2013.2.3.1平面向量基本定理

数学必修二平面向量基本定理平面向量是解决平面几何问题的重要工具，它不仅在数学中有着重要的应用，而且在物理学、工程学等自然科学中也具有广泛应用。

平面向量的基本定理指的是平面向量的加法、减法和数量乘法满足一定的运算规律。

下面将分别从平面向量的定义、运算规则以及基本定理来介绍平面向量的基本原理。

一、平面向量的定义平面向量可以看作是有大小和方向的有向线段，通常用一个有箭头的字母来表示，如→a、→b等。

向量的大小用模长或长度表示，记作|→a|或||→a||。

平面向量的方向用有方向的线段表示。

有向线段的起点称为向量的起点，终点称为向量的终点。

向量的起点和终点可以重合，也可以不重合。

平面向量有两个重要的性质：大小和方向。

大小是指向量的长度，方向是指向量的指向。

如果两个向量的大小和方向都相等，则这两个向量相等。

对于两个相等的向量，必有相同的大小和相同的方向。

二、平面向量的运算规则1. 加法运算设有两个平面向量→a和→b，它们的和记作→c=→a+→b。

求得和向量的方法是将→b的起点与→a的终点相接，连接起→a的起点和→b的终点得到一条新的线段，新线段的方向即为和向量的方向，新线段的长度即为和向量的大小。

2. 减法运算设有两个平面向量→a和→b，它们的差记作→c=→a-→b。

求得差向量的方法是将→b的起点与→a的终点相接，连接起→b 的起点和→a的起点得到一条新的线段，新线段的方向即为差向量的方向，新线段的长度即为差向量的大小。

3. 数量乘法设有一个平面向量→a和一个实数k，它们的数量乘积记作→b=k→a。

数量乘法的运算是将向量→a的长度乘以实数k得到一个新的长度，方向不变。

平面向量的加法满足交换律和结合律，即对于任意平面向量→a、→b和→c，有：→a+→b=→b+→a；（交换律）(→a+→b)+→c=→a+(→b+→c)。

（结合律）平面向量的乘法运算满足结合律和分配律，即对于任意平面向量→a、→b和实数k和l，有：k(l→a)=(kl)→a；（结合律）(k+l)→a=k→a+l→a。

2.3.1 平面向量基本定理平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对和b ，作OA →＝a 180°]． 由于零向量的方向是任意的，因此，零向量可以与任一向量平行，零向量也可以与任一向量垂直．按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠才是向量CA →与向量AB →的夹角．1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底．( ) (2)若e 1，e 2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量．( ) (3) 若a e 1＋b e 2＝c e 1＋d e 2(a ，b ，c ，d ∈R )，则a ＝c ，b ＝d .( ) 2．设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是 A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．③④3．在△ABC 中，向量AB →，BC →的夹角是指( )A ．∠CAB B ．∠ABC C ．∠BCAD ．以上都不是4．如图所示，向量OA →可用向量e 1，e 2表示为________．类型一 平面向量基本定理的理解例1 设e 1，e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2. 其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出满足条件的序号)． 方法归纳对基底的理解(1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来．设向量a 与b 是平面内两个不共线的向量，若x 1a ＋y 1b ＝x 2a ＋y 2b ，则{ x 1＝x 2，y 1＝y 2.提醒：一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样． 跟踪训练1 下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底； ③零向量不可以作为基底中的向量．其中正确的说法是( ) A.①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③ 类型二 用基底表示平面向量例2 (1)D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 上的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，给出下列结论：①AD →＝－12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④EF →＝12a .其中正确的结论的序号为 ．(2)如图所示，▱ABCD 中，点E ，F 分别为BC ，DC 边上的中点，DE 与BF 交于点G ，若AB →＝a ，AD →＝b ，试用a ，b 表示向量DE →，BF →.方法归纳用基底表示向量的两种方法(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．跟踪训练2 (1)本例（2）条件不变，试用基底a ，b 表示AG →；(2)若本例中的基向量“AB →，AD →”换为“CE →，CF →”即若CE →＝a ，CF →＝b ，试用a ，b 表示向量DE →，BF →.类型三 向量的夹角例3 已知|a |＝|b |，且a 与b 的夹角为120°，求a ＋b 与a 的夹角及a －b 与a 的夹角．【例4】 (1)已知向量a ，b ，c 满足|a|＝1，|b|＝2，c ＝a ＋b ，c ⊥a ，则a ，b 的夹角等于 ．(2)若a≠0，b ≠0，且|a |＝|b |＝|a －b |，求a 与a ＋b 的夹角．方法归纳两个向量夹角的实质及求解的关键(1)实质：两个向量的夹角，实质上是从同一起点出发的两个非零向量构成的角． (2)关键：求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，然后按照“一作二证三算”的步骤，并结合平面几何知识求出两个向量的夹角．跟踪训练3 （1）已知|a |＝|b |＝2，且a 与b 的夹角为60°，求a ＋b 与a 的夹角，a －b 与a 的夹角．（2）在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB ＝AC ，则AB →与BC →夹角的大小为 ． 类型二 平面向量基本定理的唯一性及其应用【例3】 如图所示，在△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，点M 是AB 上靠近B 的一个三等分点，点N 是OA 上靠近A 的一个四等分点．若OM 与B N 相交于点P ，求OP →.1．将本例中“点M 是AB 上靠近B 的一个三等分点”改为“点M 是AB 上靠近A 的一个三等分点”，“点N 是OA 上靠近A 的一个四分点”改为“点N 为OA 的中点”，求BP ∶P N 的值．2．将本例中点M ，N 的位置改为“OM →＝12MB →，N 为OA 的中点”，其他条件不变，试用a ，b 表示OP →.)4DB →＝rAB →＋sAC →，则边上的中点，且AB ＝a ，AD ＝b ，则＝3e 1－2e 2，b ＝－2试用a ，b 将MN 、[能力提升](2011．设非零向量A ．150° B 12.如图，在△ABC λ＋μ＝________.．如图，在△OAB 中，→14．在△ABC 中，AB (1)AD →与BD →夹角的大小；夹角的大小．。

1、平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于任意这一平面内的任意一向量，有且只有一对实数1λ，2λ使2211e e λλ+=。

（我们把不共线的向量21,e e 叫做表示平面内所有向量的一组基底）2、平面向量的坐标表示把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量j 、i 作为基底，对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y 使得j y i x a +=，则把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标．记作),(y x a =，此式叫做向量的坐标表示．在直角坐标平面中，i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0)．3、平面向量的坐标运算4、两个向量共线的坐标表示设),(11y x a =，),(22y x b =，其中0≠b .则b a //⇔ b a λ=⇔01221=-y x y x5、两个向量垂直的坐标表示设),(11y x a =，),(22y x b =，.则⊥⇔02211=+y x y x考点一：平面向量的基本定理例1、如图，在OAB ∆中，:1:2OA a OB b BE EA ===，，，F 是OA 中点，线段OE 与BF 交于点G ，试用基底,a b 表示：（1）OE ；（2）BF ；（3）OG .例2、如图所示，在△ABC 中，点M 是AB 的中点，且12AN NC =，BN 与CM 相交于点E ，设A B a =，AC b =，试用基底a ，b 表示向量AE ．例3、在△ABC 中，BD=DC ，AE=2EC ，求,AG BG GD GE . 考点二：利用平面向量基本定理证明三点共线问题例1、设OA 、OB 、OP 是三个有共同起点的不共线向量，求证：它们的终点A 、B 、P 共线，当且仅当存在实数m 、n 使m+n=1且OP mOA nOB ==．例2、设e 1，e 2是平面内的一组基底，如果124AB e e =-，12BC e e =+，1269CD e e =-，求证：A ，C ，D 三点共线．考点三：平面向量坐标表示与坐标运算例1、已知(2,4),(3,1),(3,4)A B C ----，且3,2,CM CA CN CB ==求M 、N 及MN 的坐标. 例2、已知点)8,2(),2,1(B A -以及11,,33AC AB DA BA ==-求点C ，D 的坐标和CD 的坐标. 考点四：平面向量平行坐标表示 例1、平面内给定三个向量(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=(1)若()//(2),a kc b a +-求实数k ；(2)设(,)d x y =满足()//()d c a b -+且||1,d c -=求d . 向量(,12)PA k =，(4,5)PB =，(10,)PC k =，当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线？1．已知a ＝(－1,3)、b ＝(x ，－1)，且a ∥b ，则x 等于( ) A ．－3 B ．－13 C ．13D ．3 2．若A (3，－6)、B (－5,2)、C (6，y )三点共线，则y ＝( ) A ．13 B ．－13 C ．9 D ．－93．向量a ＝(3,1)、b ＝(1,3)、c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，则k 等于( )A ．3 B ．－3 C ．5 D ．－54．设e 1、e 2是两个不共线的向量，向量a ＝e 1＋λe 2(λ∈R )与向量b ＝－(e 2－2e 1)共线，则( )5． λ＝0 B ．λ＝－1 C ．λ＝－2 D ．λ＝－126． 已知向量a ＝(3,4)、b ＝(cos α，sin α)，且a ∥b ，则tan α＝( )A ．34 B ．43 C ．－43D ．－346．若向量b 与向量a ＝(2,1)平行，且|b |＝25，则b ＝( )A ．(4,2)B ．(－4,2)C ．(6，－3)D ．(4,2)或(－4，－2)7．设i 、j 分别为x 、y 轴方向的单位向量，已知OA →＝2i ，OB →＝4i ＋2j ，AB →＝－2AC →，则点C 的坐标为________．8．设向量a ＝(4sin α，3)、b ＝(2,3sin α)，且a ∥b ，则锐角α＝________．9．设向量OA →＝(k,12)、OB →＝(4,5)、OC →＝(10，k )，当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线．10．如图，已知△ABC 中，M 、N 、P 顺次是AB 的四等分点，CB →＝e 1，CA →＝e 2，试用e 1、e 2表示CM →、CN →、CP →．11．(1)设向量a 、b 的坐标分别是(－1,2)、(3，－5)，求a ＋b ，a －b,2a ＋3b 的坐标；(2)设向量a 、b 、c 的坐标分别为(1，－3)、(－2,4)、(0,5)，求3a －b ＋c 的坐标．课后反击1．已知向量e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，若向量a 与b 共线，则( )A ．λ＝0B ．e 2＝0C ．e 1∥e 2D ．e 1∥e 2或λ＝02．已知平面向量a ＝(1,2)、b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－6)C ．(－4，－8)D ．(－5，－10)3．已知平面向量a ＝(x,1)、b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( )A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线4．已知向量a ＝(1,0)、b ＝(0,1)、c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向5．已知a ＝(－2,3)，b ∥a ，b 的起点为A (1,2)，终点B 在坐标轴上，则B 点坐标为________．6．已知点A (3，1)、B (0,0)、C (3，0)．设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC →＝λCE →，其中λ等于________．7．平面内给定三个向量a ＝(3,2)、b ＝(－1,2)、c ＝(4,1)，(1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m 、n ；(2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ．8．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →，求证：EF →∥AB →． 9．已知直角坐标平面上四点A (1,0)、B (4,3)、C (2,4)、D (0，2)，求证：四边形ABCD 是等腰梯形．1、【2015•新课标】已知点A （0，1），B （3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（ ）A ．（﹣7，﹣4）B ．（7，4）C ．（﹣1，4）D ．（1，4）2、【2015•四川】设向量=（2，4）与向量=（x ，6）共线，则实数x=（ ） A ．2 B ．3 C ．4D ．6 3、【2014•福建】在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（ ）A ．=（0，0），=（1，2）B ．=（﹣1，2），=（5，﹣2）C ．=（3，5），=（6，10）D ．=（2，﹣3），=（﹣2，3）4、【2014•重庆】已知向量=（k ，3），=（1，4），=（2，1）且（2﹣3）⊥，则实数k=（） A ．﹣ B ．0 C ．3 D ．5、【2014•北京】已知向量=（2，4），=（﹣1，1），则2﹣=（ ）A ．（5，7）B ．（5，9）C ．（3，7）D ．（3，9）6、【2014•广东】已知向量=（1，2），=（3，1），则﹣=（ ）A ．（﹣2，1）B ．（2，﹣1）C ．（2，0）D ．（4，3） 经典练习。

平面向量的基本定理及坐标表示全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：平面向量是我们在高中数学学习中接触到的一个重要知识点，它在几何学和代数学中都有着重要的作用。

平面向量本质上是有大小和方向的量，它可以用箭头表示出来，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

而平面向量的基本定理和坐标表示是我们学习平面向量的重要内容，下面我就来详细介绍一下。

一、平面向量的基本定理1. 平行向量的概念两个向量如果它们的方向相同或者相反，那么我们称这两个向量为平行向量。

平行向量的特点是它们的模相等，方向相同或者相反。

2. 向量的加法如果有两个向量a和b，它们的起点相同，那么我们可以通过平行四边形法则将这两个向量相加，即将向量b平移至向量a的终点，然后连接向量a的起点和向量b的终点，这条连接线就是向量a+b的结果。

3. 向量的数量积向量的数量积，也称为点积或内积，是两个向量的特殊乘积。

设有两个向量a和b，它们之间夹角为θ，那么a·b=|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长。

二、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，我们可以用坐标表示一个向量。

设有一个向量a，它在平面直角坐标系中的起点为O(0,0)，终点为A(x,y)，那么我们可以用坐标(x,y)表示向量a。

在平面直角坐标系中，向量a与坐标轴之间的夹角为θ，那么向量a的方向角为θ。

根据三角函数的定义，我们有cosθ=x/|a|，sinθ=y/|a|，tanθ=y/x，这三个公式可以帮助我们求解向量的方向角。

对于向量的数量积和叉积，我们也可以通过向量的坐标表示来进行计算。

设向量a在坐标系中的起点为O(0,0)，终点为A(x1,y1)，向量b在坐标系中的起点为O(0,0)，终点为B(x2,y2)，那么向量a和向量b 的数量积为x1x2+y1y2，向量a和向量b的叉积为x1y2-x2y1。

平面向量的基本定理和坐标表示是我们学习平面向量的重要内容，通过深入理解这些知识点，我们可以更好地解决平面向量的相关问题，为我们的数学学习打下坚实的基础。