湖北省武汉市武昌区高三数学5月供题训练试题 文 新人

2019届湖北省武汉市武昌区高三五月调研考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{|11}A x x =-<<，2{|20}B x x x =-≤，则A B =（ ）A ．[0,1)B ．[1,2]-C ．[2,1)-D ．(1,0]-【答案】A【解析】化简集合B 再根据交集运算即可得解. 【详解】 解：2{|20}={|02}B x x x x x =-≤≤≤，∴ [){|01}0,1A B x x ≤<=⋂= ,故选：A . 【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.2．21ii -=+（ ） A ．1322i -B ．1322i + C ．3322i - D ．3322i + 【答案】A【解析】根据复数乘除运算法则即可得解. 【详解】解： ()()()()22212221311112i i i i i i i i i i i -----+-==+-+-=，∴ 21i i -=+1322i -， 故选：A 【点睛】本题考查复数的运算法则，属于基础题.3．已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 2.7y =，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ） A ．2 3.2y x =- B ．0.4 1.5y x =+ C ．28.6y x =-+D ．0.2 3.3y x =-+【答案】D【解析】根据样本点中心(),x y满足回归方程依次代入验证即可. 【详解】解; 根据样本点中心(),x y满足回归方程依次代入选项验证，对于D 2.70.23 3.3=-⨯+成立，故选：D.【点睛】本题考查回归直线方程的性质，属于基础题.4．已知实数x，y，满足约束条件13260xx yx y≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，若2z x y=-+的最大值为（）A．-6 B．-4 C．2 D．3【答案】C【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z＝﹣2x+y的最大值．【详解】解：由z＝﹣2x+y，得y＝2x+z，作出不等式对应的可行域（阴影部分）,平移直线y＝2x+z，由平移可知当直线y＝2x+z，经过点A时，直线y＝2x+z的截距最大，此时z取得最大值，由1260xx y=⎧⎨+-=⎩，解得()1,4A．将A的坐标代入z＝﹣2x+y，得z＝2，即目标函数z＝﹣2x+y的最大值为2．故选：C．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，属于基础题．5．如图，某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A ．3B C D ．3【答案】A【解析】首先根据三视图画出几何体的直观图，进一步利用几何体的体积公式求出结果． 【详解】解：根据几何体得三视图转换为几何体为：故：V 1121323=⨯⨯⨯=． 故选：A ． 【点睛】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题． 6．给出以下命题：①“若2230x x +-≠，则1x ≠”为假命题：②命题p ：x R ∀∈，20x >，则p ⌝：0x R ∃∈，20x <： ③“()2k x Z πϕπ=+∈”是“函数sin(2)y x ϕ=+为偶函数”的充要条件，其中，正确命题的个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】①先表示此命题的逆否命题，然后利用原命题与逆否命题真假情况一样去判断真假．②利用特称命题和全称命题否定之间的关系判断．③由sin(2)y x ϕ=+为偶函数求出ϕ再利用充分必要条件的关系判断． 【详解】解：①原命题“若2230x x +-≠，则1x ≠”的逆否命题为“若1x =，则2230x x +-=”，逆否命题为真则原命题为真，所以①的判断错误．②全称命题的否定是特称命题，所以￢p ：0x R ∃∈，20x ≤，所以②错误． ③若函数y ＝sin （2x +φ）为偶函数，则φ2π=+kπ（k ∈Z ），所以φ2π=+kπ（k ∈Z ）是“函数y ＝sin （2x +φ）为偶函数”的充要条件，所以③正确． 故选：B ． 【点睛】本题考查了四种命题的真假情况判断，考查特称命题和全称命题否定之间的关系，考查了充分必要条件，属于基础题. 7．已知8log 5a =，4log 3b =，23c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．b c a >> D ．c b a >>【答案】B【解析】通过对数的运算性质化简再利用对数函数的单调性即可得出大小关系． 【详解】解：∵382221log 5log 5log 5log 3a ====242221log 3log 3log 3log 2b ====2322log 23c ==，又∵3233232245⎛⎫==<==<= ⎪⎝⎭2log y x =在()0,∞+单调递增，∴c a b <<，故选：B ． 【点睛】本题考查对数的运算性质及单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 8．已知正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在球O 的球面上，2PA AB ==，则球O 的表面积为（ ）A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π【答案】C【解析】连结AC ，BD ，交于点O ，连结PO ，则PO ⊥面ABCD ，OA ＝OB ＝OC ＝OD 12AC ==OP ==O 的半径r =球O 的表面积． 【详解】解：∵正四棱锥P ﹣ABCD 的所有顶点都在球O 的球面上，P A ＝AB ＝2， ∴连结AC ，BD ，交于点O ，连结PO ，则PO ⊥面ABCD ，OA ＝OB ＝OC ＝OD 12AC ===OP ===∴O 是球心，球O 的半径r =∴球O 的表面积为S ＝4πr 2＝8π． 故选：C ．【点睛】本题考查正四棱锥的外接球的表面积的求法，考查正四棱锥的结构特征、球的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 9．若关于x 的方程2||4x kx x =+有4个不同的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．1(0,)4B ．(1,4)C ．1(,)4+∞ D ．1(,4)4【答案】C【解析】显然方程有一0根，则当0x ≠时另有三个根，再将方程分成0x >，0x <两种情况进行分析，分离变量找图像交点即可. 【详解】对于方程2||4x kx x =+，其中0x =是方程的一个根，则除了0x =方程还有其他三个实数解，且0k ≠．当0x >时，方程即为24x kx x =+，所以21(2)4x k=+-；此时2(2)4y x =+-在(0,)+∞上单调递增，且min 0y =，所以对于10k >，方程21(2)4x k=+-有一个根；10k<时，方程无实根． 当0x <时，方程即为24x kx x -=+，所以21(2)4x k =-++，抛物线2(2)4y x =-++，的顶点为()2,4-，当1(0,4)k ∈时，方程21(2)4x k =-++有两个实根；14k =或10k<时，方程有一个实根；当14k >时，方程无实根．由于除了0x =方程还有其他三个实数解，k 必须满足104k <<，解得14k >．故选：C ． 【点睛】本题考查函数与方程的思想，考查分类讨论思想，属于中档题.10．已知1F ，2F 分别为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点，点P 是C 右支上一点，若120PF PF ⋅=，且124cos 5PF F ∠=，则C 的离心率为（ ） A ．5 B ．4C ．257D ．57【答案】A【解析】在直角三角形PF 1F 2中，表示出PF 185c =，PF 265c=，再根据双曲线的定义以及离心率的公式可得． 【详解】解：在三角形PF 1F 2中，因为12PF PF ⋅=0，所以∠F 1PF 2＝90°， ∴PF 1＝F 1F 2•cos ∠PF 1F 2＝2c •4855c=， PF 2＝F 1F 2•sin ∠PF 1F 2＝2c •3655c=，∴2a ＝PF 1﹣PF 2862555c c c =-=， ∴e ca==5．故选：A ． 【点睛】本题考查了双曲线的性质，属于基础题． 11．将函数2()sin 2cos 1468f x x x πππ⎛⎫=--+⎪⎝⎭的图像向左平移2个单位，得到函数()y g x =的图像，当7[0,]3x ∈时，()g x 的最小值为（ ）A ．B ．0C D 【答案】C【解析】先利用二倍角公式及两角差正弦公式对f （x ）进行化简，然后根据函数图象的平移法则可求得到函数y ＝g （x ），结合正弦函数的性质即可去求解. 【详解】解：∵f （x ）＝sin （46x ππ-）﹣2cos28πx +1＝sin （46x ππ-）﹣cos3cos 4424x x x πππ=-=sin （143x ππ-），∵f （x ）的 图象向左平移2个单位，得到函数y ＝g （x ）=（11432x πππ-+）=（46x ππ+），当x ∈[0，73]时，36464x ππππ≤+≤，≤g （x ）≤故选：C ． 【点睛】本题主要考查了二倍角的余弦公式和两角差正弦公式逆用，函数的图象的平移及正弦函数的性质等知识的综合应用，属于中档题．12．已知点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点，且120AOB ∠=︒，若(,)OC OA OB R λμλμ=+∈，则λμ+的取值范围为（ ）A ．[2,2]-B ．C ．D ．[1,2]【答案】D【解析】建立平面直角坐标系利用设参数用三角函数求解最值即可． 【详解】解：设半径为1，由已知可设OB 为x 轴的正半轴，O 为坐标原点，建立直角坐标系，其中A （12-，2），B （1，0），C （cos θ，sin θ）（其中∠BOC ＝θ203πθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭有OC OA OB λμ=+（λ，μ∈R ）即：（cos θ，sin θ）＝λ（12-+μ（1，0）；整理得：12-λ+μ＝cos θ＝sin θ，解得：λ=，μ＝cos θ，则λ+μ=+cos θ=sin θ+cos θ＝2sin （θ6π+），其中203πθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭；易知λ+μ=cos θ=sin θ+cos θ＝2sin （θ6π+），由图像易得其值域为[1，2]故选：D ． 【点睛】本题考查了向量的线性运算，三角函数求值域等知识，属于中档题．二、填空题13．已知1sin()33x π+=，则cos cos()3x x π+-=________【解析】利用两角差的余弦公式展开，再逆用两角和的正弦公式即可得解. 【详解】 解：1sin()33x π+=∴cos cos()3x x π+-=13cos cos +cos +22223x x x x x x π⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭=故答案为：3. 【点睛】本题考查两角差的余弦公式，考查两角和的正弦公式的逆用，属于基础题.14．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则甲获胜的概率是_____ 【答案】【解析】试题分析：因为甲获胜与两个人和棋或乙获胜对立，所以甲获胜概1111236--=，应填16.【考点】概率的求法.15．已知点(3,3)P -，过点(3,0)M 作直线，与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k +=____. 【答案】-1【解析】设直线x ＝my+3，与抛物线方程联立，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，即可得到所求值． 【详解】解：设直线x ＝my +3，联立抛物线方程可得y 2﹣4my ﹣12＝0，设A （214y ，y 1），B （224y ，y 2），可得y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣12，则k 1+k 21212222212123341241212123344y y y y y y y y ----=+=+++++ 11212148124121441212y y y y ---=+++═2111221141241212y y y y y ---+=-++1． 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理和直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．16．如图，四边形ABCD 中，4AB =，5BC =，3CD =，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=°，则AD 的长为______【解析】连接AC ,设ACB θ∠=,则120ACD θ∠=-，在R t A B C∆中可求sin ,cos θθ，由两角差的余弦公式可求()cos 120θ-，再在ACD ∆中由余弦定理可表示()cos 120θ-，建立等量关系即可得解.【详解】连接AC ,设ACB θ∠=,则120ACD θ∠=-，如图：故在Rt ABC ∆中，sin θθ==， ()11cos 120cos 2222θθθ-=-+=-=， 又在ACD ∆中由余弦定理有()2223cos 120AD θ+--==,解得265AD =-即AD =【点睛】本题考查两角差的余弦公式和余弦定理，属于基础题.三、解答题17．已知数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，满足2241n n n a a S +=-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2nn n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1) 21n a n =- (2) 1222n n T n +=+-【解析】（1）利用1112n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩，，，结合等差数列的通项公式可求；（2）由（1）可求，b n ＝2n ﹣1+2n，利用分组求和方法，结合等差与等比数列的求和公式可求． 【详解】解：（1）∵a n 2+2a n ＝4S n ﹣1，∴1+a n 2+2a n ＝4S n ，1+a n ﹣12+2a n ﹣1＝4S n ﹣1，两式相减可得，221(1)(1)4n n n a a a -+-+=， ∴221(1)(1)n n a a --=+，∵a n ＞0， ∴a n ﹣a n ﹣1＝2，∵a 12+2a 1＝4S 1﹣1，解可得a 1＝1，∴数列{a n }是以1为首项，以2为公差的等差数列， ∴a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1；（2）由（1）可知，b n ＝2n ﹣1+2n，∴T n ＝（1+3+…+2n ﹣1）+（2+22+…+2n ），()212121212n n n -+-=⨯+-， ＝n 2+2n +1﹣2．【点睛】本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，等差与等比数列的求和公式，分组求和的方法的应用是求解问题的关键，属于中档题．18．如图，四棱锥S ABCD -中，SD ⊥底面ABCD ，//AB CD ，AD DC ⊥，1AB AD ==，2DC =，SD =E 为棱SB 的中点．（1）求证：SC ⊥平面ADE ； （2）求点B 到平面AEC 的距离， 【答案】(1)见证明；(2) 11h =【解析】（1）取BC 的中点F ，则//EF SC ，通过勾股证得AE EF ⊥即得AE SC ⊥结合AD SC ⊥即可得证.（2）先求AEC S ∆再求ABC S ∆根据体积公式B AEC E ABC V V --=计算即可． 【详解】解：（1）取BC 的中点F ，连结EF ，AF .如图：因为SD ⊥底面ABCD 所以SD AD ⊥, 又因为AD DC ⊥且SDDC D =,所以AD ⊥平面SDC ，得AD SC ⊥.又因为CD ⊥面ASD 且//AB CD 所以AB ⊥面ASD ，在Rt ∆SAD 中1,SD AD SA ===,在Rt ∆SAB 中1,2AB SB ==,F 为BC 的中点，故112AE SB ==，在t R SCD ∆中2,SD CD SC ===所以12EF SC ==，在ABD ∆中，1,AB AD BD ===故45ABD ∠=,在CBD ∆中，BD BC ==故90DBC ∠=,在ABF ∆中，1,,1352AB BF ABF ==∠= ,由余弦定理知AF =在AEF ∆中，1AE =,EF =,AF =AE EF ⊥，从而AE SC ⊥.所以SC ⊥平面ADE .（2）连接BD 并取中点O ,连接EO ，OC ,过O 作OM CD ⊥交CD 于M 点，过O 作ON CD ⊥交CD 于N 点，如图：在t R OMC ∆中，1122OM ND AD ===,1122DM NO AB ===,13222MC CD DM =-=-=∴OC === SD ⊥底面ABCD 且E 为棱SB 的中点∴ EO ⊥底面ABCD 即EOC ∆为t R ∆即EC ===在AEC ∆中1AE =，AC =EC =由余弦定理知cosE =即sin E =∴11sin 1224AEC S AE EC E ∆=⨯⨯⨯=⨯=.111sin135=12222ABC S AB BC ∆=⨯⨯⨯，且B AEC E ABC V V --=，∴11134322h ⨯=⨯⨯，解得11h =.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，属于中档题．19．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值．经数据处理后得到该样本的频率分布直方图，其中质量指标值不大于1.50的茎叶图如图所示，以这100件产品的质量指标值在各区间内的频率代替相应区间的概率．（1）求图中a ，b ，c 的值；（2）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（说明：①同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；②方差的计算只需列式正确）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于1.50的产品至少要占全部产品的90%”的规定？【答案】(1) 0.5a =，1b =， 1.5c =.(2) 1.6x =；20.0105s = (3) 不能认为符合规定【解析】（1）由频率分布直方图和茎叶图的性质列出方程组，能求出a ，b ，c ． （2）利用频率分布直方图能估计这种产品质量指标值的平均数和方差．（3）质量指标值不低于1.50的产品占比为0.30+0.40+0.15＝0.85＜0.9，由此能求出结果． 【详解】解：解：（1）由频率分布直方图和茎叶图得：51000.1101000.11340.1a b a b c ⎧=⎪⨯⎪⎪=⎨⨯⎪⎪++++=⎪⎩， 解得a ＝0.5，b ＝1，c ＝1.5．（2）估计这种产品质量指标值的平均数为：x =1.35×0.5×0.1+1.45×1×0.1+1.55×3×0.1+1.65×4×0.1+1.75×1.5×0.1＝1.6，估计这种产品质量指标值的方差为：S 2＝（1.35﹣1.6）2×0.05+（1.45﹣1.6）2×0.1+（1.55﹣1.6）2×0.4+（1.75﹣1.6）2×0.15＝0.0105．（3）∵质量指标值不低于1.50的产品占比为：0.30+0.40+0.15＝0.85＜0.9，∴不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于1.50的产品至少要占全部产品的90%”的规定． 【点睛】本题考查频率、平均数、方差的求法，考查频率分布直方图、茎叶图的性质等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，是基础题．20．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>.(1)求C 的方程；(2)设过点(2,0)P 的直线，与C 相交于A 、B 两点（点B 在点P 和点A 之间），若OPA OPB S S λ∆∆=，求λ的取值范围．【答案】(1) 2212x y +=(2) 03λ<<+1λ≠.【解析】（1，且过点（1．列方程组，求出a =b ＝1，由此能求出C 的方程．（2）直线l 的斜率存在且不为0，设其方程为x ＝my +2，联立22122x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得（2+m 2）y 2+4my +2＝0，利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出λ的取值范围． 【详解】解：（1）∵椭圆C ：2222x y a b +=1（a ＞b ＞01）．∴2222221121c e a a b a b c ⎧==⎪⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎪⎩，解得a =b ＝1， ∴C 的方程为222x y +=1．（2）易知直线l 的斜率存在且不为0，设其方程为2x my =+，代入椭圆方程，整理，得()222420mymy +++=.由>0∆，得22m >.设11(,)A x y ,22(,)B x y ，则12242m y y m +=-+，12222y y m =+.(*) 由OPAOPB S S λ∆∆=，得1211||||22OP y OP y λ⋅=⋅⋅，所以12y y λ=.（1y ，2y 同号）将12y y λ=代入(*)，得2222(1)8m mλλ+=+，由22m >，得22121884m m +<<，所以2118(1)4λλ<<+，解得03λ<<+，且1λ≠.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查参数的取值范围，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理等基础知识，考查化归与转化思想，考查推理论证能力，是中档题． 21．已知函数()()ln 1f x x m x =++在1x e=处取得极值． （1）求()f x 的解析式及单调区间；（2）若()f x ax b ≥+对任意的0a >，b R ∈恒成立，证明415ab <. 参考数据：e 2.71828≈.【答案】(1) ()ln 1f x x x =+；()f x 在1(0,)e 递减，在1(,)e+∞递增.(2)见证明【解析】（1）根据条件可得10f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，解出m 代入f '（x ）中，然后判断写出单调区间即可；（2）将问题转化为g （x ）＝xlnx +1﹣ax ﹣b ≥0恒成立，求出g （x ）的最小值，然后由g（x ）min ≥0，可得ab ≤a ﹣ae a ﹣1，然后构造函数h （x ）＝x ﹣xe x ﹣1（x ＞0），求出h （x ）的最大值即可证明ab 415＜． 【详解】解：（1）（1）∵f （x ）＝（x +m ）lnx +1，∴f '（x ）xlnx x mx++=（x ＞0），∵f （x ）在x 1e =处取得极值，∴10f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭， ∴m ＝0， ∴f （x ）＝xlnx +1，∴f '（x ）＝lnx +1，∵当0＜x 1e ＜时，f '（x ）＜0；当x 1e＞时，f '（x ）＞0， ∴f （x ）的单调减区间为（0，1e ），单调增区间为（1e，+∞） （2）()f x ax b ≥+，即ln 10x x ax b +--≥.记()ln 1g x x x ax b =+--，则'()ln 1g x x a =+-，由'()0g x >，得1a x e ->. 所以()11min ()1a a g x g eeb --==-+-.由min ()0g x ≥，得11a b e -≤-，于是1a ab a ae -≤-，其中0a >. 记1()(0)x h x x xex -=->，则111'()1(1)(1)1x x h x x ex e x --⎛⎫=-+=+- ⎪+⎝⎭.因为1'(0)10h e =->，25'033h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以，存在02(0,)3x ∈，使0'()0h x =，即0011x e x =+. 所以()01max 000()x h x h x x x e-==-()0000011211x x x x x =-=++-++. 因为02(0,)3x ∈，所以max 24()315h x h ⎛⎫<= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间和最值，考查了转化思想和构造法，属中档题．22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=，直线l 与x 轴交于点P ，与曲线C 交于两点M ，N ． （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）求2211PMPN+的取值范围．【答案】(1) 2220x y y +-= (2) (2,6]【解析】（1）把ρ＝2sin θ两边同时乘以ρ，代入ρ2＝x 2+y 2，y ＝ρsin θ即可得到曲线C 的直角坐标方程；（2）将直线l 的参数方程1x tcos y tsin αα=+⎧⎨=⎩代入圆的方程，化为关于t 的一元二次方程，利用根与系数的关系化为关于α的三角函数，则答案可求． 【详解】解：（1）由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，把ρ2＝x 2+y 2，y ＝ρsin θ代入，可得x 2+y 2﹣2y ＝0．∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2﹣2y ＝0；（2）将直线l 的参数方程1x tcos y tsin αα=+⎧⎨=⎩代入圆的方程，得t 2+（2cos α﹣2sin α）t +1＝0．由△＝（2cos α﹣2sin α）2﹣4＞0，得sin2α＜0，且t 1+t 2＝﹣2cos α+2sin α，t 1t 2＝1．∴2221212122222221212()211242||||t t t t t t sin PM PN t t t t α++-+===-． sin2α＜0∴242sin α-(2,6]∈即2211||||PM PN +的取值范围是（2，6]．【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程中参数t 的几何意义的应用，是基础题． 23．已知()123f x x x =-++. （1）求不等式()4f x >的解集；（2）若关于x 的不等式1123()x x m t t t R +--≥-++∈能成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1) (,2)(0,)-∞-+∞ (2) 32m ≥或72m ≤-.【解析】（1）运用绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集即可；（2）求得|t ﹣1|+|2t +3|的最小值52，原不等式等价为52≤|x +l |﹣|x ﹣m |的最大值，由绝对值不等式的性质，以及绝对值不等式的解法，可得所求范围． 【详解】解：解：（1）由题意可得|x ﹣1|+|2x +3|＞4， 当x ≥1时，x ﹣1+2x +3＞4，解得x ≥1；当32-＜x ＜1时，1﹣x +2x +3＞4，解得0＜x ＜1； 当x 32≤-时，1﹣x ﹣2x ﹣3＞4，解得x ＜﹣2． 可得原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）； （2）由（1）可得|t ﹣1|+|2t +3|32134123322t t t t t t ，，＜＜，⎧⎪+≥⎪⎪=+-⎨⎪⎪--≤-⎪⎩，可得t 32=-时，|t ﹣1|+|2t +3|取得最小值52， 关于x 的不等式|x +l |﹣|x ﹣m |≥|t ﹣1|+|2t +3|（t ∈R ）能成立，等价为52≤|x +l |﹣|x ﹣m |的最大值， 由|x +l |﹣|x ﹣m |≤|m +1|，可得|m +1|52≥，解得m 32≥或m 72≤-．【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质的运用，求最值，考查化简变形能力，以及运算能力，属于基础题．。

武昌区 高三年级五月调研考试文科数学试题及参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合}|{2x x x A ≤=，}1,0,1{-=B ，则集合B A I 的子集共有（ C ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．8个 2．若复数i)i)(1(2m m ++是实数，则实数=m ( B )A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤,1,1,2y y x x y 则y x z 2+=的最大值是( C )A ．25-B ．0C ．35D ．25 4．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( D ) A ．32 B ．52 C ．53D ．109 5．已知抛物线x y 82=的准线过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一个焦点，且双曲线的一条渐近线方程为03=+y x ，则该双曲线的方程为( B )A ．1322=-y xB ．1322=-y x C ．12622=-y x D ．16222=-y x6．已知2cos sin =-αα，),0(πα∈，则=αtan ( A )A ．1-B ．1C ．3-D ．3 7．执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8， 则判断框内可填入的条件是( B )A ．?43≤SB ．?1211≤S C ．?2425≤SD ．?120137≤S 8．设2log 3=a ，2ln =b ，215-=c ，则( C )A ．c b a <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．a b c << 9．下面是关于公差0>d 的等差数列}{n a 的四个命题：p 1：数列}{n a 是递增数列； p 2：数列}{n na 是递增数列； p 3：数列}{na n是递增数列； p 4：数列}3{nd a n +是递增数列． 其中的真命题为( D )A ．1p ，2pB ．3p ，4pC ．2p ，3pD ．1p ，4p10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( B) A ．54 B ．60 C ．66 D ．7211．动点A (x ，y )在圆122=+y x 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间0=t 时，点A 的坐标是)23,21(，则当120≤≤t 时，动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数的单调递增区间是( D )A ．]1,0[B ．]7,1[C ．]12,7[D ．]1,0[和]12,7[12．已知椭圆Γ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，过右焦点F 且斜率为k （k ＞0）的直线与Γ相交于A ，B 两点．若FB AF 3=，则=k ( B ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知点)2,1(-P ，线段PQ 的中点M 的坐标为)1,1(-．若向量PQ 与向量a =(λ，1)共线，则λ= ． 答案：32-14．已知数列{a n }是等差数列，若11+a ，33+a ，55+a 构成公比为q 的等比数列，则=q ． 答案：115．已知直三棱柱111C B A ABC -的各顶点都在同一球面上．若21===AA AC AB ，=∠BACο90=，则该球的体积等于 ．答案：π3416．函数1cos sin )(++-=x x x x f 在]47,43[ππ上的最大值为 ． 答案：2+π三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且B a A b cos 3sin =．正视图侧视图俯视图（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若3=b ，A C sin 2sin =，求a ，c ．解：（Ⅰ）由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理，得sin B sin A ＝3sin A cos B ．在△ABC 中，sin A ≠0，∴sin B ＝3cos B ，∴tan B ＝3．∵0＜B ＜π，∴B ＝π3．……………………………………………………………6分（Ⅱ）由sin C ＝2sin A 及正弦定理，得c ＝2a ． ①由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得32＝a 2＋c 2－2ac cos π3，即a 2＋c 2－ac ＝9． ②解①②，得a ＝3，c ＝23． (12)分 18．（本小题满分12分）某工厂36名工人的年龄数据如下表：（Ⅰ）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（Ⅱ）计算（Ⅰ）中样本的平均值x 和方差2s ；（Ⅲ）求这36名工人中年龄在),(s x s x +-内的人数所占的百分比．解：（Ⅰ）根据系统抽样的方法，抽取容量为9的样本，应分为9组，每组4人．由题意可知，抽取的样本编号依次为：2，6，10，14，18，22，26，30，34， 对应样本的年龄数据依次为：44，40，36，43，36，37，44，43，37．……4分 （Ⅱ）由（Ⅰ），得x -＝44＋40＋36＋43＋36＋37＋44＋43＋379＝40，s 2＝19[(44－40)2＋(40－40)2＋(36－40)2＋(43－40)2＋(36－40)2＋(37－40)2＋(44－40)2＋(43－40)2＋(37－40)2]＝1009．…………………………………………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ），得x -＝40，s ＝103，∴x -－s ＝3623，x -＋s ＝4313， 由表可知，这36名工人中年龄在(x -－s ，x -＋s )内共有23人，所占的百分比为2336×100﹪≈63.89﹪．…………………………………………………………………12分19．（本小题满分12分）如图，PA 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点，Q 为PA 的中点，G 为AOC ∆的重心，AB 是圆O 的直径，且22==AC AB ．（Ⅰ）求证：//QG 平面PBC ； （Ⅱ）求G 到平面PAC 的距离． 解：（Ⅰ）如图，连结OG 并延长交AC 于M ，连结QM ，QO ． ∵G 为△AOC 的重心，∴M 为AC 的中点． ∵O 为AB 的中点，∴OM ∥BC ．∵OM ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴OM ∥平面PBC ． 同理QM ∥平面PBC ．又OM ⊂平面QMO ，QM ⊂平面QMO ，OM ∩QM ＝M ， ∴平面QMO ∥平面PBC ． ∵QG ⊂平面QMO ，∴QG ∥平面PBC ． (6)分（Ⅱ）∵AB 是圆O 的直径，∴BC ⊥AC ．由（Ⅰ），知OM ∥BC ，∴OM ⊥AC ．∵PA ⊥平面ABC ，OM ⊂平面ABC ，∴PA ⊥OM ． 又PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，PA ∩AC ＝A ，∴OM ⊥平面PAC ，∴GM 就是G 到平面PAC 的距离． 由已知可得，OA ＝OC ＝AC ＝1，∴△AOC 为正三角形，∴OM ＝32． 又G 为△AOC 的重心，∴GM ＝13OM ＝36．故G 到平面PAC 的距离为36．…………………………………………………12分 20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线l ：42-=x y ．设圆C 的半径为1，圆心在l 上．（Ⅰ）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；（Ⅱ）若圆C 上存在点M ，使||2||MO MA =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． 解：（Ⅰ）由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4与直线y ＝x －1的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y ＝x －1．解得C (3，2)，于是切线的斜率必存在． 设过A (0，3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3，即kx －y ＋3＝0，由题意，|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0，或k ＝－34．故所求切线方程为y ＝3，或y ＝－34x ＋3，即y ＝3，或3x ＋4y －12＝0．……4分（Ⅱ）∵圆C 的圆心在直线y ＝2x －4上，∴圆C 的方程为(x －a )2＋[y －(2a －4)]2＝1．设点M (x ，y )，由|MA |＝2|MO |，得x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2， 化简，得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，∴点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上． 由题意，点M (x ，y )在圆C 上，∴圆C 和圆D 有公共点，则2－1≤|CD |≤2＋1，∴1≤(a －0) 2＋[(2a －4)－(－1)]2≤3，即1≤5a 2－12a ＋9≤3． 由5a 2－12a ＋8≥0，得x ∈R ； 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125． 故圆心C 的横坐标a 的取值范围为[0，125]．…………………………………12分 21．（本小题满分12分）已知函数xkx x f e ln )(+=（k 为常数，Λ71828.2e =是自然对数的底数），曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与x 轴平行．（Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）设)()()(2x f x x x g '+=，其中)(x f '为)(x f 的导函数．证明：0>∀x ，2e 1)(-+<x g ． 解：（Ⅰ）由f (x )＝ln x ＋k e x ，得f ′(x )＝1－kx －x ln xx e x，x ∈(0，＋∞)． 由已知，得f ′(1)＝1－ke＝0，∴k ＝1． (4)分（Ⅱ）由（Ⅰ），得g (x )＝(x 2＋x )·1－x －x ln x x e x ＝x ＋1ex (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)．设h (x )＝1－x －x ln x ，则h ′(x )＝－ln x －2，x ∈(0，＋∞)．令h ′(x )＝0，得x ＝e －2．当0＜x ＜e －2时，h ′(x )＞0，∴h (x )在(0，e －2)上是增函数；当x ＞e －2时，h ′(x )＜0，∴h (x )在(e －2，＋∞)上是减函数．故h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (e －2)＝1＋e －2，即h (x )≤1＋e －2． 设φ(x )＝e x －(x ＋1)，则φ′(x )＝e x －1＞0，x ∈(0，＋∞)， ∴φ(x )在(0，＋∞)上是增函数，∴φ(x )＞φ(0)＝0，即e x －(x ＋1)＞0，∴0＜x ＋1e x ＜1．∴g (x )＝x ＋1ex h (x )＜1＋e －2． 因此，对任意x ＞0，g (x )＜1＋e －2．……………………………………………12分22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，⊙O 和⊙O ′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连结DB 并延长交⊙O 于点E ，已知3==BD AC ．（Ⅰ）求AD AB ⋅的值； （Ⅱ）求线段AE 的长． 解：（Ⅰ）∵AC 切⊙O ′于A ，∴∠CAB ＝∠ADB ， 同理∠ACB ＝∠DAB ，∴△ACB ∽△DAB ，∴AC AD ＝ABBD ，即AC ·BD ＝AB ·AD ．A BCDE OO ′∵AC ＝BD ＝3，∴AB ·AD ＝9．…………………………………………………5分 （Ⅱ）∵AD 切⊙O 于A ，∴∠AED ＝∠BAD ，又∠ADE ＝∠BDA ，∴△EAD ∽△ABD ，∴AE AB ＝ADBD ，即AE ·BD ＝AB ·AD ．由（Ⅰ）可知，AC ·BD ＝AB ·AD ，∴AE ＝AC ＝3． (10)分 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=t y t x 215,23（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为θρcos 32=．（Ⅰ）把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明它表示什么曲线；（Ⅱ）若P 是直线l 上的一点，Q 是曲线C 上的一点，当||PQ 取得最小值时，求P 的直角坐标．解：（Ⅰ）由ρ＝23cos θ，得ρ2＝23ρcos θ，从而有x 2＋y 2＝23x ，∴(x －3)2＋y 2＝3．∴曲线C 是圆心为(3，0)，半径为3的圆．…………………………………5分 （Ⅱ）由题设条件知，|PQ |＋|QC |≥|PC |，当且仅当P ，Q ，C 三点共线时，等号成立，即|PQ |≥|PC |－3，∴|PQ |min ＝|PC |min －3． 设P (－32t ，－5＋12t )，又C (3，0)， 则|PC |＝(－32t －3)2＋(－5＋12t )2＝t 2－2t ＋28＝(t －1)2＋27． 当t ＝1时，|PC |取得最小值，从而|PQ |也取得最小值， 此时，点P 的直角坐标为(－32，－92)．………………………………………10分 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知0>a ，0>b ，函数||||)(b x a x x f ++-=的最小值为2．（Ⅰ）求b a +的值；（Ⅱ）证明：22>+a a 与22>+b b 不可能同时成立． 解：（Ⅰ）∵a ＞0，b ＞0，∴f (x )＝|x －a |＋|x ＋b |≥|(x －a )－(x ＋b )|＝|－a －b |＝|a ＋b |＝a ＋b ， ∴f (x )min ＝a ＋b ．由题设条件知f (x )min ＝2， ∴a ＋b ＝2．…………………………………………………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）及基本不等式，得2ab ≤a ＋b ＝2，∴ab ≤1． 假设a 2＋a ＞2与b 2＋b ＞2同时成立， 则由a 2＋a ＞2及a ＞0，得a ＞1．同理b ＞1，∴ab ＞1，这与ab ≤1矛盾．故a2＋a＞2与b2＋b＞2不可能同时成立．……………………………………10分。

2020届湖北省武汉市武昌区高三五月调研考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{|11}A x x =-<<，2{|20}B x x x =-≤，则A B =I （ ） A ．[0,1) B ．[1,2]- C ．[2,1)- D ．(1,0]-【答案】A【解析】化简集合B 再根据交集运算即可得解. 【详解】解：Q 2{|20}={|02}B x x x x x =-≤≤≤，∴ [){|01}0,1A B x x ≤<=⋂= ,故选：A . 【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.2．21ii -=+（ ） A ．1322i - B ．1322i +C ．3322i - D ．3322i + 【答案】A【解析】根据复数乘除运算法则即可得解. 【详解】解：Q ()()()()22212221311112i i i i i i i i i i i -----+-==+-+-=，∴ 21i i -=+1322i -， 故选：A 【点睛】本题考查复数的运算法则，属于基础题.3．已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 2.7y =，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ） A ．$2 3.2y x =-B ．$0.4 1.5y x =+C ．$28.6y x =-+D ．$0.2 3.3y x =-+【答案】D【解析】根据样本点中心(),x y 满足回归方程依次代入验证即可. 【详解】解; 根据样本点中心(),x y 满足回归方程依次代入选项验证，对于D 2.70.23 3.3=-⨯+成立， 故选：D . 【点睛】本题考查回归直线方程的性质，属于基础题.4．已知实数x ，y ，满足约束条件13260x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，若2z x y =-+的最大值为（ ）A ．-6B ．-4C ．2D ．3【答案】C【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z ＝﹣2x +y 的最大值． 【详解】解：由z ＝﹣2x +y ，得y ＝2x +z ，作出不等式对应的可行域（阴影部分）,平移直线y ＝2x +z ，由平移可知当直线y ＝2x +z ，经过点A 时，直线y ＝2x +z 的截距最大，此时z 取得最大值，由1260x x y =⎧⎨+-=⎩，解得()1,4A ．将A 的坐标代入z ＝﹣2x +y ，得z ＝2，即目标函数z ＝﹣2x +y 的最大值为2．故选：C ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，属于基础题．5．如图，某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）A ．3 B ．23C ．3D ．3【答案】A【解析】首先根据三视图画出几何体的直观图，进一步利用几何体的体积公式求出结果． 【详解】解：根据几何体得三视图转换为几何体为：故：V 11321332=⨯⨯⨯=． 故选：A ． 【点睛】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题． 6．给出以下命题：①“若2230x x +-≠，则1x ≠”为假命题：②命题p ：x R ∀∈，20x >，则p ⌝：0x R ∃∈，20x <： ③“()2k x Z πϕπ=+∈”是“函数sin(2)y x ϕ=+为偶函数”的充要条件，其中，正确命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】①先表示此命题的逆否命题，然后利用原命题与逆否命题真假情况一样去判断真假．②利用特称命题和全称命题否定之间的关系判断．③由sin(2)y x ϕ=+为偶函数求出ϕ再利用充分必要条件的关系判断． 【详解】解：①原命题“若2230x x +-≠，则1x ≠”的逆否命题为“若1x =，则2230x x +-=”，逆否命题为真则原命题为真，所以①的判断错误．②全称命题的否定是特称命题，所以￢p ：0x R ∃∈，20x ≤，所以②错误． ③若函数y ＝sin （2x +φ）为偶函数，则φ2π=+k π（k ∈Z ），所以φ2π=+k π（k ∈Z ）是“函数y ＝sin（2x +φ）为偶函数”的充要条件，所以③正确． 故选：B ． 【点睛】本题考查了四种命题的真假情况判断，考查特称命题和全称命题否定之间的关系，考查了充分必要条件，属于基础题.7．已知8log 5a =，4log 3b =，23c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．b c a >> D ．c b a >>【答案】B【解析】通过对数的运算性质化简再利用对数函数的单调性即可得出大小关系． 【详解】解：∵382221log 5log 5log 5log 3a ====，242221log 3log 3log 3log 2b ====2322log 23c ==，又∵3233232245⎛⎫==<==<= ⎪⎝⎭2log y x =在()0,∞+单调递增，∴c a b <<，故选：B ．【点睛】本题考查对数的运算性质及单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．已知正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在球O 的球面上，2PA AB ==，则球O 的表面积为（ ） A ．2π B ．4πC ．8πD ．16π【答案】C【解析】连结AC ，BD ，交于点O ，连结PO ，则PO ⊥面ABCD ，OA ＝OB ＝OC ＝OD 122AC ==，OP 222PB OB =-=，从而球O 的半径r 2=，由此能求出球O 的表面积．【详解】解：∵正四棱锥P ﹣ABCD 的所有顶点都在球O 的球面上，PA ＝AB ＝2， ∴连结AC ，BD ，交于点O ，连结PO ， 则PO ⊥面ABCD ，OA ＝OB ＝OC ＝OD 221122222AC ==+=， OP 22422PB OB =-=-=，∴O 是球心，球O 的半径r 2=，∴球O 的表面积为S ＝4πr 2＝8π． 故选：C ．【点睛】本题考查正四棱锥的外接球的表面积的求法，考查正四棱锥的结构特征、球的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 9．若关于x 的方程2||4x kx x =+有4个不同的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．1(0,)4B ．(1,4)C ．1(,)4+∞D ．1(,4)4【答案】C【解析】显然方程有一0根，则当0x ≠时另有三个根，再将方程分成0x >，0x <两种情况进行分析，分离变量找图像交点即可. 【详解】对于方程2||4x kx x =+，其中0x =是方程的一个根，则除了0x =方程还有其他三个实数解，且0k ≠． 当0x >时，方程即为24x kx x =+，所以21(2)4x k =+-；此时2(2)4y x =+-在(0,)+∞上单调递增，且min 0y =，所以对于10k >，方程21(2)4x k =+-有一个根；10k <时，方程无实根．当0x <时，方程即为24x kx x -=+，所以21(2)4x k=-++，抛物线2(2)4y x =-++，的顶点为()2,4-，当1(0,4)k ∈时，方程21(2)4x k =-++有两个实根；14k =或10k <时，方程有一个实根；当14k>时，方程无实根．由于除了0x =方程还有其他三个实数解，k 必须满足104k <<，解得14k >．故选：C ． 【点睛】本题考查函数与方程的思想，考查分类讨论思想，属于中档题.10．已知1F ，2F 分别为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点，点P 是C 右支上一点，若120PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，且124cos 5PF F ∠=，则C 的离心率为（ ）A ．5B ．4C ．257D ．57【答案】A【解析】在直角三角形PF 1F 2中，表示出PF 185c =，PF 265c =，再根据双曲线的定义以及离心率的公式可得． 【详解】解：在三角形PF 1F 2中，因为12PF PF ⋅=u u u r u u u u r0，所以∠F 1PF 2＝90°，∴PF 1＝F 1F 2•cos ∠PF 1F 2＝2c •4855c=， PF 2＝F 1F 2•sin ∠PF 1F 2＝2c •3655c=，∴2a ＝PF 1﹣PF 2862555c c c =-=，∴e ca==5． 故选：A ． 【点睛】本题考查了双曲线的性质，属于基础题． 11．将函数2()sin 2cos 1468f x x x πππ⎛⎫=--+⎪⎝⎭的图像向左平移2个单位，得到函数()y g x =的图像，当7[0,]3x ∈时，()g x 的最小值为（ ）A ．B ．0C ．2D 【答案】C【解析】先利用二倍角公式及两角差正弦公式对f （x ）进行化简，然后根据函数图象的平移法则可求得到函数y ＝g （x ），结合正弦函数的性质即可去求解. 【详解】解：∵f （x ）＝sin （46x ππ-）﹣2cos 28πx +1＝sin （46x ππ-）﹣cos 3cos 4424x x x πππ=-=sin（143x ππ-），∵f （x ）的 图象向左平移2个单位，得到函数y ＝g （x ）=（11432x πππ-+）=（46x ππ+），当x ∈[0，73]时，36464x ππππ≤+≤，≤g （x ）≤故选：C ． 【点睛】本题主要考查了二倍角的余弦公式和两角差正弦公式逆用，函数的图象的平移及正弦函数的性质等知识的综合应用，属于中档题．12．已知点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点，且120AOB ∠=︒，若(,)OC OA OB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r，则λμ+的取值范围为（ ）A ．[2,2]-B ．C ．D ．[1,2]【答案】D【解析】建立平面直角坐标系利用设参数用三角函数求解最值即可． 【详解】解：设半径为1，由已知可设OB 为x 轴的正半轴，O 为坐标原点，建立直角坐标系，其中A （12-，2），B （1，0），C （cos θ，sin θ）（其中∠BOC ＝θ203πθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭有OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r（λ，μ∈R ）即：（cos θ，sin θ）＝λ（12-+μ（1，0）；整理得：12-λ+μ＝cos θ＝sin θ，解得：λ=，μ＝cos θ，则λ+μ=+cos θ=sin θ+cos θ＝2sin （θ6π+），其中203πθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭；易知λ+μ=+cos θ=θ+cos θ＝2sin （θ6π+），由图像易得其值域为[1，2] 故选：D ． 【点睛】本题考查了向量的线性运算，三角函数求值域等知识，属于中档题．二、填空题13．已知1sin()33x π+=，则cos cos()3x x π+-=________【解析】利用两角差的余弦公式展开，再逆用两角和的正弦公式即可得解. 【详解】解：Q 1sin()33x π+=∴ cos cos()3x x π+-=13cos cos cos 223x x x x x x π⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭=故答案为：3. 【点睛】本题考查两角差的余弦公式，考查两角和的正弦公式的逆用，属于基础题. 14．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则甲获胜的概率是_____ 【答案】【解析】试题分析：因为甲获胜与两个人和棋或乙获胜对立，所以甲获胜概1111236--=，应填16. 【考点】概率的求法.15．已知点(3,3)P -，过点(3,0)M 作直线，与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k +=____. 【答案】-1【解析】设直线x ＝my+3，与抛物线方程联立，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，即可得到所求值． 【详解】解：设直线x ＝my +3，联立抛物线方程可得y 2﹣4my ﹣12＝0，设A （214y ，y 1），B （224y ，y 2），可得y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣12，则k 1+k 21212222212123341241212123344y y y y y y y y ----=+=+++++ 11212148124121441212y y y y ---=+++═2111221141241212y y y y y ---+=-++1． 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理和直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．16．如图，四边形ABCD 中，4AB =，5BC =，3CD =，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=°，则AD 的长为______【答案】65123-【解析】连接AC,设ACBθ∠=,则120ACDθ∠=-o，在Rt ABC∆中可求sin,cosθθ，由两角差的余弦公式可求()cos120θ-o，再在ACD∆中由余弦定理可表示()cos120θ-o，建立等量关系即可得解. 【详解】连接AC,设ACBθ∠=,则120ACDθ∠=-o，如图：故在Rt ABC∆中，sin4141θθ==，()1313435cos120cos224141241θθθ--=-=-=oQ，又Q在ACD∆中由余弦定理有()(22241343cos1202341241ADθ+--==⨯⨯o,解得265123AD=-即65123AD=-65123-【点睛】本题考查两角差的余弦公式和余弦定理，属于基础题.三、解答题17．已知数列{}n a的各项均为正数，前n项和为n S，满足2241n n na a S+=-.（1）求数列{}n a的通项公式；（2）设2nn n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1) 21n a n =- (2) 1222n n T n +=+-【解析】（1）利用1112n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩，，，结合等差数列的通项公式可求；（2）由（1）可求，b n ＝2n ﹣1+2n ，利用分组求和方法，结合等差与等比数列的求和公式可求． 【详解】解：（1）∵a n 2+2a n ＝4S n ﹣1，∴1+a n 2+2a n ＝4S n ，1+a n ﹣12+2a n ﹣1＝4S n ﹣1，两式相减可得，221(1)(1)4n n n a a a -+-+=， ∴221(1)(1)n n a a --=+，∵a n ＞0， ∴a n ﹣a n ﹣1＝2，∵a 12+2a 1＝4S 1﹣1，解可得a 1＝1，∴数列{a n }是以1为首项，以2为公差的等差数列， ∴a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1； （2）由（1）可知，b n ＝2n ﹣1+2n ， ∴T n ＝（1+3+…+2n ﹣1）+（2+22+…+2n ），()212121212n n n -+-=⨯+-， ＝n 2+2n +1﹣2． 【点睛】本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，等差与等比数列的求和公式，分组求和的方法的应用是求解问题的关键，属于中档题．18．如图，四棱锥S ABCD -中，SD ⊥底面ABCD ，//AB CD ，AD DC ⊥，1AB AD ==，2DC =，SD =E 为棱SB 的中点．（1）求证：SC ⊥平面ADE ； （2）求点B 到平面AEC 的距离， 【答案】(1)见证明；(2) 2211h =【解析】（1）取BC 的中点F ，则//EF SC ，通过勾股证得AE EF ⊥即得AE SC ⊥结合AD SC ⊥即可得证.（2）先求AEC S ∆再求ABC S ∆根据体积公式B AEC E ABC V V --=计算即可． 【详解】解：（1）取BC 的中点F ，连结EF ，AF .如图：因为SD ⊥底面ABCD 所以SD AD ⊥, 又因为AD DC ⊥且SD DC D =I , 所以AD ⊥平面SDC ，得AD SC ⊥.又因为CD ⊥面ASD 且//AB CD 所以AB ⊥面ASD ， 在Rt ∆SAD 中2,1,3SD AD SA ===在Rt ∆SAB 中1,2AB SB ==,F 为BC 的中点，故112AE SB ==， 在t R SCD ∆中2,2,6SD CD SC ===所以1622EF SC ==，在ABD ∆中，1,2AB AD BD ===,故45ABD ∠=o ,在CBD ∆中，2BD BC ==,故90DBC ∠=o ,在ABF ∆中，21,,1352AB BF ABF ==∠=o ,由余弦定理知10AF =， 在AEF ∆中，1AE =,6EF =,10AF =满足勾股定理所以AE EF ⊥，从而AE SC ⊥.所以SC ⊥平面ADE .（2）连接BD 并取中点O ,连接EO ，OC ,过O 作OM CD ⊥交CD 于M 点，过O 作ON CD ⊥交CD 于N 点，如图：Q 在t R OMC ∆中，1122OM ND AD ===,1122DM NO AB ===,13222MC CD DM =-=-= ∴2222131022OC OM MC ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ Q SD ⊥底面ABCD 且E 为棱SB 的中点∴ EO ⊥底面ABCD 即EOC ∆为t R ∆即2222210322EC OE OC ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在AEC ∆中1AE =，5AC =3EC =由余弦定理知cos 23E =即11sin 23E =∴111111sin 1322423AEC S AE EC E ∆=⨯⨯⨯=⨯=. Q 1121sin135=122222ABC S AB BC ∆=⨯⨯⨯o ，且B AEC E ABC V V --=， ∴11111234322h ⨯=⨯⨯，解得2211h =.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，属于中档题． 19．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值．经数据处理后得到该样本的频率分布直方图，其中质量指标值不大于1.50的茎叶图如图所示，以这100件产品的质量指标值在各区间内的频率代替相应区间的概率．（1）求图中a ，b ，c 的值；（2）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（说明：①同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；②方差的计算只需列式正确）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于1.50的产品至少要占全部产品的90%”的规定？【答案】(1) 0.5a =，1b =， 1.5c =.(2) 1.6x =；20.0105s = (3) 不能认为符合规定 【解析】（1）由频率分布直方图和茎叶图的性质列出方程组，能求出a ，b ，c ． （2）利用频率分布直方图能估计这种产品质量指标值的平均数和方差．（3）质量指标值不低于1.50的产品占比为0.30+0.40+0.15＝0.85＜0.9，由此能求出结果． 【详解】解：解：（1）由频率分布直方图和茎叶图得：51000.1101000.11340.1a b a b c ⎧=⎪⨯⎪⎪=⎨⨯⎪⎪++++=⎪⎩， 解得a ＝0.5，b ＝1，c ＝1.5．（2）估计这种产品质量指标值的平均数为：x =1.35×0.5×0.1+1.45×1×0.1+1.55×3×0.1+1.65×4×0.1+1.75×1.5×0.1＝1.6，估计这种产品质量指标值的方差为：S 2＝（1.35﹣1.6）2×0.05+（1.45﹣1.6）2×0.1+（1.55﹣1.6）2×0.4+（1.75﹣1.6）2×0.15＝0.0105．（3）∵质量指标值不低于1.50的产品占比为： 0.30+0.40+0.15＝0.85＜0.9，∴不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于1.50的产品至少要占全部产品的90%”的规定． 【点睛】本题考查频率、平均数、方差的求法，考查频率分布直方图、茎叶图的性质等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，是基础题．20．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点(1,2.(1)求C 的方程；(2)设过点(2,0)P 的直线，与C 相交于A 、B 两点（点B 在点P 和点A 之间），若OPA OPB S S λ∆∆=，求λ的取值范围．【答案】(1) 2212x y +=(2) 03λ<<+1λ≠.【解析】（1，且过点（1）．列方程组，求出a =b ＝1，由此能求出C 的方程．（2）直线l 的斜率存在且不为0，设其方程为x ＝my +2，联立22122x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得（2+m 2）y 2+4my +2＝0，利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出λ的取值范围． 【详解】解：（1）∵椭圆C ：2222x y a b +=1（a ＞b ＞0，且过点（1．∴222221121c e a a b a b c ⎧==⎪⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎪⎩，解得a =b ＝1，∴C 的方程为222x y +=1．（2）易知直线l 的斜率存在且不为0，设其方程为2x my =+，代入椭圆方程，整理，得()222420m ymy +++=.由>0∆，得22m >.设11(,)A x y ,22(,)B x y ，则12242m y y m +=-+，12222y y m=+.(*) 由OPAOPB S S λ∆∆=，得1211||||22OP y OP y λ⋅=⋅⋅，所以12y y λ=.（1y ，2y 同号）将12y y λ=代入(*)，得2222(1)8m m λλ+=+，由22m >，得22121884m m +<<，所以2118(1)4λλ<<+， 解得0322λ<<+，且1λ≠.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查参数的取值范围，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理等基础知识，考查化归与转化思想，考查推理论证能力，是中档题． 21．已知函数()()ln 1f x x m x =++在1x e=处取得极值． （1）求()f x 的解析式及单调区间；（2）若()f x ax b ≥+对任意的0a >，b R ∈恒成立，证明415ab <. 参考数据：e 2.71828≈.【答案】(1) ()ln 1f x x x =+；()f x 在1(0,)e 递减，在1(,)e+∞递增.(2)见证明【解析】（1）根据条件可得10f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，解出m 代入f '（x ）中，然后判断写出单调区间即可； （2）将问题转化为g （x ）＝xlnx +1﹣ax ﹣b ≥0恒成立，求出g （x ）的最小值，然后由g （x ）min ≥0，可得ab ≤a ﹣ae a ﹣1，然后构造函数h （x ）＝x ﹣xe x ﹣1（x ＞0），求出h （x ）的最大值即可证明ab 415＜． 【详解】解：（1）（1）∵f （x ）＝（x +m ）lnx +1，∴f '（x ）xlnx x mx++=（x ＞0），∵f （x ）在x 1e =处取得极值，∴10f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭， ∴m ＝0， ∴f （x ）＝xlnx +1，∴f '（x ）＝lnx +1，∵当0＜x 1e ＜时，f '（x ）＜0；当x 1e＞时，f '（x ）＞0， ∴f （x ）的单调减区间为（0，1e ），单调增区间为（1e，+∞） （2）()f x ax b ≥+，即ln 10x x ax b +--≥.记()ln 1g x x x ax b =+--，则'()ln 1g x x a =+-，由'()0g x >，得1a x e ->. 所以()11min ()1a a g x g eeb --==-+-.由min ()0g x ≥，得11a b e -≤-，于是1a ab a ae -≤-，其中0a >. 记1()(0)x h x x xex -=->，则111'()1(1)(1)1x x h x x ex e x --⎛⎫=-+=+- ⎪+⎝⎭.因为1'(0)10h e =->，25'033h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以，存在02(0,)3x ∈，使0'()0h x =，即0011x e x =+. 所以()01max 000()x h x h x x x e-==-()0000011211x x x x x =-=++-++. 因为02(0,)3x ∈，所以max 24()315h x h ⎛⎫<= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间和最值，考查了转化思想和构造法，属中档题．22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=，直线l 与x 轴交于点P ，与曲线C 交于两点M ，N ．（1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）求2211PMPN+的取值范围．【答案】(1) 2220x y y +-= (2) (2,6]【解析】（1）把ρ＝2sin θ两边同时乘以ρ，代入ρ2＝x 2+y 2，y ＝ρsin θ即可得到曲线C 的直角坐标方程；（2）将直线l 的参数方程1x tcos y tsin αα=+⎧⎨=⎩代入圆的方程，化为关于t 的一元二次方程，利用根与系数的关系化为关于α的三角函数，则答案可求． 【详解】解：（1）由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ， 把ρ2＝x 2+y 2，y ＝ρsin θ代入，可得x 2+y 2﹣2y ＝0． ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2﹣2y ＝0；（2）将直线l 的参数方程1x tcos y tsin αα=+⎧⎨=⎩代入圆的方程，得t 2+（2cos α﹣2sin α）t +1＝0．由△＝（2cos α﹣2sin α）2﹣4＞0，得sin2α＜0， 且t 1+t 2＝﹣2cos α+2sin α，t 1t 2＝1．∴2221212122222221212()211242||||t t t t t t sin PM PN t t t t α++-+===-． Q sin2α＜0∴242sin α-(2,6]∈即2211||||PM PN +的取值范围是（2，6]．【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程中参数t 的几何意义的应用，是基础题． 23．已知()123f x x x =-++.（1）求不等式()4f x >的解集；（2）若关于x 的不等式1123()x x m t t t R +--≥-++∈能成立，求实数m 的取值范围． 【答案】(1) (,2)(0,)-∞-+∞U (2) 32m ≥或72m ≤-.【解析】（1）运用绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集即可； （2）求得|t ﹣1|+|2t +3|的最小值52，原不等式等价为52≤|x +l |﹣|x ﹣m |的最大值，由绝对值不等式的性质，以及绝对值不等式的解法，可得所求范围． 【详解】解：解：（1）由题意可得|x ﹣1|+|2x +3|＞4， 当x ≥1时，x ﹣1+2x +3＞4，解得x ≥1；当32-＜x ＜1时，1﹣x +2x +3＞4，解得0＜x ＜1； 当x 32≤-时，1﹣x ﹣2x ﹣3＞4，解得x ＜﹣2． 可得原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）； （2）由（1）可得|t ﹣1|+|2t +3|32134123322t t t t t t ，，＜＜，⎧⎪+≥⎪⎪=+-⎨⎪⎪--≤-⎪⎩，可得t 32=-时，|t ﹣1|+|2t +3|取得最小值52， 关于x 的不等式|x +l |﹣|x ﹣m |≥|t ﹣1|+|2t +3|（t ∈R ）能成立， 等价为52≤|x +l |﹣|x ﹣m |的最大值， 由|x +l |﹣|x ﹣m |≤|m +1|，可得|m +1|52≥， 解得m 32≥或m 72≤-．【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质的运用，求最值，考查化简变形能力，以及运算能力，属于基础题．。

武昌区2012届高三5月调研考试文科数学试卷★祝考试顺利★参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+． 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()B P A P B A P ⋅=⋅． 台体的体积公式h (V ）下下上上S S S S 31++=，其中上S 、下S 分别是台体的上、下底面面积，h 是台体的高．球的表面积公式24S R π=，球的体积公式334R V π=，其中R 表示球的半径． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.已知i 是虚数单位，复数ii i z -+++-=12221，则=z （A.1B. 2C. 52.已知,a b 为实数，“100=ab ”是“2lg lg =+b a ”的（A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3．已知程序框图如右，则输出的i 为 A ．7 B ．8 C ．9 D ．104．已知一个几何体的三视图如下，正视图和俯视图两个等腰梯形，长度单位是厘米，那么该几何体的体积是（ ）A.12B. 28C. 36D. 84正视图 侧视图 俯视图5.已知O 为坐标原点，点A 的坐标是()3,2，点()y x P ,在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤+≥+62623y x y x y x 所确定的区域内（包括边界）上运动，则⋅的范围是 （ ）A.[]10,4B. []9,6C. []10,6D. []10,9 6.设函数()x x x f cos sin +=，函数()()()x fx f x h /=，下列说法正确的是 （ ）A.()x h y =在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π单调递增，其图像关于直线4π=x 对称B. ()x h y =在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π单调递增，其图像关于直线2π=x 对称C. ()x h y =在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π单调递减，其图像关于直线4π=x 对称D. ()x h y =在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π单调递减，其图像关于直线2π=x 对称7.已知E 、F 分别是正方体1111D C B A ABCD - 棱BB 1、AD 的中点，则直线EF 和平面11D BDB 所成的 角的正弦值是（ ）A.62B. 63C. 31D. 668．如果方程122=+-q y p x 表示双曲线，则下列椭圆中，与该双曲线共焦点的是（ ）A. 1222=++q y p q xB. 1222-=++p y p q xC. 1222=++q y q p xD. 1222-=++py q p x9.如图，已知直角三角形ABC ∆的三边AC BA CB ,,的长度成等差数列，点E 为直角边AB 的中点，点D 在斜边AC 上，且AC AD λ=，若BD CE ⊥，则=λA 1B 1C 1D 1AB CDF EA.177 B. 178 C. 179 D. 171010.已知点P 在半径为1的半圆周上沿着A →P →B 路径运动，设弧 的长度为x ，弓形面积为()x f （如图所示的阴影部分），则关于函数()x f y =的有如下结论： ①函数()x f y =的定义域和值域都是[]π,0；②如果函数()x f y =的定义域R ，则函数()x f y =是周期函数；③如果函数()x f y =的定义域R ，则函数()x f y =是奇函数； ④函数()x f y =在区间[]π,0上是单调递增函数.以上结论的正确个数是（ ）A.1B.2C.3D.4二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分． 请将答案填在答题卡对应题号的位置上，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．某校为了解学生的睡觉情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自的睡眠时间的数据，结果用下面的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的睡眠时间为_______________h ．12.等比数列{}n a 中，142,16a a ==.若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第4项和第16项，则数列{}n b 的前n 项和n S = .13.在圆422=+y x 上，与直线01234:=-+y x l 的距离最小值是 .14.已知集合{}R x x x A ∈≤-=,132，集合{}R x x ax x B ∈≤-=,022，()Φ=B C A U ，则实数a 的范围是 .A⌒ APhCABE D15.如果复数θθsin cos i z +=，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πθ，记()*∈N n n 个z 的积为n z ，通过验证 ,4,3,2===n n n ，的结果n z ，推测=n z .（结果用i n ,,θ表示）16．如果一个三角形的三边长度是连续的三个自然数，且最大角是最小角的两倍，该三角形的周长是 ．17.已知,,R a x ∈1>a ，直线x y =与函数()x x f a log =有且仅有一个公共点， 则=a ；公共点坐标是 . 标是()e e ,，所以两空分别填ee a 1=，()e e ,.三、解答题：本大题共6小题，共75分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18.（本题满分12分）（课本必修4第60页例1改编）武汉地区春天的温度的变化曲线近似地满足函数()b x A y ++=ϕωsin （如图所示，单位:摄氏温度,πϕω<<>>0,0,0A ）. （Ⅰ）写出这段曲线的函数解析式；（Ⅱ）求出一天（[]24,0∈t ，单位小时） 温度的变化在[]25,20时的时间.19.（本题满分12分）某科研所研究人员都具有本科和研究生两类学历，年龄段和学历如下表，从该科研所任选一名研究人员，是本科生概率是32，是35岁以下的研究生概率是61.（Ⅰ）求出表格中的x 和y 的值； （Ⅱ）设“从数学教研组任选两名 教师，本科一名，研究生一名，50 岁以上本科生和35岁以下的研究生不全选中” 的事件为A ，求事件A 概率()A P .20. （本小题满分13分）已知平面⊥PAD 平面ABCD ,,2==PD PA 矩形ABCD 的边长2==DC AB ，22==BC AD . （Ⅰ）证明：直线//AD 平面PBC ；（Ⅱ）求直线PC 和底面ABCD 所成角的大小.21. （本题满分14分）已知函数),(3)(23R b a x bx ax x f ∈-+=，在点))1(,1(f 处的切线方程为02=+y ． （1）求函数)(x f 的解析式；（2）若对于区间]2,2[-上任意两个自变量的值21,x x ，都有c x f x f ≤-|)()(|21，求实数c 的最小值；（3）若过点)2)(,2(≠m m M ，可作曲线)(x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围．21.（本小题满分14分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为21，点(2,3)M ，(2,3)N -为C 上两点，斜率为12的直线与椭圆C 交于点A ，B （A ，B 在直线MN 两侧）．（I ）求四边形MANB 面积的最大值；（II ）设直线AM ，BM 的斜率为21,k k ，试判断21k k +是否为定值．若是，求出这个定值；若不是，说明理由．武昌区2012届高三5月调研考试ABCDP文科数学试卷参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1.已知i 是虚数单位，复数ii i z -+++-=12221，则=z （ ） A.1 B. 2 C. 5 D. 22 【答案】C. 【解析】()()()22221122221ii ii i z -++--+-=()i i i 2121255+=++=，5=z 故选C.【命题意图】考查复数的运算法则和模的定义及运算.2.已知,a b 为实数，“100=ab ”是“2lg lg =+b a ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B.【解析】100=ab ，2lg lg =+b a 不一定成立，例如20,5-=-=b a ，有100=ab ， 但是2lg lg =+b a 不成立；反之，2lg lg =+b a ，则0,0>>b a ，根据对数的运算法则，1002lg =⇒=ab ab ，所以100=ab 一定成立，故选B.【命题意图】考查对数的运算法则，充要必要条件内容的考查.3．已知程序框图如右，则输出的i 为A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C.【解析】由程序框图可得7,5,3=i 时，105,15,3=S ，故输出的i 为9，故选C.【命题意图】考查程序框图的基本内容，考查简单的逻辑推理能力.4．已知一个几何体的三视图如下，正视图和俯视图两个等腰梯形，长度单位是厘米，那么该几何体的体积是（ ）A.12正视图 侧视图B. 28C. 36D. 84【答案】B.【解析】由图可知，该几何体是上下底 面试正方形，高度是3的四棱台， 根据台体的体积公式()221131S S S S h V ++⨯=得：()28161644331=+⨯+⨯=V ，故选B.【命题意图】考查三视图和简单几何体的基本概念，台体的体积计算公式和运算能力.5.已知O 为坐标原点，点A 的坐标是()3,2，点()y x P ,在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤+≥+62623y x y x y x 所确定的区域内（包括边界）上运动，则⋅的范围是 （ ）A.[]10,4B. []9,6C. []10,6D. []10,9 【答案】C.【解析】先求出三条直线,3=+y x,62=+y x 62=+y x 的交点，交点分别是()0,3A 、()2,2B 、()3,0C ，可行域是如图所示的ABC ∆区域（包括边界），因为y x 32+=⋅，令y x z 32+=，如图平行移动直线y x z 32+=，当直线y x z 32+=过()0,3A 时，z 取得最小值6，当直线y x z 32+=过()2,2B 时，z 取得最大值10，106≤⋅≤OP OA ，故选C.【命题意图】考查二元一次不等式组表示的平面区域，简单的线性规划问题和向量的数量积. 6.设函数()x x x f cos sin +=，函数()()()x fx f x h /=，下列说法正确的是 （ ）A.()x h y =在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π单调递增，其图像关于直线4π=x 对称B. ()x h y =在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π单调递增，其图像关于直线2π=x 对称C （C. ()x h y =在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π单调递减，其图像关于直线4π=x 对称D. ()x h y =在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π单调递减，其图像关于直线2π=x 对称【答案】D.【解析】解法一：()()()x x x x x x h 2cos sin cos sin cos =-+=.所以f(x) 在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π单调递减，其图像关于直线2π=x 对称，故选D.解法二：直接验证 由选项知⎪⎭⎫⎝⎛2,0π不是递增就是递减，而端点值又有意义，故只需验证端点值，知递减，显然4π=x 不会是对称轴故选D.【命题意图】本题考查三角函数图像和性质，属于中等题.7.已知E 、F 分别是正方体1111D C B A ABCD - 棱BB 1、AD 的中点，则直线EF 和平面11D BDB 所成的 角的正弦值是（ ）A.62 B. 63 C. 31 D. 66【答案】B.【解析】[方法一]设正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，由于E 、F 分别是正方体 1111D C B A ABCD -棱BB 1、AD 的中点，连接BD ，AE ，过F 作BD 交BD 于H ，则FH ⊥11D BDB ，因为22=FH 5,1==AE AF ,6=EF ，直线EF 和平面11D BDB 所成的 角的正弦值是63，故选B. [方法二]建立空间直角坐标系，设正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，则 【命题意图】考查空间直线和平面的位置关系，简单的空间直角坐标系数.8．如果方程122=+-qy p x 表示双曲线，则下列椭圆中，与该双曲线共焦点的是（ ）A 1B 1C 1D 1AB CDF EA. 1222=++q y p q xB. 1222-=++p y p q xC. 1222=++q y q p xD. 1222-=++py q p x【答案】D解析：由条件可知0<-pq ，则0>pq ，当0,0>>q p 时，方程122=+-q y p x 为122=-px q y ，表示焦点在y 轴的双曲线，半焦距为q p c +=，此时B 和D 选项不是椭圆，而A 和C 选项中均表示焦点在x 轴上得椭圆，矛盾；当0,0<<q p 时，方程122=+-q y p x 为122=---q y p x ，表示焦点在x 轴的双曲线，半焦距为q p c --=，此时A 和C 选项不是椭圆，B 选项1222-=++p y p q x 为1222=-+--p y p q x ，D 选项1222-=++p y q p x 为1222=-+--py q p x 均表示焦点在x 轴上得椭圆，只有D 选项的半焦距为q p c --=，因此选D ．【命题意图】考察圆锥曲线的基本概念、圆锥曲线的标准方程以及分类与整合的数学思想. 9.如图，已知直角三角形ABC ∆的三边AC BA CB ,,的长度成等差数列，点E 为直角边AB 的中点，点D 在斜边AC 上，且λ=，若BD CE ⊥，则=λA.177 B. 178 C. 179 D. 1710 【答案】B.【解析】三边AC BA CB ,,的长度成等差数列，设为d a a d a +-,,()0,0,0>->>d a d a ，则()()222d a a d a -+=+，则d a 4=，不妨令1=d因此三边长分别为5,4,3===AC BA CB ，-=21,AC BA AD BA BD λ+=+=()BC BA λλ+-=1. CABED由BD CE ⊥得：0=⋅，即()012122=--BC AB λλ，()0918=--λλ，所以178=λ，因此选B.【命题意图】考查向量的运算法则，数量积和解决问题的能力.10.已知点P 在半径为1的半圆周上沿着A →P →B 路径运动，设弧 的长度为x ，弓形面积为()x f （如图所示的阴影部分），则关于函数()x f y =的有如下结论： ①函数()x f y =的定义域和值域都是[]π,0；②如果函数()x f y =的定义域R ，则函数()x f y =是周期函数；③如果函数()x f y =的定义域R ，则函数()x f y =是奇函数； ④函数()x f y =在区间[]π,0上是单调递增函数.以上结论的正确个数是（ ）A.1B.2C.3D.4 【答案】B. 【解析】因为x x S 211121=⨯⨯⨯=扇形，x x S OAP sin 21sin 121=⨯⨯=∆，所以 ()x f y =O AP S S ∆-=扇形x x sin 2121-=，它的定义域是[]π,0，()0cos 2121/≥-=x x f ，()x f y =在区间[]π,0上是增函数，()20π≤≤x f ，显然该函数不是周期函数，如果函数()x f y =的定义域R ，则函数()x f y =是奇函数，故①、②不正确，③和④正确，选B.【命题意图】考查学生创新意识和解决实际问题的能力，考查运用数学知识解决实际问题的能力，考查函数的基本性质.二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分． 请将答案填在答题卡对应题号的位置上，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．某校为了解学生的睡觉情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自的睡眠时间的数据，结果用下面的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的睡眠时间为_______________h ．A⌒ APh【答案】4.6h.【解析】()4.65.64.063.05.775.51.0=⨯+⨯+++⨯=x . 【命题意图】考查直方图的基本概念，考查解决实际问题的能力.12.等比数列{}n a 中，142,16a a ==.若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第4项和第16项，则数列{}n b 的前n 项和n S = . 【答案】n n +2.【解析】设{}n a 的公比为q , 由已知得3162q =，解得2q =. 又12a =，所以111222n n n n a a q --==⨯=. 则28a =，532a =，则48b =，1632b =.设{}n b 的公差为d ，则有1138,1532,b d b d +=⎧⎨+=⎩解得12,2.b d =⎧⎨=⎩则数列{}n b 的前n 项和1(1)2n n n S nb d -=+2(1)22.2n n n n n -=+⨯=+【命题意图】考查等数列和等比数列的基本概念，考查等数列和等比数列通项与求和方法，考查学生的计算能力.13.（在圆422=+y x 上，与直线01234:=-+y x l 的距离最小值是 . 【答案】52. 【解析】圆的半径是2，圆心()0,0O 到01234:=-+y x l 的距离是512341222=+=d ，所以圆422=+y x 上，与直线01234:=-+y x l 的距离最小值是522512=-=d ，所以应该填52. 【命题意图】考查绝对值不等式和一元二次不等式的解法，考查集合的运算以及分类整合的数学思想.14.已知集合{}R x x x A ∈≤-=,132，集合{}R x x ax x B ∈≤-=,022，()Φ=B C A U ，则实数a 的范围是 . 【答案】(]1,∞-【解析】[]2,1=A ，由于()Φ=B C A U ，则B A ⊆， 当0=a 时，{}[)+∞=∈≥=,0,0R x x x B ，满足B A ⊆；当0<a 时，[)+∞⎥⎦⎤⎝⎛∞-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,02,,02 a R x a x x x B ，满足B A ⊆； 当0>a 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≤⎪⎭⎫⎝⎛-=a R x a x x x B 2,0,02，若B A ⊆，则22≥a ，即10≤<a ；综合以上讨论，实数a 的范围是(]1,∞-.【命题意图】考查绝对值不等式和一元二次不等式的解法，考查集合的运算以及分类整合的数学思想.15.如果复数θθsin cos i z +=，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πθ，记()*∈N n n 个z 的积为n z ，通过验证 ,4,3,2===n n n ，的结果n z ，推测=n z .（结果用i n ,,θ表示）【答案】θθn i n z nsin cos +=. 【解析】由条件θθsin cos 1i z +=，()θθθθθθcos sin 2sin cos sin cos 2222i i z +-=+=θθ2sin 2cos i +=；()()()θθθθθθsin cos 2sin 2cos sin cos 33i i i z ++=+=()()θθθθθθθθsin 2cos cos 2sin sin 2sin cos 2cos ++-=iθθ3sin 3cos i +=；推测θθn i n z nsin cos +=【命题意图】考查复数的运算和三角变换，以及归纳推理的等数学知识，考查学生运用数学知识解决问题的能力.16．如果一个三角形的三边长度是连续的三个自然数，且最大角是最小角的两倍，该三角形的周长是 ． 【答案】15.【解析】设三角形的三边长分别是1,,1+-n n n ()N n n ∈≥,2，三个角分别是ααπα2,3,-．由正弦定理得，αα2sin 1sin 1+=-n n ，所以()121cos -+=n n α，由余弦定理得， ()()()()1211211222-+⨯⨯+⨯-++=-n n n n n n n ，即052=-n n ，5=n ，0=n （舍去），所以三边分别是6,5,4，周长为15，答案填15.【命题意图】考查利用基本不等式求最值的技能，考查不等式使用的条件和解题技巧. 17.已知,,R a x ∈1>a ，直线x y =与函数()x x f a log =有且仅有一个公共点， 则=a ；公共点坐标是 . 【答案】ee a 1=，()e e ,.【解析】构造新函数()x x x g a -=log ，()1ln 1/-=a x x g ，令01ln 1=-ax 有a x ln 1=，因为1>a ，当a x ln 10<<时，()0/>x g ；当ax ln 1>时，()0/<x g所以，()x x x g a -=log 在a x ln 1=处有最大值⎪⎭⎫ ⎝⎛a g ln 1，当0ln 1=⎪⎭⎫⎝⎛a g 时，直线x y =与函数()x x f a log =有且仅有一个公共点，即aa a ln 1ln 1log =⎪⎭⎫⎝⎛，()a a a ln 1ln log =- ()⇒=-a a a ln 1ln ln ln ()1ln ln -=a ，e e a ea 11ln =⇒=，则e ex y e===1ln 1,即公共点坐标是()e e ,，所以两空分别填ee a 1=，()e e ,.【命题意图】考查导数和函数零点等知识解决问题的能力，考查学生创新意识、运用数学知识解决问题的能力和计算能力.三、解答题：本大题共6小题，共75分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18.（本题满分12分）（课本必修4第60页例1改编）武汉地区春天的温度的变化曲线近似地满足函数()b x A y ++=ϕωsin （如图所示，单位:摄氏温度,πϕω<<>>0,0,0A ）. （Ⅰ）写出这段曲线的函数解析式；（Ⅱ）求出一天（[]24,0∈t ，单位小时） 温度的变化在[]25,20时的时间. 解：（Ⅰ）由条件可知⎩⎨⎧=-=+.10,30b A b A 解得⎩⎨⎧==.20,10b A 因为614221-=⨯ωπ，所以8πω=. 所以208sin 10+⎪⎭⎫⎝⎛+=ϕπx y . 将点()10,6代入上式，得43πϕ=.从而解析式是20438sin 10+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππx y .………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ），令2520438sin 1020≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤ππx ，得21438sin 0≤⎪⎭⎫⎝⎛+≤ππx . 所以624382πππππ+≤+≤k x k ，………………………………① 或ππππππ+≤+≤+k x k 2438652………………………………② 由①，得34616616+-≤≤-k x k .取1=k ，得311110+≤≤x .由②，得2163216+≤≤+k x k .取0=k ，得232≤≤x ；取1=k ，得183216≤≤+x .即一天温度的变化在[]25,20时的时间是00:2~40:0，20:11~00:10，00:18~40:16三个时间段，共4小时………………………………………………（12分） 19.（本题满分12分）某科研所研究人员都具有本科和研究生两类学历，年龄段和学历如下表，从该科研所任选一名研究人员，是本科生概率是32，是35岁以下的研究生概率是61. （Ⅰ）求出表格中的x 和y 的值；（Ⅱ）设“从数学教研组任选两名 教师，本科一名，研究生一名，50 岁以上本科生和35岁以下的研究生不全选中” 的事件为A ，求事件A 概率()A P .【解析】（Ⅰ）从科研所任选一名研究人员，是本科生概率是32，是35岁以下的研究生概率是61. 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++++61832833y x y y x x ，解得2,2==y x因此该科研所的研究人员共有12名，其中50岁以上的具有本科学历的2名，35岁以下具有研究生学历的2名；（Ⅱ）设具有本科学历的研究人员分别标记为87654321,,,,,,,B B B B B B B B ，其中87,B B 是50岁以上本科生，研究生分别标记为4321,,,Y Y Y Y ,35岁以下的研究生分别标记为21,Y Y ，事件A 的基本事件是共有32种：()11,Y B ，()12,Y B ，()13,Y B ，()14,Y B ，()15,Y B ，()16,Y B ，()17,Y B ，()18,Y B ， ()21,Y B ，()22,Y B ，()23,Y B ，()24,Y B ，()25,Y B ，()26,Y B ，()27,Y B ，()28,Y B ，()31,Y B ，()32,Y B ，()33,Y B ，()34,Y B ，()35,Y B ，()36,Y B ，()37,Y B ，()38,Y B ， ()41,Y B ，()42,Y B ，()43,Y B ，()44,Y B ，()45,Y B ，()46,Y B ，()47,Y B ，()48,Y B ，50岁以上的具有本科学历和35岁以下具有研究生学历的研究人员全部被选上的有()17,Y B ，()18,Y B ，()27,Y B ，()28,Y B 有4种，所以()873241=-=A P 【命题意图】考查古典概型基本知识和解决概率问题基本方法，考查学生应用数学知识解决问题的能力、逻辑推理能力和计算能力.20. （本小题满分13分）已知平面⊥PAD 平面ABCD ,,2==PD PA 矩形ABCD 的边长2==DC AB ，22==BC AD . （Ⅰ）证明：直线//AD 平面PBC ；（Ⅱ）求直线PC 和底面ABCD 所成角的大小. 【解析】（Ⅰ）因为四边形ABCD 是矩形 BC AD //，…………………2分又⊂BC 平面PBC …………………4分 ⊄AD 平面PBC …………………5分 所以直线//AD 平面PBC ……………6分 （Ⅱ）由条件平面⊥PAD 平面ABCD 平面 PAD 平面AD ABCD =过点P 作AD PE ⊥，……………7分 又因为AD CD ⊥根据平面和平面垂直的性质定理得⊥PE 平面ABCD ,⊥CD 平面PAD ……………9分 所以，直线EC 是直线PC 在平面ABCD 内的射影 PCE ∠直线PC 和底面ABCD 所成角， 且⊥CD PD ……………10分 在PCD Rt ∆中，2222=+=CD PD PC因为,2==PD PA 所以222=-=ED PD PE在PCE Rt ∆中，21222sin ===∠PC PE PCE ， 030=∠PCE …………11分直线PC 和底面ABCD 所成角的大小为030.…………12分ABCDPABCD PE21. （本题满分14分）已知函数),(3)(23R b a x bx ax x f ∈-+=，在点))1(,1(f 处的切线方程为02=+y ． （1）求函数)(x f 的解析式；（2）若对于区间]2,2[-上任意两个自变量的值21,x x ，都有c x f x f ≤-|)()(|21，求实数c 的最小值；（3）若过点)2)(,2(≠m m M ，可作曲线)(x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围．【解析】（1）323)(2-+='bx ax x f …………1分根据题意，得⎩⎨⎧='-=,0)1(,2)1(f f 即⎩⎨⎧=-+-=-+,0323,23b a b a解得⎩⎨⎧==.0,1b a .3)(3x x x f -=∴ …………3分（2）令33)(2-='x x f 0=，解得1±=x(1)2,(1)2f f -==- ，2)2(,2)2(=-=-f f[2,2]x ∴∈-当时，max min ()2,() 2.f x f x ==- …………5分则对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值12,x x ，都有12max min |()()||()()|4f x f x f x f x -≤-=所以 4.c ≥所以c 的最小值为4。

2019届湖北省武汉市武昌区高三5月调研考试文科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 设集合，则集合的子集共有（）A．2 个________________________ B．3个______________________________ C．4个_________________________________ D．8个2. 若复数是实数，则实数（）A．1____________________________ B．-1______________________________ C．______________________________ D．3. 若变量满足约束条件，则的最大值是（）A．________________________ B．0_________________________________ C．______________________________ D．4. 若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（）A．________________________ B．____________________________ C．______________________________ D．5. 已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点，且双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为（）A．______________ B．C．________________________ D．6. 已知，则（）A．-1____________________ B．1______________________________ C．_________________________________ D．7. 执行如图所示的程序框图，若输出的值为8，则判断框内可填入的条件是（）A．________________________ B．____________________________ C．____________________________ D．8. 设，则（）A．________________________ B．________________________ C．________________________ D．9. 下面是关于公差的等差数列的四个命题：数列是递增数列；数列是递增数列；数列是递增数列；数列是递增数列．其中的真命为（）A．____________________________ B．____________________________ C．________________________ D．10. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．54________________________ B．60______________________________C．66_________________________________ D．7211. 动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的单调递增区间是（）A．________________________ B．____________________________C．______________________________ D．和12. 已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点，若，则（）A．1____________________________ B．______________________________ C．____________________________ D．2二、填空题13. 已知点，线段的中点的坐标为．若向量与向量共线，则 _____________．14. 已知数列是等差数列，若构成公比为的等比数列，则 ____________．15. 已知直三棱柱的各项点都在同一球面上，若，则该球的体积等于___________．16. 函数在上的最大值为 __________ ．三、解答题17. 在中，内角的对边分别为，且．（1）求；（ 2）若，求．18. 某工厂36名工人的年龄数据如下表：p19. ly:宋体; font-size:10.5pt">工人编号_________ 年龄工人编号_________ 年龄工人编号_________ 年龄工人编号_________ 年龄 1 402 443 404 415 336 407 458 429 43 10 3611 3112 3813 3914 4315 4516 3917 3818 36 19 2720 4321 4122 3723 3424 4225 3726 4427 42 28 3429 3930 4331 3832 4233 5334 3735 4936 39 （1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1 ）中样本的平均值和方差；（ 3）求这36名工人中年龄在内的人数所占的百分比．20. 如图，垂直圆所在的平面，是圆上的点，是的中点，为的重心，是圆的直径，且．（1）求证：平面；（ 2）求到平面的距离．21. 在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为1，圆心在上．（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；（ 2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．22. 已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行．（1）求的值；（ 2）设，其中为的导函数，证明：．23. 选修4-1：几何证明选讲如图，和相交于两点，过作两圆的切线分别交两圆于两点，连结并延长交于点，已知．（1）求的值；（2）求线段的长．24. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为．（1）把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明它表示什么曲线；（2）若是直线上的一点，是曲线上的一点，当取得最小值时，求的直角坐标．25. 选修4-5：不等式选讲已知，函数的最小值为2．（1）求的值；（2）证明：与不可能同时成立．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。

湖北省武汉市武昌区2024届高三下学期5月质量检测数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．若复数z 满足B. D.2．已知二项式展开式的二项式系数的和为64，则( )A. B.C.展开式的常数项为 D.的展开式中各项系数的和为13．已知，向量，，且，则在上的投影向量为( )D.4．已知等差数列的前n 项和为,若,,则( )A.288B.144C.96D.255．已知函数的解集为( )A. B. C. D.6．灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球缺）.如图2，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为，其中R 是球的半径，h 是球缺的高.已知该灯笼的高为40cm ，圆柱的高为4cm ，圆柱的底面圆直径为24c m ，则该灯笼的体积为（取）( )()1i z -=-12-2nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭5n =8n =2nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭20-2nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭x ∈R (),2a x =()2,1b =- a b ⊥ a b + a )1,2()2,1-{}n a n S 39S =981S =12S =()f x ()()21f x f x >-1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭()2π33V R h h =-π3=A.32000cm 3B.33664cm 3C.33792cm 3D.35456cm 37．已知抛物线的焦点为F ，过F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点，过A ，B 分别作准线l 的垂线，垂足分别为M ，N ，若和的面积分别为8和4，则的面积为( )A.32B.16C.8．设A. B. C. D.二、多项选择题9．下列说法正确的是( )C.线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强D.在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好10．下列说法正确的是( )A.若，则C.，11．已知无穷数列中，，，…，是以10为首项，以为公差的等差数列，，，…，，对一切正整数n ，都有.设数列的前n 项和为，则( )()2:20C y px p =>AFM △BFN △MFN △112024101212e 1,e 1,sin tan2024a b c ⎛⎫=-=-=+ ⎪⎝⎭b ac >>b c a >>a b c >>b c a>>r 22ac bc >a b >a b ∀>m >b m a m+<++{}n a 1a 2a m a 2-1m a +2m a +2a )3,m m ≥∈*N 2n m n a a +={}n a n SA.当时，时，C.当时， D.不存在m ，使得成立三、填空题12．已知函数的定义域为，则函数的定义域为____________.13．函数的部分图象如图所示,则____________.的轨迹方程为，其中，则的最小值为______________.四、解答题15．在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知.（1）求B ；（2）已知的最大值.16．如图,在四棱锥中,平面平面ABCD ,,,.（1）证明:;（2）若,求平面BPC 与平面PCD 的夹角的余弦值.17．已知函数.3m =12a =232=-8m =20244a =10m =2024331396m S +≥()21f x +[)1,1-()1f x -()()()2sin 21πf x x ϕϕ=++<ϕ=(),P x y 2240x y m -+=1,4m ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦ABC △()2cos cos 0a c B b C --=b =2c +P ABCD -PAC ⊥//AD BC 2AB AD CD ===4BC =AB PC ⊥PA PC AC ==2()(2)ln f x ax a x x =+--（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求a 的取值范围.18．已知点P 是圆上的动点，，M 是线段上一点，且（1）求轨迹C 的方程；（2）设不过原点的直线l 与C 交于A ，B 两点，且直线，的斜率的乘积为面上一点D满足，连接交C 于点N （点N 在线段上且不与端点重合）.试问的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是定值，说明理由.19．利用方程的方法可以将无限循环小数化为分数，例如将化为分数是这样计算的：设，则，即，解得这是一种利用方程求解具有无限过程的问题的方法，这种方法在高中计算无限概率、无限期望问题时都有很好的妙用.每局比赛的结果互不影响.规定：净胜m 局指的是一方比另一方多胜m 局.（1）如果约定先获得净胜两局者获胜，求恰好4局结束比赛的概率；（2）如果约定先获得净胜三局者获胜，那么在比赛过程中，甲可能净胜局.设甲在净胜局时，继续比赛甲获胜的概率为，比赛结束（甲、乙有一方先净胜三局）时需进行的局数为，期望为.①求甲获胜的概率；②求.()f x ()f x ()22:116E x y -+=()1,0F -EP PM OA OB OA AD =BD BD NAB △0.31 0.31x = 31.31100x = 31100x x +=0.31= ()3,2,1,0,1,2,3i i =---i i P i X ()i E X 0P ()0E X参考答案1．答案：D 解析：,,则其虚部为故选:D.2．答案：D解析：由题可知，，则.则AB 错误；展开式中的第项为.令，得，则，故C 错误；令得，则的展开式中各项系数的和为1，故选：D.3．答案：C解析：由，则有，即，则.故选：C.4．答案：B解析：由题意,即,解得.于是.故选:B.5．答案：A解析：由,故在上单调递增,()()()i 1i i 1i 11i 1i 1i 1i 222z +-+====-+--+11i 22=---264n =6n =62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭1k +6621662C (1)2C kk k k k k kk T x xx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭620k -=3k =()333664612C 160T x-=-⨯⨯=-1x =62111⎛⎫-= ⎪⎝⎭62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭a b ⊥ 220a b x ⋅=-=1x =(3,1a b += ()1,2a == 319132392989812S a d S a d ⨯⎧=+=⎪⎪⎨⨯⎪=+=⎪⎩11349a d a d +=⎧⎨+=⎩112a d ==⎧⎨⎩12121112121442S ⨯=⨯+⨯=()22,0,0x x f x x x x x ⎧≥==⎨-<⎩()f x R由,有,即故选:A.6．答案：B解析：该灯笼去掉圆柱部分的高为cm ，则cm ，由圆柱的底面圆直径为24cm ，则有，即，可得，则，.故选：B.7．答案：C解析：设直线代入抛物线方程，消元可得，设，，则，，，，()()21f x f x >-21x x >-x >40832-=32162R h -==()22212R h R -+=2221612R +=20R =4h =()2324π2+22412ππ202604433V V V V =-=⨯⨯⨯+⨯⨯-⨯-⨯圆柱球球缺345632000179233664=+-=:AB x my =+2220y pmy p --=211,2y A y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭222,2y B y p ⎛⎫⎪⎝⎭212y y p =-122y y pm +=21111182222AFMy p S AM y y p ⎛⎫=⋅==+⋅= ⎪⎝⎭△22221142222BFNy p S BN y y p ⎛⎫=⋅=+⋅= ⎪⎝⎭△()()22122212122114444AFM BFNy y p S S y y y y p ⎡⎤∴⋅=+++⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦△△，于是，即故选：C.8．答案：A解析：令,易求,当时,,所以在单调递增,所以,所以,即,所以.令,,则,令,,则因为,则,,,,则,所以在内单调递增,则,即在内恒成立,则在内单调递增,()422222211424444p pp m p pp⎡⎤=++⋅+⋅⎢⎥⎣⎦()4214pm=+()42184324AFM BFNpS S m⋅=+=⨯=△△21m+=122MFNpS y y p p∴=-====△()()2e12e1x xh x=---()00h=x>0()22e2e0x xh x'=->()h x(0,)+∞()()00h x h>=12024h⎛⎫>⎪⎝⎭()1202410121e12e102024h⎛⎫=--->⎪⎝⎭b a> ()()2e1sin tanxf x x x=---π0,6x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()2e cosxf x x'=--π0,6⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()g x f x='π0,6x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()2e sinxg x x'=+-π0,6x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2e2x>0sin x<<cos1x<<2<=<11()22022g x'>+-=>()g xπ0,6⎛⎫⎪⎝⎭()(0)0g x g>=()0f x'>π0,6⎛⎫⎪⎝⎭()f xπ0,6⎛⎫⎪⎝⎭可得,即,综上所述:故选:A.9．答案：ABD解析：对A ：由方差的性质可知，将一组数据的每一个数减去同一个数后，一定过样本点中心，故B 正确；对D：在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好，故D 正确.故选：ABD.10．答案：AD解析：对于A ，若，则，A 正确;对于C ，若，，但是与0的大小不能确定，故C 错误；取等号，D 正确.故选：AD.11．答案：ABD解析：等差数列通项公式：，m ，且，等比数列通项公式：，m ，且，对一切正整数n ，都有，数列为周期数列，周期为，当时，1(0)02024f f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭1202412e 1sin 2024⎛⎫->+ ⎪⎝⎭c >b a c >>()x y 22ac bc >a b >2a b ≥a b ≤-a b >m >()()()b a m a b m b m a m a a m +-++-==++()0m b a -<()a a m +≥=0x =()()1012212n a n n =+--=-+n ∈*N m n ≤1111222n m n mn a ---⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭n ∈*N 2m n m <≤2n m n a a +=∴2m 3m =312612a a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭当时，由题意知，是等差数列中的项，在等差数列中，令，得，对一切正整数n ，都有，则有，，解得，B 选项正确；当时，由题意知，4是等差数列中的项，在等差数列中，令，得，对一切正整数n ，都有，则有，，得，方程有多组解，如等等，C 选项错误；，若，则有，令，函数图象抛物线对称轴，所以在或时取最大值，令，则，所以不可能成立，即不存在m ，使得，D 选项正确.故选：ABD.12．答案：解析：由函数的定义域为，则有，令，解得.232a =-2-2122n -+=-7n =2n m n a a +=72237km m +=⎧⎨≥⎩(),k m ∈*N 8m =20244a =2124n -+=4n =2n mn a a +=4220244km m +=⎧⎨≥⎩(),k m ∈*N ()1010,km k m =∈*N 5m =()()20243212311122110121012102+10861212mm m m m S S a a a m +⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭=+++=+⨯-+++ ⎪- ⎪⎪⎝⎭()220243110121110361012313962mm S m m +⎛⎫=-+-≥ ⎪⎝⎭()211012113036010122mm m ⎛⎫-≥+ ⎪⎝⎭()()2101211f m m m =-112m =∉*N ()f m 5m =6m =()()()max 5630360f m f f ===()130********mg m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()30360g m >()211012113036010122mm m ⎛⎫-≥+ ⎪⎝⎭2024331396m S +≥(]2,2-()21f x +[)1,1-[)211,3x +∈-113x -≤-<22x -<≤故答案为：.解析：令,则根据图象得则,则,则,，则且，当且仅当.15．答案：（1）解析：（1），由正弦定理得，，即，所以，，，，(]2,2-()()2sin210f x xϕ=++=()sin2xϕ+=x=π22π4kϕ⎛⎫⨯-+=-⎪⎝⎭∈Z2πkϕ=∈π0k=ϕ=t=≥2224x t y=+20t t m-+===≥≥x=y=π3B=()2cos cos0a c Bb C--=()2sin sin cos sin cos0A CB B C--=2cos sin cos sin sin cos0B A BC B C--=2cos sin sin cos cos sinB A BC B C=+()2cos sin sin sinB A BC A=+=()0,πA∈∴sin0A≠∴cos B=0πB<<∴B=，，又为锐角，16．答案：（1）证明见解析;解析：如图,取BC 的中点E ,连接AE ,因为,,所以四边形ADCE 为平行四边形.因为,所以四边形ADCE 为菱形,所以,即点A 在以BC 为直径的圆上,所以.因为平面平面ABCD ,平面平面,平面ABCD ,所以平面PAC因为平面PAC ,所以.（2）由（1）可知平面PAC ,因为,取AC 中点为O ,连PO ,所以.因为,O 为AC 中点,所以,又因为平面平面ABCD ,平面平面,平面PAC ,所以平面ABCD ,2sin sin c b C B ====∴12π2sin 4sin sin 4sin 23a c A C A A ⎛⎫+=+=+- ⎪⎝⎭()sin 2sin 3sin A A A A A A ϕ=++=+=+ 0A <<ϕ∴(A ϕ+∴122a +//EC AD EC AD =AD DC =AE BE EC ==AB AC ⊥PAC ⊥PAC ABCD AC =AB ⊂AB ⊥PC ⊂AB PC ⊥AB ⊥PA PC =PO AC ⊥AE EC =OE OC ⊥PAC ⊥PAC ABCD AC =PO ⊂PO ⊥因为平面ABCD ,所以,所以OE ,OC ,OP 两两互相垂直,以点O 为原点,OE 为x 轴,OC 为y 轴,OP 为z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,所以,,.设平面PBC 的法向量为,由得,取,得,则,设平面PCD 的法向量为,由得,取,得,则,所以设平面BPC 与平面PCD 的夹角为,则17．答案：（1）见解析（2）解析：（1），OE ⊂PO OE ⊥()2,0B ()0C ()1,0,0D -()0,0,3P ()0,3CP = ()2,0BC =- ()0DC = ()111,,m x y z = 00CP m BC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 11113020z x ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩11z =1y =13x =()m = ()222,,n x y z = 00DC n CP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 2222030x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩21z =2y =23x =-()3,n =- cos ,m n m n m n ⋅=== θcos cos ,m n θ==()0,1()()()()()1211220ax x f x ax a x x x-+'=+--=>若，，上单调递减；若，当时，，即在上单调递减，当时，，即在上单调递增.（2）若，在上单调递减，至多一个零点，不符合题意.若，由（1）可知，的最小值为令，，所以在上单调递增，又，当时，，至多一个零点，不符合题意，当时，又因为，结合单调性可知在有一个零点，令，时，单调递减，当时，单调递增，的最小值为，所以，当，结合单调性可知在有一个零点，综上所述，若有两个零点，a 的范围是.（2）是，，所以点M 的轨迹是以点E ，F 为焦点的椭圆，在0a ≤()0f x '<()f x ()0,+∞0a >10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0f x '>()f x 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭0a ≤()f x ()0,+∞()f x 0a >()f x 11ln 1f a a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()1ln 1h a a a =-+()2110h a a a'=+>()h a ()0,+∞()10h =()0h a ≥[)1,a ∈+∞()f x ()0h a <()0,1a ∈21210e e e e a a f ⎛⎫⎛⎫=++-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 11,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()ln g x x x =-()11g x x '=-=()0,1∈()g x ()1,x ∈+∞()g x ()g x ()110g =>ln x x >x >()()()()()2222ln 2330f x ax a x x ax a x x ax a x x ax a =+-->+--=+-=+->()f x 3,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x ()0,1213y +=NAB S =△42PM EP EF ==>=设，则，即.由知.（2）设，，则由，得.因为点A ，B 均在曲线C 上，所以，，整理得：，又因为，所以设，则，，整理得：，，代入上式得：，即，又因为，所以所以()2222:10x y C a b a b+=>>24a =2a =1c =b ==213y +=()11,A x y ()22,B x y OA AD = ()112,2D x y 22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()22222212122111912y y x y x y +++=()2212121*********x x y y x y x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭1212OA OB y y k k x x ==1203y y +=12211122AOB S x y x y =-=⨯=△BN BD λ= ()()12122121N Nx x x y y y λλλλ=+-⎧⎪⎨=+-⎪⎩()2122113y y λλ+-⎡⎤⎣⎦+=()()2222221112122244111434343x y x x y y x y λλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-++-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2112121,0343y x x y y +=+=2213y +=()22411λλ+-=2520λλ-=0λ>λ2255NAB DAB OAB S S S ===△△△解析：（1）4局结束比赛时甲获胜，则在前2局甲乙各得一分，并且第3，4局甲胜，概率为4局结束比赛时乙获胜，则在前2局甲乙各得一分，并且第3，4局乙胜，概率为（2）①在甲在净胜-2局前提下，继续比赛一局：若甲赢，则甲的状态变为净胜-1局，继续比赛获胜的概率为；若甲输，则甲的状态变为净胜-3局，比赛结束，根据全概率公式，，同理，，，，由，，得，与联立消去，，又，，即，因此②在甲净胜-2局前提下，继续比赛一局：若甲赢，则甲的状态变为净胜-1局，继续比赛至结束，还需要局，共进行了()07X =212212C 333⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭⨯212211C 333⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭481+=1P -2123P P --=1022133P P P --=+0112133P P P -=+1202133P P P =+212133P P =+1202133P P P =+212133P P =+104377P P =+0112133P P P -=+1P 0181213P P -=+2123P P --=1022133P P P --=+1067P P -=0P =()1E X -局；若甲输，则甲的状态变为净胜-3局，比赛结束，共进行了1局，则，即，同理，即，，即，，即，，即，联立与，得联立与，得，代入，得，所以.()11E X -+2121()[()1]133E X E X --=++⨯212()()13E X E X --=+10221()[()1][()1]33E X E X E X --=+++10221()()()133E X E X E X --=++01121()[()1][()1]33E X E X E X -=+++01121()()()133E X E X E X -=++12021()[()1][()1]33E X E X E X =+++12021()()()133E X E X E X =++2121()1[()1]33E X E X =⨯++211()()13E X E X =+12021()()()133E X E X E X =++211()()13E X E X =+103()()7E X E X =+212()()13E X E X --=+10221()()()133E X E X E X --=++10612()()77E X E X -=+01121()()()133E X E X E X -=++000315612()()7721()[[13773E X X E X E ++=++0()7E X =。

武昌区 高三年级五月调研考试文科数学试题及参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合}|{2x x x A ≤=，}1,0,1{-=B ，则集合B A 的子集共有（ C ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．8个 2．若复数i)i)(1(2m m ++是实数，则实数=m ( B )A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤,1,1,2y y x x y 则y x z 2+=的最大值是( C )A ．25-B ．0C ．35D ．25 4．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( D ) A ．32 B ．52 C ．53 D ．109 5．已知抛物线x y 82=的准线过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一个焦点，且双曲线的一条渐近线方程为03=+y x ，则该双曲线的方程为( B )A ．1322=-y xB ．1322=-y x C ．12622=-y x D ．16222=-y x6．已知2cos sin =-αα，),0(πα∈，则=αtan ( A )A ．1-B ．1C ．3-D ．3 7．执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8， 则判断框内可填入的条件是( B )A ．?43≤SB ．?1211≤S C ．?2425≤SD ．?120137≤S 8．设2log 3=a ，2ln =b ，215-=c ，则( C )A ．c b a <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．a b c << 9．下面是关于公差0>d 的等差数列}{n a 的四个命题：p 1：数列}{n a 是递增数列； p 2：数列}{n na 是递增数列； p 3：数列}{na n是递增数列； p 4：数列}3{nd a n +是递增数列． 其中的真命题为( D )A ．1p ，2pB ．3p ，4pC ．2p ，3pD ．1p ，4p10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( B) A ．54 B ．60 C ．66 D ．7211．动点A (x ，y )在圆122=+y x 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间0=t 时，点A 的坐标是)23,21(，则当120≤≤t 时，动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数的单调递增区间是( D )A ．]1,0[B ．]7,1[C ．]12,7[D ．]1,0[和]12,7[12．已知椭圆Γ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，过右焦点F 且斜率为k （k ＞0）的直线与Γ相交于A ，B 两点．若FB AF 3=，则=k ( B ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知点)2,1(-P ，线段PQ 的中点M 的坐标为)1,1(-．若向量PQ 与向量a =(λ，1)共线，则λ= ． 答案：32-14．已知数列{a n }是等差数列，若11+a ，33+a ，55+a 构成公比为q 的等比数列，则=q ． 答案：115．已知直三棱柱111C B A ABC -的各顶点都在同一球面上．若21===AA AC AB ，=∠BAC90=，则该球的体积等于 ．答案：π3416．函数1cos sin )(++-=x x x x f 在]47,43[ππ上的最大值为 ． 答案：2+π三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且B a A b cos 3sin =．正视图侧视图俯视图（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若3=b ，A C sin 2sin =，求a ，c ．解：（Ⅰ）由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理，得sin B sin A ＝3sin A cos B ．在△ABC 中，sin A ≠0，∴sin B ＝3cos B ，∴tan B ＝3．∵0＜B ＜π，∴B ＝π3．……………………………………………………………6分（Ⅱ）由sin C ＝2sin A 及正弦定理，得c ＝2a ． ①由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得32＝a 2＋c 2－2ac cos π3，即a 2＋c 2－ac ＝9． ②解①②，得a ＝3，c ＝23． (12)分 18．（本小题满分12分）某工厂36名工人的年龄数据如下表：（Ⅰ）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（Ⅱ）计算（Ⅰ）中样本的平均值x 和方差2s ；（Ⅲ）求这36名工人中年龄在),(s x s x +-内的人数所占的百分比．解：（Ⅰ）根据系统抽样的方法，抽取容量为9的样本，应分为9组，每组4人．由题意可知，抽取的样本编号依次为：2，6，10，14，18，22，26，30，34， 对应样本的年龄数据依次为：44，40，36，43，36，37，44，43，37．……4分 （Ⅱ）由（Ⅰ），得x -＝44＋40＋36＋43＋36＋37＋44＋43＋379＝40，s 2＝19[(44－40)2＋(40－40)2＋(36－40)2＋(43－40)2＋(36－40)2＋(37－40)2＋(44－40)2＋(43－40)2＋(37－40)2]＝1009．…………………………………………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ），得x -＝40，s ＝103，∴x -－s ＝3623，x -＋s ＝4313， 由表可知，这36名工人中年龄在(x -－s ，x -＋s )内共有23人，所占的百分比为2336×100﹪≈63.89﹪．…………………………………………………………………12分19．（本小题满分12分）如图，PA 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点，Q 为PA 的中点，G 为AOC ∆的重心，AB 是圆O 的直径，且22==AC AB ．（Ⅰ）求证：//QG 平面PBC ； （Ⅱ）求G 到平面PAC 的距离． 解：（Ⅰ）如图，连结OG 并延长交AC 于M ，连结QM ，QO ． ∵G 为△AOC 的重心，∴M 为AC 的中点． ∵O 为AB 的中点，∴OM ∥BC ．∵OM ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴OM ∥平面PBC ． 同理QM ∥平面PBC ．又OM ⊂平面QMO ，QM ⊂平面QMO ，OM ∩QM ＝M ， ∴平面QMO ∥平面PBC ． ∵QG ⊂平面QMO ，∴QG ∥平面PBC ． (6)分（Ⅱ）∵AB 是圆O 的直径，∴BC ⊥AC ．由（Ⅰ），知OM ∥BC ，∴OM ⊥AC ．∵PA ⊥平面ABC ，OM ⊂平面ABC ，∴PA ⊥OM ． 又PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，PA ∩AC ＝A ，∴OM ⊥平面PAC ，∴GM 就是G 到平面PAC 的距离． 由已知可得，OA ＝OC ＝AC ＝1，∴△AOC 为正三角形，∴OM ＝32． 又G 为△AOC 的重心，∴GM ＝13OM ＝36．故G 到平面PAC 的距离为36．…………………………………………………12分 20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线l ：42-=x y ．设圆C 的半径为1，圆心在l 上．（Ⅰ）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （Ⅱ）若圆C 上存在点M ，使||2||MO MA =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． 解：（Ⅰ）由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4与直线y ＝x －1的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y ＝x －1．解得C (3，2)，于是切线的斜率必存在． 设过A (0，3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3，即kx －y ＋3＝0，由题意，|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0，或k ＝－34．故所求切线方程为y ＝3，或y ＝－34x ＋3，即y ＝3，或3x ＋4y －12＝0．……4分（Ⅱ）∵圆C 的圆心在直线y ＝2x －4上，∴圆C 的方程为(x －a )2＋[y －(2a －4)]2＝1．设点M (x ，y )，由|MA |＝2|MO |，得x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2， 化简，得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，∴点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上． 由题意，点M (x ，y )在圆C 上，∴圆C 和圆D 有公共点，则2－1≤|CD |≤2＋1，∴1≤(a －0) 2＋[(2a －4)－(－1)]2≤3，即1≤5a 2－12a ＋9≤3． 由5a 2－12a ＋8≥0，得x ∈R ； 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125． 故圆心C 的横坐标a 的取值范围为[0，125]．…………………………………12分 21．（本小题满分12分）已知函数xkx x f e ln )(+=（k 为常数， 71828.2e =是自然对数的底数），曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与x 轴平行．（Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）设)()()(2x f x x x g '+=，其中)(x f '为)(x f 的导函数．证明：0>∀x ，2e 1)(-+<x g ． 解：（Ⅰ）由f (x )＝ln x ＋k e x ，得f ′(x )＝1－kx －x ln xx e x，x ∈(0，＋∞)． 由已知，得f ′(1)＝1－ke＝0，∴k ＝1． (4)分（Ⅱ）由（Ⅰ），得g (x )＝(x 2＋x )·1－x －x ln x x e x ＝x ＋1ex (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)．设h (x )＝1－x －x ln x ，则h ′(x )＝－ln x －2，x ∈(0，＋∞)．令h ′(x )＝0，得x ＝e －2．当0＜x ＜e －2时，h ′(x )＞0，∴h (x )在(0，e －2)上是增函数；当x ＞e －2时，h ′(x )＜0，∴h (x )在(e －2，＋∞)上是减函数．故h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (e －2)＝1＋e －2，即h (x )≤1＋e －2． 设φ(x )＝e x －(x ＋1)，则φ′(x )＝e x －1＞0，x ∈(0，＋∞)， ∴φ(x )在(0，＋∞)上是增函数，∴φ(x )＞φ(0)＝0，即e x －(x ＋1)＞0，∴0＜x ＋1e x ＜1．∴g (x )＝x ＋1ex h (x )＜1＋e －2． 因此，对任意x ＞0，g (x )＜1＋e －2．……………………………………………12分22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，⊙O 和⊙O ′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连结DB 并延长交⊙O 于点E ，已知3==BD AC ．（Ⅰ）求AD AB ⋅的值； （Ⅱ）求线段AE 的长． 解：（Ⅰ）∵AC 切⊙O ′于A ，∴∠CAB ＝∠ADB ， 同理∠ACB ＝∠DAB ，∴△ACB ∽△DAB ，∴AC AD ＝ABBD ，即AC ·BD ＝AB ·AD ．A BCDE OO ′∵AC ＝BD ＝3，∴AB ·AD ＝9．…………………………………………………5分 （Ⅱ）∵AD 切⊙O 于A ，∴∠AED ＝∠BAD ，又∠ADE ＝∠BDA ，∴△EAD ∽△ABD ，∴AE AB ＝ADBD ，即AE ·BD ＝AB ·AD ．由（Ⅰ）可知，AC ·BD ＝AB ·AD ，∴AE ＝AC ＝3． (10)分 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=t y t x 215,23（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为θρcos 32=．（Ⅰ）把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明它表示什么曲线；（Ⅱ）若P 是直线l 上的一点，Q 是曲线C 上的一点，当||PQ 取得最小值时，求P 的直角坐标．解：（Ⅰ）由ρ＝23cos θ，得ρ2＝23ρcos θ，从而有x 2＋y 2＝23x ，∴(x －3)2＋y 2＝3．∴曲线C 是圆心为(3，0)，半径为3的圆．…………………………………5分 （Ⅱ）由题设条件知，|PQ |＋|QC |≥|PC |，当且仅当P ，Q ，C 三点共线时，等号成立，即|PQ |≥|PC |－3，∴|PQ |min ＝|PC |min －3． 设P (－32t ，－5＋12t )，又C (3，0)， 则|PC |＝(－32t －3)2＋(－5＋12t )2＝t 2－2t ＋28＝(t －1)2＋27． 当t ＝1时，|PC |取得最小值，从而|PQ |也取得最小值， 此时，点P 的直角坐标为(－32，－92)．………………………………………10分 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知0>a ，0>b ，函数||||)(b x a x x f ++-=的最小值为2．（Ⅰ）求b a +的值；（Ⅱ）证明：22>+a a 与22>+b b 不可能同时成立． 解：（Ⅰ）∵a ＞0，b ＞0，∴f (x )＝|x －a |＋|x ＋b |≥|(x －a )－(x ＋b )|＝|－a －b |＝|a ＋b |＝a ＋b ， ∴f (x )min ＝a ＋b ．由题设条件知f (x )min ＝2， ∴a ＋b ＝2．…………………………………………………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）及基本不等式，得2ab ≤a ＋b ＝2，∴ab ≤1． 假设a 2＋a ＞2与b 2＋b ＞2同时成立， 则由a 2＋a ＞2及a ＞0，得a ＞1．同理b ＞1，∴ab ＞1，这与ab ≤1矛盾．故a2＋a＞2与b2＋b＞2不可能同时成立．……………………………………10分。

文科数学本试卷共5页,共22题。

满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试順利★注意事项：1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2. 选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。

答在试题卷、草稿纸上无效。

3. 填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4. 考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合M={x|lgx>0} ,N= {x|x2≤4}，则M∩N=A.(1,2)B.[1,2)C.(1,2]D.[1,2]2. 某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是3. 在某次测量中得到的A样本数据如下:82，84，84，86,86，86，88，88，88，88.若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是A.众数B.平均数C.中位数D.标准差4.如右图所示,程序框图（算法流程图）的输出结果是A. 3B. 4C. 5D. 85. 下面是关于复数z=i1-2+的四个命题： P 1|z| =2； p 2：z 2 =2i ； p 3:z 的共轭复数为1+i; p 4:z 的虚部为-1. 其中的真命题为 A. p 2 ,p 3B. P 1 ,p 2C.p 2 ,p 4D.p 3，p 46. 把函数y= cos2x+ 1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后 向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是7. 已知a ，b 是实数,则“|a+b|=|a|+|b|”是“a b>0”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8. 巳知各项为正的等比数列{a n }中,a 4与a 14的等比中项为22,则2a 7+a 11的最小值为 A.16B.8C.22D.49. 袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球,2个白球和3个黑球，从袋 中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于A.51B. 52C. 53-D. 54- 10.已知抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F ，M(2，y 0）为C 上一点，且满足|MF|=3，若 直线y=2x-4与C 交于A ,B 两点，则cos ∠AFB =A.54B. 53C.-53D.-54 二、填空题:本大题共7小题,每小题5分，共35分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11.cos4950的值为______.12.函敗x x x f )21()(21-=的零点个数为_______.13.某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数x 依次为1，2，3,4，5.现从一批该 日用品中抽取200件，对其等级系数进行统计分析，得到频率f 的分布表如下：(I)在所抽取的200件日用品中，等级系数x= 1的件数为______; (II)若等级系数x 与每件所获利润y 满足560+=xy （元），以上述频率作为概率，则随机抽出一件日用品,其利润不少于30元的概率为______.14.如图，已知正方形OABC 的边长为1,E 是AB 的中点，F 是正方 形内（含边界）的任意一点，则OF OE .的最大值为_____.15.已知函数.f(x)=)(1||1sin ||R x x x x ∈++-的最大值为M ，最小值为m ，则M +m 的值为______16. 对一块边长为1的正方形进行如下操作:第一 步,将它分割成3x3方格，接着用中心和四个角 的5个小正方形，构成如图①所示的几何图形，其面积S 1=95；第二步,将图①的5个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操作,得到图②;依此类推，到第…步,所得图形的面积S n =(95)n.若将以上操作类比推广到棱长为1的正方体中，则(I)当n = 1时,所得几何体的体积V 1 =______. (II)到第n 步时，所得几何体的体积V n =______.17.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2+y 2-8x+15 =0，若直线y =kx-2上至 少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是___三、解答题:本大题共5小题,共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本小题满分12分）在ΔABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a ，b,c.已知cosA=32,sinB =5cosC. (I)求tanC 的值；(II)若a=2,求ΔABC 的面积.19.(本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=AA 1，2π=∠CAB(I)证明：CB=丄BA 1;(II)已知AB=2,BC=5，求三棱锥C 1-ABA 1的体积.20. (本小题满分13分）在数列{a n }中,a 1=2,a n+1 =4a n -3n+l, *N n ∈ (I)证明数列{a n -n}是等比数列; (II)求数列{a n }的前n 项和S n ; (III)证明不等式:S n+1≤4S n (*N n ∈).21.(本小题满分14分）已知P(x 0,y 0）（a x ≠0)是双曲线E:)0,0(12222>>=-b a bya x 上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PM,PN 的斜率之积为51. (I)求双曲线的离心率；(II)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点,满足OB OA OC +=λ，求λ的值.22.(本小题满分14分） 设函数. f(x)=x-x1-alnx(a ∈R) (I)讨论函数f(x)的单调性；(II)若f(x)有两个极值点x 1,x 2而，记过点A(x 1 ,f(x 1)) ,B(x 2 ,f(x 2))的直线斜率为k.问:是否存在a ，使得k =2-a?若存在，求出a 的值;若不存在,请说明理由.。

试稚类型曲武昌区2010届高三年级五月调研测试文科数学试卷本试卷满分150分，考试用时120分钟★祝考试顺利★注憲事项：1. 本*1-10题为选择题，共50分；11-21题为非选择题，共100分,全卷共4页，考试结束，监考人员将试题暮和答题卡一并就回。

2. 生务必将自已的学校、班圾、址名、准考证号填写衣试题參和答题卡権定位JL,并将准考证号条形码鮭砧在答题卡上的指定位暨.用2B铅笔将试卷矣型(B)境涂在答题卡和应位录上。

3. 逸择题的作答:选出答案后■用2B命笔把答题卡上对应題司的苓案标号涂舄，知需改动，用千净后，再选涂其他答案标号.签在谏题春上无效。

4. 非选择題的作答:用0.5亳耒忍色恳水的签字笔直接答在答题卡上的莓题所对应的答题区域内.答在擔定区城外无效。

一.选择履:本大童共10小■，毎小JB5分，共50分.在毎小题给出的四个督选项中•只有一项是符合議目要求的.1•直线工*鬲+1 =0的倾斜角是A-f B-f2. g»r=^/?TT(<<的反函数是A.y = J/ + l(x >0)C.y= Jd - 1(Q0)() C・第 D.寥50() B. y = —Jp +1(% >0)D. y = - J』・l(Q0)3.等比数列｛%｝的公比为初则“如□，且"1”是“对于任意正自然数心都有的A.充分非必要条件c•充要条件() B.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件4.设m,n9l是三条不同的酸,片是三个不同的平面，则下列命題中的真命题是() A.若e』与I 所成的角相等，则m//n B.若a作,mUa,则m〃0C.若与a所成的角相等，则m//^D.若y与平面a，B所成的角相等，则a血离三年级文科数学试卷B型第1页共4页高三年级文科数学试卷B 型第2页共4页5・若不等式給x + 3烂4所表示的平面区城彼直线尸后+抄为面积相等的两部分,JM13老"W4 实数*的值为-36•某人朝正东方走二km 后，向左转150。

武昌区2024届高三年级5月质量检测数学参考答案及评分细则选择题： 填空题：12.(2, 2]- 13.π3 14解答题：15．（13分） 解：（1）(2)cos cos 0a c B b C --= ，由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos 0A C B B C --=，……………………………………………（1分） 2cos sin cos sin sin cos 0B A B C B C --=，即2cos sin sin cos cos sin B A B C B C =+所以2cos sin sin()sin B A B C A =+=，……………………………………………………………（3分）()10,π,sin 0,cos 2A AB ∈∴≠∴=………………………………………………………………（4分） 0πB << ，π3B ∴=. ………………………………………………………………………………（6分） （2）由正弦定理，得2sin sin sin a c b A C B ===，……………………………………………（8分） 122sin 4sin sin 4sin()23a c A C A A π∴+=+=+-sin 2sin 3sin A A A A A =++=+)A =+ϕ. ……………（10分）又 203A π<<，ϕ为锐角，∴)A ϕ+， ………………………（12分） ∴122a c +……………………………………………………………………（13分） 16.（15分） 解：（1）证明：如图，取BC 的中点E ，连接AE ． 因为EC AD ∥，EC AD =，所以四边形ADCE 为平行四边形．……………………………………………………………………（1分） 因为AD DC =，所以四边形ADCE 为菱形，所以AE BE EC ==，所以AB AC ⊥．…………（3分） 因为平面PAC ⊥平面ABCD ，平面PAC 平面ABCD =AC ，AB ⊂平面ABCD所以AB ⊥平面P AC . ……………………………………………………………………（5分） 因为PC ⊂平面P AC ，所以AB PC ⊥. …………………………………………………………（7分） （2）由（1）可知AB ⊥平面P AC ，因为PA PC =，取AC 中点为O ，连PO ，所以PO ⊥AC .………………………………………（8分） 以OE 为x 轴，OC 为y 轴，OP 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则则()2,B，()C ，()1,0,0D -，()0,0,3P ，题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 DDCBABCAABDADABD所以()0,CP =，()2,BC =-，()DC = ．………………………………………（9分）设平面PBC 的法向量为()111,,m x y z = ． 由0,0,B CP m m C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得11110,2,30x z ++⎧=⎪⎨-=⎪⎩． 取11z =，得1y =13x =则()m =．………………（11分） 设平面PCD 的法向量为()222,,x n y z = ．由0,0,C DC n n P ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得22220,30.x z ⎧=⎪⎨=++⎪⎩ 取21z =，得2y =23x =-，则()n =-．………………………………………………（13分）所以5cos ,13m n m n m n⋅===-． 设平面BPC 与平面PCD 的夹角为θ，则5cos |cos ,|13m n θ== . 所以，平面BPC 与平面PCD 夹角的余弦值为513． ………………………………………………（15分） 17.（15分）解：（1）)0()12)(1(1)2(2)(>+-=--+='x xx ax x a ax x f ………………………………………（2分） ① 当0≤a 时，0>x ，012,01>+<-∴x ax ，()0f x '∴<.所以)(x f 在),0(+∞上单调递减，无单调递增区间； ……………………………………………（4分） ②当0>a 时，由0)(>'x f 得，a x 1>，所以)(x f 在),1(+∞a 上单调递增，在)1,0(a上单调递减.（6分） 综上，当0≤a 时，)(x f 在),0(+∞上单调递减，无单调递增区间；当0>a 时，)(x f 在),1(+∞a 上单调递增，在)1,0(a上单调递减. ………………………（7分） （2）由（1）知，当0≤a 时，)(x f 在),0(+∞上单调递减，所以)(x f 至多有1个零点，不满足， 所以0>a . …………………………………………………………………（8分） 此时)(x f 在),1(+∞a 上单调递增，在1,0(a上单调递减. 所以a aa f x f ln 11)1()(min ++-==. …………………………………………………………（9分） 当0→x 时，()f x →+∞；当+∞→x 时，与对数函数x y ln =相比，二次函数)0()2(2>-+=a x a ax y 增长快得多，从而+∞→)(x f . ……………………………………………………………………（11分）又因为)(x f 有两个零点，所以0)1(<a f ，即011ln <+-aa . …………………………（13分）令11ln )(+-=a a a g ，则011)(2>+='aa a g ，所以)(a g 在),0(+∞上单调递增，且0)1(=g ，所以0)(<a g 的解集为(0, 1).综上，实数a 的取值范围是(0, 1). ………………………………………………………（15分） 18.（17分）解：（1）因为||4||2ME MF ME PM EP EF +=+==>=，所以点M 的轨迹是以点,E F 为焦点的椭圆.……………………………………………………（2分）设2222:1(0)x y C a b a b+=>>，则24a =，即2a =. 由1c =知b ==……………………………………………………………………（4分）所以点M 的轨迹C 的方程为22143x y +=. ………………………………………………………（5分） （2）设1122(,),(,)A x y B x y ，则由OA AD =，得11(2,2)D x y .因为点A ，B 均在曲线C 上，所以22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 同向相乘得22222222121212211()116912x x y y x y x y +++=， 整理得：22121212211()()14312x x y y x y x y ++-=.……………（7分） 又因为121234OA OB y y k k x x ==-，所以1212043x x y y +=.……………（8分）所以33221||211221=⨯=-=∆y x y x S AOB .……………………………………………………（10分） 设BN BD = λ，则12122(1)2(1).N Nx x x y y y =+-⎧⎨=+-⎩，λλλλ…………………………………………………………（11分） 又因为点N 在曲线C 上，所以221212[2(1)][2(1)]143x x y y +-+-+=λλλλ，整理得：222222111212224()4(1)((1)(1434343x y x x y y x y ++-++-+=λλλλ. 又因为222211121222101434343x y x x y y x y +=+=+=，，，代入上式得：2520-=λλ.又因为0>λ，所以25=λ， …………………………………………………………………（15分）所以5325252===∆∆∆OAB DAB NAB S S S .…………………………………………………………（17分） N19.（17分） 解：（1）4局结束比赛时甲获胜，则在前2局甲乙各得一分，并且第3，4局甲胜.概率为2122121633381C ⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭； ……………………………………………………………………（2分）4局结束比赛时乙获胜，则在前2局甲乙各得一分，并且第3，4局乙胜.概率为212211433381C ⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭.所以，恰好4局结束比赛的概率16420818181+=．………………………………………………………（4分） （2）（i ）在甲在净胜2-局前提下，继续比赛一局：若甲赢，则甲的状态变为净胜1-局，继续比赛获胜的概率为1-P ； 若甲输，则甲的状态变为净胜3-局，比赛结束. 根据全概率公式，1232--=P P . ……………………………………………………………………（7分） 同理2013132--+=P P P ，1103132-+=P P P ，0213132P P P +=，123132P P +=， 联立上式解得980=P . 即甲获胜的概率为98. ……………………………………………………（10分） （ii ）在甲净胜2-局前提下，继续比赛一局：若甲赢，则甲的状态变为净胜1-局，继续比赛至结束，还需要)(1-X E 局，共进行了局1)(1+-X E ； 若甲输，则甲的状态变为净胜3-局，比赛结束，共进行了1局. 所以131]1)([32)(12⨯++=--X E X E ， …………………………………………………………（14分） 同理]1)([31]1)([32)(201+⨯++=--X E X E X E ， ]1)([31]1)([32)(110+⨯++=-X E X E X E ，]1)([31]1)([32)(021+⨯++=X E X E X E ，]1)([31132)(12+⨯+⨯=X E X E ，联立上式解得7)(0=X E . ……………………………………………………………………（17分）。

武汉市2023届高三年级五月模拟训练试题数学试卷参考答案及评分标准选择题：题号123456789101112答案CADDABBAABCABADBD填空题：13.3214.9415.是；216.63解答题：17.（10分）解：（1）当1n =时，1122a a a =，即22a =.当2n ≥时，112n n n S a a --=.所以112()n n n n a a a a +-=-.因为数列{}n a 中各项均不为零，即112n n a a +--=.所以数列{}n a 中奇数项是以1a 为首项，2为公差的等差数列；偶数项是以2a 为首项，2为公差的等差数列.当2n k =时，22(1)22k a a k k =+-⨯=，即n a n =；当21n k =-时，211(1)221k a a k k -=+-⨯=-，即n a n =.综上，数列{}n a 的通项公式为n a n=…………5分（2）由（1）知数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，即易知(1)2n n n S +=.因为2023k S ≤，所以(1)4046k k +≤，当63k ≤时，不等式恒成立；当64k =时，2023k S >.故正整数k 的最大值为63.…………10分18.（12分）解：（1）在ABC ∆中有1132AC AB AB BC BC CA ⋅=⋅=⋅.即11cos cos cos 32bc A ac B ab C ⋅=-⋅=-⋅.因为1cos cos 3bc A ac B ⋅=-⋅，由正弦定理可得1sin cos sin cos 3B A A B =-，即tan 3tan A B =-.同理3tan tan 2C B =.在ABC ∆中有tan tan tan tan()tan()tan tan 1B CA B C B C B C π+=--=-+=-.解得11tan 1,tan ,tan 32A B C =-==.由0A π<<，得：34A π=.…………6分（2）ABC ∆面积1sin 2S bc A =，代入3,24A b π==，整理得：22S =.由（1）知11tan ,tan 32B C ==，即105sin 105B C ==.ABC ∆中由正弦定理可得sin sin b cB C=，即2c =所以22222S ==.…………12分19.（12分）解：（1）PAB ∆中PA AB =，E 为PB 的中点，所以AE PB ⊥.在正方形ABCD 中，BC AB ⊥.因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，即PA ⊥BC .又因为PA AB A ⋂=，,PA AB ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB .AE ⊂平面PAB ，即AE BC ⊥，又因为AE PB ⊥，PB BC B ⋂=，,PB BC ⊂平面PBC .所以AE ⊥平面PBC ，AE ⊂平面AEF ，即平面AEF ⊥平面PBC .…………6分（2）因为PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，所以易知,,AB AD AP 两两垂直.以A 为原点，,,AB AD AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.有(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ，PB 中点(1,0,1)E ，设(2,,0),02F λλ≤≤.(0,2,2),(2,0,0),(1,0,1),(2,,0)PD DC AE AF λ=-===.设平面PCD 的法向量(,,)m x y z = ，由0m PD m DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22020y z x -=⎧⎨=⎩，取(0,1,1)m = .设平面AEF 的法向量(,,)n a b c = ，由0n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得020x z x y λ+=⎧⎨+=⎩，取(,2,)n λλ=-- .所以平面AEF 与平面PCD 的夹角的余弦值为2222cos ,22422m n λλλλ--+==⨯++ .令2,[2,4]t t λ+=∈，则22211cos ,641112462126()33t m n t t t tt ===-+-+-+，所以当113t=即3t =时，平面AEF 与平面PCD 的夹角的余弦值取得最大值32，此时平面AEF 与平面PCD 的夹角取得最小值6π.…………12分20.（12分）解：（1）补全22⨯列联表如下表：航天达人非航天达人合计男20626女101424合计302050零假设0:H 假设“航天达人”与性别无关.根据表中的数据计算得到2250(201460)30256.46430202624468χ⨯⨯-==≈⨯⨯⨯.查表可知0.0106.464 6.635χ<=.所以根据小概率值0.010α=的2χ独立性检验，没有充分证据推断0H 不成立，因此可以认为0H 成立，因此“航天达人”与性别无关.…………6分（2）在“航天达人”中按性别分层抽样抽取，男航天达人有206430⨯=（人），女航天达人有2人.X 所有可能取值为：0,1,2.则34361(0)5C P X C ===，2142363(1)5C C P X C ===，1242361(2)5C C P X C ===.所以X 的分布列如下：X 的数学期望为131()0121555E X =⨯+⨯+⨯=.…………12分21.（12分）解：（1）已知双曲线渐近线为b y x a =±，即12b a =.因为椭圆2C 的长轴长24a =，即2,1a b ==.所以双曲线1C 的方程为：2214x y -=.椭圆2C 的方程为：2214x y +=.…………4分（2）当直线1l 、2l 的斜率不存在时，不满足题意.故直线1l 的方程设为：y kx m =+，直线1l 过点(2,1)P ，即21k m +=.与双曲线方程联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得222(14)8440k x kmx m ----=.故22222140,6416(1)(14)0k k m m k -≠∆=++->.设1122(,),(,)A x y B x y ，有122814km x x k +=-，21224414m x x k --=-.设00(,)Q x y .0102010202012010*******()()()()()QA QB y y y y y kx m x x y kx m x x k k x x x x x x x x x x -----+---+=+=---++.化简得00001212020012122()()22()QA QB x y kx y m x x kx x mx k k x x x x x x -+-++-+=-++.代入韦达定理得：22200000222002(14)8()882(14)(14)844QA QB x y k km kx y m km k mx k k k k x kmx m --+-----+=----.将21k m +=代入其中消去m 化简得：X 012P1535152000000002220000(168)(488)22(16164)(168)8QA QB y x y k x y k x y x k k x x k x k x -+--+-+=--+-+-.由动直线12l l 、互不影响可知，要满足QA QB QM QN k k k k +++为定值，则QA QB k k +为定值，QM QN k k +为定值.因此要满足QA QB k k +为定值，则有：①若0001680y x y -=，200161640x x --=，计算得002,0x y ==.经检验满足(2,0)Q ，此时1QA QB k k +=.②若0001680y x y -≠，即000,2y x ≠≠，有0000000022000016848822161641688y x y x y x y x x x x x ----==----.无解.综上，当(2,0)Q ，1QA QB k k +=.下面只需验证当(2,0)Q 时，QM QN k k +是否为定值.设直线2l 方程为：y tx n =+，直线2l 过点(2,1)P ，即21t n +=.椭圆方程联立2214y tx nx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(14)8440t x tnx n +++-=.故0∆>.设3344(,),(,)M x y N x y ，有342814tn x x t -+=+，23424414n x x t -=+.334434343434()(2)()(2)2242()QM QN y tx n x tx n x y k k x x x x x x +-++-+=+=--+-+.化简得343434342(2)()442()QM QN tx x n t x x nk k x x x x +-+-+=+-+.代入韦达定理化简可得：228441616QM QN t n k k n t tn--+=++.将21t n +=代入其中可得：1QM QN k k +=-.所以当(2,0)Q ，1QA QB k k +=，1QM QN k k +=-，0QA QB QM QN k k k k +++=.所以点Q 坐标为(2,0).…………12分22.（12分）解：（1）若0b c ==，即()ln (0)f x ax x x =->.11()ax f x a x x-'=-=.①若0a ≤，则()0f x '<，即()f x 在),0(+∞单调递减；②若0a >，令0)(>'x f 有a x 1>,即()f x 在1(0,a 上单调递减，1()a+∞，上单调递增.综上有，当0a ≤，()f x 在),0(+∞单调递减.当0a >，()f x 在1(0,)a 上单调递减，1()a+∞上单调递增.…………4分（2）由题意知：已知12,x x 是()f x 的两个零点，12x x <.即111ln 0b ax c x x ++-=，222ln 0bax c x x ++-=.所以12211211()()ln ln 0a x x b x x x x -+-+-=，即21121221ln ln x x b ax x x x x x -=-⋅-.要证：2112(1)(1)x ax b x ax -<<-.只需证：122121ax x x b ax x x -<<-.即证：21212121ln ln x x x x x x x x --<-<--.即证：1222111ln 1x x x x x x -<<-，令211xt x =>.即证：11ln 1t t t-<<-.令1()ln 1(1)p t t t t =-+>，有22111()0t p t t t t-'=-=>.即()p t 在(1,)+∞上单调递增，则()(1)0p t p >=，即1ln 1t t>-.设()ln 1(1)q t t t t =-+>，有1()10q t t'=-<.所以()q t 在(1,)+∞上单调递减，则()(1)0q t q <=，即ln 1t t <-综上可得：2112(1)(1)x ax b x ax -<<-.…………12分。