八年级上数学导学案(北师大版)勾股定理

福洪中学八年级上期数学 第一章《勾股定理》导学案 班 组 姓名 等级b DEccc cababab第一课时 探索勾股定理1学习目标：1.探索并记住直角三角形三边关系 2.会简单运用勾股定理 一、探索直角三角形三边关系1.方法1：观察右图1：大正方形的边长是 ；面积是 （用式子表示）,同时大正方形的面积还等于四个三角形的面积与一个正方形面积的和，可以表示为 .根据同一个正方形的面积相等，所以式子221()42a b ab c +=⨯+，整理得：22a b += 2.方法2：观察右图2：直角梯形形的面积是 （用式子表示）， 直角梯形的面积是三个三角形的面积和表示为 ，所以式子1()()2a b a b ++=整理得22a b +=3.由上面可知:直角三角形三边的数量关系是,两条直角边的平方和等于斜边的 ; 我们把与直角三角形三边有关的性质定理称为“勾股定理”或“毕达哥拉斯定理”) 即:若两条直角边分别为a 、b ,斜边长为c ,则4.几何语言叙述（如右图） ∵ ΔABC 为直角三角形，∠A=900. ∴思考：若∠B=900则 ；若∠C=900，则 二、会简单运用勾股定理 6.学一学：如图，求直角三角形第三边解：（1）∵在Rt ΔABC 中,∠A=900. （2） （3） ∴222AB AC BC += 即222513AC += 2AC =AC ==12b c aCB A ?135BAk ?11CB A?34C B A第二课时 探索勾股定理2 学习目标：.会用勾股定理求直角三角形的第三边一忆一忆：1.直角三角形三边的数量关系是,两条直角边的 等于斜边的 ;即:若两条直角边分别为a 、b ,斜边长为c ,则勾股定理几何语言叙述（如右图） ∵ ΔABC 为直角三角形 ∠A=900. ∴思考：还可怎样变式？ 二、用勾股定理求直角三角形的第三边1.请说出下图1、图2中的未知数x 、y.图图3 图4 2.求图3、图4 中的x如图3证明过程如下：∵在Rt ΔABC 中,∠C=90∴2BC +22AC AB =即2221216x += 2400x = x =图4过程如下3.在Rt ΔABC 中,∠C=900.（自己画图）①若a ＝3，b ＝4，则c ＝________； ②若a ＝1，b ＝1，则c ＝_______；③若a ＝6，c ＝10，则b ＝_______；④ 若c ＝25，b ＝15，则a ＝________；○5若a c ＝_______；○6若a ＝40，b ＝9，则c ＝_______；16122 b ca C B Ac bA B课时三一定是直角三角形吗？学习目标：1.会用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形．一．画一画．（1）如图已知线段a，b，c，以线段a，b，c为三边，求作△ABC使BC=a，AC=b，AB=c．作法：1．作线段BC=a；2．分别以点B，C为圆心，以c，b长为半径作弧，两弧相交于点A；3．连结AC，AB；则△ABC即为所求作的三角形（2）在你所作的图形中度量∠C= ，a= 厘米，b= 厘米c= 厘米．根据度量结果计算a2+b2= ，c2= ，以上结果说明．二．练一练．1．如果△ABC的三边长分别为a，b，c，如果a，b，c满足，则可判定△ABC是三角形．2．已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是直角三角形的在题后的（）内画“√”．⑴a=3，b=22，c=5；（）⑵a=5，b=7，c=9；（）⑶a=2，b=3，c=7；（）⑷a=5，b=26，c=1。

八年级数学上册章勾股定理导学案（XX新北师大版）勾股定理导学案第1课时探索勾股定理编写人：时间：8月30日姓名：学习目标：经历探索勾股定理的过程，发展学生的合情推理意识，体会数形结合的思想。

会初步利用勾股定理解决实际问题。

学习过程：一、课前预习：三角形按角的大小可分为：、、。

三角形的三边关系：三角形的任意两边之和；任意两边之差。

直角三角形的两个锐角；在RtΔABc中，两条直角边长分别为a、b，则这个直角三角形的面积可以表示为：。

二、自主学习：探索直角三角形三边的特殊关系：画一直角三角形，使其两边满足下面的条件，测量第三边的长度，完成下表；直角三角形1直角边a直角边b斜边c三边关系满足关系直角三角形2直角边a直角边b斜边c三边关系满足关系13猜想：直角三角形的三边满足什么关系?任画一直角三角形，量出三边长度，看得到的数据是否符合你的猜想。

猜想：三、合作探究：：如果下图中小方格的边长是1，观察图形，完成下表，并与同学交流：你是怎样得到的？图形A的面积B的面积c的面积A、B、c面积的关系图1-1图1-2图1-3图1-4思考：每个图中正方形的面积与三角形的边长有何关系？归纳得出勾股定理。

勾股定理：直角三角形等于；几何语言表述：如图1.1-1，在RtΔABc中，c＝90°，则：；若Bc=a，Ac=b，AB=c，则上面的定理可以表示为：。

四、课堂练习：求下图中字母所代表的正方形的面积求出下列各图中x的值。

如图所示，强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处。

旗杆折断之前有多高？五、当堂检测：．在△ABc中，∠c=90°，若Bc=5，Ac=12，则AB=；若Bc=3，AB=5，则Ac=；若Bc∶Ac=3∶4，AB=10，则Bc=，Ac=.编写人：时间：8月30日姓名：学习目标：掌握勾股定理，理解利用拼图验证勾股定理的方法。

能运用勾股定理解决一些实际问题。

学习过程：一、知识回顾：勾股定理：求下列直角三角形的未知边的长在一个直角三角形中，两条直角边分别为，，斜边为：如果，，则，面积为；如果，，则三角形的周长为，面积为；二、自主学习：利用拼图验证勾股定理：活动一：用四个全等的直角三角形拼出图1，并思考：．拼成的图1中有_______个正方形，___个直角三角形。

八年级数学上册章勾股定理导学案（XX新北师大版）勾股定理导学案第1课时探索勾股定理编写人：时间：8月30日姓名：学习目标：经历探索勾股定理的过程，发展学生的合情推理意识，体会数形结合的思想。

会初步利用勾股定理解决实际问题。

学习过程：一、课前预习：三角形按角的大小可分为：、、。

三角形的三边关系：三角形的任意两边之和；任意两边之差。

直角三角形的两个锐角；在RtΔABc中，两条直角边长分别为a、b，则这个直角三角形的面积可以表示为：。

二、自主学习：探索直角三角形三边的特殊关系：画一直角三角形，使其两边满足下面的条件，测量第三边的长度，完成下表；直角三角形1直角边a直角边b斜边c三边关系满足关系直角三角形2直角边a直角边b斜边c三边关系满足关系13猜想：直角三角形的三边满足什么关系?任画一直角三角形，量出三边长度，看得到的数据是否符合你的猜想。

猜想：三、合作探究：：如果下图中小方格的边长是1，观察图形，完成下表，并与同学交流：你是怎样得到的？图形A的面积B的面积c的面积A、B、c面积的关系图1-1图1-2图1-3图1-4思考：每个图中正方形的面积与三角形的边长有何关系？归纳得出勾股定理。

勾股定理：直角三角形等于；几何语言表述：如图1.1-1，在RtΔABc中，c＝90°，则：；若Bc=a，Ac=b，AB=c，则上面的定理可以表示为：。

四、课堂练习：求下图中字母所代表的正方形的面积求出下列各图中x的值。

如图所示，强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处。

旗杆折断之前有多高？五、当堂检测：．在△ABc中，∠c=90°，若Bc=5，Ac=12，则AB=；若Bc=3，AB=5，则Ac=；若Bc∶Ac=3∶4，AB=10，则Bc=，Ac=.编写人：时间：8月30日姓名：学习目标：掌握勾股定理，理解利用拼图验证勾股定理的方法。

能运用勾股定理解决一些实际问题。

学习过程：一、知识回顾：勾股定理：求下列直角三角形的未知边的长在一个直角三角形中，两条直角边分别为，，斜边为：如果，，则，面积为；如果，，则三角形的周长为，面积为；二、自主学习：利用拼图验证勾股定理：活动一：用四个全等的直角三角形拼出图1，并思考：．拼成的图1中有_______个正方形，___个直角三角形。

1.3 勾股定理的应用1．学会用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实际问题．2．在实际问题中构造直角三角形，提高建模能力，进一步深化对构造法和代数计算法的理解．3．培养从空间到平面的想象能力，运用数学方法解决实际问题的创新能力及探究意识．自学指导：阅读课本P13-14，完成下列问题.知识探究如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B 处，恰好一只在A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A 处爬向B 处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？容易得出四种方案：易算出：情形（1）中A →B 的路线长为：'AA d +，情形（2）中A →B 的路线长为：'2d AA π+所以情形（1）的路线比情形（2）要短．在情形（3）和（4）的比较中出现困难，可用剪刀沿母线AA ’剪开圆柱得到矩形，情形（3）A →B 是折线，而情形（4）是线段，故根据两点之间线段最短可判断（4）较短，最后通过计算比较（1）和（4）即可． 如图：（1）中A →B 的路线长为：'AA d +．（2）中A →B 的路线长为：''AA A B +>AB ．（3）中A →B 的路线长为：AO +OB >AB ．（4）中A →B 的路线长为：AB ．得出结论：利用展开图中两点之间，线段最短解决问题．沿母线剪开圆柱体，具体观察．接下来：怎样计算AB ？在Rt △AA′B 中，利用勾股定理可得222'B A A A AB +'=，若已知圆柱体高为12cm ，底面半径为3cm ，π取3，则22212(33),15AB AB =+⨯∴=．活动1 小组讨论李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD 边和BC 边是否分别垂直于底边AB ，但他随身只带了卷尺，（1）你能替他想办法完成任务吗？（2）李叔叔量得AD 长是30厘米，AB 长是40厘米，BD 长是50厘米，AD 边垂直于AB 边吗？为什么？（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD 边是否垂直于AB 边吗？BC 边与AB 边呢？解答：（2）222230402500AD AB +=+=22500BD =222AD AB BD ∴+=∴AD 和AB 垂直．活动2 跟踪训练1．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6 km/h 的速度向正东行走，1时后乙出发，他以5 km/h 的速度向正北行走．上午10：00，甲、乙两人相距多远？北东CB A解答：如图:已知A 是甲、乙的出发点，10:00甲到达B 点，乙到达C 点．则:AB =2×6=12（km ）AC=1×5=5（km）在Rt△ABC中:22222251216913BC AC AB=+=+==．∴BC=13（km）．即甲乙两人相距13 km．2．如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离．3220BA解答：2222152062525AB∴=+==.3．有一个高为1.5 m，半径是1m的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5 m，问这根铁棒有多长？解答：设伸入油桶中的长度为x m．则最长时:2221.522.5xx=+=．．∴最长是2.5+0.5=3（m）．最短时: 1.5x=．∴最短是1.5+0.5=2（m）．答:这根铁棒的长应在2～3m之间．活动3 课堂小结你会应用勾股定理解决问题了吗？教学至此，敬请使用《名校课堂》相应部分.。

学生自主学习方案1.预习课本4-6页2.回顾：(1)勾股定理的内容(2)勾股定理在什么图形中可以用 （3）计算下列各题○1求（1）中字母所代表的正方形的面积并说明理由（2）Y815（1）40A22○2求出（2）中直角三角形未知边的长度 ○3在Rt △ABC 中，AC=3，BC=4，试计算AB 2是多少？科目 北师大版八年级数学上册授课时间 课题授课教师学习 目标1．会通过用面积计算推导勾股定理；2．学会用勾股定理解决与实际生活相关的简单数学问题。

新知探究 预习提示探究点一：勾股定理的验证在下图中，分别以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗？自己先思考，然后与同伴交流，最后将小组内的成果展示给大家a cb探究点二：勾股定理的应用如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到该建筑物的高度是多少米？同学们先自己思考，然后小组内讨论，最后将自己的果实展示给大家。

1.1876年，美国总统伽菲尔德利用下图验证了勾股定理。

你能利用它验证勾股定理吗？说一说这个方法和你在探究案中所用方法之间的联系。

学以致用abcc ab2.如下图所示，甲船以16海里/时的速度离开码头向东北方向航行，乙船同时由码头向西北方向航行，已知两船离开码头1.5小时后相距30海里，则乙船每小时航行多少海里？码头（C ）乙船（B ）甲船（A ）东北如图，有一块土地形状如图所示，∠B=∠D=900，AB=20米，BC=15米，CD=7米，请计算这块土地的面积。

错误！嵌入对象无效。

1.一个矩形的对角线长10cm ，一边长6cm,则其周长是__________，面积是________。

2.在某一平地上，有一棵树高8米的大树，一棵树高3米的小树，两树之间相距12米。

今一只小鸟在其中一棵树的树梢上，要飞到另一棵树的树梢上，问它飞行的最短距离是多少？（画出草图然后解答）考题链接达标检测。

第一章勾股定理导学案第1课时探索勾股定理(1)一、1.学习内容：教材P1-72. 学习目标：掌握勾股定理并能利用它来解决简单的实际问题。

二、预习设计：1、三角形按角的大小可分为： __________________ 、______________ 、_____________2、三角形的三边关系：三角形的任意两边之和 ___________________ ;任意两边之差______________________3、直角三角形的两个锐角 ________________ ;4、在Rt△ ABC中，两条直角边长分别为a、b,则这个直角三角形的面积可以表示为：______________________ 。

5、自学感知：探索直角三角形三边的特殊关系：(1 )画一直角三角形，使其两边满足下面的条件，测量第三边的长度，完成下表；2猜想：直角三角形的三边满足什么关系？3任画一直角三角形，量出三边长度，看得到的数据是否符合你的猜想。

猜想:三、课堂探究::如果下图中小方格的边长是 1，观察图形，完成下表，并与同学交流：你是 冋图形、你 问题2 .你 冃即三积形 能发现直角- 的边长表示二角形三正方形的面 长度之间积吗？ B C 面积的关系 午什么关系吗？与同1 J 人厶 ' kJ 伴图进行交流 1—IJ IJ - —)1J / U ------425匸一11 J冋题132分 别以5厘米 亠度 冋题（ 、12厘米为丁直角边作出 吊律对这个三1 一个直角三角形，并测 -角形仍然成立卩吗？量斜边的长 图1-3 ■度。

冋题（ 2丿中口 J 规 儿律对J 这丨— 一角形仍然成立吗？图1-4思考：每个图中正方形的面积与三角形的边长有何关系？归纳得出勾股定理。

勾股定理:直角三角形 _________________________________________等于 _________________ 几何语言表述：如图 1.1-1，在Rt △ ABC 中，• C = 90 ° 则： ;若BC=a AC=b AB=c,则上面的定理可以表示为： ____________________课堂练习：1、求下图中字母所代表的正方形的面积怎样得到的? 图 1.1-1如图示:A代表的正方形面积为它的边长为2、代表的正方形面积为值。

第1节探索勾股定理【学习目标】1、通过对几种常见的勾股定理验证方法，理解数学知识之间的内在联系；2、经历综合运用知识解决问题的过程，加深对勾股定理、面积等的认识。

3、通过验证过程中数与形的结合，体会数形结合的思想及数学知识间的内在联系。

【学习方法】自主探究与合作交流相结合．【学习重难点】重点：运用已有知识解决问题，加深对勾股定理、整式运算、面积等的认识。

难点：1、利用“五巧板”拼出不同图形进行验证勾股定理。

2、利用数形结合的方法验证勾股定理。

【学习过程】模块一预习反馈一、知识回顾1、若a、b、c为直角三角形的三边，且c为斜边，则有a2+b2c2。

2、①在解决问题时，每个直角三角形需知道几个条件？ .②直角三角形中哪条边最长？。

二、自主学习1、请各个学习小组从网络或书籍上，尽可能多地寻找和了解验证勾股定理的方法，并填写探究报告：《勾股定理证明方法汇总》A BCEDFGHI①②③④⑤abc2、五巧板的制作步骤：做一个Rt △ABC ，以斜边AB 为边向内做正方形ABDE ，并在正方形内画图，使DF ⊥BI ，CG=BC ，HG ⊥AC ，这样就把正方形ABDE 分成五部分①②③④⑤。

沿这些线剪开，就得了一幅五巧板。

自己画一幅五巧板：3、议一议:观察下图,用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a 2+b 2=c 2。

左图：a 2+b 2 c 2 右图：a 2+b 2 c 2模块二 合作探究例：已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。

求：四边形A BCD 的面积。

（提示：延长AD 、BC 交于点E 。

6.92≈48， 3.52≈12）小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。

模块三小结反思1、验证勾股定理的方法：。

2、不规则图形的面积计算方法：。

模块四形成提升1、已知直角三角形的两条直角边分别是6和8, 则斜边长为_________．2、一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm，高为12cm，吸管放进杯里（如图所示），杯口外面至少要露出4.6cm，问吸管要做多长？3、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2.1cm，BC=2.8cm，CD⊥AB，垂足为D．求：（1）△ABC的面积；（2）斜边AB的长；（3）斜边AB上的高CD．附：课外拓展思维训练在△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上的高AD=12，试求BC的长。

学案
年级：八年级科目：数学章节：1.3勾股定理的应用第1课时编写人：
一、学习目标：
1.通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念．
2.在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．
3.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性．
二、自主学习内容及学法指导：
自主学习内容学法指导
第一环节：情境引入
如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B
处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，
你们想一想，蚂蚁怎么走最近？
第二环节：合作探究
（1）自己做一个圆柱，尝试从点A到点B沿圆柱侧面画出几条路线，你觉得哪条
路线最短呢？
（2）将圆柱的侧面剪开展成一个长方形，从点A到点B的最短路线是什么？
A
B
（3）蚂蚁从点A出发，想吃到点B处的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
第三环节：做一做
李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺，
（1）你能替他想办法完成任务吗？
（2）李叔叔量得AD长是30厘米，AB长是40厘米，
BD长是50厘米，AD边垂直于AB边吗？为什么？
（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD 边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？
例：如图，是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长。

已知滑梯高度CE=3m，CD=1m，试求滑道AC的长。

弦股勾1.1《探索勾股定理》（1）导学案主备：外国语学校【学习目标】在方格纸上计算面积的方法探索勾股定理，掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题。

【重点】掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题。

【难点】探索勾股定理。

【新课学习和探究】1、导入新课：P 22、探索发现图1图2观察图形完成下列问题： 如果正方形 A 边长为，则其面积为______；正方形 B 边长为b , 则其面积为________；正方形 C 边长为c ,则其面积为_______；你能发现正方形A 、B 、C 围住的直角三角形的两直角边长a 、b ，斜边c 之间有怎样的关系。

（小组讨论） 结论：_____________________ 3、画一画：在草稿纸上，以cm 3、cm 4为直角边画一个直角三角形，并测量斜边的长度，前面的结论对这个三角形还成立吗？4、归纳：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

222a b c += 或 222AC BC AB += 注：① 作用：知道直角三角形的任意两边可以求出第三边。

②我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾．， 较长的直角边称为股．，斜边称为弦．．【巩固练习】1、【新课学习和探究】中“导入新课”中的答案为_______米。

2、正方形A 的面积为______，正方形B 的面积为______。

【例题精讲】如图，强台风使得一根旗杆在离地面9m 处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12m 处．旗杆折断之前有多高？【巩固练习】求出下列直角三角形中未知边的长度。

（要求写出简单过程）（１） （２）【课堂小结】本节课有哪些收获？ 【课后作业】1、在△ABC 中，∠C ＝90°，（l ）若 a ＝5，b ＝12，则 c ＝ ； （2）若c ＝15，a ＝9，则b ＝ .2、直角三角形的斜边长为17cm ，一条直角边长为15cm ，则直角三角形的面积为_________cm 23、如图，求等腰△ABC 的面积。

八上第一章《勾股定理》导学案 第一课时 探索勾股定理 （1）【学习目标】1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推力意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。

2、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力。

3、【学习重点】了结勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题。

【学前准备】1、画一个直角三角形并测量三边的长。

2、准备一张坐标纸 【自学探究】阅读课本2-5页回答下列问题 1、直角三角形的两条直角边的长度分别为a=3㎝，b=4㎝和a=6㎝，b=8㎝。

①请你量出斜边c 的长度。

（1） （2）②进行有关的计算：(1)a 2+b 2= c 2= (2) a 2+b 2= c 2= ③得出结论： 2、思考：6cm（图中每个小方格代表一个单位面积）（2）你能发现图1－1中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？图1－2中的呢？（3）你能发现图1－1中三个正方形A，B，C围成的直角三角形三边的关系吗？（4）你能发现课本图1－3中三个正方形A，B，C围成的直角三角形三边的关系吗？(5)如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个长度单位，上面所猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由。

预习后你还有什么问题？最想和大家讨论交流的问题是什么？【合作交流】勾股定理：例题：P2引例【随堂练习】1、P3随堂练习1、2【巩固练习】1．在△ABC中，∠C＝90°，（l）若 a＝5，b＝12，则 c＝（2）若c＝41，a＝9，则b＝2．等腰△ABC的腰长AB＝10cm，底BC为16cm，则底边上的高为，面积为。

3．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（）A．42 B．32 C．42或 32 D．37 或 334．一个长方体抽斗的长为24cm，宽为7cm，在抽斗里放铁条，铁条最长能是多少？【小结】你学到了什么：知识方面方法你还有什么问题：【今日作业】1. 求出下列直角三角形中未知边的长度。