个二次函数f(x) = ax^2 + bx + c以及一个圆方程(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2，其中(h,k)表示圆心坐标，r表示半径。

我们可以将二次函数方程代入圆方程中，得到一个关于x和y的方程。

具体步骤如下：1.将二次函数方程中的f(x)替换为y，得到y = ax^2 + bx + c。

2.将y替换圆方程中的y，得到(x-h)^2 + (ax^2 + bx + c - k)^2 = r^2。

3.展开并整理上述方程，得到一个关于x的二次方程。

2.2 求解二次方程得到了关于x的二次方程后，我们可以使用求解二次方程的方法来求解交点。

一般来说，我们可以使用以下两种方法：2.2.1 公式法对于形如ax^2 + bx + c = 0的一元二次方程，可以使用求根公式来求解。

根据求根公式，一元二次方程的解为： x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)通过代入上述公式，并进行计算和化简，我们可以得到交点的x值。

2.2.2 图形法除了使用公式法来求解交点外，我们还可以使用图形法来精确地确定交点位置。

具体步骤如下：1.绘制出二次函数和圆的图像。

–对于二次函数，可以通过绘制其顶点、对称轴以及几个附近的点来得到大致的图像。