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13.1.2定理与证明

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华东师大版数学八年级上册13.1.2定理与证明 课件

华东师大版数学八年级上册13.1.2定理与证明 课件

巩固训练1
6．下面关于基本事实和定理的联系
说法不正确的是( B ) A．基本事实和定理都是真命题 B．基本事实就是定理，定理也是基本事实 C．基本事实和定理都可以作为推理论证的依据 D．基本事实的正确性不需证明，定理的正确性 需证明
探究二：用基本事实、定理进行简单的证明
自学指导二：
内容：课本第56-57页内容 时间：3分钟
华东师范大学出版社 《义务教育教科书》
八年级数学(上册)
复习旧知
1、什么叫命题？ 3、命题的分类
2、命题的结构 4、真、假命题的判断
复习旧知
1、什么叫命题？
表示判断的语句叫做命题。
2、命题的结构
命题由条件和结论两部分构成，常可写成 “如果……那么……”的形式
3、命题的分类
正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。
A．定义
B．定理
C．基本事实
D．定义
巩固训练1
3．“平行于同一条直线的两条直线
互相平行”是( )
A．假命题
B．定义
C．基本事实 D．定理
巩固训练1
3．“平行于同一条直线的两条直线
互相平行”是( D )
A．假命题
B．定义
C．基本事实 D．定理
巩固训练1
4．下列命题中：①两点确定一条直线； ②同位角相等，两直线平行； ③两点之间，线段最短； ④三角形的内角和等于180°. 属于基本事实的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
巩固训练1
4．下列命题中：①两点确定一条直线； ②同位角相等，两直线平行； ③两点之间，线段最短； ④三角形的内角和等于180°. 属于基本事实的有( C ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

华师版八年级数学上册 13.1.2 定理与证明

华师版八年级数学上册 13.1.2 定理与证明

课程讲授
1 基本事实与定理
基本事实、定理、命题的关系：
命题
真命题 假命题
基本事实（正确性由实践总结） 定理（正确性通过推理证实）
课程讲授
2 命题的证明
证明几何命题的一般步骤： 1.明确命题中的__已__知__和_求__证___； 2.根据题意，_画__出__图__形__，并用数学符号表示已知和 求证； 3.经过分析，找出由已知推出_要__证__的__结__论_的途径， 写出证明过程.
可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑 推理的方法判断它们是正确的，可以作为进一步 判断其他命题真假的依据的真命题叫三角形
13.1 命题、定理与证明
13.1.2 定理与证明
新知导入 课程讲授
随堂练习 课堂小结
知识要点
1.基本事实与定理 2.命题的证明
新知导入
试一试：根据所学知识，完成下列内容.
下列哪些命题是真命题﹖ 1.两点确定一条直线; 2.两点之间，线段最短; 3.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直; 4.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
课程讲授
1 基本事实与定理
定义： 数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命
题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且 可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真 命题叫做定理.
比如:“内错角相等,两直线平行”这条定理就是在“同 位角相等,两直线平行”这条公理的基础上推理而出的, 它又可以作为判定平行线的依据.
课程讲授
2 命题的证明
例 证明命题：直角三角形的两个锐角互余.
A
已知：如图，在△ABC中，∠C=90°.
求证：∠A+∠B=90°.
证明：∵∠A+∠B+∠C=180°（三角

1312定理与证明华师大八年级上精品PPT课件

1312定理与证明华师大八年级上精品PPT课件
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
平行. 两条直线被第三条直线截，如果同位角相等，
那么这两条直线平行.
基本事实与定理
上面的命题是我们七年级中学习的真命题，都是公 认的真命题，这样的真命题我们视为基本事实，并把它 们作为判断其他命题真假的原始依据，即出发点.
有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻 辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以进一步作为
ab c
d
图中两条线段a与b的长度相等吗？ a b
眼睛真的那么可靠？
如何证实一个命题是真命题呢
用我们以前学过 的观察,实验,验 证特例等方法.
能不能根据已 经知道的真命
题证实呢?
那已经知道 的真命题又 是如何证实
的?.
这些方法 往往并不
可靠.
哦……那 可怎么办
思考：1.利用数值实验得到的结果是否可靠呢？
（3）经过分析，找出由已知推出结论的途径， 写出证明过程，并注明依据.
直角三角形的两个锐角互余
A
已知：如图，在直角三角形ABC中，C 90
求证：A B 90
证明：
C
B
A B C 180(三角形的内角和等于180），
又 C 90（ 已知），
A B 180-C 90(等式的性质）.
（1）一位学生在钻研数学题时发现：
2+1=3，
2×3+1=7，
2×3×5+1=31，
2×3×5×7+1=211.
于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论：从质数 2开始，排在前面的任意多个质数的乘积加1一定是质数。 它的结论正确吗？
计算：2×3×5×7×11+1=
2×3×5×7×11×13+1=

13.1.2__线段的垂直平分线性质

13.1.2__线段的垂直平分线性质
13.1.2 线段的垂直
平分线的性质
M P
定理:线段垂直平分线上的点到这 条线段两个端点距离相等.
B
A N
C
提示:这个结论是经常用来证明两条 线段相等的根据之一.
几何语言：
∵AC=BC，MN⊥AB，P是MN上任意一点(已知)， ∴PA=PB(线段垂直平分线上的点与这条线段两个端 点距离相等).
P A B
小结与作业：
（1）本节课学习了哪些内容？ （2）线段垂直平分线的性质和判定是如何得到的？ 两者之间有什么关系？ （3）如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？
教科书习题13.1第6、9题．
12.3 角的平分线
D A P O E
13.1 线段的垂直平分线
M P A N 定 理 线段垂直平分线上的点和 这条线段两个端点的距离相等. 逆定理 和一条线段两个端点距离相 等的点，在这条线段的垂直平分线上. 线段的垂直平分线可以看作是和线段 两个端点距离相等的所有点的集合. B
你能用其 他方法证线的判定：
定理：与一条线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上． P ∵ ∴
用数学符号表示为： PA =PB， 点P 在AB 的垂直平分线上． A
B
提示:这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线 经过某一点)的根据之一.
归纳：
你能再找一些到线段AB 两端点的距离相 等的点吗？能找到多少个到线段AB 两端点距 离相等的点？ P 这些点能组成什么几何图形？ 线段AB 的垂直平分线l 上的 点与A，B 的距离都相等；反过来， 与A，B 的距离相等的点都在直线l A 上，所以直线l 可以看成与两点A、 B 的距离相等的所有点的集合．
C
B
课堂练习

§13.1.2定理与证明

§13.1.2定理与证明
当n=1时，n2+n+17=?19是质数
当n=2时，n2+n+17=?23是质数
当n=3时，n2+n+17=?26是质数 当n=4时，n2+n+17=?37是质数…… 做到这里，同学们似乎可以得到结论了吧？这个命题是真命 题•但
当n=17时，n2+n+17=?323是合数
结合课本P56-57两个思考，得出证明的必要性. 教师提出问题：那证明的依据是什么？ 师生共同得到基本事实，疋理，疋义的概念.
第三步：通过分析，找出证明的方法，写出证明过程.
在证明几何命题时，须注意以下几点：
1.明确题目的条件和结论；
2•证明过程中引用的根据(理由)与“定理的证明相同”；
3•证明过程中每一步结果所用的根据必须是取得这一结果的 充分理由；
4•要防止利用未学过的定理来证明学过的命题，避免循环论 证
活动
开放 训练 体现 应用
图13—1—
①DE//BC:②/1= 72;③/B= ZC.
(1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论， 组成一个命题，一共能组成几个命题，请你都写出来；
(2)请你就其中的一个真命题给出推理过程.
解：(1)一共能组成2个命题，它们是：题设：①②，结论：
③；题设：①③，结论：②；
⑵情况一题设：①②，结论：③；证明：如图，•••Dቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ//BC,
的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题 真假的依据，这样的真命题叫做定理.
归纳：定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性，而
且可以作为进一步确认其他命题真假的依据.
探究证明：根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎 推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明 例如图13—1—,有下列三个条件：

13.1.2 定理与证明 大赛获奖教学课件

13.1.2 定理与证明 大赛获奖教学课件
足这一规律？ 实际上，这是一个正确的结论.
探讨归纳 上面的几个例子说明了什么问题？ 通过特殊的事例得到的结论可能正确，也可能不 正确. 定义：根据条件、定义以及基本事实、定理等，经 过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过
程叫做证明.
典例精析
A
例1 证明命题：直角三角形的两个锐角互余. 已知：如图，在△ABC中，∠C=90°. 求证：∠A+∠B=90°. 证明：∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形的内角和等于180°）， 又∵∠C=90°（已知）， ∴∠A+∠B=180°-∠C=90°(等式的性质). 此命题可以用来作为判断其他命题真假的依据，因此我 们把它也作为定理. 方法归纳：演绎推理是研究数学的一个重要方法.除了基 本事实与已知的定理外，等式与不等式的有关性质以及等量代 换也可以作为推理的依据.
学习目标
1.理解基本事实、定理等概念.（重点） 2.理解证明的概念，并会对真命题进行证明.（难点）
导入新课 问题导入
问题：我们学过的哪些命题是真命题﹖ 1.两点确定一条直线; 2.两点之间，线段最短;
3.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
4.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
讲授新课
当堂练习
1.证明：邻补角的平分线互相垂直．
已知：如图， ∠AOB ＋∠BOC ＝ 180°， OE 平分 ∠AOB ，
OF平分∠BOC．
求证：OE⊥OF． 分析：要证明OE⊥OF，只要证明 ∠EOF ＝ 90°， 即 ∠1 ＋∠2 ＝ 90° 即 A 可． 1 证明：∵OE平分∠AOB， ∴∠1＝ ∠AOB. ∵OF平分 ∠BOC， ∴∠2＝ ∴∠1 ＋ ∠2 ＝
（1）作一条线段等于已知线段； （2）作一个角等于已知角；（3）作已知角的平分线.

华东师大版八年级数学上册导学案：13.1.2定理与证明

华东师大版八年级数学上册导学案：13.1.2定理与证明

13.1.2定理与证明【学习目标】 1理解并掌握公理和定理的定义及判断2公理，定理的证明【学习重点】公理；定理的定义【学习难点】真命题的证明【学法指导】讲练结合．【自学指导、合作探究】一、自学指导叫做公理叫做定理注意: 1.定理一定是真命题但真命题不一定都是定理2.公理和定理都是真命题；都可以作为判定其它命题的依据。

下列命题是否是真命题：（1）一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；（2）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；（3）全等三角形的对应边、对应角分别相等．它们是公理吗例1(A)下列说法正确的是( )A.假命题不是命题B.真命题是定理C.公理是真命题D.“内错角相等,两直线平行”是公理例2(C)直角三角形的两个锐角互余．已知:求证:证明:合作探究逻辑推理的一般步骤:(1)根据题意画出图形(2)根据条件结论、结合，图形,写出已知,求证(3)经过分析由已知推出求证的途径,写出证明过程.例3(B)把下列定理改写成“如果……，那么……”的形式，指出它的题设和结论，并用逻辑推理的方法证明题（1）：（1） 同旁内角互补，两直线平行；（2） 三角形的外角和等于360°．【展示质疑、教师点拨】1.(A)下列命题中属于公理的是（ ）Ａ.同位角相等；两直线平行 Ｂ.在同一平面内都与第三条直线垂直的两直线平行C.两直线平行同旁内角互补。

D.三角形的外角和等于360图19.1.12.(B)把下列命题改成“如果……，那么……”的形式并指出它们的题设和结论．（1） 全等三角形的对应边相等；（2） 菱形的对角线相互垂直；（3） 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．3. (B)试证明“如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．”即，已知： 如图，AB ⊥MN ，CD ⊥MN ，垂足分别为E 、 F ．求证： AB ∥CD ．【同步演练、拓展提升】1．(A)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行( )A 公理B 定理C 定义D 假命题2．(A)命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”的题设 结论3．(B)将命题“同角的余角相等”改写成如果……那么……的形式是4.(B)如图直线L1∥L2 L3⊥L4 有三个命题① ∠1+∠3=90° 23 ② ∠2+∠3=90°③ ∠2=∠4下列说法正确的是（ ） 4 A 只有①正确 B 只有②正确1 C ①和②正确 D ①②③都正确5.(B)指出下列命题的题设和结论①直角三角形的两个锐角互余 ②平行四边形的对角线互相平分题设：题设： 结论： 结论： ③ 在一个三角形中，等角对等边 ④ 两个无理数的和仍是无理数题设：题设： 结论： 结论：6.(C)完成以下证明：并在括号内填写理由。

13.1.2定理与证明

13.1.2定理与证明
5. 质数个数有多少个? _无__限__个__(有限个或无限个)
思考(1)
2 35711 1 2311 2 3571113 1 30031
一位同学在专研数学题时发现：
21 3
2311是质数
231 7
235 1 31
30031=509×59
2 3 5 7 1 211 30031不是质数
▲真命题的证明过程，必须做到言必有据。
▲证明过程的每一步骤，都应该在后面的括号内写上依据。
公理、定理、命题的关系
真命题
命题
假命题
公理（正确性由实践总结） 定理（正确性通过推理证实）
练习
1.把下列定理改写成“如果……，那么……”的形式，指出 它的条件和结论，并用逻辑推理的方法证明题（1）：
（1）同旁内角互补，两直线平行；
思考(3)
我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边形
等的内角和，得到一个结论：
n边
形的内角和等于（n-2）×180°。
这个结论正确吗？
正确
是否有一个多边形的内角和不满足这一规律？ 没有
体会
通过上面几个例子说明： 通过特殊的事例得到的结论可能正确,也可能不正确. 因此： 通过这种方式得到的结论，还需进一步加以证实。
因为这种证明方法叫做举例法或不完全归纳法， 所以并不包含所有情况，得到的结论不一定正确。
证明的定义
根据已知条件、定义及基本事实、定理等，经过演绎 推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫
做证明。等式或不等式的有关性质及等量代换，也可
以做为推理证明的依据 例如，有了“三角形的内角和等于180°”这条 定理后，我们还可以证明刻画直角三角形的两 个锐角之间的数量关系的命题：

13.1.2定理与证明

13.1.2定理与证明
HS八(上) 教学课件
第13章 全等三角形
13.1 命题、定理与证明
2 定理与证明
基本事实与定理
新课讲解
基本事实 ：数学中一些命题的正确性是人们在长期 实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假 的原始依据，即出发点.这样的真命题视为基本事实. 我们也称它为公理.
1) 直线公理：过两点有且只有一条直线. 2) 线段公理： 两点之间，线段最短. 3) 平行公理：
内错角相等，两直线平行. 同旁内角互补，两直线平行.
8) 平行线的性质定理：
两直线平行，内错角相等. 两直线平行，同旁内角互补.
公理、定理、命题的关系：
新课讲解
命题
真命题 假命题
公理（正确性由实践总结） 定理（正确性通过推理证实）
新课讲解
【思考】（1）一位同学在钻研数学题时发现：
2+1=3， 2×3+1=7， 2×3×5+1=31， 2×3×5×7+1=211，
边形等的内角和，得到一个结论：n边形的内角和等于 （n-2）×180°.这个结论正确吗？是否有一个多边形的
内角和不满足这一规律？
这是一个正确的结论.
新课讲解
【探讨】上面的几个例子说明了什么问题？ 通过特殊的事例得到的结论可能正确，也
可能不正确. 【定义】根据条件、定义以及基本事实、定理 等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确， 这样的推理过程叫做证明.
2b
∠1=∠2 ( 已知
)Байду номын сангаас
∴∠3=∠2( 等量代换 )
∴a∥b (同位角相等，两直线平行)
例2.证明：邻补角的平分线互相垂直.
已知：如图，∠AOB、∠BOC互为邻补角，

13.1.2 定理与证明

13.1.2 定理与证明
八年级数学上册（华师版） 第十三章 全等三角形
13．1.2 定理断其他 命题真假的_依__据_，这样的 真命题 叫做定理．
练习1.“同角或等角的补角相等”是( C ) A．定义 B．基本事实 C．定理 D．假命题
2．证明：根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判 断一个命题是否正确，这样的_推__理_过程叫做证明．
7．如图，AB∥CD，AD∥BC.求证：∠A＝∠C.
解：∵AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°，∵AB∥CD， ∴∠C＋∠B＝180°，∴∠A＝∠C
8．下列命题中：①两点确定一条直线；②同位角相等，两直线平行；③两 点之间，线段最短；④三角形的内角和等于180°.属于基本事实的有( C )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．“两直线平行，同旁内角互补”是一个( B ) A．基本事实 B．定理 C．假命题 D．定义
3．如图，直线a，b与c相交，则下列推理错误的是( D) A．∵∠1＝∠3，∴a∥b B．∵a∥b，∴∠2＋∠3＝180° C．∵∠2＝∠4，∴a∥b D．∵a∥b，∴∠2＋∠4＝180°
4 ． 如 图 ， AO⊥CO ， BO⊥DO ， 则 ∠ AOB ＝ ∠ COD ， 推 理 的 理 由 是 ( B)
9．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α，β和γ的关系是( )C A．α＝β＋γ B．α＋β＋γ＝180° C．α＋β－γ＝90° D．β＋γ－α＝90°
10．如图所示，给出下面的推理： ①∵∠B＝∠BEF，∴AB∥EF； ②∵∠B＝∠CDE，∴AB∥CD； ③∵∠DCE＋∠AEF＝180°，∴AB∥CD； ④∵∠A＋∠AEF＝180°，∴AB∥EF.
解：∵∠ADE＝∠B，∴DE∥BC，∴∠1＝∠3，∵∠1＝∠2， ∴∠2＝∠3，∴CD∥FG，∵FG⊥AB，∴CD⊥AB
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2.下列真命题是定理的是（ ） A.两点确定一条直线 B.两直线平行，同位角相等 C.对顶角相等 D.两点之间，线段最短
试一试
C 90 已知：如图，在直角三角形ABC中， 求证： A B 90
A
C
B
直角三角形的两个锐角互余
复习回忆
1.你都学过哪些基本ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ实？ （从直线、线段、垂线、平行、平行线判 定、平行线性质等方面加以说明）
2.这些基本事实有什么作用？
2.定理与证明
学习目标
1.了解基本事实、定理和证明的含义； 2.会用基本事实、定理进行简单的真命题的 证明。
自学指导
自学课本p55-56内容，试解决下列问题： 1.什么是定理？定理有什么作用？
2.“思考”中得出的三个结论正确吗？这三个 例子说明了什么？
3.什么叫做证明？
展示点拨
基本事实：
数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出 来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据， 这样的真命题叫做基本事实.
定理 ：
数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑 推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为判 断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理 。
证明：
根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推 理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做 证明。
课堂探讨
命题、基本事实、定理之间有什么关系？ 基本事实（正确性由实践总结） 真命题 命题 假命题 定理（正确性通过推理证实）
辨一辨
1.下列命题中，假命题是（ ） A.定理都是命题 B. 命题都是定理 C.基本事实都是命题 D.推理过程叫证明