2020年湖北省武汉市中考数学试卷(附详解)

2020年湖北省武汉市中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）温度由﹣4℃上升7℃是（）A．3℃B．﹣3℃C．11℃D．﹣11℃2．（3分）若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（）A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x=﹣2 D．x≠﹣23．（3分）计算3x2﹣x2的结果是（）A．2 B．2x2C．2x D．4x24．（3分）五名女生的体重（单位：kg）分别为：37、40、38、42、42，这组数据的众数和中位数分别是（）A．2、40 B．42、38 C．40、42 D．42、405．（3分）计算（a﹣2）（a+3）的结果是（）A．a2﹣6 B．a2+a﹣6 C．a2+6 D．a2﹣a+66．（3分）点A（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（2，5） B．（﹣2，5）C．（﹣2，﹣5）D．（﹣5，2）7．（3分）一个几何体由若干个相同的正方体组成，其主视图和俯视图如图所示，则这个几何体中正方体的个数最多是（）A．3 B．4 C．5 D．68．（3分）一个不透明的袋中有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字1、2、3、4．随机抽取一张卡片，然后放回，再随机抽取一张卡片，则两次抽取的卡片上数字之积为偶数的概率是（）A．B．C．D．9．（3分）将正整数1至2020按一定规律排列如下表：平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（）A．2020 B．2020 C．2020 D．201310．（3分）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB=4，则BC的长是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）计算的结果是12．（3分）下表记录了某种幼树在一定条件下移植成活情况移植总数n400150035007000900014000成活数m325133632036335807312628成活的频率（精确到0.01）0.8130.8910.9150.9050.8970.902由此估计这种幼树在此条件下移植成活的概率约是（精确到0.1）13．（3分）计算﹣的结果是．14．（3分）以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是．15．（3分）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y=60t﹣．在飞机着陆滑行中，最后4s滑行的距离是m．16．（3分）如图．在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）解方程组：18．（8分）如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF与DE交于点G，求证：GE=GF．19．（8分）某校七年级共有500名学生，在“世界读书日”前夕，开展了“阅读助我成长”的读书活动．为了解该年级学生在此次活动中课外阅读情况，童威随机抽取m名学生，调查他们课外阅读书籍的数量，将收集的数据整理成如下统计表和扇形图．学生读书数量统计表阅读量/本学生人数1152a3b45（1）直接写出m、a、b的值；（2）估计该年级全体学生在这次活动中课外阅读书籍的总量大约是多少本？20．（8分）用1块A型钢板可制成2块C型钢板和1块D型钢板；用1块B型钢板可制成1块C型钢板和3块D型钢板．现准备购买A、B型钢板共100块，并全部加工成C、D型钢板．要求C型钢板不少于120块，D型钢板不少于250块，设购买A型钢板x块（x为整数）（1）求A、B型钢板的购买方案共有多少种？（2）出售C型钢板每块利润为100元，D型钢板每块利润为120元．若童威将C、D型钢板全部出售，请你设计获利最大的购买方案．21．（8分）如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB、PC，PC交AB于点E，且PA=PB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若∠APC=3∠BPC，求的值．22．（10分）已知点A（a，m）在双曲线y=上且m＜0，过点A作x轴的垂线，垂足为B．（1）如图1，当a=﹣2时，P（t，0）是x轴上的动点，将点B绕点P顺时针旋转90°至点C，①若t=1，直接写出点C的坐标；②若双曲线y=经过点C，求t的值．（2）如图2，将图1中的双曲线y=（x＞0）沿y轴折叠得到双曲线y=﹣（x＜0），将线段OA绕点O旋转，点A刚好落在双曲线y=﹣（x＜0）上的点D（d，n）处，求m和n的数量关系．23．（10分）在△ABC中，∠ABC=90°．（1）如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，求证：△ABM∽△BCN；（2）如图2，P是边BC上一点，∠BAP=∠C，tan∠PAC=，求tanC的值；（3）如图3，D是边CA延长线上一点，AE=AB，∠DEB=90°，sin∠BAC=，，直接写出tan∠CEB的值．24．（12分）抛物线L：y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），与它的对称轴直线x=1交于点B．（1）直接写出抛物线L的解析式；（2）如图1，过定点的直线y=kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求k的值；（3）如图2，将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D．F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．2020年湖北省武汉市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）温度由﹣4℃上升7℃是（）A．3℃B．﹣3℃C．11℃D．﹣11℃【分析】根据题意列出算式，再利用加法法则计算可得．【解答】解：温度由﹣4℃上升7℃是﹣4+7=3℃，故选：A．【点评】本题主要考查有理数的加法，解题的关键是熟练掌握有理数的加法法则．2．（3分）若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（）A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x=﹣2 D．x≠﹣2【分析】直接利用分式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：∵代数式在实数范围内有意义，∴x+2≠0，解得：x≠﹣2．故选：D．【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．3．（3分）计算3x2﹣x2的结果是（）A．2 B．2x2C．2x D．4x2【分析】根据合并同类项解答即可．【解答】解：3x2﹣x2=2x2，故选：B．【点评】此题考查合并同类项，关键是根据合并同类项的法则解答．4．（3分）五名女生的体重（单位：kg）分别为：37、40、38、42、42，这组数据的众数和中位数分别是（）A．2、40 B．42、38 C．40、42 D．42、40【分析】根据众数和中位数的定义求解．【解答】解：这组数据的众数和中位数分别42，38．故选：B．【点评】本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了中位数．5．（3分）计算（a﹣2）（a+3）的结果是（）A．a2﹣6 B．a2+a﹣6 C．a2+6 D．a2﹣a+6【分析】根据多项式的乘法解答即可．【解答】解：（a﹣2）（a+3）=a2+a﹣6，故选：B．【点评】此题考查多项式的乘法，关键是根据多项式乘法的法则解答．6．（3分）点A（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（2，5） B．（﹣2，5）C．（﹣2，﹣5）D．（﹣5，2）【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．【解答】解：点A（2，﹣5）关于x轴的对称点B的坐标为（2，5）．故选：A．【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．7．（3分）一个几何体由若干个相同的正方体组成，其主视图和俯视图如图所示，则这个几何体中正方体的个数最多是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由主视图可得第二层立方体的可能的个数，相加即可．【解答】解：结合主视图和俯视图可知，左边上层最多有2个，左边下层最多有2个，右边只有一层，且只有1个．所以图中的小正方体最多5块．故选：C．【点评】此题主要考查了由三视图判断几何体，考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．8．（3分）一个不透明的袋中有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字1、2、3、4．随机抽取一张卡片，然后放回，再随机抽取一张卡片，则两次抽取的卡片上数字之积为偶数的概率是（）A．B．C．D．【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出两次抽取的卡片上数字之积为偶数的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中两次抽取的卡片上数字之积为偶数的结果数为12，所以两次抽取的卡片上数字之积为偶数的概率==．故选：C．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．9．（3分）将正整数1至2020按一定规律排列如下表：平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（）A．2020 B．2020 C．2020 D．2013【分析】设中间数为x，则另外两个数分别为x﹣1、x+1，进而可得出三个数之和为3x，令其分别等于四个选项中数，解之即可得出x的值，由x为整数、x不能为第一列及第八列数，即可确定x值，此题得解．【解答】解：设中间数为x，则另外两个数分别为x﹣1、x+1，∴三个数之和为（x﹣1）+x+（x+1）=3x．根据题意得：3x=2020、3x=2020、3x=2020、3x=2013，解得：x=673，x=672（舍去），x=672，x=671．∵673=84×8+1，∴2020不合题意，舍去；∵672=84×8，∴2020不合题意，舍去；∵671=83×7+7，∴三个数之和为2013．故选：D．【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型中数字的变化类，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．10．（3分）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB=4，则BC的长是（）A．B．C．D．【分析】连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，利用垂径定理得到OD⊥AB，则AD=BD=AB=2，于是根据勾股定理可计算出OD=1，再利用折叠的性质可判断弧AC和弧CD所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到=，所以AC=DC，利用等腰三角形的性质得AE=DE=1，接着证明四边形ODEF 为正方形得到OF=EF=1，然后计算出CF后得到CE=BE=3，于是得到BC=3．【解答】解：连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，∵D为AB的中点，∴OD⊥AB，∴AD=BD=AB=2，在Rt△OBD中，OD==1，∵将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．∴弧AC和弧CD所在的圆为等圆，∴=，∴AC=DC，∴AE=DE=1，易得四边形ODEF为正方形，∴OF=EF=1，在Rt△OCF中，CF==2，∴CE=CF+EF=2+1=3，而BE=BD+DE=2+1=3，∴BC=3．故选：B．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和垂径定理．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）计算的结果是【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式=+﹣=故答案为：【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．12．（3分）下表记录了某种幼树在一定条件下移植成活情况移植总数n400150035007000900014000成活数m325133632036335807312628成活的频率（精确到0.01）0.8130.8910.9150.9050.8970.902由此估计这种幼树在此条件下移植成活的概率约是0.9（精确到0.1）【分析】概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率．【解答】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率∴这种幼树移植成活率的概率约为0.9．故答案为：0.9．【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．13．（3分）计算﹣的结果是．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式=+=故答案为：【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．14．（3分）以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是30°或150°．【分析】分等边△ADE在正方形的内部和外部两种情况分别求解可得．【解答】解：如图1，∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，∴AB=BC=CD=AD=AE=DE，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，∠AED=∠ADE=∠DAE=60°，∴∠BAE=∠CDE=150°，又AB=AE，DC=DE，∴∠AEB=∠CED=15°，则∠BEC=∠AED﹣∠AEB﹣∠CED=30°．如图2，∵△ADE是等边三角形，∴AD=DE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∴DE=DC，∴∠CED=∠ECD，∴∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣60°=30°，∴∠CED=∠ECD=（180°﹣30°）=75°，∴∠BEC=360°﹣75°×2﹣60°=150°．故答案为：30°或150°．【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．15．（3分）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y=60t﹣．在飞机着陆滑行中，最后4s滑行的距离是216m．【分析】求出t=4时的函数值即可；【解答】解：t=4时，y=60×4﹣×42=240﹣24=216m，故答案为216．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，属于中考基础题．16．（3分）如图．在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是．【分析】延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，根据题意得到ME=EB，根据三角形中位线定理得到DE=AM，根据等腰三角形的性质求出∠ACN，根据正弦的概念求出AN，计算即可．【解答】解：延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，∵DE平分△ABC的周长，∴ME=EB，又AD=DB，∴DE=AM，DE∥AM，∵∠ACB=60°，∴∠ACM=120°，∵CM=CA，∴∠ACN=60°，AN=MN，∴AN=AC•sin∠ACN=，∴AM=，∴DE=，故答案为：．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、解直角三角形，掌握三角形中位线定理、正确作出辅助性是解题的关键．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）解方程组：【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：，②﹣①得：x=6，把x=6代入①得：y=4，则方程组的解为．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．18．（8分）如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF与DE交于点G，求证：GE=GF．【分析】求出BF=CE，根据SAS推出△ABF≌△DCE，得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结论．【解答】证明：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，∴BF=CE，在△ABF和△DCE中∴△ABF≌△DCE（SAS），∴∠GEF=∠GFE，∴EG=FG．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．19．（8分）某校七年级共有500名学生，在“世界读书日”前夕，开展了“阅读助我成长”的读书活动．为了解该年级学生在此次活动中课外阅读情况，童威随机抽取m名学生，调查他们课外阅读书籍的数量，将收集的数据整理成如下统计表和扇形图．学生读书数量统计表阅读量/本学生人数1152a3b45（1）直接写出m、a、b的值；（2）估计该年级全体学生在这次活动中课外阅读书籍的总量大约是多少本？【分析】（1）根据题意和统计图中的数据可以求得m、a、b 的值；（2）根据统计图中的数据可以求得该年级全体学生在这次活动中课外阅读书籍的总量大约是多少本．【解答】解：（1）由题意可得，m=15÷30%=50，b=50×40%=20，a=50﹣15﹣20﹣5=10，即m的值是50，a的值是10，b的值是20；（2）（1×15+2×10+3×20+4×5）×=1150（本），答：该年级全体学生在这次活动中课外阅读书籍的总量大约是1150本．【点评】本题考查扇形统计图、用样本估计总体、统计表，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．20．（8分）用1块A型钢板可制成2块C型钢板和1块D型钢板；用1块B型钢板可制成1块C型钢板和3块D型钢板．现准备购买A、B型钢板共100块，并全部加工成C、D型钢板．要求C型钢板不少于120块，D型钢板不少于250块，设购买A型钢板x块（x为整数）（1）求A、B型钢板的购买方案共有多少种？（2）出售C型钢板每块利润为100元，D型钢板每块利润为120元．若童威将C、D型钢板全部出售，请你设计获利最大的购买方案．【分析】（1）根据“C型钢板不少于120块，D型钢板不少于250块”建立不等式组，即可得出结论；（2）先建立总利润和x的关系，即可得出结论．【解答】解：设购买A型钢板x块，则购买B型钢板（100﹣x）块，根据题意得，，解得，20≤x≤25，∵x为整数，∴x=20，21，22，23，24，25共6种方案，即：A、B型钢板的购买方案共有6种；（2）设总利润为w，根据题意得，w=100（2x+100﹣x）+120（x+300﹣3x）=100x+10000﹣240x+36000=﹣14x+46000，∵﹣14＜0，∴当x=20时，w max=﹣14×20+46000=45740元，即：购买A型钢板20块，B型钢板80块时，获得的利润最大．【点评】此题主要考查了二元一次不等式组的应用，一次函数的性质，根据题意得出正确的等量关系是解题关键．21．（8分）如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB、PC，PC交AB于点E，且PA=PB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若∠APC=3∠BPC，求的值．【分析】（1）想办法证明△PAO≌△PBO．可得∠PAO=∠PBO=90°；（2）首先证明BC=2OK，设OK=a，则BC=2a，再证明BC=PB=PA=2a，由△PAK∽△POA，可得PA2=PK•PO，设PK=x，则有：x2+ax﹣4a2=0，解得x=a（负根已经舍弃），推出PK=a，由PK∥BC，可得==；【解答】（1）证明：连接OP、OB．∵PA是⊙O的切线，∴PA⊥OA，∴∠PAO=90°，∵PA=PB，PO=PO，OA=OB，∴△PAO≌△PBO．∴∠PAO=∠PBO=90°，∴PB⊥OB，∴PB是⊙O的切线．（2）设OP交AB于K．∵AB是直径，∴∠ABC=90°，∴AB⊥BC，∵PA、PB都是切线，∴PA=PB，∠APO=∠BPO，∵OA=OB，∴OP垂直平分线段AB，∴OK∥BC，∵AO=OC，∴AK=BK，∴BC=2OK，设OK=a，则BC=2a，∵∠APC=3∠BPC，∠APO=∠OPB，∴∠OPC=∠BPC=∠PCB，∴BC=PB=PA=2a，∵△PAK∽△POA，∴PA2=PK•PO，设PK=x，则有：x2+ax﹣4a2=0，解得x=a（负根已经舍弃），∴PK=a，∵PK∥BC，∴==．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．22．（10分）已知点A（a，m）在双曲线y=上且m＜0，过点A作x轴的垂线，垂足为B．（1）如图1，当a=﹣2时，P（t，0）是x轴上的动点，将点B绕点P顺时针旋转90°至点C，①若t=1，直接写出点C的坐标；②若双曲线y=经过点C，求t的值．（2）如图2，将图1中的双曲线y=（x＞0）沿y轴折叠得到双曲线y=﹣（x ＜0），将线段OA绕点O旋转，点A刚好落在双曲线y=﹣（x＜0）上的点D（d，n）处，求m和n的数量关系．【分析】（1）①如图1﹣1中，求出PB、PC的长即可解决问题；②图1﹣2中，由题意C（t，t+2），理由待定系数法，把问题转化为方程解决即可；（2）分两种情形①当点A与点D关于x轴对称时，A（a，m），D（d，n），可得m+n=0．②当点A绕点O旋转90°时，得到D′，D′在y=﹣上，作D′H⊥y轴，则△ABO ≌△D′HO，推出OB=OH，AB=D′H，由A（a，m），推出D′（m，﹣a），即D′（m，n），由D′在y=﹣上，可得mn=﹣8；【解答】解：（1）①如图1﹣1中，由题意：B（﹣2，0），P（1，0），PB=PC=3，∴C（1，3）．②图1﹣2中，由题意C（t，t+2），∵点C在y=上，∴t（t+2）=8，∴t=﹣4 或2，（2）如图2中，①当点A与点D关于x轴对称时，A（a，m），D（d，n），∴m+n=0．②当点A绕点O旋转90°时，得到D′，D′在y=﹣上，作D′H⊥y轴，则△ABO≌△D′HO，∴OB=OH，AB=D′H，∵A（a，m），∴D′（m，﹣a），即D′（m，n），∵D′在y=﹣上，∴mn=﹣8，综上所述，满足条件的m、n的关系是m+n=0或mn=﹣8．【点评】本题考查反比例函数综合题、旋转变换、待定系数法、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．23．（10分）在△ABC中，∠ABC=90°．（1）如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，求证：△ABM∽△BCN；（2）如图2，P是边BC上一点，∠BAP=∠C，tan∠PAC=，求tanC的值；（3）如图3，D是边CA延长线上一点，AE=AB，∠DEB=90°，sin∠BAC=，，直接写出tan∠CEB的值．【分析】（1）利用同角的余角相等判断出∠BAM=∠CBN，即可得出结论；（2）先判断出△ABP∽△PQF，得出=，再判断出△ABP∽△CQF，得出CQ=2a，进而建立方程用b表示出a，即可得出结论；（3）先判断出=，再同（2）的方法，即可得出结论．【解答】解：（1）∵AM⊥MN，CN⊥MN，∴∠AMB=∠BNC=90°，∴∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABC=90°，∴∠ABM+∠CBN=90°，∴∠BAM=∠CBN，∵∠AMB=∠NBC，∴△ABM∽△BCN；（2）如图2，过点P作PF⊥AP交AC于F，在Rt△AFP中，tan∠PAC===，同（1）的方法得，△ABP∽△PQF，∴=，设AB=a，PQ=2a，BP=b，FQ=2b（a＞0，b＞0），∵∠BAP=∠C，∠B=∠CQF=90°，∴△ABP∽△CQF，∴，∴CQ==2a，∵BC=BP+PQ+CQ=b+2a+2a=4a+b∵∠BAP=∠C，∠B=∠B=90°，∴△ABP∽△CBA，∴=，∴BC===，∴4a+b=，a=b，∴BC=4×b+b=b，AB=a=b，在Rt△ABC中，tanC==；（3）在Rt△ABC中，sin∠BAC==，过点A作AG⊥BE于G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H，∵∠DEB=90°，∴CH∥AG∥DE，∴=同（1）的方法得，△ABG∽△BCH∴，设BG=4m，CH=3m，AG=4n，BH=3n，∵AB=AE，AG⊥BE，∴EG=BG=4m，∴GH=BG+BH=4m+3n，∴，∴n=2m，∴EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m，在Rt△CEH中，tan∠BEC==．【点评】此题是相似形综合题，主要考查了同角的余角相等，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，平行线分线段成比例定理，构造图1是解本题的关键．24．（12分）抛物线L：y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），与它的对称轴直线x=1交于点B．（1）直接写出抛物线L的解析式；（2）如图1，过定点的直线y=kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求k的值；（3）如图2，将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D．F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．【分析】（1）根据对称轴为直线x=1且抛物线过点A （0，1）求解可得； （2）根据直线y=kx ﹣k +4=k （x ﹣1）+4知直线所过定点G 坐标为（1，4），从而得出BG=2，由S △BMN =S △BNG ﹣S △BMG =BG•x N ﹣BG•x M =1得出x N ﹣x M =1，联立直线和抛物线解析式求得x=，根据x N ﹣x M =1列出关于k 的方程，解之可得；（3）设抛物线L 1的解析式为y=﹣x 2+2x +1+m ，知C （0，1+m ）、D （2，1+m ）、F （1，0），再设P （0，t ），分△PCD ∽△POF 和△PCD ∽△POF 两种情况，由对应边成比例得出关于t 与m 的方程，利用符合条件的点P 恰有2个，结合方程的解的情况求解可得． 【解答】解：（1）由题意知，解得：b=2、c=1，∴抛物线L 的解析式为y=﹣x 2+2x +1；（2）如图1，∵y=kx ﹣k +4=k （x ﹣1）+4，∴当x=1时，y=4，即该直线所过定点G 坐标为（1，4）， ∵y=﹣x 2+2x +1=﹣（x ﹣1）2+2， ∴点B （1，2）， 则BG=2，∵S △BMN =1，即S △BNG ﹣S △BMG =BG•x N ﹣BG•x M =1， ∴x N ﹣x M =1， 由得x 2+（k ﹣2）x ﹣k +3=0，解得：x==，则x N =、x M =，由x N ﹣x M =1得=1，∴k=±3， ∵k ＜0， ∴k=﹣3；（3）如图2，设抛物线L1的解析式为y=﹣x2+2x+1+m，∴C（0，1+m）、D（2，1+m）、F（1，0），设P（0，t），①当△PCD∽△FOP时，=，∴=，∴t2﹣（1+m）t+2=0；②当△PCD∽△POF时，=，∴=，∴t=（m+1）；（Ⅰ）当方程①有两个相等实数根时，△=（1+m）2﹣8=0，解得：m=2﹣1（负值舍去），此时方程①有两个相等实数根t1=t2=，方程②有一个实数根t=，∴m=2﹣1，此时点P的坐标为（0，）和（0，）；（Ⅱ）当方程①有两个不相等的实数根时，把②代入①，得：（m+1）2﹣（m+1）+2=0，解得：m=2（负值舍去），此时，方程①有两个不相等的实数根t1=1、t2=2，方程①有一个实数根t=1，∴m=2，此时点P的坐标为（0，1）和（0，2）；综上，当m=2﹣1时，点P的坐标为（0，）和（0，）；当m=2时，点P的坐标为（0，1）和（0，2）．【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、利用割补法求三角形的面积建立关于k的方程及相似三角形的判定与性质等知识点．。

湖北省武汉市2020年中考数学真题一、选择题1.2-的相反数是（ ） A. 2- B. 2C.12D. 12-【答案】B 【解析】 分析】根据相反数的性质可得结果.【详解】因为-2+2=0，所以﹣2相反数是2， 故选B ．【点睛】本题考查求相反数，熟记相反数的性质是解题的关键 .2.x 的取值范围是（ ） A. 0x ≥ B. 2x ≥-C. 2x ≤D. 2x ≥【答案】D 【解析】 【分析】由二次根式有意义的条件列不等式可得答案．20,x ∴-≥2.x ∴≥故选D ．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． 3.两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是（ ） A. 两个小球的标号之和等于1 B. 两个小球的标号之和等于6 C. 两个小球的标号之和大于1 D. 两个小球的标号之和大于6【答案】B 【解析】 【分析】随机事件是指在某个条件下有可能发生有可能不会发生的事件，根据此定义即可求解．【详解】解：从两个口袋中各摸一个球，其标号之和最大为6，最小为2，选项A：“两个小球的标号之和等于1”为不可能事件，故选项A错误；选项B：“两个小球的标号之和等于6”为随机事件，故选项B正确；选项C：“两个小球的标号之和大于1”为必然事件，故选项C错误；选项D：“两个小球的标号之和大于6”为不可能事件，故选项D错误．故选：B．【点睛】本题考查了随机事件、不可能事件、必然事件的概念，熟练掌握各事件的定义是解决本题的关键．4.现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也只有对称性，下列汉字是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形的定义“在平面内，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形”逐项判断即可得．【详解】A、不是轴对称图形，此项不符题意B、不是轴对称图形，此项不符题意C、是轴对称图形，此项符合题意D、不是轴对称图形，此项不符题意故选：C．【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，熟记定义是解题关键．5.下图是由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】根据左视图的定义即可求解． 【详解】根据图形可知左视图为故选A ．【点睛】此题主要考查三视图，解题的关键是熟知左视图的定义．6.某班从甲、乙、丙、丁四位选中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选手概率是（ ） A.13B.14C.16D.18【答案】C 【解析】 【分析】画出树状图展示所有12种等可能的结果数，再根据概率公式即可求解． 【详解】画树状图为：∴P （选中甲、乙两位）=21126= 故选C ．【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率． 7.若点()11,A a y -，()21,B a y +在反比例函数(0)ky k x=<的图象上，且12y y >，则a 的取值范围是（ ） A. 1a <- B. 11a -<<C. 1a >D. 1a <-或1a >【答案】B 【解析】 【分析】 由反比例函数(0)ky k x=<，可知图象经过第二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，由此分三种情况①若点A 、点B 在同在第二或第四象限；②若点A 在第二象限且点B 在第四象限；③若点A在第四象限且点B 在第二象限讨论即可． 【详解】解：∵反比例函数(0)ky k x=<， ∴图象经过第二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大， ①若点A 、点B 同在第二或第四象限， ∵12y y >， ∴a-1＞a+1， 此不等式无解；②若点A 在第二象限且点B 在第四象限， ∵12y y >， ∴1010a a -⎧⎨+⎩＜＞，解得：11a -<<；③由y 1＞y 2，可知点A 在第四象限且点B 在第二象限这种情况不可能． 综上，a 的取值范围是11a -<<． 故选：B ．【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键，注意要分情况讨论，不要遗漏．8.一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水和出水是两个常数．从某时刻开始4min 内只进水不出水，从第4min 到第24min 内既进水又出水，从第24min 开始只出水不进水，容器内水量y （单位：L ）与时间x （单位：min ）之间的关系如图所示，则图中a 的值是（ ）A. 32B. 34C. 36D. 38【答案】C 【解析】 【分析】设每分钟的进水量为bL ，出水量为cL ，先根据函数图象分别求出b 、c 的值，再求出24x =时，y 的值，然后根据每分钟的出水量列出等式求解即可．【详解】设每分钟的进水量为bL ，出水量为cL 由第一段函数图象可知，205()4b L == 由第二段函数图象可知，20(164)(164)35b c +---= 即201251235c +⨯-= 解得15()4c L =则当24x =时，1520(244)5(244)454y =+-⨯--⨯= 因此，45452412154a c-=== 解得36(min)a = 故选：C ．【点睛】本题考查了函数图象的应用，理解题意，从函数图象中正确获取信息，从而求出每分钟的进水量和出水量是解题关键．9.如图，在半径为3的⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，D 是AC 的中点，AC 与BD 交于点E ．若E 是BD 的中点，则AC 的长是（ ）B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】连接DO 、DA 、DC ，设DO 与AC 交于点H ，证明△DHE ≌△BCE ，得到DH=CB ，同时OH 是三角形ABC 中位线，设OH=x ，则BC=2x=DH ，故半径DO=3x ，解出x ，最后在Rt △ACB 中由勾股定理即可求解．【详解】解：连接DO 、DA 、DC 、OC ，设DO 与AC 交于点H ，如下图所示，∵D是AC的中点，∴DA=DC，∴D在线段AC的垂直平分线上，∵OC=OA，∴O在线段AC的垂直平分线上，∴DO⊥AC，∠DHC=90°，∵AB是圆的直径，∴∠BCA=90°，∵E是BD的中点，∴DE=BE，且∠DEH=∠BEC，∴△DHE≌△BCE(AAS)，∴DH=BC，又O是AB中点，H是AC中点，∴HO是△ABC的中位线，设OH=x，则BC=DH=2x，∴OD=3x=3，∴x=1，即BC=2x=2，在Rt△ABC中，==AC故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形全等、勾股定理等，属于综合题，熟练掌握其性质和定理是解决此题的关键10.下列图中所有小正方形都是全等的．图（1）是一张由4个小正方形组成的“L”形纸片，图（2）是一张⨯方格纸片．把“L”形纸片放置在图（2）中，使它恰好盖住其中的4个小正方由6个小正方形组成的32⨯方格纸片，将“L”形，共有如图（3）中的4种不同放置方法，图（4）是一张由36个小正方形组成的66形纸片放置在图（4）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有n种不同放置方法，则n的值是（）A. 160B. 128C. 80D. 48【答案】A【解析】【分析】先计算出66⨯方格纸片中共含有多少个32⨯方格纸片，再乘以4即可得．【详解】由图可知，在66⨯方格纸片中，32⨯方格纸片个数为54240⨯⨯=（个）则404160n=⨯=故选：A．【点睛】本题考查了图形类规律探索，正确得出在66⨯方格纸片中，32⨯方格纸片的个数是解题关键．二、填空题11._______.【答案】3【解析】【分析】根据二次根式的性质进行求解即可.=3-=3，故答案为3.a=是解题的关键.12.热爱劳动，劳动最美！某合作学习小组6名同学一周居家劳动的时间（单位：h），分别为：4，3，3，5，5，6．这组数据的中位数是________．【答案】4.5【解析】【分析】根据中位数的定义即可得．【详解】将这组数据按从小到大进行排序为3,3,4,5,5,6 则这组数据的中位数是454.52+= 故答案为：4.5．【点睛】本题考查了中位数的定义，熟记定义是解题关键．13.计算2223m nm n m n --+-的结果是________． 【答案】1m n- 【解析】 【分析】根据分式的减法法则进行计算即可． 【详解】原式2()3()()()()m n m nm n m n m n m n ---+=+--223()()m n m nm n m n --=++-()()m nm n m n =++-1m n=- 故答案为：1m n-． 【点睛】本题考查了分式的减法运算，熟记运算法则是解题关键．14.在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC 是平行四边形ABCD 的对角线，点E 在AC 上，AD AE BE ==，102D ︒∠=，则BAC ∠的大小是________．【答案】26°． 【解析】 【分析】设∠BAC=x ，然后结合平行四边形的性质和已知条件用x 表示出∠EBA 、∠BEC 、 ∠BCE 、 ∠BEC 、 ∠DCA 、∠DCB ，最后根据两直线平行同旁内角互补，列方程求出x 即可．【详解】解：设∠BAC=x ∵平行四边形ABCD 的对角线 ∴DC//AB,AD=BC,AD//BC ∴∠DCA=∠BAC=x ∵AE=BE∴∠EBA =∠BAC=x ∴∠BEC =2x ∵AD AE BE == ∴BE=BC∴∠BCE=∠BEC =2x ∴∠DCB=∠BCE+∠DCA=3x ∵AD//BC ，102D ︒∠=∴∠D+∠DCB=180°，即102°+3x=180°，解得x=26°． 故答案为26°．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质，运用平行四边形结合已知条件判定等腰三角形和掌握方程思想是解答本题的关键．15.抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a <）经过(2,0)A ，(4,0)B -两点，下列四个结论： ①一元二次方程20ax bx c ++=的根为12x =，24x =-； ②若点()15,C y -，()2,D y π在该抛物线上，则12y y <； ③对于任意实数t ，总有2at bt a b +≤-；④对于a 的每一个确定值，若一元二次方程2ax bx c p ++=（p 为常数，0p >）的根为整数，则p 的值只有两个．其中正确的结论是________（填写序号）． 【答案】①③ 【解析】 【分析】①根据二次函数与一元二次方程的联系即可得；②先点(2,0)A ，(4,0)B -得出二次函数的对称轴，再根据二次函数的对称性与增减性即可得；③先求出二次函数的顶点坐标，再根据二次函数图象的平移规律即可得；④先将抛物线2y ax bx c =++向下平移p 个单位长度得到的二次函数解析式为2y ax bx c p =++-，再根据二次函数与一元二次方程的联系即可得．【详解】抛物线2y ax bx c =++经过(2,0)A ，(4,0)B -两点∴一元二次方程20ax bx c ++=的根为12x =，24x =-，则结论①正确抛物线的对称轴为4212x -+==- ∴3x =时的函数值与5x =-时的函数值相等，即为1y 0a <∴当1x ≥-时，y 随x 的增大而减小又13π-<<12y y ∴>，则结论②错误当1x =-时，y a b c =-+则抛物线的顶点的纵坐标为a b c -+，且0a b c -+>将抛物线2y ax bx c =++向下平移a b c -+个单位长度得到的二次函数解析式为22()y ax bx c a b c ax bx a b =++--+=+-+由二次函数图象特征可知，2y ax bx a b =+-+的图象位于x 轴的下方，顶点恰好在x 轴上 即0y ≤恒成立则对于任意实数t ，总有20at bt a b +-+≤，即2at bt a b +≤-，结论③正确将抛物线2y ax bx c =++向下平移p 个单位长度得到的二次函数解析式为2y ax bx c p =++- 函数2y ax bx c p =++-对应的一元二次方程为20ax bx c p ++-=，即2ax bx c p ++=因此，若一元二次方程2ax bx c p ++=的根为整数，则其根只能是121,3x x ==-或120,2x x ==-或121x x ==-对应的p 的值只有三个，则结论④错误 综上，结论正确的是①③ 故答案为：①③．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、增减性）、二次函数图象的平移问题、二次函数与一元二次方程的联系等知识点，熟练掌握并灵活运用二次函数的图象与性质是解题关键．16.如图，折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在AB 边的点M 处，EF 为折痕，1AB =，2AD =．设AM 的长为t ，用含有t 的式子表示四边形CDEF 的面积是________．【答案】211144t t -+ 【解析】 【分析】首先根据题意可以设DE =EM =x ，在三角形AEM 中用勾股定理进一步可以用t 表示出x ，再可以设CF =y ，连接MF ，所以BF =2−y ，在三角形MFN 与三角形MFB 中利用共用斜边，根据勾股定理可求出用t 表示出y ，进而根据四边形的面积公式可以求出答案. 【详解】设DE =EM =x ， ∴222(2)x x t =-+，∴x =244t + ，设CF =y ，连接FM ，∴BF =2−y ， 又∵FN = y ，NM =1，∴22221(2)(1)y y t +=-+-，∴y =2244t t -+，∴四边形CDEF 的面积为：1()2x y CD +=221424()244t t t +-++∙1，故答案为：211144t t -+. 【点睛】本题主要考查了勾股定理的综合运用，熟练掌握技巧性就可得出答案.三、解答题17.计算：()235423a a a a ⎡⎤⋅+÷⎢⎥⎣⎦．【答案】610a 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘、乘积的幂、幂的乘方、同底数幂相除运算法则逐步求解即可． 【详解】解：原式35829()+÷+=a a a8829)(+÷=a a a8210=÷a a 610=a ．【点睛】本题考查了整式的乘除中幂的运算法则，熟练掌握公式及其运算法则是解决此类题的关键． 18.如图，直线EF 分别与直线AB ，CD 交于点E ，F ．EM 平分BEF ∠，FN 平分CFE ∠，且EM ∥FN ．求证：AB ∥CD ．【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】先根据角平分线的定义可得11,22MEF BEF N CF FE E ∠=∠∠∠=，再根据平行线的性质可得MEF NFE ∠=∠，从而可得BEF CFE ∠=∠，然后根据平行线的判定即可得证．【详解】EM 平分BEF ∠，FN 平分CFE ∠11,22MEF BEF NF CFE E ∠=∠∠∠=∴ EM //FN MEF NFE ∠=∠∴1122BEF CFE ∴∠=∠，即BEF CFE ∠=∠ //AB CD ∴．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，熟记平行线的判定与性质是解题关键．19.为改善民生；提高城市活力，某市有序推行“地摊经济”政策．某社区志愿者随机抽取该社区部分居民，按四个类别：A 表示“非常支持”，B 表示“支持”，C 表示“不关心”，D 表示“不支持”，调查他们对该政策态度的情况，将结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解决下列问题：（1）这次共抽取了________名居民进行调查统计，扇形统计图中，D 类所对应的扇形圆心角的大小是________；（2）将条形统计图补充完整；（2）该社区共有2000名居民，估计该社区表示“支持”的B 类居民大约有多少人？【答案】（1）60，18︒；（2）图见解析；（3）该社区表示“支持”的B 类居民大约有1200人． 【解析】 【分析】（1）根据C 类的条形统计图和扇形统计图的信息可得出总共抽取的人数，再求出D 类居民人数的占比，然后乘以360︒即可得；（2）根据（1）的结论，先求出A 类居民的人数，再补全条形统计图即可； （3）先求出表示“支持”的B 类居民的占比，再乘以2000即可得． 【详解】（1）总共抽取的居民人数为915%60÷=（名） D 类居民人数的占比为3100%5%60⨯= 则D 类所对应的扇形圆心角的大小是3605%18⨯︒=︒ 故答案为：60，18︒；（2）A 类居民的人数为60369312---=（名） 补全条形统计图如下所示：（3）表示“支持”的B 类居民的占比为36100%60%60⨯= 则200060%1200⨯=（名）答：该社区表示“支持”的B 类居民大约有1200人．【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、画条形统计图等知识点，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键．20.在8×5的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC 的顶点坐标分别为(0,0)O ，(3,4)A ，(8,4)B ，(5,0)C ．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：（1）将线段CB 绕点C 逆时针旋转90︒，画出对应线段CD ； （2）在线段AB 上画点E ，使45BCE ︒∠=（保留画图过程的痕迹）； （3）连接AC ，画点E 关于直线AC 的对称点F ，并简要说明画法． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，将线段CD 是将线段CB 绕点C 逆时针旋转90︒即可； （2）连接BD ，并连接（4,2），（5,5）点，两线段的交点即为所求的点E. （3）连接（5,0）和（0,5）点，与AC 的交点为F,且F 为所求.【详解】解：（1）如图示，线段CD 是将线段CB 绕点C 逆时针旋转90︒得到的；（2）∠BCE 为所求的角，点E 为所求的点.（3）连接（5,0）和（0,5）点，与AC 的交点为F,且F 为所求.【点睛】本题考查了作图-旋转变换，正方形的性质，全等三角形的性质和轴对称的性质，熟悉相关性质是解题的关键．21.如图，在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，AE 与过点D 的切线互相垂直，垂足为E ．（1）求证：AD 平分BAE ∠； （2）若CD DE =，求sin BAC ∠的值．【答案】（1）证明见解析；（2）sin BAC ∠． 【解析】【分析】（1）如图（见解析），先根据圆的切线的性质可得OD DE ⊥，再根据平行线的判定与性质可得DAE ADO ∠=∠，然后根据等腰三角形的性质可得DAO ADO ∠=∠，最后根据角平分线的定义即可得证；（2）如图（见解析），先根据角的和差、等量代换可得ADE C ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理与性质可得AD BC =，设,AD BC a CD x ===，然后根据相似三角形的判定与性质可得AC BCBC CD=，从而可求出x 的值，最后根据正弦三角函数的定义即可得． 【详解】（1）如图，连接OD 由圆的切线的性质得：OD DE ⊥AE DE ⊥//OD AE ∴ DAE ADO ∴∠=∠又OA OD =DAO ADO ∴∠=∠ DAE DAO ∴∠=∠则AD 平分BAE ∠； （2）如图，连接BD由圆周角定理得：90ADB ∠=︒90BDC ∴∠=︒90ABC ∠=︒ 90DAO C ∴∠+∠=︒ 90DAE ADE ∠+∠=︒ADE C ∴∠=∠在ADE 和BCD 中，90E BDC DE CDADE C ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ADE BCD ASA ∴≅AD BC ∴=设,AD BC a CD x ===，则AC AD CD a x =+=+，且0,0a x >>在ACB △和BCD 中，90C CABC BDC ∠=∠⎧⎨∠=∠=︒⎩ACB BCD ∴~AC BC BC CD ∴=，即a x aa x+=解得x =0x =<（不符题意，舍去）经检验，x =是所列分式方程的解AC a ∴=+=则在Rt ABC中，sin BC BAC AC ∠===故sin BAC ∠．【点睛】本题考查了圆周角定理、圆的切线的性质、正弦三角函数、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形和相似三角形是解题关键．22.某公司分别在A ，B 两城生产同种产品，共100件．A 城生产品的总成本y （万元）与产品数量x （件）之间具有函数关系2y ax bx c =++，当10x =时，400y =；当20x 时，1000y =．B 城生产产品的每件成本为70万元． （1）求a ，b 的值；（2）当A ，B 两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A ，B 两城各生产多少件？（3）从A 城把该产品运往C ，D 两地的费用分别为m 万元/件和3万元/件；从B 城把该产品运往C ，D 两地的费用分别为1万元/件和2万元/件，C 地需要90件，D 地需要10件，在（2）的条件下，直接写出A ，B 两城总运费的和的最小值（用含有m 的式子表示）． 【答案】（1）1a =，30b =；（2）A 城生产20件，B 城生产80件；（3）当02m <≤时，A ，B 两城总运费的和的最小值为(2090)m +万元；当2m >时，A ，B 两城总运费的和的最小值为(10110)m +万元． 【解析】 【分析】（1）先根据题意得出产品数量为0时，总成本y 也为0，再利用待定系数法即可求出a 、b 的值； （2）先根据（1）的结论得出y 与x 的函数关系式，从而可得出A ，B 两城生产这批产品的总成本的和，再根据二次函数的性质即可得；（3）设从A 城运往C 地的产品数量为n 件，A ，B 两城总运费的和为P ，先列出从A 城运往D 地的产品数量、从B 城运往C 地的产品数量、从B 城运往D 地的产品数量，再求出n 的取值范围，然后根据题干运费信息列出P 与n 的函数关系式，最后根据一次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）由题意得：当产品数量为0时，总成本也为0，即0x =时，0y =则010010400400201000c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得1300a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩故1a =，30b =；（2）由（1）得：230y x x =+设A ，B 两城生产这批产品的总成本的和为W 则223070(100)700400x x x x x W ++-+==- 整理得：220)60(60x W -+= 由二次函数的性质可知，当20x 时，W 取得最小值，最小值为6600万元此时1001002080x -=-=答：A 城生产20件，B 城生产80件；（3）设从A 城运往C 地的产品数量为n 件，A ，B 两城总运费的和为P ，则从A 城运往D 地的产品数量为(20)n -件，从B 城运往C 地的产品数量为(90)n -件，从B 城运往D 地的产品数量为(1020)n -+件由题意得：20010200n n -≥⎧⎨-+≥⎩，解得1020n ≤≤3(20)(90)2(1020)P mn n n n =+-+-+-+整理得：(2)130P m n =-+根据一次函数的性质分以下两种情况：①当02m <≤时，在1020n ≤≤内，P 随n 的增大而减小 则20n =时，P 取得最小值，最小值为20(2)1302090m m -+=+ ②当2m >时，在1020n ≤≤内，P 随n 的增大而增大则10n =时，P 取得最小值，最小值为10(2)13010110m m -+=+答：当02m <≤时，A ，B 两城总运费的和的最小值为(2090)m +万元；当2m >时，A ，B 两城总运费的和的最小值为(10110)m +万元．【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数与一次函数的实际应用等知识点，较难的是题（3），正确设立未知数，建立函数关系式是解题关键．23.问题背景：如图（1），已知A ABC DE ∽△△，求证：ABD ACE ∽；尝试应用：如图（2），在ABC 和ADE 中，90BAC DAE ︒∠=∠=，30ABC ADE ︒∠=∠=，AC与DE 相交于点F ．点D 在BC 边上，AD BD=，求DFCF 的值；拓展创新：如图（3），D 是ABC 内一点，30BAD CBD ︒∠=∠=，90BDC ︒∠=，4AB =，AC =AD 的长．【答案】问题背景：见详解；尝试应用：3；拓展创新：AD =【解析】 【分析】问题背景：通过A ABC DE ∽△△得到AB AC AD AE =，AB ACAD AE=，再找到相等的角，从而可证ABD ACE ∽；尝试应用：连接CE ，通过BAC DAE ∽可以证得ABD ACE ∽，得到BD ADCE AE=，然后去证AFE DFC ∽△△，ADF ECF ∽△△，通过对应边成比例即可得到答案；拓展创新：在AD 的右侧作∠DAE=∠BAC ，AE 交BD 延长线于E ，连接CE ，通过BAC DAE ∽，BAD CAE ∽，然后利用对应边成比例即可得到答案．【详解】问题背景：∵A ABC DE ∽△△， ∴∠BAC=∠DAE ，AB ACAD AE=， ∴∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC ， ∴∠BAD=∠CAE ， ∴ABD ACE ∽；尝试应用：连接CE ，∵90BAC DAE ︒∠=∠=，30ABC ADE ︒∠=∠=， ∴BAC DAE ∽，∴AB ADAC AE=， ∵∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC ， ∴∠BAD=∠CAE ， ∴ABD ACE ∽，∴BD ADCE AE=， 由于30ADE ︒∠=，90DAE ︒∠=，∴30AE tan AD ︒==即BD AD CE AE ==，∵ADBD =， ∴3ADCE=，∵90BAC DAE ︒∠=∠=，30ABC ADE ︒∠=∠=，∴60C E ︒∠=∠=，又∵AFE DFC ∠=∠，∴AFE DFC ∽△△， ∴AF EF DF CF =，即AF DF EF CF=， 又∵AFD EFC ∠=∠∴ADF ECF ∽△△， ∴3DF AD CF CE==；拓展创新：AD =如图，在AD 的右侧作∠DAE=∠BAC ，AE 交BD 延长线于E ，连接CE ，∵∠ADE=∠BAD+∠ABD ，∠ABC=∠ABD+∠CBD ，30BAD CBD ︒∠=∠=，∴∠ADE=∠ABC ，又∵∠DAE=∠BAC ，∴BAC DAE ∽， ∴AB AC BC AD AE DE==， 又∵∠DAE=∠BAC ，∴∠BAD=∠CAE ，∴BAD CAE ∽，∴=BD AB AD CE AC AE ===， 设CD=x ，在直角三角形BCD 中，由于∠CBD=30°， ∴BD =，2BC x =， ∴32CE x =，∴DE =， ∵AB BC AD DE=，∴4AD =，∴AD =【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 24.将抛物线2:(2)C y x =-向下平移6个单位长度得到抛物线1C ，再将抛物线1C 向左平移2个单位长度得到抛物线2C ．（1）直接写出抛物线1C ，2C 的解析式；（2）如图（1），点A 在抛物线1C 对称轴l 右侧上，点B 在对称轴l 上，OAB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，求点A 的坐标；（3）如图（2），直线y kx =（0k ≠，k 为常数）与抛物线2C 交于E ，F 两点，M 为线段EF 的中点；直线4y x k=-与抛物线2C 交于G ，H 两点，N 为线段GH 的中点．求证：直线MN 经过一个定点． 【答案】（1）抛物线1C 的解析式为： y=x 2-4x-2；抛物线2C 的解析式为：y=x 2-6；（2）点A 的坐标为（5，3）或（4，-2）；（3）直线MN 经过定点（0，2）【解析】【分析】（1）根据函数图象上下平移：函数值上加下减；左右平移：自变量左加右减写出函数解析式并化简即可； （2）先判断出点A 、B 、O 、D 四点共圆，再根据同弧所对的圆周角相等得到∠BDA=∠BOA=45°，从而证出DAC △是等腰直角三角形．设点A 的坐标为（x ，x 2-4x-2），把DC 和AC 用含x 的代数式表示出来，利用DC=AC 列方程求解即可，注意有两种情况；（3）根据直线y kx =（0k ≠，k 为常数）与抛物线2C 交于E ，F 两点，联立两个解析式，得到关于x 的一元二次方程，根据根与系数的关系求出点M 的横坐标，进而求出纵坐标，同理求出点N 的坐标，再用待定系数法求出直线MN 的解析式，从而判断直线MN 经过的定点即可．【详解】解：（1）∵抛物线2:(2)C y x =-向下平移6个单位长度得到抛物线1C ，再将抛物线1C 向左平移2个单位长度得到抛物线2C ，∴抛物线1C 的解析式为：y=(x-2)2-6，即y=x 2-4x-2，抛物线2C 的解析式为：y=(x-2+2)2-6，即y=x 2-6．（2）如下图，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，连接AD ，∵OAB 是等腰直角三角形，∴∠BOA =45°，又∵∠BDO=∠BAO=90°，∴点A 、B 、O 、D 四点共圆，∴∠BDA=∠BOA=45°，∴∠ADC=90°-∠BDA=45°，∴DAC △是等腰直角三角形，∴DC=AC ．∵点A 在抛物线1C 对称轴l 右侧上，点B 在对称轴l 上，∴抛物线1C 的对称轴为x=2，设点A 的坐标为（x ，x 2-4x-2），∴DC=x-2，AC= x 2-4x-2，∴x-2= x 2-4x-2，解得：x=5或x=0（舍去），∴点A 的坐标为（5，3）；同理，当点B 、点A 在x 轴的下方时，x-2= -(x 2-4x-2)，x=4或x=-1（舍去），∴点A 的坐标为（4，-2），综上，点A 的坐标为（5，3）或（4，-2）．（3）∵直线y kx =（0k ≠，k 为常数）与抛物线2C 交于E ，F 两点，∴26y kx y x =⎧⎨=-⎩， ∴x 2-kx-6=0，设点E 的横坐标为x E ，点F 的横坐标为x F ，∴x E +x F =k ，∴中点M 的横坐标x M =2E F x x +=2k ， 中点M 的纵坐标y M =kx=22k ， ∴点M 的坐标为（2k ，22k ）； 同理可得：点N 的坐标为（2k -，28k）， 设直线MN 的解析式为y=ax+b （a ≠0），将M （2k ，22k ）、N （2k -，28k ）代入得： 222282k k a b a b k k ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得：242k a k b ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，∴直线MN 的解析式为y= 24k k-·x+2（0k ≠）， 不论k 取何值时（0k ≠），当x=0时，y=2，∴直线MN 经过定点（0，2）．【点睛】本题考查二次函数综合应用，熟练掌握图象平移的规律、判断点A 、B 、O 、D 四点共圆的方法、用待定系数法求函数解析式的步骤是解题的关键．。

2020年湖北省武汉市中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1. 实数−2的相反数是（）A.2B.−2C.12D.−12【答案】A【考点】相反数实数的性质【解析】由相反数的定义可知：−2的相反数是2．【解答】实数−2的相反数是2，2. 式子√x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A.x≥0B.x≤2C.x≥−2D.x≥2【答案】D【考点】二次根式有意义的条件【解析】根据二次根式有意义的条件可得x−2≥0，再解即可．【解答】由题意得：x−2≥0，解得：x≥2，3. 两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是（）A.两个小球的标号之和等于1B.两个小球的标号之和等于6C.两个小球的标号之和大于1D.两个小球的标号之和大于6【答案】B【考点】随机事件【解析】分别利用随机事件、必然事件、不可能事件的定义分别分析得出答案．【解答】∵两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3，∴从这两个口袋中分别摸出一个小球，两个小球的标号之和等于1，是不可能事件，不合题意；两个小球的标号之和等于6，是随机事件，符合题意；两个小球的标号之和大于1，是必然事件，不合题意；两个小球的标号之和大于6，是不可能事件，不合题意；4. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【考点】轴对称图形【解析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴求解即可．【解答】A、不是轴对称图形，不合题意；B、不是轴对称图形，不合题意；C、是轴对称图形，符合题意；D、不是轴对称图形，不合题意；5. 如图是由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】简单组合体的三视图【解析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【解答】从左边看上下各一个小正方形．6. 某班从甲、乙、丙、丁四位选手中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选手的概率是（）A.1 3B.14C.16D.18【答案】C【考点】列表法与树状图法【解析】根据题意画出树状图得出所有等可能情况数和恰好选中甲、乙两位选手的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】根据题意画图如下：共用12种等情况数，其中恰好选中甲、乙两位选手的有2种，则恰好选中甲、乙两位选手的概率是212=16；7. 若点A(a−1, y1)，B(a+1, y2)在反比例函数y=kx(k<0)的图象上，且y1>y2，则a的取值范围是（）A.a<−1B.−1<a<1C.a>1D.a<−1或a>1【答案】B【考点】反比例函数图象上点的坐标特征【解析】根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，①当点(a−1, y1)、(a+1, y2)在图象的同一支上时，②当点(a−1, y1)、(a+1, y2)在图象的两支上时．【解答】∵k<0，∴在图象的每一支上，y随x的增大而增大，①当点(a−1, y1)、(a+1, y2)在图象的同一支上，∵y1>y2，∴a−1>a+1，此不等式无解；②当点(a−1, y1)、(a+1, y2)在图象的两支上，∵y1>y2，∴a−1<0，a+1>0，解得：−1<a<1，8. 一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水量和出水量是两个常数．从某时刻开始4min内只进水不出水，从第4min到第24min内既进水又出水，从第24min开始只出水不进水，容器内水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示，则图中a的值是（）A.32B.34C.36D.38【答案】C【考点】一次函数的应用【解析】根据图象可知进水的速度为5(L/min)，再根据第16分钟时容器内水量为35L可得出水的速度，进而得出第24分钟时的水量，从而得出a的值．【解答】由图象可知，进水的速度为：20÷4＝5(L/min)，出水的速度为：5−(35−20)÷(16−4)＝3.75(L/min)，第24分钟时的水量为：20+(5−3.75)×(24−4)＝45(L)，a＝24+45÷3.75＝36．9. 如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是AĈ的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（）A.52√3 B.3√3 C.3√2 D.4√2【答案】D【考点】垂径定理圆心角、弧、弦的关系【解析】连接OD，交AC于F，根据垂径定理得出OD⊥AC，AF＝CF，进而证得DF＝BC，根据三角形中位线定理求得OF=12BC=12DF，从而求得BC＝DF＝2，利用勾股定理即可求得AC．【解答】连接OD，交AC于F，∵D是AĈ的中点，∴OD⊥AC，AF＝CF，∴∠DFE＝90∘，∵OA＝OB，AF＝CF，∴OF=12BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90∘，在△EFD和△ECB中{∠DFE=∠ACB=90∠DEF=∠BECDE=BE∴△EFD≅△ECB(AAS)，∴DF＝BC，∴OF=12DF，∵OD＝3，∴OF＝1，∴BC＝2，在Rt△ABC中，AC2＝AB2−BC2，∴AC=√AB2−BC2=√62−22=4√2，10. 下列图中所有小正方形都是全等的．图(1)是一张由4个小正方形组成的“L”形纸片，图(2)是一张由6个小正方形组成的3×2方格纸片．把“L”形纸片放置在图(2)中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有如图(3)中的4种不同放置方法．图(4)是一张由36个小正方形组成的6×6方格纸片，将“L”形纸片放置在图(4)中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有n种不同放置方法，则n的值是（）A.160B.128C.80D.48【答案】A【考点】规律型：图形的变化类规律型：点的坐标规律型：数字的变化类【解析】对于图形的变化类的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．【解答】观察图象可知（4）中共有4×5×2＝40个3×2的长方形，由（3）可知，每个3×2的长方形有4种不同放置方法，则n的值是40×4＝160．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）计算√(−3)2的结果是________．【答案】3【考点】二次根式的性质与化简【解析】根据二次根式的性质解答．【解答】√(−3)2=√9=3．热爱劳动，劳动最美！某合作学习小组6名同学一周居家劳动的时间（单位：ℎ），分别为：4，3，3，5，5，6．这组数据的中位数是________．【答案】4.5【考点】中位数【解析】根据中位数的定义求解可得．【解答】将数据重新排列为：3，3，4，5，5，6，所以这组数据的中位数为4+52=4.5，计算2m+n −m−3nm2−n2的结果是________．【答案】1m−n【考点】分式的加减运算【解析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．【解答】原式=2(m−n)(m+n)(m−n)−m−3n(m+n)(m−n)=2m−2n−m+3n (m+n)(m−n)=m+n (m+n)(m−n)=1m−n．在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是▱ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝102∘，则∠BAC的大小是________．【答案】26∘【考点】平行四边形的性质【解析】根据平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝102∘，AD＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，根据三角形外角的性质得到∠ACB＝2∠CAB，由三角形的内角和定理即可得到结论．【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D＝102∘，AD＝BC，∵AD＝AE＝BE，∴BC＝AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，∵∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝2∠EAB，∴∠ACB＝2∠CAB，∴∠CAB+∠ACB＝3∠CAB＝180∘−∠ABC＝180∘−102∘，∴∠BAC＝26∘，抛物线y＝ax2+bx+c(a，b，c为常数，a<0)经过A(2, 0)，B(−4, 0)两点，下列四个结论：①一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝2，x2＝−4；②若点C(−5, y1)，D(π, y2)在该抛物线上，则y1<y2；③对于任意实数t，总有at2+bt≤a−b；④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p(p为常数，p>0)的根为整数，则p的值只有两个．其中正确的结论是________（填写序号）．【答案】①③【考点】根与系数的关系根的判别式抛物线与x轴的交点二次函数图象上点的坐标特征【解析】根据题目中的抛物线和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．【解答】∵抛物线y＝ax2+bx+c(a，b，c为常数，a<0)经过A(2, 0)，B(−4, 0)两点，∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为x1＝2，x2＝−4，故①正确；该抛物线的对称轴为直线x=2+(−4)2=−1，函数图象开口向下，若点C(−5, y1)，D(π, y2)在该抛物线上，则y1>y2，故②错误；当x＝−1时，函数取得最大值y＝a−b+c，故对于任意实数t，总有at2+bt+c≤a−b+c，即对于任意实数t，总有at2+bt≤a−b，故③正确；对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p(p为常数，p>0)的根为整数，则两个根为−3和1或−2和0或−1和−1，故p的值有三个，故④错误；如图，折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，EF为折痕，AB＝1，AD＝2．设AM的长为t，用含有t的式子表示四边形CDEF的面积是________．【答案】1 4t2−14t+1【考点】三角形的面积矩形的性质翻折变换（折叠问题）【解析】连接DM，过点E作EG⊥BC于点G，设DE＝x＝EM，则EA＝2−x，由勾股定理得出(2−x)2+t2＝x2，证得∠ADM＝∠FEG，由锐角三角函数的定义得出FG，求出CF，则由梯形的面积公式可得出答案．【解答】连接DM，过点E作EG⊥BC于点G，设DE＝x＝EM，则EA＝2−x，∵AE2+AM2＝EM2，∴(2−x)2+t2＝x2，解得x=t 24+1，∴DE=t24+1，∵折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，∴EF⊥DM，∠ADM+∠DEF＝90∘，∵EG⊥AD，∴∠DEF+∠FEG＝90∘，∴∠ADM＝∠FEG，∴tan∠ADM=AMAD =t2=FG1，∴FG=t2，∵CG＝DE=t24+1，∴CF=t24−t2+1，∴S四边形CDEF =12(CF+DE)×1=14t2−14t+1．三、解答题（共8小题，共72分）计算：[a3⋅a5+(3a4)2]÷a2．【答案】原式＝(a8+9a8)÷a2＝10a8÷a2＝10a6．【考点】幂的乘方与积的乘方同底数幂的乘法整式的除法【解析】原式中括号中利用同底数幂的乘法，积的乘方与幂的乘方运算法则计算，合并后利用单项式除以单项式法则计算即可求出值．【解答】原式＝(a8+9a8)÷a2＝10a8÷a2＝10a6．如图直线EF分别与直线AB，CD交于点E，F．EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，且EM // FN．求证：AB // CD．【答案】证明：∵EM // FN，∴∠FEM＝∠EFN，∠BEF＝∠CFE，又∵EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，∴∠FEB＝∠EFC，∴AB // CD．【考点】平行线的判定与性质【解析】根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠FEB＝∠EFC，进而得出AB // CD．【解答】证明：∵EM // FN，∴∠FEM＝∠EFN，∠BEF＝∠CFE，又∵EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，∴∠FEB＝∠EFC，∴AB // CD．为改善民生：提高城市活力，某市有序推行“地摊经济”改策．某社区志愿者随机抽取该社区部分居民，按四个类别：A表示“非常支持”，B表示“支持”，C表示“不关心”，D表示“不支持”，调查他们对该政策态度的情况，将结果绘制成如图两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解决下列问题：（1）这次共抽取了________名居民进行调查统计，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小是________；（2）将条形统计图补充完整；（3）该社区共有2000名居民，估计该社区表示“支持”的B类居民大约有多少人？【答案】60,6∘A类别人数为60−(36+9+1)＝14（名），补全条形图如下：=1200（名）．估计该社区表示“支持”的B类居民大约有2000×3660【考点】条形统计图扇形统计图用样本估计总体【解析】（1）由C类别的人数及其所占百分比可得被调查的总人数，用360∘乘以样本中D类别人数占被调查人数的比例即可得出答案；（2）根据A、B、C、D四个类别人数之和等于被调查的总人数求出A的人数，从而补全图形；（3）用总人数乘以样本中B类别人数所占比例可得答案．【解答】这次抽取的居民数量为9÷15%＝60（名），=6∘，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小是360∘×160故答案为：60，6∘；A类别人数为60−(36+9+1)＝14（名），补全条形图如下：=1200（名）．估计该社区表示“支持”的B类居民大约有2000×3660在8×5的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC的顶点坐标分别为O(0, 0)，A(3, 4)，B(8, 4)，C(5, 0)．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：（1）将线段CB绕点C逆时针旋转90∘，画出对应线段CD；（2）在线段AB上画点E，使∠BCE＝45∘（保留画图过程的痕迹）；（3）连接AC，画点E关于直线AC的对称点F，并简要说明画法．【答案】线段CD即为所求；∠BCE即为所求；【考点】作图-旋转变换作图-轴对称变换【解析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出B点的对称点D即可；（2）作出BC为边的正方形，找到以C点为一个顶点的对角线与AB的交点E即为所求；（3）利用网格特点，作出E点关于直线AC的对称点F即可．【解答】如图所示：线段CD即为所求；如图所示：∠BCE即为所求；连接AC，可得E是AB的27，找到OA的七等分点，AF=27OA，点F即为所求，如图所示：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90∘，以AB为直径的⊙O交AC于点D，AE与过点D的切线互相垂直，垂足为E．（1）求证：AD平分∠BAE；（2）若CD＝DE，求sin∠BAC的值．【答案】证明：连接OD，如图，∵DE为切线，∴OD⊥DE，∵DE⊥AE，∴OD // AE，∴∠1＝∠ODA，∵OA＝OD，∴∠2＝∠ODA，∴∠1＝∠2，∴AD平分∠BAE；连接BD，如图，∵AB为直径，∴∠ADB＝90∘，∵∠2+∠ABD＝90∘，∠3+∠ABD＝90∘，∴∠2＝∠3，∵sin∠1=DEAD ，sin∠3=DCBC，而DE＝DC，∴AD＝BC，设CD＝x，BC＝AD＝y，∵∠DCB＝∠BCA，∠3＝∠2，∴△CDB∽△CBA，∴CD:CB＝CB:CA，即x:y＝y：(x+y)，整理得x2+xy+y2＝0，解得x=−1+√52y或x=−1−√52y（舍去），∴sin∠3=DCBC =√5−12，即sin∠BAC的值为√5−12．【考点】切线的性质解直角三角形圆周角定理垂径定理【解析】（1）连接OD，如图，根据切线的性质得到OD⊥DE，则可判断OD // AE，从而得到∠1＝∠ODA，然后利用∠2＝∠ODA得到∠1＝∠2；（2）连接BD，如图，利用圆周角定理得到∠ADB＝90∘，再证明∠2＝∠3，利用三角函数的定义得到sin∠1=DEAD ，sin∠3=DCBC，则AD＝BC，设CD＝x，BC＝AD＝y，证明△CDB∽△CBA，利用相似比得到x:y＝y：(x+y)，然后求出x、y的关系可得到sin∠BAC的值．【解答】证明：连接OD，如图，∵DE为切线，∴OD⊥DE，∵DE⊥AE，∴OD // AE，∴∠1＝∠ODA，∵OA＝OD，∴∠2＝∠ODA，∴∠1＝∠2，∴AD平分∠BAE；连接BD，如图，∵AB为直径，∴∠ADB＝90∘，∵∠2+∠ABD＝90∘，∠3+∠ABD＝90∘，∴∠2＝∠3，∵sin∠1=DEAD ，sin∠3=DCBC，而DE＝DC，∴AD＝BC，设CD＝x，BC＝AD＝y，∵∠DCB＝∠BCA，∠3＝∠2，∴△CDB∽△CBA，∴CD:CB＝CB:CA，即x:y＝y：(x+y)，整理得x2+xy+y2＝0，解得x=−1+√52y或x=−1−√52y（舍去），∴sin∠3=DCBC =√5−12，即sin∠BAC的值为√5−12．某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的总成本y（万元）与产品数量x（件）之间具有函数关系y＝ax2+bx+c．当x＝10时，y＝400；当x＝20时，y＝1000．B城生产产品的每件成本为70万元．（1）求a，b的值；（2）当A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A，B两城各生产多少件？（3）从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D地需要10件，在（2）的条件下，直接写出A，B两城总运费的和的最小值（用含有m的式子表示）．【答案】由题意得：当产品的数量为0时，总成本也为0，即当x＝0时，y＝0，则有：{c=0100a+10b+c=400 400a+20b+c=1000，解得：{a=1b=30c=0．∴a＝1，b＝30；由（1）得：y＝x2+30x，设A，B两城生产这批产品的总成本为w，则w＝x2+30x+70(100−x)＝x2−40x+7000，＝(x−20)2+6600，由二次函数的性质可知，当x＝20时，w取得最小值，最小值为6600万元，此时100−20−80．答：A城生产20件，B城生产80件；设从A城运往C地的产品数量为n件，A，B两城总运费的和为P，则从A城运往D地的产品数量为(20−n)件，从B城运往C地的产品数量为(90−n)件，从B城运往D地的产品数量为(10−20+n)件，由题意得：{20−n≥010−20+n≥0，解得10≤n≤20，∴P＝mn+3(20−n)+(90−n)+2(10−20+n)，整理得：P＝(m−2)n+130，根据一次函数的性质分以下两种情况：①当0<m≤2，10≤n≤20时，P随n的增大而减小，则n＝20时，P取最小值，最小值为20(m−2)+130＝20m+90；②当m>2，10≤n≤20时，P随n的增大而增大，则n＝10时，P取最小值，最小值为10(m−2)+130＝10m+110．答：0<m≤2时，A，B两城总运费的和为(20m+90)万元；当m>2时，A，B两城总运费的和为(10m+110)万元．【考点】一元二次方程的应用二次函数的应用【解析】（1）先根据题意得出产品的数量为0时，总成本也为0，再利用待定系数法即可求出a，b的值；（2）先根据（1）的结论得出y与x之间的函数关系，从而可得出A，B两城生产这批产品的总成本的和，再根据二次函数的性质即可得出答案；（3）设从A城运往C地的产品数量为n件，A，B两城总运费的和为P，则从A城运往D地的产品数量为(20−n)件，从B城运往C地的产品数量为(90−n)件，从B城运往D地的产品数量为(10−20+n)件，从而可得关于n的不等式组，解得n的范围，然后根据运费信息可得P关于n的一次函数，最后根据一次函数的性质可得答案．【解答】由题意得：当产品的数量为0时，总成本也为0，即当x＝0时，y＝0，则有：{c=0100a+10b+c=400 400a+20b+c=1000，解得：{a=1b=30c=0．∴a＝1，b＝30；由（1）得：y＝x2+30x，设A，B两城生产这批产品的总成本为w，则w＝x2+30x+70(100−x)＝x2−40x+7000，＝(x−20)2+6600，由二次函数的性质可知，当x＝20时，w取得最小值，最小值为6600万元，此时100−20−80．答：A城生产20件，B城生产80件；设从A城运往C地的产品数量为n件，A，B两城总运费的和为P，则从A城运往D地的产品数量为(20−n)件，从B城运往C地的产品数量为(90−n)件，从B城运往D地的产品数量为(10−20+n)件，由题意得：{20−n≥010−20+n≥0，解得10≤n≤20，∴P＝mn+3(20−n)+(90−n)+2(10−20+n)，整理得：P＝(m−2)n+130，根据一次函数的性质分以下两种情况：①当0<m≤2，10≤n≤20时，P随n的增大而减小，则n＝20时，P取最小值，最小值为20(m−2)+130＝20m+90；②当m>2，10≤n≤20时，P随n的增大而增大，则n＝10时，P取最小值，最小值为10(m−2)+130＝10m+110．答：0<m≤2时，A，B两城总运费的和为(20m+90)万元；当m>2时，A，B两城总运费的和为(10m+110)万元．问题背景如图(1)，已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；尝试应用如图(2)，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90∘，∠ABC＝∠ADE＝30∘，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，ADBD =√3，求DFCF的值；拓展创新如图(3)，D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30∘，∠BDC＝90∘，AB＝4，AC＝2√3，直接写出AD的长．【答案】问题背景证明：∵△ABC∽△ADE，∴ABAD =ACAE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，ABAC =ADAE，∴△ABD∽△ACE；尝试应用如图1，连接EC，∵∠BAC＝∠DAE＝90∘，∠ABC＝∠ADE＝30∘，∴△ABC∽△ADE，由（1）知△ABD∽△ACE，∴AEEC =ADBD=√3，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE，在Rt△ADE中，∠ADE＝30∘，∴ADAE=√3，∴ADEC =ADAE×AECE=√3×√3=3．∵∠ADF＝∠ECF，∠AFD＝∠EFC，∴△ADF∽△ECF，∴DFCF =ADCE=3．拓展创新如图2，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，∵∠BAD＝30∘，∴∠DAM＝60∘，∴∠AMD＝30∘，∴∠AMD＝∠DBC，又∵∠ADM＝∠BDC＝90∘，∴△BDC∽△MDA，∴BDMD =DCDA，又∠BDC＝∠ADM，∴∠BDC+∠CDM＝∠ADM+∠ADC，即∠BDM＝∠CDA，∴△BDM∽△CDA，∴BMCA =DMAD=√3，∵AC＝2√3，∴BM＝2√3×√3=6，∴AM=√BM2−AB2=√62−42=2√5，∴AD=12AM=√5．【考点】相似三角形综合题【解析】问题背景由题意得出ABAD =ACAE，∠BAC＝∠DAE，则∠BAD＝∠CAE，可证得结论；尝试应用连接EC，证明△ABC∽△ADE，由（1）知△ABD∽△ACE，由相似三角形的性质得出AE EC =ADBD=√3，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE，可证明△ADF∽△ECF，得出DFCF=ADCE=3，则可求出答案．拓展创新过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，证明△BDC∽△MDA，由相似三角形的性质得出BDMD =DCDA，证明△BDM∽△CDA，得出BMCA=DMAD=√3，求出BM＝6，由勾股定理求出AM，最后由直角三角形的性质可求出AD的长．【解答】问题背景证明：∵△ABC∽△ADE，∴ABAD =ACAE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，ABAC =ADAE，∴△ABD∽△ACE；尝试应用如图1，连接EC，∵∠BAC＝∠DAE＝90∘，∠ABC＝∠ADE＝30∘，∴△ABC∽△ADE，由（1）知△ABD∽△ACE，∴AEEC =ADBD=√3，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE，在Rt△ADE中，∠ADE＝30∘，∴ADAE=√3，∴ADEC =ADAE×AECE=√3×√3=3．∵∠ADF＝∠ECF，∠AFD＝∠EFC，∴△ADF∽△ECF，∴DFCF =ADCE=3．拓展创新如图2，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，∵∠BAD＝30∘，∴∠DAM＝60∘，∴∠AMD＝30∘，∴∠AMD＝∠DBC，又∵∠ADM＝∠BDC＝90∘，∴△BDC∽△MDA，∴BDMD =DCDA，又∠BDC＝∠ADM，∴∠BDC+∠CDM＝∠ADM+∠ADC，即∠BDM＝∠CDA，∴△BDM∽△CDA，∴BMCA =DMAD=√3，∵AC＝2√3，∴BM＝2√3×√3=6，∴AM=√BM2−AB2=√62−42=2√5，∴AD=12AM=√5．将抛物线C:y＝(x−2)2向下平移6个单位长度得到抛物线C1，再将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2．（1）直接写出抛物线C1，C2的解析式；（2）如图(1)，点A在抛物线C1（对称轴l右侧）上，点B在对称轴l上，△OAB是以OB 为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标；（3）如图(2)，直线y＝kx（k≠0，k为常数）与抛物线C2交于E，F两点，M为线段EF的中点；直线y=−4kx与抛物线C2交于G，H两点，N为线段GH的中点．求证：直线MN经过一个定点．【答案】∵抛物线C:y＝(x−2)2向下平移6个单位长度得到抛物线C1，∴C1:y＝(x−2)2−6，∵将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2．∴C2:y＝(x−2+2)2−6，即y＝x2−6；过点A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥AC于点D，如图1，设A(a,(a−2)2−6)，则BD＝a−2，AC＝|(a−2)2−6|，∵∠BAO＝∠ACO＝90∘，∴∠BAD+∠OAC＝∠OAC+∠AOC＝90∘，∴∠BAD＝∠AOC，∵AB＝OA，∠ADB＝∠OCA，∴△ABD≅△OAC(AAS)，∴BD＝AC，∴a−2＝|(a−2)2−6|，解得，a＝4，或a＝−1（舍），或a＝0（舍），或a＝5，∴A(4, −2)或(5, 3)；把y＝kx代入y＝x2−6中得，x2−kx−6＝0，∴x E+x F＝k，∴M(k2,k22)，把y=−4k x代入y＝x2−6中得，x2+4kx−6＝0，∴x G+x H=−4k，∴N(−2k , 8k2)，设MN的解析式为y＝mx+n(m≠0)，则{k2m+n=k22−2k m+n=8k2，解得，{m=k2−4kn=2，∴直线MN的解析式为：y=k2−4kx+2，当x＝0时，y＝2，∴直线MN:y=k2−4kx+2x经过定点(0, 2)，即直线MN经过一个定点．【考点】二次函数综合题【解析】（1）根据平移规律：上加下减，左加右减，直接写出平移后的解析式；（2）过点A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥AC于点D，设A(a,(a−2)2−6)，则BD＝a−2，AC＝|(a−2)2−6|，再证明△ABD≅△OAC，由全等三角形的性质得a的方程求得a便可得A的坐标；（3）由两直线解析式分别与抛物线的解析式联立方程组，求出M、N点的坐标，进而求得MN的解析式，再根据解析式的特征得出MN经过一个定点．【解答】∵抛物线C:y＝(x−2)2向下平移6个单位长度得到抛物线C1，∴C1:y＝(x−2)2−6，∵将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2．∴C2:y＝(x−2+2)2−6，即y＝x2−6；过点A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥AC于点D，如图1，设A(a,(a−2)2−6)，则BD＝a−2，AC＝|(a−2)2−6|，∵∠BAO＝∠ACO＝90∘，∴∠BAD+∠OAC＝∠OAC+∠AOC＝90∘，∴∠BAD＝∠AOC，∵AB＝OA，∠ADB＝∠OCA，∴△ABD≅△OAC(AAS)，∴BD＝AC，∴a−2＝|(a−2)2−6|，解得，a＝4，或a＝−1（舍），或a＝0（舍），或a＝5，∴A(4, −2)或(5, 3)；把y＝kx代入y＝x2−6中得，x2−kx−6＝0，∴x E+x F＝k，∴M(k2,k22)，把y=−4k x代入y＝x2−6中得，x2+4kx−6＝0，∴x G+x H=−4k，∴N(−2k , 8k2)，设MN的解析式为y＝mx+n(m≠0)，则{k2m+n=k22−2k m+n=8k2，解得，{m=k2−4kn=2，∴直线MN的解析式为：y=k2−4kx+2，当x＝0时，y＝2，∴直线MN:y=k2−4kx+2x经过定点(0, 2)，即直线MN经过一个定点．。

2020年湖北省武汉市中考数学。

试卷及答案解析2020年湖北省武汉市中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1.温度由-4℃上升7℃是（）A。

3℃ B。

-3℃ C。

11℃ D。

-11℃2.若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（）A。

x＞-2 B。

x＜-2 C。

x=-2 D。

x≠-23.计算3x^2-x^2的结果是（）A。

2 B。

2x^2 C。

2x D。

4x^24.五名女生的体重（单位：kg）分别为：37、40、38、42、42，这组数据的众数和中位数分别是（）A。

42、40 B。

42、38 C。

40、42 D。

2、405.计算（a-2）（a+3）的结果是（）A。

a^2-6 B。

a^2+a-6 C。

a^2+6 D。

a^2-a+66.点A（2，-5）关于x轴对称的点的坐标是（）A。

（2，5） B。

（-2，5） C。

（-2，-5） D。

（2，-5）7.一个几何体由若干个相同的正方体组成，其主视图和俯视图如图所示，则这个几何体中正方体的个数最多是（）A。

3 B。

4 C。

5 D。

68.一个不透明的袋中有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字1、2、3、4.随机抽取一张卡片，然后放回，再随机抽取一张卡片，则两次抽取的卡片上数字之积为偶数的概率是（）A。

3/4 B。

1/2 C。

1/4 D。

1/89.将正整数1至2020按一定规律排列如下表：平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（）A。

2020 B。

2021 C。

2022 D。

201310.如图，在⊙O中，点C在优弧AB的中点D。

若⊙O的半径为，AB=4，则BC的长是（）A。

B。

C。

D.二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11.计算的结果是12.下表记录了某种幼树在一定条件下移植成活情况移植总数n 成活数m 成活的频率（精确到0.01）400 325 0.81350 300 0.89700 640 0.91900 815 0.911400 1255 0.903500 3145 0.90由此估计这种幼树在此条件下移植成活的概率约是（精确到0.1）13.计算的结果是。

2020年湖北省武汉市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.实数−2的相反数是()A. 2B. −2C. 12D. −122.式子√x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是()A. x≥0B. x≤2C. x≥−2D. x≥23.两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3.从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是()A. 两个小球的标号之和等于1B. 两个小球的标号之和等于6C. 两个小球的标号之和大于1D. 两个小球的标号之和大于64.现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是()A. B. C. D.5.如图是由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是()A.B.C.D.6.某班从甲、乙、丙、丁四位选手中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选手的概率是()A. 13B. 14C. 16D. 187.若点A(a−1,y1)，B(a+1,y2)在反比例函数y=kx(k<0)的图象上，且y1>y2，则a的取值范围是()A. a<−1B. −1<a<1C. a>1D. a<−1或a>18.一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水量和出水量是两个常数．从某时刻开始4min内只进水不出水，从第4min到第24min内既进水又出水，从第24min开始只出水不进水，容器内水量y(单位：L)与时间x(单位：min)之间的关系如图所示，则图中a的值是()A. 32B. 34C. 36D. 389.如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是AC⏜的中点，AC与BD交于点E.若E是BD的中点，则AC的长是()A. 5√32B. 3√3C. 3√2D. 4√210.下列图中所有小正方形都是全等的．图(1)是一张由4个小正方形组成的“L”形纸片，图(2)是一张由6个小正方形组成的3×2方格纸片．把“L”形纸片放置在图(2)中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有如图(3)中的4种不同放置方法．图(4)是一张由36个小正方形组成的6×6方格纸片，将“L”形纸片放置在图(4)中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有n种不同放置方法，则n的值是()A. 160B. 128C. 80D. 48二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.化简√(−3)2的结果是______．12.热爱劳动，劳动最美！某合作学习小组6名同学一周居家劳动的时间(单位：ℎ)，分别为：4，3，3，5，5，6.这组数据的中位数是______．13.计算2m+n −m−3nm2−n2的结果是______．14.在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是▱ABCD的对角线，点E在AC上，AD=AE=BE，∠D=102°，则∠BAC的大小是______．15.抛物线y=ax2+bx+c(a,b，c为常数，a<0)经过A(2,0)，B(−4,0)两点，下列四个结论：①一元二次方程ax2+bx+c=0的根为x1=2，x2=−4；②若点C(−5,y1)，D(π,y2)在该抛物线上，则y1<y2；③对于任意实数t，总有at2+bt≤a−b；④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c=p(p为常数，p>0)的根为整数，则p的值只有两个．其中正确的结论是______(填写序号)．16.如图，折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，EF为折痕，AB=1，AD=2.设AM的长为t，用含有t的式子表示四边形CDEF的面积是______．三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）17.计算：[a3⋅a5+(3a4)2]÷a2．18.如图直线EF分别与直线AB，CD交于点E，F.EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，且EM//FN.求证：AB//CD．19.为改善民生：提高城市活力，某市有序推行“地摊经济”改策．某社区志愿者随机抽取该社区部分居民，按四个类别：A表示“非常支持”，B表示“支持”，C表示“不关心”，D表示“不支持”，调查他们对该政策态度的情况，将结果绘制成如图两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解决下列问题：(1)这次共抽取了______名居民进行调查统计，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小是______；(2)将条形统计图补充完整；(3)该社区共有2000名居民，估计该社区表示“支持”的B类居民大约有多少人？20.在8×5的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC的顶点坐标分别为O(0,0)，A(3,4)，B(8,4)，C(5,0).仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：(1)将线段CB绕点C逆时针旋转90°，画出对应线段CD；(2)在线段AB上画点E，使∠BCE=45°(保留画图过程的痕迹)；(3)连接AC，画点E关于直线AC的对称点F，并简要说明画法．21.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，AE与过点D的切线互相垂直，垂足为E．(1)求证：AD平分∠BAE；(2)若CD=DE，求sin∠BAC的值．22.某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的总成本y(万元)与产品数量x(件)之间具有函数关系y=ax2+bx+c.当x=10时，y=400；当x= 20时，y=1000.B城生产产品的每件成本为70万元．(1)求a，b的值；(2)当A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A，B两城各生产多少件？(3)从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D 地需要10件，在(2)的条件下，直接写出A，B两城总运费的和的最小值(用含有m 的式子表示)．23.问题背景如图(1)，已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；尝试应用如图(2)，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，ADBD =√3，求DFCF的值；拓展创新如图(3)，D是△ABC内一点，∠BAD=∠CBD=30°，∠BDC=90°，AB=4，AC=2√3，直接写出AD的长．24.将抛物线C：y=(x−2)2向下平移6个单位长度得到抛物线C1，再将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2．(1)直接写出抛物线C1，C2的解析式；(2)如图(1)，点A在抛物线C1(对称轴l右侧)上，点B在对称轴l上，△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标；(3)如图(2)，直线y=kx(k≠0,k为常数)与抛物线C2交于E，F两点，M为线段EFx与抛物线C2交于G，H两点，N为线段GH的中点．求证：的中点；直线y=−4k直线MN经过一个定点．答案和解析1.【答案】A【解析】解：实数−2的相反数是2，故选：A．由相反数的定义可知：−2的相反数是2．本题考查相反数的定义；熟练掌握相反数的定义是解题的关键．2.【答案】D【解析】解：由题意得：x−2≥0，解得：x≥2，故选：D．根据二次根式有意义的条件可得x−2≥0，再解即可．此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了随机事件、必然事件、不可能事件，解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．分别利用随机事件、必然事件、不可能事件的定义分别分析得出答案．【解答】解：∵两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3，∴从这两个口袋中分别摸出一个小球，两个小球的标号之和等于1，是不可能事件，不合题意；两个小球的标号之和等于6，是随机事件，符合题意；两个小球的标号之和大于1，是必然事件，不合题意；两个小球的标号之和大于6，是不可能事件，不合题意；故选：B．4.【答案】C【解析】解：A、不是轴对称图形，不合题意；B、不是轴对称图形，不合题意；C、是轴对称图形，符合题意；D、不是轴对称图形，不合题意；故选：C．根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴求解即可．此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．5.【答案】A【解析】【试题解析】解：从左边看上下各一个小正方形．故选：A．根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．6.【答案】C【解析】解：根据题意画图如下：共用12种等情况数，其中恰好选中甲、乙两位选手的有2种，则恰好选中甲、乙两位选手的概率是212=16；故选：C．根据题意画出树状图得出所有等情况数和恰好选中甲、乙两位选手的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．7.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握当k<0时，在图象的每一支上，y随x 的增大而增大．根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，①当点(a−1,y1)、(a+1,y2)在图象的同一支上时，②当点(a−1,y1)、(a+1,y2)在图象的两支上时，分别列不等式求解即可．【解答】解：∵k<0，∴在图象的每一支上，y随x的增大而增大，①当点(a−1,y1)、(a+1,y2)在图象的同一支上，∵y1>y2，∴a−1>a+1，此不等式无解；②当点(a−1,y1)、(a+1,y2)在图象的两支上，∵y1>y2，∴a−1<0，a+1>0，解得：−1<a<1，故选：B．8.【答案】C【解析】解：由图象可知，进水的速度为：20÷4=5(L/min)，出水的速度为：5−(35−20)÷(16−4)=3.75(L/min)，第24分钟时的水量为：20+(5−3.75)×(24−4)=45(L)，a=24+45÷3.75=36．故选：C．根据图象可知进水的速度为5(L/min)，再根据第16分钟时容器内水量为35L可得出水的速度，进而得出第24分钟时的水量，从而得出a的值．此题考查了一次函数的应用，解题时首先正确理解题意，利用数形结合的方法即可解决问题．9.【答案】D【解析】【分析】连接OD ，交AC 于F ，根据垂径定理得出OD ⊥AC ，AF =CF ，进而证得DF =BC ，根据三角形中位线定理求得OF =12BC =12DF ，从而求得BC =DF =2，利用勾股定理即可求得AC ．本题考查了垂径定理，三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．【解答】解：连接OD ，交AC 于F ，∵D 是AC ⏜的中点， ∴OD ⊥AC ，AF =CF ，∴∠DFE =90°，∵OA =OB ，AF =CF ，∴OF =12BC ， ∵AB 是直径，∴∠ACB =90°，在△EFD 和△ECB 中{∠DFE =∠ACB =90°∠DEF =∠BEC DE =BE∴△EFD≌△ECB(AAS)，∴DF =BC ，∴OF =12DF ，∵OD =3，∴OF=1，∴BC=2，在Rt△ABC中，AC2=AB2−BC2，∴AC=√AB2−BC2=√62−22=4√2，故选D．10.【答案】A【解析】解：观察图象可知(4)中共有4×5×2=40个3×2的长方形，由(3)可知，每个3×2的长方形有4种不同放置方法，则n的值是40×4=160．故选：A．对于图形的变化类的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．此题考查了规律型：图形的变化类，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．11.【答案】3【解析】解：√(−3)2=√9=3．故答案为：3．根据二次根式的性质化简即可解答．本题考查了二次根式的性质与化简．12.【答案】4.5【解析】解：将数据重新排列为：3，3，4，5，5，6，=4.5，所以这组数据的中位数为4+52故答案为：4.5．根据中位数的定义求解可得．本题主要考查中位数，解题的关键是掌握中位数的定义：将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．13.【答案】1m−n【解析】解：原式=2(m−n)(m+n)(m−n)−m−3n(m+n)(m−n)=2m−2n−m+3n(m+n)(m−n) =m+n(m+n)(m−n)=1m−n．故答案为：1m−n．原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14.【答案】26°【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠D=102°，AD=BC，∵AD=AE=BE，∴BC=AE=BE，∴∠EAB=∠EBA，∠BEC=∠ECB，∵∠BEC=∠EAB+∠EBA=2∠EAB，∴∠ACB=2∠CAB，∴∠CAB+∠ACB=3∠CAB=180°−∠ABC=180°−102°，∴∠BAC=26°，故答案为：26°．根据平行四边形的性质得到∠ABC=∠D=102°，AD=BC，根据等腰三角形的性质得到∠EAB=∠EBA，∠BEC=∠ECB，根据三角形外角的性质得到∠ACB=2∠CAB，由三角形的内角和定理即可得到结论．本题考查了平行四边形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．15.【答案】①③【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b，c为常数，a<0)经过A(2,0)，B(−4,0)两点，∴当y=0时，0=ax2+bx+c的两个根为x1=2，x2=−4，故①正确；该抛物线的对称轴为直线x=2+(−4)2=−1，函数图象开口向下，若点C(−5,y1)，D(π,y2)在该抛物线上，则y1>y2，故②错误；当x=−1时，函数取得最大值y=a−b+c，故对于任意实数t，总有at2+bt+c≤a−b+c，即对于任意实数t，总有at2+bt≤a−b，故③正确；对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c=p(p为常数，p>0)的根为整数，则两个根为−3和1或−2和0或−1和−1，故p的值有三个，故④错误；故答案为：①③．根据题目中的抛物线和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．16.【答案】14t2−14t+1【解析】解：连接DM，过点E作EG⊥BC于点G，设DE=x=EM，则EA=2−x，∵AE2+AM2=EM2，∴(2−x)2+t2=x2，解得x=t24+1，∴DE=t24+1，∵折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，∴EF⊥DM，∠ADM+∠DEF=90°，∵EG⊥AD，∴∠DEF+∠FEG=90°，∴∠ADM=∠FEG，∴tan∠ADM=AMAD =t2=FG1，∴FG=t2，∵CG=DE=t24+1，∴CF=t24−t2+1，∴S四边形CDEF =12(CF+DE)×1=14t2−14t+1．故答案为：14t2−14t+1．连接DM，过点E作EG⊥BC于点G，设DE=x=EM，则EA=2−x，由勾股定理得出(2−x)2+t2=x2，证得∠ADM=∠FEG，由锐角三角函数的定义得出FG，求出CF，则由梯形的面积公式可得出答案．本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握折叠的性质及方程的思想是解题的关键．17.【答案】解：原式=(a8+9a8)÷a2=10a8÷a2=10a6．【解析】此题考查了同底数幂的乘除法，属于基础题．原式中括号中利用同底数幂的乘法，积的乘方计算，合并后利用单项式除以单项式法则计算即可求出值．18.【答案】证明：∵EM//FN，∴∠FEM=∠EFN，又∵EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，∴∠FEB=∠EFC，∴AB//CD．【解析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟记角平分线的性质和平行线的性质．根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠FEB=∠EFC，进而得出AB//CD．19.【答案】60 6°【解析】解：(1)这次抽取的居民数量为9÷15%=60(名)，=6°，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小是360°×160故答案为：60，6°；(2)A类别人数为60−(36+9+1)=14(名)，补全条形图如下：=1200(名)．(3)估计该社区表示“支持”的B类居民大约有2000×3660(1)由C类别的人数及其所占百分比可得被调查的总人数，用360°乘以样本中D类别人数占被调查人数的比例即可得出答案；(2)根据A、B、C、D四个类别人数之和等于被调查的总人数求出A的人数，从而补全图形；(3)用总人数乘以样本中B类别人数所占比例可得答案．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．20.【答案】解：(1)如图所示：线段CD即为所求；(2)如图所示：∠BCE即为所求；(3)连接AC并延长，点G关于AC的对称点为(0,5)，连接(0,5)，(5,0)与OA交点即为点F，如图所示：【解析】本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等．也考查了轴对称变换．(1)利用网格特点和旋转的性质画出B点的对称点D即可；(2)作出BC为边的正方形，找到以C点为一个顶点的对角线与AB的交点E即为所求；(3)利用网格特点，作出G点关于直线AC的对称点(0,5)，连接(0,5)，(5,0)与OA的交点即为所求．21.【答案】(1)证明：连接OD，如图，∵DE为切线，∴OD⊥DE，∵DE⊥AE，∴OD//AE，∴∠1=∠ODA，∵OA=OD，∴∠2=∠ODA，∴∠1=∠2，∴AD平分∠BAE；(2)解：连接BD，如图，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∵∠2+∠ABD=90°，∠3+∠ABD=90°，∴∠2=∠3，∵sin∠1=DE AD ，sin∠3=DC BC ， 而DE =DC ，∴AD =BC ，设CD =x ，BC =AD =y ，∵∠DCB =∠BCA ，∠3=∠2，∴△CDB∽△CBA ，∴CD ：CB =CB ：CA ，即x ：y =y ：(x +y)，整理得x 2+xy +y 2=0，解得x =−1+√52y 或x =−1−√52y(舍去)， ∴sin∠3=DC BC =√5−12， 即sin∠BAC 的值为√5−12．【解析】(1)连接OD ，如图，根据切线的性质得到OD ⊥DE ，则可判断OD//AE ，从而得到∠1=∠ODA ，然后利用∠2=∠ODA 得到∠1=∠2；(2)连接BD ，如图，利用圆周角定理得到∠ADB =90°，再证明∠2=∠3，利用三角函数的定义得到sin∠1=DE AD ，sin∠3=DC BC ，则AD =BC ，设CD =x ，BC =AD =y ，证明△CDB∽△CBA ，利用相似比得到x ：y =y ：(x +y)，然后求出x 、y 的关系可得到sin∠BAC 的值．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和解直角三角形．22.【答案】解：(1)由题意得：当产品的数量为0时，总成本也为0，即当x =0时，y =0，则有：{c =0100a +10b +c =400400a +20b +c =1000，解得：{a =1b =30c =0．∴a =1，b =30；(2)由(1)得：y =x 2+30x ，设A ，B 两城生产这批产品的总成本为w ，则w =x 2+30x +70(100−x)=x 2−40x +7000，=(x −20)2+6600，由二次函数的性质可知，当x =20时，w 取得最小值，最小值为6600万元，此时100−20=80．答：A 城生产20件，B 城生产80件；(3)设从A 城运往C 地的产品数量为n 件，A ，B 两城总运费的和为P ，则从A 城运往D 地的产品数量为(20−n)件，从B 城运往C 地的产品数量为(90−n)件，从B 城运往D 地的产品数量为(10−20+n)件，由题意得：{20−n ≥010−20+n ≥0， 解得10≤n ≤20，∴P =mn +3(20−n)+(90−n)+2(10−20+n)，整理得：P =(m −2)n +130，根据一次函数的性质分以下两种情况：①当0<m ≤2，10≤n ≤20时，P 随n 的增大而减小，则n =20时，P 取最小值，最小值为20(m −2)+130=20m +90；②当m >2，10≤n ≤20时，P 随n 的增大而增大，则n =10时，P 取最小值，最小值为10(m −2)+130=10m +110．答：0<m ≤2时，A ，B 两城总运费的和为(20m +90)万元；当m >2时，A ，B 两城总运费的和为(10m +110)万元．【解析】(1)先根据题意得出产品的数量为0时，总成本也为0，再利用待定系数法即可求出a ，b 的值；(2)先根据(1)的结论得出y 与x 之间的函数关系，从而可得出A ，B 两城生产这批产品的总成本的和，再根据二次函数的性质即可得出答案；(3)设从A 城运往C 地的产品数量为n 件，A ，B 两城总运费的和为P ，则从A 城运往D 地的产品数量为(20−n)件，从B 城运往C 地的产品数量为(90−n)件，从B 城运往D 地的产品数量为(10−20+n)件，从而可得关于n 的不等式组，解得n 的范围，然后根据运费信息可得P 关于n 的一次函数，最后根据一次函数的性质可得答案．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数及一次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并明确一次函数和二次函数的相关性质是解题的关键．23.【答案】问题背景证明：∵△ABC∽△ADE ，∴ABAD =ACAE，∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，ABAC =ADAE，∴△ABD∽△ACE；尝试应用解：如图1，连接EC，∵∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°，∴△ABC∽△ADE，由(1)知△ABD∽△ACE，∴AEEC =ADBD=√3，∠ACE=∠ABD=∠ADE，在Rt△ADE中，∠ADE=30°，∴ADAE=√3，∴ADEC =ADAE×AECE=√3×√3=3．∵∠ADF=∠ECF，∠AFD=∠EFC，∴△ADF∽△ECF，∴DFCF =ADCE=3．拓展创新解：如图2，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，∵∠BAD=30°，∴∠DAM=60°，∴∠AMD=30°，∴∠AMD=∠DBC，又∵∠ADM=∠BDC=90°，∴△BDC∽△MDA，∴BDMD =DCDA，又∠BDC=∠ADM，∴∠BDC+∠CDM=∠ADM+∠ADC，即∠BDM=∠CDA，∴△BDM∽△CDA，∴BMCA =DMAD=√3，∵AC=2√3，∴BM=2√3×√3=6，∴AM=√BM2−AB2=√62−42=2√5，∴AD=12AM=√5．【解析】问题背景由题意得出ABAD =ACAE，∠BAC=∠DAE，则∠BAD=∠CAE，可证得结论；尝试应用连接EC，证明△ABC∽△ADE，由(1)知△ABD∽△ACE，由相似三角形的性质得出AEEC=AD BD =√3，∠ACE=∠ABD=∠ADE，可证明△ADF∽△ECF，得出DFCF=ADCE=3，则可求出答案．拓展创新过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，证明△BDC∽△MDA，由相似三角形的性质得出BDMD =DCDA，证明△BDM∽△CDA，得出BMCA=DMAD=√3，求出BM=6，由勾股定理求出AM，最后由直角三角形的性质可求出AD的长．此题是相似形综合题，考查了直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．24.【答案】解：(1)∵抛物线C：y=(x−2)2向下平移6个单位长度得到抛物线C1，∴C1：y=(x−2)2−6，∵将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2．∴C2：y=(x−2+2)2−6，即y=x2−6；(2)过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，过B 作BD ⊥AC 于点D ，如图1，设A(a,(a −2)2−6)，则BD =a −2，AC =|(a −2)2−6|，∵∠BAO =∠ACO =90°，∴∠BAD +∠OAC =∠OAC +∠AOC =90°，∴∠BAD =∠AOC ，∵AB =OA ，∠ADB =∠OCA ，∴△ABD≌△OAC(AAS)，∴BD =AC ，∴a −2=|(a −2)2−6|，解得，a =4，或a =−1(舍)，或a =0(舍)，或a =5，∴A(4,−2)或(5,3)；(3)把y =kx 代入y =x 2−6中得，x 2−kx −6=0，∴x E +x F =k ，∴M(k 2,k 22)，把y =−4k x 代入y =x 2−6中得，x 2+4k x −6=0，∴x G +x H =−4k ，∴N(−2k ,8k 2)，设MN 的解析式为y =mx +n(m ≠0)，则{k 2m +n =k 22−2k m +n =8k 2，解得，{m =k 2−4k n =2， ∴直线MN 的解析式为：y =k 2−4k x +2，当x=0时，y=2，∴直线MN：y=k2−4x+2x经过定点(0,2)，k即直线MN经过一个定点．【解析】(1)根据平移规律：上加下减，左加右减，直接写出平移后的解析式；(2)过点A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥AC于点D，设A(a,(a−2)2−6)，则BD= a−2，AC=|(a−2)2−6|，再证明△ABD≌△OAC，由全等三角形的性质得a的方程求得a便可得A的坐标；(3)由两直线解析式分别与抛物线的解析式联立方程组，求出M、N点的坐标，进而求得MN的解析式，再根据解析式的特征得出MN经过一个定点．本题是一个二次函数综合题，主要考查了平移的性质，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，待定系数法，求函数图象的交点问题，第(2)小题关键是证明三角形全等，第(3)题关键是求出M、N点的坐标及直线MN的解析式．。

2020年武汉市初中毕业生学业考试数学试卷（满分120分，考试用时120分钟）第Ⅰ卷（选择题共30分）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案。

1．实数﹣2的相反数是（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣2．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥0 B．x≤2 C．x≥﹣2 D．x≥23．两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是（）A．两个小球的标号之和等于1 B．两个小球的标号之和等于6C．两个小球的标号之和大于1 D．两个小球的标号之和大于64．现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．如图是由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（）A．B．C．D．6．某班从甲、乙、丙、丁四位选手中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选手的概率是（）A．B．C．D．7．若点A（a﹣1，y1），B（a+1，y2）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，且y1＞y2，则a的取值范围是（）A．a＜﹣1 B．﹣1＜a＜1 C．a＞1 D．a＜﹣1或a＞18．一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水量和出水量是两个常数．从某时刻开始4min内只进水不出水，从第4min到第24min内既进水又出水，从第24min开始只出水不进水，容器内水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示，则图中a的值是（）A．32 B．34 C．36 D．389．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（）A．B．3C．3D．410．下列图中所有小正方形都是全等的．图（1）是一张由4个小正方形组成的“L”形纸片，图（2）是一张由6个小正方形组成的3×2方格纸片．把“L”形纸片放置在图（2）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有如图（3）中的4种不同放置方法．图（4）是一张由36个小正方形组成的6×6方格纸片，将“L”形纸片放置在图（4）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有n种不同放置方法，则n的值是（）A．160 B．128 C．80 D．48第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解题过程，请将结果直接填写在题中的横线上。

2020年数学中考试题附答案一、选择题1．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个2．下列命题中，其中正确命题的个数为（）个．①方差是衡量一组数据波动大小的统计量；②影响超市进货决策的主要统计量是众数；③折线统计图反映一组数据的变化趋势；④水中捞月是必然事件．A．1B．2C．3D．43．三张外观相同的卡片分别标有数字1，2，3，从中随机一次性抽出两张，则这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是（）A．19B．16C．13D．234．菱形不具备的性质是（）A．四条边都相等 B．对角线一定相等 C．是轴对称图形 D．是中心对称图形5．如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i=1：0.75、坡长为10米的斜坡CD 到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）（）A．21.7米B．22.4米C．27.4米D．28.8米6．2-的相反数是（）A．2-B．2C．12D．12-7．已知平面内不同的两点A（a+2，4）和B（3，2a+2）到x轴的距离相等，则a的值为( )A ．﹣3B ．﹣5C ．1或﹣3D ．1或﹣58．将一个矩形纸片按如图所示折叠，若∠1=40°，则∠2的度数是（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°9．估计10+1的值应在（ ） A ．3和4之间 B ．4和5之间 C ．5和6之间 D ．6和7之间10．下面的几何体中，主视图为圆的是（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图，已知⊙O 的半径是2，点A 、B 、C 在⊙O 上，若四边形OABC 为菱形，则图中阴影部分面积为（ ）A ．23π﹣23B ．13π﹣3 C ．43π﹣23 D ．43π﹣3 12．下列分解因式正确的是（ ） A ．24(4)x x x x -+=-+B ．2()x xy x x x y ++=+C ．2()()()x x y y y x x y -+-=-D ．244(2)(2)x x x x -+=+-二、填空题13．如图，矩形ABCD 中，AB=3，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE 垂直平分OB 于点E ，则AD 的长为____________．14．如图，直线a 、b 被直线l 所截，a ∥b ，∠1=70°，则∠2= ．15．如图，点A 在双曲线y=4x 上，点B 在双曲线y=k x （k≠0）上，AB ∥x 轴，过点A 作AD ⊥x 轴 于D ．连接OB ，与AD 相交于点C ，若AC=2CD ，则k 的值为____．16．如图，⊙O 的半径为6cm ，直线AB 是⊙O 的切线，切点为点B ，弦BC ∥AO ，若∠A=30°，则劣弧»BC 的长为 cm ．17．用一个圆心角为180°，半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为_______．18．甲、乙两人在1200米长的直线道路上跑步，甲、乙两人同起点、同方向出发，并分别以不同的速度匀速前进，已知，甲出发30秒后，乙出发，乙到终点后立即返回，并以原来的速度前进，最后与甲相遇，此时跑步结束．如图，y （米）表示甲、乙两人之间的距离，x （秒）表示甲出发的时间，图中折线及数据表示整个跑步过程中y 与x 函数关系，那么，乙到达终点后_____秒与甲相遇．19．如图，把三角形纸片折叠，使点B ，点C 都与点A 重合，折痕分别为,DE FG ，若15,2C AE EG ︒∠===厘米，ABC △则的边BC 的长为__________厘米。

2020年湖北省武汉市中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）实数﹣2的相反数是（ ） A ．2B ．﹣2C ．12D ．−122．（3分）式子√x −2在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ≥0B ．x ≤2C ．x ≥﹣2D ．x ≥23．（3分）两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是（ ） A ．两个小球的标号之和等于1 B ．两个小球的标号之和等于6 C ．两个小球的标号之和大于1D ．两个小球的标号之和大于64．（3分）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ） A ．B ．C ．D ．5．（3分）如图是由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（3分）某班从甲、乙、丙、丁四位选手中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选手的概率是（ ） A ．13B ．14C ．16D ．187．（3分）若点A （a ﹣1，y 1），B （a +1，y 2）在反比例函数y =kx（k ＜0）的图象上，且y 1＞y 2，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＜﹣1B ．﹣1＜a ＜1C ．a ＞1D ．a ＜﹣1或a ＞18．（3分）一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水量和出水量是两个常数．从某时刻开始4min 内只进水不出水，从第4min 到第24min 内既进水又出水，从第24min 开始只出水不进水，容器内水量y （单位：L ）与时间x （单位：min ）之间的关系如图所示，则图中a 的值是（ ）A ．32B ．34C ．36D ．389．（3分）如图，在半径为3的⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，D 是AC ̂的中点，AC 与BD 交于点E ．若E 是BD 的中点，则AC 的长是（ ）A ．52√3B ．3√3C ．3√2D ．4√210．（3分）下列图中所有小正方形都是全等的．图（1）是一张由4个小正方形组成的“L ”形纸片，图（2）是一张由6个小正方形组成的3×2方格纸片．把“L ”形纸片放置在图（2）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有如图（3）中的4种不同放置方法．图（4）是一张由36个小正方形组成的6×6方格纸片，将“L ”形纸片放置在图（4）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有n 种不同放置方法，则n 的值是（ ）A．160B．128C．80D．48二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）计算√(−3)2的结果是．12．（3分）热爱劳动，劳动最美！某合作学习小组6名同学一周居家劳动的时间（单位：h），分别为：4，3，3，5，5，6．这组数据的中位数是．13．（3分）计算2m+n −m−3nm2−n2的结果是．14．（3分）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是▱ABCD 的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝102°，则∠BAC的大小是．15．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，下列四个结论：①一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝2，x2＝﹣4；②若点C（﹣5，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＜y2；③对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b；④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则p的值只有两个．其中正确的结论是（填写序号）．16．（3分）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，EF为折痕，AB＝1，AD＝2．设AM的长为t，用含有t的式子表示四边形CDEF的面积是．三、解答题（共8小题，共72分）17．（8分）计算：[a3•a5+（3a4）2]÷a2．18．（8分）如图直线EF分别与直线AB，CD交于点E，F．EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，且EM∥FN．求证：AB∥CD．19．（8分）为改善民生：提高城市活力，某市有序推行“地摊经济”改策．某社区志愿者随机抽取该社区部分居民，按四个类别：A表示“非常支持”，B表示“支持”，C表示“不关心”，D表示“不支持”，调查他们对该政策态度的情况，将结果绘制成如图两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解决下列问题：（1）这次共抽取了名居民进行调查统计，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小是；（2）将条形统计图补充完整；（3）该社区共有2000名居民，估计该社区表示“支持”的B类居民大约有多少人？20．（8分）在8×5的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，4），B（8，4），C（5，0）．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：（1）将线段CB绕点C逆时针旋转90°，画出对应线段CD；（2）在线段AB 上画点E ，使∠BCE ＝45°（保留画图过程的痕迹）； （3）连接AC ，画点E 关于直线AC 的对称点F ，并简要说明画法．21．（8分）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，AE 与过点D 的切线互相垂直，垂足为E ． （1）求证：AD 平分∠BAE ；（2）若CD ＝DE ，求sin ∠BAC 的值．22．（10分）某公司分别在A ，B 两城生产同种产品，共100件．A 城生产产品的总成本y （万元）与产品数量x （件）之间具有函数关系y ＝ax 2+bx ．当x ＝10时，y ＝400；当x ＝20时，y ＝1000．B 城生产产品的每件成本为70万元． （1）求a ，b 的值；（2）当A ，B 两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A ，B 两城各生产多少件？ （3）从A 城把该产品运往C ，D 两地的费用分别为m 万元/件和3万元/件；从B 城把该产品运往C ，D 两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C 地需要90件，D 地需要10件，在（2）的条件下，直接写出A ，B 两城总运费的和的最小值（用含有m 的式子表示）． 23．（10分）问题背景 如图（1），已知△ABC ∽△ADE ，求证：△ABD ∽△ACE ； 尝试应用 如图（2），在△ABC 和△ADE 中，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∠ABC ＝∠ADE ＝30°，AC 与DE 相交于点F ，点D 在BC 边上，AD BD=√3，求DF CF的值；拓展创新 如图（3），D 是△ABC 内一点，∠BAD ＝∠CBD ＝30°，∠BDC ＝90°，AB ＝4，AC ＝2√3，直接写出AD 的长．24．（12分）将抛物线C：y＝（x﹣2）2向下平移6个单位长度得到抛物线C1，再将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2．（1）直接写出抛物线C1，C2的解析式；（2）如图（1），点A在抛物线C1（对称轴l右侧）上，点B在对称轴l上，△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标；（3）如图（2），直线y＝kx（k≠0，k为常数）与抛物线C2交于E，F两点，M为线段EF的中点；直线y=−4k x与抛物线C2交于G，H两点，N为线段GH的中点．求证：直线MN经过一个定点．参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）实数﹣2的相反数是（ ） A ．2B ．﹣2C ．12D ．−12【解答】解：实数﹣2的相反数是2， 故选：A ．2．（3分）式子√x −2在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ≥0B ．x ≤2C ．x ≥﹣2D ．x ≥2【解答】解：由题意得：x ﹣2≥0， 解得：x ≥2， 故选：D ．3．（3分）两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是（ ） A ．两个小球的标号之和等于1 B ．两个小球的标号之和等于6 C ．两个小球的标号之和大于1D ．两个小球的标号之和大于6【解答】解：∵两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3，∴从这两个口袋中分别摸出一个小球，两个小球的标号之和等于1，是不可能事件，不合题意；两个小球的标号之和等于6，是随机事件，符合题意； 两个小球的标号之和大于1，是必然事件，不合题意； 两个小球的标号之和大于6，是不可能事件，不合题意； 故选：B ．4．（3分）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ） A ．B ．C ．D ．【解答】解：A 、不是轴对称图形，不合题意；B 、不是轴对称图形，不合题意；C 、是轴对称图形，符合题意；D 、不是轴对称图形，不合题意； 故选：C ．5．（3分）如图是由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：从左边看上下各一个小正方形． 故选：A ．6．（3分）某班从甲、乙、丙、丁四位选手中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选手的概率是（ ） A ．13B ．14C ．16D ．18【解答】解：根据题意画图如下：共用12种等情况数，其中恰好选中甲、乙两位选手的有2种， 则恰好选中甲、乙两位选手的概率是212=16；故选：C ．7．（3分）若点A （a ﹣1，y 1），B （a +1，y 2）在反比例函数y =kx （k ＜0）的图象上，且y 1＞y2，则a的取值范围是（）A．a＜﹣1B．﹣1＜a＜1C．a＞1D．a＜﹣1或a＞1【解答】解：∵k＜0，∴在图象的每一支上，y随x的增大而增大，①当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的同一支上，∵y1＞y2，∴a﹣1＞a+1，此不等式无解；②当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的两支上，∵y1＞y2，∴a﹣1＜0，a+1＞0，解得：﹣1＜a＜1，故选：B．8．（3分）一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水量和出水量是两个常数．从某时刻开始4min内只进水不出水，从第4min到第24min内既进水又出水，从第24min开始只出水不进水，容器内水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示，则图中a的值是（）A．32B．34C．36D．38【解答】解：由图象可知，进水的速度为：20÷4＝5（L/min），出水的速度为：5﹣（35﹣20）÷（16﹣4）＝3.75（L/min），第24分钟时的水量为：20+（5﹣3.75）×（24﹣4）＝45（L），a＝24+45÷3.75＝36．故选：C．̂的中点，AC与BD 9．（3分）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是AC交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（）A ．52√3B ．3√3C ．3√2D ．4√2【解答】解：连接OD ，交AC 于F ， ∵D 是AĈ的中点， ∴OD ⊥AC ，AF ＝CF ， ∴∠DFE ＝90°， ∵OA ＝OB ，AF ＝CF ， ∴OF =12BC ， ∵AB 是直径， ∴∠ACB ＝90°， 在△EFD 和△ECB 中 {∠DFE =∠ACB =90°∠DEF =∠BEC DE =BE∴△EFD ≌△ECB （AAS ）， ∴DF ＝BC ， ∴OF =12DF ， ∵OD ＝3， ∴OF ＝1， ∴BC ＝2，在Rt △ABC 中，AC 2＝AB 2﹣BC 2， ∴AC =√AB 2−BC 2=√62−22=4√2， 故选：D ．10．（3分）下列图中所有小正方形都是全等的．图（1）是一张由4个小正方形组成的“L ”形纸片，图（2）是一张由6个小正方形组成的3×2方格纸片．把“L ”形纸片放置在图（2）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有如图（3）中的4种不同放置方法．图（4）是一张由36个小正方形组成的6×6方格纸片，将“L ”形纸片放置在图（4）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有n 种不同放置方法，则n 的值是（ ）A ．160B ．128C ．80D ．48【解答】解：观察图象可知（4）中共有4×5×2＝40个3×2的长方形，由（3）可知，每个3×2的长方形有4种不同放置方法，则n 的值是40×4＝160．故选：A ．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）计算√(−3)2的结果是 3 ．【解答】解：√(−3)2=√9=3．故答案为：3．12．（3分）热爱劳动，劳动最美！某合作学习小组6名同学一周居家劳动的时间（单位：h ），分别为：4，3，3，5，5，6．这组数据的中位数是 4.5 ．【解答】解：将数据重新排列为：3，3，4，5，5，6，所以这组数据的中位数为4+52=4.5，故答案为：4.5．13．（3分）计算2m+n −m−3nm2−n2的结果是1m−n．【解答】解：原式=2(m−n)(m+n)(m−n)−m−3n(m+n)(m−n)=2m−2n−m+3n (m+n)(m−n)=m+n(m+n)(m−n)=1m−n．故答案为：1m−n．14．（3分）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是▱ABCD 的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝102°，则∠BAC的大小是26°．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D＝102°，AD＝BC，∵AD＝AE＝BE，∴BC＝AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，∵∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝2∠EAB，∴∠ACB＝2∠CAB，∴∠CAB+∠ACB＝3∠CAB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣102°，∴∠BAC＝26°，故答案为：26°．15．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，下列四个结论：①一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝2，x2＝﹣4；②若点C（﹣5，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＜y2；③对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b；④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则p的值只有两个．其中正确的结论是①③（填写序号）．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为x1＝2，x2＝﹣4，故①正确；该抛物线的对称轴为直线x=2+(−4)2=−1，函数图象开口向下，若点C（﹣5，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＞y2，故②错误；当x＝﹣1时，函数取得最大值y＝a﹣b+c，故对于任意实数t，总有at2+bt+c≤a﹣b+c，即对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b，故③正确；对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则两个根为﹣3和1或﹣2和0或﹣1和﹣1，故p的值有三个，故④错误；故答案为：①③．16．（3分）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，EF为折痕，AB＝1，AD＝2．设AM的长为t，用含有t的式子表示四边形CDEF的面积是14t2−14t+1．【解答】解：连接DM，过点E作EG⊥BC于点G，设DE＝x＝EM，则EA＝2﹣x，∵AE2+AM2＝EM2，∴（2﹣x）2+t2＝x2，解得x=t24+1，∴DE=t24+1，∵折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在AB 边的点M 处，∴EF ⊥DM ，∠ADM +∠DEF ＝90°，∵EG ⊥AD ，∴∠DEF +∠FEG ＝90°，∴∠ADM ＝∠FEG ，∴tan ∠ADM =AM AD =t 2=FG 1，∴FG =t 2，∵CG ＝DE =t 24+1，∴CF =t 24−t 2+1， ∴S 四边形CDEF =12（CF +DE ）×1=14t 2−14t +1．故答案为：14t 2−14t +1． 三、解答题（共8小题，共72分）17．（8分）计算：[a 3•a 5+（3a 4）2]÷a 2．【解答】解：原式＝（a 8+9a 8）÷a 2＝10a 8÷a 2＝10a 6．18．（8分）如图直线EF 分别与直线AB ，CD 交于点E ，F ．EM 平分∠BEF ，FN 平分∠CFE ，且EM ∥FN ．求证：AB ∥CD ．【解答】证明：∵EM ∥FN ，∴∠FEM ＝∠EFN ，又∵EM 平分∠BEF ，FN 平分∠CFE ，∴∠FEB ＝∠EFC ，∴AB∥CD．19．（8分）为改善民生：提高城市活力，某市有序推行“地摊经济”改策．某社区志愿者随机抽取该社区部分居民，按四个类别：A表示“非常支持”，B表示“支持”，C表示“不关心”，D表示“不支持”，调查他们对该政策态度的情况，将结果绘制成如图两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解决下列问题：（1）这次共抽取了60名居民进行调查统计，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小是6°；（2）将条形统计图补充完整；（3）该社区共有2000名居民，估计该社区表示“支持”的B类居民大约有多少人？【解答】解：（1）这次抽取的居民数量为9÷15%＝60（名），扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小是360°×160=6°，故答案为：60，6°；（2）A类别人数为60﹣（36+9+1）＝14（名），补全条形图如下：（3）估计该社区表示“支持”的B类居民大约有2000×3660=1200（名）．20．（8分）在8×5的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，4），B（8，4），C（5，0）．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：（1）将线段CB绕点C逆时针旋转90°，画出对应线段CD；（2）在线段AB上画点E，使∠BCE＝45°（保留画图过程的痕迹）；（3）连接AC，画点E关于直线AC的对称点F，并简要说明画法．【解答】解：（1）如图所示：线段CD即为所求；（2）如图所示：∠BCE即为所求；（3）连接（5，0），（0，5），可得与AC的交点F，点F即为所求，如图所示：21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，AE 与过点D的切线互相垂直，垂足为E．（1）求证：AD平分∠BAE；（2）若CD＝DE，求sin∠BAC的值．【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵DE为切线，∴OD⊥DE，∵DE⊥AE，∴OD ∥AE ，∴∠1＝∠ODA ，∵OA ＝OD ，∴∠2＝∠ODA ，∴∠1＝∠2，∴AD 平分∠BAE ；（2）解：连接BD ，如图，∵AB 为直径，∴∠ADB ＝90°，∵∠2+∠ABD ＝90°，∠3+∠ABD ＝90°，∴∠2＝∠3，∵sin ∠1=DE AD ，sin ∠3=DC BC， 而DE ＝DC ，∴AD ＝BC ，设CD ＝x ，BC ＝AD ＝y ，∵∠DCB ＝∠BCA ，∠3＝∠2，∴△CDB ∽△CBA ，∴CD ：CB ＝CB ：CA ，即x ：y ＝y ：（x +y ），整理得x 2+xy +y 2＝0，解得x =−1+√52y 或x =−1−√52y （舍去）， ∴sin ∠3=DC BC =√5−12，即sin ∠BAC 的值为√5−12．22．（10分）某公司分别在A ，B 两城生产同种产品，共100件．A 城生产产品的总成本y（万元）与产品数量x （件）之间具有函数关系y ＝ax 2+bx ．当x ＝10时，y ＝400；当x＝20时，y ＝1000．B 城生产产品的每件成本为70万元．（1）求a ，b 的值；（2）当A ，B 两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A ，B 两城各生产多少件？（3）从A 城把该产品运往C ，D 两地的费用分别为m 万元/件和3万元/件；从B 城把该产品运往C ，D 两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C 地需要90件，D 地需要10件，在（2）的条件下，直接写出A ，B 两城总运费的和的最小值（用含有m 的式子表示）．【解答】解：（1）由题意得：{100a +10b =400400a +20b =1000， 解得：{a =1b =30． ∴a ＝1，b ＝30；（2）由（1）得：y ＝x 2+30x ，设A ，B 两城生产这批产品的总成本为w ，则w ＝x 2+30x +70（100﹣x ）＝x 2﹣40x +7000，＝（x ﹣20）2+6600，由二次函数的性质可知，当x ＝20时，w 取得最小值，最小值为6600万元，此时100﹣20＝80．答：A 城生产20件，B 城生产80件；（3）设从A 城运往C 地的产品数量为n 件，A ，B 两城总运费的和为P ，则从A 城运往D 地的产品数量为（20﹣n ）件，从B 城运往C 地的产品数量为（90﹣n ）件，从B 城运往D 地的产品数量为（10﹣20+n ）件，由题意得：{20−n ≥010−20+n ≥0， 解得10≤n ≤20，∴P ＝mn +3（20﹣n ）+（90﹣n ）+2（10﹣20+n ），整理得：P ＝（m ﹣2）n +130，根据一次函数的性质分以下两种情况：①当0＜m ≤2，10≤n ≤20时，P 随n 的增大而减小，则n ＝20时，P 取最小值，最小值为20（m ﹣2）+130＝20m +90；②当m ＞2，10≤n ≤20时，P 随n 的增大而增大，则n ＝10时，P 取最小值，最小值为10（m ﹣2）+130＝10m +110．答：0＜m ≤2时，A ，B 两城总运费的和为（20m +90）万元；当m ＞2时，A ，B 两城总运费的和为（10m +110）万元．23．（10分）问题背景 如图（1），已知△ABC ∽△ADE ，求证：△ABD ∽△ACE ；尝试应用 如图（2），在△ABC 和△ADE 中，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∠ABC ＝∠ADE ＝30°，AC 与DE 相交于点F ，点D 在BC 边上，AD BD =√3，求DF CF 的值；拓展创新 如图（3），D 是△ABC 内一点，∠BAD ＝∠CBD ＝30°，∠BDC ＝90°，AB ＝4，AC ＝2√3，直接写出AD 的长．【解答】问题背景证明：∵△ABC ∽△ADE ，∴AB AD =AC AE ，∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，AB AC =AD AE ，∴△ABD ∽△ACE ；尝试应用解：如图1，连接EC ，∵∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∠ABC ＝∠ADE ＝30°，∴△ABC ∽△ADE ，由（1）知△ABD ∽△ACE ，∴AE EC =AD BD =√3，∠ACE ＝∠ABD ＝∠ADE ，在Rt △ADE 中，∠ADE ＝30°，∴AD AE =√3， ∴AD EC =AD AE ×AE CE =√3×√3=3．∵∠ADF ＝∠ECF ，∠AFD ＝∠EFC ，∴△ADF ∽△ECF ，∴DF CF =AD CE =3．拓展创新解：如图2，过点A 作AB 的垂线，过点D 作AD 的垂线，两垂线交于点M ，连接BM ，∵∠BAD ＝30°，∴∠DAM ＝60°，∴∠AMD ＝30°，∴∠AMD ＝∠DBC ，又∵∠ADM ＝∠BDC ＝90°，∴△BDC ∽△MDA ，∴BD MD =DC DA ，又∠BDC ＝∠ADM ，∴∠BDC +∠CDM ＝∠ADM +∠ADC ，即∠BDM ＝∠CDA ，∴△BDM ∽△CDA ，∴BM CA =DM AD =√3，∵AC ＝2√3，∴BM ＝2√3×√3=6，∴AM =√BM 2−AB 2=√62−42=2√5，∴AD=12AM=√5．24．（12分）将抛物线C：y＝（x﹣2）2向下平移6个单位长度得到抛物线C1，再将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2．（1）直接写出抛物线C1，C2的解析式；（2）如图（1），点A在抛物线C1（对称轴l右侧）上，点B在对称轴l上，△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标；（3）如图（2），直线y＝kx（k≠0，k为常数）与抛物线C2交于E，F两点，M为线段EF的中点；直线y=−4k x与抛物线C2交于G，H两点，N为线段GH的中点．求证：直线MN经过一个定点．【解答】解：（1）∵抛物线C：y＝（x﹣2）2向下平移6个单位长度得到抛物线C1，∴C1：y＝（x﹣2）2﹣6，∵将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2．∴C2：y＝（x﹣2+2）2﹣6，即y＝x2﹣6；（2）过点A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥AC于点D，如图1，设A（a，（a﹣2）2﹣6），则BD＝a﹣2，AC＝|（a﹣2）2﹣6|，∵∠BAO＝∠ACO＝90°，∴∠BAD+∠OAC＝∠OAC+∠AOC＝90°，∴∠BAD＝∠AOC，∵AB＝OA，∠ADB＝∠OCA，∴△ABD≌△OAC（AAS），∴BD ＝AC ，∴a ﹣2＝|（a ﹣2）2﹣6|，解得，a ＝4，或a ＝﹣1（舍），或a ＝0（舍），或a ＝5， ∴A （4，﹣2）或（5，3）；（3）把y ＝kx 代入y ＝x 2﹣6中得，x 2﹣kx ﹣6＝0， ∴x E +x F ＝k ，∴M （k 2，k 22）， 把y =−4k x 代入y ＝x 2﹣6中得，x 2+4k x ﹣6＝0，∴x G +x H =−4k ，∴N （−2k ，8k 2），设MN 的解析式为y ＝mx +n （m ≠0），则{k 2m +n =k 22−2k m +n =8k 2，解得，{m =k 2−4k n =2， ∴直线MN 的解析式为：y =k 2−4k x +2， 当x ＝0时，y ＝2，∴直线MN ：y =k 2−4k x +2经过定点（0，2）， 即直线MN 经过一个定点．。